专题 06 导数比大小与构造函数型
目录
题型 01 比大小：超复杂构造函数 ....................................................................................................................................1
题型 02 比大小：函数与方程零点型 ................................................................................................................................2
题型 03 比大小：三角函数与幂指对型 .............................................................................................................................3
题型 04 比大小：幂指对中间值型 .....................................................................................................................................3
题型 05 比大小：泰勒与麦克劳林展开 ............................................................................................................................4
题型 06 构造函数：幂函数构造 ........................................................................................................................................5
题型 07 构造函数：指数函数构造 ....................................................................................................................................6
题型 08 构造函数：三角函数型 .........................................................................................................................................7
题型 09 构造函数：复合型构造 ........................................................................................................................................8
题型 10 构造求参：同构型 ................................................................................................................................................9
题型 11 构造求参：二次构造型 ......................................................................................................................................10
题型 12 构造求参：数列型构造 .......................................................................................................................................10
题型 01 比大小：超复杂构造函数
【解题规律·提分快招】
利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利
用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题
构造函数比大小问题，比较两个数 a,b大小的方法如下：
①将 a,b两个数恒等变形，使两数有共同的数字m ，
②将m 看成变量 x ，构造函数，
③分析包含m 的某个区域的函数单调性，
④根据函数单调性比较大小.
【典例 1-1】
7 9 1
（23-24 天津经济技术开发区第一中学）已知 -a = e 8 ，b = ln ， c = ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）8 8
A． c < a < b B．a < c < b C． c < b < a D．b < c < a
【典例 1-2】
（天津市实验中学 2024 届高三下学期考前）已知 a = log23，b = log3 4， c = log45，则 a，b ， c的大小关系
是（ ）
A．a < b < c B．a < c < b
C． c < a < b D． c < b < a
【变式 1-1】
b
2024· 1 天津河西·一模）已知 2a = π ， ÷ = e ，b = loga c，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 2
A．b < c < a B．a < b < c C． c < a < b D． c < b < a
【变式 1-2】
（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知 a = 0.16，b = e0.4 -1， c = 0.8 - 2ln1.4 ，则 a，b，c 的大小关系为
（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > a > c D． c > b > a
【变式 1-3】
1 1
（2022·四川广安·二模）设 a = ，b = 2ln sin + cos
1 c 6 ln 51÷， = ，则 a，b ， c的大小关系正确的50 è 100 100 5 50
是（ ）
A．a < b < c B．a < c < b
C．b < c < a D．b < a < c
题型 02 比大小：函数与方程零点型
【典例 1-1】
1 x1 1 x +1 x
22-23 · · x x x = log x
2 3
（ 高一上 北京 期末）已知 1， 2， 3 满足 ÷ 1 1， ÷ = log x
1
1 2 ， ÷ = log 1 x2 2 3 3
，则x1，
è 2 è 2 è 2
x2， x3 的大小关系为（ ）
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x3 < x1 C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
【典例 1-2】
2023·河南·模拟预测）已知 a = lnp ,b = log3p ,c = p ln2，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A．b < a < c B．a < b < c C． c < b < a D．b
【变式 1-1】
1
（2024·四川遂宁·二模）已知 a，b，c 均为正数，且 = 2a - log2 (a +1)
2
，b = (b2
1
- )4b-1 c c 1， =
a 2 ec-1
+ ，
2c
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b < c < a B．b < a < c
C． c < a < b D． c < b < a
【变式 1-2】
（23-24 高一上·江苏泰州·期中）已知三个互不相等的正数 a,b,c满足
2
a = e3 ,b = log 3 + log 6,c = log 2a +1 ，（其中 e = 2.71828L是一个无理数），则 a,b,c的大小关系为2 9 5
（ ）
A．a < b < c B．a < c < b
C． c < a < b D． c < b < a
【变式 1-3】
4 4 - c2
（2024· a 2 b四川广安·二模）已知 a，b ， c均为正数， a =1+ - 2 ，b = 4 + b 2 - 3 ， = log4 c + 3a ，则c
a，b ， c的大小关系为（ ）
A．b题型 03 比大小：三角函数与幂指对型
【解题规律·提分快招】
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
π
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当 x (0， 2 )时， sinx < x
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。
【典例 1-1】
（2019· x天津北辰·一模）已知 x 0,1 ，令 a = log3 x,b = 2 ,c = sin x ，那么 a,b,c之间的大小关系为（ ）
A．a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D．a < c < b
【典例 1-2】
（2023·山东·模拟预测）已知 a = e0.03 -1，b = ln1.03， c = tan 0.03，其中 e = 2.71828L为自然对数的底数，
则 a，b ， c的大小关系是（ ）
A． c > a > b B． a > c > b
C．b > c > a D． a > b > c
【变式 1-1】
5 1
（24-25 高三上·安徽·阶段练习）设 a = ln ,b = sin ,c = 0.2，则 a,b,c的大小关系为（ ）
4 4
A． a > b > c B．b > a > c
C．b > c > a D． c > b > a
【变式 1-2】
2025 1 1 1
（2024·浙江绍兴·模拟预测）现有 a = ln ，b = ， c = sin - cos +1，则 a,b,c的大小关系为
2023 1012 1012 1012
（ ）
A． a > c > b B． c > b > a C． c > a > b D． a > b > c
题型 04 比大小：幂指对中间值型
【解题规律·提分快招】
求解幂指对比大小这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、
概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，
构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；
②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到对应的函数，
再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津河西·阶段练习）已知 a = log 0.7，b =1.40.7， c = 0.71.41.4 ，则 a，b ， c的大小关系是
（ ）
A．a < b < c B．a < c < b C． c < a < b D． c < b < a
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知 a = log0.2 0.3，b = log0.3 0.2， c = log2 3，则 a，b ， c的大小关系为
（ ）
A．b < c < a B． c < b < a C．a < b < c D．a < c < b
【变式 1-1】
（2023· a天津南开·一模）已知 e = lg2,b = lg ln2 ,c = ln 1 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
2
A． c < b < a B．b < a < c
C．a < c < b D．b < c < a
【变式 1-2】
2 2
（22-23
ln 6
高三上·天津河东·期中）若 a = ，b = ln 2ln3
ln 2π
， c = ，则 a，b ， c的大小关系是（ ）
4 4
A． a > b > c B． c > b > a C． c > a > b D．b > a > c
【变式 1-3】
4
（21-22 · a b高三上 江苏泰州·期末）已知 2 = 3,5 = 2 2,c = ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
5
A． a > b > c B． c > b > a C． c > a > b D． a > c > b
题型 05 比大小：泰勒与麦克劳林展开
【解题规律·提分快招】
麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
2 n
ex 1 x x L x= + + + + + o
2! n! x
n+1 ，
3 5 2n+1
sin x x x= x - + -L+ -1 n x + o x2n+2
3! 5! 2n +1 ! ，
x2 x4cos x 1 x
6 2n
= - + - +L+ -1 n x + o x2n2! 4! 6! 2n ! ，
2 3 n+1
ln 1+ x = x x x x- + -L+ -1 n + o xn+1 ，2 3 n +1
1
=1+ x + x2 +L+ xn + o xn ，
1 x -
1+ x n n n -11 nx = + + x2 + o x2 .2!
【典例 1-1】
π 1
（22-23 高三上·江苏无锡·期末）设 a = ，b = cos1， c = sin ，这三个数的大小关系为（
3 ）6
A．a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D．a < c < b
【典例 1-2】
a = ln2 b sin 4， = ， c = e-0.4，则 a，b，c 的大小关系是（5 ）
A． c > b > a B．b > c > a
C．b > a > c D． a > b > c
【变式 1-1】
（2022 年新Ⅰ卷高考真题第 7 题）
设 a = 0.1e0.1，b
1
= ， c = - ln 0.9则（ ）
9
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c < b
【变式 1-2】
31 1 1
（2022·全国·统考高考真题）已知 a = ,b = cos ,c = 4sin ，则（ ）
32 4 4
A． c > b > a B．b > a > c C． a > b > c D． a > c > b
【变式 1-3】
（2021·全国·统考高考真题）设 a = 2ln1.01，b = ln1.02， c = 1.04 -1．则（ ）
A． a < b < c B．b题型 06 构造函数：幂函数构造
【解题规律·提分快招】
幂函数积形式构造：
1.对于xf (x)+f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=x f（x），
2.对于xf (x) + kf (x) > 0 （< 0），构造g（x）=xk f（x）
幂函数商形式构造：
1.对于x f (x)-f (x) > 0 0 f（x）（< ），构造g（x）= ，
x
2.对于x f (x)-kf (x) > 0 （< 0 f（x）），构造g（x）=
xk
【典例 1-1】
（23-24 高二下·天津·期中）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足， f -2 = 0，当 x > 0时，
xf x - f x < 0 ，则 f x > 0的解集为（ ）
A． - , -2 U 0,2 B． - ,-2 2, +
C． -2,0 0,2 D． -2,0 U 2,+
【典例 1-2】
（23-24 高二下·天津·阶段练习）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 xf x - f x < 0 ，且 f 2 = 2，则
f ex - ex > 0的解集是（ ）
A． - , ln2 B． ln2,+ C． 0,e2 D． e2 ,+
【变式 1-1】
（19-20 高三上·天津·期中）已知定义域为R 的奇函数 y = f (x) 的导函数为 y = f (x)，当 x 0时，
f (x) f (x)
2
0
2 1 1
+ < ，若 a = f ÷ ,b = -2 f -2 ,c = ln f
ln a , b , c
x ÷，则 的大小关系正确的是（ ）3 è 3 3 è 3
A．a < b < c B．b < c < a C．a < c < b D． c < a < b
【变式 1-2】
（19-20 高二下·安徽黄山·期中）已知函数 f (x) 满足 f (x) + f (-x) = 0，且当 x (- ,0)时， f (x) + xf x < 0
a = 20.6成立，若 × f 20.6 ，b = (ln 2) × f (ln 2) 1 1 ， c = log2 ÷ × f log2 ÷ ，则 a，b ， c的大小关系是（8 8 ）è è
A． a > b > c B． c > b > a C． a > c > b D． c > a > b
【变式 1-3】
（23-24 高三上·江苏常州·期末）已知定义在R 上的函数 f x 的导数为 f x ， f 1 = e，且对任意的 x 满足
f x - f x < ex x，则不等式 f x > xe 的解集是（ ）
A． - ,1 B． - ,0 C． 0, + D． 1, +
题型 07 构造函数：指数函数构造
【解题规律·提分快招】
指数型构造，主要以 e 的指数型为核心
ex函数积形式构造：
1.对于f (x)+f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=ex f（x），
2.对于f (x)+kf (x) > 0 （< 0），构造g（x）=ekx f（x）
【典例 1-1】
（22-23 高二下·天津西青·期末）已知可导函数 f x 的导函数为 f x , f 0 = 2023，若对任意的 x R ，都
有 f x < f x x，则不等式 f x < 2023e 的解集为（ ）
A． 0, + 2023 B． , + ÷
è e2
- , 2023 C． 2 ÷ D． - ,0 è e
【典例 1-2】
（23-24 高二下·天津·期末）定义在R 上的函数 f x 导函数为 f x ，若对任意实数 x，有 f x > f x ，且
f x + 2024 x为奇函数，则不等式 f x + 2024e < 0的解集为（ ）
A． 1 1- ,0 B． 0, + C． - , ÷ D． ,+
÷
è e è e
【变式 1-1】
（23-24 高二下·天津·期末）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且
x -1 é f x + f x ù > 0, f 2 - x = f x e2x-2
f lnx f 2
，则不等式 2 < 的解集是（ ）e x
A． 0,e2 B 2． 1,e C． e,e2 D． e2 ,+
【变式 1-2】
（19-20 高三上·天津·开学考试）定义在 R 2x上的函数 f x 满足： f ' x - f x < e ， f ln 2 = 4，则不等式
f x > e2x 的解集为
A． - , ln 2 B． - , 2
C． ln 2,+ D． 2, +
【变式 1-3】
（17-18 高三下·天津·阶段练习）设定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f (x) >1， y = f (x) - 3为奇函数，且
f (x) + f '(x) >1，则不等式 ln( f (x) -1) > ln 2 - x的解集为
A． 1,+ B． - ,0 1, + C． - ,0 0, + D． 0, +
题型 08 构造函数：三角函数型
【解题规律·提分快招】
三角函数形式构造：
1.对于sinx f (x) + cosx f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=f（x） sinx ，
2.对于sinx f (x)-cosx f (x) > 0 （< 0 g x = f（x）），构造 （ ）
sinx
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.对于cosx f (x)-sinx f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=f（x） cosx ，
2.对于cosx f (x)+sinx f (x) > 0 （< 0 f（x）），构造g（x）=
cosx
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例 1-1】
π π
（24-25 高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数 y = f (x) 对于任意的 x (- , )满足 f (x)cos x + f (x)sin x > 0（其
2 2
中 f (x)是函数 f (x) 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． 2 f (
π) > f ( π) B． 2 f (
π
- ) > f ( π- )
3 4 3 4
C． f (0) > 2 f (
π) D． f (0) > 2 f (
π)
4 3
【典例 1-2】
π
（24-25 高三上·福建南平·期中）定义在 0, ÷上的函数 f x ， f x 是 f x 的导函数，且
è 2
f x < - tan x × f x π π 2 3 π 成立， a = 2 f ÷，b = 2 f ÷， c = f ÷，则 a，b ， c的大小关系为（3 4 ）è è 3 è 6
A．b > a > c B． c > b > a C． c > a > b D． a > b > c
【变式 1-1】
π π
（2024 高三·
全国·专题练习）已知函数 y = f x 对于任意的 x - , ÷满足 f x cos x + f x sin x > 02 2 （其è
中 f x 是函数 f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． f 0 > 2 f π π π 4 ÷ B． 2 f - ÷ > f - ÷è è 3 è 4
2 f π > f π f 0 > 2 f π C． ÷ D．
è 3 è 4 ÷ è 3 ÷
【变式 1-2】
（20-21 高三上·重庆·阶段练习）已知 f x 是定义域为 R 的奇函数， f x 是 f x 的导函数， f -1 = 0，
当 x > 0时， xf x - f x < 0 ，则关于 x 的不等式 xf x > 0解集为 .
