专题 13 数列综合大题
目录
题型 01 求和基础思维 ........................................................................................................................................................1
题型 02 求和基础方法：分组公式法 ..............................................................................................................................3
题型 03 分段型求和 ............................................................................................................................................................4
题型 04 正负相间型 ..........................................................................................................................................................7
题型 05 错位相消思维 ......................................................................................................................................................10
题型 06 函数中心对称性质型 ..........................................................................................................................................13
题型 07 裂项求和难点：裂项基础型 ..............................................................................................................................16
题型 08 裂项求和难点：分母线性差（函数型） ..........................................................................................................18
题型 09 裂项求和难点：裂和型 ......................................................................................................................................20
题型 10 裂项求和难点：齐次分离常数型 ......................................................................................................................22
题型 11 裂项求和难点：同构型 ......................................................................................................................................25
题型 12 裂项求和难点：分母有理化型 ..........................................................................................................................28
题型 13 放缩型不等式：先求和再放缩 ..........................................................................................................................30
题型 14 放缩型不等式：先放缩再求和 ..........................................................................................................................33
题型 15 求导数函数型数列不等式 ..................................................................................................................................36
题型 16 插入数型 ..............................................................................................................................................................39
题型 01 求和基础思维
【解题规律·提分快招】
ìS , n =1
1对于公式 an = í
Sn - Sn-1,n 2
（1）当 n 2 时，用n - 1替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 Sn - Sn-1 (n 2) 便可求出当 n 2
时 an 的表达式；
（2）当 n =1时， a1 = S1求出 a1；
（3）对 n =1时的结果进行检验，看是否符合 n 2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式
合写；如果不符合，则应该分 n =1与 n 2 两段来写．
【典例 1-1】
（22-23 高三·全国·）已知数列 an 中，a1 =1，Sn 是数列 an 的前 n 项和，且对任意 n N* ，有 an+1 = kSn +1
（ k 为常数）．
(1)当 k = 2时，求 a2、 a3 的值；
(2)试判断数列 an 是否为等比数列？请说明理由．
【答案】(1) a2 = 3， a3 = 9；
(2)当 k = -1时， an 不是等比数列；当 k -1时， an 是等比数列．
【分析】（1）由递推关系得出 a2、 a3 的值；
（2）由 an , Sn 的关系得出 an+1 = (k +1)an，讨论 k 的值，结合等比定义判断即可.
【详解】（1）由题意可得， a2 = 2S1 +1 = 3， a3 = 2S2 +1 = 2 (1+ 3) +1 = 9 .
（2）当 n 2时， an = kSn-1 +1.
由 an+1 = kSn +1， an = kSn-1 +1两式相减得 an+1 = (k +1)an .
当 k = -1时， an 不是等比数列；
a a
当 k -1 n+1时，可得 = k +1， n 2a ,
2
当 n =1时, a1 =1 , a2 = ka1 +1 ,所以 = k +1a ,故对任意的 n N
* 都有
n 1
an+1 = k +1 a
a ，此时数列 n 是等比数列.n
综上，当 k = -1时， an 不是等比数列；当 k -1时， an 是等比数列．
【典例 1-2】
（2024 高三· n北京·专题练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = 3 + 2n +1，求 an 的通项公式．
ì 6, n =1
【答案】 an = í
2 3
n-1 + 2,n 2
【分析】根据 an = Sn - Sn-1(n 2)，可求出 an 的通项公式.
【详解】当 n =1时， a1 = S1 = 6；
n 2 a = S - S = 3n当 时， n n n-1 + 2n +1 - n-1 n-1 é3 + 2 n -1 +1] = 2 3 + 2,
ì 6, n =1
由于 a1不适合此式，所以 an = í .
2 3
n-1 + 2,n 2
【变式 1-1】
（22-23 2高三·全国·模拟）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn = -2n + 3n +1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)数列 an 是否为等差数列？
ì2, n =1
【答案】(1) an = í
-4n + 5, n 2
(2)数列 an 不是等差数列
1 2【分析】（ ）根据 Sn = -2n + 3n +1直接求通项公式即可；
（2）根据等差数列相关概念进行判断即可.
【详解】（1）当 n =1时， a1 = S1 = -2 + 3 +1 = 2；
2 2
当 n 2时， an = S - S é ùn n-1 = -2n + 3n +1- -2 n -1 + 3 n -1 +1 = -4n + 5 .
又因为当 n =1时， a1 = 2不满足上式，
ì2, n =1
所以数列{an}的通项公式为 an = í
-4n + 5, n 2
（2）由（1）知，当 n 2时， an+1 - an = -4 n +1 + 5 - -4n + 5 = -4，
但 a2 - a1 = -3- 2 = -5，所以数列 an 不是等差数列
题型 02 求和基础方法：分组公式法
【解题规律·提分快招】
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
n n－1 n a1＋an
等差：前 n 项和公式：Sn＝na1＋ d＝ .2 2
na1，q＝1，
n
等比：前 n 项和公式：S ＝ a1 1－qn a1－anq{ ＝ ，q ≠ 1.1－q 1－q分组求和法：
1.形如 an＝ b（n 等差）+ c（n 等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如 an＝ b（n 等差比）+ c（n 裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如 an＝ bn + cn，（bn，cn为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
【典例 1-1】
（24-25 高三天津南开·）已知 S *n 为数列 an 的前 n 项和，满足 Sn = 2an -1,n N ，数列 bn 是等差数列，且
b1 = -a1 ，b2 + b4 = -10 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)求数列 an + bn 的前 n 项和.
(1) a = 2n-1 n N*【答案】 n ，bn = -2n +1 n N*
(2)Tn = 2n - n2 -1
【分析】（1）根据 an 与 Sn 之间的关系分析可知数列 an 为等比数列，即可得 an ；根据题意可得等差数列 bn
的公差为，即可得bn ；
2 n-1（ ）可得 an + bn = 2 - 2n -1 ，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为 Sn = 2an -1，当 n =1时， S1 = 2a1 -1 = a1，得 a1 =1，
当 n 2,n N*时，则 Sn-1 = 2an-1 -1，两式相减得， an = 2an - 2an-1，即 an = 2an-1，
n-1
且 a1 =1 0，可知数列 an 为等比数列，公比 q = 2，所以 an = 2 n N* .
设等差数列 bn 的公差为 d ，因为b1 = -1，且b2 + b4 = -1+ d + -1 + 3d = -2 + 4d = -10，解得 d = -2 ，
所以b *n = -2n +1 n N .
（2）由（1）知 a + b n-1n n = 2 + -2n +1 = 2n-1 - 2n -1 ，设 an + bn 的前 n 项和为Tn
n
则Tn = 1+ 2 + 4 +L+ 2n-1 1 3 5 L 2n 1 1- 2 n- + + + + - 1+ 2n -1 = - = 2n - n2 -1.
1- 2 2
【典例 1-2】
（19-20 高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列 an 是等差数列，满足a2 = 5,a4 = 9，数列 bn + an 是公比为 3
的等比数列，b1 = 3 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
【答案】(1) an = 2n +1， n N* b n-1． n = 6 3 - (2n +1),n N
*
(2) 3n+1 - 3 - n2 - 2n
【分析】（1）设出等差数列 an 的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知 a2 = 5， a4 = 9 ，可以求出公
差，最后求出通项公式；这样利用已知数列 bn + an 是公比为 3 的等比数列，且b1 = 3．可以得到数列 bn + an
的通项公式，最后求出数列 bn 的通项公式；
（2）根据等差数列和等比数列前 n 项和公式，利用分组求和法求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d．由 a2 = 5， a4 = 9 ，得9 = 5 + 2d ，解得 d = 2．
所以an = a2 + (n - 2)d = 5 + 2(n - 2) = 2n +1．即 an 的通项公式为：an = 2n +1， n N* ．
由于 bn + an 是公比为 3 的等比数列，且b1 + a1 = 6，所以bn + an = (b1 + a ) ×3n-11 = 6 3n-1．
b = 6 3n-1 - a = 6 3n-1 - (2n +1), n N*从而 n n ．
2 1 b = 6 3n-1 - (2n +1), n N* b n S = 6(1+ 3 +L+ 3n-1（ ）由（ ） n ．数列 n 的前 项和 n ) - [3 + 5 +L+ (2n +1)]
6(1- 3n ) n[3 + (2n +1)]
= - = 3n+1 - 3 - n2 - 2n．
1- 3 2
【变式 1-1】
（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）已知数列 an ， a1 = a2 =1， an+2 - 5an+1 + 6an = 0．
(1)证明：数列 an+1 - 2an ， an+1 - 3an 为等比数列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)求数列 an 的前 n 项和 Sn ．
n
【答案】(1)证明见解析(2) a = 2n n-1 3 3n - 3 (3) Sn = 2
n+1 - -
2 2
【分析】（1）根据已知条件得到 an+2 - 2an+1 = 3 an+1 - 2an ， an+2 - 3an+1 = 2 an+1 - 3an ，即可证明答案.
ìa n-1
2 í n+1
- 2an = -3
（ ）根据题意得到 ，再解方程组即可.
an+1 - 3a = -2 ×2
n-1
n
（3）利用分组求和的方法求解即可.
【详解】（1）因为 a1 = a2 =1， an+2 - 5an+1 + 6an = 0，
所以 an+2 - 2an+1 = 3 an+1 - 2an ， an+2 - 3an+1 = 2 an+1 - 3an .
而 a2 - 2a1 = -1 0， a2 - 3a1 = -2 0 ，所以 an+1 - 2an 0, an+1 - 3an 0，
an+2 - 2an+1 3 a= n+2 - 3an+1 = 2 a - 2a
an+1 - 2a
，
n an+1 - 3a
.所以数列 n+1 n 是以首项-1，公比为3的等比数列.
n
数列 an+1 - 3an 是以首项-2，公比为 2的等比数列.
