专题 07 三角函数图像与性质求 w 归类
目录
题型 01 求 w：图像重合型 ................................................................................................................................................1
题型 02 求 w：最小平移型 ................................................................................................................................................3
题型 03 求 w：在某区间上单调型 ....................................................................................................................................5
题型 04 求 w：有轴或者中心型 ........................................................................................................................................8
题型 05 求 w：最多最少型（零点） ..............................................................................................................................11
题型 06 求 w：最多最少型（对称轴与最值型） ..........................................................................................................14
题型 07 求 w：不单调型 ..................................................................................................................................................17
题型 08 求 w：没有最值型 ..............................................................................................................................................19
题型 09 求 w：整数型 .......................................................................................................................................................22
题型 01 求 W：图像重合型
【解题规律·提分快招】
决三角函数中已知单调区间求参数w 范围时，首先要有已知的单调区间是函数 f (x) = Asin(wx +j) 单调区间
的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不
会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
【典例 1-1】
p
（22-23 高三下·浙江·开学考试）将函数 f (x) = sin x + ÷ 图像上所有点的横坐标变为原来的w(w > 0)倍，纵
è 3
p
坐标不变，得到的函数 y = g(x) 图像与 h(x) = cos(2x +j) |j |< 2 ÷ 的图像重合，则有（ ）è
h(x) = cos 2x p+ A． ÷ B． g(x) = sin
2x p+
è 6 è 3 ÷
x pC． = 是函数 h x p 的对称轴 D． ,0÷是函数 h x 的对称中心3 è12
【答案】B
1 π
【分析】根据题意可得：w = ， g(x) = sin 2x + ÷ ，然后根据三角函数的变换即可求解.2 è 3
π
【详解】由题意，w
1
= ，所以 g(x) = sin
2
2x +
3 ÷
，
è
又 sin
π
2x + ÷ = cos
é π
- 2x π+ ù = cos π π- 2x = cos 2x -
3 ê 2 3 ÷ú 6 ÷ 6 ÷
，
è è è è
h(x) = cos 所以 2x
π
-
π π π π
÷， g ÷ = 0， g ÷ =1，所以 ,0÷为对称中心， x = 为对称轴.故选：B .
è 6 è 3 è12 è 3 12
【典例 1-2】
π 1
（22-23 高三上·河南南阳·期中）若将函数 f x = 2sin wx + ÷ ,w > 0的图像向右平移 个周期后，与函数
è 3 4
g x = 2cos 2x +j 的图像重合，则j 的一个可能取值为（ ）
π π 2π 4π
A． B．- C．- D．-
3 3 3 3
【答案】C
【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对 g x 的解析式变形处理，列出等式，即可
判断.
f x = 2sin wx π+ ,w > 0 2π π 1【详解】 ÷ ，周期T = ，函数 f x = 2sin wx +3 w 3 ÷的图像向右平移 4 个周期后，è è
y 2sin éw x π π ù得函数 = ê - ÷ + ú = 2sin
wx π -
2w 3 6 ÷
的图像，而
è è
g x = 2cos 2x +j = 2sin é πê + 2x +j
ù
ú = 2sin
2x π+ +j π π ÷，由题意w = 2, +j = 2kπ - , k Z，
2 è 2 2 6
\j 2kπ 2π ,k Z 2π π 1= - ，令j = 2kπ - = ，得 k = Z，故 A 错误；
3 3 3 2
2π π 1 2π 2π
令j = 2kπ - = - ，得 k = Z，故 B 错误；令j = 2kπ - = - ，得 k = 0 Z，故 C 正确；
3 3 6 3 3
令j = 2kπ
2π 4π k 1- = - ，得 = - Z ，故 D 错误.故选：C.
3 3 3
【变式 1-1】
p p
（全国·高考真题）若将函数 y = tan wx + ÷ w > 0 的图像向右平移 个单位长度后，与函数
è 4 6
y = tan wx
p
+ ÷的图像重合，则w 的最小值为
è 6
1 1 1
A． B 1． C4 ． D．6 3 2
【答案】D
【详解】函数 y = tan(wx
p
+ )(w p> 0)的图像向右平移 个单位得 y = tan[w(x
p
- ) p+ ] = tan(wx wp p- + )，
4 6 6 4 6 4
wp p p
所以- + = kp + , k Z
6 4 6
w 6k 1= - + ,k Z 1，所以w 得最小值为
2 2
．
【变式 1-2】
（22-23 高一上·天津·期末）设函数 f (x) = coswx(w > 0) f (x)
π
，将 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图
3
像与原图像重合，则w 的最小值等于（ ）．
A． 2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
p
【分析】由题得 w=2kp ,即得w = 6k(k z)，即得w 的最小值.
3
π p p
【详解】将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度后得 f (x) = cosw（x - ) = cos(wx - w）
3 3 3
，
p
所以 w=2kp ,\w = 6k(k z) ∴w 最小值为6 ．故选C ．
3
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
能力.
【变式 1-3】
（2019·山东聊城·二模）将函数 y = sin 2x 的图像向右平移j j > 0 个单位后与 y = -sin 2x的图像重合，则j
的最小值为
p p p p
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】D
【分析】先写出函数向右平移j 个单位所得函数解析式，结合题意，以及三角函数的性质即可求出结果.
【详解】因为将函数 y = sin2x的图像向右平移j(j > 0) 个单位后，可得 y = sin 2x - 2j ，由题意可得
sin 2x - 2j = -sin2x ，所以 2j = p + 2kp ， k Z ,
p
因此j = + kp ， k Z ,
2
p
又j > 0，所以j 的最小值为 .故选 D
2
【点睛】本题主要考查三角函数图像变换问题，熟记三角函数的性质即可求解，属于基础题型.
题型 02 求 W：最小平移型
【解题规律·提分快招】
可以三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值。
在求解最小平移时候，要结合五点图像，注意平移方向。
【典例 1-1】
π π
（2022·安徽安庆·二模）已知函数 f x = 4sin wx + 3 ÷sin wx - ÷ ， w > 0 的最小正周期为
π，将其图象
è è 3
沿 x
π
轴向右平移m m > 0 个单位，所得图象关于直线 x = 3 对称，则实数 m 的最小值为（ ）
A． π
π 3π π
B． C． D．
3 4 4
【答案】B
【分析】由已知，先对函数 f x 进行化简，根据最小正周期为 π，求解出w ，然后根据题意进行平移变换，
π
得到平移后的解析式，再利用图象关于直线 x = 3 对称，建立等量关系即可求解出实数 m 最小值.
π π 1 3 f x 4sin wx sin wx 1 3
【详解】 = + 3 ÷
-
3 ÷
= 4 sinwx + coswx sinwx - coswxè è è 2 2
÷÷ 2 2 ÷÷ è
é 2 2 1 3 ù4 ê sinwx coswx ú 4 1·1- cos 2wx 3·1+ cos 2wx= - = -
= -2cos 2wx -1
êè 2 ÷
2 ÷÷ 4 2 4 2 ÷
è ú è
由其最小正周期为 π，有w =1，所以 f x = -2cos 2x -1，
将其图象沿 x 轴向右平移m （m > 0）个单位，所得图象对应函数为
y = -2cos 2 x - m -1 = -2cos 2x - 2m -1，
p 2π 2π π kπ
其图象关于 x = 对称，则有 cos( - 2m) = ±1，所以 - 2m = kπ,k Z， m = - ,k Z，
3 3 3 3 2
π
由m > 0，实数m 的最小值为 .故选：B.
3
【典例 1-2】
（2020·陕西汉中·模拟预测）已知函数 f (x) = cos2 wx -1(w > 0)的最小正周期为p ，若将其图象沿 x 轴向右平
移a(a > 0)
p
个单位，所得图象关于 x = 对称，则实数 a的最小值为（ ）
3
A．p
p 3p p
B． C． D．
3 4 4
【答案】B
【分析】由三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的性质求得w ，根据函数 y = Asin(wx + j)的图象
变换规律，以及余弦函数图象的对称性，求得实数 a的最小值.
2 1+ cos 2wx 1 1
【详解】由题意，函数 f (x) = cos wx -1 = -1 = cos 2wx - (w > 0)
2 2 2
可得函数 f x 2p 1 1的最小正周期为 = p ，所以w =1，即 f (x) = cos 2x - ，
2w 2 2
1 1
若将其图象沿 x 轴向右平移a(a > 0)个单位，可得 y = cos(2x - 2a) - 的图象，
2 2
p 2p
又由所得图象关于 x = 对称，可得 - 2a = kp ,k Z ，
3 3
p
当 k = 0时，可得实数 a的最小值为 .故选： B .
3
【点睛】本题主要考查函数 y = Asin(wx + j)的图象变换规律，余弦函数的周期性以及图象的对称性，其中解
答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的性质是解答的关键，属于基础题.
【变式 1-1】
（高二下·河北唐山·期末）把函数 的图象沿 轴向左平移
个单位，所得函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
1- cos 2x 1+ cos 2x p
【详解】试题分析： f (x) = - sin 2x + 3 = cos 2x - sin 2x + 2 = 2 cos(2x + ) + 2，所以
2 2 4
f (x + m) = 2 cos[2(x p+ m) + ]+ 2 p p，因为 g(x)的图象关于 x = 对称，所以 2(x + m) + = kp , k Z8 ，解得：4 4
m kp p= - ,k p Z , m > 0，所以当 k =1时，m 的最小值是m = ．
2 4 4
考点：1、三角函数的化简；2、函数的图象变换．
【方法点睛】解答本题需要解决三个问题，第一、对三角恒等变换公式的熟练记忆与灵活应用，本题中涉
及两角和的余弦公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式；第二、三角函数图象的平移变换，值得注意
的地方是图象左右平移时解析式中是纯粹的 x 的加减某个值；第三、三角函数的对称性的应用．
【变式 1-2】
（2022·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 f (x) = 4sin
wx p+ ÷sin
wx
p
- ÷ , (w > 0) 的最小正周期为p ，将其
è 3 è 3
图象沿 x 轴向左平移m(m > 0)
p
个单位，所得图象关于直线 x = 对称，则实数 m 的最小值为（ ）
3
p p 3p p
A． B． C． D．
6 3 4 4
【答案】A
【分析】由已知，先对函数 f x 进行化简，根据最小正周期为 π，求解出w ，然后根据题意进行平移变换，
π
得到平移后的解析式，再利用图象关于直线 x = 3 对称，建立等量关系即可求解出实数 m 最小值.
【详解】解： f x = 4sin wx π+ ÷sin
wx
π 1 3 1 3
- ÷ = 4 sinwx + coswx3 3 2 2 ÷÷
sinwx - coswx ÷
è è ÷è è 2 2
é 2 2 ù
4 ê 1 sinwx 3 coswx ú 4 1 1- cos 2wx 3 1+ cos 2wx= - ÷ ÷÷ = × - × ÷ = -2cos 2wx -1，êè 2 è 2 ú è 4 2 4 2
即 f x = -2cos 2wx -1 2p，由其最小正周期为 π，即 = p ，解得w =1，
2w
所以 f x = -2cos 2x -1，
将其图象沿 x 轴向左平移m （m > 0）个单位，所得图象对应函数为
y = -2cos 2 x + m -1 = -2cos 2x + 2m -1，
x p 2π π kπ其图象关于 = 对称，所以 + 2m = kπ,k Z ，所以 m = - + ,k Z，
3 3 3 2
π
由m > 0，实数m 的最小值为 .故选：A.
6
【变式 1-3】
π π
（2023·河北唐山·一模）将函数 f x = sinwx (其中w > 0 )的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于 x =
2 6
对称，则w 的最小值是
2 9 3
A．6 B． C． D．
3 4 4
【答案】D
【分析】利用三角函数的图象和性质，结合函数图象的变换即可得出结果.
