1、三角形的定义
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2、三角形的各部分的名称
三角形有3条边，3个顶点，3个角。
3、三角形的表示方法
为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高和底
定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。
三角形的特性：三角形具有稳定性。
1、三角形三边关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边。
（2）任意两边之差小于第三边。
2、两点间的距离
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
1、按角分：
2、按边分：
（1）等腰三角形
相等的两条边叫做三角形的腰。
两腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角也相等。
（2）等边三角形
等边三角形也叫做正三角形。
等边三角形3条边都相等。
等边三角形3个角也相等，都是60°。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
（3）不等边三角形
不等边三角形的三条边互不相等。
1、三角形的内角和
三角形的内角和是180°。
2、三角形内角和的应用
在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。
1、四边形的内角和
四边形的内角和是360°。
2、多边形的内角和
多边形的内角和＝(边数－2)×180°。
1.三角形的高和底是对应关系。
2.为三角形所作的高必须与所对的底边相交成直角。
3.只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。
4.当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。
5.判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。
6.两点间的距离是两点间的线段的长度，不是两点间的线段。
7.一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。
8.等腰三角形是按边分类的结果，锐角三角形是按角分类的结果，二者没有必然关联。
9.等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
10.一个三角形中最多有一个直角。
11. 任意一个三角形的内角和都是180°。
12.不管把四边形分成几个三角形，四边形的内角和总是360°。
【考点精讲一】（22-23四年级下·四川乐山·期末）已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，请计算下图中未知角的度数。
【答案】145°
【分析】根据题意，已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，即先求出等腰三角形的底角，用180°减去顶角度数再除以2，即（180°－110°）÷2＝70°÷2＝35°，观察上图，可以发现这个未知角和底角相加刚好是一个平角，根据平角等于180°，即用180°减去一个底角度数，即可求出未知角的度数。
【详解】底角度数：（180°－110°）÷2＝70°÷2＝35°
180°－35°＝145°
这个未知角度数为145°。
【考点精讲二】（22-23四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。
【答案】115°
【分析】
如图，这个图形的内角和相当于两个三角形的内角和，即这个四边形的内角和是360°，还有一个角是直角90°；则用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数； 据此解答。
【详解】180°×2＝360°
360°－40°－90°－115°
＝320°－90°－115°
＝230°－115°
＝115°
则图中未知角的度数是115°。
【考点精讲三】（23-24四年级下·山东济宁·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；据此画图即可。
【详解】
【考点精讲四】（23-24四年级下·河北沧州·期末）在如图的方格纸中分别画一个底是4cm，高是3cm的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（每格边长1cm）
【答案】画图见详解
【分析】三角形的底和高已知，再根据它们的定义：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；画出三角形即可。
【详解】画图如下：
一、计算题
1．（23-24四年级下·四川德阳·期末）算一算。
【答案】60°
【分析】根据1平角＝180°，三角形的内角和是180°；
如图，结合题意，∠1和105°的角组成1个平角，则∠1＝180°－105°；又因为∠1＋∠2＋45°＝180°，则∠2＝180°－45°－∠1，据此解答。
【详解】180°－105°＝75°
180°－45°－75°
＝135°－75°
＝60°
则这个角为60°。
2．（22-23四年级下·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。
【答案】（1）64°
（2）120°
