1、鸽巢问题（抽屉原理）
“鸽巢原理”（一）：把m个物体任意放进n个鸽巢里（m＞n，n是自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
“鸽巢原理”（二）：把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。
2、应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题
（1）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n＋1个物品。
（2）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了（k＋1）（k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn＋1)个物品。
（3）（分放的物体总数－1）÷（其中一个鸽笼里至少有的物体个数－1）＝a……b（b＜a），a就是所求的鸽笼数。
3、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法：
（1）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
（2）设计“鸽巢”的具体形式。
（3）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。
4、应用“鸽巢原理”解决实际问题的一般步骤：
（1）构造“鸽巢”,建立“数学模型”；
（2）把物体放入“鸽巢”,进行比较分析；
（3）说明理由,得出结论。
1. 解决“把m个物体任意分放进n个抽屉中（m＞n，m，n是非零自然数），求总有一个抽屉里至少放几个物体”的问题时，要用m除以n的商加1，而不是用商加余数。
2. 已知抽屉数量和分的结果，求待分物数量，待分物数量=抽屉数量+1。
【考点精讲一】（24-25·江苏南京）一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？
【答案】9个
【分析】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答得出结论。最坏的结果是每种球都摸出4个，那么摸了4＋4＝8（个），再摸一个，就能得到5个颜色相同的球，从而得出问题的答案。
【详解】4＋4＋1＝9（个）
答：一次最少摸出9个球，才能保证有5个颜色相同的球。
【考点精讲二】（2023·四川成都·小升初真题）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
【答案】2个
【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期
日期＋月份的总数一共有（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。
【详解】答案的数量：（个）
日期＋月份的总数一共有：（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，月份至少为，而
11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。
答：该班至少有2个同学生日相同。
【考点精讲三】（2024六年级下·全国·专题练习）一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？
【答案】28次
【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。
【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次）
答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。
一、解答题
1．5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
【答案】见详解
【分析】5只鸽子飞进了3个鸽笼，可以通过把5分解成3个数来说明理由。
【详解】分解法：
把5分解成3个数，共有4种情况，在任何一种情况中，总有一个数大于等于2，所以5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
2．某次投篮比赛，5名队员共投进33个球，一定有一名队员至少投进了多少个球？
【答案】7个
【分析】将此问题看作鸽巢问题。5名队员相当于5个鸽巢，33个进球相当于33只鸽子，将33个进球平均分配给5名队员，每名队员进6个球，还剩3个进球，剩余的3个进球无论分给哪名队员，总会有一名队员至少进7个球。
【详解】33÷5＝6（个） 3（个）
6＋1＝7（个）
答：一定有一名队员至少投进了7个球。
【点睛】本题考查了抽屉原理，能根据题意正确列式是解题关键。
3．把20个西瓜放进9个筐里，无论怎么放，总有一个筐里至少放了3个西瓜，为什么？
【答案】见详解
【分析】把20个西瓜看作被分放物体，9个筐看作抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】20÷9＝2（个）……2（个）
2＋1＝3（个）
答：把20个西瓜放进9个筐里，无论怎么放，总有一个筐里至少放了3个西瓜。
【点睛】本题主要考查应用抽屉原理解决实际问题，准确找出抽屉数和被分放物体数是解答题目的关键。
4．把11支圆珠笔发给5名同学，不管怎么发，总有一名同学至少发到3支圆珠笔。为什么？
【答案】3支；原因见详解
【分析】把五名同学看作5个抽屉，把11支圆珠笔看作11个元素，从最不利情况考虑，要使每名同学的支数最少，只有使每个抽屉的元素数尽量平均即可。
【详解】11÷5＝2（支）……1（支）
2＋1＝3（支）
所以总有一名同学至少发到3支。
【点睛】本题考查利用抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是从最差情况考虑。
5．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？
【答案】10只
【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。
【详解】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只）
答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。
【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
6．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书，根据自己的喜好有买一本的，两本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？
【答案】8名
【分析】如果买一本的有3种买法，如果买两本的有3种买法，如果买三本的有1种买法，共有3＋3＋1＝7（种）买法，看作7个抽屉，每个抽屉里有1个人，共需要7人，那么再有1个人，就能满足一定有两名同学买到相同的书。
【详解】3＋3＋1＝7（种）
7＋1＝8（名）
答：至少要去8名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书。
【点睛】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数，再从最差情况考虑即可。