【详解】将 f x = sinwx π的图象向左平移 个单位，可得 y = sinw x
p
+ ÷ = sin
wx
wp
+
2 è 2 è 2 ÷
π p wp p
所得图象关于 x = ，所以w + = kp + ,k Z
6 6 2 2
2w k 1 ,k Z w 3 k 3所以 = + ，即 = + ,k Z
3 2 2 4
3
由于w > 0，故当 k = 0时取得最小值 .故选：D
4
题型 03 求 W：在某区间上单调型
【解题规律·提分快招】
正弦函数
é
ê2kπ
π π
- , 2kπ + ùú
在每一个闭区间 2 2 （k∈Z）上都单调递增，
é
ê2kπ
π
+ , 2kπ 3π+ ùú
在每一个闭区间 2 2 （k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
【典例 1-1】
（2023·湖南常德·一模）将函数 f x = 2sin π wx +
π
÷（w > 0）的图像向左平移 个单位，得到函数 y = g x
è 6 3
y g(x π é π π= - , ù的图像，若函数 ）的一个极值点是 ，且在 ê ú上单调递增，则 ω 的值为（6 3 6 ）
2 4 8 16
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
π
【分析】先由函数的图像平移变换得到函数 g x ，再根据正弦函数的图像性质得到 x = 是函数 g x 一条
6
2
对称轴，从而得出w = + 2k （ k Z ），
3
2π é π π ù
结合正弦函数的周期与单调性的关系得到 > 2 ê - - ÷ ，即可得到答案.w 6 è 3 ú
é π π ù wπ π
【详解】由题意得： g x = 2sin êw x + ÷ + ú = 2sin wx + + ÷ ，
è 3 6 è 3 6
又函数 y = g(x
π π
）的一个极值点是 ，即 x = 是函数 g x 一条对称轴，
6 6
wπ wπ π π 2
所以 + + = + kπ，则w = + 2k （ k Z ），
6 3 6 2 3
é π π 2π é π π ù
函数 g x 在 ê- ,
ù
ú上单调递增，则函数 g x
的周期T = > 2
3 6 w ê
-
6
- ，
è 3
÷
ú
2
解得0 < w < 2，则 k = 0，w = ，故选：A.
3
【典例 1-2】
wx wx wx π
（2023 高三·湖南·阶段练习）将函数 f x = cos 2sin - 2 3 cos ÷ + 3(w > 0)的图象向左平移 个2 è 2 2 3w
单位，得到函数 y = g(x) 的图像，若 y = g(x)
é π ù
在 ê0, ú 上为增函数，则 ω 的最大值为（ ） 4
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据已知化简可得 f x = 2sin wx
π
- ÷，然后平移可得 g(x) = 2sinwx
π
.由已知可得0 wx w ，
è 3 4
π π
结合正弦函数的单调性可知0 < w ，求解即可得出答案.
4 2
【详解】函数 f x = cos wx wx wx 1+ coswx
2
2sin - 2 3 cos + 3 = sinwx - 2 3· + 3
2 2 ÷ 2 = sinwx - 3 coswxè
= 2sin wx π- ÷，将 f (x)
π é π π ù
3 的图象向左平移 个单位，得
y = 2sin
3w ê
w x + 3w ÷
-
è è 3 ú
= 2sinwx的图象，
所以 g(x)
π
= 2sinwx π π é ù.因为0 x ，w > 0，所以0 wx w .又 y = g(x) 在 ê0, ú 上为增函数，4 4 4
π π
根据 y = sin x 的单调性可知0 < w ，解得0 < w 2，所以 w 的最大值为 2．故选：B．
4 2
【变式 1-1】
π
（23-24 高三上·湖北·期中）将函数 f x = cos x 的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函数图像上的每
3
1
个点的横坐标都变为原来的 w > 0 倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图像，若函数 g x 在 (-π,0) 上单
w
调递增，则w 的取值范围是（ ）
A． 0,
1 ù 2ù 1
ú B． 0, ú C． 0,6 3 3 ÷
D． 0,1
è è è
【答案】B
【分析】根据图象变换得 g x 的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得w 的取值范围.
π π
【详解】函数 f x = cos x 的图像先向右平移 个单位长度，得到 y = cos
3
x -
3 ÷再把所得函数图像上的每è
1 π
个点的横坐标都变为原来的 w > 0 倍，纵坐标不变，得到函数 g x = cos wx -w 3 ÷ 的图像，è
π
令-π + 2kπ wx - 2kπ，(k Z)
2π 2kπ x 2kπ π，整理得- + + ，(k Z)，由于函数在 (-π,0) 上单调
3 3w w w 3w
ìw > 0
2π 2kπ- + -π
递增，故 í 3w w ， (k Z)，解得0
2
< w - 2k ， k 0 (k Z)，
3
0 2kπ π +
w 3w
0 2所以 k = 0， < w ．故选：B．
3
【变式 1-2】
2π 1
（2023·吉林长春·一模）将函数 f (x) = cos x + ÷ 图象上所有点的横坐标变为原来的 (w > 0) ，纵坐标不
è 3 w
é 2π ù é π π
变，所得图象在区间 ê0, ú 上恰有两个零点，且在 ê- ,
ù
3 12 12ú 上单调递减，则
w 的取值范围为（ ）
é9 ù é9 é11 ù 11 ùA． ê ,3ú B． ê , 44 ÷
C． ê , 4ú D． ,6 4 4 è 4 ú
【答案】C
é 2π ù é π π
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在 ê0, ú 上恰有两个零点以及在 ê- ,
ù
3 12 12 ú
上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.
2π 2 2π 2π 2w 2π
【详解】依题意可得 y = cos wx + ， 因为0 x π，所以 wx + π + ，
è 3 ÷ 3 3 3 3 3
因为 y = cos
wx
2π é 2π+ ù π÷在 ê0, ú 恰有 2 个零点，且 cos + k π
= 0， k Z，
è 3 3 è 2 1 ÷ 1
5π 2w
所以 π
2π 7π 11 w<17+ < ，解得 ，
2 3 3 2 4 4
2k 2π令 2π wx + π + 2k2π ， k2 Z
2π 2k π π 2k π
，得- + 2 x + 2 ， k2 Z，3 3w w 3w w
2π 2π
令 k2 = 0，得 y = cos
wx +
é
÷在 ê- ,
π ù
ú 上单调递减，è 3 3w 3w
ì 2π π- -
é π π ù é 2π π ù 3w 12
所以 ê- , 12 12 ú
ê- , ，所以 í ，又w > 0，解得0 3w 12
11 é11 ù
综上所述， w 4，故w 的取值范围是 , 4 ．故选：C.
4 ê 4 ú
【变式 1-3】
（20-21 高三上·天津河北·阶段练习）已知函数 f x = sin wx +j w > 0, j
π
÷， x
π
= - 是函数 f x 的一
è 2 8
π π
个零点， x = π8 是函数 f x
的一条对称轴，若 f x 在区间 , ÷上单调，则w 的最大值是（5 4 ）è
A．14 B．16 C．18 D． 20
【答案】A
【分析】
2n +1 π
设函数 f x 的最小正周期为T ，根据题意分析得出 T = ，其中 n N ，可得出w = 4n + 2，利用函数
4 4
f x 的单调性可得出w 的取值范围，可得出w 的可能取值，然后对w 的值由大到小进行检验，可得结果.
【详解】设函数 f x 的最小正周期为T ，
π
因为 x = - 是函数 f x 的一个零点， x = π8 是函数 f x 的一条对称轴，8
2n +1T π π π则 = - -
π 2π
÷ = ，其中 n N ，所以，T = = ，\w = 4n + 2 ，4 8 è 8 4 2n +1 w
π π π π T π
因为函数 f x 在区间 ,5 4 ÷上单调，则 - = ，所以，w 20 .è 4 5 2 w
所以，w 的可能取值有： 2、6、10、14、18 .
f x sin 18x j f π sin 9π （i）当w =18时， = + ， - ÷ = - +j ÷ = 0，
è 8 è 4
9π π
所以，j - = kπ k Z j 9π，则 = kπ + k Z π π π，Q- j ，\j = ，所以， f x = sin 18x +
，
4 4 2 2 4 ֏ 4
π x π 4π 3π 77π当 < < 时， - = <18x+
π < 19π =4π+ 3π ，所以，
5 4 20 20 4 4 4
f x π π 函数 在 , ÷上不单调，不合乎题意；
è 5 4
f x sin 14x j f π sin 7π（ii）当w =14 时， = + ， - ÷ = - +j
÷ = 0，
è 8 è 4
所以，j
7π
- = kπ k Z j 7π π π π，则 = kπ + k Z ，Q- j ，\j = - ，所以， f x = sin 14x π- ，
4 4 2 2 4 ֏ 4
π x π 2π 11π 51π <14x- π < 13π 5π当 < < 时， + = =2π+ ，所以，
5 4 20 20 4 4 4
函数 f x π , π 在 ÷上单调递减，合乎题意.因此，w 的最大值为14 .故选：A.
è 5 4
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中w 的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定w 的表
达式与取值范围，再进行检验即可.
题型 04 求 W：有轴或者中心型
【解题规律·提分快招】
正弦函数对称轴
x π 2kπ x π= + = - + 2kπ
2 （k∈Z）时，ymax＝1； 2 （k∈Z）时，ymin＝－1
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
正弦函数对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
π
余弦函数对称中心：( ＋kπ，0)(k∈Z)；
2
kπ
正切函数对称中心：( ，0)(k∈Z)
2
【典例 1-1】
p 5p 2p 5p
（22-23 高一上·天津·期末）函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0)6 在区间
[- , ]上单调递增，且存在唯一 x
6 3 0
[0, ]，
6
使得 f (x0 ) =1，则w 的取值范围为（ ）
[1 1 2A． , ] B．[ ,
1] 1 4 2 4C．[ , ] D．[ , ]
5 2 5 2 5 5 5 5
【答案】B
2p p
【分析】由其在闭区间上递增，而 f (x) 在 2kp - wx 2kp + 为增函数，列不等式组求w 的范围，又
3 3
5p p p 5pw p p 5pw p 5p
存在唯一 x0 [0, ]，使得 f (x6 0
) =1，而wx + [ , + ]，即 + < ，求w 的范围，取交
6 6 6 6 2 6 6 2
集即可.
【详解】由正弦函数性质，有 2kp
p
- wx p 2kp p 2kp 2p p+ + ，即 - wx 2kp + ，
2 6 2 3 3
ì 5pw 2p 4 -12k
- 2kp -
ì
w
∵ f (x)
5p 2p 1
在[- , ] 6 3 5上单调递增，∴ í ，则 í k Z w > 02 6k ， ，又 ，即
0 < w≤ ，
6 3 pw 2kp p w +1 + 2
3 3 2
5p p p 5pw p
又存在唯一 x0 [0, ]，使得 f (x0 ) =1，而此时wx + [ , + ]，6 6 6 6 6
p 5pw p 5p 2 2 1
∴ + < ，得 w < 3，综上，有 w .故选：B.
2 6 6 2 5 5 2
【点睛】关键点点睛：由区间单调性，结合正弦函数的单调区间列不等式组，在闭区间中有
wx p [p , 5pw p ] p 5pw p 5p+ + ，其中存在唯一最大值，则 + < ，求参数范围.