【分析】（1）三角形的内角和为180°。由题意得，三角形的两个内角分别是86°和30°，那么直接用180°减去两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。
（2）由图可知，三角形的两条边长度相等，那这个三角形为等腰三角形，等腰三角形的两个底角的度数相等。一个底角的度数为30°，那么另一个底角的度数也为30°，那么直接用180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。
【详解】（1）180°－30°－86°＝150°－86°＝64°
（2）180°－30°－30°＝150°－30°＝120°
3．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）求的度数。
【答案】
【分析】根据三角形内角和为，首先求出与相邻的角的度数，，再用平角减去这个角就是的度数。
【详解】
即的度数是。
4．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）求图中∠1、∠2的度数。
【答案】∠1＝55°；∠2＝105°
【分析】两个小三角形组成的是大的直角三角形，用180°－90°－35°即可求出∠1的度数。三角形内角和为180°，用180°－35°－40°即可求出∠2的度数。
【详解】∠1＝180°－90°－35°＝90°－35°＝55°
∠2＝180°－35°－40°＝145°－40°＝105°
则∠1＝55°，∠2＝105°。
5．（23-24四年级下·四川南充·期末）求出下图中未知角的度数。
【答案】135°
【分析】四边形的内角和等于360°，已知四边形中三个角的度数，用四边形的内角和减去已知的三个角可得剩下的角的度数。
【详解】360°－90°－65°－70°
＝270°－65°－70°
＝205°－70°
＝135°
即图中未知角的度数是135°。
6．（23-24四年级下·湖南怀化·期中）如图：在三角形中，求∠1的度数？
【答案】22°
【分析】根据三角形内角和是180°，把已知两个角的度数减去就是∠1的度数。
【详解】180°－80°－78°＝100°－78°＝22°
所以∠1的度数是22°。
7．（22-23四年级下·河南周口·期中）求三角形中∠1的度数。
【答案】60°；15°；38°
【分析】三角形内角和为180°，据此解答。
（1）已知两个角分别为58°，62°，求第三个角，用减法计算；
（2）已知两个角分别为150°，15°，求第三个角，用减法计算；
（3）已知两个角分别为90°，52°，求第三个角，用减法计算；
【详解】（1）∠1＝180°－58°－62°
＝180°－120°
＝60°
（2）∠1＝180°－150°－15°
＝30°－15°
＝15°
（3）∠1＝180°－90°－52°
＝90°－52°
＝38°
8．（23-24四年级下·贵州铜仁·期末）计算下面三角形中未知角的度数。
【答案】40°
【分析】三角形的内角和为180°，观察图发现已知一个角为77°，一个为63°，用180°减去77°再减去63°，即可求出未知角的度数。
【详解】180°－77°－63°
＝103°－63°
＝40°
所以未知角的度数为40°。
9．（23-24四年级下·河南濮阳·期末）下图是由一副三角尺拼成的，求的度数。
【答案】105°
【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。图中∠1与一个45°角、一个30°角在同一个三角形内，根据三角形的内角和是180°，用180°减去45°再减去30°即可求解。
【详解】180°－45°－30°
＝135°－30°
＝105°
∠1的度数为105°。
10．（23-24四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。
【答案】125°
【分析】根据平角是180°，所以用180°减去125°即可求出∠3的度数；根据图示可知，∠1和∠2都是直角；然后根据四边形的内角和是360°，用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数；如图。
【详解】∠3的度数：
∠4的度数：
未知角的度数是125°。
11．（23-24四年级下·河南商丘·期末）求下面图形中未知角的度数。
【答案】∠1＝45°；∠2＝33°；∠3＝75°
【分析】（1）据三角形的内角和等于180°，用180°－53°－82°，即为∠1；
（2）平角是180°，用180°－72°，求出这个钝角的度数，再根据三角形的内角和等于180°，180°减去（钝角的度数＋39°），即为∠2的度数；
（3）平角是180°，用180°－165°，求出这个锐角的度数，又因为是直角三角形，再用90°－这个锐角的度数即为∠3。
【详解】∠1＝180°－53°－82°＝45°
∠2＝180°－（180°－72°＋39°）
＝180°－147°
＝33°
∠3＝90°－（180°－165°）
＝90°－15°
＝75°
12．（23-24四年级下·河南南阳·期末）求下面图形中未知角的度数。
【答案】105°；105°
【分析】平角是180°，三角形的内角和等于180°，用180°减去60°再减去45°即为剩余角的度数，三角形剩余角的度数与所求的求组成平角，用180°减去三角形剩余角的度数即为所求。
四边形的内角和减去已知的三个角，即为剩余角的度数，剩余角的度数与所求的求组成平角，用180°减去剩余角的度数即为所求。
【详解】180°－60°－45°
＝120°－45°
＝75°
180°－75°＝105°
图一的未知角是105°。
（4－2）×180°
＝2×180°
＝360°
360°－110°－95°－80°