7．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？
【答案】44名
【分析】从最不利的情况考虑：只有一名学生拿到了4个小礼物，其他学生每人拿到了3个小礼物，那么小礼物的总个数减1刚好是3的倍数，此时学生的总人数＝（礼物总个数－1）÷3，据此解答。
【详解】（133－1）÷3
＝132÷3
＝44（名）
答：李老师班里最多有44名学生。
【点睛】本题主要考查鸽巢原理的应用，从最不利情况考虑问题是解答题目的关键。
8．某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？
【答案】4箱
【分析】每箱装的个数在110～138个，从最不利的情况考虑，最多有138－110＋1＝29种装箱情况，把29种装箱情况看作29个抽屉，把92箱看作92个元素，那么每个抽屉需要放92÷29＝3（箱） 5（箱），所以每个抽屉放剩下的5箱，再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4箱，所以，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有4箱，据此解答。
【详解】根据分析可得，138－110＋1＝29（种）
92÷29＝3（箱） 5（箱）
3＋1＝4（箱）
答：箱子数最多的一组至少有4箱。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
9．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
【答案】见详解
【分析】典型的抽屉问题。将11只尽量平均分到4个鸽笼里面，每个笼子分到了2个鸽子，剩下3只鸽子，多出的3只鸽子至少有1只是飞到任意一个笼子里面的。
【详解】11÷4＝2（只）……3（只）
2＋1＝3（只）
故总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
10．小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。
【答案】见详解
【分析】把3人看作是3个抽屉，19块巧克力看做19个元素，考虑最差情况：把19块巧克力平均分配在3个抽屉中：19÷3＝6（块） 1（块），那么每个抽屉都有6块，那么剩下的1块，无论放到哪个抽屉都会出现7块在同一个抽屉里。
【详解】19÷3＝6（块） 1（块）
6＋1＝7（块）
答：所以一定有人至少拿到7块巧克力，那么此时其他两个人分得6块，所以不能保证一定有人拿到8块。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
11．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
【答案】5人
【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
【详解】52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
12．李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。
【答案】说法对；理由见详解
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体
【详解】13÷12＝1（份）……1（份）
1＋1＝2（份）
答：这种说法对。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
13．将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？
【答案】2个；4个
【分析】抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【详解】9－8＝1（个）
25÷8＝3（组）……1（个）
3＋1＝4（个）
答：将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果；将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了4个苹果。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
14．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？
【答案】17条
【分析】把4个品种看作四个抽屉，从最极端的情况进行分析：因为考虑到最坏的情况即捞了16条出现每种4条，捞了第17条一定出现一种鱼有5条。
【详解】4×4＋1
＝16＋1
＝17（条）
答：至少要捞出17条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此题的关键是从最极端的情况进行分析，根据抽屉原理，进行解答即可。
15．把15只鸽子放到4只鸽笼里，至少有几只鸽子放到同一只鸽笼里？
【答案】4只
【分析】根据题意，先将15只鸽子平均放到4只鸽笼里，每只鸽笼里放3只，还剩下3只，这3只鸽子，不管放到哪只鸽笼里，总有一只鸽笼至少有（3＋1）只鸽子。
【详解】15÷4＝3（只）……3（只）
3＋1＝4（只）
答：至少有4只鸽子放到同一只鸽笼里。
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
16．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
【答案】5个
【分析】根据最不利原理，先取4个球，红、黄、蓝、白各1个，则再取1个球无论是什么颜色，都能保证取到两个颜色相同的球。
【详解】4＋1＝5（个）
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
【点睛】根据抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键。
17．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？
【答案】见详解
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。
（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【详解】25÷4＝6（本）……1（本）
6＋1＝7（本）
答：总有一名同学至少发到7本书。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
18．一个箱子里有形状、大小完全相同的红、黄、蓝、绿色小球各10个，如果要保证一次取出的小球里至少有3个小球颜色相同，那么一次至少要取出多少个小球？
【答案】9个
【分析】从最差的情况考虑，因为红、黄、蓝、绿色小球各10个，共有4种颜色，至少有3个小球颜色相同，即相同颜色的小球各有2个，共4×2＝8（个），那么再取任何一个小球即可满足要求；据此解答。
【详解】由分析可知：
4×2＋1
＝8＋1
＝9（个）
答：那么一次至少要取出9个小球。
【点睛】本题考查抽屉原理，注意：要从最差的情况考虑。
19．育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？
【答案】37个
【分析】把18个班看作是18个抽屉，排球的总数看作元素，考虑最差情况：把这些元素平均分配在18个抽屉里，每个抽屉要有2个排球，然后还要保证剩下1个球，那么剩下的1个排球无论放到哪个抽屉都会出现3个排球在同一个抽屉里。也就是才能保证有一个班至少能分到3个排球。据此解答。
