1、三角形的定义
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2、三角形的各部分的名称
三角形有3条边，3个顶点，3个角。
3、三角形的表示方法
为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高和底
定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。
三角形的特性：三角形具有稳定性。
1、三角形三边关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边。
（2）任意两边之差小于第三边。
2、两点间的距离
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
1、按角分：
2、按边分：
（1）等腰三角形
相等的两条边叫做三角形的腰。
两腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角也相等。
（2）等边三角形
等边三角形也叫做正三角形。
等边三角形3条边都相等。
等边三角形3个角也相等，都是60°。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
（3）不等边三角形
不等边三角形的三条边互不相等。
1、三角形的内角和
三角形的内角和是180°。
2、三角形内角和的应用
在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。
1、四边形的内角和
四边形的内角和是360°。
2、多边形的内角和
多边形的内角和＝(边数－2)×180°。
1.三角形的高和底是对应关系。
2.为三角形所作的高必须与所对的底边相交成直角。
3.只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。
4.当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。
5.判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。
6.两点间的距离是两点间的线段的长度，不是两点间的线段。
7.一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。
8.等腰三角形是按边分类的结果，锐角三角形是按角分类的结果，二者没有必然关联。
9.等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
10.一个三角形中最多有一个直角。
11. 任意一个三角形的内角和都是180°。
12.不管把四边形分成几个三角形，四边形的内角和总是360°。
【考点精讲一】（23-24四年级下·重庆梁平·期末）三角形的高、平行四边形的高、梯形的高，它们有什么共同点？
【答案】①都是线段（有限长）；②都与相对应的底互相垂直
【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高；
从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高；
从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；
据此可知，三角形的高、平行四边形的高、梯形的高都是点到直线（线段）的距离，可以测量；都与相对的边互相垂直；据此解答。
【详解】根据分析可知，三角形的高、平行四边形的高、梯形的高，它们的共同点是：①都是线段（有限长）；②都与相对应的底互相垂直。
【考点精讲二】（22-23四年级下·四川德阳·期末）先观察，再回答。
上面4个木框是由木条围成的，（ ）最稳定。请说说你的理由。
【答案】D；根据三角形的性质：三角形具有稳定性。因此只有D选项中带有两个三角形，所以D选项的图形最稳定。
【分析】题目中说谁最稳定，根据三角形的性质，我们知道三角形具有稳定性，依此即可解答。
【详解】根据三角形的性质：三角形具有稳定性。因此只有D选项中带有两个三角形，所以D选项的图形最稳定。
【考点精讲三】（23-24四年级下·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。
【答案】不正确；不满足三角形三边关系，不能围成三角形
【分析】根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可。
【详解】答：不正确，因为10＋14＝24，24＜25，不满足三角形三边关系，不能围成三角形，所以，淘气测量的结果不正确。
【考点精讲四】（23-24四年级下·河南郑州·期末）在建筑学上，三角形的稳定性被广泛应用于房屋屋顶的设计。三角形屋顶两个三角形的坡面也有利于雨水的流动，并且利用三角形稳定性中重心的作用，使房屋更加稳定。河南博物院建筑设计中也有三角形面的设计。请以下图中线段AB为底，分别设计一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出锐角三角形底边的高。
画出的三角形的共同点是：（ ）这样的三角形可以画出（ ）个。
【答案】见详解
【分析】根据三角形的特征画图：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。
根据画出的三角形写出其共同点即可（合理即可）。
【详解】如图：
画出的三角形的共同点是：都是以线段AB为底，并且以线段AB为底的底边上的高一样长。这样的三角形可以画无数个（答案不唯一）。