＝250°－95°－80°
＝155°－80°
＝75°
180°－75°＝105°
图二的未知角是105°。
13．（23-24四年级下·辽宁鞍山·期末）图中，已知∠1＝40°，∠4＝65°，则∠2＝？，∠3＝？
【答案】∠2＝115°；∠3＝25°
【分析】观察上图可知，∠2与∠4组成一个平角，所以180°减∠4等于∠2；三角形内角和等于180°，所以180°减去∠1和∠2的度数和等于∠3的度数，据此即可解答。
【详解】∠2＝180°－65°＝115°
∠3＝180°－（115°＋40°）＝180°－155°＝25°
14．（22-23四年级下·广东汕头·期末）求下图中未知角的度数。
【答案】30°；67°
【分析】三角形的内角和是180°，直角的度数是90°，据此分析。
【详解】（1）
根据图可知，∠1是90°
所以
根据图可知，∠2和∠4合起来是90°
所以；
（2）
15．（23-24四年级下·湖北黄冈·期末）计算∠1、∠2的度数。
【答案】∠1＝72°；∠2＝35°
【分析】三角形的内角和是180°。
第1个图，是一个等腰三角形，顶角是36°，用180°减36°即可求出两个底角的度数和，而等腰三角形的两个底角相等，所以再用这个和除以2即可求出∠1的度数。
第2个图，1平角＝180°，用180°减65°即可求出这个三角形中钝角的度数，再用180°减30°，再减这个钝角的度数，即可求出∠2的度数。
【详解】（180°－36°）÷2
＝144°÷2
＝72°
∠1＝72°
180°－65°＝115°
180°－30°－115°
＝150°－115°
＝35°
∠2＝35°
16．（23-24四年级下·江西宜春·期末）计算角的度数。
【答案】45°
【分析】根据三角形的内角和是180°，用180°－65°－40°求得最大三角形另一个角的度数，再减去30°即为所求角的度数。
【详解】180°－65°－40°－30°
＝115°－40°－30°
＝75°－30°
＝45°
17．（23-24四年级下·新疆巴音郭楞·期末）计算图中未知角的度数。
【答案】30°
【分析】根据三角形的内角和是180°，用内角和减去已知角的度数，用减法计算。
【详解】180°－69°－81°
＝111°－81°
＝30°
18．（23-24四年级下·山东菏泽·期末）如图，求∠1的度数。
【答案】30°
【分析】由图可知，55°和三角形的钝角组成了一个平角，先用180°－55°计算出钝角的度数，然后根据三角形的内角和为180度，所以用180°减25°再减钝角的度数，则可求出∠1的度数。
【详解】180°－55°＝125°
180°－25°－125°
＝155°－125°
＝30°
∠1的度数为30°。
19．（23-24四年级下·山东济南·期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝125°。求∠6的度数。
【答案】70°
【分析】三角形的内角和为180°。∠2、∠4、∠5是一个三角形的三个内角，那么∠2＋∠4＋∠5＝180°且∠5＝125°，可以用减法算出∠2＋∠4的和。同时，外面的三角形内角和也为180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠6＝180°。其中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，将其代入并化简即可得到∠6的度数。
【详解】∠2＋∠4＋∠5＝180°
∠2＋∠4＝180°－∠5＝180°－125°＝55°
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠6＝180°
∠2＋∠2＋∠4＋∠4＋∠6＝180°
∠2＋∠4＋∠2＋∠4＋∠6＝180°
（∠2＋∠4）＋（∠2＋∠4）＋∠6＝180°
55°＋55°＋∠6＝180°
∠6＝180°－55°－55°＝125°－55°＝70°
∠6的度数为70°。
20．（22-23四年级下·湖北武汉·期末）按要求计算，并写出计算过程。
∠2＝________ ∠1＋∠2＝_________
【答案】55°；240°
【分析】
如图： ∠1和120°的角拼成一个平角，平角＝180°，则∠1＝180°－120°。三角形内角和等于180°，180°减去∠1的度数，再减去65°，即可算出∠2的度数；
如图：三角形内角和等于180°，则∠3＋∠4＝180°－60°。四边形的内角和是360°，则∠1＋∠2＝360°－（∠3＋∠4）＝360°－（180°－60°）。
【详解】∠2＝180°－65°－（180°－120°）
＝180°－65°－60°
＝115°－60°
＝55°
∠1＋∠2＝360°－（180°－60°）
＝360°－120°
＝240°
21．（22-23四年级下·湖南湘西·期末）求下面等腰三角形ABC中∠1、∠2、∠3的度数。
【答案】∠1＝70°
∠2＝110°
∠3＝50°
【分析】三角形的内角和是180°；平角是180°的角；直角三角形是有一个角是直角的三角形；据此解答。
【详解】因为三角形ABC是等腰三角形，所以∠A＝∠C＝20°；
在直角三角形ABD中，
∠1＝180°－90°－∠A
＝180°－90°－20°
＝90°－20°
＝70°
因为∠1与∠2组成平角，
所以∠2＝180°－∠1
＝180°－70°
＝110°
在三角形BDC中，
∠3＝180°－∠C－∠2
＝180°－20°－110°
＝160°－110°
＝50°
22．（22-23四年级下·湖南衡阳·期末）分别计算下面每个三角形中未知角的度数。
【答案】38°；15°