【变式 1-3】
19-20 · · f x π π （ 高三 天津 周测）已知可导函数 是定义在 - , ÷上的奇函数．当 x 0,
π
2 2 2 ÷
时，
è è
f x + f x tan x > 0 cos x × f π，则不等式 x +
÷ + sin x × f -x > 0 的解集为（2 ）è
π , π π ,0 π π π A． - - ÷ B． - ÷ C． - ,- D - ,02 6 6
．
2 4 ÷ 4 ÷è è è è
题型 09 构造函：复合型构造
【解题规律·提分快招】
混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几方
面入手：
1. 常见函数与 f（x）的和差积商型，如幂指对以及对勾等等
2. 复合型甚至多重复合型函数与 f（x）的和差积商型
求导结果的逆向思考，如见到常数b，则有可能是bx形式。
【典例 1-1】
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 f x < x f x -1 （ f x 为 f x
的导函数），且 f 1 = 0，则（ ）
A． f 2 < 2 B． f 2 > 2
C． f 3 < 3 D． f 3 > 3
【典例 1-2】
1
（2018·辽宁朝阳·三模）设函数 f（x）是定义在区间 ，+ 2 ÷上的函数，
f'（x）是函数 f（x）的导函数，且
è
x
xf x 1 e ln 2x > f x , x , f
e
> ÷ ÷ =1，则不等式 f ÷ < x 的解集是
è 2 è 2 è 2
1
A． ，1
2 ÷
B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（0，1）
è
【变式 1-1】
x 2
（2013· e e辽宁·高考真题）设函数 f x 满足 x2 f x + 2xf x = , f 2 = , 则 x > 0时， f x
x 8
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【变式 1-2】
ln x + x - t 2 é1 ù
（16-17 高三上·山西朔州·期中）已知函数 f x = ， t R ，若存在 x ê , 2 ，使得x 2 ú
f x + xf x > 0，则实数 t的取值范围是
- , 2 3- , 9A． B． ÷ C． - , ÷ D． - ,3
è 2 è 4
【变式 1-3】
（20-21 高二下·天津武清·期末）若 f (x) 为定义在R 上的连续不断的函数，满足 f (x) + f (-x) = 4x2 ，且当
x (- ,0)时， f (x)
1
+ < 4x．若 f m +1 f m 3- + 3m + ，则m 的取值范围 ．
2 2
题型 10 构造求参：同构型
【解题规律·提分快招】
同构法：
对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求
解.
【典例 1-1】
e2x
m
1 x
（23-24 高二下·天津·期中）对"x1, x2 1,2 ，当 x1 < x2时， 12x < ÷ ，则实数m 的取值范围是（ ）e 2 è x2
A． - , 2 B． - , 2 C． - , 4 D． 4, +
【典例 1-2】
x ln x - x ln x
（23-24 高二下·天津·期中）若对任意的 x1, x2 m, + 1 2 2 1，不等式 > 2x - x 恒成立，则实数 m 的取1 2
值范围是（ ）
1
A． ,e
3 é1 ù
÷ B
3
． ê ,e ú C． e3 ,+ D 3e e ． ée , + è
【变式 1-1】
1
2022 · 2（ 高二下 河南南阳·专题练习）已知 f x = a ln x + x a > 0 ，若对任意两个不等的正实数x1、 x2 2都
f x2 - f x1
有 2恒成立，则 a的取值范围是（ ）
x2 - x1
A． 1, + B． 1, +
C． 0,1 D． 0,1
【变式 1-2】
x f x f x
（2018· e吉林·模拟预测）已知函数 f (x) = - ax，x (0,+ )，当 x2 > x1 > 0
1 2
时，不等式 < 恒成立，
x x2 x1
则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (- , e]
e e ù
B． (- , e) C． - , 2 ÷
D． - ,
è è 2 ú
【变式 1-3】
a x1
（2022·福建南平·三模）对任意的 x1, x2 1,3 ，当 x1 < x2时， x1 - x2 - ln > 0 a3 x 恒成立，则实数 的取值范2
围是（ ）
A． 3, + B． 3, + C． 9, + D． 9, +
题型 11 构造求参：二次构造型
【解题规律·提分快招】
多参型：
1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数；
2.参数看作常数，求最值---恒成立；
3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型
简单理解：2 与 3 的最值是相反的
【典例 1-1】
2 n
（24-25 x高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = + 2 n +1 x - 2xlnx m,n R 没有极值点，则 的
m +1 m +1
最小值为（ ）
1 1
A． 2 B． C．1 D．ee e
【典例 1-2】
1 b
（2024· x 2四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = e - x - bx(a，b R)2(a 1) 没有极值点，则 的最大值为+ a +1
（ ）
e e e2A． B． C． e D．
2 2 2
【变式 1-1】
b
（22-23 高三上·陕西西安·阶段练习）已知关于 x 的不等式 eax x + b 对任意 x R 恒成立，则 的最大值为a
（ ）
1 eA． 2 B．1 C． D． e2
【变式 1-2】
（21-22 高二上·江苏盐城·期末）"x 0, + ，不等式 ln x + 2 2m n m- 恒成立，则 的最大值是（ ）
x n
2
A．1 B．-1 C． e2 D
e
．
2
【变式 1-3】
（2021·四川成都·模拟预测）设 k ，b R ，若关于 x 的不等式 ln x -1 + x kx + b在 1, b -1+ 上恒成立，则
k -1
的最小值是（ ）
1 1
A．-e2 B．- C．-e +1 e2
D．-e -1
题型 12 构造求参：数列型构造
【解题规律·提分快招】
数列型构造，需要借助数列的性质，寻找有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入
函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，
【典例 1-1】
1
（2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = , an =1+ ln an+1 n N * ，记Tn 表示数列 a2 n 的前 n 项乘
积.则（ ）
T 1 1 1A． 9 , ÷ B．T9 ,
1 T 1÷ C． 9 ,
1 T 1 1 D． ,
è 30 26 è 26 22 è 22 18 ÷ 9 è18 14 ÷
【典例 1-2】
（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知各项均为正数的数列 an 满足 a1 =1， an = an+1
1
n n+1 - n N
*
a ，则数列 an n+1
（ ）
A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项
【变式 1-1】
1
（2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列 an 满足： a1 = - ，且an+1 = ln an +1 - sin an ，则下列关于数列 a2 n
的叙述正确的是（ ）
1 1 a2 2
A n． an > an+1 B．- a < - C． a > - D． a -2 n 4 n+1 an + 2
n 42n-1
【变式 1-2】
2022· · a a（ 浙江绍兴 模拟预测）已知数列 a 满足递推关系 e n -1 = a e n+1n n ，且 a1 > 0，若存在等比数列 bn 满
足bn+1 an bn ，则 bn 公比 q为（ ）
1 1 1 1A． 2 B． C． D．e 3 p
【变式 1-3】
（2022· *浙江·模拟预测）已知数列 an 满足a1 = 2,an+1 -1 = ln an + b - b n N ．若 an 有无穷多个项，则
（ ）
A．b 0 B．b -1 C．b 1 D．b -2
冲高考
2
1．（24-25 高三下·吉林长春·开学考试）若 x - a ÷
(ln x - ax) 0对"x e恒成立，则实数 a的取值范围是 .
è
2 x．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知 a，b 为实数， f (x) = (ln ax -1) e - b , x (0,+ )，若 f (x) 0恒成立，
则 ab的最小值为 ．
3．（24-25 高三上·上海·期中）若存在实数 a，b ，不等式 x3 - m ax + b x3 + m对任意 x 0,1 恒成立，则
实数m 的取值范围是 .
4．（2024·浙江·二模）当 x > 0 2，q 为锐角时，恒有 ln x + ln cosq + x +1 ln sinq m，则m 的取值范围是 ．
5．（23-24 高二下·天津·期中）已知函数 f x 的导函数为 f x ，对"x R, f x - f x = 2x + 4 ex 恒成立，
（e 是自然对数的底数）， f 0 =1，若不等式 f x - t < 0的解集中恰有 3 个整数，则实数 t的取值范围
是 .
ln x 1 ln x k
6．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）若当 x > 0且 x 1时，不等式 + > + 恒成立，则实数 k
x +1 x x -1 x
的取值范围 ．专题 06 导数比大小与构造函数型
目录
题型 01 比大小：超复杂构造函数 ....................................................................................................................................1
题型 02 比大小：函数与方程零点型 ................................................................................................................................4
题型 03 比大小：三角函数与幂指对型 .............................................................................................................................6
题型 04 比大小：幂指对中间值型 ...................................................................................................................................10
题型 05 比大小：泰勒与麦克劳林展开 ..........................................................................................................................11
题型 06 构造函数：幂函数构造 ......................................................................................................................................14
题型 07 构造函数：指数函数构造 ..................................................................................................................................16
题型 08 构造函数：三角函数型 .......................................................................................................................................18
题型 09 构造函数：复合型构造 ......................................................................................................................................21
题型 10 构造求参：同构型 ..............................................................................................................................................23
题型 11 构造求参：二次构造型 ......................................................................................................................................25
题型 12 构造求参：数列型构造 .......................................................................................................................................29
题型 01 比大小：超复杂构造函数
【解题规律·提分快招】
利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利
用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题
构造函数比大小问题，比较两个数 a,b大小的方法如下：
①将 a,b两个数恒等变形，使两数有共同的数字m ，
②将m 看成变量 x ，构造函数，
③分析包含m 的某个区域的函数单调性，
④根据函数单调性比较大小.
【典例 1-1】
7 9 1
（23-24 天津经济技术开发区第一中学）已知 -a = e 8 ，b = ln ， c = ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）8 8
A． c < a < b B．a < c < b C． c < b < a D．b < c < a
【答案】D
7
h x = ex【分析】构造 - x +1 ， x < 0 ，求导得到其单调性，结合 h 0 -= 0 1，得到 a = e 8 > = c；构造
8
g x = ln x - x -1 9 1， x >1，求导得到其单调性，结合 g 1 = 0得到 ln < ，即b < c，从而得到答案.
8 8
x x
【详解】构造 h x = e - x +1 ， x < 0 ，则 h x = e -1 < 0在 - ,0 上恒成立，
x
故 h x = e - x +1 0在 - ,0 上单调递减，又 h 0 = e -1 = 0，
h 7-
7
- 7 7- 1
故 8 ÷
= e 8 - - +1÷ > 0 ，故 a = e 8 > = c，
è è 8 8
构造 g x = ln x - x -1 ， x >1，
则 g x 1= -1 1- x= < 0在 1, + 上恒成立，故 g x = ln x - x -1 在 1, + 单调递减，
x x
9 9 1 9 1
又 g 1 = ln1- 0 = 0 ， g ÷ < g 0 = 0 ，故 ln - < 0 ，即 ln < ，
è 8 8 8 8 8
故b < c，
综上：b < c < a
故选： D
【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩， ex ex ， ex x +1， ln x x -1 x > 0 ，
1 1 1ln -1， < ln
1 +1 1< 等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式.
x x 1+ x è x ÷ x
【典例 1-2】
（天津市实验中学 2024 届高三下学期考前）已知 a = log23，b = log3 4， c = log45，则 a，b ， c的大小关系
是（ ）
A．a < b < c B．a < c < b
C． c < a < b D． c < b < a
【答案】D
ln x +1
【分析】对 a，b c f x ， 进行变形，构造 = ， x 2，求导后得到其单调性，从而判断出 a，b ，
ln x
c的大小.
ln 3
【详解】 a = log23 = ，b = log3 4
ln 4 c ln 5 ln x +1= ， = log 5 = 4 ，令 f x = ， x 2，ln 2 ln 3 ln 4 ln x
ln x ln x +1
- 2
则 f x x +1 x x ln x - x +1 ln x +1 = = ，因为 x 2，所以 x x +1 ln x > 0，
ln2 x x x +1 ln2 x
令 g x = x ln x， x 2， g x = ln x +1 > 0在 x 2上恒成立，故 x ln x - x +1 ln x +1 < 0，
f x x ln x - x +1 ln x +1 = < 0 ln x +1 所以 x x 1 ln2 x 在 x 2上恒成立，故+ f x = 在 x 2上单调递减，ln x
ln 3 ln 4 ln 5
所以 > > ，即 a > b > c故选：D
ln 2 ln 3 ln 4
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出
ln 3 ln 4
函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到 a = log23 = ，b = logln 2 3
4 = ，
ln 3
c log 5 ln 5 ln x +1= 4 =
，所以构造 f x = ， x 2，达到比较大小的目的.
ln 4 ln x
【变式 1-1】
b
2024· 1 天津河西·一模）已知 2a = π ， ÷ = e ，b = loga c，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 2
A．b < c < a B．a < b < c C． c < a < b D． c < b < a
【答案】A
【分析】先解出需要比较大小的数，找中间变量结合指数函数单调性比较大小即可.
2a π, 1
b
【详解】因为 = = e,所以 a = log2 π > log ÷ 2
2 =1,b = log 1 e = - log2 e < 0,
è 2 2
由b = loga c得ab = c ，故 c = (log2 π)
- log2 e ，
构造 f (x) = (log x2 π) ，又 log2 π >1，故 f (x) 单调递增，
- log
则有 c = (log π) 2 e2 < (log2 π)
0 =1，显然 c > 0，所以b < c < a.故选：A.
【变式 1-2】
（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知 a = 0.16，b = e0.4 -1， c = 0.8 - 2ln1.4 ，则 a，b，c 的大小关系为
（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > a > c D． c > b > a
【答案】C
【分析】 a与b 可看作 0.42 与 e0.4 -1，从而可构造函数 f (x) = ex -1- x2 比大小，
a与 c可看作 0.42 与 2 0.4 - ln(1+ 0.4) ，从而可构造函数 g(x) = 2x - 2ln(1+ x) - x2 比大小.