6 6 6 6 2 6 6 2
【典例 1-2】
（2020·天津·二模）若函数 f (x) = cos(2x +j) 0
p p p
( < j < p é ù )在区间 ê- , ú 上单调递减，且在区间 0, ÷上存 6 6 è 6
在零点，则j 的取值范围是
p p ù é2p 5p p 2p ù ép p
A． , ú B． ê ， ÷ C． , D． ，è 6 2 3 6 è 2 3 ú ÷ ê 3 2
【答案】D
p p p j p
【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得[- +j, +j] [0,p ]，由余弦函数的零点可得 -
3 3 4 2
0,
6 ÷
，
è
即可得解.
p p p p 4p
【详解】当 x [- ,
p ]时， 2x +j [- +j, +j]，又j (0,p ) ，\ 2x +j
- ,
6 6 3 3 ÷
，
è 3 3
Q函数 f (x) = cos(2x
p p
+j) ( 0 < j < p é ù)在区间 ê- , 6 6 ú
上单调递减，
ì
j
p
- 0
\ [ p- +j, p +j] [0,p ] 3 p 2p，即
3 3 í
，解得 j ；
j p+ p 3 3
3
令 f (x) = cos(2x +j) = 0，则 2x +j
p
= + kp k Z x p j kp ，即 = - + k Z ，
2 4 2 2
p j p p p j p
由 - - , ，可得当且仅当 k = 0时， - 0, ，又函数 f (x) = cos(2x +j) ( 0 < j < p )在区间
4 2 è 4 4 ÷ 4 2 ÷ è 6
0, p p j p\ - 0, p ÷上存在零点， ÷，解得 < j
p
< ；
è 6 4 2 è 6 6 2
综上，j
ép p
的取值范围是 ê , ÷ .故选：D. 3 2
【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
【变式 1-1】
p p 1
（2023 广东·三模）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0)的图象的一个对称中心为 ,0÷，且 f ÷ = ，则w
è 2 è 4 2
的最小值为
2 4
A． B．1 C． D．2
3 3
【答案】A
p p 1
【分析】由函数图象的对称中心为 ，02 ÷列方程，由
f ÷ = 整理出方程并求解，联立方程组表示出w ，
è è 4 2
结合 k z及w > 0得到w 的范围，从而求解．
p p
【详解】因为函数 f x = sin wx +f w＞0 的图象的一个对称中心为 ，02 ÷，所以 f ÷ = 02 ，整理得：è è
sin w p f 0 p f p 1 sin w p f 1 + ÷ = ，所以w +f = kp k z ，又 ÷ = ，即： + ÷ = ，
è 2 2 è 4 2 è 4 2
ì w p +f = kp k z
2
p p
所以w
p
+f = 2k1p
p
+ k z w p 5p 或 +f = 2k
4 6 4 1
p + k z 由 w +f = 2k p + k z 得：
6 í 4 1 6
w > 0
ì w p +f = kp k z
2
2 10 w p f 2k p 5pw = 4 k - 2k1 - ，由 í + = 1 + k z 得：w = 4 k 2k
10 2
- - ，
3 3 4 6
1 3 3
w > 0
2
所以的最小值为 故选 A
3
【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意 k z及w > 0这个要求．
【变式 1-2】
（高一下·广东中山·期末）已知函数 f (x) = sin(wx +j )(w > 0,0 j p ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点
p
M (3p ,0) é对称，且在区间 0,
ù
4 ê 2 ú
上是单调函数，则w 的值是
2 2
A． B． 2 C． 或 2 D．无法确定
3 3
【答案】C
【分析】根据 f x p 3p 2为偶函数及0 j p 可得j = ，再由对称中心M ( ,0)可得w = 2k +1 ,k N ，结
2 4 3
合函数的单调性可得w 的值.
【详解】由 f (x) 是偶函数，得 f (-x) = f (x) ，即 sin(-wx +j) = sin(wx +j)，
所以-cosj sinwx = cosj sinwx对任意 x 都成立，且w > 0，所以得 cosj = 0．
p
依题设0 j p ，所以解得j = ，故 f (x) = coswx .
2
f (x) M (3p ,0) 3wπ π 2 2k +1 因为 的图象关于点 对称， = + kπ ， k N .所以w = ,k N .
4 4 2 3
é p ù 1 2p p 2
又 f (x) 在区间 ê0, ú上是单调函数，所以 ，故0 < w 2 .故w = 或w = 2 .故选：C． 2 2 w 2 3
【变式 1-3】
（23-24 高三下·天津·开学考试）已知函数 f x = sin wx j π j π 3π , 7π+ - < <
3π
2 2 ÷
在 8 8 ÷
内单调递减， x =
è è 8
f x y f x π f 7π 是函数 的一条对称轴，且函数 = + ÷ 为奇函数，则 ÷ = （8 24 ）è è
A 3 B 3
1 1
．- ． C．- D．
2 2 2 2
【答案】B
【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求w 的范围，再结合函数的对称性列式，确定w ，
再分别代入函数的解析数，由对称性求j ，并验证函数的单调性后，即可求解.
f x 3π , 7π
7π 3π 1 7π 3π 1 2π
【详解】因为函数 在 8 8 ÷内单调递减，所以
- T - ×
è 8 8 2 8 8 2
，得 w 2w ，
x 3π因为 = 是函数 f x 3π π的一条对称轴，所以w × +j = 2kπ + ,k Z ，①
8 8 2
π
因为函数 y = f x + ÷ = sin
wπ wπ
8
wx + +j
8 ÷
是奇函数，所以 +j = mπ,m Z，②，
è è 8
由① - ②可得，w = 4 2k - m + 2，而 w 2 ，所以 w = 2 2π当w = 2时， +j = mπ,m Z，得j mπ π= - ，
8 4
π π π π
m Z ，因为- < j < ，所以j = - ，即 f x = sin 2x - ，
2 2 4 ֏ 4
x 3π , 7π 2x π π , 3π - 当 ÷时， ÷ ，显然此时函数单调递减，符合题意，
è 8 8 4 è 2 2
f 7π sin 2 7π π π 3
2π π
所以 = -
= sin = 当w = -2 时，- +j = mπ,m Z，得j = mπ+ ，m Z，
è 24 ÷ è 24 4 ÷ 3 2 8 4
π π
- < j < j π因为 ，所以 = ，即 f x π= sin 2x + ，
2 2 4 è 4 ÷
3π 7π π
当 x , ÷时， 2x + π,2π ，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
è 8 8 4
所以 f
7π 3
÷ = .故选：B
è 24 2
题型 05 求 W：最多最少型（零点）
【解题规律·提分快招】
在三角函数 f x = Asin wx +j 图象与性质中，w 对整个图象性质影响最大，因为w 可改变函数的单调区
间，极值个数和零点个数，求解w 的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性
质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，
极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)在区间 (p,q) 内有 n 个零点，则满足
ì (n -1)T q p (n +1)T - <
2 2
kp -j kp + p -jí p <
w w
(k + n)p -j (k + n+1)p -j
< q w w
【典例 1-1】
（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 f x = sinwx + coswx w > 0 的图象的一条对称轴是 x = 2π ，
且 f x é0, π ù在 ê 上恰有两零点，则w 的最大值是（ ） 2 ú
45 41 37 29
A． B． C． D．
8 8 8 8
【答案】B
é
【分析】从函数 f x 在 ê0,
π ù 7 w 11上恰有两个零点可得出 < ，又函数 f x 图象的一条对称轴是 x = 2π ，
2 ú 2 2
1 1
可得出w = k + ，进而求得w 的最大值.
2 8
【详解】解：由题意可得，函数 f x = 2sin wx
π
+
4 ÷
w > 0 ，
è
é π ù
由于 x ê0, ú ，所以wx
π é π , wπ π+ + ù ；
2 4 ê 4 2 4 ú
ì2π wπ π +
又由 f x é0, π ù 2 4 7在 ê ú上恰有两个零点，所以 í ，解得 w
11
< ；
2 wπ π+ < 3π 2 2
2 4
f x 2wπ π kπ π k Z w 1 k 1又因为函数 图象的一条对称轴是 x = 2π ，所以 + = + ，即 = + k Z ，
4 2 2 8
0 7 w 11又w > 且 < ，所以当 k =10时，w
41
2 2 max
= ，故选：B．
8
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津·期中）已知函数 f x = sin wx
π 1
+ ÷ w > 0 3 ， f x = 在区间 0, π 上有且仅有 2 个零点，è 2
对于下列 4 个结论：
11 5
①w é 的取值范围是 ê , 6 2 ÷；
②在区间 0, π 上存在 x1, x2 ，满足 f x1 - f x2 = 2；
π
③ f x 0, 在区间
è 15 ÷
上单调递减；
④ f x 在区间 0, π 有且仅有 1 个极大值点；
其中所有正确结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
z wx π z f x 1 0, π wx π【分析】对于 A，令 = + ，求出 的范围，根据 = 在区间 上有且仅有 2 个零点可得 +
3 2 3
的取值范围，从而得到w 的取值范围；
对于 B，举例说明，验证存在性即可；
π
对于 C，当 x 0, ÷ 时，求出 z 的范围，判断是否在 y = sin z15 的减区间内；è
5π
对于 D，根据条件， z = 对应的 x 也可能为一个极大值点.
2
x 0, π wx π é π【详解】对于 A，因为 ，所以 + ê ,wπ
π
+ ù π，令 z = wx + ，则 z
π π
é ,wπ + ù
3 3 3 ú 3 ê 3 3 ú
1 é π ,wπ π+ ù 5π 13π 13π π 17π 11 5由题意， sin z = 在 ê 3 3 ú 上有且仅有两个解
z = 和 z = ，所 wπ + < ，解得 w < ，
2 6 6 6 3 6 6 2
é π π ù π 3π
所以 A 正确；对于 B，因为在 z ê ,wπ + ú 上有 sin - sin = 2成立， 3 3 2 2
所以在 0, π 上存在x1， x2满足 f x1 - f x2 = 2，所以 B 正确；
x 0, π z π , wπ π 11 5 z π , wπ π + w < + é
π p ù
对于 C，当 15 ÷ 时， ，由于 ，故3 15 3 ÷ 6 2
, ，此时 y = sin z 是
è è è 3 15 3 ÷ ê 3 2 ú
增函数，从而 f (x)
在 0,
π
÷上单调递增，所以 C 不正确；
è 15
对于 D， z
π
= 对应的 x 0, π 一定是极大值点，
2
所以 z
5π
= 对应的 x 值有可能在 0, π 上，所以 D 不正确；故选：B.
2
【变式 1-1】
π π
（24-25
高三上·天津武清·期中）已知函数 f x = sin wx - ÷ w > 0 在区间 - ,0÷上单调递增，且在区间
è 3 è 12
0, π 上有且仅有 2 个零点，则w 的取值范围为（ ）
4 , 7 4 , 7 ù 4A． ÷ B． ú C． , 2
4
÷ D． , 2
ù
è 3 3 è 3 3 è 3 è 3 ú
【答案】D
【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出w 范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出w
范围，由交集得出最后w 范围.
π π π
【详解】令- + 2kπ < wx - < + 2kπ, k Z
π 2kπ x 5π 2kπ ，则- + < < + , k Z
2 3 2 6w w 6w w
π 5π π π π π kπ
当 k = 0时，- < x < ，∴ - - ，即w 2，令wx - = kπ,k Z，则 x = + ,k Z ，
6w 6w 6w 12 3 3w w
x π π 2π π 4π 7π∵ k = -1时， = - = - < 0 ，且 k = 0时， x = ， k =1时， x = ， k = 2时， x = ，
3w w 3w 3w 3w 3w
4π π 7π 4 7 4∴ < ，∴ < w ，综上， < w 2 .故选：D.
3w 3w 3 3 3
【变式 1-2】
wx π π wx
（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 f (x) = sin + sin - (w > 0) 0,π 4
è 2 3 ÷ è 6 2 ÷
，在 上恰有
个零点，则w 的取值范围是（ ）
10 ,13ù 10 ,16 ù é10 13 é10 16 A． ú B． C3 3 3 3 ú ． ê
,
3 3 ÷
D． , ÷
è è ê 3 3
【答案】A
wx π π wx
【分析】先根据诱导公式和二倍角公式，化简函数 f (x) = sin + ÷sin - ÷ (w > 0)，再根据其在 0, π
è 2 3 è 6 2
上恰有 4 个零点，可列式求w 的取值范围.
f (x) sin wx π sin π wx sin wx π cos é π π wx ù【详解】因为 = + ÷ - ÷ = + - -
= sin wx π cos wx π+
2 3 6 2 2 3 ÷ ê 2 6 2 ÷ú 2 3 ÷
+ ÷
è è è è è è 2 3
1 2π 1 2π
= sin wx +
÷ .由 f (x) = 0 wx
2π
+ = kπ x = kπ -
÷ .2 è 3 3 w è 3
x 1 2π 因为w > 0，且 = kπ -w 3 ÷在
0, π 上恰有 4 个零点.
è
1 4π 2π π 1 5π 2π所以 - ÷ < -
10 w 13 ÷ ， < .故选：Aw è 3 w è 3 3 3
【变式 1-3】
（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x = cos wx + π - 2 3sin2 w x π - ÷ + 3 w > 0 ，若 f x
è 2 4
é 2π 3π
在区间 ê- ,
ù
ú上单调递增，且在区间 0, π 上有且只有一个零点，则w 的取值范围是（5 4 ）
1 , 5 ù 1 7 A．
è 6 6 ú
B． ,
è 6 6 ÷
é1 , 7 ù é1C． ê ú D． ê ,
5 ù
6 6 6 6 ú
【答案】D
【分析】化简 f x 的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得w 的取值范围.
f x cos wx π 2 3sin2 w π= + - x - + 3 1- cos
wx π-
【详解】 2 4 ÷
÷
è = -coswx - 2 3 è
2 + 3
2
= 3 sinwx - coswx = 2sin wx π- π π π . 0 x π,- wx - πw - ，由于 f x 在区间 0, π 上有且只有一个
è 6 ÷ 6 6 6
π
零点，所以0 πw - < π,
1 w 7 2π x 3π , 2π w π wx π 3π π < ，而- - - - w - ，
6 6 6 5 4 5 6 6 4 6
1 w 7 π 3π w 7π 2π π 2π 3π其中 < < ，而- w - < 0 ， f x é在区间 ê- ,
ù
5 4 ú上单调递增，6 6 8 4 8 5 6
ì 2π w π π - - - 5 6 2 w 5 1 5所以 í ，解得 ，则 w .故选：D
3π w π π- 6 6 6
4 6 2
【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦
函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数w 的范围.
