专题 10 向量三大定理与四心
目录
题型 01 基础思维：等分点型 ............................................................................................................................................1
题型 02 基础思维：起点不一致型 ....................................................................................................................................4
题型 03 三大定理：极化恒等式 ........................................................................................................................................6
题型 04 三大定理：奔驰定理 ............................................................................................................................................8
题型 05 等和线：基础思维 ..............................................................................................................................................12
题型 06 等和线：圆代换型 ..............................................................................................................................................15
题型 07 等和线：均值构造型 ..........................................................................................................................................18
题型 08 等和线：二次及高次构造型 ............................................................................................................................21
题型 09 等和线：差型 ......................................................................................................................................................23
题型 10 向量四心：内心 ..................................................................................................................................................26
题型 11 向量四心： ..........................................................................................................................................................28
题型 12 向量四心：垂心 ...................................................................................................................................................32
题型 13 向量四心：重心 ..................................................................................................................................................34
题型 01 基础思维：等分点型
【解题规律·提分快招】 uuur uuur
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线 l上三点 P1、P2、P ，且满足 PP1 = lP2P ( l -1)，在直线 l外任
uuur uuur r uuur r r r
取一点O，设OP r1 = a ，OP = b OP
a + lb 1 r l
2 ，可得 = = a + b .1+ l 1+ l 1+ l
重要结论：若直线 l上三点 P1、P2、 P ，O为直线 l外任一点，uuur uuur uuur
则OP = lOP
uuur 1
+ mOP l + m =1 .
uuur uu2ur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
证明：OP = OP1 + P1P = OP1 - lP2P = OP2 + P2P ，则OP - OPuuur uuur uuur uuur 1 r 2
= lP2P + P2P = (1+ l)P2P，
uuur uuur uuur uuur r r
则OP = OP2 + P2P = OP
OP1 - OP2 OP1 + lOP2 a + lb 1 ar l2 + = = = + b .1+ l 1+ l 1+ l 1+ l 1+ l
【典例 1-1】
uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur
（24-25 高三上·天津·阶段练习）在VABC 中， AN = NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB + AC ，
4 11
则实数m 的值为（ ）
1 3 5 7
A． B． C． D．
11 11 11 11
【答案】A
【分析】利用三点共线的充要条件建立方程，然后求出m 的值．
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】Q AN = NC ，\ AP 2 2 10= mAB + AC = mAB + 5AN = mAB + AN
4 11 11 11
，
Q N 10， P ， B 三点共线，\m + = 1 m 1，\ = A11 11 ，故选： ．
【典例 1-2】
uuur uuur
（22-23 高三·天津南开·如图， A, B
2
是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点， AN = AB ，点M 为线
uuuur 3
段 AC 中点，则DM =（ ）
1 uuur uuur uuur uuur
A． DC
1 DN 1 DC 2+ B． + DN
3 2 2 3
1 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur
C． DC + DN D． DC + DN
2 3 3 2
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性表示可得.
1
【详解】因 A, B是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知 AB = CD ，
2
uuur 2 uuur 2 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由题设 NA = BA = DC = DC ，CA = CD + DN + NA = -DC + DN
1
+ DC 2= - DC + DN ，
3 3 2 3 3 3
uuuur uuur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 2 uuur uuur uuur uuur
由题意DM = DC + CM
2 1
= DC + CA = DC + - DC + DN
÷ = DC + DN ，2 2 è 3 3 2
故选：D
【变式 1-1】
（23-24 高三·江苏苏州·模拟）在平行四uu边ur 形 ABCuuDur中，r E ，uuFur分别在边 AD ，CD上， AE = 3ED ，
DF = FC r， AF 与 BE 相交于点G ，记BC = a ，BA = b ，则 AG = （ ）
3 r 6 r 3 r 6 r 6 r 3 r r
A． a - b B．- a + b C． a b
6 ar 3- D．- + b
11 11 11 11 11 11 11 11
【答案】C
uuur uuur 6
【分析】法 1：设 AG = l AF ，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得l = ，进而可得结果；11
uuur uuur uur
法 2：建系，设 AG = xBC + yBA，结合向量的坐标运算分析求解；法 3：做辅助线，根据几何知识分析可
AG 3
知 = ，进而可得结果.
AH 11
uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】法 1：因为 AF AD DC AD AB
uuur uuur 1 4l 1
= + = + ，设
2 2 AG = l AF
，则 AG = l AD + l AB = AE + l AB，
2 3 2
4l 1 6 uuur 6 uuur
因为 B ，G ，E 三点共线，则 + l =1，解得l = ，即 AG = AF
3 2 11 11
，所以
uuur 6 uuur 3 uuur 6 uuur 3 uuur rAG = AD + AB = BC - BA 6= ar 3- b ；法 2：坐标法（特殊化平行四边形建系）
11 11 11 11 11 11
不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设C 4,0 ，
ì y 2 = x
A 0,2 ，则E 3,2 ，F 4,1 BE : y 2 1 3所以直线 = x，直线 AF : y = - x + 2，联立方程 í 1 ，解得3 4 y = - x + 2
4
G 24 16 , ，
è 11 11 ÷
uuur 24 6 uuur uuur
可得 AG = ,- ÷ ，BA = 0,2 ，BC = 4,0 ，设
è 11 11
uuur uuur uuur
AG xBC yBA 4x,0 0,2y 4x, 2y 24 6= + = + = = ,- ÷ ，
è 11 11
ì 4x 24= ì 6 x = 11 11 uuur 6 uuur 3 uuur 6 r 3 r
则 í 6 ，解得 í ，所以
AG = BC - BA = a - b ；
2y -3= - y = 11 11 11 11
11 11
法 3：如图，延长 AF ，BC ，交于点H ， 因为F 为CD中点，所以
AF = FH ，
VAGE VHGB AG AE 3 AG 3 3
uuur uuur
又 ∽ ，则 = = ，可得 = = AG
6
，可知 = AF ，所以
GH BH 8 AH 3+ 8 11 11
uuur 6 uuurAG AD 3
uuur
AB 6
uuur 3 uuur 6 r 3 r
= + = BC - BA = a - b ；故选：C.
11 11 11 11 11 11
【变式 1-2】 uuur uuur uuur
（23-24 高三·天津·模拟）如图，在平行四边形 ABCD中，E 是BC 的中点， AE = 3AF ，则DF = （ ）
1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
A．- AB + AD B． AB - AD
3 3 3 3
1 uuur 5 uuur 1 uuur 3 uuur
C． AB - AD D AB - AD3 6 ． 3 4
【答案】C
【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则求即可.
uuur uuur 1 uuur uuur uuur
【详解】因为 E 是BC 的中点，所以 AE = AB + AD,又 AE = 3AF ,
2
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AF = AE = AB + AD
1= AB 1+ AD,所以DF = DA + AF
1
= AB 5- AD.故选:C.
3 3 2 ֏ 3 6 3 6
【变式 1-3】
（23-24 高三·陕西咸阳· A A A , A , A , A ,L, Auuu阶ur 段练uu习uu）uur如图 Or 所示， 为线段 0 2025 外一点，若 0 1 2 3 2025中任意相邻r uuur uuur uuuur uuuuuur
两点间的距离相等，OA r0 = a,OA2025 = b ，则用 a
r,b 表示OA0 + OA1 + OA2 +L+ OA2025 ，其结果为（ ）
r r r r
A． 2025(ar + b) B 2026(ar． + b) C．1012(ar + b) D．1013(ar + b)
【答案】D
【分析】利用三角形中线的向量表示uuu计ur 算uu即uu可uur. uuur uuur uuuuuur uuur uuuuuuuur
【详解】设 A0 A2025 的中点为 A，则OA0 + OA2025 = 2OA = OA1 + OA2024 = OAi + OA2025-i i 0,2025 ，
uuuur uuur uuuur uuuuuur uuur r
所以OA0 + OA
2025 +1 r
1 + OA2 +L+ OA2025 = 2OA =10132 a + b .选：D
题型 02 基础思维：起点不一致型
【解题规律·提分快招】
向量共线定理和向量基本定理 r r
①r 向量r 共线定理(两个向量之间的关系)：向量b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数l ，使得
b = la .
变uuu形r 形式：已uu知ur 直线uulu上r 三点A 、 B 、 P ，O为直线 l外任一点，有且只有一个实数l ，使得：
OP = (1- l) ×OA + l ×OB . r r
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“ a 0 ”，否则l 可能不存在，也
可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当
两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这
两条直线不重合.
②u平r 面u向ur 量基本定理(平面内三个向量之间关系)： r
若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数l1、l ，r ur uur 2
使 a = l1e1 + l2 e2 . ur uur
特别提醒：不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的r 不唯一性：只要两个向量不共ur 线，uur 就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意
向量 a都可被这个平面的一组基底 e1 、 e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
【典例 1-1】
uuur uuur
（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形 ABCD中， AC 与BD相交于点O，EB = 3DE ，若
uuur uuur uuur l
AO = l AE + m BC l, m R ，则 =m （ ）
1
A．- B 1．-2 C． 2 D． 22
【答案】B
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【分析】由EB = 3DE ，得到E 为OD 的中点，化简得到 AE = AO + BC ，得到2 2 AO = 2AE - BC
，结合
uuur uuur uuur
AO = l AE + m BC ，求得l, m 的值，即可求解.
【详解】因为平行四边形 ABCD中， AC 与BD相交于点O，可得O为BD的中点，
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
由EB = 3DE ，可得E 为OD 的中点，所以 AE = AO + AD = AO + BC ，可得 AO = 2AE - BC ，2 2 2 2
uuur uuur uuur l
又由 AO = l AE + m BC ，所以l = 2, m = -1，所以 = -2m .故选：B．
【典例 1-2】
（2023 高三·全国·专题练习）在uuu平r 行四边uu形ur ABCD 中uu，ur AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是线段 OD 的中点，AE
的延长线与 CD 交于点 F，若 AC ＝a，BD＝b，且 AF ＝λa＋μb，则 λ＋μ 等于（ ）
3 2
A 1 B C D 1． ． ． ．
4 3 2
【答案】A
【详解】如图，作 ＝ ，延长 CD 与 AG 相交于 G，因为 C，F，G 三点共线，所以 λ＋μ＝1.故选 A.
【变式 1-1】
（15-16 高三·广东·模拟uu）ur在平行u四uur边形r ABCuDuur中，AC与BD 交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长
CD F C ar线与 交于点 ．若A = ，BD = b ，则AF =
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：∵由题意可得 ，∴ ，再由 可得 ，∴
．作 平行 交 于点 ，∴ ，∴ ．∵
，∴ ．故选
D．
【变式 1-2】 uuur uuur uuur uuur uuur
（23-24 高三·山东烟台·阶段练习）在平行四边形 ABCD中，已知 AE = 2EB ，BF = 2FC ，则 AB =（ ）
9 uuurAF 6
uuur
DE 6
uuur uuur
A． + B． AF
9
+ DE
13 13 13 13
6 uuurAF 9
uuur
DE 9
uuur 6 uuur
C． - D． AF - DE
13 13 13 13
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由已知条件，可由 AB ， AD 做基底表示 AF ，DE ,再反解出 AB 即可.
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur r uuur r
【详解】因为 AE = 2EB ，BF = 2FC ，所以 AE = AB, BF = BC = AD ，设 AB = a, AD = b ，3 3 3
uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 r r uuur uuur uuur uuur 2 uuur r
所以DE = AE - AD = AB - AD = a - b ① AF = AB + BF = AB AD
r 2
+ = a + b ②
3 3 3 3
2 uuurDE 4 ar 2
r 13 r uuur uuur uuur uuur uuur
由①知 = - b ③，由②+③得 a = AF
2 DE ar 9 6+ ，即 = AB = AF + DE 故选：A.
3 9 3 9 3 13 13
【变式 1-3】
π
（2023·山东·模拟预测）已知等腰直角三角形 ABC 中， A = ，M ， N 分别是边 AB ，BC 的中点，若
uuur uuur uuuur 2
BC = s AN + tCM ，其中 s， t为实数，则 s + t = （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析运算.
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
【详解】由题意可得：BC = AC - AB, AN = AB + AC,CM = AM - AC = AB - AC ，
2 2 2
uuur uuur uuuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 1 uuur 1 uuur
若BC = s AN + tCM ，则 AC - AB = s AB + AC ÷ + t AB - AC
= s + t AB + s - t AC ，
è 2 2 2 ÷ 2 2 ÷ ÷ è è è 2
1 s 1可得 + t = -1，故 s + t = -2 .故选：D.
2 2
题型 03 三大定理：极化恒等式
【解题规律·提分快招】
r r 1 r r uur r2
设 a，b 是平面内的两个向量，则有 a ×b = é(a + b) - (a - b)
2
ù4 uuur uuur r
①几何解释 1（平行四边形模型）以 AB ， AD 为一组邻边构造平行四边形 ABCD， AB r= a，AD = b ，则
uuur r r uuur r r r r 1 r r r r uuur uuurAC 2 2= a + b，BD = b - a ，由 a ×b = é (a + b) - (a - b) ù ，得 AB × AD
1
= AC 2 - BD24 4 ．
1
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”．
4
②几何解释 2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设 M 为对角线的交点，则由
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB 1× AD = AC 2 - BD2 变形为 AB AD 1× = AC 2 - BD2 1= 4AM 2 - 4BM 2 ，得 2 2，4 4 4 AB × AD = AM - BM
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
【典例 1-1】
（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
1 uuur 2 uuur 2
线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， a ×b = AD - BC ，我们称为极化恒等式. 已知在
uuur uuur4
VABC 中，M 是BC 中点， AM = 3，BC =10，则 AB × AC =（ ）
A．-16 B．16 C．-8 D．8
【答案】A
uuuur 1 uuur
【分析】可以把三角形补形为平行四边形， AM = AD ,利用已知条件求解即可.
2
【详解】由题设，VABC 可以补形为平行四边形 ABDC ，
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
由已知得 AM = 3, BC =10, AB AC
1
× = 4 AM |2 - BC |2 1= 36 -100 = -16．4 4
故选：A．
【典例 1-2】 uuur uuur uuur
（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知eC 的半径为 2， AB = 2 ，则 AB × AC =（ ）
A．1 B．-2 C．2 D． 2 3
【答案】C
【分析】判断VABC 形状可得 CAB ，然后根据数量积定义直接求解即可.
π uuur uuur
【详解】由题知，VABC 为正三角形，所以 CAB = ，所以 AB·AC
π
= 2 2cos = 2 .故选：C
3 3
【变式 1-1】
（2020·全国·模拟预测）如图，已uu知uv 圆uuuvO的半径为 2， AB 是圆O的一条直径，EF 是圆O的一条弦，且
EF = 2，点 P 在线段EF 上，则PA × PB 的最小值是（ ）
A．1 B．-2 C．-3 D．-1
【答案】D
uuur uuur uuur 2
【分析】连接OP ，利用平面向量的运算法则得到PA × PB = PO - 4，连接OE,OF ，在VOEF 中，当OP ^ EF
时，OP 最小，求出OP 的值即可得到结果.
