专题 1 集合与常用逻辑用语
目录
题型 01 集合中元素表示 ....................................................................................................................................................1
题型 02 元素个数 ..............................................................................................................................................................2
题型 03 元素个数求参 ........................................................................................................................................................3
题型 04 子集关系求参 ........................................................................................................................................................4
题型 05 韦恩图 ....................................................................................................................................................................5
题型 06 交集运算求参 ........................................................................................................................................................6
题型 07 并集运算求参 ........................................................................................................................................................7
题型 08 补集运算求参 ........................................................................................................................................................8
题型 09 交并补混合运算 ....................................................................................................................................................9
题型 10 集合新定义 ..........................................................................................................................................................11
题型 11 全称与特称命题 ..................................................................................................................................................12
题型 12 充分不必要求参 ..................................................................................................................................................13
题型 13 必要不充分求参 ..................................................................................................................................................13
题型 14 古诗词辨析---五个单选 ......................................................................................................................................14
题型 15 集合形式压轴小题 ..............................................................................................................................................15
优先选取 2024 各地模拟试题...............................................................................................Error! Bookmark not defined.
题型 01 集合中元素表示
【解题规律·提分快招】
集合：
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
【典例1-1
（21-22 高一上·天津滨海新·阶段练习）设集合M
ì
= íx x
k
= ×180° + 45°, k Zü ，
2
N ì k ü= íx x = ×180° + 45°, k Z ，则两集合间的关系是（4 ）
A．M = N B．M N C． N M D．M N =
【典例 1-2】
（24-25 高三天津南开阶段练习）已知 a，b ，c，d ，e， f ， g ，h是在集合 -7, -5, -3,-2,2,4,6,13 中的
a + b + c + d 2 + e + f + g + h 2不同数，则 的最小值为 .
【变式1-1】
（24-25 2 2高三上·天津红桥·期中）集合 S = x | (x + a)(x + bx + c) = 0 ，T = x | (ax +1)(cx + bx +1) = 0 ，其中
a、b 、 c为实数，若 S 、 T 分别表示集合S 、T 的元素个数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若 T = 0，则 S =1 B．若 S =1，则 T =1
C．若 S = 2，则 T = 2 D．若 T = 3，则 S = 2
【变式 1-2】
2
（23-24 高三上·天津东丽·模拟）已知集合M = (x, y) (x + 3)2 + (y -1) = 0 ， N = {-3,1}，则M 与 N 的关系
是（ ）
A．M = N B．M N
C．M N D．M，N 无公共元素
【变式 1-3】
b
（22-23
ì ü 2
高三上·天津河西·期中）含有 3 个实数的集合既可表示成 ía, ,1a ，又可表示成 a ,a + b,0 ，则
a2022 + b2022 = ．
题型 02 元素个数
【解题规律·提分快招】
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
【典例 1-1】
（22-23 高三上·天津 津南·模拟）已知集合 A
ìx Z x +1 ü= 0 B = y | y = x2í ， +1, x A ，则集合 B 的含有
x - 3
元素1的子集个数为
A．5 B． 4 C．3 D． 2
【典例 1-2】
（2024·天津河东区模拟）已知集合 A = {1,2,4}，B = {(x, y∣) x A, y A, x - y A}，则集合 B 的元素个数
为 ．
【变式 1-1】
（23-24 高三上·天津一中滨海阶段练习）设集合 A = x N∣x2 -14x -15 < 0 , B = {x∣ x +1 Q}，则 A B 中
的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得集合 A，利用交集运算的概念求解 A B ，从而求解元素个数.
2
【详解】由题设， A = x N∣x -14x -15 < 0 = {x N∣-1< x <15}，
又B = x∣ x +1 Q ，则 AI B = {0,3,8}，故 A B 中的元素个数为 3.
故选：B
【变式 1-2】
ìa2
n
-1,a 0
（22-23 高三·天津蓟州·模拟）已知数列 an 满足： a nn+1 = í 2an ，对于任意实数 a1，集合
0, an = 0
n an 0, n N, n 1 的元素个数是（ ）
A．0 个 B．非零有限个
C．无穷多个 D．不确定，与 a1的取值有关
【变式 1-3】
（23-24 高一上·上海杨浦·阶段练习）设A 是集合 1, 2,3, 4,5,6,7 的子集，有且仅含有 3 个互不相邻的整数元
素，则满足条件的集合A 的个数为
题型 03 元素个数求参
【解题规律·提分快招】
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基
础知识的积累和应用。
【典例 1-1】
（23-24 2高三上·天津宁河·模拟）关于 x 的不等式 x - a +1 x + a < 0的解集中恰有 3 个整数，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A．[-3，-2)∪(4，5] B．[-3，-2]∪[4，5] C．(-3，-2]∪[4，5) D．(-3，-2)∪(4，5)
【典例 1-2】
（23-24高一上·天津静海·阶段练习） A = x | ax2 + 2x +1 = 0,a R, x R ，若A 中至多有一个元素，则 a = .
【变式 1-1】
1
（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和 S = 1- a n N* ，若 2 + bn = 3log 1 ann n ，3 4
且数列 cn 满足 cn = an × bn ，若集合 n cn > l,l R 中有三个元素，则实数 λ 的取值范围（ ）
é1 , 5 1 5ùA． ê ÷ B． , 2 8 è 2 8 ú
5 7 ù é5 7
C． , ú D． ê ,è 8 8 8 8 ÷
【变式 1-2】
（24-25 2高三上天津咸水沽一中阶段练习）若集合 A = x | mx + 2x + m = 0,m R 中有且只有一个元素，则m
值的集合是（ ）
A． -1 B． 0 C． -1,1 D． -1,0,1
【变式 1-3】
20-21 2（ 高一上·天津静海·阶段练习）若集合 A = (x, y) y = ax -1 ，集合B = (x, y) y = 3x - 3 ，若 A B 中
元素只有一个，则实数 a组成的集合为 .
题型 04 子集关系求参
【解题规律·提分快招】
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思
想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含 n 个元素的集合有 2n 个子集．
(2)含 n 个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含 n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含 n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有B A，则要讨论集合 B 是否是空集。
【典例 1-1】
（24-25 2高一上·天津红桥·期中）已知集合 A = x x - 5x -14 < 0 ，B = x a x 3a - 2 ，若 AI B = B，则
实数 a 的取值范围（ ）
A． a < 3 B．1 a < 3 C．1 a 3 D．1 < a < 3
【典例 1-2】
ì x ü
（24-25 高一上·天津滨海新·期中）已知集合 A = x x a 或 x a - 2 ，B = íx | 0x - 2 其中a R.若
A B = B，则实数 a的取值范围为 .
【变式 1-1】
ì x - 3 ü
（20-221 天津咸水沽·期中）若集合 A = íx 0 , B = x∣ax +1 0 ，若B A，则实数 a 的取值范围是
x +1
（ ）
ì
A． ía
1
- a <1ü ìa 1 ü B． - < a 1
3
í
3
1
C．{a∣a < -1或 a 0} D．{a∣- a <1且 a 0}
3
【变式 1-2】
（23-24 高三天津南开·阶段练习）已知集合 A = x 1 x < 5 ，B = x - a < x a + 4 ，若B AI B ，则 a
的取值范围为（ ）
A． a - 2 < a < -1 B． a a < -2
C． a a -1 D． a a > -2
【变式 1-3】
（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知集合 A = {x∣1 x < 7}, B = {x∣a < x 2a + 3}，若B A，则满足条件的 a
的取值范围为 ．
题型 05 韦恩图
【解题规律·提分快招】
韦恩图：
（1）表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
【典例 1-1】
（22-23 高三上天津河北·阶段练习）已知全集U =R ，集合 A= 1,2,3,4,5 ，B= x R x 3 ，图中阴影部分
所表示的集合为
A． 1,2 B． 4,5
C． 1,2,3 D． 3,4,5
【典例 1-2】
（23-24 高一上·天津武清区天河城实验中学模拟）某班共 42 人，其中 20 人喜爱篮球运动，25 人喜爱乒乓
球运动，12 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
【变式 1-1】
（22-23 天津和平区第二南开中学·专题练习）设全集 U＝R，集合 A＝ ≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图
中阴影部分表示的集合为( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}
【变式 1-2】
（24-25 高一上·天津外国语大学附属中学阶段练习）如图，U 为全集，M 、 P 、S 是U 的三个子集，则阴
影部分所表示的集合是（ ）
A． M P S B． M P S
C． M P U S D． M P U S
【变式 1-3】
（22-23 高一下·天津河西·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω 和事件A 和 B 其中
n W = 24,n A = 12,n B = 8,n A B = 16，则P AB = ；P AB = .
题型 06 交集运算求参
【解题规律·提分快招】
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B _A；
②A∩B B；
③A∩A＝A；
④A∩ ＝ ；
⑤A∩B=B∩A.
【典例 1-1】
（24-25 天津武清区模拟）设集合 A = x 2a < x < a + 2 ，B = x x < -3或 > 5}，若 AI B = ，则实数 a的
取值范围为（ ）
é 3
A． ê- , +
3
÷ B． - , +
3ù 3
C
2 ÷ ．
- , - D．
2 2ú
- , - ÷
è è è 2
【典例 1-2】
（21-22 2 2高一上·天津·期中）设U = R ，集合 A = x x - 3x + 2 = 0 ，B = x x - (m +1)x + m = 0 ，若
( U A) I B = ，则实数 m= .
【变式 1-1】
（2023 天津静海模拟）已知集合 A = 0,1, m ，B = x | 0 < x < 2 ，若 A B = 1, m ，则m 的取值范围是
A． 0,1 B． 1,2 C． 0,1 U 1,2 D． 0,2
【变式 1-2】
（23-24 高一上·天津滨海新·阶段练习）设集合 A = x a -1< x < a +1, x R , B = x 1< x < 5, x R ，则下列
选项中，满足 AI B = 的实数 a的取值范围是（ ）
A． a 0 a 6 B． a a 2，或 a 4
C． a a 0 D． a a 0，或 a 6
【变式 1-3】
（2023·天津河东·模拟）若集合 A = x y = x -1 ，B = x x - a 0 ，A B = A，则 a的取值范围是 ．
题型 07 并集运算求参
【解题规律·提分快招】
并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现 A∪B＝B，应转化为 A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意 A
＝ 的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B A B；
【典例 1-1】
（2021 天津和平第二南开中学）设常数 a∈R，集合 A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若 A∪B=R，
则 a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【典例 1-2】
（20-21 高一·天津西青区杨柳青中学）已知集合 S = x | x < -1或 x > 5 ，T = x | a < x < a + 8,a R ，且
S T = R，则实数 a的取值范围是
【变式 1-1】
（24-25 高一上·天津·阶段练习）设集合 A = x x -1 > 3 ，B = x 2x < a ，若 AU B = A，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． a a -4 B． a a -1 C． a a 1 D． a a 4
【变式 1-2】
（2024 天津咸水沽一中 ）已知集合 A = x x -2或 x >1 ，B = x 2a - 3 < x < a +1 .若 AU B = R ，则 a的取
值范围是（ ）
ì 1 ü ì
A． ía a B． ía 0
1 ü
< a
2 2
a a 0 ìa 1 a 1 üC． > D． í - <
2
【变式 1-3】
24-25 2（ 高一上·天津·阶段练习）设集合 A = x x -8x +15 = 0 ，B = x x + a = 0 .若 AU B = A，求实数 a的
取值集合是 .
题型 08 补集运算求参
【解题规律·提分快招】
全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 U.
补集
对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为
自然语言
集合 A 相对于全集 U 的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
图形语言
【典例 1-1】
A ì x, y | x 3 2 y 4 2 4ü , B ì x, y | x 3 2 y 4 2 36ü（2023 天津西青模拟）设集合 = í - + - = 5 = í - + - = ， 5
C = x, y | 2 x - 3 + y - 4 = l ，若 AU B IC ，则实数l 的取值范围是（ ）
é2 5 ù é6 5 ù é2 5 ù
A． ê , 2ú U ê ,6ú B．5 5 ê
,6ú
5
é2 5 ù é ù
C． ê , 2ú U 4,6 6 5D． 2 U ê ,6
5 5
ú
【典例 1-2】
（22-23 高一上·天津 102 中学·阶段练习）设m 为实数，集合 A = {x |1 x 4}，B = {x | m x m + 2}，若
R B U A = R ，则实数m 的取值范围为 ．
【变式 1-1】
（2024 天津军武城中学模拟）已知集合 A = x x < a ，B = x 1 x < 2 且 AU RB = R ，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． a a 1 B． a a <1 C． a a 2 D． a a > 2
【变式 1-2】
（24-25 高三天津静海模拟）已知集合 A = x | -2 x 10 ，B = x |1- m x 1+ m .若 B R A = ，则实数
m 的取值范围为（ ）
A．m 3 B．m 9 C．m 3或m 9 D．3 m 9
【变式 1-3】
2
（21-22 高一上·天津和平·期中）设集合 A = x x + ax + b > 0 ，集合B = x 2 x 3 ，若 R A = B ，则
a + b = ．
题型 09 交并补混合运算
【解题规律·提分快招】
全集与补集运算的性质：
(1) U ( U A) = A
(2) UU =
(3) U = U
(4) AI ( U A) =
(5) AU ( U A) = U
(6) U (AI B) = ( U A) U ( U B)
(7) U (AU B) = ( U A) I ( U B)
【典例 1-1】
（23-24 高三·天津南开区模拟）已知 x 表示不超过 x 的最大整数，集合 A = x Z 0 < x < 3 ，
B = x x2 + ax x2 + 2x + b = 0 ，且 A R B = ，则集合 B 的子集个数为（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
【典例 1-2】
（23-24 高一上·天津津南区阶段练习）定义集合P = {x | a x b}的“长度”是b - a，其中 a，b R．已如集
1
合M = {x | m x m + }，N = {x | n
3
- x n}，且 M2 5 ，N 都是集合
{x |1 x 2}的子集，则集合M N 的“长度”
m 6 3的最小值是 ；若 = ，集合M N 的“长度”大于 ，则 n 的取值范围是 .
