四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期4月月考数学试题（含图片版答案）

成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届4月月考
数学试题
(满分150分,考试时间120分钟)
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,则复数等于( )
A. B. C. D.
2.计算：( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足,,,则( )
A. B. C. D.
4.在中,角的对边分别为,若,,,则( )
A. B. C. D.
5.直三棱柱中,,为中点,,为上一点,,则经过三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是( )
A. B. C. D.
6.在中,动点满足,则动点的轨迹一定通过的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
7.如图,在中,是的中点,在边上,,若, 则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知,则下列说法正确的是( )
A.在复平面内对应的点的坐标为 B.
C.在复平面内对应的点与点关于原点对称 D.
10.已知向量,,则下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若在上的投影向量为,则向量与的夹角为
C.若与共线,则为或 D.存在,使得
11.在中,角的对边分别是,若,,则( )
A. B. C. D.的面积为
12.在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,,平面平面ABCD,点M在线段PC上运动(不含端点),则( )
A.存在点M使得 B.四棱锥外接球的表面积为
C.直线PC与直线AD所成角为
D.当动点M到直线BD的距离最小时,过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥的体积是
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是 .
14.若函数是偶函数,则 .
15.已知函数在上的值域为,则的取值范围为 .
16.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在中,角所对的边分别为,则的面积.若,且,则面积的最大值为 .
四、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量.
(1)若向量,求向量与向量的夹角的大小;
(2)若向量,求向量与向量方向上的投影向量的坐标.
18.已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值、最小值．
19.如图,在四棱锥中,已知底面是菱形且,侧棱,为线段上的中点,为线段上的定点.
(1)求证：平面;
(2)若,且直线平面,求三棱锥的体积.
20.如图,四边形中,,,,设.
(1)若面积是面积的倍,求;
(2)若,求.
21.已知锐角的内角所对的边分别记作,满足,且．
(1)求;
(2)若点分别在边和上,且将分成面积相等的两部分,求的最小值．
22. 已知函数,其中.
(1)若存在,使得,求的最小值;
(2)令,若关于的方程有两个根,求当时,实数的取值范围.
成都石室中学2023-2024学年度上期高2026届10月月考
数学试题答案
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
BBCB CAAB
二、选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.BCD 10.AB 11.AC 12.BCD
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.2:1 14.1 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（1）,
所以,函数的最小正周期．
由,得：,
所以函数的单调递减区间为．
（2）由,得,则,
所以函数在区间上的最大值是,最小值是．
20.
21.(1)因为,
所以,因为,所以,
又,且为锐角,所以,
所以．
因为．所以．所以．
(2)设,,根据题设有,
所以,可得,
所以,当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
22.(1)由题意可知为单调递增函数,所以当时,,
则当时,有,即,
解得,则,当且仅当时,取得等号,
故最小值为.
(2)由题意得
令,则,,,
若,则,
即,即,
由和满足方程,
即为方程的两根可得：,解得,
且,,
因为,所以,解得,
所以,
易求得当时,,满足,
故实数的取值范围