专题 09 解三角形综合大题
目录
题型 01 解三角形基础思维：正弦化边求角 ....................................................................................................................1
题型 02 解三角形基础思维：余弦角化边求角 ................................................................................................................2
题型 03 解三角形基础思维：面积的加入 ........................................................................................................................2
题型 04 最值与范围：基础型（角与对边） ....................................................................................................................3
题型 06 最值与范围：分式比值型 ....................................................................................................................................5
题型 07 最值与范围：无边转化型 ....................................................................................................................................5
题型 08 图形：中点与中线型 ............................................................................................................................................6
题型 09 图形：高 ................................................................................................................................................................7
题型 10 图形：角平分线型 ................................................................................................................................................8
题型 11 图形：双三角行定比分点型 ................................................................................................................................8
题型 12 图形：四边形 .........................................................................................................................................................9
题型 13 三角函数中的压轴题 ..........................................................................................................................................10
冲高考.................................................................................................................................................................................11
题型 01 解三角形基础思维：正弦化边求角
【解题规律·提分快招】
对于 sin（ ）与 cos（ ） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见 A 与 B 的正余或者余正，不够，找 sinC
拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c ,满足
2a - c cos B = b cosC ．
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a = 4，b = 2 7 .
（i）求边 c的值；
（ii）求 sin 2C - B 的值．
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）在三角形中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
acosC ccosA = -3bcosB
(1)求 cosB；
(2)若b = 2a
（i）求 sinA；
（ii）求 sin 3A 2B C .
【变式 1-1】
tanB 2c
（24-25 高三上·天津河西·期末）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 = -1 .
tanA a
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a = 3,b = 3 7 .
（i）求 c的值；
（ii）求 tan(2A - B)的值.
题型 02 解三角形基础思维：余弦角化边求角
【解题规律·提分快招】
余弦定理：
1.若式子含有 a,b,c的 2 次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和 a,b,c 2 次齐次式，可构造余弦定理
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津河东·期末）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知5sinB = 4sinA，
5c = a2cosB abcosA．
(1)求 a,b；
(2)若 c = 6，求 sin
π
2B - ．
è 3 ÷
【典例 1-2】
（23-24 高一下·天津静海·阶段练习）已知在锐角VABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
tan C 3 sin Asin B= ．
sin2 A sin2 B - sin2 C
(1)求角C 的大小；
(2)当b = 3 时，求VABC 面积的取值范围．
【变式 1-1】
（24-25 高三下·广西·开学考试）VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，b = 2 3 ，
cos2B - cos2 A sin2C = sinA ×sinC.
(1)求角uuurB 的uu大ur小u;uuur r
(2)若MA MB MC = 0， BM 的延长线交 AC 于点D，且BM = 2，求VABC 的面积.
题型 03 解三角形基础思维：面积的加入
【解题规律·提分快招】
三角形面积 ：
1 1 1 abc
①S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ 2 2 2 4R
1
②S△ABC＝ (a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)2
【典例 1-1】
（新疆维吾尔自治区 2025 届高三普通高考第一次适应性检测数学试题）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分
2
别为 a,b,c 3a，其面积 S = .
28sinA
(1)求 sinBsinC 的值；
π
(2)若b = 2c = 2，且B ，求 a .
2
【典例 1-2】
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知VABC ， a，b ， c分别是角A ， B ，C 的对边，VABC 的面积
S 1= b2 - ab tanC ．4
(1)证明：C = 2A；
a 6(2)若CD为 ACB 的平分线，交 AB 于点D，且 = ，CD =1，求BD的长．
5
【变式 1-1】
（24-25 高三上·江苏·阶段练习）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，面积为S ，已知
b2 = 2S ab cosC
(1)求A ；
(2)若BC 边上的高为 1 且3bcosC = c cos B ，求VABC 的面积S ．
题型 04 最值与范围：基础型（角与对边）
【解题规律·提分快招】
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度
有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
【典例 1-1】
（22-23 高一下·天津南开·期末）在VABC 中，角 A, B,C
a b c
所对的边分别为 a,b,c，已知 = ．
cosA cosB cosC
(1)求A ；
(2)已知 a = 3，
3
（ⅰ）若VABC 的面积为 ，求VABC 的周长；
2
（ⅱ）求VABC 周长的取值范围．
【典例 1-2】
f x 3 cos 2x 2sin 3π （23-24 高一下·天津·期中）已知 = x ÷sin π - x ， x R ．
è 2
(1)求 f x 的最小正周期及单调递减区间；
(2)已知锐角VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f A = - 3 ， a = 4，求VABC 面积的最大
值．
【变式 1-1】
（23-24 高一下·天津·期中）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c =1 .
π
(1)若C = ,VABC 的周长等于 3，求 a,b；
3
(2)若VABC 为锐角三角形，且 sin
A C
= sin(A C)；
2
①求 B ；
②求VABC 面积的取值范围.
题型 05 最值与范围：非对称型
【解题规律·提分快招】
非对称型结构
结构特征： pa tb mc
“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点
【典例 1-1】
（20-21 高三下·湖北·阶段练习）在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，
sin2 A sin2 C = sin2 B sin Asin C ．
(1)求角 B 的大小．
(2)若△ABC 为锐角三角形，b = 3 ．求2a -c的取值范围．
【典例 1-2】
（21-22 高二上·江西九江·阶段练习）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
sin2 A - sin2 B - sin2 C = - 3 sin B sin C ．
（1）求 A 的大小；
（2）若 a =1，求b2 - c2 的取值范围．
【变式 1-1】
（24-25 高三下·安徽·开学考试）已知 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知
a - ccos2B = c 2bcosCcosB .
(1)求 B 的大小；
(2)若 a c = 6，b = 3a ，求 VABC 外接圆的半径；
(3)若点 M 在线段 AC 上， ∠ABM =∠CBM ， BM = 4 ，求 4a c 的最小值.
题型 06 最值与范围：分式比值型
【解题规律·提分快招】
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
【典例 1-1】
（2020·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
bsin2 C c sin2 B 3bc =
2 2 2 b c a .
m a b=
(1)求角 A 的大小；(2)若 c > a ，求 c 的取值范围.
【典例 1-2】
（22-23 高一下·新疆·阶段练习）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足
a cosC 3a sin C - b - c = 0．
(1)求角 A；
(2)若 a = 3，求VABC 周长的最大值；
bc - ab - ac
(3)求 2 的取值范围．a
【变式 1-1】
（23-24 高一下·天津东丽·期末）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
c - 2b cos A a cosC = 0 .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a = 2，b c = 1 3 6 ，求VABC 的面积；
2 2
(3)若VABC 2b 3a锐角三角形，且外接圆直径为 2 2 ，求 的取值范围.
2b
题型 07 最值与范围：无边转化型
【典例 1-1】
（22-23 高一下·天津·期中）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
cos2A cos2B - cos2C =1- 2sinAsinB .
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，求 sinA sinB sinC 的取值范围.
【典例 1-2】
（陕西省榆林市 2025 届高三上学期第二次模拟检测数学试题）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为
a，b ， c .已知 2sinCcosA = sinA 2sinB .
(1)求角C 的大小；
cosB
(2)求 的取值范围.
cosA
【变式 1-1】
（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，b2 = c a c ．
(1)证明：B = 2C ；
2 sin A
(2)求 的最小值．
cosC sin B
题型 08 图形：中点与中线型
【解题规律·提分快招】
中线的处理方法
uuur 1 uuur uuur uuuur2 uuur2 uuur uuur uuur2AD = (AB AC) AM 1=
2 4 AB 2AB × AC AC 1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
【典例 1-1】
（2024·天津河西·模拟预测）如图，在VABC 中，已知 AB = 2, AC = 5, BAC = 60° , BC, AC 边上的两条中线
AM，BN 相交于点 P ．
(1)求中线 AM 的长；
(2)求 MPN 的余弦值；
(3)求VABP面积．
【典例 1-2】
（23-24 高一下·天津滨海新·期末）已知VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且b2 = a2 - c2 bc．
(1)求A ；
(2)若VABC 的面积是 3,c = 2b ，求 a；
uuur uuur uuur uuur
(3)若D为边 AC 上一点，且满足BA BD = l uuur
AB
uuur BD ÷， a = 2 3 ，试求BD CD 的最大
è AB cosA BD cos CDB
÷
值．
【变式 1-1】
（2024·天津河北·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知bcosC ccosB = 2acosA .
(1)求角A ；
1 C
(2)若 cosC = ，求 cos A÷的值；3 è 2
(3)若 a = 2 7, D为 AC 的中点，且BD = 7 ，求VABC 的面积.
题型 09 图形：高
【解题规律·提分快招】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如 S 1= bc sin A 1= BC AD 1= c2
2 2 2
2.三角函数法：
在 BCD中，BD = AB cos ABD, AD = AB sin ABD,
【典例 1-1】
（19-20 高一下·天津东丽·期末）VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a sin B 3bcos A = 0，
c = 4， a = 2 7 ．
(1)求 A、b；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求△ABD 的面积．
【典例 1-2】
（22-23 高一下·天津和平·期中）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA 3cosA = 0 ，
c = 4， a = 2 7 .
(1)求 A，b；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求△ABD 的面积.
【变式 1-1】
（17-18 高三上·河北石家庄·阶段练习）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sinA 3cosA = 0 ，
a = 2 7，b = 2．
(1)求 c；
(2)设D为BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求△ABD 的面积．
题型 10 图形：角平分线型
【解题规律·提分快招】
三角形角平分线的处理方法：
S△ABC = S△ACD S△ABD
AB AC
=
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： BD CD
【典例 1-1】
（23-24 高一下·天津静海·阶段练习）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
a tan A a tan B 3c = - ．
cos B
(1)求A 的大小；
(2)已知 a = 2 7 ，b = 2 ，设D为BC 边上一点，且 AD 为角A 的平分线，求△ABD 的面积．
【典例 1-2】
π
（2024 高二上·贵州·学业考试）VABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 A = ，
3 a = 2 3
.
π
(1)若C = ，则 c = ________；
2
π
(2)若 B = ，则VABC 的面积为________6 ；
(3)已知A 的角平分线 AD 交BC 于D，求 AD 的最大值.
【变式 1-1】
（23-24 高一下·贵州遵义·期末）已知在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
cos p - A
÷ - sin Bsin C
= è 2
a b a - c
(1)求角 B；
(2)若点 D 在 AC 上，BD为 ABC 的角平分线，BD = 2 3 ，求 2a c的最小值．
题型 11 图形：双三角行定比分点型
【解题规律·提分快招】
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手：
1. 双三角形余弦定理：
（1） ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos
（2） ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π- ）
2.向量法：
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
AD =（1- t） AB t AC AD =（1- t）2 AB t2 AC 2t（1- t）AB AC cos A
【典例 1-1】
（22-23 高一下·天津滨海新·期末）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinA = sinB sin C - B .
(1)求角C 的值；
(2)若 a > b，且VABC 3的面积 S = c2 .
6
（i）求证： c = 3b ；
uur 1 uuur uuur uuur uuur
（ii）已知点E 在 AB 上，且满足CA CB = lCE ，延长CE到D，使得CD = 2CE ，连接 AD, BD ，求2
cos ADB .
【典例 1-2】
（2024·天津滨海新·二模）已知 a，b，c 分别为VABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 2b = c 2a cosC .
(1)求 A；
(2)若 cos B 3= ，求 sin 2B - A 的值；
3
b 2a
(3)若 = ，点 D 在边 AB 上， AD = 2DB ，CD = 13 .求VABC 的面积.cos B 3
【变式 1-1】
B C
（2024·全国·模拟预测）已知在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 csin = asinC .
2
(1)求A ；
(2)若 a = 3，D为BC 边上一点， AD = 2， 2DB = DC ，求VABC 的面积.
题型 12 图形：四边形
【解题规律·提分快招】
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这
个隐形条件
【典例 1-1】
（22-23 高三上·天津南开·阶段练习）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
2a c cos A C b = 2bcos2 C .
2
(1)求 B ；
(2)如图，若D为VABC 外一点，且 BCD
7p
= ， AB ^ AD ， AB =1， AD = 3 ，求 sin BDC .并求BC .12
【典例 1-2】
（24-25 高三上·山西吕梁·期末）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
ccosB - bcosC = 2bcosAcosB,B为锐角．
(1)求证： sin C - B = sin2BcosA；
(2)求 B ；
π
(3)若 BAC = , AB = 4，四边形 ABDC 内接于圆O，求△ABD 面积的最大值．
2
【变式 1-1】
（2021·全国·模拟预测）已知平面四边形 ABCD中， A C =180°，BC = 3 .
(1)若 AB = 6， AD = 3，CD = 4，求BD；
(2) ABC 120o VABC 9 3若 = ， 的面积为 ，求四边形 ABCD周长的最大值.
2
题型 13 三角函数中的压轴题
【典例 1-1】
（24-25 高一上·天津·期末）设函数 f x = sin2k x cos2k x，k N*.
π π
(1)求证: f x
= f ÷ - x
4 4 ÷
;
è è
(2)分别求 k = 2和 k = 3时函数 f x 的最小值；
(3)猜想函数 f x 的最小值并证明.
n n
参考公式：当 n N* 且 n 2时， a - b = a - b an-1 an-2b L abn-2 bn-1 .
【典例 1-2】
wx j
24-25 2 高一上·天津南开·期末）已知函数 f (x) = 3sin(wx j ) 2sin ÷ -1（w > 0，0 j π2 ）为奇è
f (x) π函数，且 图象的相邻两对称轴间的距离为 .