5 5
【变式 1-1】
（2023·天津北辰阶段练习）从集合U = {1,2,3,4}的非空子集中随机取出两个不同的集合 A，B ，则在 A B = U
的条件下， A B 恰有1个元素的概率为（ ）
8 16 32 2
A． B． C． D79 ．39 39 5
【变式 1-2】
（24-25 高三天津武清·阶段练习）已知[ ]表示不超过 x 的最大整数，集合 A = {x Z | 0 < x < 3}，
B = {x | x2 + ax x2 + 2x + b = 0}，且 A R B = ，则满足条件的集合 B 共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-3】
2 2 2
（20-21 高一上·天津和平·阶段练习）设整数集 A = a1,a2 ,a3 ,a4 ，B = a1 ,a2 ,a4 ，且 a1 < a2 < a3 < a4，若
A B = a2 ,a3 ，满足 a1 + a3 = 0， AU B 的所有元素之和为90，求a3 + a4 = ；
题型 10 集合新定义
【解题规律·提分快招】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，
有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们
考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
【典例 1-1】
21-22 高三上·天津津衡高中·阶段练习）已知集合 A = x1, x2 , x3 , x4 且 x1 < x2 < x3 < x4 ，定义集合
B = x x =| xi - x∣j , xi 、x j A, i、j =1、2、3、4 ，若 B = A，给出下列说法：① x1 + x4 = x2 + x3 ；② 2x2 = x1 + x3 ；
③ 2x3 = x2 + x4 ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【典例 1-2】
（23-24 高一上·天津滨海新区塘沽一中·期中）已知有限集 A = {a1,a2 ,× × ×,an}(n 2,n N) ，如果A 中元素
ai (i = 1,2,× × ×,n)满足 a1 + a2 + ×× × + an = a1 a2 ×× × an ，就称A 为“完美集”.
①集合{-1,- 3,-1+ 3}不是“完美集”；
②若 a1、 a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，则 a1、 a2至少有一个大于 2；
③二元“完美集”有无穷多个；
④若 a N*i ，则“完美集” A 有且只有一个，且 n = 3；
其中正确的结论是 (填上你认为正确的所有结论的序号)
【变式 1-1】
（高三上·天津河西·开学考试）用 表示非空集合 中元素的个数，定义
，若 ， ， ，且 ，设实数 的所有可能取值
构成集合 ，则 =
A． B．
C． D．
【变式 1-2】
1 ì 1
（22-23 天津汇文中学·期末）若 x A，则 A，就称 A 是伙伴关系集合，集合M = í-1,0, ,
1 ,1, 2,3, 4ü的
x 3 2
所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为
A．15 B．16 C． 28 D． 25
【变式 1-3】
（20-21 高一上·天津实验中学·阶段练习）已知集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，对它的非空子集A ，可将A 中的每
k
一个元素 k 都乘以 -1 再求和（如 A = 2,3,5 ，可求得和为：2 × -1 2 + 3 × -1 3 + 5 × -1 5 = -6，则对M 的
所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是 .
题型 11 全称与特称命题
【解题规律·提分快招】
全称量词命题 p： x∈M，p(x)，它的否定綈 p： x∈M，綈 p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实
际意义进行 求解含有量词的命题中参数范围的策略。
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或
最小值)．
【典例 1-1】
（24-25 2 2高一上·天津·阶段练习）已知集合 A = x∣0 x a , B = x∣m + 3 x m + 4 ，若命题
“ $m R, A B ”为假命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．{a∣a < 3} B． a∣a 3 C．{a∣0 < a < 3} D．{a∣0 a < 3}
【典例 1-2】
（22-23 高一上天津武清区杨村一中·阶段练习）若 p : "x [1, 5]， ax 2 - x - 4 > 0 是真命题，则实数 a 的取值
范围是 ；
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津河西·阶段练习）已知命题 p ：“"x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0”，则 p为（ ）
A．$x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0 B．$x R, x2 - 2mx + m2 - 4 0
C．不存在 x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0 D．"x R, x2 - 2mx + m2 - 4 0
【变式 1-2】
1 1
（24-25 高一上·天津河北·期中）命题“ "x x 0 < x 2 ， ”的否定是（ ）
x 2
"x x 0 < x 2 1 1 "x x 0 < x 2 1 1A． ， > B． ， <
x 2 x 2
C．$x x 0 < x 2 1 1 1 1， D．$x x 0 < x 2 ， <
x 2 x 2
【变式 1-3】
（21-22 高一上·天津第二南开中学·）已知命题：“ $x R， ax2 + 2ax -1 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围
是 .
题型 12 充分不必要求参
【解题规律·提分快招】
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
命题 p 对应集合M ，命题q对应集合是 N ，则 p 是q的充分条件 M N ， p 是q的必要条件 M N ，
p 是q的充要条件 M = N ， p 是q的充分不必要条件 M N ， p 是q的必要不充分条件 M N ．
【典例 1-1】
（23-24 天津耀华中学阶段练习）已知命题 p ：“关于 x 的方程 x2 - 4x + a = 0有实根”.若 p为真命题的充分
不必要条件为 a > 5m - 6，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 2, + B． - , 2
C． 2, + D． - , 2
【典例 1-2】
（24-25 高一上·天津西青·阶段练习）已知集合 A = {x∣0 < x < 2}，B = {x∣-1 < x < a +1}，若 x A是 x B成立
的一个充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 ．
【变式 1-1】
（20-21 天津河北区·阶段练习）已知条件 p : x +1 > 2，条件 q : x > a ，且 p是 q 的充分不必要条件，则实
数 a的值范围为（ ）
A． 1, + B． -1, + C．( ―∞,1] D． - ,3
【变式 1-2】
3
（21-22 天津和平·阶段练习）已知 p : x k, q : <1，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围
x +1
是
A．[2, + ∞) B． (2,+ ) C．[1, + ) D． (- , -1]
【变式 1-3】
（24-25 高一上·天津卓越中学·阶段练习）已知命题 p : "x R ，使 x2 - 4x + m 0为真命题，则实数 m 的取
值集合为 B，若 A = x 3a < x < a + 4 为非空集合，且 x A是 x B的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围
是 ．
题型 13 必要不充分求参
【解题规律·提分快招】
(1)判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时，能否推出 p 成
立；若 p q 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 q p 为真，则 p 是 q 的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若 A B，则甲是乙的必要条件．
【典例 1-1】
（天津·模拟预测）已知条件 p : x +1 > 2，条件 q : x > a，且 p是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A．0 a 1 B．1 a 3 C．a 1 D． a 3
【典例 1-2】
（23-23 高二上·天津耀华中学·阶段练习）设命题 p ：实数 x 满足 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0，命题 q：实
ì 2
数 x
x - x - 6 0
满足 í p q2 ，若 是 的必要不充分条件，则实数 a的取值范围为
x + 2x -8 > 0
【变式 1-1】
（2001 天津耀华中学·阶段练习）已知 f (x) = 2x + 3(x R)，若 | f (x) -1|< a 的必要条件是 | x +1|< b(a,b > 0)，
则 a，b 之间的关系是（ ）
a a b b
A．b… B．b < C． a D． a >
2 2 2 2
【变式 1-2】
（2022·天津滨海新区·模拟预测）已知命题：函数 f (x) = x3 + ax2 + (2m - a -1)x - m(a > 0, m > 0)，且关于 x 的
不等式 | f (x) |< m的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（ ）
A．m a B．m a
C．m a2 D．m a2
【变式 1-3】
x -1 2 2
（20-21 高三上·天津河西·开学考试） p : 1- 2， q : x - 2x +1- m 0 m > 0 ，且 q是 p 的必要不充分
3
条件，则实数m 的取值范围是 ．
题型 14 古诗词辨析
【解题规律·提分快招】
古诗词类，风俗谚语类，这类文字辨析题，涉及到充分必要条件的辨析，多从“否定”或者“逆反命题”
等价性角度入手剖析。
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津红桥·期中）在二十四节气中，冬季的节气有立冬 小雪 大雪 冬至 小寒和大寒，则“甲
出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【典例 1-2】
（22-23 高一上·天津宁河·阶段练习）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有
神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神
助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也
不必要条件
【变式 1-1】
（24-25 高三·天津南开·模拟）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这
句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 1-2】
（21-22 高三 天津朱唐庄中学·阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这
句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是
“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 1-3】
（22-23 高三上·天津蓟州·阶段练习）鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸
须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具 1 枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于 1”是“甲
为须鲸”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型 15 集合形式压轴小题
【典例 1-1】
n n
（2024·天津宝坻区·模拟预测）设 f x = x + sinx， an 为等差数列，Sn = ai ,Tn = f an ，则“ S2024 = 2024π ”
i=1 i=1
是“T2024 = 2024π ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例 1-2】
（23-24 高三上·天津武清·模拟）已知 a > 0,b > 0，则在下列关系① a2 + b2 2 ；② b e1-a ；
a 1
③ cos ；④ a
2 3 b e - ea = e
b - eb中，能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的个数是（ ）
-
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 1-1】
（22-23 高三上·天津红桥·模拟）已知点集Λ = (x, y) | x Z, y Z , S = (a,b) Λ |1 a 5,1 b 5 ．设非空
点集T Λ，若对S 中任意一点 P ，在T 中存在一点Q（Q与 P 不重合），使得线段 PQ上除了点P,Q 外没有
L中的点，则T 中的元素个数最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-2】
（2024·天津河西区模拟）设集合 S = x R+ | xn = n,n N+ 则集合S 中最小的元素是 ，集合S 中最大的
元素是 ．
【变式 1-3】
（23-24 高三·天津宁河·阶段练习）若 X 是一个集合，T 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足：
① X 属于T ，空集 属于T ；②T 中任意多个元素的并集属于T ；③T 中任意多个元素的交集属于T ，则
称T 是集合 X 上的一个拓扑．已知函数 f (x) = [x[x]]，其中[x]表示不大于 x 的最大整数，当 x (0,n],n N*
时，函数 f (x) 值域为集合 An ，则集合 A2上的含有 4 个元素的拓扑T 的个数为 ．
1．（2022·湖北·模拟预测）设集合 A = {a | $x R, a x = loga x (a >1)}， B = {y | "x 0, xy ln( 2x + 2x2 +1)}，下列
说法正确的是（ ）
A． A B B．B A C．B A = D． B I A
a2
2．（2021·上海浦东新·三模）已知数列 an 满足 a1a2 0，若an+2 = a + n+1n+1 ，则“数列 an 为无穷数列”是“数an
列 an 单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
3．（2020·浙江·模拟预测）已知数列 an 的通项为 an = t ，其中 t 为正常数，记 Sn 为数列 an n 的前 n 项和，
则下列说法不正确的是（ ）
A． 常数 m 使得对于"n Z + 均有 Sn < m是 t >1的充要条件
B． t <1是 Sn ln n +1 n Z + 的充分不必要条件
+ 2 3C．对于"n Z ，均满足 Sn 2 + t 是 t 的必要不充分条件2 2
3 ×2t 3D．对于"n Z + ，均满足 Sn 1+ 是 t t 的充分不必要条件3 2
4．（23-24 高三上·四川成都·期中）已知 a > 0，b > 0，则在下列关系① a2 + b2 2 ② b e1-a ③ cos
a 1
2 3- b
④ ea - ea = eb - eb中，能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）.
5．（2022·福建·模拟预测）设 12 元实数集合 S = a1,a2 , × × ×, a12 满足：可将其划分为两个 6 元子集 a1,a2 , × × ×,a6
和 a7 ,a8 , × × ×, a k 1,2,3,4,5 6 ak 12 k12 ，使得对每个 ，均有 =i=1 i a Si=7 i ，则这样的 可以是 ．（写出一个
即可）专题 1 集合与常用逻辑用语
目录
题型 01 集合中元素表示 ....................................................................................................................................................1
题型 02 元素个数 ..............................................................................................................................................................4
题型 03 元素个数求参 ........................................................................................................................................................6
题型 04 子集关系求参 ........................................................................................................................................................8
题型 05 韦恩图 ....................................................................................................................................................................9
题型 06 交集运算求参 ......................................................................................................................................................12
题型 07 并集运算求参 ......................................................................................................................................................13
题型 08 补集运算求参 ......................................................................................................................................................15
题型 09 交并补混合运算 ..................................................................................................................................................18
题型 10 集合新定义 ..........................................................................................................................................................21
题型 11 全称与特称命题 ..................................................................................................................................................24
题型 12 充分不必要求参 ..................................................................................................................................................25
题型 13 必要不充分求参 ..................................................................................................................................................27
题型 14 古诗词辨析---五个单选 ......................................................................................................................................29
题型 15 集合形式压轴小题 ..............................................................................................................................................31
优先选取 2024 各地模拟试题...............................................................................................Error! Bookmark not defined.
题型 01 集合中元素表示
【解题规律·提分快招】
集合：
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
【典例1-1】
ì k ü
（21-22 高一上·天津滨海新·阶段练习）设集合M = íx x = ×180° + 45°, k Z2
，
N ì k ü= íx x = ×180° + 45°, k Z ，则两集合间的关系是（ ）
4
A．M = N B．M N C． N M D．M N =
【答案】B
【分析】变形M = x x = 2k +1 45°, k Z ， N x x = k +1 45°,k Z ，分析比较即可得解.