【详解】构造函数 f (x) = ex -1- x2 (x > 0) ，则 f (x) = ex - 2x ，令 h(x) = ex - 2x ，则 h (x) = ex - 2．令
h x = 0，得 x = ln 2，所以 h x 在 0, ln 2 上单调递减，在 ln 2,+ 上单调递增，故
h(x) h(ln 2) = 2 - 2ln 2 > 0，因此 f x 在 0, + 上单调递增，所以 f x > f 0 = 0．令 x＝0.4，则
f (0.4) = e0.4 -1- 0.42 > 0，所以 e0.4 -1 > 0.16，即 a＜b．
2
构造函数 g(x) = 2x - 2ln(1+ x) - x2 (x 0)，则 g (x) = 2 2- - 2x -2x= 0，因此 g x 在 0, + 上单调递
1+ x 1+ x
减，所以 g x g 0 = 0，令 x＝0.4，则 g(0.4) = 0.8 - 2ln1.4 - 0.16 < 0，所以0.8 - 2ln1.4 < 0.16，所以 c＜
a．故 b＞a＞c．故选：C．
【变式 1-3】
1 1
（2022·四川广安·二模）设 a = ，b = 2ln sin + cos
1 c 6÷， = ln
51
，则 a，b ， c的大小关系正确的
50 è 100 100 5 50
是（ ）
A．a < b < c B．a < c < b
C．b < c < a D．b < a < c
【答案】D
6
1 1 1
2
5
【分析】由于 a = ln e50 = ln e0.02 ，b = ln sin + cos ÷ ， c = ln
51 ，所以只要比较
è 100 100 ÷è 50
2 6
x = e0.02 , y sin 1
5
= + cos
1
÷ =1+ sin
1
=1+ sin 0.02, z 51= ÷ 的大小即可，然后分别构造函数
è 100 100 50 è 50
f (x) = ex - (1+ sin x)(x > 0) ， g(x) = (1+ x)1.2 - ex ，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可
2 6
1 1 1 5
【详解】因为 51 a = ln e50 = ln e0.02 ，b = ln sin + cos ，è 100 100 ÷
c = ln
50 ÷
，
è
6
所以只要比较 x e0.02 , y sin 1 cos 1
2
= = + =1+ sin 1 =1+ sin 0.02, z = 51
5
÷ ÷ = (1+ 0.02)
1.2 的大小即可，
è 100 100 50 è 50
令 f (x) = ex - (1+ sin x)(x > 0) ，则 f (x) = ex - cos x > 0，所以 f (x) 在 (0, + )上递增，
所以 f (x) > f (0)，所以 ex >1+ sin x ，所以 e0.02 >1+ sin 0.02 ，即 x > y >1，
令 g(x) = (1+ x)1.2 - ex ，则 g (x) =1.2(1+ x)0.2 - ex ， g (x) = 0.24(1+ x)-0.8 - ex
因为 g (x) 在 (0.+ ) 上为减函数，且 g (0) = 0.24 -1 < 0，
所以当 x > 0时， g (x) < 0 ，所以 g (x)在 (0.+ ) 上为减函数，
因为 g (0) =1.2 -1 > 0， g (0.2) =1.2 1.20.2 - e0.2 =1.21.2 - e0.2 ，
要比较1.21.2 与 e0.2 的大小，只要比较 ln1.21.2 =1.2 ln1.2与 lne0.2 = 0.2的大小，
令 h(x) = (1+ x) ln(1+ x) - x(x > 0)，则 h (x) = ln(1+ x) +1-1 = ln(1+ x) > 0，
所以h(x)在上递增，所以 h(x) > h(0) = 0，
所以当 x (0,+ )时， (1+ x) ln(1+ x) > x，所以1.2 ln1.2 > 0.2，
所以1.21.2 > e0.2 ，所以 g (0.2) =1.2 1.20.2 - e0.2 =1.21.2 - e0.2 > 0，
所以当 x (0,0.2) 时， g (x) > 0，所以 g(x)在 (0,0.2)上递增，所以 g(x) > g(0) = 0，所以 (1+ x)1.2 > ex，
所以 (1+ 0.02)1.2 > e0.02 ，所以 z > x ，所以 z > x > y ，所以 c > a > b，故选：D
题型 02 比大小：函数与方程零点型
【典例 1-1】
1 x1 1 x2 +1 1 x3
（22-23 高一上· 北京·期末）已知x1， x2， x3 满足 ÷ = log 1 x1， ÷ = log x
1 2 ， ÷ = log 1 x2 3
，则x1，
è 2 è 2 2 è 3 2
x2， x3 的大小关系为（ ）
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x3 < x1 C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
【答案】C
【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到x1， x2， x3 的大小关系.
【详解】在同一平面直角坐标系内作出
x x x+1
y = log 1 1 11 x、y = ÷ 、y = ÷ 、y =
的图像
2 è 2 è 3
è 2 ÷
x x x+1
y = log 1 x 过点 (
1 ,1)、(1,0) 1； y 1 1= ÷ 过点 (0,1)、(1, ) y =
； ÷ 过点 (0,1) (1,
1
、 ) y = 1 ；
2 2 2 2 3 3 ÷
过点
è è è 2
(0, 1)、(1, 1)，
2 4
1 x 1 x 1 x+1y = 则 ÷ 、y = ÷ 、y = 与
y = log
÷ 1
x 图像交点横坐标依次增大，
è 2 è 3 è 2 2
1 x 1 x 1 x+1
又 y = ÷ 、y =
y = log x
÷ 、y = ÷ 与 1 图像交点横坐标分别为 x1、x3、x2 ，则 x1 < x3 < x2 .
è 2 è 3 è 2 2
故选：C
【典例 1-2】
2023·河南·模拟预测）已知 a = lnp ,b = log3p ,c = p ln2，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A．b < a < c B．a < b < c C． c < b < a D．b【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】Qe < 3 < p ，\a = loge p > log3 p = b > log3 3 =1，即 a > b >1，
2
Qa = lnp = ln p , c = p ln2 = ln2 p ，
2
下面比较 p 与 2 p 的大小，构造函数 y = x2与 y = 2x ，由指数函数 y = 2x 与幂函数 y = x2的图像与单调性
可知， 当 x (0,2) 时， x2 < 2x ；当 x (2,4)时， x2 > 2x
2
由 x = p (0, 2) ，故 p < 2 p ，故 lnp < ln2 p ，即 a < c ，所以b < a < c，故选：A
【变式 1-1】
1 1 c 1
（2024· 2 2 b-1四川遂宁·二模）已知 a，b，c 均为正数，且 = 2a - log2 (a +1) ，b = (b - )4 ， c =a 2 ec-1
+ ，
2c
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b < c < a B．b < a < c
C． c < a < b D． c < b < a
【答案】A
1 1 1-b 1 c 1-c
【分析】可将所给式子变形成 a - = log2 (a +1) 、b - = 4 、 c - = c-1 = c ×e ，则可构造相应函数2a 2b 2c e
研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.
1 2 1 2 1 b-1 1 1-b
【详解】由 = 2a - log2 (a +1) ，可得 a - = log (a +1) ，由b = (b - )4 ，可得b - = 4 ，a 2a 2 2 2b
c c 1 1 c= + 1-c 1 1由 可得 c - = = c ×e ，令 f x = x - ， f x =1+ > 0，故 f x 在 0, + 上单调递
ec-1 2c 2c ec-1 2x 2x2
1
增，令 g x = log2 x +1 ， g x = > 0 x +1 ln 2 ，故 g x 在 0, + 上单调递增，
1-x
令 h x = 4 ， h x = -41-x ln 4 < 0 1-x，故 h x 在 0, + 上单调递减，令m x = xe ，则
m x = e1-x - xe1-x = 1- x e1-x ，则 x 0,1 时，m x > 0， x 1, + ，m x < 0，
故m x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
f 1 =1 1 1- = ， g 1 = log2 1+1 =1 h 1 = 41-1 =1 m 1 =1 e1-1， ， =1，2 2
f 2 1 7= 2 - = ， g 2 = log2 2 +1 = log2 3 1,2 ， h 2 = 41-2
1 m 2 2 2= ， = e1-2 = ，
4 4 4 e
a为函数 f x 与函数 g x 的交点横坐标， b 为函数 f x 与函数 h x 的交点横坐标，
c为函数 f x 与函数m x 的交点横坐标，结合函数图象可得b < c < a .故选：A.
【变式 1-2】
（23-24 高一上·江苏泰州·期中）已知三个互不相等的正数 a,b,c满足
2
a = e3 ,b = log 3 + log 6,c = log 2a +1 ，（其中 e = 2.71828L是一个无理数），则 a,b,c的大小关系为2 9 5
（ ）
A．a < b < c B．a < c < b
C． c < a < b D． c < b < a
【答案】B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
2
【详解】因为 a = e3 ，所以 a
3 = e2 = 2.72 < 23
2
所以根据幂函数的性质可得 e3 < 2，
因为 a,b,c都是正数，
b = log23+ log9 6 = log23+ log 2 6 = log23+ log3 6 2 log23×log3 6 = 2 log2 6 > 2 log3 2 2 = 2
2 c log 2a +1 ln 2a +1
c = log 5 2a +1 = 2log 5 2e3 5 a+1÷÷ < 2log5 22 +1 = 2log = = log 2 +1 =5 5 = 2， a5 a ，
è a a ln 5
a
因为 f x = ln x是递增函数，又因为 a 0,2 ，作出 y = ln 2a +1 和 y = ln 5 的图像，如图可得，当 a = 2
a a
时，两函数值相等； a < 2时， y = ln 2 +1 图像一直在 y = ln 5 的上方，所以 a < c
故a < c < b ，故选：B
【变式 1-3】
4 2
（2024·四川广安·二模）已知 a，b c a 2， 均为正数， a =1+ - 2 ，b = 4 + b 2 - 3b 4 - c， = log4 c + 3 ，则a c
a，b ， c的大小关系为（ ）
A．b【答案】B
4 4 4 4
【分析】将所求拆分成 a - =1- 2a b，b - = 2 - 3 ， c - = - log4 c + 3 ，令 f x = x - ， g x =1- 2x，a b c x
h x = 2 - 3x ， q x = - log4 x + 3 ，且 x > 0， a,b,c可看作函数 f x 与 g x ， h x ， q x 的交点，通过
函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出 a,b,c的大小.
4 a 4 a
【详解】解： a =1+ - 2 可变形为： a - =1- 2 ，b2 = 4 + b 2 - 3b 4 b可变形为：b - = 2 - 3 ，
a a b
4 - c2
= log4 c + 3
4
可变形为： c - = - log
c c 4
c + 3 ，
令 f x x 4= - ， g x =1- 2x x， h x = 2 - 3 ， q x = - log4 x + 3 ，且 x > 0，x
可知 a,b,c分别为函数 f x 与 g x ， h x ， q x 的交点横坐标，
当 x > 0时， f x 单调递增且 f 1 = -3， f 2 = 0 ，
g x ， h x ， q x 这三个函数全部单调递减，且 g 1 = h 1 = q 1 = -1 > -3， g 2 = -3 < 0 ，
h 2 = -7 < 0， q 2 = - log4 5 < -1< 0，
由零点存在性定理可知：a,b,c 1,2 ，所以只需判断 g x ，h x ，q x 这三个函数的单调性，在 x 1,2
范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知， q x = - log4 x + 3 下降速度最慢，所以 c最大，
g x = -2x ln 2， h x = -3x ln 3， x > 0时， g x > h x ，所以交点 a > b，故选：B
题型 03 比大小：三角函数与幂指对型
【解题规律·提分快招】
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
π
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当 x (0， 2 )时， sinx < x
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。
【典例 1-1】
．（2019· x天津北辰·一模）已知 x 0,1 ，令 a = log3 x,b = 2 ,c = sin x ，那么 a,b,c之间的大小关系为（ ）
A．a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D．a < c < b
【答案】D
【分析】根据 x 0,1 ，结合函数 y = log3 x， y = 2x ， y = sin x 的单调性，可判断出 a < 0，b >1，0 < c <1，
进而可以得结果.
0 x 1 π【详解】∵ < < < ，∵ y = log3 x在 0，+ 上单调递增，∴ log3 x < log3 1 = 0，即 a < 0，2
又 y = 2x 在 0，+ 上单调递增，∴ 2x >1，即b >1，
又∵ y = sin x 在 0,
p
÷单调递增，0 < sin x <12 ，即
0 < c <1，∴ a < c < b ，故选 D．
è
【典例 1-2】
（2023·山东·模拟预测）已知 a = e0.03 -1，b = ln1.03， c = tan 0.03，其中 e = 2.71828L为自然对数的底数，
则 a，b ， c的大小关系是（ ）
A． c > a > b B． a > c > b
C．b > c > a D． a > b > c
【答案】B
x
【分析】构造a,c的结构特征，构造 f x = e -1- tan x， 0 x π< < 4 ，求导后得到其单调性，得到 a > c ，再构
造 h x ln 1 x x π π= + - ，0 < x < 和 m x = x - tan x，x 0,2 ÷ ，求导得到其单调性，得到 ln1.03 < 0.03 < tan 0.03，è 2
即b < c，从而得到 a > c > b .
【详解】 a - c = e0.03 -1- tan 0.03，
f x ex 1 tan x e
x cos x - cos x - sin x 0 x π令 = - - = ， < < 4 ，cos x
令 g x = ex cos x - cos x - sin x g x = ex，则 -1 cos x - sin x ，
π
当 0 < x
π
< g x > 0 g x 0, 0
4 时， ，所以 在 ÷上单调递增，又
g 0 = e cos 0 - cos 0 - sin 0 =1-1 = 0，所以
è 4
g x > 0 π 0.03，又cos x > 0，所以 f x > 0在 0, ÷上恒成立，所以 f 0.03 = e -1- tan 0.03 > 0，即
è 4
e0.03 -1 > tan 0.03，即 a > c ，令 h x = ln 1+ x - x， 0 < x π 1 -x< 2 ，所以 h x = -1 = ，1+ x 1+ x
-x π
因为 0
π
< x < ，所以 h x = < 0 ，所以 h x 在 x 0, ÷ 上单调递减，所以 h x < h 0 = 0 ，即 ln 1+ x < x2 1+ x è 2
0, π 在 ÷恒成立，所以 ln 1+ 0.03 = ln1.03 < 0.03，令m x = x - tan x x
0, π ，
2 2 ÷
，
è è
π
所以m x 1 1 1= - 2 ，因为 x 0, ÷ ，所以m x =1- < 0 ，cos x è 2 cos2 x
m x = x - tan x x 0, π 故 在 ÷ 上单调递减，所以m x < m 0
π
= 0，即 x < tan x 在 x
2
0, 恒成立，
è è 2 ÷
当 x = 0.03时，0.03 < tan 0.03，故 ln1.03 < 0.03 < tan 0.03，即b < c，综上， a > c > b
故选：B
【变式 1-1】
a ln 5 ,b sin 1（24-25 高三上·安徽·阶段练习）设 = = ,c = 0.2，则 a,b,c的大小关系为（ ）
4 4
A． a > b > c B．b > a > c
C．b > c > a D． c > b > a
【答案】B
1
【分析】将 a,b,c三个数进行恒等变形，使三个数中都出现 4 ，结合三个数据的形式构造定义域在( 0, 1)上的
1
函数，通过求导分析函数单调性，确定 x = 时的函数值与0 的大小关系，即可比较三个数的大小.