【详解】连接OP ，
2 2 uuur2 uuur2
PA + PB - PA - PB由题可知， 4PO - 4BO uuur2 uuur2 uuur 2PA × PB = = = PO - BO = PO - 4 ，
4 4
连接OE,OF ，在VOEF 中，当OP ^ EF 时，OP 最小，由于OE = OF = EF = 2，
uuuv uuuv
所以OP 的最小值为 4 -1 = 3，因此PA × PB 的最小值为-1，故选：D．
【变式 1-2】
uuuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur
（2023·广东深圳·模拟预测）若等边VABC 的边长为 2，平面内一点M 满足CM = CB + CA3 3 ，则MA × MB =
（ ）
8 13 8 13
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.
uuur uuur uuuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】MA = CA - CM = CA - CB + CA÷ = CA - CB = BA，
è 3 3 3 3 3
uuur uuur uuuur uuur 1 uuur 2 uuur uuurMB CB CM CB CB CA 2 CB 2
uuur 2 uuur
= - = - + ÷ = - CA = AB ，
è 3 3 3 3 3
uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur2
\MA × MB = BA × AB = - AB 2 8= - 22 = - .故选：C.
3 3 9 9 9
【变式 1-3】
（19-20 高三下·四川乐山·阶段练习）伟大的法国数学家笛卡尔 Descartes1596～1650 创立了直角坐标系.他
用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系
又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题
的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形 ABCD中， AB//CD ，
BAD＝90 ， BCD＝60 ，E 是线段 AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若 AB = 2 ，
uuur uuur
AD = 3 ，则EB × EF = （ ）
7 11 7 11
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】A
【分析】过 B 作BM ^ DC 于M ，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可.
【详解】过 B 作BM ^ DC 于M ，故 AB = DM = 2，因为BM = AD = 3 ， BCD = 60 ，
3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故CM =1，则DF = EB × EF = (EA + AB) × (ED + DF ) = EA × ED + AB × DF
2
1
= 3 2 3 ( 3 7 -1) + 2 = 故选:A.
3 3 2 3
【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，
题型 04 三大定理：奔驰定理
【解题规律·提分快招】uuur uuur uuur r
P 为DABC 内一点， a PA + b PB + c PC = 0，则 SDPBC：SDPAC：SDPAB = a：b：c .
SDPBC a S= DPAC b S c重要结论： ， = DPABS ，
=
DABC a + b + c SDABC a + b + c SDABC a + b + c
.
结论 1：对于DABC 内的任意一点 P ， 若DPBC 、DPCAuuur uuur uuur 、DPAB的面积分别为
SA、 Sr B
、 SC ，则：
SA × PA + SB × PB + SC × PC = 0 .
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论 2：对于DABC 平面内u的uur任意一点uuPur，若点uPuu在r DrABC 的外部，并且在 BAC 的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有-SDPBC × PA + SDPAC × PB + SPuAB
× PC = 0 .
uur uuur uuur r
结论 3：对于DABC 内的任意一点 P ， 若l1 PA + l2 PB + l3 PC = 0 ，则DPBC 、DPCA、DPAB的面积之比为
l1：l2：l3 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角uu形ur 面积uu之ur比等u于uur权系r 数之比.
结论 4：对于DABC 所在平面内不在三角形边上的任一点 P ，l1 PA + l2 PB + l3 PC = 0 ，则DPBC 、DPCA、
DPAB的面积分别为 l1 ：l2 ：l3 .
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之
比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
uuur uuur uuur r
mOA+sOB+tOC = 0
S
（1） DABO t= ；（2）S ：S : S = t：s：m
S m+s+t DABO DACO DCBODABC
【典例 1-1】
（23-24 高三·上海浦东新·模拟）O是平面上一定点，A ， B ，C 平面上不共线的三个点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP AB AC= OA + l uuur + uuur ÷ ，l R ，则 P 的轨迹一定通过VABC 的（
÷ ）
è AB cos ABC AC cos BCA
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向
量垂直即可.
【详解】如图所示，过u点uurA 作uuurAD ^ BC ，垂足为D点．uuur uuuruuur
BC· uuur AB
BC AB cos π - B uuur uuur uuur
则 = uuur = - BC ，同理BC· uuur
AC
= BC ，
AB cos ABC AB cos ABC AC cos ACD
uuur uuur uuur uuur
Q OP OA l uuur AB uuur AC
动点 P 满足 = + + ÷ ，l R ．
è AB cosABC AC cos BCA
÷
uuur uuur uuur
\ AP AB= l uuur + uuur AC ÷，l R ．\
è AB cos ABC AC cos ACD
÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuurAP·BC = l uuurBC·AB + uuurBC·AC ÷ = l - BC + BC = 0 ，\ ÷ AP ^ BC，因此 P 的轨迹一定通过
è AB cos ABC AC cos ACD
VABC 的垂心．故选：D．
【典例 1-2】
（2018·河北衡水·模拟预测）已知O是平面上的一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur uuur
OP OB + OC AB AC
= + l uuur + uuur ÷，l (0，+ ) ，则动点 P 的轨迹一定通过VABC 的（ ）2
è AB cos B AC cosC
÷
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】B
uuur uuur uuur
DP AB uuur
uuur uuur
【分析】设BC 的中点为D， = l uuur + uuur
AC ÷两端同时点乘BC ，由 ÷ DP × BC = 0 可得答案.
è AB cosB AC cosC
uuur uuur uuur uuur uuurOB + OC AB AC
【详解】设BC 的中点为D，因为OP = + l uuur + uuur ÷，
2
è AB cosB AC cosC
÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP OD AB uuur所以 = + l uuur + uuur
AC ÷ DP l uuurAB uuurAC即 = + ÷，两端同时点乘
BC
，
è AB cosB AC cosC
÷
è AB cosB AC cosC
÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AB × BC AB × BC cos p - B AC × BC cosC uuur uuur
所以DP × BC = l uuur + u
AuuCr × BC ÷ = l uuur + uuur ÷ = l - BC + BC = 0，
è AB cosB AC cosC
÷
è AB cosB AC cosC
÷
所以DP ^ BC ，所以点 P 在BC 的垂直平分线上，即 P 经过VABC 的外心.故选：B.
【变式 1-1】
（14-15 高三·全国·课后作业）已知O是平面上一定点，A ﹑ B ﹑C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP OA l AB AC= + uuur +
÷
uuur ÷，l 0, + ，则点 P 的轨迹一定通过VABC 的
AB sin B AC sin C ÷
è
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C uuur uuur uuur uuur
【分析】将 AB sin B = AC sin C 提取出来, 转化成lt AB + AC ,
uuur uuur而lt AB AC uuur+ 表示与 AD 共线的向量, 点D是BC 的中点, 故 P 的轨迹一定通过三角形的重心.
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
【详解】 Q AB sin B = AC sin C 设 AB sin B = AC sin C = \OP = OA + l × AB + ACt t
uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur\OP - OA = l × AB + AC \ AP = l × AB + AC 而 AB + AC = 2AD l × AB + AC 表示与 AD 共线的向量
uuur t t t
AP 而点D是BC 的中点, 所以 P 的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C
【变式 1-2】
（24-25 高三下·湖南长沙·开学考试）已知点 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点
uuur uuur uuur uuur
P 满足OP OA
A
= + l uu
Bur uAuC+ ur ÷ l 0, + ，则点 P 的轨迹一定通过VABC 的（ ）
è∣AB∣∣AC∣
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B uuur uuur uuur uuur
A
【分析】根据 uu
Bur uAuCur AB AC+ 是以A 为始点，向量 uuur 与 uuur 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知 P 点
| AB | | AC | | AB | | AC |
轨迹，据此可求解. uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur AB AC AB AC uuuur
uuur
uuur uuur uuur uuur uuuur AB【详解】QOP - OA = AP，\ AP = l( + ) ,令 + = AM ，则 AM 是以A 为始点，向量 uuur| AB | | AC | | AB | | AC | | AB |
uuur
AC uuuur uuur uuuur uuur uuuur
与 uuur 为邻边的菱形的对角线上的向量，即 AM 在 BAC 的平分线上，Q AP = l AM ，\ AP, AM 共线，| AC |
故点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B
【变式 1-3】
（20-21 高三·重庆·模拟u）uur奔驰定uu理ur ：已知uuurO是r VABC 内的一点，若VBOC 、△AOC 、VAOB 的面积分别记
为 S1、 S2、 S3 ，则 S1 ×OA + S2 ×OB + S3 ×OC = 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理
对uuur应的u图uur形与“奔驰”轿车的
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uuur r 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是VABC 的垂心，且
OA + 2OB + 4OC = 0 ，则 cos B = ( )
2 1 2A 3． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
【分析】由 O 是垂心，可得 tanA ×OA + tanB ×OB + tanC ×OC = 0，结合OA + 2OB + 4OC = 0 可得
tanA : tanB : tanC =1: 2 : 4，根据三角形内角和为 π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵ O是VABC 的垂心，延长CO交 AB 与点 P ，
∴ S1 : S
1 1
2 = ×OC × BP
: ÷ ×OC × AP ÷ = BP : AP = OPtan POB : OP tan AOP
è 2 è 2
= tan BOC : tan AOC = tan p - A : tan p - B = tanA : tanB ，同理可得 S1 : S3 = tanA : tanC ，∴ S ：uuur uuur uuur r 1uuur uuur uuur
S2 : S3 = tanA : tanB : tanC
r
，又 S1 ×OA + S2 ×OB + S ×OC = 0，∴uuur uuur uuur r 3 tanA ×OA + tanB ×OB + tanC ×OC = 0
，
又OA + 2 ×OB + 4 ×OC = 0，∴ tanA : tanB : tanC =1: 2 : 4，不妨设 tanA = k，tanB = 2k，tanC = 4k ，其中 k 0，
∵ tanA = tan é p - B + C ù = -tan B + C
tanB + tanC 2k + 4k
= - 7 7，∴ k = - ，解得 k = 或 k = - ，
1- tanBtanC 1- 2k ×4k 8 8
7
当 k = - 时，此时 tanA < 0，tanB < 0，tanC < 0，则 A、B、C 都是钝角，则 A + B + C > p ，矛盾.
8
ì sinB 14
k 7 tanB 2 7 7 14
=
故 = ，则 = = = > 0，∴ B 是锐角， sinB > 0，cosB > 0，于是 ícosB 2 ，解得
8 8 2 2 sin2 B + cos
2B =1
cosB 2= .故选：A.
3
题型 05 等和线：基础思维
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur
形如OP = lOA + mOB(l, m R) ，求l + m 值或者范围，其中可以理解对应系数如l + m = 1gl +1gm ，称之为
“和”系数为 1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
【典例 1-1】
（18-19 高三下·上海普陀·开学考试）在平面四边形 ABCD中，已知DABC 的面积是DACD的面积的 3 倍，若
uuuv 1 uuuv 1 uuuv
存在正实数 x、y使得 AC = - 3÷ AB + 1- ÷ AD成立,则 x + y 的最小值为
è x è y
A 3 + 2 B 3 + 3 C 2 + 2 D 2 + 3． ． ． ．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】由△ACBu面uur积是uu△ur ADC 面积的 3 倍，结合三角形的面积公式可知 3uDuurF＝BEu，uur然后结合相似三角形uuuv
的性质可转化为 3 DO = OB ，然后结合向量加减法的三角形法则可用 AB ， AD 表示 AO ，然后根据向量共
uuur uuur 3 1 1 3 1
线定理可设AC = lAO，结合已知可求 +x y ＝10，然后由
x + y = x + y + ÷ ，利用基本不等式可求10 è x y
【详解】根据题意，如图，连接 AC、BD，设 AC 与 BD 交于点 O，过点 B 作 BE⊥AC 与点 E，过点 D 作
DuFu⊥ur ACuu与ur 点 F，若△ACB 面积是△ADC 面积的 3 倍，即 3DF＝BE，根据相似三角形的性质可知，
3 DO = OB ，
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur l uuur 3l uuur uuur
∴3（DA + AO ）＝OA+AB，∴ AO = AB + AD ，设 ＝ AB + AD，∵ ＝4 4 AC = lAO 4 4 AC
1 uuur uuur 3 1
- 3÷ AB + 1
1
- ÷ AD 1
1 3 1 3 x y 1 x y 3 1 1 3y x ，∴ - = - ÷∴ + ＝10，∴ + = + + ÷ = 4 + +x ÷è è y y è x x y 10 è x y 10 è x y
1
10
2 + 3 3y x 3 14 3+ 3 1+ 3+ 2 3 = 当且仅当 = +5 x y 且 x y ＝10，即 x＝ , y = 时取等号10 10
2 + 3
故答案为： ．
5
【典例 1-2】
（2017·四川成都·一模）如图，在边长为 2 的正六边uu形uv ABCuuDuvEF 中uuu，
Q
v 动圆 的半径为 1，圆心在线段CD（含
端点）上运动， P 是圆Q上及内部的动点，设向量 AP = mAB + nAF （m ， n 为实数），则m + n的取值范围
是
A． 1, 2 B． 5,6 C． 2,5 D． 3,5
【答案】C
【详解】以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则
B(2,0), F (-1, 3),eQ : (x - a)2 + (y + 3a - 4 3)2 =1, (2 a 3)
所以P(2m - n, 3n) ，即 (2m - n - a)2 + ( 3n + 3a - 4 3)2 1
2m - n - a = r cosq , 3n + 3a - 4 3 = r sinq , r [0,1]
m n a + r cosq 3(4 - a) 3r sinq+ = + + = r sin(q π+ ) + 6 - a [-1+ 6 - 3,1+ 6 - 2] = [2,5]
2 2 6 选 C.2 3
【变式 1-1】
（2020·上海·模拟预测）如图，在边长为 4 的正方uu形ur ABCuuD
Q
ur中，uu动ur 圆 的半径为 1，圆心
Q在线段BC （含
端点）上运动， P 是圆上及内部的动点，设向量 AP = mAB + nAD m,n R ，则m + n的取值范围是（ ）
é
1 2 ,2 2
ù é3 2 ù
A． ê - + B4 4 ú ． ê
, 2 +
4 4 ú
é3 9 ù é 2 9 ù
C． ê , D． 1- , 4 4ú
ê ú
4 4
【答案】A uuur uuur uuur
【分析】先建立直角坐标系得到 AP = mAB + nAD = (4m, 4n)，再设Q(4, t)得到 P(4 + cosq , t + sinq )，接着建立
p
方程组得到 4m + 4n = 4 + t + 2 sin(q + ) ，最后求m + n的取值范围即可.
4
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】解：建立直角坐标系，如图，则 AB = (4,0) ， AD = (0, 4)， AP = mAB + nAD = (4m, 4n)，
设Q(4, t)（ t [0, 4]），则 P 在圆 (x - 4)2 + (y - t)2 =1上，设 P(4 + cosq , t + sinq )，
ì4 + cosq = 4m
则 í ，则 4m + 4n = 4 + cosq + t + sinq = 4 + t + 2 sin(q
p
+ )
t + sinq = 4n
，
4
5p
则当 t = 0，q = 时， 4m + 4n = 4 - 2 p；则当 t = 4，q = 时， 4m + 4n = 8 + 2 m + n
4 min max
；所以 的取
4
é 2 2 ù
值范围： ê1- , 2 +4 4 ú 故选：
A
【变式 1-2】
（19-20 高三上·山西太原·阶段练习）如图，腰长为 4 的等腰三角形 ABC 中， Au=uu1r20 ，uuu动r 圆Quuur的半径
R = 1，圆心Q在线段 BC （含端点）上运动， P 为圆Q上及其内部的动点，若 AP = mAB + nAC(m, n R)，
则m + n的取值范围为（ ）
1 3
A 3．[ , ] B．[1, ] C．[
3 , 2] 5D．[2, ]
2 2 2 2 2
【答案】A
【分析】当点 P 取圆Q与BC 交线上的点时，知m + n =1，故排除C ，D .当点Q与点 B 重合，且点 P 取圆Q
3
与 AB 的交线上最靠近A 的点时，m + n = <1，故排除 B .