【考点精讲五】（23-24四年级下·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？
【答案】56厘米
【分析】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。
【详解】2分米＝20厘米
18＋18＋20
＝36＋20
＝56（厘米）
答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。
【考点精讲六】（22-23四年级下·河南周口·期中）如图，一块三角形玻璃被打碎了一个角，这个角是多少度？按边分，这个三角形是什么三角形？
【答案】60°；等边三角形
【分析】三角形内角和等于180°，180°减去两个已知角的度数等于打碎角的度数，再根据三个角的度数判断三条边的关系，根据三条边的相互关系判断是什么三角形，据此即可解答。
【详解】180°－60°－60°
＝120°－60°
＝60°
三个角都是60°，所以三条边都相等，按边分，这个三角形是等边三角形。
答：打碎的这个角是60°，按边分，这个三角形是等边三角形。
【考点精讲七】（23-24四年级下·河北唐山·期末）将直角三角形中的一个锐角如下图所示折叠。∠2是多少度？
【答案】80度
【分析】三角形的内角和为180°，直角三角形中有一个直角，直角为90°，用180°减去90°，再减去50°，可以计算出直角三角形左下角那个角的度数；因为是折叠过去的，那么直角三角形左下角那个角就是∠1；
观察发现∠1和∠3合起来为平角，平角为180°，那么用180°减去∠1的度数，可以计算出∠3的度数；
四边形的内角和为360°，那么用360°依次减去90°、50°和∠3的度数，可以计算出∠2的度数；据此解答。
【详解】∠1：180°－90°－50°＝40°
∠3：180°－40°＝140°
∠2：360°－90°－50°－140°＝80°
答：∠2是80度。
一、解答题
1．（22-23四年级下·四川广元·期末）一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是多少度？
【答案】50°
【分析】根据等腰三角形角的特性，等腰三角形两个底角相等。因为三角形内角和等于180°，所以可以用180°减去两个底角度数，即可求出顶角度数。
【详解】180°－65°×2
＝180°－130°
＝50°
答：它的顶角是50°。
2．（22-23四年级下·湖南益阳·期末）用一根长70厘米的铁丝围成一个边长是16厘米的正三角形（接头处忽略不计），还剩下多少厘米的铁丝？
【答案】22厘米
【分析】三角形的周长等于三边之和，这是个等边三角形，三条边相等。所以三角形的周长＝边长×3，再用铁丝总长度减去周长即为剩下的长度。据此代入数值求解即可。
【详解】16×3＝48（厘米）
70－48＝22（厘米）
答：还剩下22厘米的铁丝。
3．（23-24四年级下·海南省直辖县级单位·期末）红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾的一个底角是30°，它的顶角是多少度？
【答案】120°
【分析】等腰三角形的特征之一是两个底角度数相同。根据红领巾是等腰三角形，所以两个底角相等，再根据三角形内角和是180°，用180°减去两个底角的度数即可得出顶角的度数，据此解答。
【详解】180°－30°－30°
＝150°－30°
＝120°
答：它的顶角是120°。
4．（23-24四年级下·山西阳泉·期末）建筑中的数学，工人叔叔搭了一个等腰三角形的展板框架，其中一条边长是16.8米，另一条边长是7.6米，这个框架的周长是多少米？
【答案】41.2米
【分析】根据题意可知，等腰三角形边的特征是两腰相等，三角形三边关系是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。如果16.8米是其中一条腰，16.8＋16.8＞7.6，16.8－16.8＜7.6，符合题目要求；如果7.6米是其中一条腰，7.6＋7.6＜16.8，不符合题目要求。可以确定另一条边长16.8米。确定另一条边的长度后，可以将三条边的长度相加求出周长。
【详解】16.8＋16.8＋7.6
＝33.6＋7.6
＝41.2（米）
答：这个框架的周长是41.2米。
5．（23-24四年级下·广西南宁·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？
【答案】55度
【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2即可，依此计算。
【详解】（180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
答：这个风筝的底角是55度。
6．（23-24四年级下·四川德阳·期末）用一根铁丝可以围成一个边长18厘米的正方形，如果将它围成一个等边三角形，等边三角形的边长是多少厘米？
【答案】24厘米
【分析】根据正方形周长＝边长×4，把正方形的边长带入即可求出这根铁丝的长度，因为等边三角形每条边长度相同，用这根铁丝长度除以3，即可求出等边三角形的边长是几厘米。
【详解】18×4＝72（厘米）
72÷3＝24（厘米）
答：等边三角形的边长是24厘米。
7．（23-24四年级下·海南省直辖县级单位·期末）一个等腰三角形的一个内角是60°，一条边的长度是12厘米，这个三角形的周长是多少厘米？
【答案】36厘米
【分析】一个等腰三角形的一个内角是60°，说明这个三角形同时是等边三角形，等边三角形的三边相等，周长是三条边的和，据此列式计算。
【详解】12×3＝36（厘米）
答：这个三角形的周长是36厘米。