ìa - 2a = -3n-1
2 1 í n+1 n n n-1 n n-1（ ）由（ ）知： a - 3a = -2 ×2n-1
， an = 2 - 3 .（3）因为 an = 2 - 3 ，
n+1 n
n
S = 21 + 22 +L+ 2n - 30 n n所以 n + 31 +L+ 3n-1 2 1- 2 1- 3= - = 2n+1 3 3- - .
1- 2 1- 3 2 2
题型 03 分段型求和
【解题规律·提分快招】
分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
1.分奇偶各自新数列求和
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
【典例 1-1】
（·山西吕梁·一模）已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn （ n N+ ），数列{bn}是等比数列，a1 = 3，b1 =1，
b2 + S2 =10， a5 - 2b2 = a3 .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
ì 2
, n为奇数
(2)若 cn = í Sn ，设数列{cn}的前 n 项和为Tn ，求T2n .
bn , n为偶数
(1) a = 2n +1 b = 2n-1【答案】 n ， n ；
(2)T 1+ 2
2n+1 1
2n = - .
3 2n +1
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{b qn}的公比为 （ q 0），根据等差等比数列通项公式
基本量的计算可得结果.
（2）求出 Sn = n(n + 2) ，代入求出 cn ，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为 d ，等比数列{bn}的公比为 q（ q 0），
ìq + 3+ 3+ d =10
由a1 = 3，b1 =1，b2 + S2 =10， a5 - 2b2 = a3 ，得 í3 4d 2q 3 2d ，解得
d = 2， q = 2，
+ - = +
n-1
所以an = 2n +1，bn = 2 .
n(3 + 2n +1)
（2）由（1）知， Sn = = n(n + 2)，2
c 2 1 1 n-1因此当 n 为奇数时， n = = - n c = 2n(n 2) n n 2 ，当 为偶数时， n ，+ +
所以T = c + c + c + c + c + ×××+ c + c (1
1 1 1 1 1
2n 1 2 3 4 5 2n-1 2n = - + - + ×××+ - ) + (2
1 + 23 + 25 + ×××+ 22n-1)
3 3 5 2n -1 2n +1
1 2(1- 4n ) 1+ 22n+1 1
=1- + = - .
2n +1 1- 4 3 2n +1
【典例 1-2】
（23-24 高三上·天津河东·阶段练习）已知 an 为等差数列， bn 为等比数列，
a1 = b1 =1, a5 = 5 a4 - a3 ,b5 = 4 b4 - b3 ．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2) b *记 n 的前 n 项和为Tn n N ，求 Tn 的前 n 项和Qn；
ì 3an - 2 bn
，n为奇数，
a
(3) n c = í n
an+2
对任意的正整数 ， n 求数列 cn 的前 2n项和 Sa 2n ． n-1
, n为偶数. bn+1
n
(1) a = n b = 2n-1【答案】 n ， n (2) Q = 2
n+1
n - n - 2 (3)
4 6n + 5 4
- -
2n +1 9 4n 9
【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
（2）用等比数列的前 n 项和公式求Tn ，再写出Tn 的前 n 项和，进而用分组求和法得到结果.
（3）分类讨论 n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和法与错位相减求和法计算
n n
c2k -1 和 c2k 的值，据此进一步计算数列 cn 的前 2n 项和即可.
k =1 k =1
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q .
由 a1 =1， a5 = 5 a4 - a3 ，即 a1 + 4d = 5d ，可得 d = 1 .从而 an 的通项公式为 an = n .由 b1 =1,b5 = 4 b4 - b3 ，
又 q 0，可得 q2 - 4q + 4 = 0 n-1 n-1，解得 q = 2，从而 bn 的通项公式为bn = 2 .故 an = n ，bn = 2 .
n
（2）由b1 =1, q = 2
1 1 - 2
可得T = = 2n -1. Qn = T1 +T2 +L+T = 21 -1 + 22 -1 +L+ 2nn -1n 1 - 2
2 1- 2n
= 21 + 22 +L+ 2n n+1+ n × -1 = - n = 2n+1 - n - 2故Qn = 2 - n - 2 .1- 2
c 3an - 2 bn (3n - 2)2
n-1 4 1 2n+1 2n-1
3 n-1（ ）当 n 为奇数时， n = = = - 2 = - ，anan+2 n(n + 2)
÷
è n + 2 n n + 2 n
c an-1 n -1当 n 为偶数时， n = =b n ，对任意的正整数 n，有n+1 2
n n 22k 22k -2 2
2 1 24 22 26 24 22n 22n-2 22nc2k -1 = - ÷ = - ÷ + - ÷ + - ÷ +L+ - ÷ = -1，
k =1 k =1 è 2k +1 2k -1 è 3 1 è 5 3 è 7 5 è 2n +1 2n -1 2n +1
n n 2k -1 1 3 5 2n - 3 2n -1 1 n 1 3 5 2n - 3 2n -1
和 c2k = 4k = +4 42 + 3 +L+ n-1 + n ①由①得 c = + + +L+ + k =1 k =1 4 4 4 4 2k 42 43 44 4n 4n+1k =1
3 n
② 由①-②得 c 1 2 2 2n -12k = + 2 +L+ n -4 k =1 4 4 4 4n+1
2 1 1-
1 2 2 L 2 2n 1
1
-
= - + 4
è 4n ÷ 1 2n -1 2 1- 2
+ + + ÷ - = - - 4n 1 2n -1 2 2 1 2n -14 è 4 42 4n 4n+1 n+1 = - - = - - -1 1- 4 4 3 4 4n+1 3 3 4n 4 4n+1
4
5 2 4 + 3 2n -1 5 6n + 5 3 n 5 6n + 5 n 5 6n + 5
= - n+1 = - ，即 c = - 从而得： c = - .12 3 4 12 3 4n+1 4
2k
k =1 12 3 4n+1
2k
k =1 9 9 4n
2n n n 2n c 2 5 6n + 5 4
n 6n + 5 4
因此， k = c2k -1 + c = -1 + 2k ÷ - n ÷ = - - .
k =1 k =1 k =1 è 2n +1 è 9 9 4 2n +1 9 4
n 9
c 2n 4
n 6n + 5 4
所以，数列 n 的前 项和为 - - .2n +1 9 4n 9
【变式 1-1】
ìan - 6, n为奇数（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 an 为等差数列，bn = í ，记 Sn ，Tn 分别为数列 an ， b
2an , n
n
为偶数
的前 n 项和， S4 = 32，T3 =16．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：当n > 5时，Tn > Sn．
【答案】(1) an = 2n + 3；(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，用 a1,d 表示 Sn 及Tn ，即可求解作答.
（2）方法 1，利用（1）的结论求出 Sn ，bn ，再分奇偶结合分组求和法求出Tn ，并与 Sn 作差比较作答；方
法 2，利用（1）的结论求出 Sn ，bn ，再分奇偶借助等差数列前 n 项和公式求出Tn ，并与 Sn 作差比较作答.
ìan - 6, n = 2k -1
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，而bn = í ,k N*
2a
，
n , n = 2k
则b1 = a1 - 6,b2 = 2a2 = 2a1 + 2d ,b3 = a3 - 6 = a1 + 2d - 6，
ìS4 = 4a1 + 6d = 32
于是 íT 4a ，解得
a1 = 5,d = 2， an = a1 + (n -1)d = 2n + 3，所以数列 an 的通项公式是
3 = 1 + 4d -12 =16
an = 2n + 3 .
n(5 + 2n + 3) ì2n - 3, n = 2k -1
（2）方法 1：由（1 S = = n2）知， n + 4n ，bn = í ,k N
*
2 4n + 6,n = 2k
，
当 n 为偶数时，bn-1 + bn = 2(n -1) - 3+ 4n + 6 = 6n +1，
T 13 + (6n +1) n 3 n2 7 n n 5 T 3 7 1n = × = + ，当 > 时， n - Sn = ( n2 + n) - (n2 + 4n) = n(n -1) > 0，因此T > S ，2 2 2 2 2 2 2 n n
n 3 2 7 3 2 5当 为奇数时，Tn = Tn+1 - bn+1 = (n +1) + (n +1) -[4(n +1) + 6] = n + n - 5，2 2 2 2
当n 5 T S (3 n2 5 n 5) (n2 4n) 1> 时， n - n = + - - + = (n + 2)(n - 5) > 0，因此T2 2 2 n
> Sn，
所以当n > 5时，Tn > Sn .
n(5 + 2n + 3) 2 ì2n - 3, n = 2k -1 *
方法 2：由（1）知， Sn = = n + 4n ，bn = í ,k N2 4n + 6,n 2k
，
=
当 n 为偶数时，Tn = (b1 + b3 +L+ bn-1) + (b b L b )
-1+ 2(n -1) - 3 n 14 + 4n + 6 n 3
2 + 4 + + n = × + × = n
2 7+ n，
2 2 2 2 2 2
当n > 5时，Tn - S (
3 n2 7n = + n) - (n
2 + 4n) 1= n(n -1) > 0，因此Tn > S ，2 2 2 n
当 n
-1+ 2n - 3 n +1 14 + 4(n -1) + 6 n -1
为奇数时，若 n 3，则Tn = (b1 + b3 +L+ bn ) + (b2 + b4 +L+ bn-1) = × + ×2 2 2 2
3 5
= n2 + n - 5，显然T1 = b1 = -1
3 2 5
满足上式，因此当 n 为奇数时，Tn = n + n - 5，2 2 2 2
n 5 T S (3 n2 5当 > 时， n - n = + n - 5) - (n2
1
+ 4n) = (n + 2)(n - 5) > 0，因此Tn > Sn，2 2 2
所以当n > 5时，Tn > Sn .