4
【详解】当点 P 取圆Q与BC 交线上的点时，由平面向量基本定理可知：m + n =1，故排除C ，D .
当点Q与点 B 重合，且点 P 取圆Q与 AB 的交线上最靠近A 的点时，如图所示：
uuur 3 uuurAP = AB 3，m = ， n = 0，m + n
3
= <1 B A
4 4
，故排除 故选：
4
【变式 1-3】
（19-20 高三上·上海浦东新·模拟）如图，边长为 4 的正方形 ABCD中，半uuuv径为 1 的动圆
Q的圆心Quuuv uuuv 在边CD
和DA上移动（包含端点A 、C 、D），P 是圆Q上及其内部的动点，设BP = mBC + nBA（m, n R ），则m + n
的取值范围是（ ）
A．[ 2 -1,2 2 +1] B．[4 - 2 2,4 + 2 2]
C 2．[1- ,2 2+ ] D [1 2 ,2 2． - + ]
2 2 4 4
【答案】D uuuv uuuv uuur
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得BA, BC 的坐标，进而可得BP的坐标．分类讨论，当动圆Q的
圆心在CD上运动或在 AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点 P 坐标，再利用三角函数求m + n
的最值．
uuur uuur
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， BA = (0, 4), BC = (4,0)，可得
uuur
BP = (4m,0) + (0, 4n) = (4m, 4n)，当点Q在CD上运动时，设Q(4, t), t [0, 4]，则点 P 在圆Q：
uuur
(x - 4)2 + (y - t)2 =1上及内部，故可设P(4 + r cosq , t + r sinq ), (q R,0 r 1)，则BP = (4 + r cosq , t + r sinq )，
ì4m = 4 + r cosq
\í ，\4m + 4n = 4 + t + r(sinq + cosq ) = 4 + t + 2r sin
q p+ ，Q0 t 4, 0 r 1, q R4n t r sinq ， = + è 4
÷
t = 0, r =1, q 5p= m + n 4 - 2 2当 时， 取最小值为 ，即1- ；当 t = 4, r =1, q
p
= 时，m + n取最大值
4 4 4 4
8 + 2 2 2
é 2 2 ù
为 ，即 + ，\m + n的取值范围是 ê1- , 2 + ú；当点Q在 AD 上运动时，设Q(s, 4), s [0, 4]，
4 4 4 4
则点 P 在圆Q： (x - s)2 + (y - 4)2 =1上及其内部，故可设P(s + r cosq , 4 + r sinq ), (q R,0 r 1)，
uuur ì4m = s + r cosq
则BP = (s + r cosq , 4 + r sinq )，\í
4n = 4 + r sinq
，
\4m + 4n = 4 + s + r(sinq + cosq ) = 4 + s + 2r sin p q + 4 ÷
，
è
Q0 s 4, 0 r 1, q R ，当 s = 0, r =1, q
5p
= 时，m + n 4 - 2 2取最小值为 ，即
4 1-
；
4 4
é ù
当 s = 4, r =1, q
p 2 2
= 时，m + n 8 + 2 2取最大值为 ，即 2 + ，\m + n的取值范围是 ê1- , 2 + ；4 ú4 4 4 4
故选：D．
题型 06 等和线：圆代换型
【解题规律·提分快招】
如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解
【典例 1-1】 uuur
（20-21 高三·江苏南京·模拟）在扇形OAB 中， AOB = 60o ， OA =1，C 为弧 AB 上的一个动点，且
uuur uuur uuur
OC = xOA + yOB．则 x + 4y 的取值范围为（ ）
A．[1, 4) B．[1, 4] C．[2,3) D．[2,3]
【答案】B
o o
【分析】以O为原点，OB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，令 COB = q ，则q é 0 ,60 ù ， 则
x 4y 2 3+ = - sinq + 4cosq ，易知 f q 4cosq 2 3= - sinq 为减函数，即可得出结果.
3 3
【详解】以O为原点，OB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
uuur
令 COB = q ，则q é 0
o , 60o ù ，因为 OA =1，则B 1,0 ，
1 3 A , ÷÷ ,C cosq ,sinq ，
è 2 2
ì x ì 1
uuur uuur uuur cosq = + y
y = cosq - sinq
2 3
OC = xOA + yOB 2 3又 ，则 í ，则 í q é0o , 60o ù
3 x 2
，则 x + 3y = - sinq + 4cosq ，又 ，
sinq = x = sinq 3
2 3
易知 f q 2 3= - sinq + 4cosq 为减函数，由单调性易得其值域为 1,4 .故选：B.
3
【典例 1-2】
（高uuu三r ·安徽
0 A, B
uuur合肥u·u阶ur 段练习）如图，在扇形OAB 中， AOB = 60 ，C 为弧 AB 上且与 不重合的一个动点，
且OC = xOA + yOB，若u = x + l y （l > 0）存在最大值，则l 的取值范围为（ ）
(1,3) (1 ,3) (1A． B． C． ,1)
1
D． ( , 2)
3 2 2
【答案】D
【详解】设扇形所在圆的半径为 1，以OB 所在的直线为 x 轴，O为原点建立平面直角坐标系，
设 COB = q (q (0,
p )) 1 3，则 ，由题意可得
3 C(cosq ,sinq ), B(1,0), A( , )2 2
2
cosq x 1= + y x = sinq
(cosq ,sinq ) x(1,0) y(1 , 3= + ) { 2 { 3
2 2 3 y cosq sinqsinq = y = -
2 3
令 f q = u = x + l y 2 - l sinq l cosq ,q 0, π= +
3 è 3 ÷
π 2 - l
则 f (q )在q 0, ÷上不是单调函数，从而 f (q ) = cosq - l sinq q
在 0,
π
上一定有零点
è 3 3 ÷ è 3
即 tanq
2 - l
= q 0, p
2 - l
在 3 ÷时有解，可得
(0, 3)
3l è 3l
解得l (
1 , 2)，经检验此时 f (q )取得最大值.故答案选D
2
【变式 1-1】
（2021·u浙uur江金uuur华·三模uu）ur 半u径uur为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB=120°，C 为弧上的动点，已知m·n 0，记
M =| mOC -OA| + | nOC -OB |，则（ ）
A．若 m+n=3，则 M 的最小值为 3
B．若 m+n=3，则有唯一 C 点使 M 取最小值
C．若 m·n=3，则 M 的最小值为 3
D．若 m·n=3，则有唯一 C 点使 M 取最小值
【答案】A
【分析】设 BOC = q ，以O为原点，以OB 、与OB 所在直线垂直的直线分别为 x yuuur uuur uuur uuur 轴、 轴建立平面直角坐
标系，把M = mOC - OA + nOC - OB 转化为关于q 的表达式，可解决此题．
【详解】：设 BOC = q ，如图： 以O为原点，以OB 、与OB 所在直线垂直的直线分别为 x
y 1 3 2p轴、 轴建立平面直角坐标系，则B 1,0 ， A - , ÷÷，C cosq ,sinq ，q
é
ê0,
ù
，
è 2 2
ú
3
uuur uuur 1 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
\mOC - OA = mcosq + ,msinq - ÷÷， nOC - OB = n cosq -1,nsinq ，\M = mOC - OA + nOC - OB \
è 2 2
2 2
1 3 = 2 2 mcosq + ÷ + msinq - ÷÷ + ncosq -1 + nsinq è 2 è 2
= m2 +1+ mcosq - 3msinq + n2 - 2n cosq +1 ．
①若m + n = 3，取m = 0， n = 3，则M =1+ 10 - 6cosq ，
Qq éê0,
2p ù é 1 ù é 1 ù
ú，\cosq ê- ,1ú，-cosq ê-1, ú，\10 - 6cosq 4,13 ， 3 2 2
\M é 3,1+ 13ù ,\M min = 3，此时q = 0，C 、 B 两点重合，所以A 正确；
2p
取m = 3， n = 0，则M =1+ 10 + 6sin p -q
÷ ，当q = 时取最小值，此时C 、A 两点重合，所以C 点不
è 6 3
唯一，故 B 错误；
②若mn = 3，取m =1,n = 3，则M = 2 + sinq - 3 cosq + 10 - 6cosq = 2 + 2sin
p
-q
÷ + 10 - 6cosq ，
è 6
当q = 0时，M min = 4 ，故 C 错误；
取m =1， n = 3时，则M = 2 + 2sin p -q ÷ + 10 - 6cosq ，
è 6
q 2p当 = 时，取最小值，C 点不唯一，故 D 错误.故选：A．
3
【变式 1-2】 uuur uuur
（uuu2r0-21uu高ur 三·四uuur川成都·模拟）如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧
AB 上一点，OA ×OB = -18，若
OC = xOA + yOB，则3x + 2y 的最大值为（ ）
A 2 51 57 2 57 51． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】C uuur uuur
【分析】根据 OA ×OB = -18，则 AOB =120o ， 立以O点为原点的坐标系，设 C 6cosa ,6sina ，写出
向量的坐标表示形式，用a 的三角函数表示出 x ， y ，从而求得3x + 2y 的三角函数表达式，利用辅助角公
式求得最大值
uuur uuur
【详解】由OA ×OB = 6 6cos AOB = -18 , 则 cos AOB
1
= - ，所以 AOB =120o 建立如图所示坐标系，
2
则 A 6,0 B -3,3 3 é 2p ù， ，设C 6cosa ,6sina ，a ê0, 3 ú ，
uuur uuur uuur
由OC = xOA + yOB 6cosa ,6sina = x 6,0 + y -3,3 3 = 6x - 3y,3 3y , 3化简得: x = sina + cosa ，
3
2 3 3 2 3 7 3y 2 57= sina 则3x + 2y = 3 sina + cosa ÷÷ + 2 sina = sina + 3cosa = sin a +j , 3 è 3 3 3 3
tanj 3 3 , sin a +j =1 , 3x + 2y 2 57其中 = 则当 时 最大，值为 故选：C
7 3
【变式 1-3】
3π
（23-24 高三·河南信阳·阶段练习）如图，点C 是半径为1的扇形圆弧 AB 上一点，且 AOB = 4 ，若uuur uuur uuur
OC = xOA + yOB，则 x + 2y 的最大值是（ ）
A 5．1 B． C． 10 D．4
2
【答案】C
é 3π ù
【分析】以OB 为 x 轴，过O作与OB 垂直的线作为 y 轴建立平面直角坐标系，设C cosq ,sinq ,q ê0, ú ， 4
ì x = 2 sinq
根据平面向量基本定理得到 í ，再利用辅助角公式计算可得.
y = cosq + sinq
【详解】 如图所示，以OB 为 x 轴，过O作与OB 垂直的线作为 y 轴，
uuur uuur uuur uuur
Q AOB 3π= ， OA = OB =1
2 2 2 2
，\ A4
- ,
2 2 ÷÷
，B 1,0 ，则OA = - , ÷÷，OB = 1,0 ，
è è 2 2
uuur
设C cosq ,sinq ,q é0, 3π ùê ú ，OC = cosq ,sinq x
2 2 2 2
= - , + y 1,0 = - x + y, x 4 è 2 2 ÷
÷ 2 2 ÷÷ è
ì
cosq 2 = - x + y
\ 2
ì
í ，\
x = 2 sinq
í ，\
2 y = cosq + sinq
sinq = x 2
x + 2y = 2 sinq + 2 cosq + sinq = 2 2 sinq + 2 cosq = 10 sin q +j ，
1 π
其中 tanj = ，又 tanj
1 3
= < = tan π ，所以0 < j <2 ，2 3 6 6
\sin q +j =1 π，即q +j = 时， x + 2y 取得最大值，即 x + 2y = 10 ．故选：C．
2 max
题型 07 等和线：均值构造型
【解题规律·提分快招】
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
a＋b
基本不等式： ab≤ ；
2
(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
(3) 基本不等式的变形：
a＋b
①a＋b≥2 ab，常用于求和的最小值；②ab≤ 2( ) ，常用于求积的最大值；2
【典例 1-1】 uuuv uuuv
（2019·安徽·一模）在DABC 中，点D是 AC 上一点，且 AC = 4AD， P 为BD上一点，向量
uuuv uuuv uuuv 4 1
AP = l AB + m AC l > 0, m > 0 ，则 +l m 的最小值为
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
4 1
【分析】由题意结合三点共线的性质首先得到l, m 的关系，然后结合均值不等式的结论求解 +l m 的最小值
即可. uuur uuur uuur
【详解】由题意可知： AP = l AB + 4m AD，其中 B,P,D 三点共线，
由三点共线的充分必要条件可得：l + 4m =1，则：
4 1 4 1 l 4m 8 16m l 8 2 16m l+ = + ÷ + = + + + =16，l m è l m l m l m
l 1 , m 1
4 1
当且仅当 = = 时等号成立，即 + 的最小值为 16.本题选择 A 选项.
2 8 l m
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
【典例 1-2】 uuur uuur
（20-21 高三上·黑龙江七台河·模拟）在VABC 中，E 为 AC 上一点，且 AC = 4 AE ，P 为 BE 上一点，且
uuur uuur uuur 1 1 r
AP = mAB + nAC(m > 0, n > 0)，则 + 取最小值时，向量a = (m,n)的模为（ ）
m n
A 5 6 5． B． C． D．2
4 6 6
【答案】C
【分析】由题意和平面向量基本定理可得 m 和 n 的关系，由基本不等式可得式子取最小值时的 m 和 n 的值，
由向量的模长公式uuu可r 得．uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】解：∵ uAuCur = u4uAurE ，uuur∴ AuuPur= muAuuBr + nuuAurC = m AuuBur+ 4unuurA E ，又∵P 为 uBuEur 上一点，不妨设BP = λ BE，uuur
（0＜λ＜1），∴ AP = AB + BP = AB + λ BE = AB + λ（ AE - AB）＝（1﹣λ） AB + λ A E ，
uuur uuur uuur uuur uuuv uuur ìm =1- l
∴m AB + 4n AE =（1﹣λ） AB + λ A E ，∵ AB ， A E 不共线，∴ í ，∴m+4n＝1
4n l
，
=
1 1 1 1 4n m 4n m 1
∴ + = （ + ）（m+4n 5 + + 5+2 4n m 9 1）＝ ≥ × = 。当且仅当 = 即 m = 且 n =3 时，上式取m n m n m n m n m n 6
r r
到最小值，∴向量 a = （m，n）的模| a | = m2 + n2 5= 故选：C．
6
【变式 1-1】
（湖北武汉市蔡甸区汉阳一中 2021 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图，RtVABC 中， P 是斜边BC
uuur 1 uuur uuuur uuur uuur uuur
上一点，且满足：BP = PC ,点M , N 在过点 P 的直线上，若 AM = l AB, AN = m AC , (l, m > 0) ,则l + 2m 的
2
最小值为
8 10
A．2 B． C．3 D．
3 3
【答案】B
uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuuur 1 uuur 2 1
【详解】 AP = AB + AC = AM + AN ，因为M , N , P3 3 3l 3m 三点共线，所以
+ =1
3l 3m ，因此
l 2m (l 2m)( 2 1 ) 4 4m l 4 2 4m l 8+ = + + = + + + = ，选 B.