8．（23-24四年级下·河北保定·期末）小明的爷爷用篱笆围成了一块边长为45分米的正方形菜地，现在把它拆开围成一块底是8米的等腰三角形菜地，这块等腰三角形菜地的腰长是多少米？
【答案】5米
【分析】先根据1米＝10分米统一单位，根据正方形周长＝边长×4，计算出篱笆的总长度，因为等腰三角形的两条腰相等，所以用篱笆的长度减去等腰三角形底边的长度再除以2，就是等腰三角形菜地的腰的长度。
【详解】45分米4.5米
＝
＝
＝5（米）
答：这块等腰三角形菜地的腰长是5米。
9．（23-24四年级下·河北唐山·期末）一根铁丝正好可以围成边长是6厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围成腰长为8厘米的等腰三角形（铁丝无剩余），这个等腰三角形的底边长多少？
【答案】2厘米
【分析】用等边三角形一条边的长度乘3，即可求出铁丝的总长度，根据等腰三角形的两腰长相等，用铁丝的总长度减去两个腰的长度，即可求出这个等腰三角形的底边长多少厘米。
【详解】6×3＝18（厘米）
18－8－8＝2（厘米）
答：这个等腰三角形的底边长2厘米。
10．（23-24四年级下·河北沧州·期末）学校举行做风筝比赛，图图做了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是30°。这个风筝的顶角是多少度？
【答案】120°
【分析】等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和是180°。据此解答。
已知一个底角是30°，那么两个底角的度数和为。
所以顶角的度数列式为。
【详解】
答：这个风筝的顶角是120°。
11．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）将一块等边三角形模型的边长扩大到原来的10倍后周长是24米，原来模型的边长是多少分米？
【答案】8分米
【分析】1米＝10分米，先将周长换算成分米为单位，等边三角形三条边长相等，用周长除以3即可求出扩大到原来的10倍后的边长是多少分米，再除以10即可求出原来模型的边长是多少分米。
【详解】24米＝240分米
240÷3÷10
＝80÷10
＝8（分米）
答：原来模型的边长是8分米。
12．（23-24四年级下·安徽铜陵·期末）用36厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，如果这个三角形的底边长是14厘米，那么每条腰长是多少厘米？
【答案】11厘米
【分析】等腰三角形的两条腰相等，据此用周长减去底边长求出两条腰的和，再除以2即可求解。
【详解】（36－14）÷2
＝22÷2
＝11（厘米）
答：每条腰长时11厘米。
13．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）作为新时代的少年儿童，我们要正确佩戴红领巾，为中国少年先锋队队员的身份感到自豪，张腾身上佩戴着一条形状为等腰三角形的红领巾，顶角是一个底角度数的4倍，这条红领巾的顶角是多少度？按角分，这是一个什么三角形？
【答案】120度；钝角三角形
【分析】因为等腰三角形两个底角相等，已知红领巾形状为等腰三角形，则红领巾的两个底角相等；它的顶角是一个底角度数的4倍，则把一个底角看作一份，则顶角是4份，则三角形的三个角的和就是1份＋1份＋4份＝6份；根据三角形的内角和是180°可知，6份是180°，则一份是：180°÷6＝30°，那么三角形顶角的度数是30°×4＝120°；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。
【详解】180°÷（1＋1＋4）
＝180°÷（2＋4）
＝180°÷6
＝30°
30°×4＝120°
，所以这是一个钝角三角形
答：这条红领巾的顶角是120度，按角分，这是一个钝角三角形。
14．（22-23四年级下·山东济南·期末）边长为12厘米的正方形铁丝框，拆开后围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？
【答案】16厘米
【分析】根据题意可知，正方形的周长与等边三角形的周长相等，12乘4等于正方形的周长，也是等边三角形的周长，再除以3即等于等边三角形的边长，据此即可解答。
【详解】12×4÷3
＝48÷3
＝16（厘米）
答：这个等边三角形的边长是16厘米。
15．（22-23四年级下·山东临沂·期末）一根铁丝围成一个边长为25厘米的正方形，如果改围成一个底边长是10厘米的等腰三角形，那么腰长是多少厘米？
【答案】45厘米
【分析】先根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度。再根据等腰三角形的腰长＝（周长－底边）÷2进行解答。
【详解】25×4＝100（厘米）
（100－10）÷2
＝90÷2
＝45（厘米）
答：腰长45厘米。
【点睛】本题考查正方形和等腰三角形的周长公式的应用，关键是熟记公式。
16．（22-23四年级下·湖北省直辖县级单位·期末）小明想用一根长14厘米的塑料棒围成一个等腰三角形，请你帮他设计一下，一共有几种不同的围法？并列举出来。（长度为整厘米数）
【答案】3种；围法见详解过程
【分析】三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；根据等腰三角形的特征：两腰相等，把14厘米分成符合三角形三边关系的三个整数，据此解答。
【详解】因为三条边的长度都是整厘米数，所以根据三角形的三边关系可知有3种不同的围法：
①围成一个等腰三角形：4厘米；4厘米；6厘米；
②围成一个等腰三角形：5厘米；5厘米；4厘米；
③围成一个等腰三角形：6厘米；6厘米；2厘米。
答：一共有3种不同的围法。