2
(1)求 f (x) 的解析式及单调递减区间；
(2)将函数 f (x)
π 1
的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 2 （纵坐标不变），得到函数
y = g(x)
6
é π π ù
的图象，当 x ê- , ú 时，求函数 g(x)的值域. 12 6
4 é π 4π ù
(3)对于第（2）问中的函数 g(x)，记方程 g(x) = 在 x ê , ú 上的根从小到大依次为：x1， x2 , × × ×, x ，试3 6 3 n
确定 n 的值，并求 x1 2x2 2x3 L 2xn-1 xn 的值.
【变式 1-2】
pr a,b ,qr
ur
（21-22 高一下·北京·期末）已知向量 = = sinx, cosx ；定义函数 f x = pr r× q ，称向量 p = a,b 为
f x r的特征向量， f x 为 p 的特征函数．
(1)设 g x = 2sin π - x sin 3 π - x
÷，求 g x 的特征向量；
è 2
r 6 π π
(2)设向量 p = 3,1 的特征函数为 f x ，求当 f x = 且 x - , ÷时， sinx的值；5 è 6 3
r p 1 , 3
(3)设向量 = - ÷÷ 的特征函数为 f x
2 1
，记 h x = f x - ，若 h x 在区间 a,b 上至少有 40 个零点，
è 2 2 4
求b - a的最小值．
【变式 1-3】
（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该
问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利
给出了解答，当VABC 的三个内角均小于120°时，使得 AOB = BOC = COA =120°的点O即为费马点；
当VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
(1)若 c sin C - a sin A = (c - b)sin B，
①求A ； uuur uuur uuur uuur uuur uuur
②若bc = 2，设点 P 为VABC 的费马点，求PA × PB PB × PC PC × PA；
(2)若 cos2B cos2C - cos2A =1，设点 P 为VABC 的费马点， PB PC = t PA ，求实数 t的最小值．
冲高考
1．（2025·吉林·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2 A - sin Asin B = cos2 B - cos2 C .
(1)若 c = 3, a b = 6 ，求VABC 的面积 S；
(2)若角 C 2的平分线与 AB 的交点为D,CD = ，求 a b 的最小值.
2
2．（2025·陕西·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a cos B - bcos A = a - c ．
(1)求 B；
a
(2)若 D 为 AC BD 21的中点，且 = ，求 ．
AC 6 c
ctanB
3．（2025·四川·二模）记锐角VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinB = .
1 tanB
(1)求 sinA的值.
(2)若b = 2 ，求 a边上的高的取值范围.
4．（2024·江西·模拟预测）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 a = 5，
sin C = 2sin Acos B .
(1)若 c = 6，求 cos B的值；
C
(2)若 A > C，求 c cos 的取值范围.
2
5．（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）在VABC 中， AC = 2AB ， AE 为 BC 边上的中线，点 E 在 BC 边上，
设 AE = tAB．
(1)当 BAC
2π
= 时，求 t的值；
3
DE
(2)若 AD 为 BAC 的角平分线，且点D也在BC 边上，求 的值；
BC
(3)在（2）的条件下，若 S△ADE =1，求 t为何值时，DE 最短？专题 09 解三角形综合大题
目录
题型 01 解三角形基础思维：正弦化边求角 ....................................................................................................................1
题型 02 解三角形基础思维：余弦角化边求角 ................................................................................................................3
题型 03 解三角形基础思维：面积的加入 ........................................................................................................................5
题型 04 最值与范围：基础型（角与对边） ....................................................................................................................7
题型 06 最值与范围：分式比值型 ..................................................................................................................................12
题型 07 最值与范围：无边转化型 ..................................................................................................................................15
题型 08 图形：中点与中线型 ..........................................................................................................................................17
题型 09 图形：高 ..............................................................................................................................................................19
题型 10 图形：角平分线型 ..............................................................................................................................................22
题型 11 图形：双三角行定比分点型 ..............................................................................................................................24
题型 12 图形：四边形 .......................................................................................................................................................27
题型 13 三角函数中的压轴题 ..........................................................................................................................................29
冲高考.................................................................................................................................................................................34
题型 01 解三角形基础思维：正弦化边求角
【解题规律·提分快招】
对于 sin（ ）与 cos（ ） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见 A 与 B 的正余或者余正，不够，找 sinC
拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c ,满足
2a - c cos B = b cosC ．
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a = 4，b = 2 7 .
（i）求边 c的值；
（ii）求 sin 2C - B 的值．
π
【答案】(1)
3
4
(2)（i） c = 6；（ii） 3
7
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可；
（2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解．
【详解】（1）由 2a - c cos B = b cosC ，根据正弦定理得， 2sin A - sin C cos B = sin B cosC ，
可得 2sin Acos B = sin B C = sin A 1 π，因为0 < A < π ，故 sin A 0 ，则 cos B = ，又0 < B < π ，所以B = ；
2 3
π a2 c2 - b2 2
（2）由（1）知，B = ，且 a = 4 1 16 c - 28，b = 2 7 ，（i）则 cos B = ，即 = ，3 2ac 2 2 4 c
解得 c = 6或 c = -2（舍），故 c = 6；
（ii）由 2a - c cos B = b cosC ，得 2 4 - 6 1 = 2 7 cosC ，解得
2 cosC
7
= ，则
14
2
sin C 1 7
3 21
= - = ，
è 14
÷÷
14
3 3 cos 2C 2cos2 C 1 13则 sin 2C = 2sinC cosC = ， = - = - ，
14 14
所以 sin 2C B 3 3 1 13 3 4- = sin 2C cos B - cos 2C sin B = - -
14 2 14 ÷
= 3 .
è 2 7
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）在三角形中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
acosC ccosA = -3bcosB
(1)求 cosB；
(2)若b = 2a
（i）求 sinA；
（ii）求 sin 3A 2B C .
1
【答案】(1) cosB = - ；
3
(2)（i） sin A
2
= ；（ii）
3 sin 3A 2B C
4 5 - 2 2
= .
27
【分析】（1）由题设结合正弦定理边化角和两角和的正弦公式即可计算求解.
（2）（i）先由（1）求出 sin B ，再由题设结合正弦定理即可计算求解.
（ii）由（i）求出 cos A，接着由倍角公式求出 cos 2A,sin 2A，再由C = π - A - B结合两角和的正弦公式即可
计算求解.
【详解】（1）因为 acosC ccosA = -3bcosB ，所以由正弦定理得 sin AcosC sin CcosA = -3sin BcosB，即
sin A+C = sin B = -3sin BcosB ，又B 0, π 1，则 sin B > 0，所以 cosB = - .
3
2
（2）（i）由（1
1 2 2
）可得 sin B = 1- cos2B = 1- - ÷ = ，若b = 2a，则由正弦定理得 sin B = 2 sin A
è 3 3
2 2 2
即 = 2 sin A，所以 sin A = .
3 3
ii sin A
2
= sin B 2 2（3）（ ）因为 ， = ， cosB
1
= - ，
3 3 3
B π
2
所以 , π
÷ , A
0, π 2 5 ÷，故 2
è 2 è 2
cos A = 1- sin A = 1-
÷
= ，
è 3 3
sin 2A 2sin Acos A 2 2 5 4 5
2
所以 = = = , cos 2A =1- 2sin2 A 1 2 2 1= - ÷ = ，3 3 9 è 3 9
所以 sin 3A 2B C = sin 3A 2B π - A - B = sin éπ 2A B ù = -sin 2A B
sin 2Acos B cos 2Asin B 4 5 1 1 2 2 4 5 - 2 2= - - = -
9
-
3 ÷
- = .
è 9 3 27
【变式 1-1】
tanB 2c
（24-25 高三上·天津河西·期末）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 = -1 .
tanA a
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a = 3,b = 3 7 .
（i）求 c的值；
（ii）求 tan(2A - B)的值.
π
【答案】(1) ；(2)（i） c = 9；（ii 3 3）- .3 13
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解.
（2）（i）由（1）的结论，利用余弦定理求出 c；（ii）利用正弦定理求出 sin A ，再利用同角公式、二倍角的
正切及差角的正切公式计算得解.
tanB 2c 1 sinBcosA 1 2sin C【详解】（1）在VABC 中，由 = - 及正弦定理，得 = ，
tanA a sinAcosB sin A
sinBcosA cosBsinA 2sin C sinC
即 = ，则 = 2sinC ，
sinAcosB sin A cosB
由0 < C < π，得 sinC 0,cosB
1 π
= ，又0 < B < π ，所以B = .
2 3
（2）（i）由（1）及余弦定理，得63 = b2 = a2 c2 - 2accosB = 9 c2 - 3c ，
整理得 c2 - 3c - 54 = 0 ，而 c > 0，解得 c = 9，所以 c = 9 .
a b c 3
（ii）由正弦定理 = = ，得 sinA asinB
3 21
sinA sinB sinC = = 2 =
，
b 3 7 14
由 a < b ，得 A < B ，则 cosA = 1- sin2 A 5 7= , tanA sinA 3= = ，
14 cosA 5
3 5 3
tan2A 2tanA
2 5 3 - 3
因此 = 2 =
5 = ，所以 tan(2A - B)
tan2A - tanB
= = 11 3 3= - .
1- tan A 3 2 11 1 tan2AtanB 5 3 131- ( ) 1 3
5 11
题型 02 解三角形基础思维：余弦角化边求角
【解题规律·提分快招】
余弦定理：
1.若式子含有 a,b,c的 2 次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和 a,b,c 2 次齐次式，可构造余弦定理
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津河东·期末）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知5sinB = 4sinA，
5c = a2cosB abcosA．
(1)求 a,b；
π
(2)若 c = 6，求 sin 2B - ÷ ．
è 3
3 7 - 3
【答案】(1) a = 5;b = 4 (2)
16
【分析】（1）根据正余弦定理角化边即可得出答案；
（2）先利用余弦定理求出 cos B ,再根据同角三角函数的关系求出 sin B ，以及二倍角公式求出 sin 2B 和 cos 2B，
最后再根据正弦的差角公式即可得出答案.
2 2 2 2 2 2
【详解】（1）因为5c = a2
a c - b b c - a
cosB abcosA，由余弦定理有：5c = a a × b × = ac ，所以 a = 5；
è 2ac 2bc
÷
因为5sinB = 4sinA，由正弦定理得：5b = 4a ，所以b = 4 ，
所以 a = 5,b = 4 ．
a2 c2 2
（2）因为 c = 6，所以cosB - b 25 36 -16 3 7= = = ,sinB = 1- cos2B = ，
2ac 2 5 6 4 4
sin2B = 2sinBcosB 3 7= ,cos2B = cos2B - sin2B 1= ，
8 8
sin 2B π sin2Bcos π sin π cos2B 3 7 - 3 - ÷ = - = ．
è 3 3 3 16
【典例 1-2】
（23-24 高一下·天津静海·阶段练习）已知在锐角VABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
tan C 3 sin Asin B= ．
sin2 A sin2 B - sin2 C
(1)求角C 的大小；
(2)当b = 3 时，求VABC 面积的取值范围．
π 3 3 3 3
【答案】(1) (2) ,3 è 8 2
÷÷
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；
3 3 3
（2）利用正弦定理将边化角，结合三角形面积公式和三角恒等变化可得 SVABC = 1 ÷÷，再由正切8 è tan B
函数的值域求解即可.
3 sin Asin B
【详解】（1）因为 tan C = 2 2 2 ，由正弦定理可得 tan C
3ab
=
sin A sin B - sin C a2 b2 - c2
，
2 2 2 π
由余弦定理 cosC a b - c= sin C 3ab，即 = ，所以 sin C 3= ，又C 为锐角，所以C = ．
2ab cosC 2abcosC 2 3
2 a b 3 3 sin A（ ）由正弦定理得 = = ，\a = ，则
sin A sin B sin B sin B
sin B π 1 ÷ sin B
3
cos B
S 1 absin C 3 a 3· 3 sin A 3 3· è 3
3 3
= ·2 2 3 3
3
= = = = = 1
，
VABC ÷2 4 4 sin B 4 sin B 4 sin B 8 è tan B ÷
ì
0 < B
π
<
2 π
由 í < B
π 1
< tan B 3> 0 < < 3 3
0 2π π
，可得 ，所以 ，即 ，则1 <1 < 4，
3
< - B < 6 2 tan B tan B
3 2
3 3 3 3
所以VABC 面积的取值范围 , ÷÷ .
è 8 2
【变式 1-1】
（24-25 高三下·广西·开学考试）VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，b = 2 3 ，
cos2B - cos2 A sin2C = sinA ×sinC.
(1)求角uuurB 的uu大ur小u;uuur r
(2)若MA MB MC = 0， BM 的延长线交 AC 于点D，且BM = 2，求VABC 的面积.
π
【答案】(1) .(2) 3 3.