3l 3m 3 3l 3m 3 3l 3m 3
【变式 1-2】
uuur 1 uuur
（2022 安徽淮北·二模）如图，RtVABC 中， P 是斜边BC 上一点，且满足：BP = PC ,点M , N 在过点 P 的
uuuur uuur uuur uuur 2
直线上，若 AM = l AB, AN = m AC , (l, m > 0) ,则l + 2m 的最小值为
8 10
A．2 B． C．3 D．
3 3
【答案】B
uuur 2 uuur 1 uuur uuuurAP AB AC 2 AM 1
uuur 2 1
【详解】 = + = + AN3 3 3l 3m ，因为
M , N , P 三点共线，所以 + =13l 3m ，因此
l + 2m = (l + 2m)( 2 1 ) 4 4m l 4 2 4m l 8+ = + + + = ，选 B.
3l 3m 3 3l 3m 3 3l 3m 3
【变式 1-3】 uuur uuuur
（2023·广西·一模）如图，在△ABC 中，M 为线段 BC 的中点，G 为线段 AM 上一点且 AG = 2GM ，过点 G
uuur uuur uuur uuur 1 1
的直线分别交直线 AB、AC 于 P、Q 两点， AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ(y > 0），则 +x y +1 的最小值为
（ ）
3 4
A． B．1 C． D．4
4 3
【答案】B
uuuur 1 uuur 1 uuur uuur x uuur y uuur x y
【分析】由 AM = AB + AC 可得 AG = AP + AQ，根据三点共线向量性质可得 + =1，再结合均值
2 2 3 3 3 3
不等式即可求出结果．
uuuur 1 uuur uuur
【详解】由于 M 为线段 BC 的中点，则 AM = AB
1
+ AC
2 2
uuur uuuur uuuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur
又 AG = 2GM ，所以 AM = AG ，又 AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ(y > 0）2
3 uuur x uuur y uuur uuur x uuur y uuur
所以 AG = AP + AQ ，则 AG = AP + AQ
2 2 2 3 3
因为G, P,Q
x y
三点共线，则 + =1，化得 x + y +1 = 4
3 3
1 1 1 x y 1 1 1 1 x y +1 1
x y +1
由 + = é + + ù + ÷ = + + 2÷ 2 × + 2x y +1 4 è x y +1 4
÷
è y +1 x 4 y +1 x ÷
= 1
è
x y +1 1 1
当且仅当 = x = 2, y =1 +y +1 x 时，即 时，等号成立， x y +1 的最小值为 1 故选：B
题型 08 等和线：二次及高次构造型
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur
形如OP = lOA + mOB(l, m R) ，求关于l与m 二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于l, m 的不等式中没有l × m ，所以取 t = l + m ，建立l, m 之间的关系；
（3）用判别式求得 t 的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及 t 的范围求出最值.
【典例 1-1】
uuur uuur uuur uuur uuur
（高三上·福建福州·模拟）在△ABC 中，点D 满足 BD
3
= BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若 AE = l AB + m AC ，
4
则 t = l -1 2 + m 2 的最小值是( )
A 3 10 B 82
9 41
． ． C． D．
10 4 10 8
【答案】C
uuuv uuuv m 3m
【分析】设 AE = mAD 0 m 1 ，利用向量线性运算可得l = ，m = ，利用二次函数求最值即可.
4 4
【详解】如图，
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 3 uuuv uuuv uuuv uuuvm AE mAD 0 m 1 AD AB BD AB BC AB 3 AC AB 1 uuuv 3 uuuv存在实数 使得 = ， = + = + = + - = AB + AC ，4 4 4 4
ì m
uuuv 1 uuuv 3 uuuv m uuuv 3m uuuv
l =
所以 AE = m AB + AC
4
4 4 ÷
= AB + AC
4 4 ，所以 í
，
è m 3m=
4
2 2 2
原式 t = l -1 2 + m 2 m 3m 5 m 5= -1 + = m2 - +1 = m 2 9 ÷ ÷ -
+ ，
è 4 è 4 8 2 8 è 5 ÷ 10
m 2 9当 = 时，函数取得最小值 ，故选：C
5 10
【典例 1-2】
uuur 3 uuur
（23-24 高三·安徽宿州·模拟）在VABC 中，点D满足BD = BC ，点E 在射线 AD（不含点 A）上移动，若
uuur uuur uuur 4
AE = l AB + m AC,则 (m + 2)2 + l 2 的取值范围是（ ）
A．[4,+ ) B． (4, + ) C． (1,+ ) D．[1,+ )
【答案】B uuur uuur
【分析】设 AE = k AD,k > 0，利用向量的线性运算用 k 表示l, m ，再代入求出范围即得.
uuur uuur uuur 3 uuur
【详解】由点E 在射线 AD （不含点A ）上，设 AE = k AD,k > 0，又BD = BC ，
4
ì k
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur l =
则 AE = k(AB + BD) = k[AB 3 k 3k + (AC - AB)] = AB + AC 4，于是4 4 4 í m 3k
，
=
4
t (m 2)2 l 2 (3k因此 = + + = + 2)2
1
+ k 2 5= k 2 + 3k + 4 > 4 ，所以 (m + 2)2 + l 2 的取值范围是 (4, + ) . 故选：B4 16 8
【变式 1-1】 uuur uuur
（23-24 高三·广西南宁·阶段练习）在VABC 中，点 O 满足BO = 2OC ，过点 O 的直线分别交射线 AB ， AC
uuuur uuur uuur uuur
于不同的两点 M，N．设 AM
1
= AB ， AN
1
= AC ，则m2 + n 的最小值是（m n ）
3 23
A．3 B．1 C． D．
16 16
【答案】D
1 2
【分析】利用共线定理的推论可得 m + n =1，然后利用换元法结合二次函数性质求出最值即可.
3 3
【详解】由题可知，m > 0,n > 0，
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuuur uuur uuur
因为 AM = AB ， AN = AC ，所以 AB = mAM ，m n AC = nAN
，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuuur 2 uuur
因为BO = 2OC ，所以 AO - AB = 2 AC - AO ，所以 AO = AB + AC = mAM + nAN ，3 3 3 3
M ,O, N 1 2 3- m因为 三点共线，所以 m + n =1，则 n = > 0，则0 < m < 3，
3 3 2
2
所以m2 n m2 3 - m m 1 23 23
1
+ = + = - ÷ + ，当m = 时等号成立，2 è 4 16 16 4
所以m2
23
+ n 的最小值为 .故选：D.
16
【变式 1-2】 uuur uuur
（20-21 高三·四川成都·u阶uur段练u习uu）ur 如uuu图r ，在uuurDABC 中，点O满足BO = 2OC ，过点O的直线分别交直线
AB, AC
于不同的两点M , N .设 AB = mAM , AC = nAN , 则m2 + n2 的最小值是（ ）
9
A 3 5． B． 2 C． D．
5 2 5
【答案】A uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】利用 AM、AN 表示出 AO ，再结合结论：若 A、B、C 三点共线且OA = mOB + nOC ，则m + n =1.即可
得出m、n的关系式，即可得出m2 + n2 有最小值.
uuur uuur uuur 1 uuurAO AB 2
uuur m uuuur 2n uuur
【详解】因为BO = 2OC ，所以 = + AC = AM + AN .3 3 3 3
m 2n
又因为M、O、N 三点共线，所以 + =1.所以m = 3- 2n .
3 3
m2 n2 (3 2n)2 n2 5n2 12n 9 5(n 6)2 9所以 + = - + = - + = - +
5 5
6 3 9
所以当 n = ,m = 时, m2 + n2 有最小值为 .
5 5 5
故选:A.
【变式 1-3】 uuur uuur
（21-22 高三上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在VABC 中，D是线段BC 上的一点，且BC = 4BD，过点D
uuuur uuur uuur uuur 1
的直线分别交直线 AB ， AC 于点M ， N .若 AM = l AB， AN = m AC(l > 0, m > 0)，则l - m 的最小值是
（ ）
A．3 B． 2 3 - 4
C． 2 3 D． 2 2 - 3
【答案】B uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
【分析】根据平面向量基本定理，可得 AD = xAM + 1- x AN ，即 AD = xl AB + 1- x m AC ，再根据平面
uuur 3 uuur 1 uuur l
向量线性运算得到 AD = AB + AC ，即可得到m = ，再利用基本不等式计算可得；
4 4 4l - 3 uuur uuuur uuur uuur uuur
【详解】解：由平面向量基本定理，且 B, D,C 三点共线可知： AD = xAM + 1- x AN = xl AB + 1- x m AC ，
又
ì
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur lx
3
=
AD = AB + BD AB 1 3= + BC = AB 1+ AC 4 l，所以
4 4 4 í
解得m = ，所以
1 1- x m = 4l - 3
4
1 4l - 3 3 3l - = l - = l + - 4 2 l 3× - 4 = 2 3 - 4，当且仅当l = 即l = 3时取等号；
m l l l l
故选：B
题型 09 等和线：差型
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur
形如OP = lOA + mOB(l, m R)
ml - tm
，求 值或者范围，有如下思维：
1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
2. 可以借助等和线，找到l + m =定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
【典例 1-1】 uuur uuur
（22-23 高三下·河北唐山·阶段练习）如图，在VABC 中，D是线段BC 上的一点，且BC = 4BD，过点D的
uuuur uuur uuur uuur 1
直线分别交直线 AB ， AC 于点M ， N ，若 AM = l AB ， AN = m AC l > 0, m > 0 ，则m - 的最小值是
l
（ ）
A 2 3 - 4 B 2 3 + 4 C 2 3 2 3 + 2． ． ． - 7 D．
3 3 3 3
【答案】A
1 4 1
【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出 = -l 3 3m ，再根据基本不等式可求出结果.uuuur uuur
【详解】因为M , D, Nuuur uuuur uuur uu三ur点共线，所以可设MD = tDN ，
则 AD - AM = t(AN - AD)，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur
又 AD = AB + BD = AB + BC = AB + (AC - AB) = AB + AC ，
4 4 4 4
3 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB
1 AC AM t(AN 3 1 uuuur uuur+ - = - AB - AC)，又 AM = l AB ， AN = m AC ，
4 4 4 4
3 uuur 1 uuur uuur uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur
所以 AB + AC - l AB = t(m AC - AB - AC)，所以 ( - l)AB + AC = - t AB + t(m - )AC ，
4 4 4 4 4 4 4 4
ì3
- l
3
= - t
4 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1
所以 í ，消去 t得 = - ，所以 m - = m - + ，因为 l > 0， m > 0 ，得 = - > 0
1 t(m 1) l 3 3m l 3 3m l 3 3m
，
= -
4 4
1
得 m
1 m 1 4 2 1 4 2 3 - 4> ，所以 + - - = 34 ，当且仅当
m = ，即m = 时，等号成立，
3m 3 3 3 3 3m 3
1 2 3 - 4
所以m - 的最小值为 .故选：A
l 3
【典例 1-2】 uuuur uuuur uuuur uuur uuur
（22-23 高三·湖南岳阳·模拟）VABC 中，点M 为边 AC 上的点，且 AM = 3MC ，若BM = lBA + m BC ，则m - 2l
的值是（ ）
1 1
A． B C4 ．1 ．0 D．- 2
【答案】A
【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
uuuur uuur uuuur uuur 3 uuur uuurBM BA AM BA AC BA 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur【详解】由题意易得： = + = + = + BC - BA = BA + BC ，4 4 4 4
l 1 3故 = , m = m - 2l
3 2 1
= - = .故选：A.
4 4 4 4 4
【变式 1-1】
（uuu2r3-24uu高ur 三上uu·ur河北邢台·阶段练习）在VABC 中，D 是边 BC 上一点，且CD = 3BD ，E 是 AD 的中点，若
AE = xAB + y AC ，则 x - y = （ ）
1 1 1 1
A． B． C．- D．-4 3 4 3
【答案】A uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】用基底 AB, AC 表示 AD ，再结合 AE, AD 的关系，即可求得 x, y 和 x - y .
【详解】根据题意，作图如下： 因为 D 是边 BC 上一点，且CD = 3BD ，所以
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD 3= AB 1+ AC 1；又 E 是 AD 的中点，所以 AE = AD
3 AB 1= + AC 1，则 x - y = .故选：A.
4 4 2 8 8 4
【变式 1-2】
（23-24 高三上·山u东uur·开学u考uur试）uu如ur图，在平行四边形 ABCD中，O为对角线的交点，E 为 AD 的中点，F
为CO的中点，若EF = xOC + yOD ，则 x - 2y =（ ）
5 3
A．1 B．2 C． D．
3 2
【答案】B
uuur uuur uuur
【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得EF = OC
1
- OD ,进而求得 x, y 的值，进一步计算即可.
2
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
【详解】如图： 因为EF = OF - OE = OC - CD = OC - (OD - OC)2 2 2 2
uuur 1 uuur 1
= OC - OD ,所以 x =1, y = - , x - 2y = 2,故选：B.
2 2
【变式 1-3】
（uuu2r3-24uu高ur三·江uuu苏r 南通·阶段练习）在锐角VABC 中， AD 为BC 边上的高， tan C = 2 tan B，
AD = xAB + y AC ，则 x - y的值为（ ）
1 1 1- 1A．- B． 2 C． D．2 3 3
【答案】C
uuur uuur
【分析】根据锐角三角函数及 tan C = 2 tan B得到BD = 2DC ，即可得到CD
1
= CB，再由平面向量线性运算
3
法则及平面向量基本定理求出 x 、 y ，即可得解.
AD AD
【详解】如图在锐角VABC 中， AD 为BC 边上的高，所以 tan C = ， tan B = ，又 tan C = 2 tan B，
DC BD
AD AD uuur 1 uuur
所以 = 2 ，所以BD = 2DC ，则CD = CB，所以
DC BD 3
ì 1
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
x =
AD = AC + CD = AC + CB = AC + AB - AC = AC + AB 3，又 AD = xAB + y AC ，所以 ，所以3 3 3 3 í y 2=
3
x y 1 2 1- = - = - .故选：C
3 3 3
题型 10 向量四心：内心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
四心的向量统一形式：设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为内心，则m : n : p = a : b : c；
SA : SuuurB
: SC = a :b :cuuur uuur r
a · OA+ b · OB + c · OC = 0
【典例 1-1】
（2017·浙江·模拟预测u）uur已知uuRurtVABuuCur中，
AB = 3, AC = 4, BC = 5， I 是VABC 的内心， P 是VIBC 内部（不
含边界）的动点，若 AP = l AB + m AC(l, m R) ，则l + m 的取值范围是（ ）
7 ,1 1 ,1 1 , 7 1 A． 12 ÷ B． ÷ C． ÷ D．è 3
,1÷
è è 4 12 è 4
【答案】A
【分析】以uuurA 为坐uuu标r 原点uuu，r AB 所在的直线为
x 轴， AC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，通过向量
线性关系 AP = l AB + m AC(l, m R) ，得出目标函数，根据三角形及其内心得出可行域，由线性规划即可得
出最值.
【详解】如图所示： 以A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴， AC 所
在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则易得: A(0,0)，B(3,0) ，C(0, 4) ， I (1,1) ，
ì x
uuur uuur uuur l = ,
设点 P(x, y)
3 x y
，则由 AP = l AB + m AC 得 (x, y) = l(3,0) + m(0,4)，所以 í 则l + m = + ，
m y= , 3 4
4
又由题意得点 P(x, y) 在以B(3,0),C(0,4), I (1,1)为顶点的三角形内部（不包含边界），
x y x y
由图易得当目标函数 z = + 与直线BC 重合时， z = + 取得最大值 1，
3 4 3 4
x y
当目标函数 z = + 经过点 I (1,1) z
x y 7
时， = + 取得最小值 ，又因为点 P(x, y) 的可行域不包含边界，
3 4 3 4 12
所以 z
x y 7= + 7 的取值范围为 ,1 l + m ,13 4 è12 ÷
，即 的取值范围为
è12 ÷
，故选：A
【点睛】本题考查平面向量的线性运算、不等式组表示的平面区域，根据题中三角形的特点将问题转化为
线性规划求最值是解题的关键，本题属于较难题.