17．（22-23四年级下·山东·期末）小明用铁丝围了一个长15厘米，宽12厘米的长方形，现在用这根铁丝围一个底边长20厘米的等腰三角形，那么它的一条腰长是多少厘米？
【答案】17厘米
【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，先计算出长方形的周长，也就是铁丝的长度；等腰三角形的两腰相等，再用铁丝的长度减去20计算出两腰之和，最后除以2计算出它的一条腰长是多少厘米；据此解答。
【详解】（15＋12）×2
＝27×2
＝54（厘米）
（54－20）÷2
＝34÷2
＝17（厘米）
答：它的一条腰长是17厘米。
18．（22-23四年级下·山东日照·期末）课堂上王老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中两条边分别是10厘米和12厘米，这个教具的周长是多少厘米？
【答案】32厘米或34厘米
【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形三条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形教具的腰长，再计算出这个教具三条边的总长度即可。
【详解】当腰长为10厘米时，10＋10＝20（厘米），20厘米＞12厘米，因此腰长是10厘米；
当腰长为12厘米时，12＋12＝24（厘米），24厘米＞10厘米，因此腰长也可以是12厘米；
当腰长为10厘米时，周长是：
10＋10＋12
＝20＋12
＝32（厘米）
当腰长为12厘米时，周长是：
12＋12＋10
＝24＋10
＝34（厘米）
答：这个教具的周长是32厘米或34厘米。
19．（22-23四年级下·湖南湘潭·期末）用一根长80厘米的铁丝围成一个边长是18厘米的正三角形（接头处忽略不计），还剩下多少厘米的铁丝？
【答案】26厘米
【分析】三角形的周长等于三边之和，这是个等边三角形，三边相等，所以三角形周长＝边长×3，再用铁丝总长减去周长即为还剩的长度。
【详解】80－18×3
＝80－54
＝26（厘米）
答：还剩下26厘米的铁丝。
20．（22-23四年级下·湖南株洲·期末）刘叔叔修建一个周长是56米的等腰三角形花坛，底边长14米，这个花坛的腰长是多少米？
【答案】21米
【分析】等腰三角形的两腰相等，因此用等腰三角形的周长减14米后，再除以2，即可计算出这个花坛的腰长。
【详解】（56－14）÷2
＝42÷2
＝21（米）
答：这个花坛的腰长是21米。
21．（22-23四年级下·湖北黄冈·期末）小虎制作了一个等腰三角形的风筝，已知其中两条边分别长40厘米和18厘米，那么这个风筝的周长是多少厘米？
【答案】98厘米
【分析】等腰三角形有两条边相等，所以有两种情况：可能是两条边40厘米，一条底18厘米；或两条边18厘米，一条底40厘米，再根据任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边判断第二种情况18＋18＜40，不能围成三角形排除，最后符合题意的三条边相加求周长。
【详解】两条边40厘米，一条底18厘米，则40－18＜40，40＋18＞40；
40＋40＋18＝98（厘米）
答：这个风筝的周长是98厘米。
22．（22-23四年级下·湖北黄冈·期末）用一根铁丝正好围成一个边长是10厘米的正方形，如果改围成一个一条边为12厘米的等腰三角形，请问这个等腰三角形的另外两条边有多长？
【答案】14厘米、14厘米，或12厘米、16厘米
【分析】正方形的周长＝边长×4，依此计算出这根铁丝的长度，这根铁丝的长度等于等腰三角形的周长，等腰三角形的两腰相等，三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此即可解答。
【详解】10×4＝40（厘米）
假设12厘米为等腰三角形的底，则腰长为：
（40－12）÷2
＝28÷2
＝14（厘米）
14厘米＋12厘米＞14厘米，14厘米－12厘米＜14厘米，满足条件
假设12厘米为等腰三角形的腰长，则底长为：
40－12－12＝16（厘米）
12厘米＋12厘米＞16厘米，16厘米－12厘米＜12厘米，满足条件
答：这个等腰三角形的另外两条边长14厘米、14厘米，或长12厘米、16厘米。
23．（22-23四年级下·湖北孝感·期末）有两根同样长的铁丝，一根铁丝正好围成了一个边长是24cm的等边三角形，另一根正好围成了一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？
【答案】18厘米
【分析】根据等边三角形周长＝边长×3，可以得出这个铁丝的长度；也就是这个正方形的周长，再根据正方形的周长＝边长×4，可算出正方形的边长是多少厘米。
【详解】
（厘米）
答：这个正方形的边长是18厘米。
24．（22-23四年级下·湖北武汉·期末）用一根铁丝围成了边长21厘米的正方形，如果将铁丝拉直了，改围成等边三角形，等边三角形的边长是多少厘米？
【答案】28厘米
【分析】正方形周长＝边长×4，将铁丝拉直了，改围成等边三角形，三角形周长等于正方形周长，边长＝等边三角形周长÷3，即可解答。
【详解】21×4÷3
＝84÷3
＝28（厘米）
答：等边三角形的边长是28厘米。
25．（23-24四年级下·河南驻马店·期末）张阿姨准备用三条栅栏围一个三角形场地养兔子，她准备好了5米长和8米长的栅栏，那么第三条栅栏可能是几米？（提示：①最长边可能是8米的栅栏，也可能是第三条栅栏。②每种情况至少写出一种结果。③栅栏长度为整米数。）
【答案】可能是4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米。