题型 04 正负相间型
【解题规律·提分快招】
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇
数项通项。
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知等差数列 an 满足：a1 = 3公差 d 0． 且 a1,a4 ,a13 恰为等比数列 bn
的前三项．
(1)求数列 an 与 bn 的通项公式：
(2)若数列 cn 满足： cn = an + bn，求数列 cn 前 n 项和 Tn ;
(3)求 -1 n an 的前 n 项和
n+1 ì-n - 2, n为奇数
【答案】(1) an = 2n +1；bn = 3
n (2)T 3 - 3n = n
2 + 2n + (3) S
2 n
= í
n,n为偶数
【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得 d = 2，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列
的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；
（2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果；
（3）根据题意，分 n 为奇数与 n 为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果.
2 2
【详解】（1）由 a1,a4 ,a13 为等比数列可得 a4 = a1 × a13 ，即 a1 + 3d = a1 × a1 +12d ，
即 3 + 3d 2 = 3 3+12d ，解得 d = 2或 d = 0 （舍），
所以 an = a1 + n -1 d = 2n +1，
又 bn 的前三项为 a1,a4 ,a13 ，即3,9,27，即b1 = 3,b2 = 9,b3 = 27，
公比 q
b2 9= = = 3 n-1 n
b 3 ，所以bn = 3 3 = 3 .1
n 2
（2）因为 cn = an + bn = 2n +1+ 3 ，则Tn = c1 + c2 + c3 +L+ cn = 3 + 3 + 5 + 3 + 7 + 33 +L+ 2n +1+ 3n
2 3 n n 3+ 2n +1
3 1- 3n n2 2n 3
n+1 - 3
= 3+ 5 + 7 +L+ 2n +1 + 3 + 3 + 3 +L+ 3 = + = + + .
2 1- 3 2
n n
（3）因为an = 2n +1，即 -1 2n +1 ，设数列 -1 2n +1 的前 n 项和为 Sn ，
当 n 为奇数时， Sn = -a1 + a2 - a3 +L- an = -3+ 5 - 7 +L+ 2n -1 - 2n +1
= -3+ 5 + -7 + 9 +L- 2n +1 2 n -1= - 2n +1 = -n - 2；
2
当 n 为偶数时， Sn = -a1 + a2 - a3 +L+ an = -3+ 5 - 7 +L- 2n -1 + 2n +1
= -3+ 5 + -7 + 9 +L+ é- 2n -1 + 2n +1 ù 2
n ì-n - 2, n为奇数
= = n2 ；综上所述，
Sn = í .
n,n为偶数
【典例 1-2】
（24-25 高二上·天津·阶段练习）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 = 4S2 ， a3n = 3an + 2 .
(1)求数列 an 的通项公式及数列 an 的前 n 项和 Sn ；
(2)设bn = -1
n a2n ，求数列 bn 的前 2n项和T2n .
2
【答案】(1) an = 2n -1， S 2n = n (2)8n
【分析】（1）由等差数列基本量法建立 a1,d 方程组并求解，进而求出通项公式可得；
（2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求.
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，由 a3n = 3an + 2，则 a3 = 3a1 + 2 .
ì4a1 + 6d = 4 2a1 + d ìd = 2a1
依题意， í ，即 í ，解得 a1 =1， d = 2，所以 an = 2n -1.
a1 + 2d = 3a1 + 2 a1 = d -1
n
S a1 + an n 1+ 2n -1 故 n = = = n2 .2 2
（2
n n
）由（1）得，bn = -1 a2n = -1 2n -1
2
，T2n = b1 + b2 + b3 + b4 + ××× + b2n-1 + b2n
= -12 + 32 - 52 + 72 - ×××+ -1 2n-1 4n - 3 2 + -1 2n 4n -1 2
2n 1+ 4n -12 1 = é + 3+ 5 + 7 + ×××+ 4n - 3 + 4n -1 ù = 2 = 8n2 .2
【变式 1-1】
（24-25 *高三上·天津南开·期末）已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 = 2,b2 = 4,an = 2log2bn , n N .
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
c
(2) n+1
an
若数列 cn 满足 c1 = 6，且 =c a .设 Sn 为数列 cn
*
的前 n 项和，集合 A = Sn Sn N ，求 A（用列举
n n+2
n
法表示）；(3)求 (-1)iaibi-1 .
i=1
ì n 1 2n+1 2 + ÷ × - ,n = 2k,k N
*
n è 3 9 9
【答案】(1) an = 2n，bn = 2
n
；(2) A = 6,8,9,10,11 (3) (-1)i aibi-1 = í
i=1 -
n 1 n+1 2
+ ÷ × 2 - ,n = 2k -1,k N
*
è 3 9 9
*
【分析】（1）求出 a2 = 4 ，从而得到公差，求出 an 的通项公式，并根据 an = 2log2bn , n N 求出 bn 的通项
公式；
cn+1 n 12 1 1
（2）在（1）基础上，得到 =c n + 2 ，累乘法得到
cn = =12 -
n n n +1 ÷
，裂项相消法求和得到
è n n +1
S 12 12n = - ， n +1 需要能整除 12，又n 1 n N
* ，故 n =1,2,3,5,11，得到答案；
+
n n
3 i i i i i（ ）在（1）基础上得到 (-1) aibi-1 = (-1) i × 2 ，先求当 n 为偶数时，表达出 (-1) aibi-1和 2 (-1) aibi-1，式
i=1 i=1
n
( 1)ia b n 1- = + ①+② × 2n+1 2子 ，并化简得到 i i-1 - ，若 n 为奇数，利用
i=1 è 3 9
÷
9
n n+1
(-1)ia b = (-1)ia b - (-1)n+1i i-1 i i-1 an+1bn 求和，从而得到答案.
i=1 i=1
【详解】（1）b2 = 4, a2 = 2log2b2 = 2log2 4 = 4，又 an 为等差数列， a1 = 2，设公差为 d ，
则 d = a2 - a1 = 4 - 2 = 2，故 an 的通项公式为 an = a1 + n -1 d = 2 + 2 n -1 = 2n，
a
又 an = 2log b
* n n
2 n , n N ，故bn = 2 2 = 2
n ，即 bn 的通项公式为bn = 2 ；
cn+1 an 2n n= = = c = 6 n -1 n -1 n - 2（2） c a 2n 4 n 2 ，其中 1 ， cn = cn-1 = × c
n -1 n - 2 n - 3
n-2 = × × c
n n+2 + + n +1 n +1 n n +1 n n -1
n-3
n -1 n - 2 n - 3 n - 4 c L n -1 n - 2 n - 3 n - 4L 2 1= × × × n-4 = = × × × × cn +1 n n -1 n - 2 n +1 n n -1 n - 2 4 3 1
2 c 2 6 12= = = =12 1 1-
n n +1 1 n n +1 n n +1 è n n +1÷，故
Sn =12
1 1- ÷ +12
1 1- 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 ÷
+L+12 - =12 1- + - +L+ -
è è è n n +1÷ è 2 2 3 n n +1÷
12 1 1 12 12= - ÷ = -
*
，要想 S N ，则 n +1 需要能整除 12，又
n +1 n +1 n n N
* ，
è
故 n =1,2,3,5,11 S
12 6, S 24 36 60 12 11，此时 1 = = 2 = = 8, S3 = = 9, S1+1 2 +1 3 +1 5
= =10, S11 = =11，5 +1 11+1
故 A = 6,8,9,10,11 ；
3 a = 2n b = 2n (-1)i a b = (-1)i 2i ×2i-1 = (-1)i i（ ）因为 n ， n ，所以 i i-1 i × 2 ，
n
(-1)ia b = -2 + 2 22故 i i-1 - 3 23 + 4 24 +L+ (-1)n-1 n -1 × 2n-1 + (-1)n n × 2n ，
i=1
n
若 n 为偶数，则 (-1)ia b = -2 + 2 22 - 3 23 + 4 24 +L- n -1 × 2n-1i i-1 + n ×2n ①，
i=1
n
2 (-1)ia b 2 3 4 5 n n+1i i-1 = -2 + 2 2 - 3 2 + 4 2 +L- n -1 ×2 + n × 2 ②，
i=1
n
式子①+②得3 (-1)iaibi-1 = -2 + 22 - 23 + 24 - 25 +L- 2n-1 + 2n + n × 2n+1
i=1
= -2 + 22 + -23 + 24 +L+ -2n-1 + 2n + n × 2n+1 = 2 + 8 + 32 +L+ 2n-1 + n × 2n+1
2 - 2n+1 n n 1 2
= + n ×2n+1 = n 1+ ×2n+1 2 - ，所以 (-1)
ia b n+1
1- 4 3 ÷ 3 i i-1 = +3 9 ÷ × 2 - ，è i=1 è 9
n n+1
n i若 为奇数，则 (-1) aibi-1 = (-1)iaibi-1 - (-1)n+1an+1bn
i=1 i=1
=
n +1 1
+ × 2n+2 2 n +1 1 n+2 2 ÷ - - a b = + × 2 - - 2n + 2 × 2n
è 3 9 9 n+1 n 3 9 ÷è 9
2n + 2 2 2 n 1= + ÷ ×2
n+1 - - n +1 × 2n+1 = - + ×2n+1
2
- ，
è 3 9 9 è 3 9 ÷ 9
ì n 1+ ×2n+1 2- ,n = 2k,k N*
n 3 9 ÷ 9
所以 (-1)i a b è i i-1 = í .
i=1 -
n 1
+ ÷ × 2
n+1 2- ,n = 2k -1,k N*
è 3 9 9
【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数
列中连续两项和或积问题；③含有 -1 n 的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问
题等，
需要对 n 分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项
相消法求和.