【分析】根据三角形的内角和等于180°，第一个三角形为直角三角形，已知一个角的度数为52°，另一个角为直角，用180°减去这两个数，即可得到正确答案；第二个三角形为钝角三角形，且已知另外两个角的度数，用180°减去这两个数，即可解答此题。
【详解】180°－90°－52°
＝90°－52°
＝38°
180°－50°－115°
＝130°－115°
＝15°
23．（22-23四年级下·湖南怀化·期末）图形计算。
如图：已知∠1＝35°，∠2＝55°，∠3＝60°，求∠4、∠5、∠6的度数。
【答案】∠4＝65°；∠5＝115°；∠6＝30°
【分析】三角形的内角和是180°。
（1）∠2、∠3和∠4组成了一个三角形，所以∠4＝180°－∠2－∠3。
（2）∠5和∠4组成了一个平角，1平角＝180°，所以∠5＝180°－∠4。
（3）∠1、∠5和∠6组成了一个三角形，所以∠6＝180°－∠1－∠5，据此解答。
【详解】∠4＝180°－∠2－∠3
＝180°－55°－60°
＝125°－60°
＝65°
∠5＝180°－∠4＝180°－65°＝115°
∠6＝180°－∠1－∠5
＝180°－35°－115°
＝145°－115°
＝30°
答：∠4的度数是65°，∠5的度数是115°，∠6的度数是30°。
24．（22-23四年级下·山东济南·期末）计算下面各角的度数。
【答案】（1）∠3是120°
（2）∠1是33°
【分析】为便于描述，标记∠3相邻角为∠2；53°角相邻角为∠4，如下图：
（1）三角形的内角和是180°，所以可列式计算∠2为：（180°－50°－70°）；∠3与∠2构成平角，平角为180°角，所以用180°减去∠2即可得到∠3的度数，据此计算即可；
（2）图中标记53°角与∠4构成平角，所以∠4＝180°－53°；再根据三角形的内角和是180°，即可列式计算∠1＝180°－20°－∠4，据此计算即可。
【详解】（1）180°－（180°－50°－70°）
＝180°－（130°－70°）
＝180°－60°
＝120°
所以∠3是120°。
（2）180°－20°－（180°－53°）
＝180°－20°－127°
＝160°－127°
＝33°
所以∠1是33°。
25．（19-20四年级下·浙江宁波·期末）三角形ABC是一个直角三角形，计算图中∠1、∠2、∠3的度数。
【答案】∠1＝20°，∠2＝30°，∠3＝130°
【分析】由图中可知：因为三角形ABC是一个直角三角形，先根据三角形内角和180°算出∠BAC中左边角的度数，又因为∠BAC是直角，所以∠BAC＝90°，据此可以算出∠2＝90°－∠B；∠3和50°的角组成了180°的平角，因此可以算出∠3的度数。据此解答。
【详解】180°－60°－50°＝70°
∠1＝90°－70°＝20°
∠2＝90°－60°＝30°
∠3＝180°－50°＝130°
【点睛】本题考查三角形的内角和，应熟练掌握并灵活运用。
26．（22-23四年级下·广东广州·期末）求下面各未知角的度数。
【答案】；；；
【分析】（1）三角形的内角和是，已知三角形其中两个角的度数，求的度数，用减去已知的两个角的度数即可。
（2）从题图中可知，与构成了一个平角，所以。而可根据三角形内角和是求出。
（3）本题根据四边形的内角和是和平角是进行求解。
【详解】（1）
（2）
（3）
27．（22-23四年级下·广东广州·期末）求下面各角的度数。
【答案】∠1＝45°，∠2＝100°；∠1＝36°
【分析】（1）如下图，∠2等于180°减80°，∠3等于180°减80°；三角形内角和等于180°，∠1等于180°减35°，再减∠3；
（2）三角形内角和等于180°，直角三角形的直角等于90°∠1等于180°减90°，再减54°。
【详解】（1）∠2＝180°－80°＝100°
∠3＝180°－80°＝100°
∠1＝180°－35°－100°
＝145°－100°
＝45°
（2）∠1＝180°－90°－54°
＝90°－54°
＝36°
28．（22-23四年级下·广东广州·期末）求下列各角的度数。
∠C＝ ∠B＝ ∠A＝
【答案】15°；40°；50°；
【分析】三角形的内角和是180°，三角形中的直角为90°，等腰三角形两底角相等，因此用三角形的内角和度数减其中一个角的度数后，再减另一个角的度数，即可得到所求的角的度数。
【详解】①∠C＝180°－20°－145°＝160°－145°＝15°；
②∠B＝180°－90°－50°＝90°－50°＝40°；
③∠A＝180°－65°×2＝180°－130°＝50°。
29．（22-23四年级下·广东广州·期末）计算下面未知角的度数。
【答案】40°；65°
【分析】（1）三角形的内角和是180°，减去图中已知的75°和65°即可求解；
（2）平行四边形的内角和是360°，减去已知的三个角即可求解未知角；
据此解决。
【详解】（1）180°－75°－65°
＝105°－65°
＝40°
（2）360°－115°－115°－65°
＝245°－115°－65°
＝130°－65°
＝65°
30．（22-23四年级下·广东广州·期末）求出图中未知角的度数。
【答案】；
【分析】（1）如图一个直角三角形，那么一个角是90度，另两个角的和是90度，用90度减去给出的一个角的度数就是所求的角的度数；
（2）根据三角形内角和度数是180度，减去所给的两个角的度数，就是所求角的度数，据此解答。
【详解】（1）
（2）
二、作图题
31．（23-24四年级下·四川德阳·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】把三角板的一条直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】
32．（22-23四年级下·四川乐山·期末）画一条线段把下面的梯形分为一个平行四边形和三角形，并画出平行四边形和三角形的高。