【典例 1-2】
（2022 高三·全国·专题练习）在△ ABC 中， AB=3， AC=4，BC=5，O 为△ ABC 的内心，若
uuur uuur uuur
AO = l AB + mBC ，则l + m =（ ）
2 3 5 3
A． B． C． D．
3 4 6 5
【答案】C
【分析】根据向量的减法法则化uuur简题中uuur的等uuur量关系uu，ur 结uu合ur 三角形内心的性质得到系数的关系求解
.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
【详解】由 AO = l AB + mBC 得 AO = l OB - OA + m OC - OB ，则 1- l OA+ l - m OB+mOC=0，
uuur uuur uuur r
因为 O 为△ ABC 的内心，所以 BC OA+ AC OB+ AB OC=0，从而 1- l : l - m : m = 5: 4 :3，
解得l
7
= ， m
1 5
=
12 4 ，所以
l + m = .
6 故选：
C.
【变式 1-1】 uuur uuur
（21-22 高三·四川成都·模拟）在VABC 中， AB = 3, BC = 7, AC = 2，若点O为VABC 的内心，则 AO × AC
的值为（ ）
7 15
A．3 B． C．5 - 7 D．2 2
【答案】C
【分析】由余弦定理得 cos BAC
1
= 3 3，得到 BAC = 60o ，求得 S△ABC = ，进而求得VABC 内切圆半径2 2
r 6 3= ，得出 AO
12 3
= ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
10 + 2 7 10 + 2 7
【详解】在VABC 中，由 AB = 3, BC = 7, AC = 2，且点O为VABC 的内心可知， AO 平分 A，
设圆O
4 + 9 - 7 1
交 AC 于点D，根据余弦定理可得 cos BAC = = ，
2 3 2 2
所以 BAC = 60o ，所以 sin 3 1 3 3 3 BAC = ，所以 S
2 VABC
= 2 3 = ，
2 2 2
VABC r 2S 6 3 r 12 3则 内切圆半径 = = ，所以在△AOD中， AO = = 2r = ，
a + b + c 10 + 2 7 sin 30o 10 + 2 7
uuur uuur
AO AC 12 3所以 × = 2 cos30o = 5 - 7 故选：C.
10 + 2 7
【变式 1-2】
（2021·甘肃平凉·二模）在VABC 中， AB = 6， AC = 8，BC =10，M 为BC 中点，O为VABC 的内心，且
AO = l AB+ m AM ，则l + m = （ ）
7 2 3
A． B． C． D．1
12 3 4
【答案】A
【分析】由题得 BAC = 90o ，建立直角坐标系，求出O(2, 2), B(0,6),C(8,0), M (4,3)，即得解.
【详解】 如图所示，因为BC 2 = AB2 + AC 2 ,所以 BAC = 90o .
1
所以内切圆的半径为 (6 + 8 -10) = 2，所以点O(2, 2), B(0,6),C(8,0), M (4,3)，
2
2 = 0 + 4m
所以 AO = (2, 2), AB = (0,6), AM = (4,3)，所以 (2, 2)
ì
= l(0,6) + m(4,3),\ 1 1í ，所以m = ,l = .
2 = 6l + 3m 2 12
7
所以l + m = .故选：A
12
【变式 1-3】
（21-22 高三·江苏盐城·阶段练习）已知在VABC 中， AB = BC = 3， AC = 4，设O是VABC 的内心，若
uuur uuur uuur m
AO = mAB + nAC ，则 = （n ）
3 9 4 16
A． B． C． D．
4 16 3 9
【答案】C
【分析】以 AC 的中点D为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出 r ，再由
uuur uuur uuur m
AO = mAB + nAC 得出 .n
【详解】以 AC 的中点D为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
1 1
设VABC 的内切圆的半径为 r ，则 3+ 3+ 4 r = 4 5 r 2 5，解得 =
2 2 5
uuur uuur uuur
故O 0,
2 5
÷÷ , A(-2,0),C(2,0), B(0, 5)，则 AB = (2, 5), AC = (4,0), AO
2 5
= 2, ÷÷
è 5 è 5
ì
2m + 4n = 2
uuur uuur uuur 2 5 2 3
因为 AO = mAB + nAC ，所以 2, 5 ÷÷
= (2m + 4n, 5m) ，即 í 2 5 ，解得m = ,n = ，故
è 5m = 5 10 5
m 2 10 4
= = .故选：C
n 5 3 3
题型 11 向量四心：外心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为外心，则m : n : p = sin 2A : sin 2B : sin 2C ；
SA : SB : SC = sin2A :sin2B :sin2Cuuur uuur uuur r
sin2A· OA+ sin2B · OB + sin2C · OC = 0
【典例 1-1】
uuur uuur uuur r uuur
（22-23 高三上·山西吕梁·阶段练习）设 O 为VABC 的外心，且满足 2OA + 3OB + 4OC = 0， OA =1，下列结
论中正确的序号为 ．
uuur uuur 7 uuur
① OB ×OC = - ；② AB = 2 ；③ A = 2 C ．
8
【答案】①③
uuur uuur uuur
【分析】根据题意得到OA = OB = OC = 1，变形得到 2OA = -3OB - 4OC ，平方计算得到①正确，变形得到
uuur uuur uuur uuur 6 uuur uuur uuur
2BA = -5OB - 4OC ，平方得到 AB = ，②不正确，变换得到 4OC = -3OB - 2OA，平方得到
2
cos AOB 1= ，计算得到 cos 4C = cos 2A，得到③正确，得到答案.
4
【详解uuur】由u题uur意可uu知ur ：rOA = OB = OC = 1．uuur uuur uuur
① 2OA + 3OB + 4OC = 0，则 2OA = -3OB - 4OC ，两边同时平方得到：
uuur uuur uuur uuur 7
4 = 9 + 24OB ×OC +16，解得：OB ×OC = - ，故①正确．
uuur uuur uuur r uuur uuur 8 uuur uuur uuur uuur uuur
② 2OA + 3OB + 4OC = 0，则 2OA - 2OB = -5OB - 4OC ， 2BA = -5OB - 4OC ，
uuur 2 uuur uuur uuur
两边再平方得到： 4 AB = 25 +16 + 40OB ×OC = 6．所以| AB 6= ，所以②不正确．
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur 2
③ 2OA + 3OB + 4OC = 0， 4OC = -3OB - 2OA，两边平方得到：
uuur uuur uuur uuur
16 = 9 + 4 +12OA ×OB =13+12 OA OB cos π AOB ， cos AOB
1
= ， AOB 0,4 2 ÷
，
è
π
同理可得： cos BOC
7
= - ， BOC , π ÷， AOB = 2 C ， COB = 2 A．8 è 2
1 7 π π π
故 cos 2C = ， cos 2A = - ，且 C
0,
÷， A
,
÷，4 8 è 4 è 4 2
2
cos 4C = 2cos2 2C -1 = 2 1 7 ÷ -1 = - = cos 2A，即 A = 2 C ．故③正确．
è 4 8
故答案为：①③
【典例 1-2】
（22-23 高三·重庆渝uuu中r ·模u拟uur）某uu同ur学r在查阅资料时，发现一个结论：已知 O 是VABC 内的一点，且存在
x, y, z R ，使得 xOA + yOB + zOC = 0，则 S△AOB : S△AOC : S△COB = z : y : x ．请以此结论回答：已知在VABC
π B π
uuur uuur uuur
中， A = ， = ，O 是VABC 的外心，且 AO = l AB + m AC l, m R ，则l + m =4 ．3
3 1
【答案】 / 3
3 3
uuur uuur uuur r uuur 3 uuur 1 uuur r
【分析】由结论可得 SVBOC ×OA + SVAOC ×OB + SVBOA ×OC = 0，从而可得OA + OB + OC = 0 ，再根据2 2
ì l 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = 1- l - m 2
AO = l AB + m AC = l(OB - OA) + m(OC - OA)可得 (1- l - m)OA + lOB + mOC = 0 ，从而有 í ，
m 1=
1- l - m 2
求解即可.
【详解】 如图，因为 O 是VABC 的外心，所以
BOC 2 BAC π = = , AOC = 2 ABC 2π 5π = , BOA = 2 BCA = ，由结论可得
2 3 6
uuur uuur uuur r 1 uuur 1 uuur uuur r
SVBOC ×OA + S
2 2
VAOC ×OB + SVBOA ×OC = 0，即 R sin BOC ×OA + R sin AOC ×OB
1
+ R2 sin BOA ×OC = 0 ，
2 2 2
π uuur 2π uuur 5π uuur r uuur 3 uuur 1 uuur r
可得 sin ×OA + sin ×OB + sin ×OC = 0，即
2 3 6 OA + OB + OC = 0
.因为
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2uuur uuur uuur r
AO = l AB + m AC = l(OB - OA) + m(OC - OA)，所以 (1- l - m)OA + lOB + mOC = 0 ，
ì l 3
=
1- l - m 2 l + m 3 +1 1- (l + m) 3 3
所以 í ，即 = ，即 = 3 -1，解得l + m = .故答案为： .
m 1 1- l - m 2 l + m= 3 3
1- l - m 2
【变式 1-1】
2 uuur
（22-23 高三·上海杨浦·模拟）在锐角三角形 ABC 中， cos A = ， BC = 2 ，点 O 为△ABC 的外心，则
uuur uuur uuur 2
3OA + 2OB + OC 的取值范围为 .
【答案】 é 3 - 5,2 2ù
3π
【分析】三角形外接圆的性质、正弦定理得 BOC
π
= 、 AOB = - 2B ， AOC = 2B 、R = 1，利用向量
uuur uuur uuur 2 2
数量积的运算律转化求 3OA + 2OB + OC .
uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】 3OA + 2OB + OC = 9OA + 4OB + OC +12OA ×OB + 6OA ×OC + 4OB ×OC ，
π π 3π
因为锐角三角形中 cos A
2
= ，所以 A = 4 ，
BOC = ， 所以 AOB = - 2B ，
2 2 2
AOC = 2B a，又 2R = = 2 ，即R = 1，则
sin A
uuur uuur uuur 2
3OA + 2OB + OC = 14 + 6 cos2B - 2sin 2B = 14 + 6 5 cos 2B + j ，
5 2 5 π
其中 sinj = ， cosj = ，j 0, ÷ ，因为O在锐角三角形 ABC 内部，故 2B
π
, π
2 2 ÷，故5 5 è è
2B +j π +j, π +j
÷，故-1 cos 2B +j max
ì
ícos
π
+j
÷ , cos π j
ü
+ = max -sinj, -cosj 5= - ，
è 2 è 2 5
uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur
则 3OA + 2OB + OC é14 - 6 5,8ù ，即 3OA + 2OB + OC é3- 5, 2 2 ù .故答案为： é ù 3 - 5,2 2
【变式 1-2】 uuur uuur
（23-24 高三·浙江·模拟）已知VABC 中，点G 、O分别是重心和外心，点 D为 BC 边中点，且 AG × AO = 6，
uuur
DG 4= ，则边BC 的长为 ．
3
【答案】 2 2
uuur uuur 1 uuur2 uuur uuur 1 uuur2
【分析】由数量积的定义得出外心O满足性质： AO × AB = AB ， AO × AC = AC ，由中线向量性质
2 2
uuur 2 uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuurAG AD (AB AC) (AB AC) 2 2 1
uuur uuur
= = + = + ，再由数量积的运算得出 AB + AC ，利用 AD = (AB + AC)平方3uuur uuur3 2 3 2
后求得 AB × AC ，然后利用余弦定理即可得BC 长．
【详解】如图，连接OD ，作OH ^ AC 于H ，则H 是CA的中点，OD ^ BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur2
AO × AC = AC AO cos 1 1 1 1 OAC = AC AH = AC = AC ，同理 AO × AB = AB = AB ，
2 2 2 2
uuur 2 uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuurAG = AD = (AB + AC) = (AB + AC)，
3 3 2 3
uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2AG × AO = (AB + AC) × AO = (AB × AO + AC × AO) 1= (AB + AC ) = 6，
3 3 6
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur2 2
所以 AB + AC = 36 ，又 AD = 3 GD = 4，即 AC + AB = 4 ，2
uuur uuur 2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur
AC + AB = (AC + AB)2 = AC + AB + 2AB × AC = 64，
uuur uuur uuur uuur
所以 AB × AC =14，即 AB AC cos BAC =14，
由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB × AC cos BAC = 36 - 2 14 = 8，所以BC = 2 2 .
故答案为： 2 2 ．
【变式 1-3】 uuur uuur uuur
（22-23 高三·广东广州·模拟）已知VABC 的外心是O，其外接圆半径为 1，设OA = lOB + mOC ，则下列错
误的是（ ）．
A．若l = -1，m = 0，则VABC 为直角三角形
B．若l = m = -1，则VABC 为正三角形
l 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5
C．若 = - ，m = -2，则OA ×OB + OB ×OC + OC ×OA = -
2 4
D．若l = -1，m = - 3 ，则VABC 为顶角为30 的等腰三角形
【答案】C
【分析】对于 A 和 B，通过已知关系判断点O的位置从而判断；
对于 C 和 D，运用数量积的运算律，通过uu平ur 方等uu方ur 法进行转化求解即可.
【详解】对于 A，若l = -1，m = 0，则OA = -OB ，则O是 AB 中点，
又因为O是VABC 的外心，uu则ur VuAuuBrC u为uur直角三角形，故 A 正确.
对于 B，若l = m = -1，则OA + OB + OC = 0，即O是VABC 的重心，
又因为O是VABC 的外心，所以VABC 为正三角形，故 B 正确.
l 3
uuur 3 uuur uuur uuur2 9 uuur2 uuur2 uuur uuur
对于 C，若 = - ，m = -2，则OA = - OB - 2OC ，平方得，OA = OB + 4OC + 6OB ×OC ，
2 2 4
uuur uuur uuur uuur uuur
因为 OA = OB = OC =1
7
，所以代入得OB ×OC = - ，则
8
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA ×OB + OB ×OC + OC ×OA = OA × OB + OC + OB 3×OC = - OB - 2OC ÷ × OB + OC + OB ×OC
è 2
3 uuur2 uuur uuur 3 uuur uuur uuur2 uuur uuur
= - OB - 2OB ×OC - OB ×OC - 2OC + OB ×OC
2 2
3 uuur2 uuur uuur uuur2
= - OB 5 3 5 7 21- OB ×OC - 2OC = - 1- -
2 2 2 2 8 ÷
- 2 1 = - ，故 C 错误.
16
uuur uuèur uuur uuur uuur uuur
对于 D，若l = -1，m = - 3 ，则OA = -OB - 3OC ，即OA + OB = - 3OC ，
uuur uuur uuur uuur
如下图所示，取 AB 中点D，则OA + OB = 2OD = - 3OC ， 所以O在VABC 的中线CD上，又
因为uuurO是uuVur ABC 的uu外ur心，所以CD ^ AB ，即CB = CA，则VABC 是等腰三角形，uuur uuur uuur uuur uuur
由OA + OB = - 3OC 2 2 2，平方得OA + OB + 2OA ×OB = 3OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 OA = OB = OC =1，所以OA ×OB = OA × OB ×cos
1
∠AOB = ，
2
即cos AOB
1 ∠AOB
= ，所以 AOB = 60 ，由圆的性质可知∠ACB = = 30 ，
2 2
则VABC 为顶角为30 的等腰三角形，故 D 正确.故选：C
题型 12 向量四心：垂心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
四心的向量统一形式：设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为垂心，则m : n : p = tan A : tan B : tan C .