题型 05 错位相消思维
【解题规律·提分快招】
三种思维：
1.思维结构结构图示如下
Cn = (a ×n + b)q
n-1,则其前n项和S nn =（An+B)q + c
2.公式型记忆： a b - A
其中A= , B = ,C = -B
q -1 q -1
an = (kn + b)q
n（, q 1),则
3.可可裂项为如下 an = [ p(n +1) + t)]q
n+1 - ( pn + t)qn = Cn+1 - Cn , (Cn = (( pn + t)q
n )
ì k=pq-p
其中可通过方程组计算出p、t值：í
b=pq + tq - t
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知数列 an 是公差为 1 的等差数列，且 a1 + a2 = a3，数列 bn 是等比数列，
且b1 ×b2 = b3， a4 = 4b1 - b2 ．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
2n (-1)k a2
(2) kbk求 k n N* ．
k =1 3 + (-1)
d d d d
(3)若已知 1 + 2 3 n2 + 3 +L+ n = 2n -1 n N* ，记数列 an 的前 n 项和为 An ，数列 dn 的前 n 项和为Bn ，2 2 2 2
B - 2
试比较 A nn 与 的大小．4
a = n b 2n 7 12n - 7【答案】(1) n ， n = (2) + × 4
n (3)答案见解析
9 9
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式建立等量关系，即可得到结果.
2 2n-1
2 2n -1 ×2 2n
2 ×22n
（ ）设 x = - + = 4n -1 ×4n-1，则要求结果即为数列 xn 的前 n 项和，利用错位相n 2 4
减法计算可得结果.
B - 2
（3）根据条件计算数列 d nn 的通项公式，表达Bn ，讨论 n 的取值可比较 An 与 的大小．4
【详解】（1）∵数列 an 是公差为 1 的等差数列，且 a1 + a2 = a3，∴ a1 + a1 +1 = a1 + 2，得 a1 =1，故
an =1+ n -1 = n ，
ì 2
设等比数列
b ×b q = b q
bn 的公比为 q q 0 ∵ b ×b = b a = 4b - b ∴ í 1 1 1 b = q = 2 ∴ b = 2n， 1 2 3， 4 1 2 ， ，解得 ， ，
4 = 4b1 - b1q
1 n
n
综上，数列 an 和 bn 的通项公式分别为 an = n ，bn = 2 ．
(2n -1)2 × 22n-1 (2n)2 × 22n 2n (-1)k a2b
（2）设 xn = - + = (4n -1) × 2
2n-2 = (4n -1) × 4n-1 *，则 k k
2 4 3+ (-1)k n N 即为数列 xn k =1
0 1
的前 n 项和，设为Pn，则Pn = 3 4 + 7 4 +11 4
2 +L+ (4n -1) × 4n-1 ，
∴ 4Pn = 3 4
1 + 7 42 +11 43 +L+ (4n - 5)4n-1 + (4n -1) × 4n ，两式相减得：
n-1
-3Pn = 3 4
0 + 4 41 + 4 42 +L+ 4 ×4n-1 - (4n -1)4n 4 1- 4 ，∴ -3Pn = 3+ 4 - (4n -1) ×4n，1- 4
P 7 12n - 7∴ n = + ×4
n
．
9 9
n(n +1) d d d d
（3）由 an = n ，得 A = ，由 1 + 2 + 3 nn 2 3 +L+ n = 2n -1，知2 2 2 2 2
d1 d2 d3 L d+ 2 + 3 + +
n-1
2 2 2 2n-1
= 2(n -1) -1(n 2)，
d 2, n =1
∴ n
ì
n = 2 n 2 ，而 d1 = 2，∴ dn = í n+1 ，∴ Bn = d1 + d2 + d3 +L+ dn = 2 + 23 + 24 +L+ 2n-12 2 ,n 2
n+1
= 2 + 22 + 23 + 24 +L+ 2n+1
2 1- 2 B - 2
- 4 n= - 4 = 2n+2 - 6．∴ n = 2 - 2．
1- 2 4
n(n +1) B - 2 n(n +1) B - 2
当 n =1 n n或 2时， An = > 2 - 2 = n .当 n = 3时， An = = 2 - 2 = n ，2 4 2 4
2
n 4 2n - 2 = C0当 时， + C1 + C2 +L+ Cn-1 + Cn - 2 = C1 2 n-1
n n -1C L C n n n + 3n n n +1 n n n n n n + n + + n > + + = > ，2 2 2
B
∴当n 4时， A < n - 2n ．4
B - 2 B - 2 B - 2
综上得，当 n =1或 2时， An > n ；当 n = 3时， A nn = ；当n 4时， An < n .4 4 4
【典例 1-2】
（24-25 高三下· *天津武清·开学考试）设 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn (n N )， bn 为等比数列，公比
大于 1.已知 a1 =1，b1 = 4，b2 + S2 = 11，b3 + S3 = 22 .
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
n 3a -1(2)设 cn = ( 1) n+1
-
c
a a +1 b ，求 n
的前 2n 项和T2n ；
n n n
ì ü
1
(3)求数列 í 的前 n 项和Hn .
T 1
2n
+
2
1 n+5
【答案】(1) a n+1 -8 - 2 2n +1 2n+3n = n ，bn = 2 (2) 2n +1 × 22n+1 1- (3) Hn = + 2
2 9 3
【分析】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q q >1 ，依题意得到方程组，求出 d , q ，
即可得解；
n é 1 1 ù
（2）由（1）可得 cn = -1 ê n +
ê n × 2
ú ，利用裂项相消法计算可得；n +1 × 2n+1 ú
（3）先求出数列的通项，再用错位相减法求和即可；
【详解】（1）依题意设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q q >1 ，
3 3-1
则 S2 = a1 + a2 = d + 2， S3 = 3a1 + d = 3d + 3，2
ì4q + 2 + d =11 ìq = 2 q =1
又b2 + S2 = 11，b
ì
3 + S3 = 22，所以 í4q2 3 ，解得+ + 3d = 22 íd 1或 íd 5（舍去）， = =
所以 an = n
n+1
，bn = 2 .
n 3an+1 -1 n 3n + 2 n é 1 1 ù
（2）由（1）可得 cn = -1 =
-1 = -1 +
a a +1 b n n +1 ê×2n+1 n ×2n n +1 ×2n+1 ú，n n n ê ú
所以T2n = c1 + c2 + c3 +L+ c2n
1 1 1 1= - + 1 1
1 1 1 1
1 2 ÷ + 2 + 3 ÷ - 3 - 4 ÷ +L+1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2
+ ÷ = -
è è è 2n × 22nè 2n +1 × 22n+1 ÷ 2n +1 × 2
2n+1 2 .
1 1 2n+1
（3） T 1
= 1 = 2n +1 ×2 P = 2n +1 × 22n+1
2n +
，设 n ，
2 2n +1 ×22n+1
Hn = P1 + P2 +L+ Pn = 2 1+1 ×22 1+1 + 2 2 +1 × 22 2+1 +L+ 2n +1 ×22n+1，
22 H = 2 1+1 × 22 1+1+2n + 2 2 +1 ×22 2+1+2 +L+ 2n +1 × 22n+1+2 ，
3 5
两式相减可得-3Hn = 2 1+1 ×2 + 2 2 +L+ 2 22n+1 - 2n +1 22n+3 ，
25 1- 2n-1 2n+3 H -8 - 2
n+5 2n +1
24 2 2n 1 2 所以 = + 22n+3= + - + n .