【答案】见详解
【分析】本题考查平行四边形与梯形的认识，关键掌握高的画法，高要用虚线。
根据平行四边形的定义可知平行四边形的对边平行且相等。只有一组对边平行的四边形是梯形，将梯形的上底中截出一个下底的长度即可画出平行四边形；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号。
【详解】根据分析作图如下：
（画法不唯一）
33．（23-24四年级下·陕西商洛·期末）画一画，算一算。
（1）画一画：分别画出下面各三角形中指定底边上的高。
（2）算一算：分别算出下面各三角形中未知角的度数。
【答案】（1）见详解
（2）52°；125°
【分析】（1）从三角形一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
（2）三角形内角和是180°，，180°减去38°再减去90°，即可算出未知角的度数。，180°减去25°，再减去30°，即可算出未知角的度数。
【详解】（1）
（2）
180°－38°－90°
＝142°－90°
＝52°
180°－25°－30°
＝155°－30°
＝125°
34．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）如图，将四边形沿虚线剪去一个角，求剩下图形的内角和。画一画，算一算。
【答案】画图见详解；540°
【分析】四边形去掉一个角就变成了五边形，想要求五边形的内角和，只需要把五边形分割成三角形，方法是从五边形的一个顶点分别和与它不相邻的所有顶点连接起来，分成多少个三角形，就有多少个180°。据此解答。
【详解】
如图，可以分割成3个三角形，那么剩下五边形的内角和为180°×3＝540°。
35．（23-24四年级下·广东珠海·期末）在方格图中以AB为其中一条边，画一个等腰直角三角形，并且标出它的一组底和高。
【答案】见详解
【分析】因为是等腰直角三角形，所以直角是顶角，并且两个腰相等，由此画出这个等腰三角形，直角三角形的两条直角边可以相当于它的底和高，据此画出底和高即可。
【详解】作图如下：
（画法不唯一）
36．（23-24四年级下·广东珠海·期末）画出三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高。注意高用虚线，要标出垂足。
【详解】据分析作图如下：
37．（23-24四年级下·湖北恩施·期末）画出下面三角形中底边上的高。
【答案】见详解
【分析】 画三角形对应边上的高 首先找到三角形指定的底所对应的顶点，从这个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形指定底边上的高。
【详解】
38．（23-24四年级下·青海果洛·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。
【详解】
39．（23-24四年级下·广东阳江·期末）画出下面每个三角形指定底边上的高。
【答案】图见详解
【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。用三角尺的直角板即可画出三角形的高。
【详解】如图：
40．（23-24四年级下·北京石景山·期末）画出三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】把直角三角尺的直角边与三角形的底重合，使得三角形的顶点在三角尺的另一条直角边上，固定直角三角尺，沿着这条直角边，过顶点向底边画线段，即为底边的高。
【详解】
41．（23-24四年级下·河北保定·期末）分别画出下面图形底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。
【详解】
（梯形和平行四边形的高的画法不唯一）
42．（23-24四年级下·广东江门·期末）画出下面三角形底边上的高。
【答案】见详解
【分析】过三角形指定底的对角顶点向指定底作垂线，顶点与垂足间的线段，就是三角形指定底边上的高。用三角板直角边即可画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）。注意作高通常用虚线，并标出垂足。
【详解】据分析作图如下：
43．（23-24四年级下·广东江门·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，首先找到顶点和对应的边在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点，据此解答即可。
【详解】如图：
44．（23-24四年级下·广东珠海·期末）画出如图三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，据此解答即可。
【详解】
45．（23-24四年级下·广东茂名·期末）分别画出下面各三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。
【详解】
46．（23-24四年级下·广东中山·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。
【详解】
47．（23-24四年级下·河北廊坊·期末）画出三角形（如图）指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；据此画图即可。
【详解】
48．（23-24四年级下·河北邢台·期末）画出每个三角形底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。
【详解】如图：