【分析】三角形的三边关系：任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【详解】8＋5＝13（米）
8－5＝3（米）
13米＞第三条边＞3米
答：第三条栅栏可能是4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米。
26．（22-23四年级下·四川广元·期末）红领巾是少先队员的标志，它的大小、形状都有严格的规定：它是底角为30度的等腰三角形。红领巾的顶角是多少度？
【答案】120度
【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180度，用180度依次减去两个底角，即可求出红领巾的顶角是多少度，据此解答即可。
【详解】180°－30°－30°
＝150°－30°
＝120°
答：红领巾的顶角是120度。
27．（22-23四年级下·四川广元·期末）植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？
【答案】36°
【分析】等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。
【详解】（180°－108°）÷2
＝72°÷2
＝36°
答：它的一个底角是36°。
28．（22-23四年级下·河南周口·期中）一块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？这个三角形是一个什么三角形？
【答案】85度；锐角三角形
【分析】三角形的内角和是180°，已知其中的两个角，要求第三个角，用减法计算。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。据此解答。
【详解】180°－55°－40°
＝125°－40°
＝85°
因为三角形的三个角都小于90°，所以它是锐角三角形。
答：被打碎的角是85度，这个三角形是一个锐角三角形。
29．（22-23四年级下·河南周口·期中）植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带，这个三角形的周长是64米，底边长28米。这个等腰三角形绿化带的一条腰长是多少米？
【答案】18米
【分析】等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的周长减去底边长度等于两腰长度和，再除以2即等于一条腰的长度，据此即可解答。
【详解】（64－28）÷2
＝36÷2
＝18（米）
答：这个等腰三角形绿化带的一条腰长是18米。
30．（22-23四年级下·福建泉州·期中）王伯伯用同样长的两根铁丝分别做了一个等边三角形和一个长方形框架。长方形的大小如图所示，则等边三角形的边长是多少分米？
形状 等边三角形 长方形
大小 （单位：分米）
【答案】6分米
【分析】用同样长的两根铁丝分别做了一个等边三角形和一个长方形框架，说明等边三角形的周长与长方形的周长相等。先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形的周长，再根据等边三角形三边相等，用长方形周长除以3，即可算出等边三角形的边长。
【详解】（5.4＋3.6）×2÷3
＝9×2÷3
＝18÷3
＝6（分米）
答：等边三角形的边长是6分米。
31．（23-24四年级下·广东韶关·期中）张爷爷用一根铁丝围成一个长为5.8厘米、宽为3.2厘米的长方形，现在张爷爷把它改成一个等边三角形，则等边三角形的边长是多少厘米？
【答案】6厘米
【分析】先根据长方形周长＝（长＋宽）×2求出铁丝的长度，等边三角形的边长相等，所以再用铁丝的长度除以3即可求出等边三角形的边长。
【详解】（5.8＋3.2）×2
＝9×2
＝18（厘米）
18÷3＝6（厘米）
答：等边三角形的边长是6厘米
32．（23-24四年级下·广东韶关·期中）已知一个等腰三角形的两条边分别长4厘米和9厘米，那么第三条边的长度是多少厘米？周长是多少厘米？
【答案】9厘米；22厘米
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，判断出等腰三角形的腰长；再把三条边的长度相加即可求出三角形的周长。
【详解】4＋4＝8（厘米），8＜9，所以4厘米是三角形的底边，9厘米是三角形的腰长，第三条边的长度是9厘米。
9×2＋4
＝18＋4
＝22（厘米）
答：第三条边的长度是9厘米；周长是22厘米。
33．（23-24四年级下·河南信阳·期中）用一根绳子围成一个等腰三角形，底边长24厘米，腰长15厘米，如果用这根绳子围成一个等边三角形，等边三角形的边长是多少厘米？
【答案】18厘米
【分析】等腰三角形的两条腰相等，等腰三角形的周长＝底边长＋2×腰长，据此求出等腰三角形的周长，也就是这根绳子的长度。用这根绳子围成一个等边三角形，则等边三角形的周长也等于这根绳子的长度。等边三角形的周长＝边长×3，等边三角形的边长＝周长÷3，据此解答。
【详解】24＋15×2
＝24＋30
＝54（厘米）
54÷3＝18（厘米）
答：等边三角形的边长是18厘米。
34．（23-24四年级下·河北张家口·期中）用一根铁丝围成一个边长为20厘米的等边三角形，同样用这根铁丝还可以围成一个腰长是16厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的底边是多少厘米？
【答案】28厘米
【分析】等边三角形三条边相等，所以等边三角形的周长＝边长×3。可以先用乘法算出这个等边三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。用这根铁丝围成一个腰长是16厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长也等于这根铁丝的长度。等腰三角形两条腰长度相等，所以用这根铁丝的长度减去等腰三角形两条腰之和即可得到等腰三角形的底边长度。