1- 22 9 3
【变式 1-1】
1 1
（24-25 2 *高二上·天津滨海新·期末）已知数列 an 的前 n 项和 Sn = n + n n N ， b2 2 n 是公比大于 n 的等
比数列，且满足b1 = a3 ，b2 + b3 = 36．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
ì 1 ü * 1(2)若数列 í 的前 n 项和为Tn n N ，求证：T < ；
a
n
2n-1a2n+1 2
ìan , n为奇数,
n c
(3) n 2k +1对任意的正整数 ，设数列 cn = í 求 ．
bn , n为偶数. k =1 c2k
1 nn
【答案】(1) an = n ，bn = 3 (2)证明见解析(3) 2 - (n + 2) ÷
è 3
1 S
1 n2 1= + n n N*【分析】（ ）由 n ，利用数列的通项和前 n 项和的关系求解； 设数列 bn 的公比为 q，2 2
由b1 = a3 ，b2 + b3 = 36求解；
1 1 1 1 1
（2）由 = = -a2n-1a2n+1 (2n -1)(2n +1) 2
2n -1 2n +1÷ ，利用裂项相消法求解；è
C2k +1 a2k +1 2k +1 1
k
（3）由 = = k = (2k +1)
÷ ，利用错位相减法求解.C2k b2k 3 è 3
S 1 (n 1)2 1 (n 1) 1 n2 1【详解】（1）当 n 2时， n-1 = - + - = - n，2 2 2 2
\an = Sn - Sn-1 = n ，又 a1 = S1 =1，\当 n N*时， an = n ，设数列 bn 的公比为 q，
\q > 0，b1 = a3 = 3，3q + 3q2 = 36 ,解得 q = 3，\ bn = 3
n
；
Q 1 1 1 1 1 （2） = = - \a2n-1a2n+1 (2n -1)(2n +1) 2
è 2n -1 2n +1÷
，
T 1 1 1 1 1 L 1 1 1 1 1 1 1 1n = - + - + + + - +
，= 1-
2 3 3 5 2n - 3 2n -1 2n -1 2n +1÷ ÷
= - ，
è 2 è 2n +1 2 4n + 2
当 n 1时，0
1 1 \ 1 1 1 1 1 1< ， - < ，即 T < ；
4n + 2 6 3 2 4n + 2 2 3 n 2
C k2k +1 a 2k +1= 2k +1 = = (2k +1) 1
n
D C3 = 2k +1（ ）由题意， k ÷ ，设 n C ，C2k b2k 3 è 3 k =1 2k
D 3 1 5 1
2
7 1
3 1 n-1 1 n
即 n = + ÷ +
÷ +L+ (2n -1)
÷ + (2n +1)
，①
3 è 3 ÷ è 3 è 3 è 3
1 1 2 1 31 D 3 5 L (2n 1) 1
n
(2n 1) 1
n+1
= + + + - + + 由（ ）得
3 n 3 ÷ 3 ÷ ÷ ÷
，②
è è è 3 è 3
①② 2 1 1
2 3 n n+1
由 得 D = 3 + 2 + 2 1 +L+ 2 1 1- (2n +1) ，
3 n 3 ÷ ÷ ÷ ÷è 3 è 3 è 3 è 3
4 n+1 n n C 1
n
= - (2n 1 1+ 4) 2k +1 ÷ ，从而Dn = 2 - (n + 2) ÷ ，\ = 2 - (n + 2) ÷ ．3 è 3 è 3 k =1 C2k è 3
题型 06 函数中心对称性质型
【解题规律·提分快招】
函数中心对称性质型，实际上就是倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合
数。
【典例 1-1】
1 x
（11-12 高三上·江苏泰州·期中）设 A x1, y1 , B x2 , y2 是函数 f x = + log2 的图象上任意两点，且2 1- x
uuuur
OM 1
uuur uuur
= (OA + OB) 1，已知点M 的横坐标为
2 2
．
（1）求证：M 点的纵坐标为定值；
1 2 n -1 *
（2）若 Sn = f ÷ + f ÷ + ...+ f ÷ ,n N ,且n 2求 Sn n n n
；
è è è
2 n =1
（3）已知 an ={
3
1 ，其中 n N
* ，Tn 为数列 an 的前 n 项和，若Tn < l Sn+1 +1 对一切 n N *
n 2
(Sn +1)(Sn+1 +1)
都成立，试求l 的取值范围．
n -1 * 1
【答案】（1）证明见解析；（2） Sn = n 2, n N ；（3） ,+ ．2 è 2 ÷
ìx x= 1 + x2uuuur
M x, y OM 1
uuur uuur
1 = (OA + OB) 2【解析】（ ）设 ，根据 ，得到
2 í y y
，结合对数的运算性质，求得
1 + y= 2
2
y y1 + y2
f x1 + f x= = 2 1=
2 2 2 ，即可求解；
（2）由（1）得出 x1 + x2 =1, f x1 + f x2 =1，结合数列的“倒序相加法”，即可求解；
1 1 1 2n 4n
（2）当 n 2时， an = = 4( - )(S 1)(S T =
l >
n + n+1 +1) n +1 n + 2
，求得 n ，根据题意，得到 ，结n + 2 (n + 2)2
合基本不等式，即可求解.
ì x1 + x2
uuuur 1 uuur uuur x =M x, y OM 1【详解】（1）设 ，因为 = (OA + OB) 2，所以 í ，由 x = ，可得 x1 + x2 =1，所以2 y y1 + y= 2 2
2
1 x+ log 12 + log
x2
2
x =1- x , x =1- x ，所以 y
y
= 1
+ y2 f x1 + f x2 1- x1 1- x= = 21 2 2 1 2 2 2
x1 x 2 1 log x1 x
1+ log2 + log2 +x x 2
× 2 ÷ 1
è x2 x1 1 所以M 点的纵坐标为定值= 2 1 = = 2
2 2 2
1 2 n -1
（2）由（1）知 x1 + x2 =1, f x1 + f x2 =1由 Sn = f
n ÷
+ f ÷ + ...+ f ÷，
è è n è n
n -1 n - 2 1
可得 Sn = f ÷ + f ÷ + + f ，两式相加得：
è n è n è n ÷
2S é f 1 f n -1 ù é f 2 f n - 2 ù ... é n -1 1 ùn = ê ÷ + ÷ú + ê ÷ + ÷ú + + f
+ f
n n n n ê n ÷ ÷
= n -1，
è è è è è è n
ú
S n -1 *所以 n = n 2, n N .2
1 4 1 1
（2）当 n 2时， an = = = 4( - )(Sn +1)(Sn+1 +1) (n +1)(n + 2) n +1 n + 2
，
T 2 1 1n = a1 + a2 + a3 + ...+ an = + 4[( - ) (
1 1
+ - ) +L 1 1+ ( - )]
3 3 4 4 5 n +1 n + 2
2 1 1 2n
= + 4( - ) = ，由Tn < l S +1
2n l n + 2，可得 < × ，所以
3 3 n + 2 n + 2 n+1 n + 2 2
l 4n 4n 4> = =
(n + 2)2 n2 + 4n + 4 n 4+ + 4 ，
n
4 4 1
4 4 =
因为 n + 4n ，当且仅当
n = 时，即 n = 2时等号成立，所以 n 4+ + 4 4 + 4 2 ，n n
4 1 1
当 n =1时, l > 因此l > ，即l 的取值范围是 ( , + ) .
9 2 2
【典例 1-2】
（2022 高三·全国·专题练习）设 A x1, y1 , B x2 , y2 是函数 f x
1
= + log x 的图象上任意两点，且
2 2 1- x
uuuur
OM 1
uuur uuur
= (OA + OB) 1，已知点M 的横坐标为
2 2
．
(1)求证：M 点的纵坐标为定值；
1 2
(2) S = f + f + ... f
n -1
+ , n N *若 n ÷ ÷ ÷ ,且 n 2求 S ；
è n è n è n n
n -1
【答案】(1)证明见解析；(2) Sn = (n 2,n N
*) .
2
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到 x1 + x2 =1，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算
法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当 x1 + x2 =1时， y1 + y2 =1，可以采用倒序相加法，求和即可.
uuuur uuur uuur
【详解】（1）证明：设M (x, y)
1 x + x
，因为OM = (OA + OB) ，故可得 x = 1 2 , y
y1 + y= 2 ，
2 2 2
1
由 x = 知 x1 + x2 =1，故 x2 1
=1- x2 , x2 =1- x1，
1+ log x1 + log x2 2 2 1+ log
x1 + log x2
故 y y1 + y2
f x1 + f x2 1- x1 1- x 22 x 22 x= = = = 1 1 .=
2 2 2 2 2
1
故M 点的纵坐标为定值 .
2
x + x =1, f (x ) + f (x ) =1 S f (1) f (2) L f (n -1（2）由（1）知 1 2 1 2 n = + + + )n n n
S f (n -1n = ) f (
n - 2 1
+ ) + + f ( )，两式相加得：
n n n
2S é f 1 f n -1 ù é f 2= + + n - 2 ù é n -1 1 ùn ê ÷ ÷ú ê ÷ + f
÷ú +L+ ê f ÷ + f
÷ = n -1，
è n è n è n è n è n è n
ú
n -1
故 Sn = n 2, n N
* .
2
【变式 1-1】
1 2 1 *
（20-21 高二·全国·课后作业）已知函数 f x = x + x ，数列 an 的前 n 项和为 Sn ，点 n, Sn n N 均2 2
4x
在函数 f x 的图象上，函数 g x = .
4x + 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求 g x + g 1- x 的值；
a
(3) *令bn = g n ÷ n N ，求数列 bn 的前 2020 项和T2020 .
è 2021
【答案】(1) an = n (2)1(3)1010
1 2 1 ìSn - Sn-1,n 2
【分析】（1）由题意可得： Sn = n + n，由 a2 2 n
= ía ,n 1 即可求解； 1 =
（2）求出 g 1- x 的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
* 1 2 1
【详解】（1）因为点 n, Sn n N 均在函数 f x 的图象上，所以 Sn = n + n，2 2
当 n 2时， an = Sn - S
1
= n2 1n-1 + n
1 1
- n -1 2 - n -1 = n ，
2 2 2 2
当 n =1时， a1 = S1 =1，适合上式，所以 an = n .
4x 41-x 2 4x 2
（2）因为 g x = x ，所以 g 1- x = =4 + 2 41-x + 2 4x ，所以 g x + g 1- x = x + =1
.
+ 2 4 + 2 4x + 2
a = n b = g an = g n （3）由（1）知 n ，可得 n ÷ ÷，
è 2021 è 2021
1 2
所以T2020 = b1 + b2 +L+ b2020 = g ÷ + g ÷ +L+ g
2020
，①
è 2021 è 2021 è 2021 ÷
T = b b 2020+ 2019 1 又因为 2020 2020 2019 +L+ b1 = g ÷ + g ÷ +L+ g ，②
è 2021 è 2021 è 2021÷
因为 g x + g 1- x =1，所以① + ②，得 2T2020 = 2020，所以T2020 =1010 .
题型 07 裂项求和难点：裂项基础型
【解题规律·提分快招】
m m 1 1
基础原理： = [ - ], 1如： = 1 [1 1- ],
pq q - p p q 2 4 4 - 2 2 4
基本题型：（1 1 1 1） = - ; (2) 1 1= [ 1 1-
n(n +1) n n +1 (2n-1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1
要求（避免掉坑）：
1 1 1 1 1 1（）分母分解因式: 2 = = [ - ]n + 3n n(n + 3) 3 n n + 3
(2) 1 1 1 1 1 1 1系数不相同就提系数： = = [ - ]
n（2n+4） 2 n(n + 2) 2 2 n n + 2
(3)求和化简时，要写到“ 前三后二” ，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的是首尾项（或正负项）对应。
【典例 1-1】
（24-25 高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列 an 中，3a2 + a6 = 20，且前9项和为 S9 = 81.
(1)求数列 an 的通项公式与数列 an 的前 n 项之和 Sn .