4
1
5 1 1
【详解】由题意得， a = ln = ln( +1),b = sin ,c = 0.2 = 41 .令 f (x) = sin x - ln(x +1), x (0,1) ，则4 4 4 +1
4
1
f (x) = cos x 1- ，令 g(x) = f (x) ，则 g (x) = -sin x + (x 1)2 ，x +1 +
2
令 h( x) = g ( x)，则 h (x) = - cos x - 3 ，当 x (0,1) h (x) < 0(x 1) 时， ，+
∴ h(x)在( 0, 1)上是减函数，且 h(0) =1 > 0， h(1) = - sin1
1 π 1
+ < - sin + < 0，
4 6 4
∴ $x0 (0,1) ，使得 h(x0 ) = 0 ，∴当 x (0, x0 )时， h(x) > 0，当 x (x0 ,1)时， h(x) < 0，
∴ g(x)在 (0, x0 )上为增函数，在 (x0 ,1) 为减函数.∵ g(0) = 0， g(1) = cos1
1 cos π 1- > - = 0 ，
2 3 2
∴当 x (0,1)时， g(x) > 0 ，∴ f (x) 在( 0, 1)上为增函数.∵ f (0) = sin 0 - ln1= 0，
f (1) sin 1∴ = - ln(
1
+1) = sin 1 ln 5- > 0，∴ b > a .
4 4 4 4 4
1 1 x
②令j(x) = ln(x +1)
x
- , x (0,1) ，则j (x) = - 2 = > 0x +1 x +1 (x +1) (x +1)2
，
∴j(x)
1 5
在( 0, 1)上为增函数.∵j(0) = 0 ,∴j( ) = ln - 0.2 > 0，∴ a > c .故选：B.
4 4
【变式 1-2】
2025 1 1 1
（2024·浙江绍兴·模拟预测）现有 a = ln ，b = ， c = sin - cos +1，则 a,b,c的大小关系为
2023 1012 1012 1012
（ ）
A． a > c > b B． c > b > a C． c > a > b D． a > b > c
【答案】C
【分析】构造 f x = ln 1
1
+ x 1 1 1÷ - ln
1- x ÷，g x = sin x - cos x +1
1
，则 a = f 1012 ÷，
b = ，c = g ，
è 2 è 2 è 1012 è1012 ÷
然后求解F x = f x - x和G x = g x - f x 的单调性即可判断出 a,b,c的大小关系.
【详解】设 f x = ln 1
1
+ x ÷ - ln
1
1
- x ÷， g x = sin x - cos x +1 .
è 2 è 2
1
2025 2024 +1 1+ 1 1 1
由于 a = ln = ln = ln 2 1012 = ln
1+ 1 ÷ - ln 1- ÷，故 a = f ÷，b
1
= ，
2023 2024 -1 1- è 2 1012 è 2 1012 è1012 1012
2 1012
c g 1= .记F x = f x - x，G x = g x - f x .
è1012 ÷
1 1
- 2
由于F x = ln 1 1+ x - ln 1 2 1 1 x ÷ 1- x ÷ - x，故F x = 1 -
2
1 -1 = + -1 = ，从而对è 2 è 2 1+ x 1- x 2 + x 2 - x 4 - x
2
2 2
0 < x <1有F x > 0，故F x 在 0,1 1 1 1 上单调递增，所以 a - b = f ÷ - = F > F 0 = 0，即
è1012 1012 è1012 ÷
a > b；我们知道，对函数j x ，j x 表示j x 的导数，在下面的解答中，我们进一步使用记号j x 表
示j x 的导数，使用记号j x 表示j x 的导数.
G x = sin x - cos x +1- ln 1 1 x ln 1 1+ + - x 由于 ÷ ÷ ，故
è 2 è 2
1 1
-
G x = cos x + sin x - 2 + 2 = 2 1 1 sin
π cos x π 1 1 π 1 1+ cos sin x - - = 2 sin x + - -
1+ x 1- x è 4 4
÷
2 + x 2 - x 4 ֏ 2 + x 2 - x
2 2
G x = 2 cos π 1 1，从而进一步求导有 x + 4 ÷ + - 2 x 2 2 x 2 ，è + -
G x π 2 2= - 2 cos x +
- -
è 4 ÷ .2 + x 3 2 - x 3
π π 2 2
此时，对 0 < x < G x = - 2 cos x + - - < 0 + 0 + 0 = 0 G x é0, π ù4 ，有 ÷è 4 2 + x 3 2 x 3 ，所以 在- ê 4 ú 上单
调递减.
0 < x 1< G x > G 1 从而对 ，有 ÷，结合1012 è1012
2
π 1 1 π 2 + x - 2 - x
2
G x = 2 cos x +
÷ + 2 - 2 = 2 cos
x + ÷ - 2 = 2 cos
x
π 8x
+ -
è 4 ÷ ， 2 + x 2 - x è 4 24 - x2 è 4 4 - x2
8 1×
G x G 1 2 cos 1 π> = + - 1012就有 1012 ÷ è è1012 4 ÷ 1 2 .而 4 -
è 10122 ÷
2 3 -1 2 3 -1 ÷
2 cos 1 π 2 cos π π+ > + = 2 cos 5π 6 - 2= 2 × = > è 2 1= ，
è1012 4 ÷ ÷ è 6 4 12 4 4 4 4
8 1×
1012 8 8 8 8 8 1=
1 2 2
< 2 = < < =
1012 ×9 1012 32 4 .
4 - 2 ÷ 1012 ×
4 1- 1012 × 4 -1
è 1012 è 10122 ÷
8 1×
0 x 1 G
x G 1 2 cos 1 π 1012 1 1故对 < < ，有 > ÷ = + ÷ - 2 > - = 0
1012 è1012 è1012 4
.
1 4 4
4 -
è 10122 ÷
所以G x é0, 1 ù在 ê ú上单调递增，从而对0
1
< x < ，有
1012 1012
G x G 0 2 sin 0 π 1 1 1 1> = + - - =1- - = 0 G x é 1 ù ÷ ，这表明 在 ê0, ú上单调递增.è 4 2 + 0 2 - 0 2 2 1012
c a g 1- = 所以 ÷ - f
1 = G 1 ÷ ÷ > G 0 = sin 0 - cos 0 +1- ln1+ ln1 = 0，
è1012 è1012 è1012
即对 0 < x <1有 F x > 0 1 1 1 ，故 F x 在 0,1 上单调递增，所以 a - b = f - = F > F 0 = 0，
è1012 ÷ 1012 è1012 ÷
即 c > a .
综上，有 c > a > b，C 正确.
故选：C.
题型 04 比大小：幂指对中间值型
【解题规律·提分快招】
求解幂指对比大小这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、
概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，
构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；
②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到对应的函数，
再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津河西·阶段练习）已知 a = log 0.7，b =1.40.7 1.41.4 ， c = 0.7 ，则 a，b ， c的大小关系是
（ ）
A．a < b < c B．a < c < b C． c < a < b D． c < b < a
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合中间值 0 和 1 比较大小即可
【详解】由于 a = log1.4 0.7 < log 1=0，0 < c = 0.71.4 < 0.70 =1 =1.40 <1.40.71.4 = b，
所以 a < c < b .
故选：B
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知 a = log0.2 0.3，b = log0.3 0.2， c = log2 3，则 a，b ， c的大小关系为
（ ）
A．b < c < a B． c < b < a C．a < b < c D．a < c < b
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．
【详解】Q0 < a = log0.2 0.3 < 1，b = log0.3 0.2 >1， c = log2 3 >1，
b lg 2 -1 lg 2 lg2 2 - lg 2
又 = logc 0.3
0.2 × log3 2 = × =lg3 -1 lg3 lg2 3 - lg3 ，
1 22 1 1 因为函数 f x = x - x = x -
÷ - ，在 0, ÷上单调递减，且 f 0 = 0，
è 2 4 è 2
1 f lg 2 2
又因为 > lg3 > lg 2 > 0，所以 f lg3 < f lg 2 < 0 <1 lg 2 - lg 2 b，所以 ，即 < 1 <12 f lg3 lg2 3 - lg3 ，所以 ，c
\b < c，即a < b < c ．故选：C
【变式 1-1】
1
（2023· a天津南开·一模）已知 e = lg2,b = lg ln2 ,c = ln ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
2
A． c < b < a B．b < a < c
C．a < c < b D．b < c < a
【答案】C
【分析】先求出 a = ln lg 2 ，再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较a,c和b,c的大小即可.
1
【详解】由 ea = lg2，得 a = ln lg 2 ，因为 lg 2 < lg 10 = ，所以 ln lg 2 ln 1< ，即 a < c ，
2 2
1 1 1 1 1 1
因为 = ln e < ln 2 <1，所以-1 < c = ln = - ln 2 < - ，则 lg ln 2 > lg > lg = -2 2 ，2 2 2 10
所以 lg ln 2 > ln 1 ，即b > c，所以a < c < b .故选：C.
2
【变式 1-2】
2 ln2 2π
（22-23 高三上·
ln 6
天津河东·期中）若 a = ，b = ln 2ln3， c = ，则 a，b ， c的大小关系是（ ）
4 4
A． a > b > c B． c > b > a C． c > a > b D．b > a > c
【答案】C
【分析】根据 a > b a - b > 0 ，因此要比较 a，b 的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得
a，b 的大小；利用对数函数 y = ln x 的单调性，可知 ln 2π > ln 6 > 0，然后利用不等式的可乘性，即可得出
a， c的大小.
ln2 6 ln 2 + ln 3 2 - 4ln 2ln 3 ln 2 - ln 3 2【详解】解： a - b = - ln 2 ln 3 = = > 0 ，∴ a > b，
4 4 4
2
ln 2π > ln 6 > 0 ln 2π∴ ln
2 6
而 ， > ，即 c > a ，因此 c > a > b .故选：C.
4 4
【变式 1-3】
a b 4
（21-22 高三上·江苏泰州·期末）已知 2 = 3,5 = 2 2,c = ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
5
A． a > b > c B． c > b > a C． c > a > b D． a > c > b
【答案】C
10
【分析】由题可得 a = log 3
1 log 32 3 b log 2 2 12 = 2 > ， = 5 = log 64
3
< ，再利用 3 < 28，即得.
4 4 4 5 4
1 1 2 1 3
【详解】∵ 2a = 3,5b = 2 2 ， ∴ a = log2 3 = log2 3 = log2 3 > log2 4 4 2
8 = ，
4
10
b = log 1 1 35 2 2 = log5 64 < log5 125 = ∴ a > b，又 3 = 243 < 28 = 256，4 4 4
4 4
∴ 3 < 25 ， a = log2 3 < log 25
4
2 = = c ,所以 c > a > b .故选：C.5
题型 05 比大小：泰勒与麦克劳林展开
【解题规律·提分快招】
麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
x2 nex =1+ x + +L x+ + o xn+12! n! ，
x3 x5 x2n+1sin x = x - + -L+ -1 n + o x2n+2
3! 5! 2n 1 ! ，+
2
cos x 1 x x
4 x6 2n
= - + - +L+ x-1 n + o x2n
2! 4! 6! 2n ! ，
2 3 n+1
ln 1+ x x x x= x - + -L+ -1 n + o xn+12 3 n 1 ，+
1
=1+ x + x2 +L+ xn + o xn ，
1 x -
n n n -11+ x =1+ nx + x2 + o x2 .2!
【典例 1-1】
π 1
（22-23 高三上·江苏无锡·期末）设 a = ，b = cos1， c = sin ，这三个数的大小关系为（
3 ）6
A．a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D．a < c < b
【答案】C
π
【分析】根据诱导公式得到 cos1 = sin -1÷，结合 y = sin x 的单调性，比较出 c < b ，先利用多次求导，得
è 2
2 4 6 π
到 cos x >1 x x x- + - ， x 0, ÷ ，从而得到 cos1
π
> ，比较出 c < a < b .
2! 4! 6! è 2 6
cos1 = sin π -1 0 1 π 1 π π【详解】 ÷，∵ < < - < ，而 y = sin x 在 0 < x < 上单调递增，
è 2 3 2 2 2
sin 1 sin π π
2 4 6
∴ < -1
x x x
3 2 ÷
c < b 且 x 0, 2 ÷
时， cos x >1- + - ，以下是证明过程：
è è 2! 4! 6!
x2 4 6
令 g x = cos x x x- 1- + - ÷， x 0,
π
，
è 2! 4! 6!
÷
è 2
x3 5 3 5g x = -sin x x x+ - + ，令 h x = g x sin x x x x= - + - + ，
6 120 6 120
x2 4 2 4
故 h x = -cos x 1 x+ - + ，令 k x = h x = -cos x x x+1- + ，
2 24 2 24
x3 3
故 k x = sin x - x + ，令 l x = k x = sin x x- x + ，
6 6
x2 2
则 l x = cos x -1+ ，令m x = l x = cos x x-1+ ，
2 2
故m x = -sin x + x，令 n x = m x = -sin x + x π，故 n x =1- cos x > 0在 x 0,
÷ 上恒成立，
è 2
2
故m x = -sin x + x x π π 在 0, ÷ 上单调递增，所以m x > m 0 = 0 ，故2 l x cos x 1
x
= - + 在 x 0,2 2 ÷
上
è è
x3 π
单调递增，所以 l x > l 0 = 0 ，故 k x = sin x - x + 在 x 0,
6 2 ÷
上单调递增，
è
2 4 π
所以 k x > k 0 = 0，故 h x = -cos x 1 x x+ - + 在 x 0, 上单调递增，2 24 è 2 ÷
2
x x
4 x6
所以 g x
π
> g 0 = 0，故 g x = cos x - 1- + - 2! 4! 6! ÷在 x 0, 上单调递增，è è 2 ÷
∴ cos1 >1
1 1 1 13 1 π
- + - = - > 0.54 - 0.01 = 0.53 > ，∴ b > a ，∴ b > a > c .故选：C．
2 24 720 24 720 6
【典例 1-2】
a = ln2，b = sin
4
， c = e-0.4，则 a，b，c 的大小关系是（ ）5
A． c > b > a B．b > c > a
C．b > a > c D． a > b > c
【答案】C
2
【分析】找中间值 进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
2
【详解】由题意得，b = sin 4 > sin π 2= ， 因为 e7 > 210 ,7 >10ln 2, ln 2 < 0.7 2 2< ，所以 a < < b ，
5 4 2 2 2
x x2 x3 xn x2 x3 xn
由泰勒展开得 ln(1+ x) =1- + - +L+ (-1)n+1 +L，ex =1+ x + + +L+ +L，
2 3 4 n 2! 3! n!
ln 2 ln(1 1) 1 1 1 1 0.68,e-0.4 1 0.4 (0.4)
2
所以 = + > - + - = < - + = 0.68，
2 3 4 2!