题型 06 求 W：最多最少型（对称轴与最值型）
【解题规律·提分快招】
y＝Asin(ωx＋φ)型求 ω 归纳：
1.已知单调区间 (p,q) q p T p，则必有 - = .
2 w
2.如果两条相邻轴或者相邻中心： x1 = m, x2 = n (m,0), (n,0) ），则必有 n - m
T p
= =
（或者 2 w
3. 2n +1 2n +1 (2n +1)p已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 T ，则 T =
4 4 2w
4. 2 2 n n np已知 条对称轴（或者 个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为 T ，则 T =
2 2 w
【典例 1-1】
（2023·天津和平·三模）已知函数 f x = 3sinwxcoswx 1- sin 2wx π- ÷（w R ，且w > 0 x R2 2 ）， ，若函è
数 f x 在区间 0,2π 上恰有 3 个极大值点，则w 的取值范围为（ ）
é13 19 13 19 ù é13 19 13 19ù
A． ê , ÷ B． , ． C． , ÷ D． , 6 6 è 6 6 ú ê 12 12 è12 12ú
【答案】D
f x sin 2wx π π π π【分析】利用三角恒等变换化简得到 = + ÷ ，从而得到 2wx +
, 4wπ + ÷，根据函数极
è 6 6 è 6 6
大值点的个数得到方程，求出答案.
f x 3sinwxcoswx 1 sin 2wx π 3 sin2wx 1 π 【详解】 = - - = + cos 2wx = sin 2wx + ，
2 ÷ ÷è 2 2 2 è 6
x 0,2π 2wx π π ,4wπ π， + + ÷，函数 f x 在区间 0,2π 上恰有 3 个极大值点，6 è 6 6
9π 13 19
故 < 4wπ
π 13π
+ ，解得w
,
ù
.故选：D
2 6 2 è12 12ú
【典例 1-2】
π
（24-25 * 1高三上·浙江·阶段练习）将函数 g(x) = cos wx + ÷ w N 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，
è 12 2
纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 f (x) 的图象，若 f (x)
π
在 0, 上只有一个极大值点，则 ω 的最大值为
è 2 ÷
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
π *
【分析】根据伸缩变换规则可得 f (x) = 2cos 2wx + ÷ w N ，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解
è 12
不等式可得结果.
f (x) = 2cos 2wx π+ w N*【详解】由题可知 12 ÷ ，è
0 x π
π π π
当 < < 时， < 2wx + < wπ
π
+ f (x) 0,
2 ，若 在 ÷上只有一个极大值点，12 12 12 è 2
则由 y = 2cos x 的图像可得 2π < wπ
π
+ 4π ，
12
23 47
解得 < w ，因为w N*，所以w 的最大值为 3.故选：B.
12 12
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津·期中）已知函数 f x = 2cos wx
p
+ ÷ (w > 0) 在 0,p 有且仅有 2 个极小值点，且在
è 6
p , p w3 2 ÷ 上单调递增，则 的取值范围为（ ）è
é5 29ù é5
A． ê , ú B． ê ,
11ù 17 , 29ù 17 11ùC D ,
2 6
．
2 3 ú 6 6 ú
．
è è 6 3 ú
【答案】D
【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定w 的取值范围即可.
【详解】对于函数 y = cos x x = 2k +1 π,k Z f (x) 2cos(wx π π，极小值点为 . = + )，令wx + = (2k +1)π，
6 6
2k π+1 π -
6 12k + 5 π . 因为 x (0, π)x = = ,k Z 有且仅有 2个极小值点.
w 6w
5π 17π 29π
当 k = 0时， x = ；当 k =1时， x = ；当 k = 2时， x = .
6w 6w 6w
17π π 29π 17 w 29所以 < ，解不等式得 < . 因为 y = cos x的单调递增区间为 2kπ - π,2kπ , k Z . 6w 6w 6 6
f (x) 2cos(wx π) 2kπ-π wx π 2kπ x [(12k - 7)π , (12k -1)π对于 = + ，令 + ，则 ] .
6 6 6w 6w
f (x) ( π , π) ( π , π) [(12k - 7)π , (12k -1)π因为 在 上单调递增，所以 ] .
3 2 3 2 6w 6w
[ 5π ,11π] π 5π π 11π 5当 k =1时， ，则 且 . 解不等式得 w
11
.
6 6 w w 3 6w 2 6w 2 3
17 11
综合以上两个条件，w 的取值范围是 ( , ] .故选：D.
6 3
【变式 1-2】
π
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f (x) = 2cos wx + ÷ (w > 0) 在 (0,π)有且仅有 2 个极小值点，且在
è 6
π , π ÷上单调递增，则w 的取值范围为（ ）
è 3 2
é5 , 29ù é5 ,11ù 17 , 29ù 17 11ùA． ê B C D , 2 6
． ． ．
ú ê 2 3 ú è 6 6 ú è 6 3 ú
【答案】D
【分析】 x (0, π) wx
π
，求出 + 的范围，对应极小值点时，区间的右端点在 (3π,5π] x (
π , π上， )对应单调
6 3 2
递增，包含在区间[π,2π]上，分别得出w 的范围后取交集可得．
π π π
【详解】 x (0, π)时，wx + ( ,wπ + ) ，
6 6 6
f (x) (0,π) π 17 29在 有且仅有 2 个极小值点，则3π < wπ + 5π ， < w ，
6 6 6
x π π π wπ π wπ π
π π
( , )，则wx + ( + ， + )，又 f (x)
, 在 ÷上单调递增，3 2 6 3 6 2 6 è 3 2
ì wπ π
π + ， 3 6 5 11 17
则 í ， w ，所以 < w
11
π π ，故选：
D．
w + 2π 2 3 6 3
2 6
【变式 1-3】
π
（24-25 高一上·天津武清·期末）若函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 在区间 0, π 上有且仅有 2 条对称轴，则w
è 4
的取值范围是（ ）
5 , 9 é5 9 5 13 é5 13 A． ÷ B． , ÷ C． , ÷ D． ,
è 4 4 ê4 4 è 4 4 ê 4 4 ÷
【答案】B
ì0 π π
4w
π kπ 5π
【分析】根据题意可得函数的对称轴为 x = + ,k Z，进而可得 0 π，即得.
4 íw w 4w
9π
> π 4w
π π π π kπ
【详解】又wx + = + kπ,k Z可得 f x = sin wx + ÷ w > 0 的对称轴为 x = + ,k Z，4 2 è 4 4w w
π 5π 9π
当 k = 0时， x = ，当 k =1时， x = ，当 k = 2时， x = ，
4w 4w 4w
ì
0
π
π
4w
5π 5
因w > 0
，由题意 í0 π，可得 w
9
< ，故选：B
4w 4 4
9π
> π 4w
题型 07 求 W：不单调型
【解题规律·提分快招】
函数在区间内不单调，则该区间内必有对称轴
【典例 1-1】
π π
（24-25 高三上·福建厦门·期中）若直线 x = 是曲线 y = sin wx - ÷ w > 0 的一条对称轴，且函数4 è 4
y sin wx π= - é π ù ÷在区间 ê0, ú上不单调，则w 的最小值为（4 12 ）è
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【分析】首先根据对称轴的性质求出w 的表达式，再根据函数的单调区间确定w 的范围，从而得出w 的最
小值.
π π π π π
【详解】因直线 x = 是 y = sin wx -4 4 ÷
(w > 0)一条对称轴，所以 w - = kπ + ， k Z .
è 4 4 2
π
整理可得： w = kπ
π π
+ + ，即w = 4k + 3， k Z .
4 2 4
π wx π π π x 3π由- - ，得- .
2 4 2 4w 4w
y = sin 则函数 wx
π
- é
π 3π ù
÷在 ê- ,4 4 ú上单调递增
.
è 4 w w
因为函数 y = sin
wx π- é0, π ù 3π π ÷在区间 上不单调，所以 < .
è 4 ê 12 ú 4w 12
解得w > 9 .因为w = 4k + 3， k Z 且w > 9 ，所以w 的最小值为 11.故选：C.
【典例 1-2】
（2024 高一上·全国·专题练习）已知函数 f x = sin wx +j （0 < w 12，w N ，0 < j < π）的图象关于 y
é π π ù
轴对称，且 f x 在区间 ê , 4 2 ú上不单调，则
w 的可能取值有（ ）
A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个
【答案】C
p f x coswx f x é π , π ù【分析】根据题意，得到j = ，此时 = ，结合函数 在区间 ê 上不单调，求得2 4 2 ú
w = 3,5,6,7,8,9,10,11,12，即可求解.
【详解】由函数 f x = sin wx +j 的图像关于 y 轴对称，可得 f 0 = sinj = ±1，
因为0 < j < π
p π é π π ù éwπ wπ ù
，可得j = ，所以 f x = sin wx + ÷ = coswx ，又由 x , ，可得wx , ，2 è 2 ê 4 2 ú ê 4 2 ú
w é
π π ù é π π ù
当 =1时，可得 x ê , ú ，可得 f x = cosx在 ê , 上单调递减，不符合题意； 4 2 4 2 ú
w 2 2x é
π , πù f x cos2x é π π ù当 = 时，可得 ê 2 ú ，可得 = 在 ê , ú上单调递减，不符合题意； 4 2
é3π
当w = 3时，可得3x ê ,
3π ù é π π ù
，可得 f x = cos3x在 , 上不单调，符合题意；
4 2 ú ê 4 2 ú
当ω = 4时，可得 4x π, 2π f x π π，可得 = cos4x é ù在 ê , ú上单调递增，不符合题意； 4 2
f x T 2π π π π π 1当w > 4时，则函数 的最小正周期为 = < ，此时 - = > T ，
w 2 2 4 4 2
所以函数 f x coswx é π , π= ù在 ê 4 2 ú上不是单调函数，符合题意，
所以w = 3,5,6,7,8,9,10,11,12，所以满足条件的w 有 9 个.故选：C.
【变式 1-1】
p
（21-22 高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 f x = cos wx - （ω>0），对任意 x∈R，都有 f x
è 3 ÷
f p é p p ù≤ ÷，并且 f x 在区间 ê- , ú 上不单调，则 ω 的最小值是（ ）è 3 6 3
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
p p
【分析】根据 f (x) f ( )，得 f ( )为函数的最大值，建立方程求出w 的值，利用函数的单调性进行判断
3 3
即可．
【详解】解：Q对任意 x R ，都有 f (x) f (
p ) p p p，\ f ( )3 为函数的最大值，则
w - = 2kp ， k Z3 3 ，3
得w = 6k +1， k Z，Q f (x) [
p
- p ] \ T p p p在区间 ， 上不单调， < - (- ) =
6 3 2 3 6 2
，
即T < p
2p
，即 < p ，得w > 2，则当 k =1时，w = 7最小.故选：B.w
【变式 1-2】
（2020·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx p+ ÷ w > 0 ，对任意 x R ，都有 f x f
p
6 3 ÷
，并且 f x
è è
é p p ù
在区间 ê- , ú 上不单调，则w 的最小值是（6 3 ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】由题意， f
p
÷是函数 f x 的最大值，可得w = 6k +1, k Z .由w > 0，可得 k N .对 k 进行赋值，
è 3
结合函数 f x 的单调性，即得答案.
p wp p p
【详解】由题意， f ÷是函数 f x 的最大值，\ + = 2kp + ，即w = 6k +1, k Z ．
è 3 3 6 2
p p p
Qw é ù> 0 ，\k N．当 k = 0时，w =1， f x = sin x + ÷在 ê- , ú 上单调递增，不符合题意；è 6 6 3
p
当 k =1时，w = 7， f x = sin 7x +
6 ÷符合题意
.\w 的最小值为 7.