3
【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得 a2 c2 - b2 = ac，即可利用余弦定理求解，
3
（2）根据重心的性质可得BD = BM = 3，即可利用向量的线性运算以及模长公式可得
2 36 = c
2 a2 ac，
结合余弦定理可得 ac =12，即可根据面积公式求解
【详解】（1）Qcos2B =1- sin2B ， cos2 A =1- sin2 A， cos2B - cos2 A = sin2 A - sin2B ，
所以原式可化为 sin2 A - sin2B sin2C = sinA ×sinC ，
a2 c2 - b2 ac 1 π
由正弦定理得： a2 c2 - b2 = ac，由余弦定理得： cosB = = = ，QB 0, π \B = .
uuur uuur uuur uuuur uuuur 2ac 2ac 2 3
（2）设 AB 中点为E ，则MA MB = 2ME = -MC = CM ，
\CM : ME = 2 :1且C, M , E三点共线，
同理可得点M 为VABC 三条中线的交点，点M 为VABC 的重心，
3
\ D 为 AC 中点，BD = BM = 3，
2
uuur
BD 1
uuur uuur
\ = BA BC ，平方得： 4BD2 = BA2 BC 2 2BA × BC ×cosB，2
\36 = c2 a2 ac ①，
又由余弦定理得：b2 = a2 c2 - 2ac ×cosB ，即12 = a2 c2 - ac ②
由①② ac =12 S 1得： ，\ = acsinB 1= 12 3 = 3 3.
2 2 2
题型 03 解三角形基础思维：面积的加入
【解题规律·提分快招】
三角形面积 ：
1 1 1 abc
①S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ 2 2 2 4R
1
②S△ABC＝ (a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)2
【典例 1-1】
（新疆维吾尔自治区 2025 届高三普通高考第一次适应性检测数学试题）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分
2
别为 a,b,c S 3a，其面积 = .
28sinA
(1)求 sinBsinC 的值；
π
(2)若b = 2c = 2，且B < ，求 a .
2
3
【答案】(1) (2)
14 7
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理边化角可求解 sinC 21= ，进而利用同角关系求解B,C 的正余弦，即可根据余弦的和差
14
角公式求解 cos A，进而利用余弦定理即可求解.
1 S 1 absinC 3a
2
bsinC 3a【详解】（ ）由已知得 = = = ，由正弦定理可得： a = 2RsinA,b = 2RsinB ，
2 28sinA 14sinA
\2RsinBsinC 3= 2R sinBsinC 3= .
14 14
3
2 b = 2c sinB = 2sinC 1 2sin2C = sinC 21 sinB 2sinC 21（ ）由 可得 ，由（ ）可得 ，解得 ，\ = = ，14 = 14 7
QC < B π< 2 7 5 7，\cosB = 1- sin2B = , cosC = 1- sin2C = ，
2 7 14
\cosA = cos é π - B C ù = -cos B C
2 7 5 7 21 21 1
= - = - ，
7 14 7 14 2
由余弦定理得： a = b2 c2 - 2bccosA = 1 4 2 = 7 .
【典例 1-2】
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知VABC ， a，b ， c分别是角A ， B ，C 的对边，VABC 的面积
S 1= b2 - ab4 tanC ．
(1)证明：C = 2A；
6
(2)若CD为 ACB 的平分线，交 AB 于点D，且 a = ，CD =1，求BD的长．
5
4
【答案】(1)证明见解析(2) BD =
5
【分析】（1）由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得b ，再由余弦定理代入计算，即可得到结
果.
1 2 1
【详解】（1）证明：因为 S = b - ab tanC = absinC ，化简得 2acosC = b - a，4 2
a b c
由正弦定理 = = ，得 2sinAcosC = sinB - sinA，又
sinA sinB sinC
sinB = sin π - A - C = sin A C = sinAcosC cosAsinC ，所以 2sinAcosC = sinAcosC cosAsinC - sinA，整理
得 sin C - A = sinA．又A ，C 为VABC 的内角，所以C - A = A，即C = 2A．
（2）因为CD为 ACB 的平分线，且C = 2A，所以 ACD = A = DCB ，
1 AC
所以 AD = CD =1，在等腰三角形 ACD中， cosA = 2 b= ．①
AD 2
又 S△ABC = S
1 1 1
△ACD S△BCD ，∴ absinC = bsinA asinA
1 1
，则 × 2absin Acos A = bsinA
1
asinA，
2 2 2 2 2 2
6 12 6
化简得 2abcosA = b a ，又 a = ，∴ bcosA = b ．②
5 5 5
3 2
①代入②，得6b2 - 5b - 6 = 0，解得b = 或b = - （舍去），∴ cosA
b 3
= = ，
2 3 2 4
在△BCD 2 2 2中，由余弦定理得BD = CD a - 2CD ×acosA 1
36 2 6 3 16 BD 4= - = ，∴ = ．
25 5 4 25 5
【变式 1-1】
（24-25 高三上·江苏·阶段练习）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，面积为S ，已知
b2 = 2S ab cosC
(1)求A ；
(2)若BC 边上的高为 1 且3bcosC = c cos B ，求VABC 的面积S ．
p
【答案】(1) (2) -4 2 7
4 3
【分析】（1）利用三角形面积公式可得\b2 = ab(sin C cosC) ，进而边化角，利用三角恒等变换可求得
tan A =1，可求A ；
（2）由已知结合正弦定理可得3tan B = tan C ，在VABC 中，作 AH ^ BC 于点H , AH 为BC 边上的高，即
AH =1，设CH = x, BH = a - x，可得4x = a ，利用 tan BAC = tan( BAH CAH ) ，可求得 a，从而可求
面积.
1
【详解】（1）Qb2 = 2S ab cosC 且 SVABC = absin C \b2 = ab(sin C cosC) 即b = a(sinC cosC)2
由正弦定理得 sin B = sin A(sin C cosC) = sin[p - (A C)] = sin(A C)
= sin AcosC cos Asin C,\sin Asin C = cos Asin C
∵在VABC 中， A (0, π),C (0, π),\sin A > 0,sin C > 0 \sin A = cos A，即 tan A =1,Q A (0, π), A π\ = ．
4
（2）3bcosC = c cos B ，由正弦定理得3sin B cosC = sin C cos B 3tan B = tan C
在VABC 中，作 AH ^ BC 于点H , AH 为BC 边上的高，即 AH =1
设CH = x, BH = a - x,
3 1
\ = ,\4x = a \H 为BC 上的四等分点，
a - x x
a
\CH = , BH 3a QRt ABH tan BAH BH 3a RtVACH tan CAH CH a= △ 中， = = 。 中， = =
4 4 AH 4 AH 4
且 tan BAC
tan BAH tan CAH
= tan( BAH CAH ) =
1- tan BAH × tan CAH
a
= 3 = tan
π
=1, 3\ a2 a -1 -8 ± 4 7= 0,\a = Qa 0, a -8 4 7，1- a2 4 16 3 > \ =
16 3
S 1 BC AH 1 a -4 2 7\ △ABC = = = ．2 2 3
题型 04 最值与范围：基础型（角与对边）
【解题规律·提分快招】
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度
有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
【典例 1-1】
a b c
（22-23 高一下·天津南开·期末）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 = ．
cosA cosB cosC
(1)求A ；
(2)已知 a = 3，
3
（ⅰ）若VABC 的面积为 ，求VABC 的周长；
2
（ⅱ）求VABC 周长的取值范围．
【答案】(1) A
π
= (2) 3 15 ； (6,9]3
【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式，可得 sin(A - B) = sin(C - A) ，在三角形中可得 A, B,C 的关系，
进而可得角A 的大小关系；
（2）（ⅰ）由三角形的面积，可得bc的值，再由余弦定理可得b c的值，进而求出三角形的周长；
（ⅱ）由余弦定理及均值不等式可得b c的范围，再由三角形中两边之和大于第三边，可得b c的范围，
进而求出三角形的周长的范围.
sin A sin B sin C
【详解】（1）由题意及正弦定理可得 = ，
cosA cosB cosC
整理可得： sin Acos B - cos Asin B = sin C cos A - cosC sin A，即 sin(A - B) = sin(C - A) ，
π
在三角形中，可得 A - B = C - A，即 2A = B C = π - A，解得 A = .
3
2 1 1 3 3（ ）（ⅰ）QSVABC = bc sin A = bc × = ，可得bc = 2，2 2 2 2
由余弦定理可得 a2 = b2 c2 - 2bc cos A = (b c)2 - 3bc 2，又 a = 3，则 b c =15，解得b c = 15 ，
所以三角形的周长为 a b c = 3 15 .
2
（ⅱ）a2 = b2 c2 - 2bc cos A = (b c)2 - 3bc ,又 a = 3，则 b c 2 = a2 3bc b c 9 3 × ÷ ，当且仅当b = c时
è 2
取等号，解得b c 6，而b c > a = 3，所以b c (3,6]，
所以三角形的周长为 a + b + c (6,9] .
【典例 1-2】
（23-24 高一下·天津·期中）已知 f x = 3 cos 2x 2sin 3π x ÷sin π - x ， x R ．
è 2
(1)求 f x 的最小正周期及单调递减区间；
(2)已知锐角VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f A = - 3 ， a = 4，求VABC 面积的最大
值．
é π 5π ù
【答案】(1) f x 的最小正周期为 π，单调递减区间为 êkπ - ,kπ ú (k Z) 12 12 ，
(2)VABC 面积的最大值为 4 3 .
【分析】（1）化简得 f x = 2cos 2x
π
÷，结合正弦型函数的周期公式及正弦函数性质可求结论；
è 6
π
2 8 3 8 3（ ）由 f (A) = - 3 ，可得 A = ，结合正弦定理可得
3 b = sin B,c = sin C
，根据三角形面积公式表
3 3
示VABC 的面积，结合条件及正弦函数性质可求其最值.
3π
【详解】（1）由 f (x) = 3 cos 2x 2sin
x ÷sin(π - x) ，化简得，
è 2
f x = 3 cos 2x - 2cos x sin x 。 f x = 3 cos 2x - sin 2x所以 f x = 2cos 2x
π
6 ÷
．
è
2π
f (x) π的最小正周期T = = π2 ；当 2kπ 2x 2kp π(k Z) 时，6
kπ π x kπ 5π (k Z) f (x) ékπ π ,kπ 5π化简得， - ù，所以函数 单调递减区间为： ê - ú (k Z)；12 12 12 12
2
p π 3
（ ）因为 f (A) = - 3 ，所以 f (A) = 2cos 2A ÷ = - 3 cos 2A ÷ = - ,
è 6 è 6 2
A 0, π 2A π π , 7π 2A π 5π A π因为 ÷ ，所以 ÷，所以 = ，故 = ． 又 a = 4
è 2 6 è 6 6 6 6 3
b c a 4
= = = 8 3 8 3
由正弦定理可得 sin B sin C sin A sin π ，所以b = sin B,c = sin C ，
3 3 3
S 1 bc sin A 1 8 3
16 3 π
所以 VABC = × = sin B
8 3 sin C 3 16 3 = sin B sin C ，所以 SVABC = sin B sin
B ，
2 2 3 3 2 3 3 è 3 ÷
4 3 8 3 π 4 3
所以 S 2VABC = 3 2sin B 2 3 sin B cos B ，所以 SVABC = sin3 2B - ÷ ，è 6 3
0 B π , π π π因为VABC 为锐角三角形，所以 < < < A B < π ，所以 < B < ，
2 2 6 2
π π 5π 1 π π
所以 < 2B - < ，故 < sin 2B - ÷ 1，所以 S△ABC 4 3 ，当且仅当B = 时等号成立，6 6 6 2 è 6 3
π
故当B = 时，VABC 面积取最大值，最大值为 .
3 4 3
【变式 1-1】
（23-24 高一下·天津·期中）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c =1 .
C π(1)若 = ,VABC 的周长等于 3，求 a,b；
3
A C
(2)若VABC 为锐角三角形，且 sin = sin(A C)；
2
①求 B ；
②求VABC 面积的取值范围.
π 3 3
【答案】(1) a =1,b =1 (2)① B = ；② ,3 è 8 2
÷÷
【分析】（1）利用余弦定理求出 a,b的关系，再结合三角形的周长即可得解；
（2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角C 的范围，再利用正弦定理
求出边 a，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）由余弦定理及已知条件得， a2 b2 - ab =1，
ìa2 b2 - ab =1
又因为VABC 的周长等于 3，所以 a b c = 3，得a b = 2。联立方程组 í ，
a b = 2
解得 a =1,b =1；
A C
（2）①根据题意 sin = sin(A C)
A C A C
，得 sin = 2sin ×cos
A C
，
2 2 2 2
0 A C π sin A C 0 cos A C 1 A C π因为 < < ，所以 > ，所以 = ，所以 = ，
2 2 2 2 2 2 3
A C 2π π所以 = ，所以B = ；
3 3
π 2
②因为VABC 是锐角三角形，由①知B = , A B C = π得到 A C = π ，
3 3
ì
0 < C
π
<
2 π π a c c sin A
故 í 2π π ，解得
< C < ，由正弦定理 = ，得 a = ，
0 < - C < 6 2 sin A sin C sin C
3 2
sin A
c =1 a = S 1 ac sin B 1 sin A 3 3 sin A又 ，所以 ，所以sin C VABC = × = × × = ×2 2 sin C 2 4 sin C
sin 2π - C 2π
3 ÷ 3 sin cosC cos
2π
- sin C
3 3 1 3= × è = × 3 3 = × ，
4 sin C 4 sin C 8 tanC 8
π C π , tan C 3 3 3 1 3 3 3 3又因 < < > ，故 < × < ，所以 < S
6 2 3 8 8 tan C 8 2 8 VABC
< ，
2
故 S
3 3
VABC 的取值范围是 ,8 2 ÷÷
.题型 05 最值与范围：非对称型
è
【解题规律·提分快招】
非对称型结构
结构特征： pa tb mc
“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点
【典例 1-1】
（20-21 高三下·湖北·阶段练习）在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，
sin2 A sin2 C = sin2 B sin Asin C ．
(1)求角 B 的大小．
(2)若△ABC 为锐角三角形，b = 3 ．求2a -c的取值范围．
π
【答案】(1) B = (2) 0,3
3
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.