ì k
【详解】由题意可M = íx x = ×180° + 45°, k Z
ü
= x x = 2k +1 45°, k Z2
即M 为 45°的奇数倍构成的集合，
ì k ü
又 N = íx x = ×180° + 45°, k Z = x x = k +1 45°,k Z ，
4
即 N 为 45°的整数倍构成的集合，\M N ，即M N
故选：B
【典例 1-2】
（24-25 高三天津南开阶段练习）已知 a，b ， c， d ， e， f ， g ， h是在集合 -7, -5, -3,-2,2,4,6,13 中的
a + b + c + d 2 2不同数，则 + e + f + g + h 的最小值为 .
【答案】34
【分析】记 a + b + c + d = M ,e + f + g + h = N 2，根据条件将所求式子表示为 2 M - 4 + 32，先分析M = 4的
可行性，然后确定出最小值即可.
【详解】不妨设 a + b + c + d = M ,e + f + g + h = N ，
因为 a + b + c + d + e + f + g + h = -7 - 5 - 3 - 2 + 2 + 4 + 6 +13 = 8，
所以M + N = 8，
2
所以 a + b + c + d + e + f + g + h 2 = M 2 + N 2 = M 2 + 8 - M 2 = 2 M - 4 2 + 32，
若要 2 M - 4 2 + 32值最小，则M = 4，
下面分析M = 4的可能性：
当M = 4时，则 a,b,c,d 四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶，
若四个数全为偶数，则和的结果为-2 + 2 + 4 + 6 =10，不满足要求；
若四个数全为奇数，则和的结果为-7 - 5 - 3 +13 = -2，不满足要求；
若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为 -12, -10,6, -8,8,10 ，两个偶数之和可能为 0,2,4,6,8,10 ，
此时两奇两偶的四个数之和不可能等于 4，
所以M = 4不成立，
2
所以当M = a + b + c + d = -3- 2 + 2 + 6 = 3时，此时 2 M - 4 + 32取值最小，最小值为34，
故答案为：34 .
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，
将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定M = 4成立.
【变式1-1】
（24-25 · 2高三上 天津红桥·期中）集合 S = x | (x + a)(x + bx + c) = 0 ，T = x | (ax +1)(cx2 + bx +1) = 0 ，其中
a、b 、 c为实数，若 S 、 T 分别表示集合S 、T 的元素个数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若 T = 0，则 S =1 B．若 S =1，则 T =1
C．若 S = 2，则 T = 2 D．若 T = 3，则 S = 2
【答案】A
【分析】选项 A，B 和 C，利用方程 (x + a)(x2 + bx + c) = 0 至少有一个根 x = -a，所有解的个数取决于
D = b2 - 4ac 2；方程 ax +1 cx + bx +1 = 0 的解得个数取决于 a = 0及D = b2 - 4ac ，逐一分析判断即可得答
1 1
案；选项D，根据条件得到 a 0，c 0，b2 - 4c > 0 ，设 x0 为 g x = 0的一个根，从而得到 f x ÷
=
x3
g x0 = 0，
è 0 0
1
即 为方程 fx x = 0的根，即可求解.0
【详解】令 f (x) = (x + a)(x2 + bx + c)， g(x) = (ax +1)(cx2 + bx +1) ，
对于选项 A，当 T = 0时，方程 g(x) = ax +1 cx2 + bx +1 = 0无实根，
所以 a = 0， c 0，b2 - 4c < 0或 a = b = c = 0；
当 a = b = c = 0时， f x = x3 ，由 f x = 0得 x = 0，此时 S =1；
当 a = 0，b2 - 4c < 0 2时， f x = x x + bx + c ，由 f x = 0得 x = 0，此时 S =1，所以选项 A 正确；
对于选项 B，若 S =1，则 f (x) = (x + a)(x2 + bx + c) = 0有且只有一根，又 x = a一定是 f (x) = 0 的根，所以
D = b2 - 4c < 0，
又D = b2 - 4c < 0且 a = 0时， g(x) = (ax +1)(cx2 + bx +1) = 0无解，此时 T = 0，所以选项 B 错误，
对于选项 C，若 S = 2时，则 f (x) = (x + a)(x2 + bx + c) = 0有且只有 2根，
又 x = a一定是 f (x) = 0 的根，所以D = b2 - 4c = 0且 a2 + ab + c 0，或D = b2 - 4c > 0且 a2 + ab + c = 0，
当 a = 0时，存在b,c，使D = b2 - 4c = 0且 a2 + ab + c 0，此时 g(x) = (ax +1)(cx2 + bx +1) = 0只有一根，所以
选项 C 错误，
对于选项 D，当 T = 3 2时，方程 g x = ax +1 cx + bx +1 = 0有三个根，所以 a 0， c 0，b2 - 4c > 0 ，
2
设 x0 为 g x = 0的一个根，即 ax0 +1 cx0 + bx0 +1 = 0，则 x0 0，
1 1 1 1 1 1
且 f ÷ = + a ÷ + b + c ÷ = g x = 02 3 0 x ，所以 x 为方程 f x = 0的根，è x0 è x0 è x0 x0 0 0
故 f x = 0有三个根，即 T = 3时，必有 S = 3，所以选项 D 错误，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分理解二次函数的根与系数的关系，观察分析两函数的区别
与联系，从而得解.
【变式 1-2】
2
（23-24 高三上·天津东丽·模拟）已知集合M = (x, y) (x + 3)2 + (y -1) = 0 ， N = {-3,1}，则M 与 N 的关系
是（ ）
A．M = N B．M N
C．M N D．M，N 无公共元素
【答案】D
【分析】先求得集合M = (-3,1) ，结合集合间的关系进行判定，即可求解.
2 2 ìx + 3 = 0【详解】由 (x + 3) + (y -1) = 0，可得 í ，解得 x = -3, y =1，
y -1 = 0
即集合M = (-3,1) 中的元素是有序实数对，
又由 N = {-3,1}中的元素是实数，所以两个集合无公共元素.
故选：D．
【变式 1-3】
b
（22-23
ì ü 2
高三上·天津河西·期中）含有 3 个实数的集合既可表示成 ía, ,1 ，又可表示成 a ,a + b,0a ，则
a2022 + b2022 = ．
【答案】1
【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
ì b ü 2
【详解】因为 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，
a
b
显然 a 0，故 = 0，则b = 0；
a
2
此时两集合分别是 a,1,0 , a, a ,0 ，
则 a2 =1，解得 a =1或-1.
当 a =1时，不满足互异性，故舍去；
当 a = -1时，满足题意.
所以 a2022 + b2022 = (-1)2022 + 02022 =1
故答案为：1.
题型 02 元素个数
【解题规律·提分快招】
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
【典例 1-1】
ì x +1 ü 2
（22-23 高三上·天津 津南·模拟）已知集合 A = íx Z 0 ，B = y | y = x +1, x A ，则集合 B 的含有
x - 3
元素1的子集个数为
A．5 B． 4 C．3 D． 2
【答案】B
【分析】求出集合A 、 B ，然后列举出满足条件的集合 B 的含有元素1的子集，即可得解.
【详解】由题意得： A = x Z -1 x < 3 = -1,0,1,2 , B = 1,2,5 ，
故集合 B 含有元素1的子集有 1 , 1,2 , 1,5 , 1,2,5 子集个数为 4个，
故选：B.
【典例 1-2】
（2024·天津河东区模拟）已知集合 A = {1,2,4}，B = {(x, y∣) x A, y A, x - y A}，则集合 B 的元素个数
为 ．
【答案】2
【分析】利用列举法求解集合B = 2，1 ， 4，2 ，即可求解.
【详解】当 x =1时， y =1，2，4， x - y分别为0, -1, -3 ,均不能满足 x - y A，
当 x = 2时， y =1时可满足 x - y =1 A，
x = 2时， y = 2, x - y=0， x = 2时， y = 4, x - y= - 2均不满足 x - y A，
当 x = 4时， y = 2 可满足 x - y = 2 A， x = 4时， y =1, x - y=3， x = 4时， y = 4, x - y=3均不满足 x - y A，
所以B = 2，1 ， 4，2 ，故集合 B 的元素有 2 个，
故答案为：2
【变式 1-1】
（23-24 2高三上·天津一中滨海阶段练习）设集合 A = x N∣x -14x -15 < 0 , B = {x∣ x +1 Q}，则 A B 中
的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得集合 A，利用交集运算的概念求解 A B ，从而求解元素个数.
2
【详解】由题设， A = x N∣x -14x -15 < 0 = {x N∣-1< x <15}，
又B = x∣ x +1 Q ，则 AI B = {0,3,8}，故 A B 中的元素个数为 3.
故选：B
【变式 1-2】
ìa2n -1 ,a 0
（22-23 高三·
n
天津蓟州·模拟）已知数列 an 满足： an+1 = í 2an ，对于任意实数 a1，集合
0, an = 0
n an 0, n N, n 1 的元素个数是（ ）
A．0 个 B．非零有限个
C．无穷多个 D．不确定，与 a1的取值有关
【答案】C
【分析】讨论 a1 = 0， a1 = ±1，和 a1 ±1且 a1 0三种情况，根据题意可以得到：若 an >1，则 an+1 > 0；若
0 < an <1，则 an+1 < 0；若-1 < an < 0 ，则 an+1 > 0；若 an < -1，则 an+1 < 0 .不妨从 a1 >1时开始讨论，得到
a2 ,a3,a4 ,L的符号，最后得到答案.
【详解】当 a1 = 0时，根据题意，则 a2 = a3 = a4 = a5 =L = 0，则集合 n an 0, n N,n 1 的元素有无数个；
当 a1 = ±1时，则a2 = 0，根据题意，则a3 = a4 = a5 =L = 0，则集合的元素有无数个；
2
当 a1 ±1且 a1 0 a
an -1 1
时， n+1 = = a
1
- ，
2a n ÷n 2 è an
若 an >1，则 an+1 > 0；若0 < an <1，则 an+1 < 0；若-1 < an < 0 ，则 an+1 > 0；若 an < -1，则 an+1 < 0 .
a 1 1 1 1
而 n+1 - an = an - ÷ - an = - an + ，则 a > 0 时，数列递减且无下限（※）；2 è an 2 è a
÷ n
n
an < 0时，数列递增且无上限（*）.
（1）若 a1 >1，则 an+1 - an < 0，根据（※）可知，在求解 a1,a2 ,L的迭代过程中，终有一项会首次小于0 ，
不妨设为 ak k >1, k Z ；
（2）若 ak < -1，则 ak +1 < 0；
①若 ak +1 < -1，则 ak +2 < 0，接下来进入（2）或（3）；
②若-1 < ak +1 < 0，接下来进入（3）；
（3）若-1 < ak < 0，则 ak +1 > 0，接下来进入（1）或 （4） ；
（4）若0 < ak <1，则 ak +1 < 0，接下来进入（2）或（3）.
若0 < a1 <1，则进入（4）.
若-1 < a1 < 0，则进入②.
若 a1 < -1，则进入①.
如此会无限循环下去，会出现无限个负数项.
综上：集合 n an 0, n =1,2,3,L 的元素个数为无数个.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题比较复杂，刚开始的 a1 = 0， a1 = ±1容易想到，当 a1 ±1且 a1 0时，注意要对 a1
的四种情况进行分类，然后从某一种情况开始进行推理，其它情况可以以此类推，类似这样的题目一定要
细心.
【变式 1-3】
（23-24 高一上·上海杨浦·阶段练习）设A 是集合 1, 2,3, 4,5,6,7 的子集，有且仅含有 3 个互不相邻的整数元
素，则满足条件的集合A 的个数为
【答案】10
【分析】直接列举得到答案.
【详解】满足条件的子集为：
1,3,5 , 1,3,6 , 1,3,7 , 1,4,6 , 1,4,7 , 1,5,7 , 2,4,6 , 2,4,7 , 2,5,7 , 3,5,7 .
故答案为：10.
题型 03 元素个数求参
【解题规律·提分快招】
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基
础知识的积累和应用。
【典例 1-1】
（23-24 2高三上·天津宁河·模拟）关于 x 的不等式 x - a +1 x + a < 0的解集中恰有 3 个整数，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A．[-3，-2)∪(4，5] B．[-3，-2]∪[4，5] C．(-3，-2]∪[4，5) D．(-3，-2)∪(4，5)
【答案】A
【分析】化简一元二次不等式，分类讨论解不等式，根据不等式的解集中恰有 3 个整数解，列不等式，求
解即可．
x2【详解】由 - a +1 x + a < 0，得 x -1 x - a < 0 ，
当 a =1 x -1 2时， < 0显然不成立，
当 a <1时，不等式的解集为 a,1 ，由解集中恰有 3 个整数可得，
此时这三个整数为-2，-1，0 ，则-3 a < -2；
当 a >1时，不等式的解集为 1, a ，由解集中恰有 3 个整数可得，
此时这三个整数为 2，3， 4，则 4 < a 5；
综上所述，-3 a < -2或 4 < a 5，
故选：A
【典例 1-2】
（23-24 2高一上·天津静海·阶段练习） A = x | ax + 2x +1 = 0,a R, x R ，若A 中至多有一个元素，则 a = .
【答案】0 或a 1
【分析】分 a = 0和 a 0两种情况讨论，当 a 0时需满足D 0，解得即可.
2
【详解】集合 A = x | ax + 2x +1 = 0,a R, x R 中至多有一个元素，
1
\当 a = 0时， A = x | 2x +1 = 0 = ìí- ü ，合题意，
2
当 a 0时，D = 4 - 4a 0，解得a 1，
综上可得 a = 0或a 1．
故答案为：0 或a 1．
【变式 1-1】
1
（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）已知数列 a 的前 n 项和 S = 1- a n N* ，若 2 + bn = 3log 1 an nn ，3 n 4
且数列 cn 满足 cn = an × bn ，若集合 n cn > l,l R 中有三个元素，则实数 λ 的取值范围（ ）
é1 , 5 1 5ùA． ê B． , 2 8 ÷ è 2 8 ú
5 7 ù é5 7
C． ,
è 8 8 ú
D． ê , 8 8 ÷
【答案】A
【分析】先利用 an 与 Sn 的关系式求得 an ，进而求得bn ,cn ，利用作差法分析得数列 cn 中的项的情况，再利
用集合中元素的个数即可得解.