è
故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题.
【变式 1-3】
（2023·福建福州·模拟预测）函数 f x = 2sinw x 3sinw x + cosw x (w > 0) 在 (0, π)3 上单调递增，且对任意的
实数 a， f x 在 (a,a + π) 上不单调，则w 的取值范围为（ ）
1, 5 ù 1, 5 ù 1 , 5 ù 1 5 ùA． B． C． D．2ú
,
è è 4 ú è 2 2ú è 2 4ú
【答案】D
π
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f (x) == 2sin(2wx - ) + 33 ，由题意利用正弦函数
2wπ π π 5 2π 1
的单调性可得 - ，所以w ，利用正弦函数的周期性可求 f (x) 的周期T = < 2π2w ，解得w > ，3 3 2 4 2
即可得解．
【详解】因为 f (x) = 2sinwx( 3 sinwx + coswx) = 2 3 sin2 wx + 2sinwx coswx = sin 2wx - 3 cos 2wx + 3
π x 0, π 2wx π π , 2wπ π= 2sin(2wx - ) + 3
3 ，又因为
÷，且w > 0，则 - - -3 3 3 3 3 ÷ ，è è
若 f (x)
2wπ π π 5
在 (0,
π)
3 上单调递增，所以
- ，所以0 < w ，
3 3 2 4
因为对任意的实数 a， f (x) 在 (a,a + π)
2π 1
上不单调，所以 f (x) 的周期T = < 2π2w ，所以w > ，2
1 5
所以 < w ．故选：D．
2 4
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数 a， f (x) 在
(a,a + π) 上不单调与周期间的关系.
题型 08 求 W：没有最值型
【解题规律·提分快招】
没有最值型：
1.如果在 (a，b) 区间内没有最小值，则该区间内没有极小值（-1 型）型对称轴。
2.如果在 (a，b) 区间内没有最大值，则该区间内没有极大值（1 型）对称轴。
3.如果在[a，b] 区间内没有最小值，则该区间内是先增后减型。
4.如果在[a，b] 区间内没有最大值，则该区间内是先减后增型。
【典例 1-1】
（23-24 高三上·湖南长沙·开学考试）若函数 f x = 3sinwx + coswx(w > 0)在区间 (π,2π) 内没有最值，则w
的取值范围是（ ）
(0, 1 ] [1 , 2A． ] B． (0,
1] [1 , 2] C．[
1 , 2] 1 2D．[ , ]
12 4 3 6 3 3 4 3 3 3
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数 f (x) ，由函数 f (x) 在 (π,2π) 上单调列式求解作答.
π π
【详解】依题意， f (x) = 2sin(wx + )，函数 y = sinx的单调区间为[ kπ - ,kπ
π
+ ](k Z) ，
6 2 2
π π π 2π π
由 kπ - wx + kπ + , k Z w > 0 kπ - kπ +，而 ，得
2 6 2 3 x 3 ,k Z
，
w w
2π π
因此函数 f (x)
kπ - kπ +
在区间[ 3 , 3 ](k Z) 上单调，
w w
因为函数 f (x) 在区间 (π,2π) 内没有最值，则函数 f (x) 在区间 (π,2π) 内单调，
ì
kπ
2π
-
2π π 3 pkπ - kπ + w , k Z k 2 w k 1于是 (π, 2π) [ 3 , 3 ](k Z) ，则 í ，解得 - + , k Z ，
w w kπ π+ 3 2 6
3
2p
w
k 2 k 1 k 1由 - < + ，且 + > 0
1 k 5，解得- < < ，又 k Z，从而 k = 0或 k =1，
3 2 6 2 6 3 3
2 1 1 1 2
当 k = 0时，得- w ，又w > 0，即有0 < w ，当 k =1时，得 w ，
3 6 6 3 3
w 1 1 2所以 的取值范围是 (0, ] [ , ] .故选：B
6 3 3
【典例 1-2】
π
（2023·天津·一模）若函数 f (x) = sin wx + ÷ w > 0 在区间 (π,2π) 内没有最值，有下面四个说法：（ ）
è 6
①函数 f x 的最小正周期可能为3π
w 1 ù② 的取值范围是 0, ；
è 6 ú
π
③当w 取最大值时， x = 2 是函数
f x 的一条对称轴；
④当w 取最大值， -π,0 是函数 f x 的一个对称中心．
以上四个说法中，正确的个数是（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意可知可得w 的取值范围，然后根据w 的范围逐一分析即可得解．
【详解】由 x π,2π wx π π得 + wπ + , 2wπ π+ ÷ ，因为 f x 在区间 π,2π6 6 6 内没有最值，è
ì
wπ
π π π
+ , ÷
所以T 2π ，所以0 < w 1，所以wπ
π π , 7+ πù 6 è 6 2 1 ú，所以 í 0 < w 或6 è 6 6 π π 6
2wπ + 6 2
ìwπ π é π , 7π +
ù
6 ê 2 6 ú 1 2
í w
1 w 2 1 2，所以 或0 < w ，所以②错误；当w = 时，
3 3 3 3 6 3
2wπ
π 3π
+
6 2
f (x) sin 2 x π= +
，
è 3 6 ÷
T 2π 2π= =
所以 w 2
= 3π
，故①正确；
3
所以 f (
π) = sin 2 π π π +
÷ = sin =1
π
，可知 x = 是函数 f x 的一条对称轴，故③正确；
2 è 3 2 6 2 2
f (-π) = sin 2- π π+ 又因为 ÷ = sin(
π
- ) = -1，故④错误，所以正确的是①③，
è 3 6 2
故答案为：B．
【变式 1-1】
1 π π 3π
（20-21 高三上·四川泸州·阶段练习）已知w > ，函数 f x = sin12 2wx + 4 ÷ 在区间 ( , ) 内没有最值，则
w
è 2 2
的取值范围（ ）
5 11 1 5 5
A．[
1 , 1 ] é , ù é , ù é ùB C D
6 2 ． ê 12 24 ú
． ．
ê 4 12 ú ê
,1
12 ú
【答案】C
4k +1
【解析】根据正弦函数的最值可得，当 x = p ， k Z时， f (x) 取得最值，所以问题转化为对任意
8w
4k +1 p 3p
k Z，都有 p ( , ) w
1 4k +1p (p , 3p 1，而当 = 时，存在 k =1使得 ) 不成立，所以w ，排除
8w 2 2 2 8w 2 2 2
选项 A, D
11 4k +1 15 π 3π
，当w = 时，存在 k =1使得 p = p ( , )2 2 ，排除选项 B ,可得选项C 正确.24 8w 11
p p 4k +1
【详解】由 2wx + = kp + ， k Z，得 x = p ， k Z，
4 2 8w
f x = sin 2wx π+ π 3π 4k +1 p 3p因为函数 4 ÷ 在区间 ( , ) 内没有最值，所以对任意 k Z，都有 p ( , ) ，è 2 2 8w 2 2
w 1 4k +1 5 p 3p当 = ， k =1时， p = p ( , ) ，故选项 A, D不正确；
2 8w 4 2 2
w 11 4k +1当 = 时，存在 k =1使得 p
15
= p ( π , 3π ) B . C.
24 8w 11 2 2
，故选 不正确 故选：
【点睛】本题考查了正弦函数的最值，属于基础题.
【变式 1-2】
p
（·河北衡水·一模）若函数 f (x) = sin(wx + ) (w > 0) 在区间 (p , 2p ) 内没有最值,则w 的取值范围是
6
(0, 1 ] [1 , 2A． ] B． (0,
1] 1 2 [ , ]
12 4 3 6 3 3
1 2 1 2
C．[ , ] D．[ , ]
4 3 3 3
【答案】B
【分析】根据题意可得函数 f x 在区间 p，2p 内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间 p，2p 为
单调区间的子集得到关于w 的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】函数 y = sinx
é
的单调区间为 êkp
p kp 3p+ ， + ùú，k Z ， 2 2
kp p p
p 4p
+ wx + kp 3p+ k Z kp + kp +由 ， ，得 3 x 3 k Z ．∵函数 f x sin
wx p= + ÷ (w > 0)2 6 2 ，w w è 6
é kp p+ kp 4p+ ù
在区间
ê ú
p，2p 内没有最值，∴函数 f x 在区间 p，2p 内单调，∴ p，2p ê 3 ， 3 ú，k Z ，
ê w w ú
ì kp p +
3 p
∴ wí ，k Z k
1 w k 2 1 k 2 2，解得 + + ，k Z ．由 k + < + ，得 k < ．
kp 4p+ 3 2 3 3 2 3 3
3
2p w
k 0 1当 = 时，得 w
2 2
；当 k = -1时，得- w
1 1
，又w > 0，故0 < w ．
3 3 3 6 6
w 1 1 2 ù综上得 的取值范围是 0， ， ．故选 B．
è 6 3 3 ú
【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数 f x 在区间 p，2p 内没有最值”的理解，由此可得函数在该
区间内单调；二是求出函数 f x 的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化
为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号．
【变式 1-3】
p
（2021 高一上·江苏·专题练习）若函数 f x = sin wx + ÷ (w > 0)在区间 p , 2p 内没有最值，则w 的取值范
è 3
围是（ ）
0, 1 ù é1 2 ù 1 ù é1 7 ùA． ú , B． 0, U ,è 12 ê3 3 ú è 12 ú ê6 12 ú
0, 7 ù é1 , 2 ùC．
è 12ú
D．
ê3 3 ú
【答案】B
【分析】由在区间 p , 2p 没有最值得 f (x) 在区间 p , 2p p上单调，求出wx + 整体的范围，分单调递增和
3
单调递减分别解不等式，最后取并集即可.
【详解】由 f (x) 在区间 p , 2p 内没有最值，知 f (x) 在区间 p , 2p 上单调，由 x p, 2p 可得
wx p+ wp p+ , 2wp p+ ，3 è 3 3 ÷
当 f (x) 在区间 p , 2p p p上单增时，可得- + 2kp wp + < 2wp p p+ + 2kp ,k Z，解得
2 3 3 2
5 1
- + 2k w + k,k Z，
6 12
5 1
k 0时无解，令 k = 0，得- w ，又w > 0，故0 1< w ；
6 12 12
当 f (x) 在区间 p , 2p p p p 3p上单减时，可得 + 2kp wp + < 2wp + + 2kp ,k Z ，解得
2 3 3 2
1 1 1 7
+ 2k 7 w + k,k Z 1 7 ù é ù ， k 0时无解，令 k = 0，得 w ，综上w 0, U , .故选：B.6 12 6 12 è 12 ú ê6 12 ú
题型 09 求 W：整数型
【典例 1-1】
p
（2023 河北衡水·一模）若将函数 f x = sinwx + cos wx + ÷ w > 0
p
的图象向左平移 个单位长度后的图象
è 6 6
关于 y 轴对称，则当w 取最小整数时，函数 f x 的图象的一个对称中心是
4 5 p 2p
A． p ,0 B． p ,03 ÷ ÷
C． ,0÷ D． - ,0÷
è è 3 è 3 è 3
【答案】B
p p
【分析】利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式将 f x 化为 sin wx + ÷，向左平移 个单位长度
è 3 6
sin p p p 后的图象解析式为 wx + w + ÷，根据函数图象关于 y 轴对称，可求得 f x = sin x +6 3 3 ÷，令è è
x p+ = kp k Z 即可得结果.
3
p 3 1 1 3
【详解】因为 f x = sinwx + cos wx + 6 ÷ = sinwx + coswx - sinwx = sinwx + coswxè 2 2 2 2
= sin wx p +
p
÷，将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度后的图象解析式为 sin wx
p w p+ +
3 6 6 3 ÷
，
è è
y sin wx p p因为 = + w +
p p p
÷ 图象关于 y 轴对称，所以 w + = kp + k Z ，即w = 6k +1 k Z .因为w > 0，
è 6 3 6 3 2
w =1 f x = sin x p+ 所以 min ，此时 ÷，令 x
p p
+ = kp k Z ，得 x = kp - k Z ，
è 3 3 3
5k = 2时，对称中心为 p ,0÷ . 故选 B.
è 3
p
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由wx +j = kp + 可求得函数 y = Asin(wx + j)的
2
对称轴方程；由wx +j = kp 可求得 y = Asin(wx + j)对称中心横坐标.