（2）利用正弦定理转化a,c，结合三角函数值域的求法求得正确答案.
2 2 2
【详解】（1）依题意，sin2 A sin2 C = sin2 B sin Asin C ，由正弦定理得 a2 c2 b2 ac, cos B a c - b 1- = = = ，
2ac 2
π
所以 B 为锐角，所以B = .
3
a c b 3
= = = = 2 π
（2）由正弦定理得 sin A sin C sin B 3 ，所以 2a - c = 2 2sin A - 2sin C = 4sin A - 2sin
A 3 ֏
2
ì0 A π < <
= 3sin A - 3 cos A = 2 3 sin π A -
2 π π
÷，由于三角形 ABC 是锐角三角形，所以 í < A <
è 6 A π π
，解得 6 2 ，
>
3 2
0 A π π
π
所以 < - < ，所以0 < sin A
π 3 -
6 3 ÷ < ，所以
0 < 2 3 sin A - ÷ < 3，即2a -c的取值范围是 0,3 .
è 6 2 è 6
【典例 1-2】
（21-22 高二上·江西九江·阶段练习）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
sin2 A - sin2 B - sin2 C = - 3 sin B sin C ．
（1）求 A 的大小；
（2）若 a =1，求b2 - c2 的取值范围．
p 2 2
【答案】（1） A = ；（2）b - c -2,2 ．
6
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合余弦定理即可得出答案；
（2）根据正弦定理可得 b = 2sin B,c = 2sin C ，再根据降幂公式及辅助角公式化简，即可得出答案.
【详解】解：（1）因为 sin2 A - sin2 B - sin2 C = - 3 sin B sin C ，
所以 a2 - b2
p
- c2 3= - 3bc ，即 a2 = b2 c2 - 3bc ，所以 cos A = ，又 A 0,p ，所以 A = ；
2 6
a b c 1
= = = = 2
（2）因为 sin A sin B sin C 1 ，所以 b = 2sin B,c = 2sin C ，则b2 - c2 = 4sin2 B - 4sin2 C
2
= 4sin2
2
B - 4sin p 2 1 2 3 3 2 B ÷ = 4sin B - 4 cos B sin B cos B sin B6 4 2 4 ÷è ÷è
= sin2
p
B - cos2 B - 2 3 sin B cos B = -cos 2B - 3 sin 2B = -2sin 2B ÷，
è 6
因为 sin
2B
p
÷ -1,1 2 2，所以b - c -2,2 ．
è 6
【变式 1-1】
（24-25 高三下·安徽·开学考试）已知 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知
a - ccos2B = c 2bcosCcosB .
(1)求 B 的大小；
(2)若 a c = 6，b = 3a ，求 VABC 外接圆的半径；
(3)若点 M 在线段 AC 上， ∠ABM =∠CBM ， BM = 4 ，求 4a c 的最小值.
π
【答案】(1) B = (2)2(3)
3 12 3
【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换即可求解，
（2）由余弦定理可求解 a = 2, c = 4,b = 2 3 ，即可利用正弦定理求解，
（3 3 1 1）利用等面积法可得 = ，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.
4 a c
【详解】（1）由a - ccos2B = c 2bcosCcosB可得
a = c 1 cos 2B 2bcosC cos B = 2c cos2 B 2b cosC cos B = 2cos B c cos B b cosC ，
由正弦定理得 sin A = 2cos B(sin C cos B sin B cosC) = 2sin Acos B，
1 π
由于 sin A > 0 ,故 cos B = ，因为B 0, π ,故B = ，
2 3
2 2 2 2 2 12 2 2（ ）由余弦定理可得b = a c - 2ac cos B = a c - 2ac × = a c - ac，
2
由 a c 2= 6,b = 3a 得3a2 = a c - 3ac = 36 - 3a 6 - a ，解得 a = 2,所以 c = 4,b = 2 3 ，
b
所以VABC 的外接圆半径为 r = = 2，
2sin B
π
（3）因为 ABM = CBM , ABC = ，所以 ABM = CBM
π
= ，
3 6
1 π 1 π 1 π
又 S△ABC = S△BCM S△ABM ，故 ac sin = a ×4 ×sin c ×4 ×sin ，故 3ac = 4a 4c,
3 1 1
即 = ，2 3 2 6 2 6 4 a c
4 1 1
则 4a c = ÷ 4a c
4 5 c 4a 4 c 4a= ÷ = 5 2 ÷÷ =12 3 ，3 è a c 3 è a c 3 è a c
当且仅当 c = 2a = 4 3 时等号成立，故4a c的最小值为12 3 .
题型 06 最值与范围：分式比值型
【解题规律·提分快招】
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
【典例 1-1】
（2020·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
bsin2 C c sin2 B 3bc=
2 2 2 b c a .
m a b=
(1)求角 A 的大小；(2)若 c > a ，求 c 的取值范围.
π
【答案】(1) A = (2) 1,2
3
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化简已知式可得b2 c2 - a2 = bc ，进而求出 cos A的值，结合
A 0, π π，可求出 A = .
3
m 3 1= π C π
（2）由三角恒等变换的应用可求 C 2 ，由题意可求出 < < ，由正切函数的性质求解即可.2 tan 6 2 3
2
2 C 2 B b 1- cosC c 1- cos B【详解】（1）由bsin c sin = b c bcosC c cos B= -
2 2 2 2 2 2
a2 b2 - c2 a2 c2 - b2
b b c a b c - a
b c - a 3bc
c 2
= - 2a 2a = - = ，所以
=
2 2 b c a ，可得： b c - a
2 = 3bc ，
2 2 2 2 2
b2 c2 - a2 bc 1
即b2 c2 - a2 = bc ，由余弦定理可得： cos A = = = ，
2bc 2bc 2
又 A 0, π π，所以 A = .
3
3
sin 2π - C 3 3 1 3
（2）由
m sin A sin B
÷ cosC sinC (1 cosC)
= = 2 è 3 = 2 2 2 = 2
1
sin C sin C sinC sinC 2
3 cos2 C 1 3 cos
C
1 3 1
= 2C C =
2
C = C ，因为
c > a ，所以C
π
> ，又B C
2π
= ，
2sin cos 2 2sin 2 2 tan 2 3 3
2 2 2 2
π
< C 2π π C π< 3 C所以 ，所以 < < ，得 ，
3 3 6 2 3 < tan < 33 2
3 1 3 3 1< a b
所以 3 C
< 1,2
，所以 C 2 ，所以m = 1,2 .tan 2 tan c
2 2
m a b= 的取值范围为 1,2 .
c
【典例 1-2】
（22-23 高一下·新疆·阶段练习）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足
a cosC 3a sin C - b - c = 0．
(1)求角 A；
(2)若 a = 3，求VABC 周长的最大值；
bc - ab - ac
(3)求
a2
的取值范围．
π é 13 ù
【答案】(1) A = (2) 3 3 (3) ê- ,-13 12 ú
π
【分析】（1）根据正弦定理与 sin B = sin AcosC cos AsinC 得到 3 sin A - cos A =1，从而求出 A = ；3
（2）由余弦定理和基本不等式求出b c 2 3 ，从而得到周长的最大值；
bc - ab - ac 4 π π 1
（3 2）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到 2 = sin C
÷ - 2sin
C
a 3 6 6 ÷
- ，换元后，配方
è è 3
求出最值，得到取值范围.
【详解】（1） a cosC 3a sin C - b - c = 0，由正弦定理得，
sin AcosC 3 sin Asin C - sin B - sin C = 0，
因为 sin B = sin A C = sin AcosC cos Asin C ，
所以 sin AcosC 3 sin Asin C - sin AcosC - cos Asin C - sin C = 0，
即 3 sin Asin C - cos Asin C - sin C = 0，因为C 0, π ，所以 sinC 0，故 3 sin A - cos A =1，
所以 sin
A
π 1
- = A 0, π A π- π 5π π π π÷ ，因为 ，所以 - , ÷，故 A - = ，解得 A = ；
è 6 2 6 è 6 6 6 6 3
π 2 2
2 1 A = b c
2 - a2 b c - 2bc - a2
（ ）由（ ）知 ，又
3 a = 3
，由余弦定理得 cos A = = ，
2bc 2bc
1 b c 2 - 2bc - 3 22即 = ，所以 b c - 3 = 3bc b c ，由基本不等式可知bc
2 2bc
，
è 2 ÷
b c 2所以 - 3 3 b c 2 ，解得
4 b c 2 3
，当且仅当b = c = 3时，等号成立，
故VABC 的周长最大值为3 3；
3
π bc - ab - ac sin B sin C - sin Asin B - sin Asin C sin B sin C - sin B sin C
（3）由（1）知 A = ，则 2 = 2 =
2
3 a sin A 3
4
4
= sin B sin C 2 3- sin B sin C 4= sin π C sin C 2 3 é- sin π ù C sin C
3 3 3 3 ÷è 3 ê è 3
÷
ú
4 3 cosC 1
sin C 2 3
3 1
= 3 2 2 ÷÷
sin C - cosC sin C sin C ÷
2 3
3 2 2 ÷ = sin C cosC
2
sin2 C - cosC - 3 sin C
è è 3 3
3 1- cos 2C 2 cos 2C π 1 2sin C π = sin 2C - cosC - 3 sin C = - -
3 3 3
÷
è 3 3 6 ÷è
2 é π ù 1 π 4 π π 1 π
= - ê1- 2sin
2 C - 2sin ÷ú C
÷ = sin
2
C
÷ - 2sin
C - ，令 t = sin
C ，
3 è 6 3 6
è 3 è 6 è 6
÷ 3 ÷ è 6
C 0, 2π C π π因为 ÷ ，所以 ,
5π t sin C π 1= ù
3 ÷， ÷
,1ú ，è 6 è 6 6 è 6 è 2
bc - ab - ac 4 t 2 2t 1 4
2
= - - =
3 13 3 bc - ab - ac 13
则
a2 3 3 3
t - - ，故当 t = 时， 取得最小值，最小值为- ，
è 4 ÷ 12 4 a2 12
bc - ab - ac bc - ab - ac 13
当 t =1 é ù时， 2 取得最大值，最大值为-1，故 2 的取值范围是 ê- ,-1a a 12 ú
.
【变式 1-1】
（23-24 高一下·天津东丽·期末）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
c - 2b cos A a cosC = 0 .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a = 2，b c = 1 3 6 ，求VABC 的面积；
2 2
(3) 2b 3a若VABC 锐角三角形，且外接圆直径为 2 2 ，求 的取值范围.
2b
π 3 3
【答案】(1) ；(2) ；(3) é2 6,5 .
4 2
【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出 A 的大小；
（2）结合余弦定理求出 bc，从而可求面积；
3 a VABC B B b 2b
2 3a2
（ ）结合正弦定理求出 ，根据 是锐角三角形求出 的范围，利用正弦定理用 表示 ，将
2b
化为关于 sinB 的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围.
【详解】（1）由 c - 2b cosA acosC = 0 及正弦定理得： sinC - 2sinB cosA sinAcosC = 0，
因为 sinCcosA sinAcosC = sin A C = sin π - B = sinB，所以 sinB 1- 2cosA = 0，又0 < B < π ，
sinB > 0，
π
\cosA 2= ，又0 < A < π ，故 A = ；
2 4
π
（2）由余弦定理 a2 = b2 c2 - 2bccosA，又 a = 2, A = ，所以b2 c24 - 2bc = 4
，所以
(b c)2 - 2 2 bc = 4，
b c 1 1 2 3 3由 = 1 3 6 可得bc = 6 3 2 ，故VABC 的面积 S = bcsinA = 6 3 2 = ；
2 2 2 2
b
（3）由正弦定理可知 = 2 2 ，故
sinB b = 2 2sinB
，因为VABC 是锐角三角形，
ì
0 < B
π
<
2
0
π
< C < π π
2 < B < 2b
2 3a2 2 8sin2B 12 4sin2B 3 2
= = = 4sinB 3 所以 í ，所以 ，
π 4 2 2b 2 2 2sinB 2sinB 2
÷
è sinB
A =
4
A B C = π
3
令 sinB = t ， y = 4t 2，
t < t <1
，
2
2 3 3
由对勾函数的性质可知，当 < t < 时，y 单调递增；当 < t <1，y 单调递减；
2 2 2
3
当 t = 时， ymin = 4 3
2
；当 t = 时， y = 5 2 ；当 t =1时， y = 7 ；
2 2
2b2 3a2
因为5 2 > 7，所以 y é 4 3,5 2 ，故 é2 6,5 .2b
π π
【点睛】关键点点睛：本题第 3 小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到 < B < ，从而得解.
4 2
题型 07 最值与范围：无边转化型
【典例 1-1】
（22-23 高一下·天津·期中）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
cos2A cos2B - cos2C =1- 2sinAsinB .
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，求 sinA sinB sinC 的取值范围.
π 3 3 3 3 ù
【答案】(1) (2) ,6 è 2 2 2
ú
【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到 a2 b2 - c2 = ab，进而由余弦定理得到C 0, π ，求出
角C ；
π 3 π π
（2）由三角函数和差公式求出 sinA sinB sinC = 3sin A ÷ ，由 < A < , .
è 6 2 6 2
求出取值范围
【详解】（1）因为 cos2A cos2B - cos2C =1- 2sinAsinB ，
2 2
所以1- 2sin A 1- 2sin B - 1- 2sin2C =1- 2sinAsinB ，整理得 sin2 A sin2B - sin2C = sinAsinB，
2
2 2 2 cosC a b
2 - c2 1 π
由正弦定理得 a b - c = ab，由余弦定理得 = = ，因为C 0, π ，所以C = .