49．（23-24四年级下·河北保定·期末）画出下面图形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；
在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高；
梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。依此画图。
【详解】画图如下：
（平行四边形、梯形高不唯一）
50．（23-24四年级下·河北保定·期末）画出如图三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】根据三角形高的画法，即从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。如此即可得出答案。
【详解】1、三角形的定义
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2、三角形的各部分的名称
三角形有3条边，3个顶点，3个角。
3、三角形的表示方法
为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高和底
定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。
三角形的特性：三角形具有稳定性。
1、三角形三边关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边。
（2）任意两边之差小于第三边。
2、两点间的距离
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
1、按角分：
2、按边分：
（1）等腰三角形
相等的两条边叫做三角形的腰。
两腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的两个底角也相等。
（2）等边三角形
等边三角形也叫做正三角形。
等边三角形3条边都相等。
等边三角形3个角也相等，都是60°。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
（3）不等边三角形
不等边三角形的三条边互不相等。
1、三角形的内角和
三角形的内角和是180°。
2、三角形内角和的应用
在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。
1、四边形的内角和
四边形的内角和是360°。
2、多边形的内角和
多边形的内角和＝(边数－2)×180°。
1.三角形的高和底是对应关系。
2.为三角形所作的高必须与所对的底边相交成直角。
3.只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。
4.当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。
5.判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。
6.两点间的距离是两点间的线段的长度，不是两点间的线段。
7.一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。
8.等腰三角形是按边分类的结果，锐角三角形是按角分类的结果，二者没有必然关联。
9.等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
10.一个三角形中最多有一个直角。
11. 任意一个三角形的内角和都是180°。
12.不管把四边形分成几个三角形，四边形的内角和总是360°。
【考点精讲一】（22-23四年级下·四川乐山·期末）已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，请计算下图中未知角的度数。
【答案】145°
【分析】根据题意，已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，即先求出等腰三角形的底角，用180°减去顶角度数再除以2，即（180°－110°）÷2＝70°÷2＝35°，观察上图，可以发现这个未知角和底角相加刚好是一个平角，根据平角等于180°，即用180°减去一个底角度数，即可求出未知角的度数。
【详解】底角度数：（180°－110°）÷2＝70°÷2＝35°
180°－35°＝145°
这个未知角度数为145°。
【考点精讲二】（22-23四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。
【答案】115°
【分析】
如图，这个图形的内角和相当于两个三角形的内角和，即这个四边形的内角和是360°，还有一个角是直角90°；则用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数； 据此解答。
【详解】180°×2＝360°
360°－40°－90°－115°
＝320°－90°－115°
＝230°－115°
＝115°
则图中未知角的度数是115°。
【考点精讲三】（23-24四年级下·山东济宁·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
【答案】见详解
【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；据此画图即可。
【详解】
【考点精讲四】（23-24四年级下·河北沧州·期末）在如图的方格纸中分别画一个底是4cm，高是3cm的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（每格边长1cm）