故 a > c ，综上所述 a，b，c 的大小关系是b > a > c .故选：C
【变式 1-1】
（2022 年新Ⅰ卷高考真题第 7 题）
设 a = 0.1e0.1 b
1
， = ， c = - ln 0.9则（ ）
9
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c < b
泰勒公式法：
2
因为 e0.1 0.1 1 1+ 0.1+ =1.105 ，所以0.1e0.1 0.1105 < = 0.11111 = b ，所以 a < b
2 9
因为
10 1 1 (
1)2 (1)3
c ln 0.9 ln ln( 1) 9 9 1 1 1 1= - = = + - + = - + - 0.006 = 0.105 < a 所以 c < a
9 9 9 2 3 9 162 2187 9
综上所述： c < a < b .故选：C
【变式 1-2】
31 1
（2022·全国·统考高考真题）已知 a = ,b = cos ,c = 4sin
1
，则（ ）
32 4 4
A． c > b > a B．b > a > c C． a > b > c D． a > c > b
【答案】A
c
【分析】由 = 4tan
1
结合三角函数的性质可得c > b ;构造函数 f x = cosx 1+ x2 -1, x 0, + ,利用导数可
b 4 2
得b > a ,即可得解.
【详解】
泰勒展开
2
x = 0.25 a 31 1 0.25 b cos 1 1 0.25
2 0.254
设 ，则 = = - ， = - + ，
32 2 4 2 4!
1 sin
1
0.252 4c = 4sin 4 0.25= 1 1- + ，计算得 c > b > a，故选 A.4 3! 5!
4
【变式 1-3】
（2021·全国·统考高考真题）设 a = 2ln1.01，b = ln1.02， c = 1.04 -1．则（ ）
A． a < b < c B．b【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a 与 c，b 与 c 的大小关系，
将 0.01 换成 x,分别构造函数 f x = 2ln 1+ x - 1+ 4x +1, g x = ln 1+ 2x - 1+ 4x +1，利用导数分析其在 0
的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c，b 与 c 的大小关系.
【详解】
ln 1+ x 1 x - x2 1+ x3 ,
, 2 3由泰勒公式 可知
1
1 x 1 1 1+ 2 -1 x - x2 + x3.
2 8 16
将 x = 0.01, x = 0.02, x = 0.04 , 分别相应代入估 算, 得 a 0.01990,b 0.019802,c 0.019804 .
由此可知 b < c < a .
题型 06 构造函数：幂函数构造
【解题规律·提分快招】
幂函数积形式构造：
1.对于xf (x)+f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=x f（x），
2.对于xf (x) + kf (x) > 0 （< 0），构造g（x）=xk f（x）
幂函数商形式构造：
1.对于x f (x)-f (x) > 0 （< 0），构造g（x = f（x）） ，
x
2.对于x f (x)-kf (x) > 0 （< 0），构造g x = f（x）（ ）
xk
【典例 1-1】
（23-24 高二下·天津·期中）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足， f -2 = 0，当 x > 0时，
xf x - f x < 0 ，则 f x > 0的解集为（ ）
A． - , -2 U 0,2 B． - ,-2 2, +
C． -2,0 0,2 D． -2,0 U 2,+
【答案】A
f x
【分析】构造函数 g x = ，根据已知条件判断 g x 的单调性，奇偶性，结合 g x 的模拟草图，数形
x
结合即可求得结果.
f x xf x - f x
【详解】令 g x = ，则 g (x) = 2 ，由题可知，当 x > 0时， g
(x) < 0，故 g x 在 0, + 单
x x
调递减；又 f x 为奇函数， y = x 也为奇函数，故 y = g x 为偶函数，则 g x 在 - ,0 单调递增；
f -2 = 0 f -2g 2 又 ，则 - = = 0，画出 y = g x 的模拟草图如下所示：
-2
当 x > 0时， f x > 0，则 g x > 0，数形结合可知，此时 x 0,2 ；
当 x = 0，因为 f x 为R 上的奇函数，故 f 0 = 0，不满足题意；
当 x < 0 ， f x > 0，则 g x < 0 ，数形结合可知，此时 x - , -2 ；
综上所述： f x > 0的解集为 - ,-2 0,2 .故选：A.
【典例 1-2】
（23-24 高二下·天津·阶段练习）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 xf x - f x < 0 ，且 f 2 = 2，则
f ex - ex > 0的解集是（ ）
A． - , ln2 B． ln2,+ C． 0,e2 D 2． e ,+
【答案】A
xf x - f x < 0 fg(x) x x x【分析】根据 ，构造函数 = ，判断其单调性，将 f e - e > 0化为
x
g ex > g(2)，根据函数单调性即可求得答案.
f
g(x) x x 0, + xf x - f x 【详解】令 = ， ，则 g (x) =
x x2
< 0，
f x f 2
故 g(x) = 在 0, + 上单调递减，结合 f 2 = 2，得 g(2) = =1，
x 2
x x f ex x x
由 f e - e > 0，得 >1，即 g e > g(2),\e < 2，则 x < ln 2，
ex
f ex - ex即 > 0的解集是 - , ln2 ，故选：A
【变式 1-1】
（19-20 高三上·天津·期中）已知定义域为R 的奇函数 y = f (x) 的导函数为 y = f (x)，当 x 0时，
f (x) a 2 f 2 1 1f (x) + < 0 ，若 =
x 3 3 ÷
,b = -2 f -2 ,c = ln f ln ÷，则 a , b , c 的大小关系正确的是（ ）
è 3 è 3
A．a < b < c B．b < c < a C．a < c < b D． c < a < b
【答案】B
【分析】构造函数 g x = xf x ，根据条件判断 g x 的奇偶性与单调性，进而比较 a,b,c的大小关系.
【详解】根据题意，设 g(x) = xf (x)，
因为 y = f (x) 为奇函数，则 g(-x) = (-x) f (-x) = xf (x) = g(x)，即函数 g(x)为偶函数.
é ù
当 x > 0时， g x = f
f x
x + xf x = x ê f x
+ ú < 0，则函数 g(x)在 (0, + )上为减函数.
x
a 2 f (2) g(2) b = -2 f -2 = g -2 = g 2 c = ln 1 f ln 1 = g = = ， ， ÷ ln
1
÷ = g ln 3 3 3 3 ，3 è 3 è 3
2
且 < ln 3 < 2 ，则有b < c < a .故选：B．
3
【变式 1-2】
（19-20 高二下·安徽黄山·期中）已知函数 f (x) 满足 f (x) + f (-x) = 0，且当 x (- ,0)时， f (x) + xf x < 0
a = 20.6 × f 20.6 b = (ln 2) × f (ln 2) c = 成立，若 ， ， log 1 2 ÷ × f log 1 2 ÷ ，则 a，b ， c的大小关系是（8 8 ）è è
A． a > b > c B． c > b > a C． a > c > b D． c > a > b
【答案】D
【分析】构造函数 g x = x × f x ，利用奇函数的定义得函数 g x 是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，
0.6 1
结合 ln 2 <1 < 2 < - log2 ，再利用单调性比较大小得结论.8
【详解】解：因为函数 f x 满足 f (x) + f (-x) = 0，即 f x = - f -x ，且在 R 上是连续函数，所以函数 f x
是奇函数，
不妨令 g x = x × f x ，则 g -x = -x × f -x = x × f x = g x ，所以 g x 是偶函数，
则 g ' (x) = f (x) + x × f ' (x)，因为当 x (- ,0)时， f (x) + xf '(x) < 0成立，
所以 g x 在 x (- ,0)上单调递减，
又因为 g x 在 R 上是连续函数，且是偶函数，所以 g x 在 0，+ 上单调递增，
则 a
1 1
= g 20.6 ，b = g(ln 2)， c = g log 2 = g - log ，
è 8 ÷ 2 8 ÷ è
因为 20.6
1
>1，0 < ln 2 <1，- log2 = - -3 = 3>0 0.6，所以 ln 2 <1 < 2 < - log
1
2 ，所以 c > a > b，故选：D.8 8
【变式 1-3】
（23-24 高三上·江苏常州·期末）已知定义在R 上的函数 f x 的导数为 f x ， f 1 = e，且对任意的 x 满足
f x - f x < ex x，则不等式 f x > xe 的解集是（ ）
A． - ,1 B． - ,0 C． 0, + D． 1, +
【答案】A
f x
【分析】构建 g x = x - x，根据题意分析可知 g x 在R 上单调递减，结合函数单调性解不等式.e
f x f x - f x
【详解】构建 g x = x - x，则 g x = -1，e ex
f x - f x < ex f x - f x 因为 ，则 -1< 0，即 g x < 0
ex
，
可知 g x 在R 上单调递减，且 g 1 = 0，由 f x > xex f x 可得 x - x > 0，即 g x > g 1 ，解得 x <1，e
所以不等式 f x > xex 的解集是 - ,1 .故选：A．
题型 07 构造函数：指数函数构造
【解题规律·提分快招】
指数型构造，主要以 e 的指数型为核心
ex函数积形式构造：
1.对于f (x)+f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=ex f（x），
2.对于f (x)+kf (x) > 0 （< 0），构造g（x）=ekx f（x）
【典例 1-1】
（22-23 高二下·天津西青·期末）已知可导函数 f x 的导函数为 f x , f 0 = 2023，若对任意的 x R ，都
x
有 f x < f x ，则不等式 f x < 2023e 的解集为（ ）
A． 0, + 2023 B． , +
è e2 ÷
2023
C． - , 2 ÷ D． - ,0 è e
【答案】D
【分析】由题意 f x - f x > 0 f (x)，由此构造函数 g(x) = x ，判断其单调性，将 f x < 2023e
x
化为
e
f x
x < 2023，即 g(x) < g(0)，即可求得答案.e
【详解】由题意对任意的 x R ，都有 f x < f x ，即 f x - f x > 0，
g(x) f (x) g (x) f (x) - f (x)令 = x ，则 = x > 0
f (x)
，即 g(x) = x 为 R 上的增函数，e e e
f (0) x f x
而 f 0 = 2023，故 g(0) = 0 = 2023，又 f x < 2023e 即 g(x) < g(0)e ex < 2023，即 ，
x < 0 x所以 ，即不等式 f x < 2023e 的解集为 - ,0 ，故选：D
【典例 1-2】
（23-24 高二下·天津·期末）定义在R 上的函数 f x 导函数为 f x ，若对任意实数 x，有 f x > f x ，且
f x + 2024为奇函数，则不等式 f x + 2024ex < 0的解集为（ ）
A． 1 1- ,0 B． 0, + C． - , ÷ D． ,+ ÷
è e è e
【答案】B
g(x) f (x)【分析】构造 = x ，根据导数研究 g(x)单调性，结合已知将问题化为 g(x) < g(0)，再根据 g(x)的单e
调性即可求出结果.
g(x) f (x)= g (x) f (x) - f (x)【详解】设 x ，则 = ，对任意实数 x，有 f x > f x ，e ex
所以 g (x) < 0，则 g(x)在R 上单调递减.
因为 f x + 2024 为奇函数，且 f (x) 的定义域为 R，
所以 f 0 + 2024=0，所以 f (0) = -2024，所以 g(0) = -2024 .
因为 ex > 0，所以求不等式 f (x) + 2024ex < 0的解集，
f (x)
即求 x < -2024的解集，即求 g(x) < g(0)的解集，e
因为 g(x)在R 上单调递减，所以 g(x) < g(0)的解集为 x > 0，
x
所以不等式 f x + 2024e < 0的解集为 0,+ .故选：B
【变式 1-1】
（23-24 高二下·天津·期末）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且
x -1 é f x + f x ù > 0, f 2 - x = f x e2x-2
f lnx f 2
，则不等式 2 < 的解集是（ ）e x
A 0,e2． B 2． 1,e C． e,e2 D． e2 ,+
【答案】B
x 2x-2
【分析】构造函数 g x = e f x ，根据已知讨论导数符号可得单调性，由 f 2 - x = f x e 可得
g 2 = g 0 f lnx f 2 ，将不等式 2 < 转化为 g ln x < g 2 ，然后利用单调性可解.e x
【详解】记 g x = ex f x x x，则 g x = e f x + e f x =ex é f x + f x ù ，因为 x -1 é f x + f x ù > 0，
所以当 x >1时， f x + f x > 0，则 g x > 0， g x 在 1, + 上单调递增；
当 x <1时， f x + f x < 0，则 g x < 0， g x 在 - ,1 上单调递减.
f 2 - x = f x e2x-2 e2-x x又 f 2 - x = e f x ，即 g 2 - x = g x ，所以 g 2 = g 0 ，
f lnx f 2
因为 < eln x2 f lnx < e2 f 2 g ln x < g 2 ，e x
所以0 < ln x < 2 ，解得1 < x < e2 .故选：B
【变式 1-2】
（19-20 高三上·天津·开学考试）定义在 R 上的函数 f x 满足： f ' x - f x < e2x ， f ln 2 = 4，则不等式
f x > e2x 的解集为
A． - , ln 2 B． - , 2
C． ln 2,+ D． 2, +
【答案】A
- x
【分析】由题得 e [ f ' x - f x ]- ex < 0 - x x，构造函数 g(x) = e f x - e ，求出函数 g(x)的单调性得解.