SA : SB : Suuur C = tan A : tan B : tanCuuur uuur r
tan A· OA+ tan B · OB + tanC · OC = 0
【典例 1-1】 uuur uuur
p uuur
（19-20 高三· AB AC浙江绍兴·模拟）若O是VABC 垂心， A = 且
6 + = 2mAO
，则m =（ ）
tan C tan B
A 3． B 3 3 1． C． D．
6 3 2 2
【答案】A
【分析】由平面向量的数量积，结合同角三角函数的基本关系，正弦定理与三角恒等变换求解即可
uuur uuur
AB AC uuur
【详解】如图，点O是VABC 垂心， 在VABC 中，sin B sin C 0，由 + = 2mAO
tan C tan B
cosC uuur cos B uuur uuur uuur uuur uuur
有 AB + AC = 2mAO，连接CO并延长交 AB 于点D，则CD ^ AB ， ，
sin C sin B AO = AD + DO
cosC uuur cos B uuur uuur uuur cosC uuur2 cos B uuur uuur uuur uuur uuur所以 AB + AC = 2m AD + DO ，则 AB + AC × AB = 2m AD + DO × ABsin C sin B sin C sin B
设 AB = c, AC = b
cosC 2 cos B
，则 c + bc cos
p
= 2m AD ×c cos 0 = 2m ×b ×cos p ×c，所以
sin C sin B 6 6
cosC c2 cos B 3 cosC cos B 3+ bc = 3mbc，由正弦定理得 sin2 C + sin B sin C = 3msin B sin C ，
sin C sin B 2 sin C sin B 2
cosC sin C + cos B sin C 3 = 3msin B sin C ，因为 sinC 0，所以 cosC + cos B 3 = 3msin B，
2 2
1
cos 5p 3 3 - B ÷ + cos B = 3msin B，整理得： sin B = 3msin B ，因为 sin B 0，故m = ，
è 6 2 2 6
故选：A
【典例 1-2】
p uuuv uuuv
（19-20 高三上·浙江杭州·模拟）若O是VABC 垂心， A = 且
6 sin B cosC AB + sin C cos BACuuuv
= 2msin B sin C AO ，则m =（ ）
A 1． 2 B
3 C 3 3． ． D．
2 3 6
【答案】D
【分析】利用垂心的性质，连接CO并延长交 AB 于D，得到CD ^ AB ，把已知条件中的式子化简，得到
cosC uuuvAB cos B
uuuv uuuv uuuv+ AC = 2m × AD DO uuuv+ ，再两边同乘以 AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到sin C sin B
3 5p cosC + cos B = 3m ×sin B，再把 cosC 化为 cos - B ÷，整理后得到m 值.
2 è 6
【详解】在DABC 中， sin B sin C 0，由 sin B cosC AB + sin C cos BAC = 2msin B sin C AO ，得
cosC uuurAB cos B
uuur uuur
+ AC = 2m × AO ，连接CO并延长交 AB 于D，因为O是DABC 的垂心，所以CD ^ AB ，
sin C sin B
uuur uuur uuur cosC uuuv uuuv uuuv uuuv
AO = AD + DO ，所以 AB
cos B AC 2m AD DO uuuv+ = × + 同乘以 得，sin C sin B AB
cosC uuuv uuuv cos B uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvAB AB AC AB 2m AD DO AB cosC cos B
uuur uuur
× + × = × + × c2 + bc cos A = 2m × AD × AB = 2m ×bcos A ×c
sin C sin B sin C sin B
p
因为 A = cosC c2 cos B 3，所以6 + bc = 3mbc
由正弦定理可得
sin C sin B 2
cosC sin C 3+ cos B sin C = 3msin B sin C
2
又 sinC
5p
0 3，所以有 cosC + cos B = 3m ×sin B，而C = p - A - B = - B ，
2 6
cosC cos 5p 3 1
1
所以 = - B ÷ = - cos B + sin B，所以得到 sin B = 3msin B ，
è 6 2 2 2
而 sin B 0 3，所以得到m = ，故选：D.
6
【变式 1-1】 uuur uuur uuur uuuur
（2021·贵州遵义·模拟预测）已知VABC 的外接圆的圆心是 M，若PA + PB + PC = 2PM ，则 P 是VABC 的
（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】由题意画uuur出相uu关ur 示意uuu图r ，D、uuFuur分别u是uur AB 、PC 的中点，连PD，DM ，FM ，根据向量在几何
图形中的应用有PA + PB = 2PD，即得DM 与PF 共线即可知 P 与VABC 的关系.
【详解】 如图，D、F 分别是 AB 、PC 的中点，连PD，DM ，FM ，则有
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuur
∴ PC = 2 PM - PD = 2DM DM PF PC uuuur uuurPA + PB = 2PD，而PA + PB + PC = 2PM ， ，即有 = = ，有DM 与PF
2
共线，∵VABC 的外接圆的圆心是 M，有MD ^ AB，则PC ^ AB，同理有PB ^ AC，PA ^ BC ，
∴P 是VABC 的垂心.故选：D.
【变式 1-2】 uuur uuur uuur uuur
（20u2u0ur·安u徽uur·三模）uu设ur Or是VABC 所在平面上一点，点H 是VABC 的垂心，满足OA + OB + OC = OH ，且
3 ×OA + OB + 2 ×OC = 0，则角A 的大小是（ ）
3p p p p
A． B． C． D．
4 3 2 4
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由向量的减法运算可得OA + OB = CH ，从而可得 OA + OB × AB = CH × AB = 0，设点D是边 AB 的
uuur uuur
中点，即 OD × AB = 0，进而点O在边 AB 的中垂线上，即点O是VABC 的外心，利用向量的数量积求出 BOC
的值，从而可得uuur角Auu的ur 大uu小ur. uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为OA + OuBuur+ OuCuur= O
，所以 ，
uuur uuur uuur uu
Hur uuur uOuurA + OB = OH - OC
即OA + OB = CH ， OA + OB × AB = CH × AB = 0，
uuur uuur
即 OD × AB = 0（点D是边 AB 的中点），所以点O在边 AB 的中垂线上.
同理u点uurO在uuur边BC 的uu中ur 垂r线上.因此uuu点r O是VuuAurBCu的uur外心.设VABC 外接圆的半uuu径r u是uurR .
3 ×OA + OB + 2 ×OC = 0 3 ×OA = - 2OC - OB 3R2 = 2R2 + R2 + 2 2OC ×OB
uuur uuur
2 p p OC ×OB = 0 R cos BOC = 0 BOC = A = .故选：D2 4
【变式 1-3】
（19-20 高三·安徽滁州·阶段练习）在VABC 中， AB = 7, AC = 8，G 为VABC 的重心，H 为VABC 的垂心.则
GH × BC =
A．4 B．5 C．-4 D．-5
【答案】D
【解析】先由题意 G 为VABC 的重心，H 为VABC 的垂心可得： AG
2 1 1
= (AB+ AC) = (AB+ AC)
3 2 3 ，
AH × BC = 0，再利用向量的减法法则和数量积的运算即可.
【详解】因为 G 为VABC 的重心，H 为VABC 的垂心，
2 1 1
所以 AG = (AB+ AC) = (AB+ AC)
3 2 3 ， AH × BC = 0，
GH 1
2 2
则 × BC = (AH - AG) × BC = - AG× BC = - (AB+ AC) × (AC- AB)
1 1
= (AB - AC ) = (49 - 64) = -5
3 3 3
故选：D
题型 13 向量四心：重心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
四心的向量统一形式：设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为重心，则m : n : p =1:1:1；
SA : SB : S = 1:1:1uuur uuur C uuur r
OA+ OB + OC = 0
【典例 1-1】
（2022·辽宁朝阳uu·u一v 模）uuu在v VABC 中，G 为VABC 的重心，过G 点的直线分别交 ， AC 于 P ，
Q两点，
uuuv uuuv AB
且 AP = hAB ， AQ = k AC ，则16h + 25k 的最小值
A． 27 B．81 C．66 D． 41
【答案】A
uuuv 2 uuuuv 1 uuuv uuuv uuuv uuuv
【详解】设 M 为 BC 中点，则 AG AM
1 1 1 1 1
= = (AB + AC) = ( AP + AQ)，所以 + =1,
3 3 3 h k 3h 3k
\16h + 25k = (16h 25k)( 1 1 1+ + ) = (41 16h 25k ) 1 (41 2 16h 25k+ + + × ) = 27
3h 3k 3 k h 3 k h
当且仅当 4h = 5k 时取等号，所以选 A.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件
要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出
现错误.
【典例 1-2】
（2018·辽宁朝阳·一模）在VABC 中，G 为VABC 的重心，过G 点的直线分别交 AB ， AC 于 P ，Q两点，
uuuv uuuv uuuv uuuv 1 1
且 AP = hAB ， AQ = k AC ，则 + =h k
A．3 B． 4 C．5 D．6
【答案】A
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuuv uuuv uuuv uuuv
【详解】因为G 为三角形的重心，所以 AG = (AB + AC) = (AB + AC)3 2 3 ，又 AP = hAB ， AQ = k AC ，所以
uuuv 1 uuuv uuuv 1 uuuv uuuv 1 1 uuuv 1 1 uuuvAB AP AC AQ AG AP 1 1 1 1= ， = ，所以 = × + × AQ ，因为 P,Q,G 三点共线，所以 × + × =1，故
h k 3 h 3 k 3 h 3 k
1 1
+ = 3，故选 A.
h k
【变式 1-1】
（高三上·湖南株洲·阶段练uu习ur）如uu右ur 图所uuu示r ，已uuu知r 点G 是VABC 的重心，过点G 作直线与 AB ， AC 两边分
别交于M ， N 两点，且 AM =xAB， AN = yAC，则 x + 2y 的最小值为
1
A． 2 B．
3
3 + 2 2 3C． D．
3 4
【答案】C
uuuur uuur 1 1
【分析】由题意可得MG = lGN ，利用三角形重心的向量表示，化简可得 + = 3x y .然后利用基本不等式来
求得最值.
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
【详解】因为M ， N ，G 三点共线，所以MG = lGN ，所以 AG - AM = l AN - AG 又因为G 是VABC 重
ì1 1
uuur 1 uuur uuur 1
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
- x = - l
心，所以 AG = AB + AC ，所以 AB + AC - xAB = l y AC - AB + AC3 3
3 3
÷，所以 í1 1 ，化简得3 è = l y - l
3 3
1 1
+ = 3 1 1 1 1 x 2y 1
x y ，由基本不等式得
x + 2y = x + 2y + = 3 + + 3 + 2 23 è x y ÷ 3 ÷
è y x 3
ì x 2y
= y x
x 2 +1, y 2 + 2当且仅当 í1 1 即 = = 时，等号成立，故选：
C
+ = 3 3 6
x y
【变式 1-2】
（20-21 高三·福建泉州·阶段练习）如图所示，已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB，AC 两
uuur uuuur uuur uuur 1 1
边交于 M，N 两点 (点 N 与点 C 不重合 ) ，设 AB = xAM ， AC = y AN ，则 +x y 1的最小值为（- ）
A．2 B．1+ 2
3
C． D．
2 2 + 2 2
【答案】A
【分析】利用重心性质及M ， N ，G 共线得到 x ， y 的关系式，再构造重要不等式，求出最小值．
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuuur uuur
【详解】QG 为VABC 的重心，\ AG = (AB + AC) = (xAM + y AN ) 又QG 在线段MN3 2 3 上，
\ 1 x 1+ y =1\ x + y = 3
1 1 1
\ x + (y -1) = 2 \ + = [x + (y -1)](
1 1
+ )
3 3 x y -1 2 x y -1
1 (1 1 x y -1= + + + ) … 1 (2 + 2) = 2
2 y -1 x A2 故选： ．
【变式 1-3】
（23-24 高三上·湖北恩施·模拟）已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB, AC 两边交于M , N 两
M , N B,C uuur uuuur
uuur uuur 1 1
点（点 与点 不重合），设 AB = xAM ， AC = y AN ，则 +2x 1 2y 1的最小值为（ ）- -
A．1 B 1+ 2． C．2 D．1+ 2 2
2
【答案】A
uuur uuur uuuur
【分析】令D是BC 的中点，连接 AD ，易得 AG
1
= (y AN + xAM )，根据三点共线的推论有 x + y = 3，应用
3
基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
2
【详解】若D是BC 的中点，连接 AD ，点 G 是VABC 的重心，则 AD 必过G ，且 AG = AD ，
3
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuuur
由题设 AG = AD = (AC + AB) = (y AN + xAM )，又M ,G, N 共线，
3 3 3
所以 x + y = 3，即 2x -1+ 2y -1 = 4，注意 x, y (1,+ )，
1 1 1 ( 1 1 )(2x 1 2y 1) 1 由 + = + - + - = (2
2y -1 2x -1
+ + )
2x -1 2y -1 4 2x -1 2y -1 4 2x -1 2y -1
1 (2 2 2y -1 2x -1
2y -1 2x -1
+ × ) 3=1，当且仅当 = x = y =2x 1 2y 1，即 时等号成立，故目标式最小值为 1.4 2x -1 2y -1 - - 2
故选：A
冲高考
1．（24-25 高三上·山东青岛·模拟）已知抛物线C : y2 = 4xuuur 的焦点为
F
uuur uuu，点
M , N , P C
r 在 上，且uuur uu专题 10 向量三大定理与四心
目录
题型 01 基础思维：等分点型 ............................................................................................................................................1
题型 02 基础思维：起点不一致型 ....................................................................................................................................3
题型 03 三大定理：极化恒等式 ........................................................................................................................................4
题型 04 三大定理：奔驰定理 ............................................................................................................................................6
题型 05 等和线：基础思维 ................................................................................................................................................7
题型 06 等和线：圆代换型 ................................................................................................................................................9
题型 07 等和线：均值构造型 ..........................................................................................................................................10
题型 08 等和线：二次及高次构造型 ............................................................................................................................11
题型 09 等和线：差型 ......................................................................................................................................................13
题型 10 向量四心：内心 ..................................................................................................................................................14
题型 11 向量四心： ..........................................................................................................................................................15
题型 12 向量四心：垂心 ...................................................................................................................................................15
题型 13 向量四心：重心 ..................................................................................................................................................16
题型 01 基础思维：等分点型
【解题规律·提分快招】 uuur uuur
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线 l上三点 P1、P2、P ，且满足 PP1 = lP2P ( l -1)，在直线 l外任
uuur uuur r uuur r r r
取一点O，设OP r1 = a ，OP = b OP
a + lb 1 r l
2 ，可得 = = a + b .1+ l 1+ l 1+ l
重要结论：若直线 l上三点 P1、P2、 P ，O为直线 l外任一点，uuur uuur uuur
则OP = lOP
uuur 1
+ mOP l + m =1 .
uuur uu2ur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
证明：OP = OP1 + P1P = OP1 - lP2P = OP2 + P2P ，则OP - OPuuur uuur uuur uuur 1 r 2
= lP2P + P2P = (1+ l)P2P，
uuur uuur uuur uuur r r
则OP = OP2 + P2P = OP
OP1 - OP2 OP1 + lOP2 a + lb 1 ar l2 + = = = + b .1+ l 1+ l 1+ l 1+ l 1+ l
【典例 1-1】
uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur
（24-25 高三上·天津·阶段练习）在VABC 中， AN = NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB + AC ，
4 11
则实数m 的值为（ ）
1 3 5 7
A． B． C． D．
11 11 11 11
【典例 1-2】
uuur
A, B AN 2
uuur
（22-23 高三·天津南开·如图， 是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点， = AB ，点M 为线
uuuur 3
段 AC 中点，则DM =（ ）
1 uuur uuur uuur uuur
A． DC
1
+ DN 1 DC 2B． + DN
3 2 2 3
1 uuurDC 1
uuur
DN 2
uuur 1 uuur
C． + D． DC + DN
2 3 3 2
【变式 1-1】
（23-24 高三·江苏苏州·模拟）在平行四uu边ur 形 ABCuuDur中，r E ，uuFur分别在边 AD ，CD上， AE = 3ED ，
DF = FC ， AF 与 BE 相交于点G ，记BC = ar ，BA = b ，则 AG = （ ）
3 ar 6
r r
b 3 ar 6 b 6
r r
A． - B．- + C． a
r 3 6 r 3
- b D．- a + b
11 11 11 11 11 11 11 11
【变式 1-2】 uuur uuur uuur
（23-24 高三·天津·模拟）如图，在平行四边形 ABCD中，E 是BC 的中点， AE = 3AF ，则DF = （ ）
1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
A．- AB + AD B． AB - AD
3 3 3 3
1 uuurAB 5
uuur uuur uuur
C． - AD
1 AB 3D． - AD3 6 3 4
【变式 1-3】
（23-24 高三·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，O为线段 A0 A2025 外一点，若 A0 , A , A , A ,L, Auuuur r uuuuuur
中任意相邻
r r r uuur uuur uuuur uuu
1uuur2 3 2025
两点间的距离相等，OA0 = a,OA2025 = b ，则用 a,b 表示OA0 + OA1 + OA2 +L+ OA2025 ，其结果为（ ）
r r
2025(ar b) B 2026(ar b) C 1012(ar
r r r
A． + ． + ． + b) D．1013(a + b)
B．
题型 02 基础思维：起点不一致型
【解题规律·提分快招】
向量共线定理和向量基本定理 r r
①r 向量r 共线定理(两个向量之间的关系)：向量b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数l ，使得
b = la .