【详解】20×3＝60（厘米）
60－16×2
＝60－32
＝28（厘米）
答：这个等腰三角形的底边是28厘米。
35．（23-24四年级下·广东珠海·期末）2024“珠海 ‘筝’有你的”香洲区第六届风筝会于5月1日～5月2日在香炉湾沙滩举行。各式风筝表演惊艳亮相。淘淘也参与了此次活动，他做了一个等腰三角形的风筝。
（1）如果风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长多少分米？
（2）如果这个风筝的一个内角是50°，那么它的另外两个内角分别是多少度？
【答案】（1）12分米
（2）50°和80°或两个65°
【分析】（1）三角形周长等于3条边之和，根据等腰三角形的特征，风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长是（32－8）÷2＝12（分米），据此解答即可。
（2）根据等腰三角形的特征，可以假设这个内角分别为底角和顶角，再依据三角形的内角和是180度和等腰三角形的底角相等的特点，即可分别计算出两种情况下其他内角的度数。
【详解】（1）（32－8）÷2
＝24÷2
＝12（分米）
答：这个风筝的一条腰长是12分米。
（2）假设这个内角是底角，则另一个底角也是50°。
顶角为：
180°－50°×2
＝180°－100°
＝80°
假设这个内角是顶角，每个底角的度数为：
（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
答：它的另外两个内角分别是50°和80°或两个65°。1、三角形的定义
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2、三角形的各部分的名称
三角形有3条边，3个顶点，3个角。
3、三角形的表示方法
为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高和底
定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。
三角形的特性：三角形具有稳定性。
1、三角形三边关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边。
（2）任意两边之差小于第三边。
2、两点间的距离
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
1、按角分：
2、按边分：
（1）等腰三角形
相等的两条边叫做三角形的腰。
两腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角也相等。
（2）等边三角形
等边三角形也叫做正三角形。
等边三角形3条边都相等。
等边三角形3个角也相等，都是60°。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
（3）不等边三角形
不等边三角形的三条边互不相等。
1、三角形的内角和
三角形的内角和是180°。
2、三角形内角和的应用
在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。
1、四边形的内角和
四边形的内角和是360°。
2、多边形的内角和
多边形的内角和＝(边数－2)×180°。
1.三角形的高和底是对应关系。
2.为三角形所作的高必须与所对的底边相交成直角。
3.只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。
4.当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。
5.判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。
6.两点间的距离是两点间的线段的长度，不是两点间的线段。
7.一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。
8.等腰三角形是按边分类的结果，锐角三角形是按角分类的结果，二者没有必然关联。
9.等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
10.一个三角形中最多有一个直角。
11. 任意一个三角形的内角和都是180°。
12.不管把四边形分成几个三角形，四边形的内角和总是360°。
【考点精讲一】（23-24四年级下·重庆梁平·期末）三角形的高、平行四边形的高、梯形的高，它们有什么共同点？
【答案】①都是线段（有限长）；②都与相对应的底互相垂直
【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高；
从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高；
从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；
据此可知，三角形的高、平行四边形的高、梯形的高都是点到直线（线段）的距离，可以测量；都与相对的边互相垂直；据此解答。
【详解】根据分析可知，三角形的高、平行四边形的高、梯形的高，它们的共同点是：①都是线段（有限长）；②都与相对应的底互相垂直。
【考点精讲二】（22-23四年级下·四川德阳·期末）先观察，再回答。
上面4个木框是由木条围成的，（ ）最稳定。请说说你的理由。
【答案】D；根据三角形的性质：三角形具有稳定性。因此只有D选项中带有两个三角形，所以D选项的图形最稳定。