【典例 1-2】
（2023·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx -j (w > 0,0 < j < π) 的一条对称轴为 x 2= π ，一个对
3
π
称中心为 ,0÷ .则当w 取最小整数时，函数 f x 在 0,5 内极值点的个数为（2 ）è
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件先求出w,j 的值，得到函数 f x 的解析式，根据函数的性质求出极值点即可.
【详解】因为 f x = 2sin wx -j (w > 0,0 < j < π) 2的一条对称轴为 x = π ，
3
2π π π
所以 w -j = + k1π， k1 Z ①，又 f x 的一个对称中心为 ,0 ，3 2 è 2 ÷
π
所以 w -j = k π, k Z
π π
2 2 ②，①-②得 w = k1 - k2 π + ，所以w = 6 k1 - k2 + 3，2 6 2
3π
因为w > 0，所以w 取最小整数值为 3.当w = 3时，由②得j = - k2π, k2 Z，2
因为0 < j < π
p π
，所以j = ，所以 f x = 2sin 3x -
.
2 è 2 ÷
π π
由3x - = kπ + 得 f x 1 π 2π 4π的极值点为 x = k +1 π, k Z ,当 k = 0,1,2,3时， x = , , π, 极值点在 0,5
2 2 3 3 3 3
内.
故选：B.
【变式 1-1】
4π
（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = sinwx 3 coswx + sinwx w > 0 在区间 π, 3 ÷上不单调，则w 的è
最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
f x = sin 2wx π 1【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简 - + ，进而根据w 为正整数，由
è 6 ÷ 2
x π,
4π
÷ , 2wx
π
- 的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.
è 3 6
f x sinwx 3 coswx sinwx 3【详解】 = + = sin 2wx 1- cos 2wx 1+ = sin 2wx π 1- ÷ + ，2 2 2 è 6 2
由于w 为正整数，当w =1时， f x = sin 2x π 1 x π, 4π , 2x π 11π ,15π 3π , 5π - + ，此时 - ,
è 6 ÷ 2 è 3 ÷ 6 è 6 6 ÷ 2 2 ÷ è
f x 故此时 在 π,
4π
3 ÷上单调，
w =1时不符合，
è
当w = 2时， f x = sin 4x π 1 x π, 4π , 4x π 23π , 31π 7π 9π - + -
÷ ，此时 ÷ ÷
, ÷ ,且
è 6 2 è 3 6 è 6 6 è 2 2
23π
,
31π 9π 31π 4π ÷ ， ÷ ,故此时 f x 在 π, 3 ÷先增后减，因此不单调，w = 2符合，è 6 6 è 2 6 è
f x sin 6x π 1当w = 3时， = - ÷ + ，此时 x
π,
4π
÷ ,6x
π 35π 47π 47π 35π
- ,
6 2 3 6 ÷
，Q - =2π ，
è è è 6 6 6 6
y = sinx 4π 而 的周期为 2π，此时 f x 在 π, 3 ÷上不单调，w = 3符合，但不是最小的正整数，同理ω = 4要求è
符合，但不是最小的正整数，故选：B
【变式 1-2】
（2022·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0 p 的一个对称中心为 - ,03 ÷ ， f x 在区间è
5p
,p
÷上不单调，则w 的最小正整数值为（6 ）è
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
p 5p
【分析】根据题意可得 f (- ) = sin(
p
- w j) 0 j p+ = ，所以 = w + k1p ， k1 Z
，由 f x 在区间 ,p ÷上3 3 3 è 6
不单调可得 f x = w cos wx j 0 5p+ = ,p 5p在区间 ÷上有解，所以wx +j
p
= + k2p (k Z )
2 ，在区间 ,p ÷è 6 2 è 6
p
+ kp
上有解，最终可得w = 2 p ， k Z，取值即可得解.x +
3
【详解】由函数 f x = sin wx j w 0 p+ > 的一个对称中心为 - ,0÷ ，
è 3
可得 f (
p
- ) = sin( p- w +j) p= 0 p，所以 - w + j = k1p ， k1 Z3 ，j = w + k1p ， k Z ，3 3 3 1
f x = w cos wx +j f x 5p ，由 在区间 ,p6 ÷上不单调，è
所以 f x = w cos wx j 5p 5p+ = 0 ,p p 在区间 ÷上有解，所以wx +j = + k2p (k2 Z )，在区间 ,p ÷上有解，è 6 2 è 6
p
p p + kp
所以wx + w + k1p = + k2p (k2 Z )，所以w =
2
p ， k = k2 - k1 Z ，3 2 x +
3
p
5p p + kp 3+ 6k 3+ 6k
又 x ,p ÷ ，所以 x + (
7p , 4p )
6 ，所以
w = 2
è 3 6 3 x p
( , ) ，
+ 8 7
3
15 15
当 k = 2时，w ( , )，此时w 的最小正整数为 2 .故选：B
8 7
【变式 1-3】
（22-23 高三上·广东·阶段练习）已知函数 f x = cos wx +j (w > 0) π的图象的一条对称轴为 x = - ， f x
6
π , π 在区间 ÷上不单调，则w 的最小正整数值为（3 2 ）è
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的对称性，结合导数的性质、余弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】由函数 f x = cos wx +j (w > 0) π的一条对称轴为 x = - ，
6
f π 可得 - ÷ = cos
π π π
- w +j ÷ = ±1，所以- w +j = k1π， k1 Z ，j = w + kè 6 è 6 6 6 1
π ， k1 Z ，
f x = -wsin wx +j ，由 f x π , π 在区间 ÷上不单调，所以 f x
π π
= -wsin wx +j = 0 在区间 , ÷上有
è 3 2 è 3 2
wx +j = k π k Z π π 解，所以 2 2 ，在区间 , ÷上有解，所以wx
π
+ w + k1π = k2π k Z ，è 3 2 6 2
w kπ= π π kπ 3k
所以 π ， k = k2 - k1 Z，又 x , ÷ ，所以 x
π π , 2π+ w = , 2k
x + 3 2 6 2 3 ÷，所以
π x + è 2
÷
è è
，
6 6
9
当 k = 3时，w ,6÷ ，此时w 的最小正整数为 5．故选：B
è 2
【点睛】关键点睛：利用导数研究原函数的单调性是解题的关键.
冲高考
1．（24-25 高一上·天津河西·期末）设函数 f x = sinwx w > 0 ，若函数 g x = f x -1在 0, π 上恰有 3 个
零点，则实数w 的取值范围是（ ）
9
A． ,
13 é9 13 13 17 13 17
÷ B , C
, é ． ê ． D． ,è 2 2 2 2 ÷ è 2 2 ÷ ê 2 2 ÷
【答案】B
【分析】由题设得 sinwx =1 w > 0 在 0, π 9π wπ 13π上恰有 3 个解，结合正弦函数性质得不等式 < ，解该
2 2
不等式即可得解.
【详解】因为 g x = sinwx -1 w > 0 在 0, π 上恰有 3 个零点，
所以 sinwx =1 w > 0 在 0, π 上恰有 3 个解，因为 x 0, π 时，wx 0,wπ ，
9π wπ 13π 9 13所以由正弦函数性质可得 < ，解得 w < ，
2 2 2 2
w é9所以实数 的取值范围是 ê ,
13
. B.
2 2 ÷
故选：
wx 1 1
2．（天津· f (x) = sin2高考真题）已知函数 + sinwx - (w > 0)，x R .若 f (x) 在区间 (p , 2p ) 内没有零点，
2 2 2
则w 的取值范围是
0, 1ù A． ú B． 0,
1 ù é5 ,1 0, 5ù 1ù é1÷ C． D． 0, ,
5ù
è 8 è 4 ú ê8 è 8 ú è 8ú ê 4 8ú
【答案】D
p
【分析】先把 f x 化成 f (x) 2= sin p kp +
2
wx - ÷，求出 f x 的零点的一般形式为 4
è 4 x = ,k Z
，根据 f (x)
w
在区间 (p , 2p ) 内没有零点可得关于 k 的不等式组，结合 k 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范
围.
f (x) 1- cos wx 1= + sinwx 1 2 p- = sin wx - 【详解】由题设有 ，
2 2 2 2 è 4 ÷
p
令 f x = 0，则有wx p- = kp ,k Z kp +即
4 x = 4 ,k Z
.
w
因为 f (x) 在区间 (p , 2p ) 内没有零点，
kp + p kp + 5p
故存在整数 k ，使得 4 p < 2p < 4 ，
w w
ì 1
w k + 4 1 k 5
即 í ，因为w > 0，所以 k -1且 k + + ，故 k = -1或 k = 0，
w k 5 + 4 2 8
2 8
0 w 1 1 w 5所以 < 或 ，
8 4 8
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，
本题属于难题.
π π 3．（24-25 高一上·天津·期末）已知w > 0，函数 f (x) = sin 2wx + 4 ÷在
, π
2 ÷上单调递增，则
w 的取值范围
è è
是（ ）
é1 , 5 ù 1A B ù é
1 1 ù 1 ù
． ê ú ． 0, ú C． , D． 0, 2 4 è 8 ê 4 2 ú è 2ú
【答案】B
π π
【分析】因为 x , π ÷，w > 0，可得 2wx + wπ
π ,2πw π π π+ +
2 4 4 4 ÷
，函数 f (x) = sin 2wx + 4 ÷
在 , π2 ÷
上
è è è è
wπ π单调递增，得出 + , 2πw
π
+ é
π π
÷ ê- + 2kπ, + 2kπ
ù
è 4 4 2 2 ú
， k Z ，即可求解．
【详解】
x π , π ÷，w > 0，
è 2
2wx π wπ π ,2πw π+ + + ，
4 è 4 4 ÷
wπ π ,2πw π π π则 + + ÷
é
ê- + 2kπ, + 2kπ
ù
ú ， k Z ，è 4 4 2 2
ìwπ π π + -
k = 0 4 2 3当 时，由 í ，解得- w
1 1
，又w > 0π π ，故
0 < w ；
2πw + 4 8 8
4 2
ìwπ π 3π +
当 k =1 4 2时，由 í ，得wπ 5π 无解， 2πw +
4 2
同理当 k 2, k Z时，w 无解．
故选：B．
4．（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x = cos wx + π - 2 3sin2 w π x - ÷ + 3 w > 0 ，若 f x
è 2 4
é 2π
在区间 ê- ,
3π ù
ú上单调递增，且在区间 0, π 上有且只有一个零点，则w 的取值范围是（5 4 ）
1 , 5 ù 1 7 A．
è 6 6 ú
B． ,6 6 ÷è
é1 7 ù é1 5 ù
C． ,
ê6 6 ú
D． ê , 6 6 ú
【答案】D
【分析】化简 f x 的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得w 的取值范围.
【详解】 f x = cos wx + π - 2 3sin2 w x π- ÷ + 3
è 2 4
1- cos wx π- ÷
= -coswx - 2 3 è 2 + 3
2
= 3 sinwx - coswx = 2sin wx π- ÷ .
è 6
0 x π, π wx π - - πw π- ，由于 f x 在区间 0, π 上有且只有一个零点，
6 6 6
0 πw π π, 1 w 7 2π x 3π , 2π π π 3π π所以 - < < ，而- - w - wx - w - ，
6 6 6 5 4 5 6 6 4 6
1 w 7 π 3π其中 < w
7π 2π π
< ，而- w - < 0 ，
6 6 8 4 8 5 6
ì 2π w π π- - -
f x é 2π 3π ù
5 6 2 5 1 5
在区间 ê- ,5 4 ú上单调递增，所以 í ，解得
w
3π π π ，则
w .故选：D
w - 6 6 6
4 6 2
【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦
函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数w 的范围.