- x x - x x
【详解】由题得 e [ f ' x - f x ]- e < 0 构造函数 g(x) = e f x - e ，所以
g (x) = e- x[ f (x) - f x ]- ex < 0
所以函数 g(x)在 R 上单调递减. g(ln 2) = e- ln 2 f (ln 2) - eln 2
1
= 4 - 2 = 0 ,
2
由函数的单调性得，当 x < ln 2时， g(x) > g(ln 2) = 0，即当 x (- , ln 2)时，恒有 g(x) > 0 ，
- x x 2x 2x
即 e f x - e > 0,\ f (x) > e .所以不等式 f x > e 的解集为 - , ln 2 .故选 A
【变式 1-3】
（17-18 高三下·天津·阶段练习）设定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f (x) >1， y = f (x) - 3为奇函数，且
f (x) + f '(x) >1，则不等式 ln( f (x) -1) > ln 2 - x的解集为
A． 1,+ B． - ,0 1, + C． - ,0 0, + D． 0, +
【答案】D
【详解】分析：构造函数 g（x）=exf（x）+ex，（x∈R），求函数的导数，研究 g（x）的单调性，将不等式
进行转化求解即可．
详解：设 g（x）=exf（x）-ex，（x∈R），则 g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′
（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式 ln（f（x）-1）＞
ln2-x 等价为不等式 ln[f（x）-1]+x＞ln2，
即为 ln[f（x）-1]+lnex＞ln2，即 ex（f（x）-1）＞2，则 exf（x）-ex＞2，∵y=f（x）-3 为奇函数，∴当 x=0 时，
y=0，即 f（0）-3=0，得 f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴exf（x）-ex＞2 等价为 g（x）＞g（0），
∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），
故选 D．
点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解
题的关键，综合性较强，有一定的难度．
题型 08 构造函数：三角函数型
【解题规律·提分快招】
三角函数形式构造：
1.对于sinx f (x) + cosx f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=f（x） sinx ，
2.对于sinx f (x)-cosx f (x) 0 0 g x = f（x）> （< ），构造 （ ）
sinx
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.对于cosx f (x)-sinx f (x) > 0 （< 0），构造g（x）=f（x） cosx ，
2.对于cosx f (x)+sinx f (x) f（x）> 0 （< 0），构造g（x）=
cosx
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例 1-1】
π π
（24-25 高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数 y = f (x) 对于任意的 x (- , )满足 f (x)cos x + f (x)sin x > 0（其
2 2
中 f (x)是函数 f (x) 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． 2 f (
π) f ( π> ) B． 2 f (
π
- ) > f ( π- )
3 4 3 4
C． f (0) 2 f (
π) π> D． f (0) > 2 f ( )
4 3
【答案】A
f (x)
【分析】构造 g(x) = ，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可.
cos x
g(x) f (x) x ( π , π f
) (x) cos x + f (x)sin x【详解】设 = ， - ，则 g (x) = > 0，
cos x 2 2 cos2 x
π π
g(x) ( π π
f ( ) f ( ) π π
在 - , ) 3上单调递增，对于 A， 4π < π ，化简得 2 f ( ) > f ( )，A 正确；2 2 cos cos 3 4
4 3
f ( π- ) f ( π- ) π π
对于 B 3， 4π < π ，化简得 2 f (- ) < f (- )，B 错误；cos(- ) cos(- ) 3 4
3 4
π
f (0) f ( ) π
对于 C， < 4 ，化简得 f (0) < 2 f ( )，C 错误；
cos0 cos π 4
4
f ( πf (0) )
D < 3对于 ， π ，化简得 f (0) < 2 f (
π)，D 错误.故选：A
cos0 cos 3
3
【典例 1-2】
π
（24-25 高三上·福建南平·期中）定义在 0, ÷上的函数 f x ， f x 是 f x 的导函数，且
è 2
f x < - tan x × f x π π 2 3成立， a = 2 f ÷，b = 2 f ÷， c = f
π
÷，则 a，b ， c的大小关系为（3 4 ）è è 3 è 6
A．b > a > c B． c > b > a C． c > a > b D． a > b > c
【答案】B
f x
【分析】由条件可得 f (x) + tan x × f (x) < 0 ，构造函数 g x = ，利用导数判断函数 g x 的单调性，比较
cos x
函数值的大小即可.
π
【详解】因为 x 0, ÷ 时，cos x > 0，所以 f (x) < - tan x × f (x)可化为 f (x) + tan x × f (x) < 0 ，
è 2
f x π
设 g x 0, f x f xx = cos x + f x sin x f (x) + tan x × f (x)， ，则 ，
cos x ÷ g x = = = < 0è 2 è cos x
÷
cos
2 x cos x
π π π π π π π
所以函数 g x 在 0, ÷上的单调递减，因为 < < ，所以 g ÷ > g > g ，è 2 6 4 3 ÷ è 6 è 4 è 3 ÷
f π f π π 6 ÷
f
4 ÷ ÷
所以 è > è > è 3
2 3 f π π π ，即 ÷ > 2 f ÷ > 2 f ，所以 c > b > a .故选：B.
cos π cos π cos π 3 è 6 è 4 è 3
÷
6 4 3
【变式 1-1】
π π
（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 y = f x 对于任意的 x - , ÷满足 f x cos x + f x sin x > 0
è 2 2
（其
中 f x 是函数 f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． f 0 2 f π> 2 f π π ÷ B． - ÷ > f
-
è 4 ÷ è 3 è 4
π π
C． 2 f ÷ > f ÷ D． f 0 > 2 f
π
3 4 3 ÷è è è
【答案】C
f
g x
x
【分析】构造 = ，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可.
cos x
f x f x cos x + f x sin x
π π
【详解】设 g x = ，则 g x = > 0，则 g x 2 在 - ,2 2 ÷上单调递增，cos x cos x è
f 0 f
π
4 ÷
对于 A， < è ，化简得 f 0 < 2 f π ÷，错；cos0 cos π è 4
4
f π π - f -
è 3 ÷ 4 ÷ π π
对于 B < è ， π π ，化简得
2 f -
3 ÷
< f - ÷，错；
cos è è 4 - ÷ cos3
- ÷
è è 4
f π f π 4 ÷ ÷è π π 对于 C， π <
è 3 2 f
π ，化简得
> f ，对；
cos cos è 3
÷
è 4 ÷
4 3
f π f 0 3 ÷è π对于 D， < ，化简得 f 0 < 2 f ÷，错.故选：Ccos0 cos π è 3
3
【变式 1-2】
（20-21 高三上·重庆·阶段练习）已知 f x 是定义域为 R 的奇函数， f x 是 f x 的导函数， f -1 = 0，
当 x > 0时， xf x - f x < 0 ，则关于 x 的不等式 xf x > 0解集为 .
【答案】 (-1,0) U (0,1)
g(x) f (x)【解析】构造函数 = ，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解．
x
g(x) f (x) xf
(x) - f (x)
【详解】令 = ，求导 g (x) =
x x2
Q x > 0 时， xf x - f x < 0 ，则当 x > 0时， g (x) xf (x) - f (x)= < 0，即 g(x)2 在 (0, + )上单调递减，x
f (x) f ( x) f (x) g( x) f (-x) f (x)又 为奇函数，即 - = - ，则 - = = = g(x) g(x) (- ,0)(-x) x ，故 为偶函数且在 上单调递增，
因为 f -1 = 0，故 g -1 = g 1 = 0，作出 g(x)的图像性质类似下图所示，
由 xf x > 0 x2g(x) > 0 g(x) > 0，由图可知，-1 < x < 0或0 < x <1.
故答案为： -1,0 U 0,1 .
【变式 1-3】
π π
（19-20 高三·天津·周测）已知可导函数 f x 是定义在 - , ÷上的奇函数．当 x 0,
π
2 2 2 ÷
时，
è è
f x + f x tan x π> 0 ，则不等式 cos x × f x + ÷ + sin x × f -x > 0 的解集为（2 ）è
π π π
A - ,- B - ,0
π , π π ． ．2 6 ÷ ÷
C． - - D． - ,0
è è 6 è 2 4 ÷ è 4 ÷
【答案】D
【分析】构造函数 sin xf x π ，并依据函数 sin xf x 的单调性去求解不等式 cos x × f x + ÷ + sin x × f -x > 0
è 2
的解集.
x 0, π 【详解】当 ÷ 时， f x + f x tan x > 0，则 cos xf x + f x sin x > 0
è 2
π π π
则函数 sin xf x 在 0, ÷上单调递增，又可导函数 f x 是定义在 - ,
è 2 è 2 2 ÷
上的奇函数
π π π
则 sin xf x 是 - , ÷上的偶函数，且在 - ,0
2 2 ÷ 单调递减，è è 2
ì π
- < x
π π
+ <
2 2 2 x π ,0 x π π - + 0, 由 í ，可得 ÷，则 ÷，-x 0,
π
π π 2- < -x < è 2 è 2 è 2
÷
2 2
π
则 x - ,0÷时，不等式 cos x × f
π
2
x + ÷ + sin x × f -x > 0
è è 2
可化为 sin
x π f x π+ × + ÷ ÷ > sin -x × f -x
è 2 è 2
又由函数 sin xf x 在 0,
π
÷上单调递增，且-x 0,
π x π 0, π ÷ ， + 2
，
è è 2 2 è 2 ÷
π π
则有 > x + > -x > 0，解之得 - π4 < x < 0 故选：D2 2
题型 09 构造函数：复合型构造
【解题规律·提分快招】
混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几方
面入手：
1. 常见函数与 f（x）的和差积商型，如幂指对以及对勾等等
2. 复合型甚至多重复合型函数与 f（x）的和差积商型
求导结果的逆向思考，如见到常数b，则有可能是bx形式。
【典例 1-1】
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 f x < x f x -1 （ f x 为 f x
的导函数），且 f 1 = 0，则（ ）
A． f 2 < 2 B． f 2 > 2
C． f 3 < 3 D． f 3 > 3
【答案】D
xf x - f x 1 f x【分析】由已知可得 2 > ，令 g x
= - ln x，可得 g x 在 (0, + )上单调递增，进而可得
x x x
f 3 > 3ln 3， f 2 > 2ln 2，可得结论.
xf x - f x 1
【详解】由题意可得 xf x - f x > x，即 2 > ，x x
令 g x f x xf x - f x= - ln x，则 g x 1= 2 - > 0，x x x
所以 g x 在 (0, + )上单调递增，因为 f 1 = 0，所以 g 1 = f 1 - ln1 = 0 ，
所以 g 3 > g 1 = 0 f 3 ，所以 - ln 3 > 0 ，所以 f 3 > 3ln 3 > 3，
3
g 2 > g 1 = 0 f 2 所以 ，所以 - ln 2 > 0，所以 f 2 > 2ln 2，
2
又 2ln 2 < 2，故 f 2 与 2 的大小关系不确定.故选：D.
【典例 1-2】
1
（2018·辽宁朝阳·三模）设函数 f（x）是定义在区间 ，+ ÷上的函数，f'（x）是函数 f（x2 ）的导函数，且è
x
xf x ln 2x > f x , x 1> , f e ÷ ÷ =1，则不等式 f
e
÷ < x 的解集是
è 2 è 2 è 2
1
A． ，1÷ B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D2 ．（
0，1）
è
【答案】D
f (x) 1
【分析】构造函数 g(x) = , x > ，求导，结合 xf x ln 2x > f x g(x) (1，可得 在 , + )上单调递增，
ln 2x 2 2
exx ex
则不等式 f (e ) < x f ( ) x f ( )，可变为
2 2 1
，则 g(e ) 2 e< = <1 = g( )，结合单调性即可求解．
x 2 x 2
f (x) 1 f ' (x) ln 2x f (x) 1- 2 '
【详解】构造函数 g(x) = , x > ，则 ' 2x xf (x) ln 2x - f (x) 1 ，由
ln 2x 2 g (x) = = , x >(ln 2x)2 x(ln 2x)2 2
x
xf x ln 2x > f x ，所以 g ' 1(x) > 0，即 g(x)在 ( , + )上单调递增．因为 g(e ) = f (e ) =1 e，则不等式 f ( ) < x ，
2 2 2 2
f (e
x x
) f (e ) 1 exx e
可变为 2 <1，则 g(e ) e= 2 <1 = g( )，所以 < < ，所以0 < x <1，故选 D
x 2 x 2 2 2 2
【变式 1-1】
x 2
（2013·辽宁·高考真题）设函数 f x 满足 x2 f x + 2xf x e= , f 2 e= , 则 x > 0时， f x
x 8
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
x x
【详解】Q函数 f (x) 满足 x2 f '(x) e e+ 2xf (x) = 2，\ éx
2 f x ù ' = ，令F x = x f x ，x x
ex 2 x ex - 2F x
则F ' x = , F 2 = 4· f 2 e e = x，由 x2 f ' x + 2xf x = ，得 f ' x = ，令j x = e - 2F x 3 ，x 2 x x
x
则j ' x = ex e x - 2- 2F ' x = , \j x 在 0,2 上单调递减，在 2, + 上单调递增，
x
\j x 的最小值为j 2 = e2 - 2F 2 = 0,\j x 0 .
又 x > 0,\ f ' x 0,\ f x 在 0, + 单调递增，\ f x 既无极大值也无极小值，故选 D.
【变式 1-2】
16-17 · · ln x + x - t
2
t R x é
1 ù
（ 高三上 山西朔州 期中）已知函数 f x = ， ，若存在 , 2
x ê 2 ú
，使得
f x + xf x > 0，则实数 t的取值范围是
A． - , 2 B． - , 3 9÷ C． - , ÷ D． - ,3
è 2 è 4
【答案】C
【分析】先构造函数 g x = xf x ,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数 t的取值范
围.