【详解】18×（3－1）＋1
＝18×2＋1
＝36＋1
＝37（个）
答：学校要买37个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球。
【点睛】此题属于抽屉原理的逆推，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
20．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？
【答案】5个
【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。
【详解】4＋1＝5（个）
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
21．给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？
【答案】见详解
【分析】将6个面看作6个物体，蓝、黄两种颜色看作2个抽屉，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体
【详解】6÷2＝3（个）
答：不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。
22．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
【答案】见详解
【分析】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。
【详解】据分析：
9÷4＝2（张）……1（张）
2＋1＝3（张）
答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。
23．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？
【答案】
33位
【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。
【详解】
（位）
答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。
24．盒子里装有数量足够多的大小、质地完全相同的红、黄、白三种颜色的玻璃球，每次摸出2个球。为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸多少次？
【答案】25次
【分析】根据题意，盒子里有红、黄、白三种颜色的玻璃球若干个，每次摸出2个球，可能会出现：红红、黄黄、白白、红白、红黄、黄白，共6种情况；
为了保证有5次摸出的结果相同，考虑运气最差的情况，即每种情况都摸出4次，此时只需再摸1次，就可保证5次找出的结果相同，据此解答。
【详解】6×4＋1
＝24＋1
＝25（次）
答：至少需要摸25次。
25．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？
【答案】2名
【分析】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。
【详解】7÷6＝1（组）……1（名）
1＋1＝2（名）
答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。
26．张叔叔参加了某宝到店付款赢奖励的活动，共获得12次抽奖机会，他不放弃每次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同的，你知道为什么吗？
6.66元 66元 神秘任务包
小惊喜 开始抽奖 16.66元
5.66元 48元 谢谢参与
【答案】抽奖的结果共8种，张叔叔共抽奖12次，假设先抽8次，分别抽中8种不同的结果，剩下4次无论抽中什么结果，总能保证至少有2次抽奖结果是相同的。
【分析】根据题意可知，假设抽了8次，每一次结果都不同，剩下4次机会，无论怎么抽，至少有2次的抽奖结果是相同的。
【详解】根据题意，抽奖的结果共8种，张叔叔共抽奖12次，假设先抽8次，分别抽中8种不同的结果，剩下4次无论抽中什么结果，总能保证至少有2次抽奖结果是相同的。
27．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？
晴 多云 阴 小雨 多云转晴
晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨
【答案】4天
【分析】根据题意可知，七月份有31天，一共出现了10种不同的天气，用31除以10，商为3，余数为1，所以再用3加上1，即可求出答案。
【详解】31÷10＝3（天）……1（天）
3＋1＝4（天）
答：该市至少有4天是同一种天气。
28．希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？
【答案】28人
【分析】根据题意可知，男、女生的人数比是3∶2，由此可知，男生人数大于女生人数；男、女生的人数比是3∶2，即男生和女生人数分成了3＋2＝5份，用六（1）班人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出男生人数，如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算，即全是男生，把男生全部选完了，再选一定是女生，所以用男生人数＋1，即可解答。
【详解】男、女生的人数比是3∶2，男生人数＞女生人数。
3＋2＝5（份）
男生：45÷5×3
＝9×3
＝27（人）
27＋1＝28（人）
答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。
29．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？
【答案】37个
【分析】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。
【详解】（4－1）×12＋1
＝3×12＋1
＝36＋1
＝37（个）
答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。
30．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
【答案】8名
【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。
【详解】抽屉：3＋3＋1＝7（个）
学生：7＋1＝8（名）
答：至少要去8名学生。
31．有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？
【答案】865张
【分析】从最不利的情况考虑，先把数量不足10张的1－9全部取完，再把剩下的数字都分别取了9张，最后再取1张就能确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同。
【详解】（1＋2＋3＋4＋…＋9）＋（110－10＋1）×9＋1
＝（1＋9）×9÷2＋（110－10＋1）×9＋1
＝10×9÷2＋91×9＋1
＝45＋819＋1
＝865（张）
答：至少要抽取865张卡片。
32．把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？
【答案】30人
【分析】要保证一个学生中至少有3本书，那么其他学生必须分满2本，从总数中拿出一本备用（用做最后改2本为3本），则（本数－1）÷（最多拿到的本数－1），所得商为学生数（无论是否有余数），据此解答。