1 1 1
【详解】由题意知 Sn = 1- an = - an ，当 n 2时， a S S
1 a 1n = n - n-1 = n-1 - an ，所以 a
1
n = a ，3 3 3 3 3 4 n-1
1 1
当 n =1 S 1 1 1时， 1 = - a3 3 1
= a1，所以 a1 = a 4 ，所以数列 n 是以 4 为首项， 4 为公比的等比数列，所以
a 1
n n
= ÷ n N* ，因为 2 + bn = 3log 11 ann ，所以bn = 3log 1 an - 2 = 3log 1 ÷ - 2 = 3n - 2，
è 4 4 4 4 è 4
n n+1 n
所以 cn = a
1
n ×bn = ÷ 3n - 2 ，则 cn+1 - c 3n 1
1 3n 2 1 5 - 3nn = + ÷ - - 2 ÷ = ，è è 2 è 2 2n+1
1 1
当 n =1时， c1 = ÷ 3 1- 2 = ；当 n 1时， cn+1 - cn < 0 ，即 c2 > c3 > c4 >L；
è 2 2
1 2c 3 2 2 1,c 1
3 7 1 4 5 1
5 13
又 2 = ÷ - = 3 = ÷ 3 3- 2 =
， c4 = ÷ 3 4 - 2 = ,c
5 = ÷ 3 5 - 2 = ，则
è 2 è 2 8 è 2 8 è 2 32
数列 cn
7 5 1 13 1 5
中的项从大到小排列为1, , , , ,L，因为集合 n cn > l,l R 中有三个元素，所以 l < .8 8 2 32 2 8
故选：A.
【变式 1-2】
24-25 2（ 高三上天津咸水沽一中阶段练习）若集合 A = x | mx + 2x + m = 0,m R 中有且只有一个元素，则m
值的集合是（ ）
A． -1 B． 0 C． -1,1 D． -1,0,1
【答案】D
【分析】分m 是否为 0 两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可.
【详解】当m = 0时， A = x | 2x = 0 = 0 ，故m = 0符合题意；
当m 0 时，由题意D = 4 - 4m2 = 0，解得m = ±1，符合题意，
满足题意的m 值的集合是 -1,0,1 .
故选：D.
【变式 1-3】
2
（20-21 高一上·天津静海·阶段练习）若集合 A = (x, y) y = ax -1 ，集合B = (x, y) y = 3x - 3 ，若 A B 中
元素只有一个，则实数 a组成的集合为 .
ì 9ü
【答案】 í0,
8
【解析】将问题转化为 ax2 - 3x + 2 = 0只有一个解，分类讨论 a可求得结果.
ìy = ax2 -1
【详解】因为 A B 中元素只有一个，所以 í 只有一组解，
y = 3x - 3
所以 ax2 - 3x + 2 = 0只有一个解，
2
当 a = 0时， x = 符合题意；
3
9
当 a 0时，D = (-3)2 -8a = 0，解得 a = ，
8
ì 9ü
故实数 a组成的集合为 í0, .
8
ì 9ü
故答案为： í0, .
8
【点睛】本题考查了根据交集中元素个数求参数，考查了分类讨论思想，属于基础题.
题型 04 子集关系求参
【解题规律·提分快招】
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思
想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含 n 个元素的集合有 2n 个子集．
(2)含 n 个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含 n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含 n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有B A，则要讨论集合 B 是否是空集。
【典例 1-1】
（24-25 2高一上·天津红桥·期中）已知集合 A = x x - 5x -14 < 0 ，B = x a x 3a - 2 ，若 AI B = B，则
实数 a 的取值范围（ ）
A． a < 3 B．1 a < 3 C．1 a 3 D．1 < a < 3
【答案】A
【分析】根据题意可得集合 A, B，且B A，分B = 和B 两种情况，结合包含关系分析求解.
【详解】由题意可知：集合 A = x -2 < x < 7 ，B = x a x 3a - 2 ，
由 AI B = B，可知B A，若B = ，则 a > 3a - 2，解得 a <1；
ìa 3a - 2
若B ，则 ía > -2 ，解得1 a < 3；综上所述：实数 a 的取值范围 a < 3 .故选：A.
3a - 2 < 7
【典例 1-2】
ì x ü
（24-25 高一上·天津滨海新·期中）已知集合 A = x x a 或 x a - 2 ，B = íx | 0 其中a R.若
x - 2
A B = B，则实数 a的取值范围为 .
【答案】 - ,0 U 4,+
【分析】根据 AI B = B得B A，进而利用集合间的包含关系列不等式，求解即可.
x ìx x - 2 0
【详解】由 0，得 ，解得0 x < 2，则B = x | 0 x < 2 ，
x - 2 í x - 2 0
由 AI B = B，得B A，
所以 a 0或 a - 2 2，解得 a 0或 a 4，
则实数 a的取值范围为 - ,0 U 4,+ ，
故答案为： - ,0 U 4,+
【变式 1-1】
ì x - 3 ü
（20-221 天津咸水沽·期中）若集合 A = íx 0 , B = x∣ax +1 0 ，若B A，则实数 a 的取值范围是
x +1
（ ）
ì 1 ü ì 1 ü
A． ía - a <1 B． ía - < a 1
3
3
C．{a∣a < -1或 a 0} D．{a
1
∣- a <1且 a 0}
3
【答案】A
【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合 B 中参数 a与0 的关系作分类讨论，根据子集关系确
定出 a的范围.
x - 3 ìx +1 0
【详解】因为 0，所以 í ，所以 x < -1或 x 3，所以 A = x | x < -1或 x 3x 3 x 1 0 ，x +1 - +
当 a = 0时，1 0不成立，所以B = ，所以B A
1
满足，当 a > 0时，因为 ax +1 0，所以 x - ，
a
1
又因为B A，所以- < -1
1
，所以0 < a <1，当 a < 0时，因为 ax +1 0，所以 x - ，
a a
ì ü
又因为B A
1 1 1
，所以- 3，所以- a < 0，综上可知： a ía - a <1 .故选：A.a 3 3
【变式 1-2】
（23-24 高三天津南开·阶段练习）已知集合 A = x 1 x < 5 ，B = x - a < x a + 4 ，若B AI B ，则 a
的取值范围为（ ）
A． a - 2 < a < -1 B． a a < -2
C． a a -1 D． a a > -2
【答案】C
【分析】由B AI B 可以得到B A，从而对集合 B 分类讨论即可求解参数 a的范围.
【详解】∵已知B AI B ，又因为 A B B ，
∴ AI B = B，即B A，
①当B = 时，满足B A，此时 - a a + 4 ，解得 a -2；
ì-a < a + 4
②当B 时，由B A，得 í-a 1 ，解得-2 < a -1；
a + 4 < 5
综上所述， a -1 .
故选：C.
【变式 1-3】
（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知集合 A = {x∣1 x < 7}, B = {x∣a < x 2a + 3}，若B A，则满足条件的 a
的取值范围为 ．
【答案】 - , -3 1,2
【分析】对 B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.
【详解】当B = 时，满足B A，此时，有 a 2a + 3，解得： a -3；
ìa < 2a + 3
当B 时，要使B A，只需 ía 1 ，解得：1 a < 2 .
2a + 3 < 7
所以实数 a的取值范围为 - ,-3 1,2 .故答案为： - ,-3 1,2 .
题型 05 韦恩图
【解题规律·提分快招】
韦恩图：
（1）表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
【典例 1-1】
（22-23 高三上天津河北·阶段练习）已知全集U =R ，集合 A= 1,2,3,4,5 ，B= x R x 3 ，图中阴影部分
所表示的集合为
A． 1,2 B． 4,5
C． 1,2,3 D． 3,4,5
【答案】A
【分析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于A ，不属于 B ，结合所给的集合求解 R B I A即可确定
阴影部分所表示的集合.
【详解】由已知中阴影部分在集合A 中，而不在集合 B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于 B （属
于 B 的补集），即 R B A = 1,2 .
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，Venn 图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
力.
【典例 1-2】
（23-24 高一上·天津武清区天河城实验中学模拟）某班共 42 人，其中 20 人喜爱篮球运动，25 人喜爱乒乓
球运动，12 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
【答案】5
【分析】根据集合的韦恩图即可求解.
【详解】设集合A 表示：喜爱篮球运动的学生，集合 B 表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集
合U ,
则由题可知，A 的元素个数为 20， B 的元素个数为 25，
则 U (A B) 的元素个数为 12，所以 AU B 的元素个数为 42 -12 = 30 ，
所以 A B 的元素个数为 20 + 25 - 30 =15，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 20 -15 = 5人，
故答案为:5.
【变式 1-1】
（22-23 天津和平区第二南开中学·专题练习）设全集 U＝R，集合 A＝ ≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图
中阴影部分表示的集合为( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}
【答案】B
【分析】先化简集合 A 和 B,再确定图中阴影部分表示的集合.
【详解】题图中阴影部分表示的是 A∩B，因为 A＝ ≤0}＝ }＝{x∈Z|0≤x<3}＝
{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以 A∩B＝{0,1,2}．
故答案为 B.
【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，考查韦恩图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推
理能力.(2) 解答集合的问题，先要看“|”前的元素的一般形式，P = y | y = lgx ，由于“|”前是 y,所以集合表
示的是函数的值域. 集合Q = x | y = 2 + x ，由于“|”前是 x,所以集合表示的是函数的定义域.（3）解答本题
的关键是要会解分式不等式.
【变式 1-2】
（24-25 高一上·天津外国语大学附属中学阶段练习）如图，U 为全集，M 、 P 、S 是U 的三个子集，则阴
影部分所表示的集合是（ ）
A． M P S B． M P S
C． M P U S D． M P U S
【答案】C
【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素 x ，分析该元素与集合M 、P 、S 的关系，可得结
果.
【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素 x ，则 x M ， x P， x S ，
所以，阴影部分区域所表示的集合为 M P U S .
故选：C.
【变式 1-3】
（22-23 高一下·天津河西·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω 和事件A 和 B 其中
n W = 24,n A = 12,n B = 8,n A B = 16，则P AB = ；P AB = .
1 1
【答案】
6 3
【分析】根据古典概型的概率公式可得.
P n AB n A + n B - nAB AU B 12 + 8 -16 1【详解】 = = = =n Ω n Ω 24 6 ，
n AB
P nAB Ω - n AU B 24 -16 1= = = = .n Ω n Ω 24 3
1 1
故答案为： ； .
6 3
题型 06 交集运算求参
【解题规律·提分快招】
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B _A；
②A∩B B；
③A∩A＝A；
④A∩ ＝ ；
⑤A∩B=B∩A.
【典例 1-1】
（24-25 天津武清区模拟）设集合 A = x 2a < x < a + 2 ，B = x x < -3或 > 5}，若 AI B = ，则实数 a的
取值范围为（ ）
é 3 3 3ù 3
A． ê- , + ÷ B． - , + ÷ C． - , - ú D2 ．2 2
- , - ÷
è è è 2
【答案】A
【分析】根据给定条件按集合 A 是否为空集两类列式计算得解.
【详解】因集合 A = x 2a < x < a + 2 ，
若 A = ，有 2a a + 2，解得 a 2，此时 AI B = ，于是得 a 2，
ì2a < a + 2
B = x x < -3 AI B 若 A ，因 或 > 5}，则由 = 得： í2a -3 3，解得：- a < 2，
2
a + 2 5
3
综上得： a
3
- é ，所以实数 a的取值范围为 ê- , + ÷ .故选：A2 2
【典例 1-2】
（21-22 高一上·天津· 2期中）设U = R ，集合 A = x x - 3x + 2 = 0 ，B = x x2 - (m +1)x + m = 0 ，若
( U A) I B = ，则实数 m= .
【答案】1 或 2/2 或 1
【分析】对m 分类讨论，求出集合 A, B ,再分析得解.
【详解】解：由题得集合 A = {1,2}，
当m =1时，B = {1}；当m 1时，B = {1,m} .
所以当m =1时， ( U A) I B = ，符合题意 ( U A) I B = ；
当m 1时， ( U A) I B = ，所以m = 2 .
综合得m =1或m = 2 .
故答案为：1 或 2
【变式 1-1】
（2023 天津静海模拟）已知集合 A = 0,1, m ，B = x | 0 < x < 2 ，若 A B = 1, m ，则m 的取值范围是
A． 0,1 B． 1,2 C． 0,1 U 1,2 D． 0,2
【答案】C
【详解】因为 A = {0,1, m}, B = {x | 0 < x < 2}且 AI B = {1, m}，所以m (0, 2), m 1，故所求实数的取值范围是
m (0,1) (1, 2)，应选答案 C．
【变式 1-2】
（23-24 高一上·天津滨海新·阶段练习）设集合 A = x a -1< x < a +1, x R , B = x 1< x < 5, x R ，则下列
选项中，满足 AI B = 的实数 a的取值范围是（ ）
A． a 0 a 6 B． a a 2，或 a 4
C． a a 0 D． a a 0，或 a 6
【答案】D
【分析】结合数轴及交集运算可得.
【详解】要使 AI B = ，则 a +1 1或 a -1 5，
解得 a 0，或 a 6 .
所以满足 AI B = 的实数 a的取值范围是 a a 0，或 a 6 .