【分析】题目中说谁最稳定，根据三角形的性质，我们知道三角形具有稳定性，依此即可解答。
【详解】根据三角形的性质：三角形具有稳定性。因此只有D选项中带有两个三角形，所以D选项的图形最稳定。
【考点精讲三】（23-24四年级下·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。
【答案】不正确；不满足三角形三边关系，不能围成三角形
【分析】根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可。
【详解】答：不正确，因为10＋14＝24，24＜25，不满足三角形三边关系，不能围成三角形，所以，淘气测量的结果不正确。
【考点精讲四】（23-24四年级下·河南郑州·期末）在建筑学上，三角形的稳定性被广泛应用于房屋屋顶的设计。三角形屋顶两个三角形的坡面也有利于雨水的流动，并且利用三角形稳定性中重心的作用，使房屋更加稳定。河南博物院建筑设计中也有三角形面的设计。请以下图中线段AB为底，分别设计一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出锐角三角形底边的高。
画出的三角形的共同点是：（ ）这样的三角形可以画出（ ）个。
【答案】见详解
【分析】根据三角形的特征画图：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。
根据画出的三角形写出其共同点即可（合理即可）。
【详解】如图：
画出的三角形的共同点是：都是以线段AB为底，并且以线段AB为底的底边上的高一样长。这样的三角形可以画无数个（答案不唯一）。
【考点精讲五】（23-24四年级下·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？
【答案】56厘米
【分析】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。
【详解】2分米＝20厘米
18＋18＋20
＝36＋20
＝56（厘米）
答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。
【考点精讲六】（22-23四年级下·河南周口·期中）如图，一块三角形玻璃被打碎了一个角，这个角是多少度？按边分，这个三角形是什么三角形？
【答案】60°；等边三角形
【分析】三角形内角和等于180°，180°减去两个已知角的度数等于打碎角的度数，再根据三个角的度数判断三条边的关系，根据三条边的相互关系判断是什么三角形，据此即可解答。
【详解】180°－60°－60°
＝120°－60°
＝60°
三个角都是60°，所以三条边都相等，按边分，这个三角形是等边三角形。
答：打碎的这个角是60°，按边分，这个三角形是等边三角形。
【考点精讲七】（23-24四年级下·河北唐山·期末）将直角三角形中的一个锐角如下图所示折叠。∠2是多少度？
【答案】80度
【分析】三角形的内角和为180°，直角三角形中有一个直角，直角为90°，用180°减去90°，再减去50°，可以计算出直角三角形左下角那个角的度数；因为是折叠过去的，那么直角三角形左下角那个角就是∠1；
观察发现∠1和∠3合起来为平角，平角为180°，那么用180°减去∠1的度数，可以计算出∠3的度数；
四边形的内角和为360°，那么用360°依次减去90°、50°和∠3的度数，可以计算出∠2的度数；据此解答。
【详解】∠1：180°－90°－50°＝40°
∠3：180°－40°＝140°
∠2：360°－90°－50°－140°＝80°
答：∠2是80度。
一、解答题
1．（22-23四年级下·四川广元·期末）一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是多少度？
2．（22-23四年级下·湖南益阳·期末）用一根长70厘米的铁丝围成一个边长是16厘米的正三角形（接头处忽略不计），还剩下多少厘米的铁丝？
3．（23-24四年级下·海南省直辖县级单位·期末）红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾的一个底角是30°，它的顶角是多少度？
4．（23-24四年级下·山西阳泉·期末）建筑中的数学，工人叔叔搭了一个等腰三角形的展板框架，其中一条边长是16.8米，另一条边长是7.6米，这个框架的周长是多少米？
5．（23-24四年级下·广西南宁·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？
6．（23-24四年级下·四川德阳·期末）用一根铁丝可以围成一个边长18厘米的正方形，如果将它围成一个等边三角形，等边三角形的边长是多少厘米？
7．（23-24四年级下·海南省直辖县级单位·期末）一个等腰三角形的一个内角是60°，一条边的长度是12厘米，这个三角形的周长是多少厘米？
8．（23-24四年级下·河北保定·期末）小明的爷爷用篱笆围成了一块边长为45分米的正方形菜地，现在把它拆开围成一块底是8米的等腰三角形菜地，这块等腰三角形菜地的腰长是多少米？
9．（23-24四年级下·河北唐山·期末）一根铁丝正好可以围成边长是6厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围成腰长为8厘米的等腰三角形（铁丝无剩余），这个等腰三角形的底边长多少？
10．（23-24四年级下·河北沧州·期末）学校举行做风筝比赛，图图做了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是30°。这个风筝的顶角是多少度？