2ab 2 3
（2） sinA sinB sinC = sinA
2π
sin - A 3 sinA sin 2π cosA cos 2π ÷ = - sinA
3
è 3 2 3 3 2
3 3 3 3sin A π 3= sinA cosA = ÷ 2 2 2 è 6 2
ì
0 < A
π
<
π 2 π π
在VABC 中，因为C = ，三角形是锐角三角形， í ,2π π 所以
< A <
6 2 ，3 0 < - A <
3 2
π
所以 < A
π 2π
< 3，所以 < sin A
π 1 3 3 3sin A π 3 3 3 ÷ ，所以 < ，3 6 3 2 è 6 2 2 6 ÷è 2 2
3 3 3 3 ù
所以 sinA sinB sinC 的取值范围为 , .
è 2 2 2
ú
【典例 1-2】
（陕西省榆林市 2025 届高三上学期第二次模拟检测数学试题）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为
a，b ， c .已知 2sinCcosA = sinA 2sinB .
(1)求角C 的大小；
cosB
(2)求 的取值范围.
cosA
2π 1
【答案】(1) (2) , 23 ÷è 2
【分析】（1）解法 1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出
角C ；解法 2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角C ；
π π cos π - A
（2）由（1）得B = - A， A 0, ÷ ，则 cosB 3 ÷è ，化简后利用正切函数的性质可求得结果.3 è 3 =cosA cosA
【详解】（1）解法 1：在VABC 中，由 2sinCcosA = sinA 2sinB 及正弦定理得， 2c ×cosA = a 2b，
b2 c2 - a2
再由余弦定理，得 2c × = a 2b，则 c2 = a2 b2 ab，
2bc
1 2π
又因为 c2 = a2 b2 - 2abcosC ，所以 cosC = - ，因为C 0, π ，所以C = .
2 3
解法 2：因为 2sinCcosA = sinA 2sinB ，B = π - (A C)，所以 2sinCcosA = sinA 2sin[π - (A C)]，
所以 2sinCcosA = sinA 2sinAcosC 2cosAsinC ，所以 2cosC 1 sinA = 0，
2π
因为 sinA 0 ，所以 2cosC 1 = 0，所以 cosC
1
= - ，因为C 0, π ，所以C = .
2 3
C 2π B π
π
（2）因为 = ，所以 = - A， A 0, ，3 3 è 3 ÷
cos π - A 1
cosB 3 ÷ cosA
3
sinA
所以
= è = 2 2 1 3= tanA，
cosA cosA cosA 2 2
A 0, π 1 3 1 cosB 1 因为 ÷ ，所以 tanA 0, 3 ，所以 tanA , 2÷，所以 3 2 2 2 cosA , 2÷ .è è è 2
【变式 1-1】
24-25 · 2（ 高三上 山东青岛·期末）已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，b = c a c ．
(1)证明：B = 2C ；
2 sin A
(2)求 的最小值．
cosC sin B
【答案】(1)证明见解析；(2) 2 3 .
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证.
（2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在VABC 中，由b2 = c(a c)及余弦定理，得 ac c2 = b2 = a2 c2 - 2ac cos B ，
整理得 c = a - 2c cos B，由正弦定理得 sinC = sin A - 2sinC cos B，
则 sin C = sin(B C) - 2sin C cos B = sin B cosC - cos B sin C = sin(B - C)
于是C = B - C 或C B - C = π（不成立），所以B = 2C .
（2）由（1）知，B = 2C ， A = π - 3C ，
2 sin A 2 sin 3C 2 sin 2C cosC cos 2C sin C
则 = =
cosC sin B cosC sin 2C cosC 2sin C cosC
2 2sin C cos2 C (2cos2 C -1)sin C 2 4cos2 C -1 3
= = = 2cosC ，
cosC 2sin C cosC cosC 2cosC 2cosC
ì0 < 2C < π
由 í 0 < C
π 1
< < cosC <1
0 π 3C π ，得 ， ， < - < 3 2
2 sin A
因此 = 2cosC 3 2 2cosC 3× = 2 3 ，
cosC sin B 2cosC 2cosC
2cosC 3 3 2 sin A当且仅当 = ，即
2cosC cosC =
时取等号，所以 的最小值为 .
2 cosC sin B
2 3
题型 08 图形：中点与中线型
【解题规律·提分快招】
中线的处理方法
uuur 1 uuur uuur uuuur2AD 1= (AB AC) AM =
2 4
uuur2 uuur uuur uuur2
AB 2AB × AC AC
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
【典例 1-1】
（2024·天津河西·模拟预测）如图，在VABC 中，已知 AB = 2, AC = 5, BAC = 60° , BC, AC 边上的两条中线
AM，BN 相交于点 P ．
(1)求中线 AM 的长；
(2)求 MPN 的余弦值；
(3)求VABP面积．
【答案】(1) 39 (2) 4 91 (3) 5 3
2 91 6
【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解；
（2）转化为向量夹角余弦值可解；
（3）运用重心的性质，结合面积公式可解.
uuuur 1 uuur 1 uuur
【详解】（1）因为M 为 BC 的中点，\ AM = AB AC ，
2 2
uuuur2 1 uuur uuur 1 uuur2 uuur uuur uuur2 1 39
\ AM = (AB AC)2 = AB 2AB × AC AC = 4 25 2 2 5 cos 60° = ，4 4 4 4 \| AM | 39= .2
uuur 1 uuur uuur uuur2 1 uuur uuur
2 uuur uuur uuur uuur
（2）因为BN AC
2 2
= - AB \BN = AC - AB
1
÷ = AC - AC × AB AB
1
= 25 - 2 5 cos 60° 4 21= ,
2 è 2 4 4 4
uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
21 uuuur uuur AM × BN (AB AC) × AC - AB
\| BN |= ，\cos MPN = cos AM , BN = uuuur uuur = 2 2
÷
è 4 91
AM BN uuuur uuur
= .
2 AM BN 91
2 2
（3）QP为中线的交点，\P为VABC 重心，\| AP |= | AM |,| BP |= | BN |，
3 3
Q MPN (0, π)，\sin MPN = 1- cos2 MPN 75= ，
91
S 1\ VABC = | AP‖BP | sin MPN
5 3
= .
2 6
【典例 1-2】
（23-24 高一下·天津滨海新·期末）已知VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且b2 = a2 - c2 bc．
(1)求A ；
(2)若VABC 的面积是 3,c = 2b ，求 a；
uuur uuur uuur uuurAB
(3)若D为边 AC 上一点，且满足BA BD = l uuur uuur
BD ÷， a = 2 3 ，试求BD CD 的最大
è AB cosA BD cos CDB
÷
值．
【答案】(1) A
π
= ；(2)
3 a = 6
；(3)最大值为 4．
【分析】（1）用余弦定理即可求解；
（2）利用三角形面积公式即可求解；
（3）取 AD 的中点为E ，先证明BE ^ AC ，得到VABD 为等边三角形，再结合余弦定理和基本不等式求解
即可．
【详解】（1）由余弦定理可得 a2 = b2 c2 - 2bc cos A，
1 π
又Qb2 = a2 - c2 bc ，即 a2 = b2 c2 - bc，\cos A = ，Q A (0, π) ，\ A = ；2 3
2 QS 1 bcsin A 3（ ） = = bc = 3 ，\bc = 4，
2 4
又Qc = 2b ，\b = 2 ， c = 2 2 ，\a2 = b2 2uuur uuur uuur c - bc = 6，\a = 6 ；
（3）取 AD 的中点为E ，则BA BD = 2BE ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB × AC BD × AC uuur uuur (BA BD) × AC = 2BE × AC = l( uuur uuur ) = l(| AC | - | AC |) = 0 ，| AB | cos A | BD | cos CDB
π 2π
\ BE ^ AC ， BA = BD ，又 A = ，\VABD 为等边三角形，\ BDC =
3 3
，
在VBDC 中，由余弦定理可得BC 2 = BD2 CD2 - 2BD ×CD cos BDC ，
即 a2 = (BD CD)2 - BD ×CD = 12，
BD CD (BD CD)2
又由基本不等式可得BD ×CD ( )2 = ，
2 4
2
\ 3(BD CD) 12，当且仅当BD = CD时等号成立，
4
\BD CD 4 ，\BD CD的最大值为 4．
【变式 1-1】
（2024·天津河北·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知bcosC ccosB = 2acosA .
(1)求角A ；
1
(2)若 cosC = ，求 cos
C
A
3 ÷
的值；
è 2
(3)若 a = 2 7, D为 AC 的中点，且BD = 7 ，求VABC 的面积.
π 6 - 3
【答案】(1) A = (2) (3)
3 3 36
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.
（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.
（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.
【详解】（1）QbcosC ccosB = 2acosA，由正弦定理，得
sinBcosC sinCcosB = 2sinAcosA， sin B C = sinA = 2sinAcosA
Q A 0, π sinA 0 cosA 1 π， ，\ = ， A =
2 3
2 C 1 2 C 2 C π
（2）QcosC = 2cos -1 = ， cos = QC 0, π ， 0,
2 3 2 3 2 2 ÷
，
è
C 6
\cos = ,sin C 1 cos2 C 3= - =
2 3 2 2 3
cos C A cos C π cos C π C π\ = = cos - sin sin 6 1 3 3 6 - 3 ÷ ÷ = - =
è 2 è 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 6
2
c2 b 2 ÷ - BD
（3）△ABD 中，由余弦定理，得 cosA = è 2 1= ，\b2 4c2 - 2bc = 28，
2c b× 2
2
2 2 2
VABC cosA c b - a 1中，由余弦定理，得 = = ，\b2 c2 - bc = 28，
2c ×b 2
ìb2 4c2 - 2bc = 28
联立 í ，得3c2 = bc，b = 3c ，代入b2 4c22 2 - 2bc = 28，解得b = 6， c = 2
b c - bc = 28
\VABC S 1的面积 = bcsinA 1= 2 6 π 1 sin = 2 6 3 = 3 3 .
2 2 3 2 2
题型 09 图形：高
【解题规律·提分快招】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如 S 1 bc sin A 1 1= = BC AD = c2
2 2 2
2.三角函数法：
在 BCD中，BD = AB cos ABD, AD = AB sin ABD,
【典例 1-1】
（19-20 高一下·天津东丽·期末）VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a sin B 3bcos A = 0，
c = 4， a = 2 7 ．
(1)求 A、b；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求△ABD 的面积．
2π
【答案】(1) A = ，b = 2 (2) S3 VABD = 3
【分析】（1）利用正弦定理可求得 tan A的值，结合角 A 的取值范围可求得角 A 的值，利用余弦定理可得出
关于 b 的二次方程，可求得 b 的值；
（2）利用正弦定理求得 sin B 、 sin ADB以及 BD 的长，再利用三角形的面积公式可求得△ABD 的面积．
【详解】（1）∵ a sin B 3bcos A = 0，由正弦定理得 sin Asin B 3 cos Asin B = 0，
∵ B 0, π ，则 sin B > 0，故 sin A 3cos A = 0，可得 tan A = - 3 ，∵ A 0, π A 2π，则 = 3 ，
由余弦定理可得 28 = a2 = b2 c2 - 2bc cos A = b2 16 4b，整理得b2 4b -12 = 0，∵ b > 0，因此，b = 2 ；
（2）如下图所示：
b a c bsin 2π
由正弦定理可得 = = ，可得 21 ，
sin B sin BAC sin C sin B = 3 =a 14
c sin 2π 2π
sin C 21= 3 = ，∵ BAC = ，故 C 为锐角，则3 cosC = 1- sin
2 C 2 7= ，
a 7 7
2π π π
∵ AD ^ AC π 2 7，则 sin ADB = sin C ÷ = cosC = ，在△ABD 中， BAD = - = ，
è 2 7 3 2 6
AB BD 4sin
π
= 6
由正弦定理 sin ADB π ，可得BD = = 7sin 2 7 ，
6
7
1 1 21
因此， S△ABD = AB × BD sin B = 4 7 = 3．2 2 14
【典例 1-2】
（22-23 高一下·天津和平·期中）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA 3cosA = 0 ，
c = 4， a = 2 7 .
(1)求 A，b；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求△ABD 的面积.
A 2π【答案】(1) = 3 ，b = 2 ；(2) 3 .
2π
【分析】（1）由辅助角公式化简已知式可求出 A = ，再由余弦定理即可求出b 的值；
3
1 1
（2）由余弦定理可求出 cosC ，在RtVADC 中，可求出CD，所以CD = BC ，可得 S
2 VABD
= SVABC ，求出VABC2
的面积即可求出△ABD 的面积.
1 3 π
【详解】（1）VABC 中， sinA 3cosA = 0 ，所以 sin A cos A = 0 ，即 sin A ÷ = 0，
2 2 è 3
因为 A 0, π π π 4π p 2π，所以 A , ÷，所以 A = p ，解得 A =3 ，3 è 3 3 3
又因为 a = 2 7 ， c = 4，由余弦定理可得 a2 = b2 c2 - 2bc cos A，
28 b2 16 8b 1即 = -
- ÷，即b2 4b -12 = 0，解得b = -6（舍去）或b = 2 ，所以b = 2 ；
è 2
（2）因为 c2 = b2 a2 - 2ab cosC ，所以16 = 28 4 - 2 2 7 2 cosC ，
所以 cosC
2
= AC
7 ，因为
AD ^ AC ，所以在RtVADC 中，解得CD = = 7 ，
cosC
1
因为 a = 2 7 ，所以CD = BC ，2
1
因为 S△ABC = AB × AC ×sin BAC
1 3
= 4 2 = 2 3，
2 2 2
1
所以△ABD 的面积为 S△ABD = S2 △ABC
= 3 .