故选：D
【变式 1-3】
（2023·天津河东·模拟）若集合 A = x y = x -1 ，B = x x - a 0 ，A B = A，则 a的取值范围是 ．
【答案】 - ,1
【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 a 的取值范围．
【详解】根据题意，可以求得 A = 1,+ ，B = a, + ，因为 A B = A，所以 ，结合数轴可以求得
a 1，所以 a的取值范围是 - ,1 ．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想，是基础题．
题型 07 并集运算求参
【解题规律·提分快招】
并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现 A∪B＝B，应转化为 A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意 A
＝ 的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B A B；
【典例 1-1】
（2021 天津和平第二南开中学）设常数 a∈R，集合 A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若 A∪B=R，
则 a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：当 时， ，此时 成立，当 时， ，当
时， ，即 ，当 时， ，当 时，
恒成立，所以 a的取值范围为 ，故选 B.
考点：集合的关系
【典例 1-2】
（20-21 高一·天津西青区杨柳青中学）已知集合 S = x | x < -1或 x > 5 ，T = x | a < x < a + 8,a R ，且
S T = R，则实数 a的取值范围是
【答案】-3 < a < -1
【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列关于 a的不等式组，求解不等式组得答案．
【详解】QS = x | x < -1或 x > 5 ，T = x a < x < a + 8,a R ，且 S T = R，
ìa < -1
\í -3 < a < -1a 8 5，解得： ． + >
故答案为：-3 < a < -1．
【变式 1-1】
（24-25 高一上·天津·阶段练习）设集合 A = x x -1 > 3 ，B = x 2x < a ，若 AU B = A，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． a a -4 B． a a -1 C． a a 1 D． a a 4
【答案】A
【分析】先根据不等式解集表示出 A, B，然后将 AU B = A转化为B A，由此列出不等式完成求解.
【详解】由 x -1 > 3解得 x > 4或 x < -2，所以 A = x x < -2或 x > 4 ，
ì a ü
由 2x < a 解得 x
a
< ，所以B = íx x <2 2
，
又因为 AU B = A，所以B A，
a
所以 -2，所以 a -4，即 a的取值范围是 a a -4 ，
2
故选：A.
【变式 1-2】
（2024 天津咸水沽一中 ）已知集合 A = x x -2或 x >1 ，B = x 2a - 3 < x < a +1 .若 AU B = R ，则 a的取
值范围是（ ）
ì
A． ía a
1 ü ì 1 ü
B． ía 0 < a
2 2
a a ì 1 üC． > 0 D． ía -1 < a
2
【答案】B
【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可.
ì2a - 3 -2, 1
【详解】依题意得 í 0 < a .
a +1 >1,
解得
2
故选：B
【变式 1-3】
2
（24-25 高一上·天津·阶段练习）设集合 A = x x -8x +15 = 0 ，B = x x + a = 0 .若 AU B = A，求实数 a的
取值集合是 .
【答案】 -3,- 5
【分析】本题利用集合 A 与集合 B 之间的关系，可得B A，从而求出 a 的取值.
【详解】由题意可知， A = 3,5 ，又因为B = -a ，B A，所以-a = 3或-a = 5，所以 a = -3或-5，所以
实数 a 的取值集合是 -3, -5 .
故答案为： -3, -5 .
题型 08 补集运算求参
【解题规律·提分快招】
全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 U.
补集
对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为
自然语言
集合 A 相对于全集 U 的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
图形语言
【典例 1-1】
A 4= ì x, y | x - 3 2 + y - 4 2 = ü , B = ì x, y | x - 3 2 2 36ü（2023 天津西青模拟）设集合 í í + y - 4 =5 ， 5
C = x, y | 2 x - 3 + y - 4 = l ，若 AU B IC ，则实数l 的取值范围是（ ）
é2 5 ù é, 2 U 6 5
ù é
,6 2 5
ù
A． ê 5 ú ê 5 ú
B． ê ,6ú
5
é2 5 ù é ù
C． ê , 2ú U 4,6 2 U 6 5D． ê ,6
5 5
ú
【答案】A
2 6
【分析】由题意可得集合 A，B 表示以 (3, 4) 为圆心，半径为 和 的同心圆，集合 C 在l > 0时，表示
5 5
以 (3, 4) 为中心，四条边的斜率为±2 的菱形，画出图形，利用图形可知 AU B IC ，是菱形与 A 或 B 有
交点，从而可求出实数l 的取值范围.
2 6
【详解】集合 A 表示以 (3, 4) 为圆心，半径为 的圆，集合 B 表示以(3,4)为圆心，半径为 的圆，
5 5
集合 C 在l > 0时，表示以 (3, 4) 为中心，四条边的斜率为±2 的菱形，当 l < 0 时，集合 C 为空集，不合题意，
当l = 0时，C = (3, 4) ，不合题意，
如图所示，若 AU B IC ，则菱形与 A 或 B 表示的圆有交点，
对于 2 x - 3 + y - 4 = l ，当 x > 3, y > 4，得 2x + y -10 - l = 0 ，当 x < 3, y > 4，得-2x + y + 2 - l = 0 ，由
ì-2x + y + 2 - l = 0 ìx = 3
í ，得 í ，得菱形的一个顶点为 (3, 4 + l) ，同理可得其它 3 个顶点为 (3, 4 - l)
2x
，
+ y -10 - l = 0 y = 4 + l
(3 l- , 4), (3 l+ , 4)，
2 2
所以可知菱形的 2 个顶点在直线 x = 3上，2 个顶点在直线 y = 4 上，
2 2 5
因为小圆的圆心为 (3, 4) ，半径为 ，所以当l < 时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足5 5
题意，
当菱形与小圆相切时，则圆心到菱形 2 x - 3
2
+ y - 4 = l 任一边的距离等于 ，
5
当 x > 3, y > 4时，菱形一边的方程可化为 2x + y - (10 + l) = 0，则
10 - (10 + l)
d l 2= = = ，得l = 2，
22 +12 5 5
2 l 6 5所以当 < < 时，菱形在圆环的内部，与两圆均无交点，不满足题意；
5
6
当菱形与大圆相切时，则圆心到菱形 2 x - 3 + y - 4 = l 任一边的距离等于 ，
5
当 x > 3, y > 4时，菱形一边的方程可化为 2x + y - (10 + l) = 0，则
10 - (10 + l)
d l 6= = = ，得l = 6，
22 +12 5 5
所以当l > 6，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足题意，
é 2 5 6 5 ù
综上可得：实数 λ 的取值范围是 ê , 2 ,6 .
5 5
ú
故选：A.
【典例 1-2】
（22-23 高一上·天津 102 中学·阶段练习）设m 为实数，集合 A = {x |1 x 4}，B = {x | m x m + 2}，若
R B U A = R ，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】 1,2
【分析】根据补集及并集的定义结合条件可得不等式组，进而即得．
【详解】因为集合 A = {x |1 x 4}，B = {x | m x m + 2}，
所以 R B = {x | x < m或 x > m + 2}，又 R B U A = R ，
ìm 1
所以 í 1 m 2 ,
m + 2 4
，解得
即m 的取值范围为 1,2 .
故答案为： 1,2 ．
【变式 1-1】
（2024 天津军武城中学模拟）已知集合 A = x x < a ，B = x 1 x < 2 且 AU RB = R ，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． a a 1 B． a a <1 C． a a 2 D． a a > 2
【答案】C
【分析】根据集合 B 求得 R B ，再根据题意即可求得参数的范围.
【详解】因为B = x 1 x < 2 ，故可得 R B = {x | x <1或 x 2}，
因为 A = x x < a ， AU RB = R ，
故可得 a 2 .
故选：C.
【变式 1-2】
（24-25 高三天津静海模拟）已知集合 A = x | -2 x 10 ，B = x |1- m x 1+ m .若 B R A = ，则实数
m 的取值范围为（ ）
A．m 3 B．m 9 C．m 3或m 9 D．3 m 9
【答案】A
【分析】已知B I R A = ，这意味着 B 集合与A 集合在R 中的补集没有交集，那么 B 集合是A 集合的子集.
接下来通过分析 B 集合的边界与A 集合边界的关系来确定m 的取值范围.
【详解】 R A = {x | x < -2或x > 10} . 因为B I R A = ，所以B A .
由于B = {x |1- m x 1+ m}，要满足B A，
当B = ，即1- m >1+ m，解得m < 0 .
ìm 0
当B ，则有 í1- m -2 .解得：0 m 3 .
1+ m 10
综上，m 的取值范围为m 3 .
故选：A.
【变式 1-3】
（21-22 2高一上·天津和平·期中）设集合 A = x x + ax + b > 0 ，集合B = x 2 x 3 ，若 R A = B ，则
a + b = ．
【答案】1
【分析】由 R A = B 推出集合 A，根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案
【详解】由 R A = B 推出 A = x x 2或x 3 ，可得方程 x2 + ax + b = 0 的根
x1 = 2, x2 = 3 根据根与系数的关系可得 x1 + x2 = 5 = -a, x1x2 = 6 = b 所以a + b = 1
故答案为：1.
题型 09 交并补混合运算
【解题规律·提分快招】
全集与补集运算的性质：
(1) U ( U A) = A
(2) UU =
(3) U = U
(4) AI ( U A) =
(5) AU ( U A) = U
(6) U (AI B) = ( U A) U ( U B)
(7) U (AU B) = ( U A) I ( U B)
【典例 1-1】
（23-24 高三·天津南开区模拟）已知 x 表示不超过 x 的最大整数，集合 A = x Z 0 < x < 3 ，
B = x x2 + ax x2 + 2x + b = 0 ，且 A R B = ，则集合 B 的子集个数为（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】由新定义及集合的概念可化简集合 A = 1,2 ，再由 A RB = 可知 A B ，分类讨论1,2的归属，
从而得到集合 B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合 B 的子集的个数.
【详解】由题设可知， A = x Z | 0 < x < 3 = 1,2 ，
又因为 A RB = ，所以 A B ，
2
而B = x | x + ax x2 + 2x + b = 0 ，
因为 x2 + ax = 0的解为 x=0或 x = -a， x2 + 2x + b = 0的两根 x1, x2 满足 x1 + x2 = -2，
所以1,2分属方程 x2 + ax = 0与 x2 + 2x + b = 0的根，
ì12 +1 a=0 ìa= -1
若1是 x2 + ax = 0的根， 2是 x2 + 2x + b = 0的根，则有 í 2 ，解得 ，
2 +2 2+b=0
í
b= -8
代入 x2 + ax = 0与 x2 + 2x + b = 0，解得 x=0或 x=1与 x=2或 x = -4，
故B = 0,1,2,-4 ；
ì22 +2 a=0 ìa= - 2
若 2是 x2 + ax = 0的根，1是 x2 + 2x + b = 0的根，则有 í12
，解得
+2 1+b=0 í b= - 3
，
代入 x2 + ax = 0与 x2 + 2x + b = 0，解得 x=0或 x=2与 x=1或 x = -3，
故B = 0,1,2,-3 ；
所以不管1,2如何归属方程 x2 + ax = 0与 x2 + 2x + b = 0，集合 B 总是有 4 个元素，
故由子集个数公式可得集合 B 的子集的个数为 24 =16 .
故选：C
【典例 1-2】
（23-24 高一上·天津津南区阶段练习）定义集合P = {x | a x b}的“长度”是b - a，其中 a，b R．已如集
合M = {x | m x m
1
+ }，N = {x | n
3
- x n}，且 M，N 都是集合{x |1 x 2}的子集，则集合M N2 5 的“长度”
6 3
的最小值是 ；若m = ，集合M N 的“长度”大于 ，则 n 的取值范围是 .
5 5
1 é8 17 9 ù
【答案】 / 0.1 ,
10 ê5 10 ÷
, 2
è 5 ú
6
【分析】空 1：根据区间长度定义得到关于m, n的不等式组，再分类讨论即可；空 2：代入m = 得到
5
M = ìx 6 x 17í
ü 3
，再根据区间长度大于 ，得到关于 n 的不等式组，解出即可.
5 10 5
1 3
【详解】集合M = {x | m x m + }， N = {x | n - x n} M2 5 ，且 ，N 都是集合
{x |1 x 2}的子集，
ìm 1 3
1 m 3
ì
n - 1 8
由 í 1 ，可得 ，由 í 5 ，可得 n 2．
m + 2 2 5 2 n 2
要使M N 的“长度”最小，只有当m 取最小值、 n 取最大或m 取最大、 n 取最小时才成立.
ì 7 3ü 3 7 1
当m =1， n = 2，M N = íx x ，“长度”为 - = ，
5 2 2 5 10
m 3 8
3 8
n 8 3 1当 = ， = ，M N =
ì
íx x
ü
，“长度”为 - = ，2 5 2 5 5 2 10
故集合M
1
N 的“长度”的最小值是 ；
10
m 6= M = ìx
6 17
若 ， í x
ü
，5 5 10
3 3 17 3 6 3
要使集合M N 的“长度”大于 ，故 n - < -5 10 5 或
n > + ,
5 5 5
17 8 8 17 9
即 n < 或 n
9
> , n 2 n é , 又 ，故 ê ÷ , 2
ù .
10 5 5 5 10 è 5 ú
1 é8 17 9
故答案为： ； ê , ÷ , 2
ù .
10 5 10 è 5 ú
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合
分类讨论的思想即可.