【详解】（61－1）÷（3－1）
＝60÷2
＝30（人）
答：那么这个班最多有30人。
33．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王）
【答案】40张
【分析】“一定”是关键词，考虑运气最差的情况，54张牌中有四种花色的A到K，每种花色有13张，在运气最差的情况下，先将一种花色的牌全部摸完，再将一种花色的牌全部抽完，只有2张牌的点数是相同的，继续运气差，又摸了13张剩下的花色，又3张牌的点数是一样的，最后无论在剩下的花色种随意抽一张牌，正好可以保证4张牌的点数是相同的。
【详解】13＋13＋13＋1＝40（张）
答：至少抽40张，一定会有4张牌点数相同。
【点睛】这题最重要的是考虑最差的情况，最好的情况就是一下子4张正好是点数相同的牌，最差的情况是怎么样都摸不到相同的点数的牌。
34．6个人进行射击训练，共射中121环，必定有1个人至少射中21环，为什么？
【答案】见详解
【分析】把6个人看作6个抽屉，把121环看作121个元素，从最不利情况考虑，每人射击20环，共射击20×6＝120（环），剩下1环无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉是20＋1＝21（环），据此解答。
【详解】121÷6＝20（环）……1（环）
20＋1＝21（环）
答：因为如果每个人都射中不超过20环，那么6个人最多只能射中120环，但题目给出的总环数是121环，超过了120环，所以必定有1人至少射中21环。
35．为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？
【答案】204名
【分析】根据题意，学生参加社团的情况有：不参加社团的；只参加其中的一个社团的，有航模、科技、漫画3种；参加其中的两个社团的，有航模和科技、航模和漫画、科技和漫画3种。一共有1＋3＋3＝7种情况。把这7种情况看作7个抽屉，从最不利情况考虑，每个抽屉需要放30－1＝29（名）学生，共需要29×7＝203（名），再增加1个学生不论参加什么社团，总有一个抽屉的学生数量是29＋1＝30（名），所以至少有203＋1＝204（名）学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。
【详解】通过分析可得：
1＋3＋3＝7
（30－1）×7＋1
＝29×7＋1
＝203＋1
＝204（名）
答：至少有204名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。
36．把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？
【答案】见详解
【分析】考虑最不利原则，假设前13只小猴分得的花生各不相同，从1一直加到13为91粒，还剩下2只小猴子分13粒花生，不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。
【详解】假设前13只小猴分得的花生各不相同，共有：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13
＝（1＋13）×13÷2
＝14×13÷2
＝91（粒）
还剩下花生：104－91＝13（粒）
还有小猴：15－13＝2（只）
不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。
答：至少有2只小猴分得的花生一样多，因为前13只小猴分得的花生各不相同后，剩下的2只小猴不管怎么分剩下的13粒花生，分得的花生粒数都只能是1～12粒，这样至少有2只小猴分得的花生一样多。
【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。
37．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？
【答案】7名
【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。
【详解】38÷6＝6（名）……2（名）
6＋1＝7（名）
答：至少有7名学生的成绩相同。
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
38．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？
【答案】13根
【分析】把四种颜色看作个抽屉，12根筷子看作12个元素，从最不利情况考虑，假设每一次取出的根筷子颜色都不相同，这样的情况连续取3次，每种颜色的筷子各有3根，此时再任意取一根筷子一定有根筷子是同色的，据此解答。
【详解】
＝
＝13（根）
答：每次至少拿13根才能保证有根颜色一致的筷子。
【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关键。
39．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？
【答案】11个
【分析】把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。
【详解】（1＋9）×9÷2
＝10×9÷2
＝50÷2
＝45（个）
15－9＝6（个）
9＋1＋1
＝10＋1
＝11（个）
答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。
【点睛】解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。1、鸽巢问题（抽屉原理）
“鸽巢原理”（一）：把m个物体任意放进n个鸽巢里（m＞n，n是自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
“鸽巢原理”（二）：把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。
2、应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题
（1）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n＋1个物品。
（2）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了（k＋1）（k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn＋1)个物品。
（3）（分放的物体总数－1）÷（其中一个鸽笼里至少有的物体个数－1）＝a……b（b＜a），a就是所求的鸽笼数。
3、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法：
（1）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
（2）设计“鸽巢”的具体形式。
（3）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。
4、应用“鸽巢原理”解决实际问题的一般步骤：
（1）构造“鸽巢”,建立“数学模型”；
（2）把物体放入“鸽巢”,进行比较分析；
（3）说明理由,得出结论。
1. 解决“把m个物体任意分放进n个抽屉中（m＞n，m，n是非零自然数），求总有一个抽屉里至少放几个物体”的问题时，要用m除以n的商加1，而不是用商加余数。
2. 已知抽屉数量和分的结果，求待分物数量，待分物数量=抽屉数量+1。