【变式 1-1】
（17-18 高三上·河北石家庄·阶段练习）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sinA 3cosA = 0 ，
a = 2 7，b = 2．
(1)求 c；
(2)设D为BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求△ABD 的面积．
【答案】(1) c = 4 (2) 3
2p
【分析】（1）先由 sinA 3cosA = 0 求得 A = ，再由余弦定理求得 c即可；3
2 2 7（ ）先由余弦定理求得 cosC = ，再求出 AD ，最后由面积公式求解即可.
7
2p
【详解】（1）因为 sinA 3cosA = 0 ，所以 tan A = - 3, A (0,p ) ，所以 A = ．在VABC 中，由余弦定理3
得 28 = 4 c2 - 4c cos
2p
，
3
即 c2 2c - 24 = 0，解得 c = -6（舍去）， c = 4．
（2）
2 2 2
因为 b = 2, a = 2 7,c = 4 a b - c 2 7，由余弦定理得 cosC = = ，又 AD ^ AC ，即VACD是直角三角形，
2ab 7
所以 AC = DC cosC ，
2p 2p p p
则DC = 7, AD = CD2 - AC2 = 3 ，又 A = ，则 DAB = - = ，所以△ABD 的面积为3 3 2 6
S 1= AB × AD ×sin p = 3 ．
2 6
题型 10 图形：角平分线型
【解题规律·提分快招】
三角形角平分线的处理方法：
S△ABC = S△ACD S△ABD
AB AC
=
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： BD CD
【典例 1-1】
（23-24 高一下·天津静海·阶段练习）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
a tan A a tan B 3c= - ．
cos B
(1)求A 的大小；
(2)已知 a = 2 7 ，b = 2 ，设D为BC 边上一点，且 AD 为角A 的平分线，求△ABD 的面积．
2π 4 3
【答案】(1) A = (2)
3 3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得 tan A，由此可得A ；
（2）利用余弦定理可求得 c，利用面积桥可构造方程求得 AD ，由此可得 SVABD .
【详解】（1）由正弦定理得： sin A tan A sin A tan B = sin A tan A tan B 3 sin C= - ，
cos B
sin A sin A sin B sin A sin Acos B cos Asin B
sin Asin A B
\ = × = sin Asin C 3 sin C ÷ = = - ，
è cos A cos B cos Acos B cos Acos B cos Acos B cos B
QC 0, π sin A 2π，\sin C 0，\ = tan A = - 3 ，又 A 0, π ，\ A = .
cos A 3
（2）由余弦定理得： a2 = b2 c2 - 2bc cos A = 4 c2 2c = 28，解得： c = -6（舍）或 c = 4，
Qcos A 1= - ，\sin A 3 1 1 3= ，2 \SVABC = bc sin A = 2 4 = 2 3
；
2 2 2 2
QS△ABC = S△ABD S△ACD ，
1
\ b × AD sin A 1 c × AD sin A 1 A= b c × AD sin = 3AD sin π = 2 3 ，
2 2 2 2 2 2 3
4
\ AD = ，
3 \S
1
VABD = c × AD sin
A 1
= 4 4 3 4 3 = .
2 2 2 3 2 3
【典例 1-2】
π
（2024 高二上·贵州·学业考试）VABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 A = ， a = 2 3 .3
π
(1)若C = ，则 c = ________；
2
(2)若 B
π
= ，则VABC 的面积为________6 ；
(3)已知A 的角平分线 AD 交BC 于D，求 AD 的最大值.
【答案】(1)4(2) 2 3 (3)3
【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可；（2）结合面积公式求解即可；
（3）由余弦定理得出bc , b c 的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于 AD 的方程，化简后
再换元求最值即可.
π c a 2 3= = = 4
【详解】（1）因为C = ，所以 csin A = a ，即
2 sin A
.
sin π
3
（2）当 B
π
= 时，C
π 1
=
6 ，由（
1）知 c = 4，所以b = c sin B = 4 = 2 ，
2 2
S 1 1所以 △ ABC = ab = 2 2 3 = 2 3 .2 2
（3）由余弦定理可得 a2 = b2 c2 - 2bc cos A = b2 c2 - bc ,
即12 bc = b2 c2 2bc，可得bc 12，当且仅当b = c = 2 3 时等号成立，
2 1 bc sin A 1 c AD sin π 1 b AD sin π所以 b c = 3bc 12，由面积公式可得 = × × × × ，2 2 6 2 6
2 3 bc
2 3 bcAD
2
1
3bc = 2 = =即 3bc = AD × b c ，所以 AD = ，所以 b c 3bc 12 1 4 ，b c bc bc 2
令 t
1 1
= AD2 1= 1 1，则 2 ，所以当 t = 时， y = 4t
2 t 有最小值 ， AD2 有最大值912 ，bc 12 t 4t 9
即三角形为正三角形时， AD 有最大值 3.
【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于 AD 的表达式，再平方后运用余弦定理
得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大.
【变式 1-1】
（23-24 高一下·贵州遵义·期末）已知在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
cos p - A - sin B
sin C ÷
= è 2
a b a - c
(1)求角 B；
(2)若点 D 在 AC 上，BD为 ABC 的角平分线，BD = 2 3 ，求 2a c的最小值．
π
【答案】(1) B = (2)
3 6 4 2
【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案；
1 1 1
（2）根据面积法得 = ，再利用乘“1”法即可得到最小值.
a c 2
sin C sin A - sin B c = a-b【详解】（1）因为 = ，所以由正弦定理可得 ，即 2 2 2 ，
a b a - c a +b a-c a c - b = ac
2 2 2 1 π
又因为 cos B a c - b= ，则 cos B = ，因为 B (0, π) ，所以B = .
2ac 2 3
S S = S 1 AB BD sin π 1 BC BD sin π 1 π（2）因为 VABD VCBD VABC 所以 = AB BC sin ，2 6 2 6 2 3
1 1 1
因为BD = 2 3 ，所以 c BD a BD = 3ac ，所以 2 (c a) = ac，即 = ，a c 2
所以 2a c = (2a c)
2 2 6 2c 4a ÷ = 6 4 2 ，
è a c a c
当且仅当 a = 2 2,c = 2 2 2 时，2a c取得最小值6 4 2 .
题型 11 图形：双三角行定比分点型
【解题规律·提分快招】
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手：
1. 双三角形余弦定理：
（1） ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos
（2） ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π- ）
2.向量法：
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
AD =（1- t） AB t AC AD =（1- t）2 AB t2 AC 2t（1- t）AB AC cos A
【典例 1-1】
（22-23 高一下·天津滨海新·期末）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinA = sinB sin C - B .
(1)求角C 的值；
(2)若 a > b，且VABC 3的面积 S = c2 .
6
（i）求证： c = 3b ；
uur 1 uuur uuur uuur uuur
（ii）已知点E 在 AB 上，且满足CA CB = lCE ，延长CE到D，使得 ，连接 AD, BD ，求
2 CD = 2CE
cos ADB .
π 7
【答案】(1) C = (2)（i）证明见解析；（ii）
3 14
【分析】（1）利用 sinA = sin B C 将 sinA = sinB sin C - B ，化为 2sinBcosC = sinB，即可求角C 的值；
2 i 1 3 3
2
（ ）（）由三角形面积公式得， ab = c2 ab = c2，化为 ，结合余弦定理可得结论；（ii）由（i）
2 2 6 3
得 CAB
π
= ，判断CE为C 的角平分线，设 AE =1，求得BE = 2，再根据余弦定理得答案.
2
【详解】（1）在VABC 中，∵ A B C = π，∴ sinA = sin B C ∴ sin B C = sinB sin C - B ，
sinBcosC+cosBsinC = sinB+sinCcosB - sinBcosC ，∴ 2sinBcosC = sinB，∵ B 0, π ,sinB 0，
1 π
∴ cosC = ，∵ C 0, π ，∴ C = .
2 3
1 1 2
（2）（i）由三角形面积公式 S = absinC 得，
2 ab
3 3
= c2 2，∴ ab = c ，
2 2 6 3
3 2 2
由余弦定理 c2 = a2 b2 - 2abcosC 得， ab = a b - ab，∴ 2a - b a - 2b = 0，
2
∵ a > b，∴ a = 2b，∴ c = 3b ；
π uuur 1 uuur
（ii）由（i）得，b2 c2 = 4b2 = a2 ，∴ CAB = ，取BC 的中点G ，所以CG = CB，2 2
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur
则CA CB = CA CG = lCE, 设CA CG = CH ，则 H 再 CE 上，因为 a = 2b，所以 CA = CG ，2
平行四边形 ACGH 是菱形，∴ CH 即CE为C 的角平分线，
π
设 AE =1，∵ CE为角C 的平分线，∴ ACE = ∴在RtVACE 中，
6 CE = 2, AC = 3
，
uuur uuur π
∵ CD = 2CE ，∴ DE = 2，在Rt△ABC 中， ACB = ，3 AC = 3
∴ AB = 3
π
∵ AE =1，∴ BE = 2，又∵ AEC = ，∴VBDE为等边三角形，∴ BD = 2 .
3
π
在△ABD 中， AB = 3, BD = 2, ABD = ，由余弦定理得，
3
AD2 = AB2 BD2 1- 2AB × BD ×cos ABD = 9 4 - 2 3 2 = 7 ∴
2 AD = 7
，
AD2 BD2 - AB2 7 4 - 9 7 7
根据余弦定理得，cos ADB = = = ，∴ cos ADB = .
2AD × BD 2 7 2 14 14
【典例 1-2】
（2024·天津滨海新·二模）已知 a，b，c 分别为VABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 2b = c 2a cosC .
(1)求 A；
(2)若 cos B 3= ，求 sin 2B - A 的值；
3
b 2a
(3)若 = ，点 D 在边 AB 上， AD = 2DB ，
cos B 3 CD = 13
.求VABC 的面积.
π 2 2 3
【答案】(1) A = (2) (3) 9 3
3 6 2
【分析】(1)根据正弦定理求解即可；
(2)利用二倍角公式求解即可；
(3)利用向量数量积运算求出 b，利用面积公式即可求解；
【详解】（1）由 2b = c 2a cosC ，得 2sin B = sin C 2sin AcosC ,
又因为 sin B = sin A C = sin AcosC sin C cos A，
所以 2sin C cos A = sin C,0 < C < π
1 π
， sin C > 0 2cos A =1，即 cos A = A = .
2 3
2 cos B 3 6（ ）若 = ，则 sin B = 1- cos2 B = ，则 cos 2B 2cos2 B 1 1= - = - ,sin 2B = 2sin B cos B 2 2= ,
3 3 3 3
sin 2B π 1 3 1 2 2 3- A = sin 2B - = sin 2B - cos 2B = - 1 2 2 3则 3 ÷ 2 2 2 3 2 - ÷ = ;è è 3 6
b 2a
（3）由 = 3b = 2a cos B 3sin B = 2sin Acos B，所以
cos B 3 tan B
2 3 3 π
= = B = ，
3 2 3 6
A π C π由（1）知 = ，所以 = ，所以在直角三角形 ABC 中，
3 2 a = 3b
，
uuur 1 uuur 2 uuur
如图 因为 AD = 2DB ，所以CD = CA CB ,
3 3
uuur2
CD 1
uur2 4 uur2 1 2 uur uur
平方得 = CA CB 2 CA
1 4
×CB 13 = b2 a2，则
9 9 3 3 9 9
13 1 4= b2 3b2 b2 = 9 b = 3, a = 3 3 ABC S 1 ab 9 3，所以直角三角形 的面积 .9 9 = =2 2
【变式 1-1】
B C
（2024·全国·模拟预测）已知在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 csin = asinC .
2
(1)求A ；
(2)若 a = 3，D为BC 边上一点， AD = 2， 2DB = DC ，求VABC 的面积.
p 3
【答案】(1) (2) 3
3 2
【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式求解即可.
uuur uuur
（2）在VABC
uuur
中根据余弦定理列方程，再把 AD 用 AB 和 AC 表示，两边平方列方程，解方程组求出边长即
可求出三角形的面积.
B C
【详解】（1）因为 c sin = a sin C ，
2
B C
由正弦定理得 sin C sin = sin Asin C ，
2
B C
因为C 为三角形的内角， sinC 0，所以 sin = sin A，
2
又B C = p - A，
所以 sin
B C
= sin p - A = sin(p A- ) A A= cos ，因此 cos = sin A 2sin
A cos A= ，
2 2 2 2 2 2 2 2
A p A A 1 A p p p
因为0 < < ， cos 0，所以 sin = ，即 = , A = ，故A2 2 的值为 .2 2 2 2 6 3 3
p
（2）由（1）知 A = a = 33 ，且 ，在△ ABC 中，由余弦定理得 a
2 = b2 c2 - 2bc cos BAC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即b2
1 1 2 1
c2 - bc = 9 ①由于 2DB = DC ，所以 AD = AB BC = AB (AC - AB) = AB AC ，3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
| AD |2 4= | AB |2 4 | AB || AC | cos BAC 1∠ | AC |2平方得 ，即
9 9 9 b
2 4c2 2bc = 36 ②
1 1 3 3
由①②得：b = 2 3,c = 3 ，所以△ ABC 的面积为 bc sin A = 2 3 3 = 3 ，
2 2 2 2
3
即所求面积为 3 .2
题型 12 图形：四边形
【解题规律·提分快招】
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这
个隐形条件
【典例 1-1】
（22-23 高三上·天津南开·阶段练习）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
2a c cos A C C b = 2bcos2 .