π
5．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f (x) = 2cos wx + 6 ÷
(w > 0) 在 (0,π)有且仅有 2 个极小值点，且
è
π
在 ,
π
÷上单调递增，则w 的取值范围为（ ）
è 3 2
é5 29ù é5 11ù 17 29ù 17 11ù
A． ê , ú B , C2 6 ． ê ．
, D ,
2 3 ú è 6 6 ú
．
è 6 3 ú
【答案】D
π π π
【分析】 x (0, π)，求出wx + 的范围，对应极小值点时，区间的右端点在 (3π,5π]上， x ( , )对应单调
6 3 2
递增，包含在区间[π,2π]上，分别得出w 的范围后取交集可得．
【详解】 x (0, π)时，wx
π (π ,wπ π+ + ) ，
6 6 6
f (x) 在 (0,π) π 17 29有且仅有 2 个极小值点，则3π < wπ + 5π ， < w ，
6 6 6
x ( π , π) wx π (wπ π wπ π ，则 + + ， + )，又 f (x)
π π
在 , 上单调递增，
3 2 6 3 6 2 6 3 2 ֏
ìπ wπ π + ， 3 6 5 w 11 17 w 11则 í ， π π ，所以
< ，故选：D．
w + 2π 2 3 6 3
2 6
6．（24-25 高三上·天津·期中）已知函数 f x = 2cos wx p+ ÷ (w > 0) 在 0,p 有且仅有 2 个极小值点，且在
è 6
p
,
p
÷ 上单调递增，则w 的取值范围为（ ）
è 3 2
é5 , 29ù é5 ,11ù 17 , 29ù 17 11ùA． ê B C2 6 ú ． ．
D． ,
ê2 3 ú è 6 6 ú è 6 3 ú
【答案】D
【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定w 的取值范围即可.
【详解】对于函数 y = cos x，极小值点为 x = 2k +1 π,k Z .
π
f (x) = 2cos(wx π+ )，令wx
π
+ = (2k +1)π 2k +1 π -， x 6 12k + 5 π6 6 = = ,k Z . w 6w
因为 x (0, π)有且仅有 2个极小值点.
5π 17π 29π
当 k = 0时， x = ；当 k =1时， x = ；当 k = 2时， x = .
6w 6w 6w
17π π 29π 17 29所以 < ，解不等式得 < w .
6 w 6w 6 6
因为 y = cos x的单调递增区间为 2kπ - π,2kπ , k Z .
π π
对于 f (x) = 2cos(wx + ) ，令 2kπ-π wx + 2kπ，则 x [
(12k - 7)π , (12k -1)π ] .
6 6 6w 6w
f (x) ( π , π) ( π , π) [(12k - 7)π , (12k -1)π因为 在 上单调递增，所以 ] .
3 2 3 2 6w 6w
5π 11π π 5π π 11π
当 k =1时，[ , ]，则 且 .
6w 6w 3 6w 2 6w
5 w 11解不等式得 .
2 3
17 11
综合以上两个条件，w 的取值范围是 ( , ] .
6 3
故选：D.专题 07 三角函数图像与性质求 w 归类
目录
题型 01 求 w：图像重合型 ................................................................................................................................................1
题型 02 求 w：最小平移型 ................................................................................................................................................2
题型 03 求 w：在某区间上单调型 ....................................................................................................................................3
题型 04 求 w：有轴或者中心型 ........................................................................................................................................4
题型 05 求 w：最多最少型（零点） ................................................................................................................................5
题型 06 求 w：最多最少型（对称轴与最值型） ............................................................................................................6
题型 07 求 w：不单调型 ....................................................................................................................................................7
题型 08 求 w：没有最值型 ................................................................................................................................................8
题型 09 求 w：整数型 .........................................................................................................................................................9
题型 01 求 W：图像重合型
【解题规律·提分快招】
决三角函数中已知单调区间求参数w 范围时，首先要有已知的单调区间是函数 f (x) = Asin(wx +j) 单调区间
的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不
会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
【典例 1-1】
p
（22-23 高三下·浙江·开学考试）将函数 f (x) = sin x + 3 ÷
图像上所有点的横坐标变为原来的w(w > 0)倍，纵
è
坐标不变，得到的函数 y = g(x) 图像与 h(x) = cos(2x
p
+j) |j |< 2 ÷ 的图像重合，则有（ ）è
p p
A． h(x) = cos 2x + ÷ B． g(x) = sin 2x + ÷
è 6 è 3
x p
p
C． =
是函数 h x 的对称轴 D．
3
,0÷是函数 h x 的对称中心
è12
【典例 1-2】
π 1
（22-23 高三上·河南南阳·期中）若将函数 f x = 2sin wx + ÷ ,w > 0的图像向右平移 4 个周期后，与函数è 3
g x = 2cos 2x +j 的图像重合，则j 的一个可能取值为（ ）
π π 2π 4π
A． B．- C．- D．-
3 3 3 3
【变式 1-1】
p
（全国·高考真题）若将函数 y = tan wx + ÷ w > 0
p
的图像向右平移 个单位长度后，与函数
è 4 6
y tan wx p= + ÷的图像重合，则w 的最小值为
è 6
1 1 1
A 1． B． C D
6 4
． ．
3 2
【变式 1-2】
π
（22-23 高一上·天津·期末）设函数 f (x) = coswx(w > 0)，将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图
3
像与原图像重合，则w 的最小值等于（ ）．
A． 2 B．3 C．6 D．9
【变式 1-3】
（2019·山东聊城·二模）将函数 y = sin 2x 的图像向右平移j j > 0 个单位后与 y = -sin 2x的图像重合，则j
的最小值为
p p p p
A． B． C． D．
6 4 3 2
题型 02 求 W：最小平移型
【解题规律·提分快招】
可以三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值。
在求解最小平移时候，要结合五点图像，注意平移方向。
【典例 1-1】
π π
（2022·安徽安庆·二模）已知函数 f x = 4sin wx + ÷sin wx - ÷ ， w > 0 的最小正周期为 π，将其图象
è 3 è 3
x π沿 轴向右平移m m > 0 个单位，所得图象关于直线 x = 3 对称，则实数 m 的最小值为（ ）
π 3π π
A． π B． C． D．
3 4 4
【典例 1-2】
（2020·陕西汉中·模拟预测）已知函数 f (x) = cos2 wx -1(w > 0)的最小正周期为p ，若将其图象沿 x 轴向右平
p
移a(a > 0)个单位，所得图象关于 x = 对称，则实数 a的最小值为（ ）
3
p p 3p pA． B． C． D．
3 4 4
【变式 1-1】
（高二下·河北唐山·期末）把函数 的图象沿 轴向左平移
个单位，所得函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为
A． B． C． D．
【变式 1-2】
p p
（2022·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 f (x) = 4sin wx + ÷sin wx - ÷ , (w > 0) 的最小正周期为p ，将其
è 3 è 3
p
图象沿 x 轴向左平移m(m > 0)个单位，所得图象关于直线 x = 对称，则实数 m 的最小值为（ ）
3
p p 3p p
A． B． C． D．
6 3 4 4
【变式 1-3】
f x = sinwx π x π（2023·河北唐山·一模）将函数 (其中w > 0 )的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于 =
2 6
对称，则w 的最小值是
2 9 3
A．6 B． C． D．
3 4 4
题型 03 求 W：在某区间上单调型
【解题规律·提分快招】
正弦函数
é
ê2kπ
π ,2kπ π- + ù
在每一个闭区间 2 2
ú （k∈Z）上都单调递增，
é
ê2kπ
π
+ , 2kπ 3π+ ùú
在每一个闭区间 2 2 （k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
【典例 1-1】
（2023·湖南常德·一模）将函数 f x = 2sin wx
π
+ π÷（w > 0）的图像向左平移 个单位，得到函数 y = g x
è 6 3
π é π π ù
的图像，若函数 y = g(x ）的一个极值点是 ，且在 ê- , ú上单调递增，则 ω 的值为（6 3 6 ）
2 4 8 16
A． B． C． D．
3 3 3 3
【典例 1-2】
wx
（2023 高三·湖南·阶段练习）将函数 f x = cos 2sin
wx 2 3 cos wx- ÷ + 3(w > 0)
π
的图象向左平移 个
2 è 2 2 3w
é π ù
单位，得到函数 y = g(x) 的图像，若 y = g(x) 在 ê0, 4 ú
上为增函数，则 ω 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-1】
（23-24 高三上·湖北·期中）将函数 f x = cos x π的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函数图像上的每
3
1
个点的横坐标都变为原来的 w > 0 倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图像，若函数 g x 在 (-π,0) 上单
w
调递增，则w 的取值范围是（ ）
0, 1 ù 0, 2ù 1 A． ú B． C． 0, D． 0,1 è 6 è 3 ÷ ú è 3
【变式 1-2】
f (x) cos x 2π 1（2023·吉林长春·一模）将函数 = + ÷ 图象上所有点的横坐标变为原来的 (w > 0) ，纵坐标不
è 3 w
é 2π ù é π π ù
变，所得图象在区间 ê0, 3 ú 上恰有两个零点，且在 ê
- ,
12 12ú 上单调递减，则
w 的取值范围为（ ）
é9 ,3ù é9 é11 ù 11 ùA． ê ú B． ê , 4÷ C． ê , 4ú D． ,6 4 4 4 è 4 ú
【变式 1-3】
π π
（20-21 高三上·天津河北·阶段练习）已知函数 f x = sin wx +j w > 0, j 2 ÷， x = - 是函数 f x 的一è 8
π π
个零点， x = π
8 是函数 f x 的一条对称轴，若 f x 在区间 , ÷上单调，则w 的最大值是（5 4 ）è
A．14 B．16 C．18 D． 20
题型 04 求 W：有轴或者中心型
【解题规律·提分快招】
正弦函数对称轴
x π 2kπ x π= + = - + 2kπ
2 （k∈Z）时，ymax＝1； 2 （k∈Z）时，ymin＝－1
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
正弦函数对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
π
余弦函数对称中心：( ＋kπ，0)(k∈Z)；
2
kπ
正切函数对称中心：( ，0)(k∈Z)
2
【典例 1-1】
p 5p 2p 5p
（22-23 高一上·天津·期末）函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0) 在区间 [- , ]上单调递增，且存在唯一 x0 [0, ]6 ，6 3 6
使得 f (x0 ) =1，则w 的取值范围为（ ）
1 1 2 1 1 4 2 4
A．[ , ] B．[ , ] C．[ , ] D．[ , ]
5 2 5 2 5 5 5 5
【典例 1-2】
é p p ù p
（2020·天津·二模）若函数 f (x) = cos(2x +j) ( 0 < j < p )在区间 ê- , ú 上单调递减，且在区间 0, 上存 6 6 6 ÷ è
在零点，则j 的取值范围是
p , p ù é2p 5p p , 2p ù ép p A． B．
è 6 2 ú ê
， ÷ C． D． ，3 6 ÷ è 2 3 ú ê 3 2
【变式 1-1】
p p 1
（2023 广东·三模）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0)的图象的一个对称中心为 ,0÷，且 f2 = ，则
w
è è 4 ÷ 2
的最小值为
2 4
A． B．1 C． D．2
3 3
【变式 1-2】
（高一下·广东中山·期末）已知函数 f (x) = sin(wx +j )(w > 0,0 j p ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点
M (3p
p
,0) é ù对称，且在区间 ê0, ú上是单调函数，则w 的值是4 2
2 2
A． B． 2 C． 或 2 D．无法确定
3 3
【变式 1-3】
f x sin wx j π j π 3π , 7π 3π（23-24 高三下·天津·开学考试）已知函数 = + - < < ÷ 在 ÷ 内单调递减， x =
è 2 2 è 8 8 8
是函数 f x 的一条对称轴，且函数 y = f π 7π x + ÷ 为奇函数，则 f ÷ = （ ）
è 8 è 24
1
A 3．- B 3． C．- D
1
．
2 2 2 2
题型 05 求 W：最多最少型（零点）
【解题规律·提分快招】
在三角函数 f x = Asin wx +j 图象与性质中，w 对整个图象性质影响最大，因为w 可改变函数的单调区
间，极值个数和零点个数，求解w 的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性
质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，
极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)在区间 (p,q) 内有 n 个零点，则满足
(n -1)T (n +1)T
q - p <
2 2
kp -j p
kp + p -j
<
w w
(k + n)p -j q (k + n+1)p -j < w w
【典例 1-1】
（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 f x = sinwx + coswx w > 0 的图象的一条对称轴是 x = 2π ，
f x é0, π ù且 在 ê ú上恰有两零点，则w 的最大值是（2 ）
45 41 37 29
A． B． C． D．
8 8 8 8
【典例 1-2】
π 1
（24-25 高三上·天津·期中）已知函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 3 ， f x = 在区间 0, π 上有且仅有 2 个零点，è 2
对于下列 4 个结论：
①w é
11 5
的取值范围是
ê
,
6 2 ÷；
②在区间 0, π 上存在 x1, x2 ，满足 f x1 - f x2 = 2；
f x 0, π③ 在区间 ÷上单调递减；
è 15
④ f x 在区间 0, π 有且仅有 1 个极大值点；
其中所有正确结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-1】
π π
（24-25 高三上·天津武清·期中）已知函数 f x = sin wx - ÷ w > 0 在区间 - ,012 ÷上单调递增，且在区间è 3 è
0, π 上有且仅有 2 个零点，则w 的取值范围为（ ）
4
A． ,
7 4 , 7 ù 4 4 ù÷ B．3 3
C． , 2÷ D． , 2
è è 3 3ú è 3 è 3 ú
【变式 1-2】
wx π π wx
（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 f (x) = sin + ÷sin - ÷ (w > 0)，在 0,π 4
è 2 3
上恰有
è 6 2
个零点，则w 的取值范围是（ ）
10 13ù 10 16 ù é10 13 é10 16
A． , ú B． , ú C , D ,è 3 3 3 3
． ê 3 3 ÷
． ÷
è ê 3 3
【变式 1-3】
w π
（24-25 2高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x = cos wx + π - 2 3sin x - ÷ + 3 w > 0 ，若 f x