1
【详解】令 g x = xf x = lnx é ù+ x - t 2 ，则存在 x ê , 2ú ，使得 g x = f x + xf x > 0 ,即 2
1 1 1 1 1
+ 2 x - t > 0, t < + 2x ÷的最大值，因为 y = + 2x
1 2 2
÷在x 2 x 2 x [ , ]
上单调递减，在 [ , 2]上单调递增，
è è 2 2 2
y 1 1 2x 1 1 9 9所以 = + ÷最大值为 + 2 2÷ = ,因此 t < ，选 C.2 è x 2 è 2 4 4
【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如
f (x) < f (x) f (x)构造 g(x) = x ， f (x) + f (x) < 0构造 g(x) = e
x f (x) ， xf (x) < f (x)构造 g(x)
f (x)
= ，
e x
xf (x) + f (x) < 0 构造 g(x) = xf (x)等
【变式 1-3】
（20-21 高二下·天津武清·期末）若 f (x) 为定义在R 上的连续不断的函数，满足 f (x) + f (-x) = 4x2 ，且当
x (- ,0) 1时， f (x) + < 4x．若 f m +1 f m 3- + 3m + ，则m 的取值范围 ．
2 2
é 1
【答案】 ê- , + 2 ÷
1 1
【分析】由已知当 x (- ,0)时， f (x) + < 4x，可构造函数 g(x) = f (x) - 2x2 + x，可得 g(x)为奇函数，
2 2
g x f x 4x 1又 = - + < 0，得 g(x)在 (- ,0)上是减函数，从而在R 上是减函数，再根据函数的奇偶性和
2
单调性即可求解．
【详解】Q f (x) + f (-x) = 4x2 ，\ f (x) - 2x2 + f (-x) - 2x2 = 0 ，
设 g(x) = f (x) - 2x2
1
+ x, x R ，则 g(-x) = f (-x) - 2x2
1
- x，则 g(x) + g(-x) = 0，\ g ( x ) 为奇函数，
2 2
1
又当 x (- ,0)时， g x = f x - 4x + < 0，\ g ( x ) 在 (- ,0)上是减函数，从而在R 上是减函数，
2
又 f m +1 f -m + 3m 3 1+ , f (m +1) - 2(m +1)2等价于 + (m +1) f (-m) - 2(-m)2 1+ (-m)，
2 2 2
g(m 1) g( m) 1 m é 1即 + - ，\m +1 -m，解得m - ,故 的取值范围为 ê- , + ，2 ÷ 2
é 1
ê- , +
故答案为： 2
÷
题型 10 构造求参：同构型
【解题规律·提分快招】
同构法：
对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求
解.
【典例 1-1】
2x m1
（23-24 高二下·天津·期中）对"x1, x2 1,2 ，当 x1 < x e x2时， 2x < 1 ÷ ，则实数m 的取值范围是（ ）e 2 è x2
A． - , 2 B． - , 2 C． - , 4 D． 4, +
【答案】A
2x me 1 x
【分析】首先不等式 < 1 ÷ 转化为 2x1 - m ln x1 < 2x2 - m ln x2，"x1, x 1, 22x 2 ，再构造函数e 2 è x2
g x = 2x - m ln x m，由函数的单调性，转化为不等式 g x = 2 - 0 ，参变分离后，转化为最值问题，即
x
可求解.
2x me 1 x e2x1 e2x2
【详解】由题意可知，不等式 1 <2x < ÷ 等价于 m m ，e 2 è x2 x1 x2
e2x1 e2x2 2x m 2x m
两边取对数得 ln m < ln m ，即 ln e 1 - ln x < ln e 2 - ln x ，x1 x
1 2
2
则 2x1 - m ln x1 < 2x2 - m ln x2，"x1, x2 1,2 ， x1 < x2，
设 g x = 2x - m ln x ，由题意可知，函数 g x 在区间 1,2 上单调递增，
g x 2 m= - 0 ，在区间 1,2 上恒成立，即m 2x 恒成立， x 1,2 ，所以m 2 .故选：A
x
【典例 1-2】
（23-24 高二下·天津·期中）若对任意的 x1, x2 m, +
x1 ln x2 - x2 ln x1
，不等式 > 2x - x 恒成立，则实数 m 的取1 2
值范围是（ ）
1 ,e3 é1 ,e3 ùA B C e3 ,+ D 3． e ÷ ． ê ． ． ée , + è e ú
【答案】D
ln x - 2
【分析】首先不等式通过变形，再构造函数 f x = ，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求
x
参数的取值范围.
x1 ln x2 - x2 ln x1 2 ln x - 2 ln x - 2【详解】设 x1 > x2 > m，不等式 >
2 > 1
x - x ，变形为 ，1 2 x2 x1
f x ln x - 2设函数 = ，则函数 f x 在区间 m, + f x 3- ln x单调递减，由 = = 0，得 3 ，
x x2 x = e
x 0,e3当 时， f x > 0， f x 单调递增，当 x e3 ,+ 时， f x < 0， f x 单调递减，
所以m e3 .故选：D
【变式 1-1】
（2022 高二下·河南南阳·专题练习）已知 f x = a ln x 1+ x2 a > 0 ，若对任意两个不等的正实数x1、 x2 2都
f x2 - f x1
有 2恒成立，则 a的取值范围是（ ）
x2 - x1
A． 1, + B． 1, +
C． 0,1 D． 0,1
【答案】B
【分析】设 x1 < x2，可得出 f x1 - 2x1 f x2 - 2x2 ，令 g x = f x - 2x
1
= a ln x + x2 - 2x ，可知函数 g x
2
a
在 0, + 单调递增或为常函数，可得出 g x = + x - 2 0对任意的 x > 0恒成立，利用参变量分离法可求
x
得实数 a的取值范围.
f x2 - f x1
【详解】若对任意两个不相等的正实数x1、 x2都有 2恒成立,x2 - x1
不妨设 x1 < x2，所以 f x2 - f x1 2x2 - 2x1，即 f x1 - 2x1 f x2 - 2x2 ，
令 g x = f x - 2x = a ln x 1+ x2 - 2x ，则 g x1 g x2 ，所以函数 g x 在 0, + 上单调递增或为常函数，2
a
则 g x = + x - 2 0对任意的 x > 0恒成立，则 a -x2x + 2x，
又函数 y = -x2 + 2x = - x -1 2 +1 1，当 x =1时，等号成立，
所以a 1，所以实数 a的取值范围是 1, + ． 故选：B.
【变式 1-2】
ex f x1 f x2
（2018·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) = - ax，x (0,+ )，当 x2 > x1 > 0 时，不等式 < 恒成立，
x x2 x1
则实数 a 的取值范围为（ ）
e e ù
A． (- , e] B． (- , e) C． - , D． - ,
è 2 ÷ è 2 ú
【答案】D
【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构
造函数，利用导数求其最值，可得答案.
f x1 f x2
【详解】Q当 x2 > x1 > 0 时，不等式 < 恒成立，则 f x1 xx x 1 < f x2 x2，2 1
x 2 x
即函数 g x = xf x = e - ax 在 0, + 上单调递增，则 g x = e - 2ax 0，
ex x x
整理可得 2a ，令m e x -1 ex = ，则m x = .
x x x2
当 x 0,1 时，m x < 0 ，m x 单调递减，当 x 1,+ 时，m x > 0，m x 单调递增，
\2a m x = m 1 = e a emin ，\ .故选：D.2
【变式 1-3】
a x
（2022·福建南平·三模）对任意的 x1, x
1
2 1,3 ，当 x1 < x2时， x1 - x2 - ln > 0 a3 x 恒成立，则实数 的取值范2
围是（ ）
A． 3, + B． 3, + C． 9, + D． 9, +
【答案】C
a
【分析】将不等式等价变形，构造函数 f (x) = x - ln x，再借助函数单调性、最值求解作答.
3
a x1
【详解】依题意， x1 - x2 - ln > 0 x
a a
- ln x - (x - ln x ) > 0 a x (1,3]
3 x 1 3 1 2 3 2 ，令 f (x) = x - ln x， ，2 3
则对任意的 x1,x2 (1,3]，当 x1 < x2时， f (x1) > f (x2 )，即有函数 f (x) 在 (1,3]上单调递减，
a
因此，"x (1,3]， f (x) =1- 0 a 3x ，而 (3x)max = 9，则 a 9 ，3x
所以实数 a的取值范围是[9,+ ) .故选：C
题型 11 构造求参：二次构造型
【解题规律·提分快招】
多参型：
1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数；
2.参数看作常数，求最值---恒成立；
3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型
简单理解：2 与 3 的最值是相反的
【典例 1-1】
2 n
（24-25 x高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = + 2 n +1 x - 2xlnx m,n R 没有极值点，则 的
m +1 m +1
最小值为（ ）
1 1
A．
e2
B． C．1 D．e
e
【答案】A
x
【分析】分析可知，m +1 > 0，可知 + n lnx在 0, + 上恒成立，故需要有 x + n m +1 m +1 lnx在
m +1
0, + 上恒成立（等号不恒成立）， g x = m +1 lnx x > 0 ，求出函数 g x 的斜率为1的切线方程，可得
n 1 ln m +1 t ln m +1= m +1 > 0 y 1 lnt -1 lnt -1出 - + ，令 ，则 = - + = ，利用导数求出 y = 的
m +1 m +1 m +1 m +1 m +1 t t
最大值，即为所求.
x2 x
【详解】因为 f x = + 2 n +1 x - 2xlnx m,n R ，依题意 f x = 2 + n - lnx 0, + m 1 ÷ 在 上没有m +1 è +
h x x变号零点，令 = + n - ln x ，其中 x > 0，若m +1< 0 ，则 h x 1 1= - < 0，则函数 h x 在 0, +
m +1 m +1 x
上为减函数，当 x 0+ 时， h x + ；当 x + 时， h x - ，所以，存在 x0 > 0，使得 f x0 = 0，
且当0 < x < x0 时， f x > 0，此时函数 f x 单调递增，
当 x > x0时， f x < 0
1
，此时函数 f x 单调递减，不合乎题意，所以， > 0 ，从而m +1 > 0，
m +1
因为当 x 0+
x
时， h x + ，所以需满足 + n lnx在 0, + 上恒成立，
m +1
故需要有 x + n m +1 m +1 lnx在 0, + 上恒成立（等号不恒成立），
g x = m +1 lnx x > 0 g x m +1设 ，令 = = 1，得 x = m +1，
x
所以函数 g x 的斜率为1的切线方程为 y - m +1 ln m +1 = x - m +1 ，
即 y = x - m +1 + m +1 ln m +1 ，所以只需要n m +1 - m +1 + m +1 ln m +1 ，
n 1 ln m +1 t m 1 0 1 ln m +1= + > y lnt -1所以只需要 - + 即可，令 ，则 = - + = ，
m +1 m +1 m +1 m +1 m +1 t
故 y
2 - lnt
= 2 ，当0 < t < e
2 时， y > 0，当
t t > e
2 时， y < 0，
lnt -1 2 2
所以，函数 y = 的单调递增区间为 0,e ，递减区间为 e ,+ ，
t
1 n 1
所以当 t = e2 时取得唯一的极大值，即最大值，所以 ymax = ，所以 ．e2 m +1 e2
n 1
所以， 的最小值为 2 .故选：A.m +1 e
【典例 1-2】
f (x) = ex 1- x2 - bx(a b R) b（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，2(a 1) 没有极值点，则 的最大值为+ a +1
（ ）
e eA B C e
2
． ． ． e D．
2 2 2
【答案】B
x 1
【分析】转化为 f (x) = e - x - b 0恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到
a +1
ln a +1
b 1
b ln a +1 +1
+ ，故 a +1 2 ，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.a +1 a +1 a +1
【详解】函数 f x = ex
1
- x2 - bx x 1
2 a +1 没有极值点，\ f (x) = e - x - b 0，或 f
(x) 0恒成立，
a +1
1
由 y = ex x指数爆炸的增长性， f (x)不可能恒小于等于 0， \ f (x) = e - x - b 0恒成立．
a +1
令 h x ex 1 1= - x - b ，则 h x = ex - ，
a +1 a +1
当 a +1< 0时， h x > 0恒成立， h x 为R 上的增函数，
因为 ex 0,+ 1是增函数，- x - b - , + 也是增函数，
a +1
所以，此时 h(x) - , + ，不合题意；
1
②当 a +1 > 0时， h x = ex - 为增函数，由 h x = 0得 x = -ln a +1 ，
a +1
令 h x > 0 x > -ln a +1 ，h x < 0 x < -ln a +1 ，
\h x 在 - ，- ln a +1 上单调递减，在 -ln a +1 ，+ 上单调递增，
当 x = -ln a +1 ln a +1 ln a +1时，依题意有 h x = h -ln a 1 1 1 + = + - b 0，即b + ，min a +1 a +1 a +1 a +1
b ln a +1 +1 lnx +1
Qa +1 > 0，\ a 1 2 ，令 a +1 = x(x > 0) u x = x > 0+ ， 2 ，a +1 x
x - lnx +1 × 2x - 2lnx +1
1 1
则u x = 4 = ，令u x > 0 0 < x <3 ，令u x < 0，解得 x > ，x x e e
x 1= u x u 1 e a 1 1= . + = e e e b所以当 时， 取最大值 故当 ， ，即 ， 时， 取e è e ÷ 2 e b = a = -1 b =2 e 2 a +1
e
得最大值 .
b e
综上，若函数 h x 没有极值点，则 的最大值为 .故选：B.
2 a +1 2
【变式 1-1】
b
（22-23 高三上·陕西西安·阶段练习）已知关于 x 的不等式 eax x + b 对任意 x R 恒成立，则 的最大值为a
（ ）
1 eA． 2 B．1 C． D． e2
【答案】C
【分析】
b 1+ ln a 1+ ln a
讨论 a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出 = ，构造函数 g(a) =
a a2 a2
,a > 0 ，利用导数求
出函数的最值，进而得解.