变uuu形r 形式：已uu知ur 直线uulu上r 三点A 、 B 、 P ，O为直线 l外任一点，有且只有一个实数l ，使得：
OP = (1- l) ×OA + l ×OB .
r r
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“ a 0 ”，否则l 可能不存在，也
可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当
两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这
两条直线不重合.
②u平r 面u向ur 量基本定理(平面内三个向量之间关系)： r
若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量r ur uur a
，有且只有一对实数l1、l2 ，
使 a = l1e1 + l2 e2 . ur uur
特别提醒：不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不u共r 线u，ur 就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意r
向量 a都可被这个平面的一组基底 e1 、 e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
【典例 1-1】 uuur uuur
（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形 ABCD中， AC 与BD相交于点O，EB = 3DE ，若
uuur uuur uuur l
AO = l AE + m BC l, m R ，则 =m （ ）
1
A - B 2 C 1． ．- ． D． 2
2 2
【典例 1-2】
（2023 高三·全国·专题练习）在uuu平r 行四边uu形ur ABCD 中uu，ur AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是线段 OD 的中点，AE
的延长线与 CD 交于点 F，若 AC ＝a，BD＝b，且 AF ＝λa＋μb，则 λ＋μ 等于（ ）
3 2
A．1 B． C． D 1．
4 3 2
【变式 1-1】
（15-16 高三·广东·模拟uu）ur在平行u四uur边形r ABCuDuur中，AC与BD 交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长
线与CD r交于点F．若AC = a ，BD = b ，则AF =
A． B．
C． D．
【变式 1-2】 uuur uuur uuur uuur uuur
（23-24 高三·山东烟台·阶段练习）在平行四边形 ABCD中，已知 AE = 2EB ，BF = 2FC ，则 AB =（ ）
9 uuur 6 uuur uuur uuur
A． AF + DE
6 9
B． AF + DE
13 13 13 13
6 uuurAF 9
uuur 9 uuur 6 uuur
C． - DE D． AF - DE
13 13 13 13
【变式 1-3】
π
（2023·山东·模拟预测）已知等腰直角三角形 ABC 中， A = ，M ， N 分别是边 AB ，BC 的中点，若
uuur uuur uuuur 2
BC = s AN + tCM ，其中 s， t为实数，则 s + t = （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
B．
题型 03 三大定理：极化恒等式
【解题规律·提分快招】
r r 1 r r uur r
设 a 2 2，b 是平面内的两个向量，则有 a ×b = é (a + b) - (a - b) ù4 uuur uuur r
① r几何解释 1（平行四边形模型）以 AB ， AD 为一组邻边构造平行四边形 ABCD， AB = a，AD = b ，则
uuur r r uuur r r r r 1 r r uuur uuurAC = a + b，BD = b - a ，由 a ×b = é(a
r
+ b)2 - (ar - b)2 ù ，得 AB
1
× AD = AC 2 - BD2 ．4 4
1
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”．
4
②几何解释 2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设 M 为对角线的交点，则由
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB AD 1 1 1× = AC 2 - BD2 变形为 AB × AD = AC 2 - BD2 = 4AM 2 - 4BM 2 ，得4 4 4 AB × AD = AM
2 - BM 2，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
【典例 1-1】
（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
1 uuur 2 uuur 2
线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， a ×b = AD - BC ，我们称为极化恒等式. 已知在
uuur uuur4
VABC 中，M 是BC 中点， AM = 3，BC =10，则 AB × AC =（ ）
A．-16 B．16 C．-8 D．8
【典例 1-2】 uuur uuur uuur
（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知eC 的半径为 2， AB = 2 ，则 AB × AC =（ ）
A．1 B．-2 C．2 D． 2 3
【变式 1-1】
（2020·全国·模拟预测）如图，已uu知uv 圆uuuvO的半径为 2， AB 是圆O的一条直径，EF 是圆O的一条弦，且
EF = 2，点 P 在线段EF 上，则PA × PB 的最小值是（ ）
A．1 B．-2 C．-3 D．-1
【变式 1-2】
uuuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur
（2023·广东深圳·模拟预测）若等边VABC 的边长为 2，平面内一点M 满足CM = CB + CA3 3 ，则MA × MB =
（ ）
8 13 8 13
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
【变式 1-3】
（19-20 高三下·四川乐山·阶段练习）伟大的法国数学家笛卡尔 Descartes1596～1650 创立了直角坐标系.他
用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系
又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题
的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形 ABCD中， AB//CD ，
BAD＝90 ， BCD＝60 uuur uuur ，E 是线段 AD 上靠近
A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若 AB = 2 ，
AD = 3 ，则EB × EF = （ ）
7 11 7 11
A． B． C． D．
3 3 9 9
题型 04 三大定理：奔驰定理
【解题规律·提分快招】uuur uuur uuur r
P 为DABC内一点， a PA + b PB + c PC = 0，则 SDPBC：SDPAC：SDPAB = a：b：c .
SDPBC a S= DPAC b SDPAB c重要结论： = =SDABC a + b + c
， SDABC a + b + c
， S .DABC a + b + c
结论 1：对于DABCuuur uuur 内uu的ur任意一点
P ， 若DPBC 、DPCA、DPAB的面积分别为 SA、 Sr B
、 SC ，则：
SA × PA + SB × PB + SC × PC = 0 .
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论 2：对于DABC平面内u的uur任意一点uuPur，若点uPuu在r DrABC的外部，并且在 BAC 的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有-SDPBC × PA + SDPAC × PB + SPAB × PC = 0 .uuur uuur uuur r
结论 3：对于DABC内的任意一点 P ， 若l1 PA + l2 PB + l3 PC = 0 ，则DPBC 、DPCA、DPAB的面积之比为
l1：l2：l3 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角uu形ur 面积uu之ur 比等uu于ur权系r 数之比.
结论 4：对于DABC所在平面内不在三角形边上的任一点 P ，l1 PA + l2 PB + l3 PC = 0 ，则DPBC 、DPCA、
DPAB的面积分别为 l1 ：l2 ：l3 .
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之
比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
uuur uuur uuur r
mOA+sOB+tOC = 0
S
1 DABO t（） = ；（2）SDABO：SS m+s+t DACO
: SDCBO = t：s：m
DABC
【典例 1-1】
（23-24 高三·上海浦东新·模拟）O是平面上一定点，A ， B ，C 平面上不共线的三个点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuurAB AC OP = OA + l uuur + uuur ÷ ，l R ，则 P 的轨迹一定通过VABC 的（ ）
è AB cos ABC AC cos BCA
÷
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【典例 1-2】
（2018·河北衡水·模拟预测）已知O是平面上的一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur uuur
OP OB + OC
= + l uuurAB uuurAC+ ÷，l (0，+ ) ，则动点 P 的轨迹一定通过VABC 的（
2 ÷ ）
è AB cos B AC cosC
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式 1-1】
（14-15 高三·全国·课后作业）已知O是平面上一定点，A ﹑ B ﹑C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP OA l AB AC= + uuur +
÷
uuur ÷，l 0, + ，则点 P 的轨迹一定通过VABC 的
AB sin B AC sin C ÷
è
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式 1-2】
（24-25 高三下·湖南长沙·开学考试）已知点 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点
uuur uuur uuur uuur
P 满足OP
AB AC
= OA + l uuur + uuur ÷ l 0, + ，则点 P 的轨迹一定通过VABC 的（ ）
è∣AB∣∣AC∣
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式 1-3】
（20-21 高三·重庆·模拟u）uur奔驰定uu理ur ：已知uuurO是rVABC 内的一点，若VBOC 、△AOC 、VAOB 的面积分别记
为 S1、 S2、 S3 ，则 S1 ×OA + S2 ×OB + S3 ×OC = 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理
对uuur应的u图uur形与uu“u奔r 驰r”轿车的
logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是VABC 的垂心，且
OA + 2OB + 4OC = 0 ，则 cos B = ( )
2 1 2 3
A． B． C． D．
3 3 3 3
B．
题型 05 等和线：基础思维
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur
形如OP = lOA + mOB(l, m R) ，求l + m 值或者范围，其中可以理解对应系数如l + m = 1gl +1gm ，称之为
“和”系数为 1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
【典例 1-1】
（18-19 高三下·上海普陀·开学考试）在平面四边形 ABCD中，已知DABC的面积是DACD的面积的 3 倍，若
uuuv 1 uuuvx、y AC 3 AB 1 1
uuuv
存在正实数 使得 = - ÷ + - ÷ AD成立,则 x + y 的最小值为
è x è y
A 3 + 2 B 3 + 3 C 2 + 2 D 2 + 3． ． ． ．
5 5 5 5
【典例 1-2】
（2017·四川成都·一模）如图，在边长为 2 的正六边uu形uv ABCuuDuvEF 中
Q
uuu，v 动圆 的半径为 1，圆心在线段CD（含
端点）上运动， P 是圆Q上及内部的动点，设向量 AP = mAB + nAF （m ， n 为实数），则m + n的取值范围
是
A． 1,2 B． 5,6 C． 2,5 D． 3,5
【变式 1-1】
（2020·上海·模拟预测）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD中，动圆Q的半径为 1，圆心Quuur uuur uuur 在线段BC （含
端点）上运动， P 是圆上及内部的动点，设向量 AP = mAB + nAD m,n R ，则m + n的取值范围是（ ）
é
1 2 2
ù é ù
A． ê - , 2
3 2
+ ú B．4 4 ê
, 2 +
4 4 ú
é3 9 ù é 2 9 ù
C． ê , ú D．4 4 ê
1- , ú
4 4
【变式 1-2】
（19-20 高三上·山西太原·阶段练习）如图，腰长为 4 的等腰三角形 ABC 中， Au=uu1r20 ，uuu动r 圆
Q
uuur的半径
R = 1，圆心Q在线段 BC （含端点）上运动， P 为圆Q上及其内部的动点，若 AP = mAB + nAC(m, n R)，
则m + n的取值范围为（ ）
[1 , 3] 3A． B．[1, 3] C．[ , 2]
5
D．[2, ]
2 2 2 2 2
【变式 1-3】
（19-20 高三上·上海浦东新·模拟）如图，边长为 4 的正方形 ABCD中，半径为 1 的动圆Q的圆心Quuuv uuuv uuuv 在边CD
和DA上移动（包含端点A 、C 、D），P 是圆Q上及其内部的动点，设BP = mBC + nBA（m, n R ），则m + n
的取值范围是（ ）
A．[ 2 -1,2 2 +1] B．[4 - 2 2,4 + 2 2]
C 2 2 2 2．[1- ,2 + ] D．[1- ,2 + ]
2 2 4 4
题型 06 等和线：圆代换型
【解题规律·提分快招】
如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解
【典例 1-1】 uuur
（20-21 高三·江苏南京·模拟）在扇形OAB 中， AOB = 60o ， OA =1，C 为弧 AB 上的一个动点，且
uuur uuur uuur
OC = xOA + yOB．则 x + 4y 的取值范围为（ ）
A．[1, 4) B．[1, 4] C．[2,3) D．[2,3]
【典例 1-2】
（高uuu三r ·安u徽uur合肥u·u阶ur 段练习）如图，在扇形OAB 中， AOB = 60
0 ，C 为弧 AB 上且与 A, B不重合的一个动点，
且OC = xOA + yOB，若u = x + l y （l > 0）存在最大值，则l 的取值范围为（ ）
A． (1,3) (
1
B． ,3)
1 1
C． ( ,1) D． ( , 2)
3 2 2
【变式 1-1】
（2021·u浙uur江金uuur华·三模uu）ur 半u径uur为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB=120°，C 为弧上的动点，已知m·n 0，记
M =| mOC -OA| + | nOC -OB |，则（ ）
A．若 m+n=3，则 M 的最小值为 3
B．若 m+n=3，则有唯一 C 点使 M 取最小值
C．若 m·n=3，则 M 的最小值为 3
D．若 m·n=3，则有唯一 C 点使 M 取最小值
【变式 1-2】 uuur uuur
（uuu2r0-21uu高ur 三·四uuur川成都·模拟）如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧
AB 上一点，OA ×OB = -18，若
OC = xOA + yOB，则3x + 2y 的最大值为（ ）
A 2 51 B 57 C 2 57 D 51． ． ． ．
3 3 3 3
【变式 1-3】
3π
（23-24 高三·河南信阳·阶段练习）如图，点C 是半径为1的扇形圆弧 AB 上一点，且 AOB = ，若
uuur uuur uuur 4
OC = xOA + yOB，则 x + 2y 的最大值是（ ）
A 1 B 5． ． C． 10 D．4
2
题型 07 等和线：均值构造型
【解题规律·提分快招】
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
a＋b
基本不等式： ab≤ ；
2
(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
(3) 基本不等式的变形：
a＋b
①a＋b≥2 ab，常用于求和的最小值；②ab≤ 2( 2 ) ，常用于求积的最大值；
【典例 1-1】 uuuv uuuv
（2019·安徽·一模）在DABC中，点D是 AC 上一点，且 AC = 4AD， P 为BD上一点，向量
uuuv uuuv uuuv 4 1
AP = l AB + m AC l > 0, m > 0 ，则 +l m 的最小值为
A．16 B．8 C．4 D．2
【典例 1-2】 uuur uuur
（20-21 高三上·黑龙江七台河·模拟）在VABC 中，E 为 AC 上一点，且 AC = 4 AE ，P 为 BE 上一点，且
uuur uuur uuur 1 1 r
AP = mAB + nAC(m > 0, n > 0)，则 + 取最小值时，向量a = (m,n)的模为（ ）
m n
A 5． B 6 5． C． D．2
4 6 6
【变式 1-1】
（湖北武汉市蔡甸区汉阳一中 2021 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图，RtVABC 中， P 是斜边BC
uuur 1 uuur uuuur uuur uuur uuur
上一点，且满足：BP = PC ,点M , N 在过点 P 的直线上，若 AM = l AB, AN = m AC , (l, m > 0) ,则l + 2m 的
2
最小值为
8 10
A．2 B． C．3 D．
3 3
【变式 1-2】
uuur 1 uuur
（2022 安徽淮北·二模）如图，RtVABC 中， P 是斜边BC 上一点，且满足：BP = PC ,点M , N 在过点 P 的
uuuur uuur uuur uuur 2
直线上，若 AM = l AB, AN = m AC , (l, m > 0) ,则l + 2m 的最小值为
8 10
A．2 B． C．3 D．
3 3
【变式 1-3】 uuur uuuur
（2023·广西·一模）如图，在△ABC 中，M 为线段 BC 的中点，G 为线段 AM 上一点且 AG = 2GM ，过点 G
uuur uuur uuur uuur 1 1
的直线分别交直线 AB、AC 于 P、Q 两点， AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ(y > 0），则 +x y +1 的最小值为
（ ）
3 4
A． B．1 C． D．44 3
B．
题型 08 等和线：二次及高次构造型
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur
形如OP = lOA + mOB(l, m R) ，求关于l与m 二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于l, m 的不等式中没有l × m ，所以取 t = l + m ，建立l, m 之间的关系；
（3）用判别式求得 t 的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及 t 的范围求出最值.