2
(1)求 B ；
7p
(2)如图，若D为VABC 外一点，且 BCD = ， AB ^ AD ， AB =1，
12 AD = 3
，求 sin BDC .并求BC .
B 2π【答案】(1) = (2) sin BDC 6 - 23 =
，BC = 4 - 2 3
4
【分析】（1）根据条件，运用倍角公式和差公式正弦定理化简即可；
（2）连接BD，先求出 ABD ，再求出 BDC ，利用两角差的正弦公式求出 sin BDC ，运用正弦定理求
出 BC 即可.
【详解】（1）解：由 2a c cos A C b = 2bcos2 C ，得 2a c cos π - B = b 2cos2 C -1
2
，
è 2 ÷
即- 2a c cos B = bcosC ，由正弦定理得- 2sin A sin C cos B = sin B cosC ，
整理得-2sin Acos B = sin C cos B sin B cosC ，∴ -2sin Acos B = sin B C = sin A，又 A 0, π ，
∴ sin A > 0，∴ cos B
1 2π
= - ；又B 0, π ，∴ B = ；
2 3
（2）解： 连接BD，因为 AD ^ AB， AB =1， AD = 3 ，
所以BD = AB2 + AD2 = 12 + 23 = 2， tan ABD AD= = 3 ，AB
所以 ABD
π π
= ，所以 CBD = ABC - ABD = ．
3 3
又 BCD
7π
= ，所以 BDC = π
π
- BCD - CBD = ，
12 12
sin BDC sin π sin π π sin π cos π所以 = = - = - cos
π sin π 6 - 2= ，
12 è 3 4 ÷ 3 4 3 4 4
BD BC 2 BC=
在△BCD 中，由正弦定理可得 = ，即 7π π ，
sin BCD sin BDC sin sin12 12
2sin π 2sin
π π- π π π π
BC = 12 = è 3 4
÷ 2sin cos - 2cos sin
3 4 3 4
所以 7π = = 4 - 2 3sin sin π π sin
π cos π
.
÷ cos
π sin π
12 è 3 4 3 4 3 4
【典例 1-2】
（24-25 高三上·山西吕梁·期末）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
ccosB - bcosC = 2bcosAcosB,B为锐角．
(1)求证： sin C - B = sin2BcosA；
(2)求 B ；
π
(3)若 BAC = , AB = 4，四边形 ABDC 内接于圆O，求△ABD 面积的最大值．
2
π
【答案】(1)证明见解析(2) B = (3)
4 4 4 2
【分析】（1）由正弦定理边化角即可求证；
（2）由（1）结合内角和可得 sin 2B A = sin2BcosA，进而可求解；
2 2
（3）法一：由余弦定理cos BDA BD AD -16 2= = 结合基本不等式求得 BD × AD最大值即可求解；法
2BD × AD 2
二：在四边形 ABDC 的外接圆内考虑， D是圆O上动点，所以△ABD 面积取最大值时高最大，即D点到 AB
距离最大，进而可求解；
a b c
【详解】（1）因为 ccosB - bcosC = 2bcosAcosB，由正弦定理 = = ，
sinA sinB sinC
得 sinCcosB - sinBcosC = 2sinBcosAcosB ，所以 sin C - B = sin2BcosA．
（2）因为 sin C - B = sin2BcosA，所以 sin p - B - A - B = sin2BcosA，
即 sin 2B A = sin2BcosA所以cos2BsinA = 0，由 A 0, π 得 sinA > 0，
所以cos2B = 0,2B 0,2π π 3π π，所以 2B = 或 2B = ，因为 B 为锐角，所以B = ．
2 2 4
π π π π
（3）法一：在△ABD 中， BAC = , B = , BCA = 所以 BDA = ，
2 4 4 4
2 2
由cos BDA BD AD -16 2= = ，得BD2 AD2 -16 = 2BD × AD 2BD × AD -16，
2BD × AD 2
BD AD 16所以 × = 8 2 2 ，（等号当BD = AD = 2 4 2 2 时取得）．2 - 2
1
所以△ABD 面积为 BD × AD × sin π 1 ×8 2 2 2× = 4 4 2 ，即所求最大值为 4 4 2 ．2 4 2 2
π
法二：在四边形 ABDC 的外接圆内考虑，因为 BAC =
2
则Rt△ABC 的外接圆直径为BC = 2AB = 4 2 ，
D是圆O上动点，所以△ABD 面积取最大值时高最大，即D点到 AB 距离最大，
此时最大距离为圆心O到 AB 距离加半径 2，
AC
在直角三角形 ABC 中可知，圆心O到 AB 距离为 = 2，所以高的最大值为
2 2 2 2
，
1
所以△ABD 面积的最大值为 AB h
1
× max = 4 2 2 2 = 4 4 2 ．2 2
【变式 1-1】
（2021·全国·模拟预测）已知平面四边形 ABCD中， A C =180°，BC = 3 .
(1)若 AB = 6， AD = 3，CD = 4，求BD；
(2)若 ABC =120o ，VABC 9 3的面积为 ，求四边形 ABCD周长的最大值.
2
【答案】(1) 33 (2) 9+6 7
【分析】（1）根据题意得到 cos A cosC = 0 ，再利用余弦定理求解即可.
（2）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理得到 AC = 3 7 ，再利用基本不等式求解最值即可.
1 △ABD cos A 3
2 62 - BD2
【详解】（ ）在 中，由余弦定理得 = .
2 3 6
2
△BCD 3 4
2 - BD2
在 中，由余弦定理得 cosC = .因为 A C =180o ，所以 cos A cosC = 0 ，
2 3 4
32 62 - BD2 32 42 - BD2
即 = 0，得
2 3 6 2 3 4 BD = 33
.
（2）由题意 A C =180°可知 ABC ADC = 180°，由 ABC =120o ，BC = 3，则 ADC = 60°，
S 1则 △ABC = 3 AB
3 9 3
= ，得 AB = 6 .
2 2 2
VABC AC = 62 32 - 2 6 3 1 - 在 中，由余弦定理得 ÷ = 3 7 .
è 2
令 AD = x ，CD = y，在△ADC 中，
2
由余弦定理得 3 7 = x2 y2 - 2xy cos 60o ，即 x2 y2 - xy = 63 .
2
所以 x y 2 x y= 63 3xy 63 3 ，
4
(x y)2
即 63， x y 6 7 ，当且仅当 x = y = 3 7 时取等号.
4
所以四边形 ABCD 周长的最大值为9 6 7 ..
题型 13 三角函数中的压轴题
【典例 1-1】
（24-25 2k 2k *高一上·天津·期末）设函数 f x = sin x cos x，k N .
π π
(1)求证: f x ÷ = f - x ;
è 4 ÷ è 4
(2)分别求 k = 2和 k = 3时函数 f x 的最小值；
(3)猜想函数 f x 的最小值并证明.
n N* n 2 an - bn参考公式：当 且 时， = a - b an-1 an-2b L abn-2 bn-1 .
1 1 1
【答案】(1)证明见解析(2)当 k = 2时， f x =min ；当 k = 3时， f x = f x =2 min (3) 4 min ，证明见解析2k -1
1 f (π x) f (π【分析】（ ）根据诱导公式将 、 - x)4 4 分别化简，即可证明；
（2）根据三角恒等变换的化简和同角的三角函数关系计算即可求解；
（3）根据（2）进行猜想.令 t = sin2 x ，则 h(t) = t k (1- k)k , t [0,1]，利用定义法，结合题意给的公式讨论函数 h(t)
1
的单调性，求得 f (x)min = k -1 即可.2
【详解】（1） f (
π
x) = sin2k (π x) cos2k (π x) = cos2k (π - x) sin2k (π - x) *
4 4 4 4 4 ， k N .
f (π - x) = sin2k (π - x) cos2k (π x) * π π-
4 4 4 ， k N .所以 f ( x) = f ( - x) .4 4
（2）当 k = 2时， f (x) = sin4 x cos4 x = (sin2 x cos2 x)2 - 2sin2 x cos2 x 1=1- sin2 (2x)2 ，
1 1
又 sin2 (2x) [0,1]，所以 f x =1- 1 =min ；2 2
当 k = 3时， f (x) = sin6 x cos6 x = (sin2 x cos2 x)(sin4 x - sin2 x cos2 x cos4 x)
= sin4 x - sin2 x cos2 x cos4 x =1- 3sin2 x cos2 x =1 3- sin2 (2x)，又 sin2 (2x) [0,1] f (x)
3 1
4 ，所以 min
=1- = .
4 4
（3
1
）猜想：当 k N* 时， f (x)min = k -1 .证明：令 t = sin2 x ，则 h(t) = t k (1- k)k , t [0,1]2 ，
1 1
显然 h(t) = h(1- t)，即函数 h(t)图象关于直线 t = 对称，令 0 t
2 1
< t2 2 ，
则 h(t1) - h(t ) = t
k (1- t )k - t k2 1 1 2 (1- t )
k
2 = (t
k
1 - t
k
2 ) [((1- t )
k
1 ) - ((1- t2 )
k )]
= t - t t k -1 t k -2t L t t k -2 t k -1 é 1- t - 1- t ù é 1- t k -1 1- t k -2 1- t L 1- t k -1 ù1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2
= (t - t )[t k -11 2 1 - (1- t
k -1 k -2 k -2
1) t1 t2 - (1- t1) (1- t2 ) L (1- t )(1- t )
k -2
1 2 t
k -1
2 - (1- t )
k -1
2 ]，
由 0 t
1
1 < t2 ，得 t1 <1- t1, t2 1- t2 2 ，
所以对任意 i N*(i < k)，都有 t i1 < (1- t1)i , t k -1-i (1- t )k -1-i2 2 ，
所以 t it k -1-i < (1- t )i (1- t )k -1-i1 2 1 2 ，
得 t k -11 - (1- t
k -1 k -2 k -2
1) t1 t2 - (1- t1) (1- t2 ) L (1- t1)(1- t )
k -2 t k -1 - (1- t )k -12 2 2 < 0 ，
1 1
则 h(t1) - h(t2 ) > 0，即函数 h t 在[0, ]上单调递减，函数 h t 在[ ,1]上单调递增，2 2
所以 h(t)
1 1 1 *
min = h( ) =2 2k -1
，即 f (x)min = 2k -1 ， k N ，
2 1 π nπ
当且仅当 sin x = 即 x = , n N*时，取到最小值，
2 4 2
所以 f (x)
1 *
min = 2k -1 ， k N .
【点睛】关键点点睛：解决本题第（3）问的关键是利用定义法和题意给的公式进行化简计算，得到
h(t ) - h(t ) = (t - t )[t k -1 - (1- t )k -1 t k -2t - (1- t )k -21 2 1 2 1 1 1 2 1 (1- t2 ) L (1- t1)(1- t )
k -2 t k -1 k -12 2 - (1- t2 ) ] ，判断
t k -1 - (1- t k -1 k -2 k -21 1) t1 t2 - (1- t1) (1- t2 ) L (1- t1)(1- t )
k -2
2 t
k -1
2 - (1- t )
k -1
2 < 0 也是本题的关键.
【典例 1-2】
24-25 高一上·天津南开·期末）已知函数 f (x) = 3sin(wx j ) 2sin2
wx j
2 ÷
-1（w > 0，0 < j < π）为奇
è
π
函数，且 f (x) 图象的相邻两对称轴间的距离为 .
2
(1)求 f (x) 的解析式及单调递减区间；
(2)将函数 f (x)
π 1
的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 2 （纵坐标不变），得到函数
y = g(x)
6
é π
的图象，当 x ê- ,
π ù
ú 时，求函数 g(x)的值域. 12 6
g(x) 4 x é π , 4πg(x) = ù(3)对于第（2）问中的函数 ，记方程 在
3 ê ú
上的根从小到大依次为：x
6 3 1
， x2 , × × ×, xn，试
确定 n 的值，并求 x1 2x2 2x3 L 2xn-1 xn 的值.
é π 3π ù
【答案】(1) f x = 2sin 2x ，单调递减区间为 êkπ ,kπ ú , k Z
20π
(2) (3)
4 4
[-2, 3]
3
【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数 f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，
从而得到函数解析式以及单调区间；
（2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数 g(x)的解析式，进而求得函数的值域；
（3）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和.
【详解】（1）由题意，函数 f (x)= 3 sin(wx j) 2sin2
wx j ÷ -1
è 2
= 3 sin(wx j) - cos(wx j) = 2sin(wx j π - )，
6
因为函数 f x π图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以T = π ，可得w = 2，
2
π p
又由函数 f x 为奇函数，可得 f 0 = 2sin(j - ) = 0，所以j - = kπ,k Z，
6 6
因为0 < j < π
π
，所以j = ，所以函数 f x = 2sin 2x .
6
2kπ π 3π π 3π令 2x 2kπ ,k Z，解得 kπ x kπ ,k Z，
2 2 4 4
é π 3π ù
所以 f (x) 单调递减区间为 êkπ , kπ ú , k Z . 4 4
π π
（2）将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，可得 y = 2sin(2x - )3 的图象，6
1 π
再把横坐标缩小为原来的 2 ，得到函数
y = g(x) = 2sin(4x - ) 的图象，
3
π π π 2π π
当 x [- , ]时， 4x - [- , ]，
12 6 3 3 3
当 4x
π π
- = - 时，函数 g(x)取得最小值，最小值为-2，
3 2
π π
当 4x - = 时，函数 g(x)取得最大值，最大值为
3 3 3
，
故函数 g(x)的值域[-2, 3] .