【变式 1-1】
（2023·天津北辰阶段练习）从集合U = {1,2,3,4}的非空子集中随机取出两个不同的集合 A，B ，则在 A B = U
的条件下， A B 恰有1个元素的概率为（ ）
8 16 32 2
A． B． C． D
39 39 79
．
5
【答案】B
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若 A 中有一个元素，则 B 中至少有三个元素，此时满足 A B = U 的情况有 2C14 种，而满足 A B 恰有1
个元素的有C14 种；
② 2 1若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足 A B = U 的情况有C4 1+ C2 +1 种，而满足 A B
2 1
恰有1个元素的有C4 C2 种；
③若 A 中有三个元素，则 B 3 1 2中至少有一个元素，此时满足 A B = U 的情况有C4 1+ C3 + C3 +1 种，而满
A B 1 3 1足 恰有 个元素的有C4 C3种；
④若 A 中有四个元素，则 B 中至少有一个元素，此时满足 A B = U 的情况
C4 C1 + C2 + C3有 4 4 4 4 种，而满足 A B 4 1恰有1个元素的有C4 C4 种；
4 +12 +12 + 4 16
故满足题意的概率为： = ，
8 + 24 + 32 +14 39
故选：B
【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高
的逻辑思维.
【变式 1-2】
（24-25 高三天津武清·阶段练习）已知[ ]表示不超过 x 的最大整数，集合 A = {x Z | 0 < x < 3}，
B = {x | x2 + ax x2 + 2x + b = 0}，且 A R B = ，则满足条件的集合 B 共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，分类讨论，从而得到满足条件的集合 B.
【详解】由题设可知 A = {x Z | 0 < x < 3} = 1, 2 ，
又因为 A R B = ，所以 ，
B = x | x2 + ax x2 + 2x + b = 0 = x | x x + a x2而 + 2x + b = 0 ，
因为 x + a = 0的解为 x = -a，
根据题意可知 x2 + 2x + b = 0必有两根 x1，x2 ，满足 x1 + x2 = -2，
所以1,2分属方程 x + a = 0与 x2 + 2x + b = 0的根，
若 1 是 x + a = 0的根，2 是 x2 + 2x + b = 0的根，
ì-a =1 ìa = -1
则有 í 2 ，解得 í ，
2 + 2 2 + b = 0 b = -8
代入 x2 + ax = 0与 x2 + 2x + b = 0，
解得 = 0或 = 1与 = 2或 x = -4，
故B = 0,1,2,-4 ， A B 成立；
若 2 是 x + a = 0的根，1 是 x2 + 2x + b = 0的根，
ì-a = 2 ìa = -2
则有 í12 ，解得 ， + 2 1+ b = 0
í
b = -3
代入 x2 + ax = 0与 x2 + 2x + b = 0，
解得 = 0或 = 2与 = 1或 x = -3，
故B = 0,1,2,-3 ， A B 成立.
所以满足条件的集合 B 共有 2 个.
故选：B
【点睛】方法点睛：确定集合 A = 1,2 后，对 x =1， x = 2分别是 x2 + ax = 0和 x2 + 2x + b = 0的根，求 a，
b ，然后要验证对应时候 A B 是否成立.
【变式 1-3】
（20-21 2 2 2高一上·天津和平·阶段练习）设整数集 A = a1,a2 ,a3 ,a4 ，B = a1 ,a2 ,a4 ，且 a1 < a2 < a3 < a4，若
A B = a2 ,a3 ，满足 a1 + a3 = 0， AU B 的所有元素之和为90，求a3 + a4 = ；
【答案】10
2 2
【分析】根据 a1 + a3 = 0可得 a1 = a3 ，结合已知条件可得 a2 0，然后分情况讨论，a2 > 0和a2 = 0时，利用
集合元素的互异性和确定性即可求解.
【详解】由 a1 + a3 = 0可得 a1 = -a 2 23，所以 a1 = a3 ，
因为 A B = a2 ,a3 ，所以 a2 0，
若 a2 > 0，因为 a2 Z ，所以 a2 1，
2 2 2 2
所以 a2 a2 ， a3 < a3 ， a4 < a4 ，故 a4 a2 , a3
2 2
所以 a1 , a2 = a2 , a3 ，
ìa 21 = aí 2若 则 a = a 2 = a 4 = -a 4 = a 4a 2 3 2 1 3 3 ，可得
a3 = 0或 a3 =1
2 = a3
与 a3 > a2 1矛盾，所以此时不成立，
若a2 = 0，则 a4 > a > a 23 2 = 0，所以 a4 > a4 ，
2 2 2
所以 a4 a2 , a3 ，所以 a1 , a2 = a 22 , a3 即 a1 ,0 = 0, a3
2
显然 a1 = a = a
2
3 3 ，可得 a3 = 0或 a3 =1，
因为 a3 = 0与 a3 > a2 矛盾，所以 a3 =1， a1 = -1，
此时 A = -1,0,1,a4 ，B = 1,0,a24 ，所以 A B = -1,0,1, a4 ,a 24 ，
2
由题意知： a4 + a4 = 90 ，即 a4 +10 a4 - 9 = 0，解得 a4 = 9 或 a4 = -10（舍）
综上所述： a3 =1， a4 = 9 ，所以 a3 + a4 =10，
故答案为：10 .
题型 10 集合新定义
【解题规律·提分快招】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，
有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们
考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
【典例 1-1】
21-22 高三上·天津津衡高中·阶段练习）已知集合 A = x1, x2 , x3 , x4 且 x1 < x2 < x3 < x4 ，定义集合
B = x x =| xi - x∣j , xi 、x j A, i、j =1、2、3、4 ，若 B = A，给出下列说法：① x1 + x4 = x2 + x3 ；② 2x2 = x1 + x3 ；
③ 2x3 = x2 + x4 ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由集合的新定义结合B = A，可得 x3 - x2 = x4 - x3 = x2 - x1 ，由此即可求解
【详解】因为集合 A = x1, x2 , x3 , x4 且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
若B = A，
则 B 中也包含四个元素，即B = 0, x2 - x1, x3 - x1, x4 - x1 ，
剩下的 x3 - x2 = x4 - x3 = x2 - x1 ，
对于①：由 x4 - x3 = x2 - x1得 x4 + x1 = x2 + x3 ，故①正确；
对于②：由 x3 - x2 = x2 - x1得 2x2 = x1 + x3 ，故②正确；
对于③：由 x3 - x2 = x4 - x3 得 2x3 = x2 + x4 ，故③正确；
故选：D
【典例 1-2】
（23-24 高一上·天津滨海新区塘沽一中·期中）已知有限集 A = {a1,a2 ,× × ×,an}(n 2,n N) ，如果A 中元素
ai (i = 1,2,× × ×,n)满足 a1 + a2 + ×× × + an = a1 a2 ×× × an ，就称A 为“完美集”.
①集合{-1,- 3,-1+ 3}不是“完美集”；
②若 a1、 a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，则 a1、 a2至少有一个大于 2；
③二元“完美集”有无穷多个；
④若 a N*i ，则“完美集” A 有且只有一个，且 n = 3；
其中正确的结论是 (填上你认为正确的所有结论的序号)
【答案】②③④
【分析】对于①,根据定义检验 -1,- 3 + -1+ 3 与 -1,- 3 -1+ 3 是否相等即可.
对于②根据韦达定理即可判断是否正确.
对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组.
对于④,检验当 n = 3时,求得完美集的个数;同时检验当n 4时不存在完美集即可.
【详解】对于①, 根据定义.则 -1,- 3 + -1+ 3 = -2 , -1,- 3 -1+ 3 = -2
则 -1,- 3 + -1+ 3 = -1,- 3 -1+ 3 ,所以集合{-1,- 3,-1+ 3}是“完美集”,则①错误;
对于②,设 a1 + a2 = a1a2 = t > 0 ,由韦达定理可知
a1,a2可以看成一元二次方程 x2 - tx + t = 0
则D = t 2 - 4t > 0 ,解得 t > 4或 t < 0 (舍)
即 a1a2 > 4 ,所以至少有一个大于 2,所以②正确;
对于③,根据②可知一元二次方程 x2 - tx + t = 0当 t取不同值时, a1,a2的值是不同的.而 t > 4有无穷多个值,因
而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确;
对于④,设 a1 < a2 < a3 × ×× < an ,则
a1a2a3 × × × an = a1 + a2 + a3 + ×××+ an < nan
所以 a1a2a3 × × × an-1 < n
所以当 n = 3时, a1a2 < 3
因为 ai N
*
所以只能是 a1 =1, a2 = 2 ,由 a1a2a3 = a1 + a2 + a3 代入解得 a3 = 3 ,所以此时完美集只有一个为 1,2,3 ,所以④正
确;
故答案为: ②③④
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要
求较高,属于难题.
【变式 1-1】
（高三上·天津河西·开学考试）用 表示非空集合 中元素的个数，定义
，若 ， ， ，且 ，设实数 的所有可能取值
构成集合 ，则 =
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知得： 或 ，当 时，即 由两个相等实根，
即 且 没有实根， ,即 , , ;当 时，
即 由两个相等实根， 即 且 由两个不等实根，
, , 或 ,不成立，当 由两个不等实根， 即 且
由两个相等实根， ， ， , ，所以 有 3 个值，即
选 B.
考点：1.二次方程根的个数；2.集合元素.
【变式 1-2】
1 ì 1 1 ü
（22-23 天津汇文中学·期末）若 x A，则 A，就称 A 是伙伴关系集合，集合M = í-1,0, , ,1, 2,3, 4 的x 3 2
所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为
A．15 B．16 C． 28 D． 25
【答案】A
1 1
【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1, -1，“ 3和 ”，“ 2和 ”等四种可能，它们组成的非空子集的个
3 2
数为即为所求.
1
【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：－1 和 1 本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3 和 ，2
3
1
和 这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为 24－1＝15.故选 A.
2
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.
【变式 1-3】
（20-21 高一上·天津实验中学·阶段练习）已知集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，对它的非空子集A ，可将A 中的每
k k 2 3 5一个元素 都乘以 -1 再求和（如 A = 2,3,5 ，可求得和为：2 × -1 + 3 × -1 + 5 × -1 = -6，则对M 的
所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是 .
【答案】-256
【解析】首先确定每个元素在集合M 的所有非空子集中分别出现26 个，在求和.
【详解】因为集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，那么每个元素在集合M 的所有非空子集中分别出现26 个，
k
则对M 的所有非空子集中元素 k 执行乘以 -1 ，再求和操作，则这些和的总和是
26 é -1
1 1+ -1 2 2 + -1 3 3 + -1 4 4 + -1 5 5 + -1 6 6 + -1 7 7ù = -256
故答案为：-256
【点睛】本题主要考查集合的非空真子集的概念，理解本题的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档
题型.
题型 11 全称与特称命题
【解题规律·提分快招】
全称量词命题 p： x∈M，p(x)，它的否定綈 p： x∈M，綈 p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实
际意义进行 求解含有量词的命题中参数范围的策略。
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或
最小值)．
【典例 1-1】
（24-25 2 2高一上·天津·阶段练习）已知集合 A = x∣0 x a , B = x∣m + 3 x m + 4 ，若命题
“ $m R, A B ”为假命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．{a∣a < 3} B． a∣a 3 C．{a∣0 < a < 3} D．{a∣0 a < 3}
【答案】D
【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出 a 的范围.
【详解】由命题“ $m R, A B ”为假命题，得"m R, A B = 为真命题，
而 A = {x∣0 x a}, B = x∣m2 + 3 x m2 + 4 ，则"m R,0 a < m2 + 3，
(m2 + 3)min = 3，因此0 a < 3，所以实数 a 的取值范围为0 a < 3 .
故选：D
【典例 1-2】
（22-23 高一上天津武清区杨村一中·阶段练习）若 p : "x [1, 5]， ax 2 - x - 4 > 0 是真命题，则实数 a 的取值
范围是 ；
【答案】 5,+
4 1
【分析】根据 p : "x [1, 5]， ax 2 - x - 4 > 0 是真命题，由"x [1,5]， a > 2 + 恒成立求解.x x
【详解】解：因为 p : "x [1, 5]， ax 2 - x - 4 > 0 是真命题，
所以"x [1,5]， ax 2 - x - 4 > 0 恒成立，
4 1
即"x [1,5]， a > 2 + 恒成立，x x
4 1 1 1 2 1
则 t = + = 4
x2 x
+
x 8 ÷
- 5，
è 16
所以 a > 5，
故实数 a 的取值范围是 5,+
故答案为： 5,+
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津河西·阶段练习）已知命题 p ：“"x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0”，则 p为（ ）
A．$x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0 B．$x R, x2 - 2mx + m2 - 4 0
C．不存在 x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0 D．"x R, x2 - 2mx + m2 - 4 0
【答案】B
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题 p ：“"x R, x2 - 2mx + m2 - 4 = 0”，
则 p为$x R, x2 - 2mx + m2 - 4 0
故选:B
【变式 1-2】
（24-25 高一上·天津河北·期中）命题“ "x x 0 < x 2 1 1， ”的否定是（ ）
x 2
A．"x x 0 < x 2 1 1 1 1， > B．"x x 0 < x 2 ， <
x 2 x 2
C．$x x 0 < x 2 1 1， D．$x x 0 < x 2 1 1， <
x 2 x 2
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可解决.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ "x x 0 < x 2 1 1， ”的否定为“ $x x 0 < x 2 1 1， < ”，
x 2 x 2
故选：D.
【变式 1-3】
（21-22 高一上·天津第二南开中学·）已知命题：“ $x R， ax2 + 2ax -1 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围
是 .
【答案】 -1,0
【分析】命题：“ $x R， ax2 + 2ax -1 0 ”是假命题等价于命题：“ "x R ， ax2 + 2ax -1< 0 ”是真命题，再
解决含参的不等式恒成立问题即可.
【详解】命题：“ $x R， ax2 + 2ax -1 0 ”是假命题，
即命题：“ "x R ， ax2 + 2ax -1< 0 ”是真命题，
当 a = 0时，-1 < 0恒成立，符合题意；
当 a 0时，"x R ， ax2 + 2ax -1< 0 ,
ìa < 0
则 í 2 ，解得-1 < a < 0；
4a + 4a < 0
综上所述，a 的取值范围是 -1,0 .
