2024-2025学年江苏省泰州中学高一下学期4月期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州中学高一下学期4月期中数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.若，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.“”是“向量，，则”的条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5.某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数与生物个体总数研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标生物丰富度指数越大，水质越好若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则( )
A. B. C. D.
6.在正方形中，点满足，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
8.若的三个内角均小于，点满足则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式的值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知曲线且过定点，且的坐标满足方程，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有( )
A. 函数是倒函数
B. 函数是倒函数
C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解
D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是增函数．记，则是的充要条件
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布。三国时的刘徽为九章算术方田作注：“田幂，凡广即长从即宽相乘谓之乘。”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译几何原本时，自注曰：“自乘之数曰幂”。幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即函数为幂函数，则 ．
13.已知函数为常数，的部分图象如图所示，则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ．
14.已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）单位圆与轴正半轴的交点为，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．
如图，当的长为时，求线段与所围成的弓形阴影部分面积；
记，，当，点的横坐标为时，求的值．
16.（15分）已知集合．
求
记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
17.（15分）已知函数在上为奇函数，．
求实数的值；
指出函数的单调性说明理由，不需要证明；
设对任意，都有成立，求的取值范围．
18.（17分）已知向量，，函数，．
若的最小值为，求实数的值；
是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.（17分）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”．
性质：对任意，有；
性质：对任意，有．
Ⅰ分别判断区间是否为下列两函数的“区间”直接写出结论；
；
；
Ⅱ若是函数的“区间”，求的取值范围；
Ⅲ已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，，且，有求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．
参考答案
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15.解：设所对的圆心角为，弧长为，弓形的面积为．
因为，圆的半径为，所以，
，，
．
设，由题知，于是，，
．
即．
16.解：因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以或，
所以或；
又因为，
所以．
因为，
所以，
若，则，解得，
所以的取值范围是．

17.解：由已知结合奇函数的性质可得，
即，
所以，解得舍去负值，所以．
此时有，定义域为，满足题意．
令，
因为，所以函数在上单调递增．
又当时，有在上单调递减；
当时，与均为减函数，
所以有在上单调递减．
综上所述，在上单调递减．
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减．
由已知，
结合奇函数的性质可得．
又由知，在上单调递减，
所以有，整理即有．
设，要使该式恒成立，则应满足．
又，
当，即时，有最小值，
则有，整理可得，解得．

18.解，
，
，
，，
，令，
，，对称轴为，
当即时，当时，，舍，
当即时，当时，，，
当即时，当时，，舍，
综上，．
令，即，
或，，有四个不同的零点，
方程和在上共有四个不同的实根，
．

19.解：Ⅰ是，不是；
Ⅱ记，，易知，故若为的“区间”，则不满足性质，必满足性质，即；
，当时，在上单调递增，且，所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；
综上可知，；
Ⅲ证明：对于任意区间，记，由已知得在上单调递减，故，
因为，故，即的长度大于的长度，故不满足性质，所以若为的“区间”，必须满足性质，即，
即存在使得，或存在，使得，因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“区间“；
记，先证明有唯一零点，
因为在上是减函数，所以在上是减函数，则若，则是的唯一零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，结合的单调性，可知存在唯一，使得，
综上可知，有唯一零点，即，
所以的所有“区间”都满足性质，故．
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