4
（3）由方程 g(x) = ，即 2sin(4x
π
- ) 4= ，即 sin(4x
π
- ) 2= ，
3 3 3 3 3
x [π , 4π因为 ]
π π π π 2
，可得 4x - [ ,5π]，设 = 4x - ，其中 [ ,5π]，即 sin = ，
6 3 3 3 3 3 3
结合正弦函数 y = sin 的图象，如图所示：
2 π
可得方程 sin = 在区间[ ,5π]有 5 个解，即 n = 5，
3 3
其中 1 2 = 3π, 2 3 = 5π, 3 4 = 7π, 4 5 = 9π，
即 4x
π
1 - 4x
π π π π π π π
2 - = 3π,4x2 - 4x3 - = 5π,4x3 - 4x - = 7π ， 4x3 3 3 3 3 4 3 4
- 4x5 - = 9π ，3 3
11π 17π 23π 29π
解得 x1 x2 = , x2 x3 = , x3 x4 = , x4 x = ，12 12 12 5 12
x 2x 20π所以 1 2 2x3 L 2x4 x5 = (x1 x2 ) (x2 x3) (x3 x4 ) (x4 x5 ) = .3
【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于结合图像以及对称性可得
1 2 = 3π, 2 3 = 5π, 3 4 = 7π, 4 5 = 9π，进而分析求解【变式 1-1】
【变式 1-2】
r ur
（21-22 高一下·北京·期末）已知向量 p = a,b ,qr r r= sinx, cosx ；定义函数 f x = p × q ，称向量 p = a,b 为
f x r的特征向量， f x 为 p 的特征函数．
g x = 2sin π - x sin 3 (1)设 π - x ÷，求 g x 的特征向量；
è 2
r
(2)设向量 p = 3,1 的特征函数为 f x 6 x π , πf x = - ，求当 且5 ÷时， sinx的值；è 6 3
r 1 3 1
(3)设向量 p = - , ÷
2
÷ 的特征函数为 f x ，记 h x = f x - ，若 h x 在区间 a,b 上至少有 40 个零点，
è 2 2 4
求b - a的最小值．
ur 58π
【答案】(1) p = 2,-1 (2) 3 3 - 4 (3)
10 3
【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；
（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，再结合两角差的正弦公式即可得解；
（3）根据三角函数恒等变化求出函数 h x 的解析式，不妨设为 a其中的一个零点，再根据三角函数的性质
即可得出答案. ur
【详解】（1）由已知得 g x = 2sin x - cos x ，所以 g x 的特征向量 p = 2,-1 ；
pr（2）因为向量 = 3,1 的特征函数为 f x ，所以 f x = 3 sin x cos x = 2sin π x ÷，
è 6
f π 3 π πx 6= sin x = x - , cos x π 2 π 4由 得 ，又
5 6 ÷ 5 ÷
所以
è è 6 3
÷ = 1- sin x ÷ = ，
è 6 è 6 5
sin x sin é x π π ù 3 3 4 1 3 3 - 4所以 = ê ÷ - ú = - = ；
è 6 6 5 2 5 2 10
r 1 3
（3）因为 p = - , ÷÷ ，所以 f x
1
= - sin x 3 cos x = cos x
π
÷，
è 2 2 2 2 è 6
2 1
则 h x = f x - = cos2 x π 1 1 cos 2x π 1 π 1 ÷ - = ÷ ，令 h x = 0 ，则 cos 2x = - ，4 è 6 4 2 è 3 ÷ 4 è 3 2
则 2x
π 2π 4π π π
= 2kπ 或 2kπ,k Z ，则 x = kπ 或 kπ,k Z，由 h x 在区间 a,b 上至少有 40 个零
3 3 3 6 2
π π π π π π π 58π
点，不妨取 a = ，则b 19T - = 19T ，则 a - b 19T = 19π = ，6 6 è 2 6 ÷ 2 3 3 3
58π
所以b - a的最小值为 .
3
【变式 1-3】
（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该
问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利
给出了解答，当VABC 的三个内角均小于120°时，使得 AOB = BOC = COA =120°的点O即为费马点；
当VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
(1)若 c sin C - a sin A = (c - b)sin B，
①求A ； uuur uuur uuur uuur uuur uuur
②若bc = 2，设点 P 为VABC 的费马点，求PA × PB PB × PC PC × PA；
(2)若 cos2B cos2C - cos2A =1，设点 P 为VABC 的费马点， PB PC = t PA ，求实数 t的最小值．
π
【答案】(1)① A = ；② -1(2)
3 2 2 3
.
【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量
积运算求得正确答案；
APB BPC CPA 2π（2）由（1）结论可得 = = = ，设 | PB |= m | PA | , | PC |= n | PA |,| PA |= x，推出
3
m n = t ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m n 2 = mn，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）①由正弦定理得 c2 - a2 = (c - b)b，即b2 c2 - a2 = bc ，
b2 c2 - a2
所以 cos A bc 1= = = ，又 A 0, π π，所以 A = ；
2bc 2bc 2 3
A π②由① = ，所以三角形 ABC 的三个角都小于120°，
3
则由uu费ur 马点u定uur义可知uu：ur APB = BPC = APC =120°，
设 PA = x, PB = y, PC = z ，由 SVAPB SVBPC SVAPC = SVABC 得：
1 xy 3 1 yz 3 1× × xz 3 1× = 2 3 ，整理得 xy yz xz = 2，
2 2 2 2 2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1
则PA × PB PB × PC PA × PC = xy × - ÷ yz
1
× - xz 1× - 1 ÷ ÷ = - 2 = -1；
è 2 è 2 è 2 2
（2）因为 cos2B cos2C - cos2A =1，
所以 cos é B C B - C ù cos é B C - B - C ù = cos2A 1，
所以 2cos B C cos B - C = 2cos2 A，即-2cos Acos B - C = 2cos2 A，
所以 cos A = 0或-cos B - C = cos A，
A π当 cos A = 0时， = ，VABC 为直角三角形，当-cos B - C = cos A，
2
则-cos B cosC - sin B sin C = -cos B C = -cos B cosC sin B sin C ，得 sin B sin C = 0，在三角形中不可能成
π 2π
立，所以VABC 为 A = 的直角三角形，因为点 P 为VABC 的费马点，则 APB = BPC = CPA = ，
2 3
设 | PB |= m | PA | , | PC |= n | PA |,| PA |= x,m > 0,n > 0, x > 0，
则由 PB PC = t PA 得m n = t ；
2 2
由余弦定理得 | AB | = x m2x2 - 2mx2 cos
2π
=
3 m
2 m 1 x2 ，
| AC |2 = x2 n2x2 2nx2 cos 2π - = n2 n 1 x2 ，3
| BC |2 = m2x2 n2x2 - 2mnx2 cos 2π = m2 n2 mn x2 ，3
故由 | AC |2 | AB |2 =| BC |2得 n2 n 1 x2 m2 m 1 x2 = m2 n2 mn x2 ，
m n
即m n 2 = mn 2，而m > 0,n > 0，故m n 2 = mn ( ) ，
2
当且仅当m = n ，结合m n 2 = mn，解得m = n =1 3 时，等号成立，
又m n = t ，即有 t 2 - 4t -8 0，解得 t 2 2 3或 t 2 - 2 3（舍去），
故实数 t的最小值为2 2 3 .
【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二
问的关键在于设 | PB |= m | PA | , | PC |= n | PA |,| PA |= x，推出m n = t ，结合费马点含义，利用余弦定理推出
m n 2 = mn，然后利用基本不等式即可求解.
冲高考
1．（2025·吉林·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2 A - sin Asin B = cos2 B - cos2 C .
(1)若 c = 3, a b = 6 ，求VABC 的面积 S；
(2)若角 C 的平分线与 AB 的交点为D,CD 2= ，求 a b 的最小值.
2
3 2 6
【答案】(1) (2)
4 3
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把 a,b,c,sin2 A - sin Asin B = cos2 B - cos2 C 化成
π
sin2 A sin2 B - sin2 C = sin Asin B，根据正弦定理可得 a2 b2 - c2 = ab，在根据余弦定理，可得角C = ，3
1
再结合余弦定理，表示出 c2 ，可得 ab的值，进而利用 SVABC = absin C 可求VABC 面积.2
（2）根据 S△ABC = S
π
△ACD S△BCD ，结合 ACD = BCD =
6
可得： ab = (a b)，再结合基本不等式，可求6 6
a b 的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
【详解】（1）由 sin A - sin Asin B = cos B - cos C = 1- sin B - 1- sin C = sin C - sin B，
得 sin2 A sin2 B - sin2 C = sin Asin B .
2 2 2 . cosC a
2 b2 - c2 ab 1 π
由正弦定理得 a b - c = ab 所以 = = = ，因为C (0, π) ，所以C = .
2ab 2ab 2 3
在VABC 中， c = 3, a b = 6 ，由余弦定理 c2 = a2 b2 - ab = (a b)2 - 3ab ，
得 ( 3)2 = ( 6)2 - 3ab ab =1 . S 1 π 1 3 3 3，解得 所以 = absin = 1 = .即VABC 的面积 S 为 .
2 3 2 2 4 4
π π
（2）因为CD为角 C 平分线，C = ，所以 ACD = BCD = .
3 6
在VABC 中， S△ABC = S△ACD S△BCD ，
1 absin π 1所以 = a ×CD ×sin
π 1
b ×CD ×sin π ，
2 3 2 6 2 6
CD 2 3 2 2 2 6由 = ，得 ab = a b = (a b)，所以 ab = (a b) .
2 4 8 8 8 6
2
因为 a > 0,b > 0
a b 6 a b
，所以由基本不等式 ab ，得 (a b) ÷ ，2 6 è 2
2 6 6 2 6
所以 a b ，当且仅当 a = b = 时取等号.所以 a b 的最小值为 .
3 3 3
2．（2025·陕西·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a cos B - bcos A = a - c ．
(1)求 B；
a
(2) BD 21若 D 为 AC 的中点，且 = ，求 ．
AC 6 c
π a
(1) B = (2) = 2 1【答案】 3 或c 2
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边角转化，再结合三角恒等变换运算求解；
2 2
1 2 2
（ ）利用向量整理可得BD = a c ac ，利用余弦定理可得 AC 2 = a2 c2 - ac ，结合题意运算求解即4
可.
【详解】（1）因为 a cos B - bcos A = a - c ，所以由正弦定理得 sin Acos B - cos Asin B = sin A - sin C ，
又因为 sin C = sin A C = sin Acos B cos Asin B，化简得 2sin Acos B = sin A，
因为 A 0, π ，则 sin A > 0，可得 cos B 1= ，且B 0, π B π，所以 = ．
2 3
uuur uur uuur
（2）因为 D 为 AC 的中点，则 2BD = BA BC ，
uuur 2 uur2 uuur2 uur uuur
可得 4 BD = BA BC 2BA × BC cos B = c2 a2 2ac cos
π 2 1 2 2
，所以BD = a c ac ．3 4
π 1BD 21 a2 22 2 2
由余弦定理可得 AC = a c - 2ac cos = a2 c2 - ac 2 c ac，因为 = ，则 BD 73 AC 6 = 4 = ，AC 2 a2 c2 - ac 12
2
a a a 1
整理得 2a2 2c2 - 5ac = 0，即 2 ÷ - 5 × 2 = 0，解得 = 2或 ．
è c c c 2
ctanB
3．（2025·四川·二模）记锐角VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinB = .
1 tanB
(1)求 sinA的值.
(2)若b = 2 ，求 a边上的高的取值范围.
(1) 2【答案】 (2) 1, 2
2
π
【分析】（1）先应用切化弦，再应用正弦定理结合两角和差公式得出 A = ，最后计算求值；
4
π π
（2）先根据三角形是锐角三角形得出 < C < ，结合面积公式及三角函数的值域计算即可.
4 2
【详解】（1）因为 asinB
ctanB
= ，所以 asinB asinBtanB = ctanB，
1 tanB
所以 asinB asinB
sinB
= c sinB ，又因为 sinB > 0，所以 acosB asinB = c，
cosB cosB
应用正弦定理得 sinAcosB sinAsinB = sinC = sin A B ，
所以 sinAcosB sinAsinB = sinAcosB cosAsinB ，因为 sinB > 0，所以 sinA = cosA，
所以 tanA =1, A 0, π π，所以 A = ,sinA 2= .
4 2
π π π 2
（2）因为C 是锐角VABC 的内角，又因为 A = ，所以得出 < C < ，所以 sinC ,12 ÷
，
4 4 2 ֏
1 1 bc
2
a c sinC sinC设 边上的高为 h ， S = bcsinA = ah， h = 2 = = = = 2sinC 1, 2 .
2 2 a a sinA 2
2
4．（2024·江西·模拟预测）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 a = 5，
sin C = 2sin Acos B .
(1)若 c = 6，求 cos B的值；
(2)若 A > C，求 c cos
C
的取值范围.
2
3 5 3
【答案】(1) cos B = (2) 0,5 2 ÷
÷
è
【分析】（1）根据三角函数恒等变换，以及余弦定理，即可求解；
（2）根据（1）的结果，以及二倍角公式，转化为关于 c的函数，利用换元，以及二次函数