故答案为： -1,0 .
题型 12 充分不必要求参
【解题规律·提分快招】
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
命题 p 对应集合M ，命题q对应集合是 N ，则 p 是q的充分条件 M N ， p 是q的必要条件 M N ，
p 是q的充要条件 M = N ， p 是q的充分不必要条件 M N ， p 是q的必要不充分条件 M N ．
【典例 1-1】
（23-24 天津耀华中学阶段练习）已知命题 p ：“关于 x 的方程 x2 - 4x + a = 0有实根”.若 p为真命题的充分
不必要条件为 a > 5m - 6，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 2, + B． - , 2
C． 2, + D． - , 2
【答案】C
【分析】由题设知 p 为假命题，结合一元二次方程的判别式求参数范围，再根据充分不必要关系求 m 范
围.
【详解】若 p为真命题，则 p 为假命题，
此时关于 x 的方程 x2 - 4x + a = 0没有实根，满足D =16 - 4a < 0，解得 a > 4 .
因为 a > 5m - 6是 a > 4的充分不必要条件，则5m - 6 > 4，可得m > 2 .
故选：C
【典例 1-2】
（24-25 高一上·天津西青·阶段练习）已知集合 A = {x∣0 < x < 2}，B = {x∣-1 < x < a +1}，若 x A是 x B成立
的一个充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 1, +
【分析】通过集合 A, B关系即可求解.
【详解】由 x A是 x B成立的一个充分不必要条件，
可知：A B ，
所以 a +1 2，解得a 1，
所以实数 a的取值范围是 1, + ，
故答案为： 1, +
【变式 1-1】
（20-21 天津河北区·阶段练习）已知条件 p : x +1 > 2，条件 q : x > a ，且 p是 q 的充分不必要条件，则实
数 a的值范围为（ ）
A． 1, + B． -1, + C．( ―∞,1] D． - ,3
【答案】A
【分析】由题意，可先解出 p：-3 x 1与 q ： x a，再由 p是 q 的充分不必要条件列出不等式即可
得出 a 的取值范围.
【详解】由条件 p : x +1 > 2，解得 x >1或 x < -3，故 p：-3 x 1，
由条件 q : x > a 得 q ： x a，
∵ p是 q 的充分不必要条件，
∴ a 1，
故选：A.
【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与
必要条件是解题的关键.
【变式 1-2】
3
（21-22 天津和平·阶段练习）已知 p : x k, q : <1，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围
x +1
是
A．[2, + ∞) B． (2,+ ) C．[1, + ) D． (- , -1]
【答案】B
【详解】由题意可得 q:x<-1 或 x>2,由 p 是 q的充分不必要条件，得 k > 2，选 B.
【变式 1-3】
（24-25 高一上·天津卓越中学·阶段练习）已知命题 p : "x R ，使 x2 - 4x + m 0为真命题，则实数 m 的取
值集合为 B，若 A = x 3a < x < a + 4 为非空集合，且 x A是 x B的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围
是 ．
é 4
【答案】 ê , 23 ÷
【分析】先求出集合 B，再利用充分不必要条件转化为A 是 B 的真子集，利用集合关系解题即可.
【详解】由题意，可知关于 x 的方程 x2 - 4x + m = 0无实数根，
所以Δ = 16 - 4m < 0，解得m > 4 ，即B = m m > 4 ，
因为 A = x 3a < x < a + 4 为非空集合，所以3a < a + 4，即 a < 2，
因为 x A是 x B的充分不必要条件，所以A 是 B 的真子集，
4 4
则3a 4，即 a ，所以 a < 2．
3 3
é 4
故答案为： ê , 2
3 ÷ ．
题型 13 必要不充分求参
【解题规律·提分快招】
(1)判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时，能否推出 p 成
立；若 p q 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 q p 为真，则 p 是 q 的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若 A B，则甲是乙的必要条件．
【典例 1-1】
（天津·模拟预测）已知条件 p : x +1 > 2，条件 q : x > a，且 p是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A．0 a 1 B．1 a 3 C．a 1 D． a 3
【答案】C
【分析】先解不等式得 p，q，再根据 p 是 q 的必要不充分条件得集合包含关系，列出不等式，解得结果.
【详解】 p : x +1 > 2 x >1或 x < -3，
q :当 a 0时， x > a x > a 或 x < -a ，当 a < 0时， x R，
因为 p是 q 的必要不充分条件，所以 q 是 p 的必要不充分条件，所以 p q .
ìa 0,
从而 a < 0或 ía 1, 0 a 1，即a 1 .
-a -3
故选：C
【点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
【典例 1-2】
（23-23 高二上·天津耀华中学·阶段练习）设命题 p ：实数 x 满足 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0，命题 q：实
ì
x x
2 - x - 6 0
数 满足 í 2 ，若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围为
x + 2x -8 > 0
2ù
【答案】 0, ú é3, +
è 3
【分析】解不等式求出其 p, q对应的集合，根据 p是 q的必要不充分条件，可得集合间的包含关系，列出
不等式组，即可求得答案.
【详解】解 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0，可得 a < x < 3a ，
ìx2 - x - 6 0 ì-2 x 3
解 í 2 ，即 í ，可得 2 < x 3，
x + 2x -8 > 0 x -4或x 2
因为 p是 q的必要不充分条件，
又 p : x | a < x < 3a ，则 p：{x | x a或 x 3a}， q∶ x | 2 < x 3 ，
则 x | 2 < x 3 {x | x a或 x 3a}，
ìa > 0 ìa > 0 2
所以 í3a 2 或 ía 3，解得
0 < a 或 a 3，
3
a 2ù故实数 的取值范围为 0, ú é 3, + ，
è 3
2ù
故答案为： 0, ú é3, +
è 3
【变式 1-1】
（2001 天津耀华中学·阶段练习）已知 f (x) = 2x + 3(x R)，若 | f (x) -1|< a 的必要条件是 | x +1|< b(a,b > 0)，
则 a，b 之间的关系是（ ）
A．b… a B．b a a b b< C． D． a >
2 2 2 2
【答案】A
a a
【详解】试题分析：不等式 f x -1 < a的解集为 (-1- ,-1+ ) ，不等式 x +1 < b 的解集为
2 2
a a a
，根据题意可知 (-1- ,-1+ ) 是 的子集，所以有b ，故选 A．
2 2 2
考点：绝对值不等式，充要条件的判断．
【变式 1-2】
（2022·天津滨海新区·模拟预测）已知命题：函数 f (x) = x3 + ax2 + (2m - a -1)x - m(a > 0, m > 0)，且关于 x 的
不等式 | f (x) |< m的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（ ）
A．m a B．m a
C．m a2 D．m a2
【答案】A
【分析】根据已知条件，可从已知出发，求得结论成立的 m 需要满足的关系，然后结合选项要求进行分析
验证，即可完成求解.
【详解】函数 f (x) = x3 + ax2 + (2m - a -1)x - m(a > 0, m > 0)，
故 f (0) = 0 + 0 + 0 - m = -m， f (1) =1+ a + 2m - a -1- m = m，
f ' (x) = 3x2 + 2ax + (2m - a -1) ， f ' (0) = 0 + 0 + (2m - a -1) = 2m - a -1，
令 g(x) = f ' (x) = 3x2 + 2ax + (2m - a -1)，所以 g ' (x) = 6x + 2a ，
因为 x 0,1 ， a > 0，所以 g ' (x) = 6x + 2a＞0，此时函数 g(x)是单调递增的，
所以 g(x)＞g(0) = 2m - a -1，要使得 | f (x) |< m的解集恰为（0，1）恒成立，
且 f (0) = -m、 f (1) = m则应满足在 x 0,1 为增函数，所以当 x 0,1 时， f ' (x)＞0，故
f '
a +1
(0) = 2m - a -1＞0，此时，m＞ ，由选项可知，选项 C 和选项 D 无法由该结论推导，故排除，而选项
2
a +1 1
C，m a2 ＞a2，若 ，此时- ＜a＜1与 a > 0矛盾，故不成立，所以该命题成立的必要非充分条件为2 2
m a .
故选：A.
【变式 1-3】
x -1
（20-21 2 2高三上·天津河西·开学考试） p : 1- 2， q : x - 2x +1- m 0 m > 0 ，且 q是 p 的必要不充分
3
条件，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】 9, +
【分析】解出 p 、 q中的不等式，由已知条件得出集合的包含关系，由此可解得实数m 的取值范围.
x -1 x -1 x -1
【详解】解不等式 1- 23 ，即
-1 2，可得-2 -1 2，解得-2 x 10，即 p : -2 x 10 ；
3 3
2
解不等式 x2 - 2x +1- m2 0，即 x -1 m2≤ ，Qm > 0，则-m x -1 m，解得1 ― ≤ ≤ 1 + ，
即 q :1- m x 1+ m .因为 q是 p 的必要不充分条件，则 -2,10 1- m,1+ m ，
ì1- m -2
所以， í1+ m 10 ，解得m 9 .当m = 9时，则有 -2,10 -8,10 ，合乎题意.
m > 0
综上所述，实数m 的取值范围是 9, + .故答案为： 9, + .
【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数，同时也考查了分式不等式与一元二次不等式的求解，考查
计算能力，属于中等题.
题型 14 古诗词辨析
【解题规律·提分快招】
古诗词类，风俗谚语类，这类文字辨析题，涉及到充分必要条件的辨析，多从“否定”或者“逆反命题”
等价性角度入手剖析。
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津红桥·期中）在二十四节气中，冬季的节气有立冬 小雪 大雪 冬至 小寒和大寒，则“甲
出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用是否推出关系来判断是否充分和必要条件即可，
【详解】“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”，
“甲出生在冬季”不能推出“甲出生在冬至”，
所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件.
故选：B.
【典例 1-2】
（22-23 高一上·天津宁河·阶段练习）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有
神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神
助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也
不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的
阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.
故选：C
【变式 1-1】
（24-25 高三·天津南开·模拟）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这
句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，
但“做难题”一定可以推出“做容易题”，
故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件，
故选：B.
【变式 1-2】
（21-22 高三 天津朱唐庄中学·阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这
句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是
“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可.
【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式 1-3】
（22-23 高三上·天津蓟州·阶段练习）鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸
须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具 1 枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于 1”是“甲
为须鲸”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性的定义及题设描述，判断条件间的关系.
【详解】“甲的牙齿的枚数不大于 1”，即甲无齿或有 1 枚独齿，故甲可为须鲸类或齿鲸类，充分性不成立；
“甲为须鲸”，即甲无齿，故甲的牙齿的枚数不大于 1，必要性成立；
所以“甲的牙齿的枚数不大于 1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件.
故选：B
题型 15 集合形式压轴小题
【典例 1-1】
n n
（2024·天津宝坻区·模拟预测）设 f x = x + sinx， an 为等差数列，Sn = ai ,Tn = f an ，则“ S2024 = 2024π ”
i=1 i=1
是“T2024 = 2024π ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分析函数 f (x) 的单调性与对称性，得函数 f (x) 在 上单调递增，且图象关于点 (π,π) 中心对称.再利
用等差数列的性质可得 a1 + a2024 = a2 + a2023 =L = a1012 + a1013 ，然后从充分性与必要性两个方面论证，用反证
法进行必要性的证明.
【详解】已知 f (x) = x + sin x, x R ，则 f (x) =1+ cos x 0，故 f (x) 在 上单调递增.
又由 f x = x + sinx，得 f (2π - x) = 2π - x + sin 2π - x = 2π - x - sin x，故 f (x) + f 2π - x = 2π ，则函数 f (x)
的图象关于点 (π,π) 中心对称.已知数列 an 是等差数列，则 a1 + a2024 = a2 + a2023 =L = a1012 + a1013 .
①先证明充分性：
若 S2024 = 2024π，由数列 a
2024(a + a
是等差数列，可得 S = 1 2024
)
n 2024 = 2024π ，2
则 a1 + a2024 = a2 + a2023 =L = a1012 + a1013 = 2π ，所以由函数 f (x) 的对称性可知，
f (a1) + f (a2024 ) = 2π ， f (a2 ) + f (a2023) = 2π ，L， f (a1012 ) + f (a1013) = 2π ，
2024
T2024 = f ai =1012 2π = 2024π ，即“ S2024 = 2024π T2024 = 2024π ”得证.
i=1
因此，“ S2024 = 2024π ”是“T2024 = 2024π ”的充分条件；
②再证明必要性：
下面用反证法证明：
S < 2024π a 2024(a + a )假设 2024 ，已知数列 n 是等差数列，则 1 2024 < 2024π ，2
即 a1 + a2024 < 2π ，由等差数列性质可得 a1 + a2024 = a2 + a2023 =L = a1012 + a1013 < 2π ，
所以 a1 < 2π - a2024 , a2 < 2π - a2023 ,L, a1012 < 2π - a1013 , ,L, a2024 < 2π - a1，
由函数 f (x) = x + sin x 在 上单调递增，可得 f (a1) < f (2π - a2024 ) = 2π - f (a2024 ) ，
f (a2 ) < f (2π - a2023) = 2π - f (a2023)， f (a2024 ) < f (2π - a1) = 2π - f (a1)，
2024 2024
各式累加得，T2024 = f ai < 2024 2π - f (ai ) = 2024 2π -T2024，
i=1 i=1
所以 2T2024 < 2024 2π，即T2024 < 2024π ，
这与已知T2024 = 2024π矛盾，故假设错误；
同理，假设 S2024 > 2024π，可证得T2024 > 2024π ，也与已知T2024 = 2024π矛盾，故假设也错误；
所以“T2024 = 2024π S2024 = 2024π ”得证.
即“ S2024 = 2024π ”是“T2024 = 2024π ”的必要条件.