1
(2)若bn = a a ，若数列 bn 的前 n 项和Tn 满足 Sn - 6n lTn 恒成立，求负整数l 的最大值.n n+1
2
【答案】(1) an = 2n -1， Sn = n (2) -21
【分析】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，根据题意可得出关于 a1、 d 的方程组，解出这两个量的值，即可
得出数列 an 的通项公式与数列 an 的前 n 项之和 Sn 的表达式；
（2）利用裂项相消法求出Tn ，由已知不等式结合参变量分离法可得出l 2n2 -11n - 6，求出
2n2 -11n - 6 n N* 的最小值，即可得解.
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，则 3a2 + a6 = 3 a1 + d + a1 + 5d = 4a1 + 8d = 20 ①，
9 8
又因为 S9 = 9a1 + d = 9a + 36d = 81②，2 1
联立①②可得 a1 =1， d = 2，所以， an = a1 + n -1 d =1+ 2 n -1 = 2n -1，
n n -1 d
所以， Sn = na1 + = n + n n -1 = n2 .2
b 1 1 1= = = 1 1- （2）因为 n a a ÷，n n+1 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n所以， n =
2
1- ÷ + - ÷ + - ÷ +L+ - ÷ =3 2 3 5 2 5 7 2 2n -1 2n +1 2
1- = ，
è è è è è 2n +1÷ 2n +1
因为lT
ln
n = Sn - 6n = n
2 - 6n ，所以，l 2n +1 n - 6 = 2n2 -11n - 6，
2n +1
2
因为二次函数 f x = 2x -11x - 6 11的图象开口向上，且对称轴为直线 x = 2,3 ，
4
3 11又因为 - < 2
11
- ，故当 n = 3时，
4 4 2n
2 -11n - 6取最小值，
且其最小值为 2 32 -11 3- 6 = -21，则l -21，因此，负整数l 的最大值为-21.
【典例 1-2】
（24-25 高二上·天津武清·阶段练习）已知等差数列 an 公差为 d， d 0，且 a2 = 7 ， a1， a4， a5 成等比数
列．
(1)求数列 an 的通项公式；
ì 2 ü
(2)设bn = -a +11
1 1
n ，数列 í 的前 n 项和为T ，求T ，并求证： T < .
bn ×b
n n 4 nn+1 2
n
【答案】(1) a T =n = -2n +11(2) n 2 n +1 ，证明见解析
【分析】（1）由已知列方程组求出数列 an 的首项和公差，可得通项公式；
ì 2 ü
（2）利用列项相消求数列 í 的前 n 项和为Tn ，再结合单调性即可求证；
bn ×bn+1
【详解】（1）等差数列 an 公差为 d， d 0，且 a2 = 7 ， a1， a4， a5 成等比数列，
ì a1 + d = 7 ìa1 = 9
则有 í 2 ，解得 í ，
a1 + 3d = a1 a1 + 4d d = -2
所以 an = a1 + n - 1 d = -2n + 11
2 2 1 1 1 1b （2） n = -an +11 = 2n， = = = -b ÷，n ×bn+1 2n 2n + 2 2n n +1 2 è n n +1
ì 2 ü 1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以数列 í 的前 n 项和Tn = 1- + - +L+ - ÷ = 1- =2 2 2 3 n n +1 2 n +1÷ 2 n +1 . bn ×bn+1 è è
n +1-1 1 1 1 1 1
所以Tn = = - T2 n +1 2 2 n +1 ，易知 n
= -
2 2 n +1 单调递增，同时
> 0
2 n +1 ，
1 1 1 1
所以当 n =1时取得最小值 ，同时 > 02 n +1 ，所以 T4 4 n < 2
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）数列 a 的前 n 项和为 S *n n ， a1 =1， an+1 = 2Sn +1， n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
1
(2)令 cn = log a
1
3 2n ，bn = c ·c ，数列 bn 的前 n 项和为Tn ，若对 "n N
*，Tn > loga 1- a 恒成立，求实
n n+2 5
数 a的取值范围.
n-1
【答案】(1) an = 3 (2) a 0,
1
è 2 ÷
ìS
1 a = 1
, n =1
【分析】（ ）利用 n í .
S S
求得数列的通项公式
n - n-1,n 2
1 1
（2）利用裂项相消法求得Tn ，进而求得Tn 的最小值，从而可得 > loga 1- a ，求解即可.5 5
*
【详解】（1）Qa1 =1， an+1 = 2Sn +1 n N ①，
\ 当 n =1时， a2 = 2a1 +1 = 3；当 n 2时， an = 2Sn-1 +1②，
由①-②得： an+1 - an = 2an ，即 an+1 = 3an，又Qa2 = 3a1，\n =1时也满足，
\ an n-1是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，\an = 3 .
b 1 1 1 1 1（2）由（1）知： cn = log3 a2n = 2n -1，\ n = = = -
c ×c ÷ ，n n+2 2n -1 2n + 3 4 è 2n -1 2n + 3
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 则 n 4
- + - + - + + - = 1+ - -
è 5 3 7 5 9 2n -1 2n + 3 ÷ 4 è 3 2n +1 2n + 3 ÷
1 1 1 1= - + 1
3 4 2n 1 2n 3 ÷，又
T 在
+ + n n N
*时单调递增，\ T = T =
è n min 1
.
5
Q 1 1 1对"n N*，Tn > loga 1- a 恒成立，\ > loga 1- a ，即 loga 1- a <1 = logaa ，5 5 5
1
Q1- a > 0，\0 < a <1 .又1- a
1
> a ，\0 < a < 即 a 0, .
2 2 ֏
题型 08 裂项求和难点：分母线性差（函数型）
【解题规律·提分快招】
f（n）
裂项相消系列 1：函数型，指的是 型
pq
（1）f（n）=t（q-p），差型；
（2）f（n）是分离常数型；
核心思维特征：分子是分母之差或者之和的倍数
【典例 1-1】
（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn , an > 0且
a1a3 = 36, a3 + a4 = 9 a1 + a2 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) S b若 nn +1 = 3 ，求数列 bn 及数列 anbn 的前 n 项和Tn ；
a
(3) n设 cn = a +1 a ，求 cn 的前 n 项和Pn .n n+1 +1
n
【答案】(1) an = 2 3
n-1 n N* b = n 2n -1 3(2) T 1 P 1 1n ， n = + (3)2 2 n = -6 4 3n + 2
2
【分析】（1）由 a1 + a2 q = 9 a1 + a2 及 an > 0 可得 q的值，由 a1a3 = 36可得 a1的值，进而求解即可；
n n-1
（2）结合等比数列的求和公式可得 Sn = 3 -1，进而得到bn = n， anbn = 2n 3 ，进而结合错位相减法求和
即可；
1 1 1
（3）由题意可得 cn = 2 è 2 3n-1
- ，进而结合裂项相消法求和.
+1 2 3n +1÷
【详解】（1）设等比数列 an 的公比为 q q > 0 ，由题意得： a3 + a4 = 9 a1 + a2 ， an > 0 ，
2 2 2
可得 a1 + a2 q = 9 a1 + a2 , q = 9，由 an > 0 ，可得 q = 3，由 a1a3 = 36，可得 a1a1q = 36，可得 a1 = 2，
n-1
可得 an = 2 3 n N* .
n n
2 a n-1
a1 1- q 2 3 -1
（ ）由 n
bn n bn
n = 2 3 ，可得 S = = = 3 -1，由 Sn +1 = 3n ，可得3 -1+1 = 3 ，可得bn = n，1- q 3 -1
可得 a b n-1n n 的通项公式： anbn = 2n 3 ，
可得：Tn = 2 3
0 + 2 2 31 + 2 3 32 +L+ 2 n -1 3n-2 + 2 n 3n-1，①
3T = 2 31 + 2 2 32 + 2 3 33 +L+ 2 n -1 3n-1 + 2 n 3n则 n ，②
n-1
① -
3 3 -1
② 得：-2T = 2 + 2 31 + 32 +L+ 3n-1 - 2 n 3nn = 2 + 2 - 2 n 3n3 -1
n
= 2 + 3n - 3 - 2n 3n = 1- 2n 3n -1 2n -1 3 1，可得Tn = + .2 2
n-1
（3）由 c
an c 2 3 1 1 1n = = =
-
an +1 an+1 +1 可得 n 2 3n-1 +1 2 3n +1 2 è 2 3n-1 +1 2 3n +1÷，
P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1可得： n = - + - +L+ n-1 - = - = - .2 è 3 7 7 19 2 3 +1 2 3n +1÷ 2 è 3 2 3n +1÷ 6 4 3n + 2
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津河东·阶段练习）已知等比数列 an 的各项均为正数， 2a5、 a4、 4a6成等差数列，且满
2
足 a4 = 4a3 ，等差数列数列 bn 的前 n 项和 Sn ，b2 + b4 = 6,， S4 =10．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
b
(2) 2n+5设 dn = ab b n ， n N
* ， dn 的前 n 项和Tn ，求Tn ．
2n+1 2n+3
n
1 1 1
【答案】(1) an = ÷ ，bn = n (2)Tn = -
è 2 3 2n + 3 ×2
n
【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解；
d 2n + 5
n
= ×
1 é 1 1 ù
（2）由（1）可得 n = 2 - ，利用裂项相消法求和可求得2n +1 2n 3 2 ÷ ê+ è ê 2n +1
ú
× 2n 2n + 3 × 2n+1 ú
Tn ．
【详解】（1）由题 an > 0 ，设数列 an 的公比为 q q > 0 ， bn 的公差为 d ，
ì 1
ì2a4 = 2a + 4a ì5 6 a4 = a q + 2q24 q = 2 n
í í í a n-3
1
由 a ，即 ，解得 ，所以，= 4a2 2 n = a3q = ÷ ， 4 3 a3 × q = 4a 13 a = è 2
3 8
ìb2 + b4 = 6 ì2b1 + 4d = 6 ìb1 =1
又 í b = b + n -1 d = n
S4 =10
，即 í
4b1 + 6d =10
，解得 íd 1，所以，= n 1 ．
1 n
所以数列 an 的通项公式为 an = ÷ ，数列 bn 的通项公式为bn = n．
è 2
2n + 5 n 1 é 1 1 ù
（2）由（1）得 dn = × = 2 - ，2n +1 2n + 3 è 2 ÷ ê ê 2n +1 × 2n 2n + 3 × 2n+1
ú
ú
é
T 2 1 1 1 1 1 1
1 1 ù
所以 n = ê -3 2 5 4 ÷
+ - ÷ + - ÷ +L+ - ÷ú
ê è è 5 4 7 8 è 7 8 9 16
è 2n +1 × 2n 2n + 3 ×2n+1 ÷ ú
é1 1 ù 1 1
= 2 ê - = - .