11．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）将一块等边三角形模型的边长扩大到原来的10倍后周长是24米，原来模型的边长是多少分米？
12．（23-24四年级下·安徽铜陵·期末）用36厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，如果这个三角形的底边长是14厘米，那么每条腰长是多少厘米？
13．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）作为新时代的少年儿童，我们要正确佩戴红领巾，为中国少年先锋队队员的身份感到自豪，张腾身上佩戴着一条形状为等腰三角形的红领巾，顶角是一个底角度数的4倍，这条红领巾的顶角是多少度？按角分，这是一个什么三角形？
14．（22-23四年级下·山东济南·期末）边长为12厘米的正方形铁丝框，拆开后围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？
15．（22-23四年级下·山东临沂·期末）一根铁丝围成一个边长为25厘米的正方形，如果改围成一个底边长是10厘米的等腰三角形，那么腰长是多少厘米？
16．（22-23四年级下·湖北省直辖县级单位·期末）小明想用一根长14厘米的塑料棒围成一个等腰三角形，请你帮他设计一下，一共有几种不同的围法？并列举出来。（长度为整厘米数）
17．（22-23四年级下·山东·期末）小明用铁丝围了一个长15厘米，宽12厘米的长方形，现在用这根铁丝围一个底边长20厘米的等腰三角形，那么它的一条腰长是多少厘米？
18．（22-23四年级下·山东日照·期末）课堂上王老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中两条边分别是10厘米和12厘米，这个教具的周长是多少厘米？
19．（22-23四年级下·湖南湘潭·期末）用一根长80厘米的铁丝围成一个边长是18厘米的正三角形（接头处忽略不计），还剩下多少厘米的铁丝？
20．（22-23四年级下·湖南株洲·期末）刘叔叔修建一个周长是56米的等腰三角形花坛，底边长14米，这个花坛的腰长是多少米？
21．（22-23四年级下·湖北黄冈·期末）小虎制作了一个等腰三角形的风筝，已知其中两条边分别长40厘米和18厘米，那么这个风筝的周长是多少厘米？
22．（22-23四年级下·湖北黄冈·期末）用一根铁丝正好围成一个边长是10厘米的正方形，如果改围成一个一条边为12厘米的等腰三角形，请问这个等腰三角形的另外两条边有多长？
23．（22-23四年级下·湖北孝感·期末）有两根同样长的铁丝，一根铁丝正好围成了一个边长是24cm的等边三角形，另一根正好围成了一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？
24．（22-23四年级下·湖北武汉·期末）用一根铁丝围成了边长21厘米的正方形，如果将铁丝拉直了，改围成等边三角形，等边三角形的边长是多少厘米？
25．（23-24四年级下·河南驻马店·期末）张阿姨准备用三条栅栏围一个三角形场地养兔子，她准备好了5米长和8米长的栅栏，那么第三条栅栏可能是几米？（提示：①最长边可能是8米的栅栏，也可能是第三条栅栏。②每种情况至少写出一种结果。③栅栏长度为整米数。）
26．（22-23四年级下·四川广元·期末）红领巾是少先队员的标志，它的大小、形状都有严格的规定：它是底角为30度的等腰三角形。红领巾的顶角是多少度？
27．（22-23四年级下·四川广元·期末）植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？
28．（22-23四年级下·河南周口·期中）一块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？这个三角形是一个什么三角形？
29．（22-23四年级下·河南周口·期中）植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带，这个三角形的周长是64米，底边长28米。这个等腰三角形绿化带的一条腰长是多少米？
30．（22-23四年级下·福建泉州·期中）王伯伯用同样长的两根铁丝分别做了一个等边三角形和一个长方形框架。长方形的大小如图所示，则等边三角形的边长是多少分米？
形状 等边三角形 长方形
大小 （单位：分米）
31．（23-24四年级下·广东韶关·期中）张爷爷用一根铁丝围成一个长为5.8厘米、宽为3.2厘米的长方形，现在张爷爷把它改成一个等边三角形，则等边三角形的边长是多少厘米？
32．（23-24四年级下·广东韶关·期中）已知一个等腰三角形的两条边分别长4厘米和9厘米，那么第三条边的长度是多少厘米？周长是多少厘米？
33．（23-24四年级下·河南信阳·期中）用一根绳子围成一个等腰三角形，底边长24厘米，腰长15厘米，如果用这根绳子围成一个等边三角形，等边三角形的边长是多少厘米？
34．（23-24四年级下·河北张家口·期中）用一根铁丝围成一个边长为20厘米的等边三角形，同样用这根铁丝还可以围成一个腰长是16厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的底边是多少厘米？
35．（23-24四年级下·广东珠海·期末）2024“珠海 ‘筝’有你的”香洲区第六届风筝会于5月1日～5月2日在香炉湾沙滩举行。各式风筝表演惊艳亮相。淘淘也参与了此次活动，他做了一个等腰三角形的风筝。
（1）如果风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长多少分米？
（2）如果这个风筝的一个内角是50°，那么它的另外两个内角分别是多少度？