综上所述，“ S2024 = 2024π ”是“T2024 = 2024π ”的充要条件.故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于应用反证法进行必要条件的证明，基于自变量不等（大小）关
系的假设，借助函数 f (x) 单调递增等价转化为函数值的不等关系，进而结合函数对称性推出与等量关系矛
盾.
【典例 1-2】
（23-24 高三上·天津武清·模拟）已知 a > 0,b > 0，则在下列关系① a2 + b2 2 ；② b e1-a ；
cos a 1③ ；④ ea - ea = eb - eb中，能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的个数是（ ）2 3 - b
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【分析】利用基本不等式可判断①；数形结合，作出 y = e1-x 的图象，结合不等式相应的几何意义判断②；
1 1 a 1
利用放缩法说明 ，再用构造函数，利用导数知识说明 cos ，从而判断③；构造函数
3 - b a +1 2 3 - b
g(a) = ea - ea,a (0, 2)，求导判断单调性，数形结合，说明两命题之间的推理关系，判断④.
3 1
【详解】对于①，取 a = ,b = ，满足 a + b 2，但不满足 2
2 2 a + b
2 2 ，
即 a + b 2成立推不出 a2 + b2 2 ，
由于 a2 + b2 2ab，故 2(a2 + b2 ) (a + b)2 ,\a + b 2(a2 + b2 ) ，
而 a2 + b2 2 ，故 a + b 2，当且仅当 a = b =1时取等号，
即 a2 + b2 2 成立可推出 a + b 2成立，
故 a2 + b2 2 不是“ a + b 2 ”的必要不充分条件；
对于②，作出函数 y = e1-x 的图象，如图曲线，即将 y = e- x 的图像向右平移 1 个单位得到；
则 y e1-x （ x > 0, y > 0）表示几何意义为曲线 y = e1-x 在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标
轴），
则b e1-a 中相应的点 (a , b ) 所在区域即上述区域；
而 a + b 2表示的几何意义为直角三角形 AOB区域部分（不含坐标轴），
显然直角三角形 AOB区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线 y = e1-x 在第一象限内和坐标轴围成的区域部
分（不含坐标轴）相应集合的真子集，
即b e1-a 是 a + b 2的必要不充分条件，
1 1
对于③，由 a + b 2得3- b a +1，故 ，（ a,b (0, 2)），
3 - b a +1
1 a 1
设 f (a) = cos
a 1
- , (0 < a < 2) ，则 f (a) = - sin + 2 , (0 < a < 2)2 a +1 2 2 (a +1)
，
则 f (a) 在 (0,2)
1
上单调递减，且 f (0) =1, f (2) = - sin1
1 1
+ < - sin π 1+ < 0，
2 9 2 4 9
则存在 a0 (0, 2)，使得 f (a0 ) = 0，即 a (0, a0 ) 时， f (a) > 0， f (a) 在 (0, a0 ) 上单调递增，
a (a0 , 2) 时， f (a) < 0， f (a) 在 (a0 , 2)上单调递减，
而 f (0) = 0, f (2) = cos1
1
- > 0，则在 (0,2)上 f (a) > 0恒成立，
3
a 1 a 1
即 cos ，故 cos ；
2 a +1 2 3 - b
cos a 1 a 2,b 1 cos1 1 2而当 成立时，不妨取 = = ， > > 成立，
2 3 - b 2 2 5
但 a + b 2不成立，故 cos
a 1
是 a + b 2的必要不充分条件；
2 3 - b
对于④，当 a + b 2时，设 g(a) = ea - ea,a (0, 2)，
则 g (a) = ea - e，显然 g (a) 在 (0,2)单调递增，
当0 < a <1时， g (a) < 0， g(a)在( 0, 1)单调递减，
当1 < a < 2时， g (a) > 0， g(a)在 (1, 2)单调递增，
又 g(1) = 0, g(0) =1, g(2) = e2 - 2e >1，
作出 g(a)的大致图象如图：
由图象可知存在 t (1, 2)，使得 g(t) =1，
故当 a (t, 2)时， g(a) = ea - ea,a (0, 2)只有唯一解，
若 a = b，使得 ea - ea = eb - eb，则 a + b > 2 ，与条件不符，
即此时得不出 ea - ea = eb - eb，
即 ea - ea = eb - eb不是 a + b 2的必要条件，
故能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的是②③，
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，实质还是考查导数的应用，难度较大，难点是选项③④的判
断，解答时要注意利用放缩法结合构造函数判断③，利用构造函数，判断函数单调性，数形结合判断④.
【变式 1-1】
（22-23 高三上·天津红桥·模拟）已知点集Λ = (x, y) | x Z, y Z , S = (a,b) Λ |1 a 5,1 b 5 ．设非空
点集T Λ，若对S 中任意一点 P ，在T 中存在一点Q（Q与 P 不重合），使得线段 PQ上除了点P,Q 外没有
L中的点，则T 中的元素个数最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据整点 (a,b),(c,d )的连线内部没有其它整点，当且仅当a - c 与b - d 互为素数，讨论T 只有一个
点 (x, y)得到矛盾，进而有T 中元素不止一个，取T = {(2,6), (3,6)}分析是否满足要求即可.
【详解】对于整点 (a,b),(c,d )的连线内部没有其它整点，当且仅当a - c 与b - d 互为素数，
若T 只有一个点 (x, y)，取S 的点 (a , b ) 使 a, x 和b, y 分别同奇偶，a - x,b - y有公因子 2（或重合），不合题意，
故T 中元素不止一个，令T = {(2,6), (3,6)}，对于S 的点P(a,b) ，
当 a =1或 3 时，取Q(2,6)；当 a = 2或 4 时，取Q(3,6)；
由于 P 、Q横坐标之差为±1，故 PQ内部无整点；
当 a = 5，b {1,3,5}时，取Q(3,6)，此时横坐标之差为 2，纵坐标之差为奇数，二者互素；
当 a = 5，b {2,4}时，取Q(2,6)，此时横坐标之差为3，纵坐标之差为-4,-2，二者互素；
综上，T 中的元素个数最小值是 2.
故选：B
【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点 (a,b),(c,d )的连线内部没有其它整点，当且仅当a - c 与b - d 互为
素数为关键.
【变式 1-2】
（2024·天津河西区模拟）设集合 S = x R+ | xn = n,n N+ 则集合S 中最小的元素是 ，集合S 中最大的
元素是 ．
【答案】 1 3 3
y ln x
1
【分析】构造函数 = ，借助函数 y
ln x
= 的单调性找到
x x g x = x x 的单调性即可求解.
1
【详解】Q xn = n， x R+ , n N+ ，则 x = n n = nn ，
y ln x , x 1, y 1- ln x构造函数 = + ，则 = 2 ，令 y = 0，则 x=e，x x
当 x 1,e ， y > 0，当 x e,+ ， y < 0，
\ ln x函数 y = 在 1,e 上单调递增，在 e,+ 上单调递减，
x
y ln x
1
1 1
又 = = ln x x ，则 e y = eln x x = x x ，x
1 1
令 g x = x x ，则函数 g x = x x 在 1,e 上单调递增，在 e,+ 上单调递减，且 x + 时， g x 1，
1 1
因此结合函数 g x = x x 的性质知， x = nn ， x R+ , n N+ ，当 n =1时， xmin =1，
又当 n = 2时， x = 2 ，当 n = 3时， x = 3 3 ，
又9 = 6 63 3 > 2 = 8，故 3 3 > 2 ，因此当 n = 3时， x = 3max 3 .
故答案为：1； 3 3 .
【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些
数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函
数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握
好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，
是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
【变式 1-3】
（23-24 高三·天津宁河·阶段练习）若 X 是一个集合，T 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足：
① X 属于T ，空集 属于T ；②T 中任意多个元素的并集属于T ；③T 中任意多个元素的交集属于T ，则
称T 是集合 X 上的一个拓扑．已知函数 f (x) = [x[x]]，其中[x]表示不大于 x 的最大整数，当 x (0,n],n N*
时，函数 f (x) 值域为集合 An ，则集合 A2上的含有 4 个元素的拓扑T 的个数为 ．
【答案】9
【分析】根据集合 X 上的拓扑的集合T 的定义，判断 n 的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合 A2
上的含有 4 个元素的拓扑T 的个数．
【详解】因为函数 f (x) = [x[x]]，其中[x]表示不大于 x 的最大整数，当 x (0,n],n N*时，函数 f (x) 值域为
集合，
所以 n = 2，故0 < x 2，
①当0 < x <1时，则 x = 0,\ f [x[x]] = 0，
②当 x =1时， x =1显然 f 1 =1，
③当1 < x < 2时， x =1，\ f é x x ù = x =1，
④当 x = 2时， f 2 = 4，
ìA
A A2
\ A2 = 0,1,4
，∵T 中含有 4 个元素，其中两个元素 和 A2，设其它两个元素为 A, B，则 íB ，
B A2
A B
由对称性，不妨设1 A B 2，其中 A , B 表示集合 A 中元素的个数，
ìA B TQí ，又 A B ，\ A B = A
A
或 ，
B T
若 AI B = ，则 AU B 只能等于 A2，（若 AU B = B，则 A B ，则 AI B = A = ，矛盾），
ì A =1
则必有 í ，
B = 2
ìA = 0 ìA = 1 ìA =
4
∴ A, B 的个数 A的个数 = 3种．即 íB 或 或 ； = 1,4
íB = 0,4 í B = 0,1
ì A =1
若 A B = A A B
，此时满足 AU B = B，Q A B 且1 A 且 B 2，所以 í
B = 2
，
∴B C2 1的选择共有 3 = 3种，则A 的个数有C2 = 2种，
∴ A, B 的个数= 2 3 = 6 种．
ì A = 0 ìA = 1 ì A = 0 ìA = 4 ìA = 1 ìA = 4
这 6 种是 í , , , ,
,
B ， = 0,1
í
B = 0,1
í í
B = 0,4 B = 0,4
í
B = 1,4
í
B = 1,4
综上可知T 的个数为 9 个．
故答案为：9．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合新定义，得到若 AI B = 时， A, B 的个数 A的个数 = 3
种；若 A B = A A B 时， A, B 的个数= 2 3 = 6 种.
1．（2022·湖北·模拟预测）设集合 A = {a | $x R, a x = loga x (a >1)}， B = {y | "x 0, xy ln( 2x + 2x2 +1)}，下列
说法正确的是（ ）
A． A B B．B A C．B A = D． B I A
【答案】D
【分析】利用因为 y = a x 与 y =loga x互为反函数，所以，互相关于 y = x 对称，得到 a x x，进而得出集合A
B y ln( 2x + 2x
2 +1) g(x) ln( 2x + 2x
2 +1)
的范围；对于集合 ，化简得 ，设 = ，进而利用导数求出 g(x)
x x
的最值，得出集合 B 的范围，即可求解
【详解】对于集合 A = a $x R,a x = loga x (a 1) ，因为 y = a x 与 y =loga x互为反函数，所以，互相关于 y = x
对称，而$x R, a x = loga x ，所以，只需要 a x x即可，因为 a >1，所以，
ln x 1- ln x
x ln a ln x ，得 ln a ，设 f (x)
ln x
= ，得 f (x) =
x x x2
，所以，
x (0,e)， f (x) > 0， f (x) 单调递增； x (e,+ ) ， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减，所以，
1 1 ù
f (x) 1Max = f (e) = ，得到1< a ee ，所以， A = 1,e
e ú；e è
2
对于集合B = {y | "x 0, xy ln( 2x 2x2 1)} y ln( 2x + 2x +1)+ + ，化简得 ，设
x
2x
g(x) ln( 2x + 2x
2 +1) - ln( 2x + 2x2 +1)
= ， 2x2 +1 ，因为 x
2 > 0，
x g (x) =
x2
2x 2 -2 2x2
可设 h(x) =
- ln( 2x + 2x +1)
2x2 +1 ， h (x) = < 0 ，2x2 +1 2x2 +1
x2
\h(x)单调递减，又 h(0) = 0，所以，当 x > 0时， h (x) < 0 ， h(x) < 0，\ g (x) < 0， g(x)单调递减，利用洛必
达法则，
2 2x+
x 0 时， lim ln( 2x + 2x
2 +1) lim ln( 2x + 2x
2 +1)
= = lim 2x
2 +1 = 2 ，
x 0 x x 0 x x 0 1
所以， y = g(x) 2 ，所以， B = é 2,+ ；
1
由于 A = (1, )， B = é 2,+ ，所以，D 正确e
故选：D
a2
2．（2021·上海浦东新·三模）已知数列 an 满足 a1a2 0，若an+2 = a n+1n+1 + ，则“数列 a 为无穷数列”是“数a nn
列 an 单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
an+1 b b
【分析】由已知可得 = n + -1a a ，设bn = n + -1a ，若存在正整数
m ，当bm = 0时，有 am+1 = 0，此时数列{an}
n
an+1
为有穷数列；若bn 恒不为 0，由 = bn ，有 an+1 0 ，此时{an}a 为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件n
的定义进行分析即可得结论．
【详解】解：令 a1 = a ， a2 = b(ab 0) ，
a 2 a a a a
由 an+2 = an+1 +
n+1 a 0 n+2 = 1 + n+1 n+2 - n+1
a ，可得 n ，所以 ，即
=1，
n an+1 an an+1 an
ìa ü a b
所以数列 í n+1 2为等差数列，首项为 =a ，公差为 1， an 1 a
an+1 b b
所以 = + (n -1) 1 = n + -1a ，n a a
b b设 n = n + -1，则数列{b }a n 是单调递增的等差数列，
若存在正整数m ，当bm = 0时，则有 am+1 = 0，此时数列{an}为有穷数列；
an+1
若bn 恒不为 0，由 = ba n ，有
an+