ê 6 2n 3 2n+1
ú
+ × nú 3 2n + 3 × 2
【变式 1-1】
（2021·河南·模拟预测）已知正项等比数列{an}，满足 a2a4=1，a5是 12a1与 5a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
a
(2) n+4
n
设bn = + (-1) × n a - 2 a -1 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.n+4 n+4
【答案】(1) a = 2n-3n , n N
*
；(2)答案见解析.
【分析】（1）正项等比数列 an 的公比设为 q, q > 0 ，根据已知求出 a3 =1， q = 2，即得解；
（2）b
1 1 n
n = n - n+1 + (-1) × n，再裂项相消分类讨论得解.2 -1 2 -1
【详解】（1）正项等比数列 an 的公比设为 q, q > 0 ，由 a2a4 =1，可得 a3 =1，
12
a5 是12a
2
1与5a3 的等差中项，可得 2a5 =12a1 + 5a3，即为 2q = 2 + 5，解得 q = 2q ，
a 2n+1
n-3 n-3
则 an = a3q = 2 , n N
* n+4 n n
（2）bn = + (-1) ×n = + (-1) ×n an+4 - 2 an+4 -1 2n+1 - 2 2n+1 -1 ；
2n
= + (-1)n n 1 1× = n - n+1 + (-1)
n × n
2n -1 2n+1 -1 2 -1 2 -1
1 1 1 1 1 1
则 Sn = - 2 + 2 - 3 +L+ n - n+1 ÷ + [-1+ 2 - 3 + 4 - 5 + 6 +Lè 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1
+ -1 n-1 × n -1 + -1 n × nù , n 1 n 当 为偶数时， Sn = 1- +2n+1 -1 2 ；
n 1 n +1当 为奇数时， Sn = 1- n+1 - .2 -1 2
题型 09 裂项求和难点：裂和型
【解题规律·提分快招】
正负型：等差裂和型
f (n)
形如（- 1）n 型，如果f (n) = l（an+1 + an），则可以分子裂差：an an+1
f (n) l（a +a ） 1 1
（- 1）n =（- 1）n n+1 n =（- 1）n l（ + ）
an an+1 an an+1 an an+1
【典例 1-1】
（2023·天津·一模）在公差不为零的等差数列 an 和等比数列 bn 中， Sn 为 an 的前 n 项和.已知
a2 = b1 = 3, S9 = b4 ，且 a2是 a1与 a5 的等比中项.
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)记数列 an ×bn 的前 n 项和为Tn ，求Tn ；
n
(3) k -1
4k
求 (-1)
k =1 a a
.
k × k +1
ì 2n
n ,n为偶数，4k
【答案】(1) an = 2n -1
n
，bn = 3 (2)Tn = 3 + (n -1) 3
n+1 (3) (-1)k -1 = 2n +1a × a ík =1 k k +1 2n + 2 ,n为奇数.
2n +1
【分析】（1）设{a qn}的公差为 d ，{bn}的公比为 ，由题意可得9 = (3 - d )(3 + 3d ) ，求得 d = 2， a1 =1，即
可求得{an}的通项公式，接着可得b4 = S9 = 3 q
3 = 81，算出 q = 3即可；
（2）利用错位相减法求解即可；
3 (-1)k -1
4k
= (-1)k -1（ ）化简 (
1 1
+ )
a a 2k -1 2k +1 ，然后分
n 为偶数和 n 为奇数进行求和即可
k k +1
【详解】（1）设{an}的公差为 d ，{b }的公比为 q
2
n ，由题意 a2 = a1a5，即9 = (3 - d )(3 + 3d ) ，
∵ d 0，解得 d = 2，∴ a1 =1，∴ an =1+ 2 n -1 = 2n -1 .
9 8
∵ S9 = 9 + 2 = 81，∴ b4 = 3 q
3 = 81，∴ q = 3 ∴ b nn = 3 .2
（2 n）an ×bn = (2n -1) 3 ∴T = 1 3 + 3 3
2
n + 5 3
3 +L+ (2n - 3) 3n-1 + (2n -1) 3n ①
∴ 3Tn =1 3
2 + 3 33 + 5 34 +L+ (2n - 3) 3n + (2n -1) 3n+1 ② ① - ②得
-2Tn =1 3 + 2 3
2 + 2 33 + 2 34 +L+ 2 3n - (2n -1) 3n+1
3 2 3
2 (1- 3n-1)
= + - (2n -1) 3n+1 = -6 - (2n - 2) 3n+1 ∴Tn = 3 + (n -1) 3
n+1 .
1- 3
4k
3 (-1)k-1 = (-1)k-1
4k
= (-1)k-1( 1 1（ ） + )akak+1 (2k -1)(2k +1) 2k -1 2k +1
当 n 为偶数时，
n
( 1)k-1 4k (1 1) (1 1 1 1- = + - + ) +L+ ( + ) - ( 1 1+ ) 1 1 2n= - =
k=1 ak × ak+1 3 3 5 2n - 3 2n -1 2n -1 2n +1 2n +1 2n +1
当 n 为奇数时，
n
(-1)k-1 4k 1= (1+ ) - (1 1) L ( 1 1 ) ( 1 1+ + - + + + ) 1 1 2n + 2= + =
k=1 ak × ak+1 3 3 5 2n - 3 2n -1 2n -1 2n +1 2n +1 2n +1
ì 2n
n , n为偶数，
∴ (-1)k -1 4k = 2n +1
k =1 ak × a
í
k +1 2n + 2 ,n为奇数.
2n +1
【典例 1-2】
（19-20 高二上·天津宁河·阶段练习）已知各项均不为 0 的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n，
有 4Sn = (2n +1)an +1．
(1)求 a1的值及数列 an 的通项公式；
(-1)n 4n
(2)对一切正整数 m，设bn = ，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．an ×an+1
【答案】(1) a1 =1； an = 2n -1(2) -1+ (-1)n
1
2n +1
ìS1, n =1 ì an ü
【分析】（1）根据 an = í 1S S ，得到 í 即为常数列，且常数为 ，从而求出
an 的通项公式；
n - n-1,n 2 2n -1
2 n
1 1
（ ）在第一问的基础上，求出bn = (-1) + ，裂项相消法求和即可.
è 2n -1 2n +1÷
【详解】（1）已知各项均不为 0 的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，
4Sn = (2n +1)an +1中，令 n =1得： a1 =1 4Sn = (2n +1)an +1①，
当 n 2时， 4Sn-1 = (2n -1)an-1 +1②，则①－②得：
a a a
\(2n - 3)an = (2n -1)a
n n-1 n-1
n-1，即 = =2n -1 2n - 3 2 n -1 -1，
ì a\í n
ü
即为常数列，且常数为 1，\a = 2n -1；
2n -1 n
(-1)n 4n
（2）设bn = = (-1)
n 1 1+ ÷，an ×an+1 è 2n -1 2n +1
T 1 1 1 1 L ( 1)n 1 1 1\ = - + + + + + - + n ÷ ÷ ÷ = -1+ (-1)
n
．
è 3 è 3 5 è 2n -1 2n +1 2n +1
【变式 1-1】
（2022·天津河西· n *二模）已知数列 an 的首项a1 = 3，且满足 an+1 = 2an + 2 (n N ) ．
ì a ü
(1) n证明数列 í 是等差数列，并求数列 an 的通项公式；
2n-1
n
(2)求 ak 的值；
k =1
(-1)n × 2n2 +10n +13 ×24n-2
(3)设bn = 2 2 ，数列 bn 的前 n 项和为Tn ，求Tn 的最大值和最小值．an ×an+1
n
a (n 2) 2n-1 a = (n +1) ×2n -1 25 16【答案】(1)证明见解析； n = + × .(2) k (3)Tn 有最小值- ，最大值- .
k =1 144 225
a a
【分析】（1）等式两边同除以2n 得 n+1 - nn n-1 =1即可证明结论，再根据等差数列的定义求通项公式；2 2
（2）结合（1），根据错位相减法求解即可；
3 n
é 1 1 ù
（ ）由题知bn = (-1) ê + ú ，进而裂项求和，并分 n2 2 的奇偶性讨论单调性求解最值即可.
(n + 2) (n + 3)
a a
【详解】（1 n *）解：因为 a n n+1 nn+1 = 2an + 2 (n N ) ，所以，等式两边同除以2 得 n - n-1 =1，2 2
a1 ì a又因为 a1 = 3, 0 = 3
ü
，所以，数列
2 í
n
n-1 是等差数列，公差为1，首项为3 . 2
an = n + 2 a = (n + 2) × 2n-1所以，
2n-1
，即 n .