è 2 4
é 2π- , 3π ù在区间 ê 上单调递增，且在区间 0, π 上有且只有一个零点，则w 的取值范围是（ ） 5 4 ú
1 , 5 ù 1 7 A．
è 6 6 ú
B． ,6 6 ÷è
é1 7 ù é1 5 ù
C． ê , 6 6 ú
D． ê , 6 6 ú
题型 06 求 W：最多最少型（对称轴与最值型）
【解题规律·提分快招】
y＝Asin(ωx＋φ)型求 ω 归纳：
1. T p已知单调区间 (p,q) ，则必有 q - p = .
2 w
2.如果两条相邻轴或者相邻中心： x1 = m, x2 = n (m,0), (n,0)
T p
），则必有 n - m = =（或者 2 w
3. 2n +1 2n +1 (2n +1)p已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 T ，则 T =
4 4 2w
4. 2 n n np已知 条对称轴（或者 2 个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为 T ，则 T =
2 2 w
【典例 1-1】
1 π
（2023·天津和平·三模）已知函数 f x = 3sinwxcoswx - sin 2wx - ÷（w R ，且w > 0）， x R2 ，若函è 2
数 f x 在区间 0,2π 上恰有 3 个极大值点，则w 的取值范围为（ ）
é13 ,19 13 ,19 ù é13 ,19 13 19ùA． ê B．6 6 ÷
． C． D． ,
è 6 6 ú ê12 12 ÷ è12 12ú
【典例 1-2】
π * 1
（24-25 高三上·浙江·阶段练习）将函数 g(x) = cos wx + w N 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，
è 12 ÷
2
π
纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 f (x) 的图象，若 f (x) 在 0, ÷上只有一个极大值点，则 ω 的最大值为
è 2
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 1-1】
p
（24-25 高三上·天津·期中）已知函数 f x = 2cos wx + ÷ (w > 0) 在 0,p 有且仅有 2 个极小值点，且在
è 6
p
,
p
3 2 ÷ 上单调递增，则
w 的取值范围为（ ）
è
é5 , 29ù é5 ,11ù 17 , 29ù 17 11ùA． ê B 2 6 ú
．
ê
C． D ,
2 3 ú è 6 6 ú
．
è 6 3 ú
【变式 1-2】
π
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f (x) = 2cos wx + ÷ (w > 0) 在 (0,π)有且仅有 2 个极小值点，且在
è 6
π , π ÷上单调递增，则w 的取值范围为（ ）
è 3 2
é5 , 29ù é5 ,11ù 17 29ù 17 11ùA． ê2 6 ú
B． ê2 3 ú
C． , D6 6 ú ．
,
è è 6 3 ú
【变式 1-3】
π
（24-25 高一上·天津武清·期末）若函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 在区间 0, π 上有且仅有 2 条对称轴，则w
è 4
的取值范围是（ ）
5 , 9 é5 , 9 5 ,13 é5 13 A． ÷ B． ê ÷ C． ÷ D． ê ,è 4 4 4 4 è 4 4 4 4 ÷
题型 07 求 W：不单调型
【解题规律·提分快招】
函数在区间内不单调，则该区间内必有对称轴
【典例 1-1】
π π
（24-25 高三上·福建厦门·期中）若直线 x = 是曲线 y = sin wx - ÷ w > 0 的一条对称轴，且函数4 è 4
y = sin wx
π
- é÷在区间 ê0,
π ù
ú上不单调，则w 的最小值为（4 12 ）è
A．7 B．9 C．11 D．15
【典例 1-2】
（2024 高一上·全国·专题练习）已知函数 f x = sin wx +j （0 < w 12，w N ，0 < j < π）的图象关于 y
é π π ù
轴对称，且 f x 在区间 ê , ú上不单调，则w 的可能取值有（ ） 4 2
A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个
【变式 1-1】
p
（21-22 高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 f x = cos wx - ÷ （ω>0），对任意 x∈R，都有 f x
è 3
f p ≤ ÷，并且 f x
é p p
在区间 ê- ,
ù
ú 上不单调，则 ω 的最小值是（ ）è 3 6 3
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式 1-2】
p p
（2020·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 ，对任意 x R ，都有 f x f6 3 ÷，并且 f x è è
é p p
在区间 ê- ,
ù
ú 上不单调，则w 的最小值是（ ） 6 3
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式 1-3】
π
（2023·福建福州·模拟预测）函数 f x = 2sinw x 3sinw x + cosw x (w > 0) 在 (0, )3 上单调递增，且对任意的
实数 a， f x 在 (a,a + π) 上不单调，则w 的取值范围为（ ）
1, 5 ù 5 ù 1 5 ù 1 5 ùA． B． 1, C． , D． ,
è 2 ú è 4 ú è 2 2ú è 2 4ú
B．
题型 08 求 W：没有最值型
【解题规律·提分快招】
没有最值型：
1.如果在 (a，b) 区间内没有最小值，则该区间内没有极小值（-1 型）型对称轴。
2.如果在 (a，b) 区间内没有最大值，则该区间内没有极大值（1 型）对称轴。
3.如果在[a，b] 区间内没有最小值，则该区间内是先增后减型。
4.如果在[a，b] 区间内没有最大值，则该区间内是先减后增型。
【典例 1-1】
（23-24 高三上·湖南长沙·开学考试）若函数 f x = 3sinwx + coswx(w > 0)在区间 (π,2π) 内没有最值，则w
的取值范围是（ ）
(0, 1 ] [1 , 2A． ] B． (0,
1] [1 , 2] [1 , 2 1 2 C． ] D．[ , ]
12 4 3 6 3 3 4 3 3 3
【典例 1-2】
π
（2023·天津·一模）若函数 f (x) = sin
wx +
÷ w > 0 在区间 (π,2π) 内没有最值，有下面四个说法：（6 ）è
①函数 f x 的最小正周期可能为3π
w 1 ù② 的取值范围是 0,
è 6 ú
；
π
③当w 取最大值时， x = 2 是函数
f x 的一条对称轴；
④当w 取最大值， -π,0 是函数 f x 的一个对称中心．
以上四个说法中，正确的个数是（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
【变式 1-1】
1 π
（20-21 高三上·四川泸州·阶段练习）已知w > f x = sin 2wx + ( π , 3π ) w12 ，函数 4 ÷ 在区间 2 2 内没有最值，则è
的取值范围（ ）
1 5 11 1 5 5
A．[ ,
1 ] é , ù é ù éB． ê ú C． ê , ú D． ê ,1
ù
6 2 12 24 4 12 12 ú
【变式 1-2】
p
（·河北衡水·一模）若函数 f (x) = sin(wx + ) (w > 0) 在区间 (p , 2p ) 内没有最值,则w 的取值范围是
6
(0, 1 ] [1 2A． , ] B． (0,
1] [1 , 2 ]
12 4 3 6 3 3
[1 , 2 1C． ] D．[ ,
2]
4 3 3 3
【变式 1-3】
（2021 高一上·江苏·专题练习）若函数 f x = sin p wx + ÷ (w > 0)在区间 p , 2p 内没有最值，则w 的取值范
è 3
围是（ ）
1 ù é1 2 ù 1 ù é1 7 ù
A． 0, ú ê , ú B． 0, ú U ê ,è 12 3 3 è 12 6 12 ú
7 ù é1 2 ù
C． 0,
è 12ú
D．
ê
,
3 3 ú
题型 09 求 W：整数型
【典例 1-1】
p p
（2023 河北衡水·一模）若将函数 f x = sinwx + cos wx + ÷ w > 0 的图象向左平移 个单位长度后的图象
è 6 6
关于 y 轴对称，则当w 取最小整数时，函数 f x 的图象的一个对称中心是
4
A． p ,0
5 p ,0 p 2p B．
3 ÷ 3 ÷
C． ,0 D． - ,0
è è è 3 ÷ 3 ÷ è
【典例 1-2】
（2023·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx -j (w > 0,0 < j < π) 2的一条对称轴为 x = π ，一个对
3
π
称中心为 ,0
÷ .则当w 取最小整数时，函数 f x 在 0,5 内极值点的个数为（ ）
è 2
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 1-1】
4π
（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = sinwx 3 coswx + sinwx w > 0 在区间 π, w
è 3 ÷
上不单调，则 的
最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-2】
p
（2022·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0 的一个对称中心为 - ,0÷ ， f x 在区间
è 3
5p ,p ÷上不单调，则w 的最小正整数值为（ ）
è 6
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-3】
π
（22-23 高三上·广东·阶段练习）已知函数 f x = cos wx +j (w > 0) 的图象的一条对称轴为 x = - ， f x
6
π π
在区间 , ÷上不单调，则w 的最小正整数值为（ ）
è 3 2
A．4 B．5 C．6 D．7
冲高考
1．（24-25 高一上·天津河西·期末）设函数 f x = sinwx w > 0 ，若函数 g x = f x -1在 0, π 上恰有 3 个
零点，则实数w 的取值范围是（ ）
9 ,13 é9 ,13 13 17A B C é
13 17
． ． ．2 2 ÷ ê2 2 ÷
, ÷ D． ,
è è 2 2 ê 2 2 ÷
2 · 2
wx 1 1
．（天津 高考真题）已知函数 f (x) = sin + sinwx - (w > 0)，x R .若 f (x) 在区间 (p , 2p ) 内没有零点，
2 2 2
则w 的取值范围是
A ． 0,
1ù 0, 1 ù 5 5 1 1 5ú B． ú
é ,1 0, ù ù é ùC D
8 ． ．
0, ,
è è 4 ê8 ÷ 8ú è è 8ú ê 4 8ú
π π 3．（24-25 高一上·天津·期末）已知w > 0，函数 f (x) = sin 2wx + ÷在 , π2 ÷上单调递增，则
w 的取值范围
è 4 è
是（ ）
é1 5 ù
A ． ê , ú B． 0,
1ù é1
ú C． ê ,
1 ù 1
D ù． 0,
2 4 è 8 4 2 ú è 2ú
w π
4．（24-25 2高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x = cos wx + π - 2 3sin x - ÷ + 3 w > 0 ，若 f x
è 2 4
é 2π , 3π- ù在区间 ê ú上单调递增，且在区间 0, π 上有且只有一个零点，则w 的取值范围是（ ） 5 4
1 , 5 ù 1 , 7 A． B．
è 6 6 ú è 6 6 ÷
é1 7 ù é1 5 ù
C． , D． ,
ê6 6 ú ê6 6 ú
π
5．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f (x) = 2cos wx + ÷ (w > 0) 在 (0,π)有且仅有 2 个极小值点，且
è 6
π , π 在 3 2 ÷
上单调递增，则w 的取值范围为（ ）
è
é5 , 29ù é5 ,11ù 17 , 29ù 17 11ùA． ê2 6 ú
B． ê ú C． D． , 2 3 è 6 6 ú è 6 3 ú
6．（24-25 高三上·天津·期中）已知函数 f x = 2cos wx p + ÷ (w > 0) 在 0,p 有且仅有 2 个极小值点，且在
è 6
p , p w3 2 ÷ 上单调递增，则 的取值范围为（ ）è
é5 , 29ù é5 11ù 17 29ù 17 11ùA． ê 2 6 ú
B． ê , C． , D． , 2 3 ú è 6 6 ú è 6 3 ú