【典例 1-1】
uuur 3 uuur uuur uuur uuur
（高三上·福建福州·模拟）在△ABC 中，点D 满足 BD = BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若 AE = l AB + m AC ，
4
2
则 t = l -1 + m 2 的最小值是( )
9 41
A 3 10 B 82． ． C． D．
10 4 10 8
【典例 1-2】
uuur 3 uuur
（23-24 高三·安徽宿州·模拟）在VABC 中，点D满足BD = BC ，点E 在射线 AD（不含点 A）上移动，若
uuur uuur uuur 4
AE = l AB + m AC,则 (m + 2)2 + l 2 的取值范围是（ ）
A．[4,+ ) B． (4, + ) C． (1,+ ) D．[1,+ )
【变式 1-1】 uuur uuur
（23-24 高三·广西南宁·阶段练习）在VABC 中，点 O 满足BO = 2OC ，过点 O 的直线分别交射线 AB ， AC
uuuur 1 uuur uuur uuur
于不同的两点 M，N．设 AM = AB ， AN
1
= AC ，则
m n m
2 + n 的最小值是（ ）
3 23
A．3 B．1 C． D．
16 16
【变式 1-2】 uuur uuur
（20-21 高三·四川成都·u阶uur段练u习uu）ur 如uuu图r ，在uuuDr ABC中，点O满足BO = 2OC ，过点O的直线分别交直线
AB, AC
于不同的两点M , N .设 AB = mAM , AC = nAN , 则m2 + n2 的最小值是（ ）
9
A． B． 2 C． 2 D 3 5．5 5
【变式 1-3】 uuur uuur
（21-22 高三上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在VABC中，D是线段BC 上的一点，且BC = 4BD，过点D
uuuur uuur uuur uuur 1
的直线分别交直线 AB ， AC 于点M ， N .若 AM = l AB， AN = m AC(l > 0, m > 0)，则l - m 的最小值是
（ ）
A．3 B． 2 3 - 4
C． 2 3 D． 2 2 - 3
题型 09 等和线：差型
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur
形如OP = lOA + mOB(l, m R)
ml - tm
，求 值或者范围，有如下思维：
1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
2. 可以借助等和线，找到l + m =定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
【典例 1-1】 uuur uuur
（22-23 高三下·河北唐山·阶段练习）如图，在VABC 中，D是线段BC 上的一点，且BC = 4BD，过点D的
uuuur uuur uuur uuur 1
直线分别交直线 AB ， AC 于点M ， N ，若 AM = l AB ， AN = m AC l > 0, m > 0 ，则m - 的最小值是
l
（ ）
A 2 3 - 4 B 2 3 + 4 C 2 3． ． ． - 7 D 2 3 + 2．
3 3 3 3
【典例 1-2】 uuuur uuuur uuuur uuur uuur
（22-23 高三·湖南岳阳·模拟）VABC中，点M 为边 AC 上的点，且 AM = 3MC ，若BM = lBA + m BC ，则m - 2l
的值是（ ）
1 1
A． B．1 C．0 D4 ．- 2
【变式 1-1】
（uuu2r3-24uu高ur 三上uu·u河r 北邢台·阶段练习）在VABC 中，D 是边 BC 上一点，且CD = 3BD ，E 是 AD 的中点，若
AE = xAB + y AC ，则 x - y = （ ）
1 1 1 1
A． B． C．- D．-4 3 4 3
【变式 1-2】
（23-24 高三上·山东uuur·开学u考uur试）uu如ur图，在平行四边形 ABCD中，O为对角线的交点，E 为 AD 的中点，F
为CO的中点，若EF = xOC + yOD ，则 x - 2y =（ ）
5 3
A．1 B．2 C． D．
3 2
【变式 1-3】
（uuu2r3-24uu高ur三·江uuu苏r 南通·阶段练习）在锐角VABC 中， AD 为BC 边上的高， tan C = 2 tan B，
AD = xAB + y AC ，则 x - y的值为（ ）
1 1 1 1A．- B． C．-2 D．2 3 3
题型 10 向量四心：内心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
四心的向量统一形式：设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为内心，则m : n : p = a : b : c；
SA : SB : SC = a :b :cuuur uuur uuur r
a · OA+ b · OB + c · OC = 0
【典例 1-1】
（2017·浙江·模拟预测）已知RtVABC 中， AB = 3, AC = 4, BC = 5uuur uuur uuur ， I 是VABC 的内心， P 是VIBC 内部（不
含边界）的动点，若 AP = l AB + m AC(l, m R) ，则l + m 的取值范围是（ ）
7 1 ,1 1 7 1 A． ,112 ÷ B
．
è 3 ÷
C． , D ,1
è è 4 12 ÷
． ÷
è 4
【典例 1-2】
（2022 高三·全国·专题练习）在△ ABC 中， AB=3， AC=4，BC=5，O 为△ ABC 的内心，若
uuur uuur uuur
AO = l AB + mBC ，则l + m =（ ）
2 3 5 3
A． B． C． D．
3 4 6 5
【变式 1-1】 uuur uuur
（21-22 高三·四川成都·模拟）在VABC 中， AB = 3, BC = 7, AC = 2，若点O为VABC 的内心，则 AO × AC
的值为（ ）
7 15
A．3 B． C．5 - 7 D．2 2
【变式 1-2】
（2021·甘肃平凉·二模）在VABC 中， AB = 6， AC = 8，BC =10，M 为BC 中点，O为VABC 的内心，且
AO = l AB+ m AM ，则l + m = （ ）
7 2 3
A． B． C． D．1
12 3 4
【变式 1-3】
（21-22 高三·江苏盐城·阶段练习）已知在VABC 中， AB = BC = 3， AC = 4，设O是VABC 的内心，若
uuur uuur uuur m
AO = mAB + nAC ，则 = （n ）
3 9 4 16
A． B． C． D．
4 16 3 9
题型 11 向量四心：外心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为外心，则m : n : p = sin 2A : sin 2B : sin 2C ；
SA : SB : SC = sin2A :sin2B :sin2Cuuur uuur uuur r
sin2A· OA+ sin2B · OB + sin2C · OC = 0
【典例 1-1】
uuur uuur uuur r uuur
（22-23 高三上·山西吕梁·阶段练习）设 O 为VABC 的外心，且满足 2OA + 3OB + 4OC = 0， OA =1，下列结
论中正确的序号为 ．
uuur uuur 7 uuur
① OB ×OC = - ；② AB = 2 ；③ A = 2 C ．
8
【典例 1-2】
（22-23 高三·重庆渝uuu中r ·模u拟uur）某uu同ur学在r 查阅资料时，发现一个结论：已知 O 是VABC 内的一点，且存在
x, y, z R ，使得 xOA + yOB + zOC = 0，则 S△AOB : S△AOC : S△COB = z : y : x ．请以此结论回答：已知在VABC
π B π
uuur uuur uuur
中， A = 4 ，
= ，O 是VABC 的外心，且 AO = l AB + m AC l, m R ，则l + m = ．
3
【变式 1-1】
uuur
（22-23 2高三·上海杨浦·模拟）在锐角三角形 ABC 中， cos A = ， BC = 2 ，点 O 为△ABC 的外心，则
uuur uuur uuur 2
3OA + 2OB + OC 的取值范围为 .
【变式 1-2】 uuur uuur
（23-24 高三·浙江·模拟）已知VABC 中，点G 、O分别是重心和外心，点 D为 BC 边中点，且 AG × AO = 6，
uuur
DG 4= ，则边BC 的长为 ．
3
【变式 1-3】 uuur uuur uuur
（22-23 高三·广东广州·模拟）已知VABC 的外心是O，其外接圆半径为 1，设OA = lOB + mOC ，则下列错
误的是（ ）．
A．若l = -1，m = 0，则VABC 为直角三角形
B．若l = m = -1，则VABC 为正三角形
3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5
C．若l = - ，m = -2，则OA ×OB + OB ×OC + OC ×OA = -
2 4
D．若l = -1，m = - 3 ，则VABC 为顶角为30 的等腰三角形
题型 12 向量四心：垂心
【解题规律·提分快招】
uuur uuur uuur r
四心的向量统一形式：设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为垂心，则m : n : p = tan A : tan B : tan C .
SA : SB : SC = tan A : tan B : tanCuuur uuur uuur r
tan A· OA+ tan B · OB + tanC · OC = 0
【典例 1-1】 uuur uuur
p uuur
（19-20 高三·浙江绍兴· O VABC A = AB AC模拟）若 是 垂心， 且
6 + = 2mAO
，则m =（ ）
tan C tan B
A 3 B 3 3 1． ． C． D．
6 3 2 2
【典例 1-2】
p uuuv uuuv
（19-20 高三上·浙江杭州·模拟）若O是VABC 垂心， A = 且 sin B cosC AB + sin C cos BAC
uuuv 6
= 2msin B sin C AO ，则m =（ ）
A 1 B 3 3． 2 ． C． D
3
．
2 3 6
【变式 1-1】 uuur uuur uuur uuuur
（2021·贵州遵义·模拟预测）已知VABC 的外接圆的圆心是 M，若PA + PB + PC = 2PM ，则 P 是VABC 的
（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式 1-2】 uuur uuur uuur uuur
（20u2u0ur·安u徽uur·三模）uu设ur Or是VABC 所在平面上一点，点 H 是VABC 的垂心，满足OA + OB + OC = OH ，且
3 ×OA + OB + 2 ×OC = 0，则角A 的大小是（ ）
3p p p p
A． B． C． D．
4 3 2 4
【变式 1-3】
（19-20 高三·安徽滁州·阶段练习）在VABC 中， AB = 7, AC = 8，G 为VABC 的重心，H 为VABC 的垂心.则
GH × BC =
A．4 B．5 C．-4 D．-5
题型 13 向量四心：重心
【解题规律·提分快招】 uuur uuur uuur r
四心的向量统一形式：设 X 是VABC 内一点且mXA + nXB + pXC = 0；
若 X 为重心，则m : n : p =1:1:1；
SA : SB : SC = 1:1:1uuur uuur uuur r
OA+ OB + OC = 0
【典例 1-1】
（2022·辽宁朝阳uu·u一v 模）uuu在v VABC 中，G 为VABC 的重心，过G 点的直线分别交 AB ， AC 于 P ，
Q两点，
uuuv uuuv
且 AP = hAB ， AQ = k AC ，则16h + 25k 的最小值
A． 27 B．81 C．66 D． 41
【典例 1-2】
（2018·辽宁朝阳·一模）在VABC 中，G 为VABC 的重心，过G 点的直线分别交 AB ， AC 于 P ，Q两点，
uuuv uuuv uuuv uuuv 1 1
且 AP = hAB ， AQ = k AC ，则 + =h k
A．3 B． 4 C．5 D．6
【变式 1-1】
（高三上·湖南株洲·阶段练uu习ur）如uu右ur 图所uuu示r ，已uuu知r 点G 是VABC 的重心，过点G 作直线与 AB ， AC 两边分
别交于M ， N 两点，且 AM =xAB， AN = yAC，则 x + 2y 的最小值为
1
A． 2 B．
3
3
C 3 + 2 2． D．
3 4
【变式 1-2】
（20-21 高三·福建泉州·阶段练习）如图所示，已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB，AC 两
uuur uuuur uuur uuur 1 1
边交于 M，N 两点 (点 N 与点 C 不重合 ) ，设 AB = xAM ， AC = y AN ，则 +x y 1的最小值为（- ）
A．2 B．1+ 2
3
C． D．
2 2 + 2 2
【变式 1-3】
（23-24 高三上·湖北恩施·模拟）已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB, AC 两边交于M , N 两
uuur uuuur uuur uuur 1 1
点（点M , N 与点B,C 不重合），设 AB = xAM ， AC = y AN ，则 +2x 1 2y 1的最小值为（ ）- -
A．1 B 1+ 2． C．2 D．1+ 2 2
2
冲高考
1．（24-25 高三上·山东青岛·uu模ur拟）已知抛物线
C : y2 = 4x 的焦点为 F，点M , N , P 在 C 上，且
uuur uuur uuur r uuur uuur
MF + 2NF + 2PF = 0 ，则 | MF |的取值范围是 ， | MF | +2 | NF |的最小值为 ．
2．（24-25 高三上·吉林长春·模拟）如图，边长为 4 的等边VABC ，动点 P 在以 BC 为直径的半圆上，若
uuur uuur uuur
l 1AP = l AB + m AC ，则 + m 的取值范围是 ．
2
uuur uuur
AC AB 33．（2024·天津河西·模拟预测）在梯形 ABCD中， AB / /CD ， AD =1， AB = 3，CD =1， × = ，点M
2
uuuur 1 uuur uuur uuur
满足 AM = AB ，则 BAD = ；若BD与CM 相交于点 P ， N 为线段 AC 延长线上的动点，则
3 NP × NB
的最小值为 .
4．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知两点M - 3,0 , N 3,0 ，动点 P 满足 MPN = 60 ，直线 x - my = 0
uuur uuur
与动点 P 的轨迹交于 A 、B 两点.当m =1时， AB = ；当m R 时，MA × MB 的最小值为 .
r r r r r r r r r r r
5．（20-21 · 2 2高三 浙江嘉兴·模拟）已知平面向量 a，b ， c 满足 a =1， b = 2， a = a ×b， 2c = b ×c ，则
cr ar 2 cr
r 2
- + - b 的最小值为 .
r r r
6．（23-24 r r高三·山东日照·模拟）已知平面向量 a,b ,c 对任意实数 x, y
r r r r r r
都有 a - xb a - b ， a - yc a - c 成
r r r r
立．若 | a |= 2 ，则b × c - a 的取值范围是 ．