【答案】画图见详解
【分析】三角形的底和高已知，再根据它们的定义：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；画出三角形即可。
【详解】画图如下：
一、计算题
1．（23-24四年级下·四川德阳·期末）算一算。
2．（22-23四年级下·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。
3．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）求的度数。
4．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）求图中∠1、∠2的度数。
5．（23-24四年级下·四川南充·期末）求出下图中未知角的度数。
6．（23-24四年级下·湖南怀化·期中）如图：在三角形中，求∠1的度数？
7．（22-23四年级下·河南周口·期中）求三角形中∠1的度数。
8．（23-24四年级下·贵州铜仁·期末）计算下面三角形中未知角的度数。
9．（23-24四年级下·河南濮阳·期末）下图是由一副三角尺拼成的，求的度数。
10．（23-24四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。
11．（23-24四年级下·河南商丘·期末）求下面图形中未知角的度数。
12．（23-24四年级下·河南南阳·期末）求下面图形中未知角的度数。
13．（23-24四年级下·辽宁鞍山·期末）图中，已知∠1＝40°，∠4＝65°，则∠2＝？，∠3＝？
14．（22-23四年级下·广东汕头·期末）求下图中未知角的度数。
15．（23-24四年级下·湖北黄冈·期末）计算∠1、∠2的度数。
16．（23-24四年级下·江西宜春·期末）计算角的度数。
17．（23-24四年级下·新疆巴音郭楞·期末）计算图中未知角的度数。
18．（23-24四年级下·山东菏泽·期末）如图，求∠1的度数。
19．（23-24四年级下·山东济南·期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝125°。求∠6的度数。
20．（22-23四年级下·湖北武汉·期末）按要求计算，并写出计算过程。
∠2＝________ ∠1＋∠2＝_________
21．（22-23四年级下·湖南湘西·期末）求下面等腰三角形ABC中∠1、∠2、∠3的度数。
22．（22-23四年级下·湖南衡阳·期末）分别计算下面每个三角形中未知角的度数。
23．（22-23四年级下·湖南怀化·期末）图形计算。
如图：已知∠1＝35°，∠2＝55°，∠3＝60°，求∠4、∠5、∠6的度数。
24．（22-23四年级下·山东济南·期末）计算下面各角的度数。
25．（19-20四年级下·浙江宁波·期末）三角形ABC是一个直角三角形，计算图中∠1、∠2、∠3的度数。
26．（22-23四年级下·广东广州·期末）求下面各未知角的度数。
27．（22-23四年级下·广东广州·期末）求下面各角的度数。
28．（22-23四年级下·广东广州·期末）求下列各角的度数。
∠C＝ ∠B＝ ∠A＝
29．（22-23四年级下·广东广州·期末）计算下面未知角的度数。
30．（22-23四年级下·广东广州·期末）求出图中未知角的度数。
31．（23-24四年级下·四川德阳·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
32．（22-23四年级下·四川乐山·期末）画一条线段把下面的梯形分为一个平行四边形和三角形，并画出平行四边形和三角形的高。
33．（23-24四年级下·陕西商洛·期末）画一画，算一算。
（1）画一画：分别画出下面各三角形中指定底边上的高。
（2）算一算：分别算出下面各三角形中未知角的度数。
34．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）如图，将四边形沿虚线剪去一个角，求剩下图形的内角和。画一画，算一算。
35．（23-24四年级下·广东珠海·期末）在方格图中以AB为其中一条边，画一个等腰直角三角形，并且标出它的一组底和高。
36．（23-24四年级下·广东珠海·期末）画出三角形指定底边上的高。
37．（23-24四年级下·湖北恩施·期末）画出下面三角形中底边上的高。
38．（23-24四年级下·青海果洛·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
39．（23-24四年级下·广东阳江·期末）画出下面每个三角形指定底边上的高。
40．（23-24四年级下·北京石景山·期末）画出三角形指定底边上的高。
41．（23-24四年级下·河北保定·期末）分别画出下面图形底边上的高。
42．（23-24四年级下·广东江门·期末）画出下面三角形底边上的高。
43．（23-24四年级下·广东江门·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
44．（23-24四年级下·广东珠海·期末）画出如图三角形指定底边上的高。
45．（23-24四年级下·广东茂名·期末）分别画出下面各三角形指定底边上的高。
46．（23-24四年级下·广东中山·期末）画出下面三角形指定底边上的高。
47．（23-24四年级下·河北廊坊·期末）画出三角形（如图）指定底边上的高。
48．（23-24四年级下·河北邢台·期末）画出每个三角形底边上的高。
49．（23-24四年级下·河北保定·期末）画出下面图形指定底边上的高。
50．（23-24四年级下·河北保定·期末）画出如图三角形指定底边上的高。