【考点精讲一】（24-25·江苏南京）一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？
【答案】9个
【分析】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答得出结论。最坏的结果是每种球都摸出4个，那么摸了4＋4＝8（个），再摸一个，就能得到5个颜色相同的球，从而得出问题的答案。
【详解】4＋4＋1＝9（个）
答：一次最少摸出9个球，才能保证有5个颜色相同的球。
【考点精讲二】（2023·四川成都·小升初真题）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
【答案】2个
【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期
日期＋月份的总数一共有（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。
【详解】答案的数量：（个）
日期＋月份的总数一共有：（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，月份至少为，而
11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。
答：该班至少有2个同学生日相同。
【考点精讲三】（2024六年级下·全国·专题练习）一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？
【答案】28次
【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。
【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次）
答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。
一、解答题
1．5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
2．某次投篮比赛，5名队员共投进33个球，一定有一名队员至少投进了多少个球？
3．把20个西瓜放进9个筐里，无论怎么放，总有一个筐里至少放了3个西瓜，为什么？
4．把11支圆珠笔发给5名同学，不管怎么发，总有一名同学至少发到3支圆珠笔。为什么？
5．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？
6．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书，根据自己的喜好有买一本的，两本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？
7．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？
8．某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？
9．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
10．小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。
11．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
12．李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。
13．将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？
14．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？
15．把15只鸽子放到4只鸽笼里，至少有几只鸽子放到同一只鸽笼里？
16．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
17．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？
18．一个箱子里有形状、大小完全相同的红、黄、蓝、绿色小球各10个，如果要保证一次取出的小球里至少有3个小球颜色相同，那么一次至少要取出多少个小球？
19．育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？
20．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？
21．给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？
22．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
23．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？
24．盒子里装有数量足够多的大小、质地完全相同的红、黄、白三种颜色的玻璃球，每次摸出2个球。为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸多少次？
25．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？
26．张叔叔参加了某宝到店付款赢奖励的活动，共获得12次抽奖机会，他不放弃每次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同的，你知道为什么吗？
6.66元 66元 神秘任务包
小惊喜 开始抽奖 16.66元
5.66元 48元 谢谢参与
27．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？
晴 多云 阴 小雨 多云转晴
晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨
28．希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？
29．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？
30．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
31．有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？
32．把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？
33．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王）
34．6个人进行射击训练，共射中121环，必定有1个人至少射中21环，为什么？
35．为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？
36．把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？
37．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？
38．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？
39．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？