【详解】
f x = eax设 ， g x = x + b ，
若 eax x + b ，对任意 x R恒成立，则 f x g x ，对任意 x R恒成立，
当 a 0时，在同一坐标系中作出函数 f x , g x 的图象，
显然，由图可知 eax x + b ，对任意 x R不恒成立；
当 a > 0时，在同一坐标系中作出函数 f x , g x 的图象，
ax
由图可知，临界条件是直线 g x = x + b 与曲线 f x = e 的图象相切时，
f x = eax ex ax ax 1 ax由 ，求导 f x = ae ，设 f x = ae 00 =1，解得 e 0 = ，且 f x0 = e 0 ，a
∴当 f x = eax 的切线斜率为 1 时，切点坐标为 x0 ,eax ax 1 10 ，故 e 0 = x0 + b = ，所以 x0 = - ba a
a 1 -b
b 1+ ln a 1+ ln a
即 e è a
÷
1= e1-ab 1= 1- ab = - ln a 1+ ln a = ab两边同除以 a2 ， = 2 ，令 g(a) = 2 ,a > 0a a a a a
1
× a2 - 2a(1+ ln a)
求导
1 1-
g (a) a 1- 2(1+ ln a) -1- 2ln a g (a) = 0= 4 = 3 =
令 ，得 ln a = - ，即 a = e 2
a a a3 2
1 1- -
当 a 0,e 2 ÷， g (a) > 0，函数 g(a)单调递增，当 a e 2 , + ÷ ， g (a) < 0，函数 g(a)单调递减，
è è
1 1
1 -
-
g(e 2 ) 1+ ln e
2 2 e1
- = = =所以当 a = e 2 ，函数 g(a)取到最大值，且 1
2 -1
- e 2
e 2 ÷
è
b e
故 的最大值为 故选：C.
a 2
【变式 1-2】
（21-22 高二上·江苏盐城·期末）"x 0, + ，不等式 ln x + 2 2m n m- 恒成立，则 的最大值是（ ）
x n
2
A e．1 B．-1 C． e2 D．
2
【答案】D
m ln n + 3
【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，得到 ln n + 3 - 2m 0，进而得到 恒成立，求出函
n 2n
数 h n ln n + 3= ， n > 0的最值，得到答案.
2n
n 1 n x - n
【详解】令 f x = ln x + 2 - 2m + ， x > 0， f x = - = ，显然 n 0，
x x x2 x2
n
当 n < 0时， f x > 0恒成立，即 f x = ln x + 2 - 2m + 在 0, + 上单调递增，无最小值，舍去；
x
当 n > 0时，当 x 0,n 时， f x < 0， f x 单调递减，当 x n, + 时， f x > 0， f x 单调递增，所
以 f x = f n = ln n + 2 - 2m +1 = ln n + 3- 2m ，因为"x 0, + min
n
，不等式 ln x + 2 2m - 恒成立，所以
x
ln n + 3 - 2m 0，所以 2m ln n + 3，
m ln n + 3 h n ln n + 3 -4 - 2ln n -2恒成立，令 = ， n > 0， h n = 2 ，当 n 0,e 时， h n > 0，当 n e-2 ,+ n 2n 2n 4n
-2 2 2 2
时， h n < 0 m，所以 h n = h e-2 ln e + 3 e m e e= -2 = ，所以 ，则 的最大值为 .故选：Dmax 2e 2 n 2 n 2
【变式 1-3】
b -1
（2021·四川成都·模拟预测）设 k ，b R ，若关于 x 的不等式 ln x -1 + x kx + b在 1,+ 上恒成立，则
k -1
的最小值是（ ）
A．-e2
1 1
B．- C．- D．-e -1
e +1 e2
【答案】D
【分析】根据不等式 ln x -1 + x kx + b在 1,+ 上恒成立，令 t = x -1 > 0，转化为 ln t + t +1- k t +1 b 在
0, + 上恒成立，令 f t = ln t + t +1 k t 1 1- + ，用导数法求得最大值 f ÷ = - ln k -1 - k ，转化为
è k -1
b -1 -2 ln k -1 -2 ln u
- -1，再令u = k -1，得到 g u = - -1，求其最大值即可.
k -1 k -1 k -1 u u
【详解】因为不等式 ln x -1 + x kx + b在 1,+ 上恒成立，所以不等式 ln x -1 + 1- k x b在 1,+ 上恒
成立，令 t = x -1 > 0，则 ln t + t +1- k t +1 b 在 0, + 上恒成立，令 f t = ln t + t +1- k t +1 ，
所以 f t 1= +1- k ，若 k 1，则 f t > 0， f t 在 0, + 递增，当 t + 时， f t + ，不等式不
t
1 1
成立，故 k >1，当0 < t < 时， f t > 0，当 t > 时， f t < 0，
k -1 k -1
1 f t f 1 1所以当 t = 时， 取得最大值 ÷ = ln -1+1- k = - ln k -1 - k ，k -1 è k -1 k -1
所以- ln k -1 - k b ln k -1 + k -1 2 - b -1 b -1 -2 ln k -1 ，所以 ，所以 - -1，
k -1 k -1 k -1
-2 ln u 2 1- ln u 1+ ln u
令u = k -1，则 g u = - -1，所以 g u = 2 - 2 =u u u u u2 ，
当0 u
1
< < 时 g u < 0，当u 1 1> 时， g u > 0 ，所以当u = 时， g u g 1 取得最小值 ÷ = -e -1，e e e è e
b -1
所以 的最小值是-e -1故选：D
k -1
题型 12 构造求参：数列型构造
【解题规律·提分快招】
数列型构造，需要借助数列的性质，寻找有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入
函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，
【典例 1-1】
a a 1（2022· *浙江宁波·模拟预测）已知数列 n 满足 1 = , a2 n =1+ ln an+1 n N ，记Tn 表示数列 an 的前 n 项乘
积.则（ ）
T 1 1 , T 1 1 1 1 1 1 A． 9 ÷ B． 9 , ÷ C．T9 30 26 26 22
, ÷ D．T9 , ÷
è è è 22 18 è18 14
【答案】C
【分析】先用数学归纳法证明0 < an <1 .构造函数 y = ln x - x -1 , 0 < x 1
1
，利用导数证明出 an <1 .记2
2 x -1 2 x -1
2 a -1 2 2
g x = ln x - , 0 < x 1 ，证明出 ln x < n+1得到 an -1 = ln an+1 < ，即 - >1，x +1 x +1 an+1 +1 1- an+1 1- an
a 1 2 n +1 1
1
用累加法得： n > - = ，即可求出T = a a La > .记 h x = ln x - x + , 0 < x 1 ，证n + 3 n + 3 9 1 2 9 22 x
1 2 1- a
明出 ln x > x - .得到 a < n+1
n+1 ÷ ，求出T9 < 2 1
1 1 1
- a9
2 < ，即可得到 < T9 < .x è 1- an 18 22 18
a -1
【详解】因为an = 1+ ln a nn+1 ，所以 an+1 = e .下面用数学归纳法证明0 < an <1 .
1
当 n=1 时， a1 = 符合0 < an <1 .假设 n = k k 1 时，结论成立，即0 < a2 k
<1 .
当 n = k +1 a a时， k -1k +1 = e ，所以 ak +1 = e
ak -1 > 0显然成立；
0 < a <1 a -1< 0 a = eak -1 0因为 k ，所以 k ，所以 k +1 < e =1，即0 < ak +1 <1，
所以结论成立.
综上所述：0 < an <1对任意的 n N * 均成立.
记函数 y = ln x - x -1 , 0 < x 1 . y 1 1 1= - = 1- x .
x x
因为0 < x 1，所以 y 0（x=1 取等号），所以 y = ln x - x -1 在 0,1 单调递增，
所以 f x < f 1 = 0 ，即 ln x < x -1，所以 an =1+ ln an+1 <1+ an+1 -1 = an+1 ，即 an < an+1，
所以数列 an
1
为单调递增函数，所以 an <1 .2
2
2 x -1 1 4 x -1
记 g x = ln x - , 0 < x 1 ，则 g x = - 2 = 2 0（x=1 取等号），所以 g x 在 0,1 x +1 x x +1 x x +1
上单调递增，所以 g x < g 1 = 0 2 x -1，即 ln x < .
x +1
2 an+1 -1 2 - 1- an+1 + 2
所以 an -1 = ln an+1 < ，所以 < ，an+1 +1 1- an 1- an+1
2 2 2 2
所以 - >11- a 1- a ，累加得：
> + n -1 1
n+1 n 1- an 1- a
.
1
1 2 2 2 2 n +1
因为 a1 = ，所以 > + n -1 11- a 1- a ，即 > n + 31 a ，所以 an >1- =2 n 1 -
，
n n + 3 n + 3
所以T9 = a a
1 3 10 1 3 4 1 1
1 2 La9 > L = = ，即T9 > .2 5 12 2 11 12 22 22
h x 1= ln x - x + , 0 < x 1 h x 1 1 1 x - x -1记 ，则 = - - = < 0，所以 h x 在 0,1 上单调递
x x 2 x 2x x 2x x
1
减，所以 h x > h 1 = 0，即 ln x > x - .
x
2
a -1 = ln a a 1 a> - = n+1 -1 1- a 1- a< n+1 a 1- an+1
所以 n n+1 n+1 an+1 a
，所以 n a ，所以 n+1 < ÷ ，n+1 n+1 è 1- an
2 2 2
T a a La 1 1- a2 L 1- a9 1 1- a
= < = 9 = 2 1- a 2所以 9 1 2 9 2 1- a ÷ ，è 1 è1- a
÷
8 2
è 1- a
÷ 9
1
a n +1 5
2
因为 n > ，所以 < a <1 T < 2 1- a
2 < 2 ，所以 1 5- 1=
n + 3 6 9 9 9 ֏ 6 18
即T
1 1 T 19 < .综上所述： < < .故选：C18 22 9 18
【典例 1-2】
n n+1 1 *
（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知各项均为正数的数列 an 满足 a1 =1， an = an+1 - n N aa ，则数列 n n+1
（ ）
A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项
【答案】D
1
【分析】由数学归纳法得数列{an}从第 2 项开始都大于 1，这样 a1是最小项，利用不等式放缩得出 a nn ，n
1 1
引入函数 y = x x 利用导数证明其在 x 3时是减函数，得数列{an}有上界， n 8时， an < 88 ，再引入函数
1
f (x) = x3 - x -1，由零点存在定理说明 a > 88 ，从而确定 a2 2 ,a3 ,a4 , a5 ,a6 ,a7 这 6 项中的最大值是数列{an}的
最大项．
【详解】数列{an}各项均为正，
a 2
1 n n+1 1
1 =1，由 a1 = a2 - 得 a2 >1a ，一般地由数学归纳法知当
an >1时，由 an = an+1 - aa 得 n+1
>1（否则若
2 n+1
1
a n+1n+1 1，则 an 1 1， >1， a
n an+1 1=
+ a n n+1
- <1 a <1
n+1 a
， n 矛盾），
n+1
所以数列{an}中， n 2时， an >1， a1 =1是最小项．
n n+1 1 n+1 n+1 n n 1
又 an = an+1 - > aa n+1
-1， an+1 - an <1，所以 an n， a n ，
n+1 n
n
1
1 y 1- ln x
记 y = x x ，则 ln y
ln x
= ，两边求导得 = ，即 y (1- ln x)x
x
x y x2 =
，
x2
x>e 1时， y < 0， y = x x 是减函数，
1 1
所以 n 3时，{nn }是递减数列，因此{an}有上界， n 8时， a 8 ，n < 8
a2 1- =1 a32 a 即 2 - a2 -1 = 0，2
设 f (x) = x3 - x -1， f (x) = 3x2 -1， x 1时， f (x) > 0， f (x) 是增函数，
1 1 1 1
经过计算，得88 1.29684，而 f (88 ) -0.11582 < 0，所以 x >1时满足 f (x) = 0 的 x 满足 x > 88 ，即 a > 88 ，2
从而 a2 > a8 ，而 a2 ,a3 ,a4 , a5 ,a6 ,a7 这 6 个数中一定有最大值，此最大值也是数列{an}的最大项．
故选：D．
【点睛】本题考查由数列的递推关系确定最大项和最小项，解题关键一是由数学归纳法证明数列有下界，
1 1 1
再利用不等式的性质确定数列每一项满足 a nn ，难点在于引入函数 y = x x ，利用导数证明{nn }在 n 3时n
1
是单调递减数列，再引入函数利用零点存在定理证明 a > 88 ，从而说明{a2 n}有上界并在最大项．对学生的
逻辑思维能力，创新意识要求较高，属于困难题．
【变式 1-1】
1
（2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列 an 满足： a1 = - ，且an+1 = ln an +1 - sin an ，则下列关于数列 a2 n
的叙述正确的是（ ）
1 1 a2
A a > a B - a < - C a > - n
2
． n n+1 ． 2 n
．
4 n+1
D． a
a + 2 n
-
42n-1n
【答案】D
【分析】构造函数 f x = ln x +1 - sin x 1（- x < 0），由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明
2
1
- an < 0
1
，然后构造函数 g x = f x - x = ln x +1 - sin x - x（- x < 0），利用导数证明 g(x) > 0 ，得
2 2
f (x) > x，利用此不等式可直接判断 A，对选项 B，由数列{an}的单调性与有界性知其极限存在，设
lim an = An ，对数列的递推关系求极值可得 A = 0 ，从而判断 B，对选项 C，引入函数设
p(x) = ln(x +1) 2x- (-1< x < 0) ，由导数证明 p(x) < 0，得 ln(x +1)
2x
< (-1< x < 0)，从而利用不等式性
x + 2 x + 2
1
质得出数列{an}的不等关系，判断 C，利用判断选项 C 所得正确不等式变形，并换元引入新数列bn = - a ，n
得{bn}前后项关系（求对数再变化），类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断 D．
1 1
【详解】首先我们证明：- a
2 n
< 0，利用数学归纳法．事实上，当 n =1时，- a
2 1
< 0；
1
假设当 n = k 时，- ak < 0，则当 n = k +1时，ak+1 = ln a2 k
+1 - sin ak ．
设函数 f x = ln x +1 - sin x 1（- x < 0），则 f x 1= - cos x > 0，则 f x é 1 在
2 x +1 ê
- ,0
2 ÷
上单调递增，
1 1 1 1
从而- ln + sin = f
-
2 2 2 2 ÷
ak +1 = f ak < f 0 = 0．
è
1 1
当- x < 0时，设 g x = f x - x = ln x +1 - sin x - x（- x < 0），
2 2
则 g x 1= - cos x -1，设 h(x) g (x) 1= = - cos x -1，
x +1 x +1
h x 1= - 2 + sin x < 0 é 1 ，则 g
x 在 ê- ,0
1
x +1 ÷上单调递减，又
g - ÷ > 0, g 0 < 0 ，
2 è 2
1 1
所以存在 x0 (- ,0) ，使得 g (x0) = 0，- < x < x0 时， g (x) > 0， x0 < x < 0时， g (x) < 0，2 2
g x é 1- ,0 ì故 在 ê ÷上先增后减，从而 g x > min íg 0 , g
1 ü
-
2 2 ÷
= 0 ，从而 f x > x．
è
1
对于 A 选项：由