2 S = 3 20 + 4 21（ ）解：设 n + 5 2
2 +L+ (n +1)2n-2 + (n + 2) × 2n-1，
则 2Sn = 3 2
1 + 4 22 +LL+ (n +1)2n-1 + (n + 2)2n，
所以，两式作差得：-Sn = 3 + 2
1 + 22 + 23 +L+ 2n-1 - (n + 2)2n ，
2 1- 2n-1 nn n
整理得：-S = 3 + - (n + 2)2n =1- (n +1)2n ，即 Sn = (n +1)2 -1 .所以， ak = (n +1) ×2 -1n 1- 2 k =1
(-1)nb × (2n
2 +10n +13) ×24n-2 (-1)n × (2n2 +10n +13) × 24n-2
（3）解：由（1）知 n = a2
=
× a2 (n + 2)2 × 22n-2 × (n + 3)2 × 22nn n+1
(-1)n × (2n2 +10n +13) ( 1)n é 1 1 ù= = - + ，
(n + 2)2 (n + 3)2 ê (n + 2)
2 (n + 3)2 ú
T ( 1 1 ) ( 1 1所以， n = - 2 + 2 + 2 + 2 ) -L+ (-1)
n é 1 1 ù 1 1
ê + = (-1)
n - ，
3 4 4 5 (n + 2)
2 (n + 3)2 ú (n + 3)
2 9
1 1
所以，当 n 为奇数时，Tn = - 2 -
25
，随着 n 的增大而增大，故当 n =1时，Tn 有最小值-(n + 3) 9 ；144
1 1 16
当 n 为偶数时，Tn = 2 - ，随着 n 的增大而减小，故当 n = 2(n 3) 9 时，
Tn 有最大值- ；+ 225
25 16
综上所述，Tn 有最小值- ，最大值- .144 225
题型 10 裂项求和难点：齐次分离常数型
【解题规律·提分快招】
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
把分子次幂降下来。
【典例 1-1】
（24-25 高二上·福建宁德·期末）已知 an 是等差数列， bn 是正项等比数列，且 a1 =1，b2 = 2 ， a3 -1 = b3，
a4 +1 = b4.
(1)求数列 an ， bn 的通项公式：
n+1
(2)记 cn = -1 an ×an+1 n N* .
（i）求数列 cn 的前 2n 项和 S2n ；
-S -8 *
（ii d = 2n）记 n n N16n n d T .+1 b ，求数列 n 的前 n 项和 nn
n 1 1 1 1-
【答案】(1) an = 2n -1，bn = 2 (2)（i） S2n = -4n 2n +1 ；（ii）Tn = - + .2 2n n +1 × 2n+1
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求；
（2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可；
（ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求．
【详解】（1）由题意， an 是等差数列，设公差为 d，
bn 是正项等比数列，设公比为 q， q > 0，
由 a1 =1，b2 = 2 ， a3 -1 = b3， a4 +1 = b4 ，
n-1
可得1+ 2d -1 = 2q，1+ 3d +1 = 2q2 ，解得 d = q = 2，则 an = 2n -1，bn = 2 .
2 i 1 c = (-1)n+1a × a = (-1)n+1（ ）（）由（ ）可得， n n n+1 2n -1 2n +1 ，
则 c2n-1 + c2n = 4n - 3 4n -1 - 4n -1 4n +1 = -4 4n -1 ，
则数列 cn
1
的前 2n 项和 S2n = -4 3+ 7 + ...+ 4n -1 = -4 n 3+ 4n -1 = -4n 2n +1 ；2
d -S2n -8 8n
2 + 4n -8 1 1 1
（ii） n = = = + -16n n +1 b 16n n +1 ×2n-1 2n n +1 ×2n+1n n
，
×2n
则数列 dn 的前 n 项和
T 1 1 ... 1
1 1 1 1 1 1
n = + + + n ÷ + 2 - + 3 - + ...+ -è 2 4 2
÷
è 2 ×2 1×2 3 ×2 2 × 2
2 n +1 ×2n+1 n ×2n ÷
1 1 1-
= 2
÷
è 2n 1 1 1 1 1= - + .
1 1
+ -
- n +1
n+1 2 2n n +1 × 2n+1× 2 2
2
【典例 1-2】
2
（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知 f x = x + 2 x 0 ，数列 an 中， an > 0 ， n N* ， a1 = 2， n 2
时， a1 + a2 + ×××+ an = Sn且 Sn = f Sn-1 ．
(1)求证：数列 Sn 是等差数列.
(2)求数列 an 的通项公式.
a2 + a2
(3) b = n+1 n已知 n 时，求b + b2a × a 1 2
+ ×××+ bn 并化简．
n+1 n
1
【答案】(1)证明见解析(2) an = 4n - 2 (3) n+1- 2n+1
【分析】（1）由已知得 Sn - Sn-1 = 2 ，所以数列 Sn 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列.
ìS1, n =1
（2）先求得 Sn ，然后利用 an = í 求得 an .
Sn - Sn-1,n 2
（3）利用裂项求和法来求得正确答案.
【详解】（1）因为 f (x) = ( x + 2)2 ， n 2时， Sn = f (Sn-1)，
所以 n 2 2时， Sn = ( Sn-1 + 2) ，又an > 0,n N
*
，所以 Sn - Sn-1 = 2 ，
又 a1 =2，所以 a1 = 2 ，所以数列 Sn 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，
所以 S 2n = 2n，所以 Sn = 2n .
2
（2）由（1）得 Sn = 2n
2 ， Sn-1 = 2 n -1 = 2n2 - 4n + 2 n 2 ,当 n 2时，
a = S - S 2 2n n n-1 = 2n - 2 n -1 = 4n - 2，
且当 n =1时， a1 = 2满足 an = 4n - 2 ，所以 an = 4n - 2 n N* ．
a2 + a 2b n+1 n 1 4n+2 + 4n - 2 1 1 （3） n = = =1+2 - ，2an+1 × an 2
è 4n - 2 4n+2 ÷ è 4n - 2 4n+2 ÷
b b b n 2 é 1 1所以 1 + 2 +
L+ n = + ê - ÷+
1 1
-
÷+L+
1 1 ù
2 6 6 10
- ÷
è è è 4n - 2 4n+2 ú
1 1
= n + 2 - 1 1 ÷ = n+1- ，所以b1 + b2 +L+ b = n +1-2 4n+2 n ．è 2n+1 2n+1
【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：
1 1 1 1
（1）等差型 = - ÷，其中 an 是公差为d d 0 的等差数列；anan+1 d è an an+1
1 n + k - n
（2）无理型 = ；
n + n + k k
（3）指数型 a -1 an = an+1 - an ；
an+1
（4）对数型 loga = loga a
an+1 - loga an .
n
【变式 1-1】
（24-25 *高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn + n = 2an n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) bn = log2 ìa 1 n b b ün + N* í n+1 n，求数列 + n N* 的前 n 项和Tb n . n bn+1
2
(1) a = 2n -1(2)T 2n + 3n【答案】 n n = n +1
【分析】（1）利用 an = Sn - Sn-1 n 2 、等比数列定义可得答案；
（2）求出通项，利用裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）当 n =1时， a1 +1 = 2a1，解得 a1 =1，因 Sn + n = 2an ①，
当 n 2时， Sn-1 + n -1 = 2an-1 ②，
① - ②得， an +1 = 2an - 2an-1，即 an = 2an-1 +1，则 an +1 = 2 an-1 +1 n 2 ，又 a1 +1 = 2 .
所以 an +1 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，
可得 an +1 = 2 × 2
n-1 = 2n ，即 an = 2
n -1；
（2 n）由（1）可得：bn = log2 an +1 = log2 2 = n，
bn+1 bn n +1 n 1 1 1 1
则 + = + =1+ +1- = 2 + -bn bn+1 n n +1 n n +1 n n +1
，
T 2n 1 1 1 1 1 1 LL 1 1 2n 1 1 2n
2 + 3n
所以 n = + - + - + - + + - = + - = .2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1
题型 11 裂项求和难点：同构型
【解题规律·提分快招】
r n + c 1
形如 × n+1 型，可以“ 仿写” 裂差，再通过反解凑配系数（或者直接构造凑配）(kn + b)[k(n +1) + b] q
r n + c 1
如 × = l[ 1 1 1 1× - × ]
(kn + b)[k(n +1) + b] qn+1 (kn + b) qn k(n +1) + b qn+1
，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的.要注意：指数是在分母还是分子上
仿写规律：t>1
b 1 1 b
（1）、 n - = l n 。（可通分反解l）
an ×a
n
n+1 t a × t
n-1 n n
n an+1 × t an ×an+1 t
b tn tn+1 tnn l bn t
n
（2）、 - - = 。（可通分反解l）
an ×an+1 an+1 × an × an ×an+1
【典例 1-1】
（2022·天津南开·三模）已知数列 an 是公比 q > 1 的等比数列，前三项和为 13，且 a1， a2 + 2， a3 恰好分别
是等差数列 bn 的第一项，第三项，第五项．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
ì 1
, n = 2k -1
(2)已知 k N* ，数列 cn 满足 cn = íbnbn+2 ，求数列 cn 的前 2n 项和 S2n ；
anbn , n = 2k
(8n -10)a
(3) n
-1
设 dn = 2a +1 2a +1 ，求数列 dn 的前 n 项和Tn ．n n+2
2n+1
n-1 n (8n - 3) ×3 + 9
【答案】(1) an =3 （ n N* ）；bn = 2n -1（ n N* ）(2) S2n = + （ n N* ）4n +1 16
(3)T
1 1 n n +1
n = -
+ （ * ）14 2 è 2 ×3n +1 2 ×3n+1 +1÷
n N
【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得 an 通项公式，再利用等差基本量法求得 bn 通
项公式；
1 1 1
（2） S2n = S奇 + S偶，令 n = 2k -1，得到 cn = c2k -1 = - S4 è 4k - 3 4k 1÷，由裂项相消求得 奇，令 n = 2k+ ，得
c = c 2k -1n 2k = 4k -1 3 ，由错位相减求得 S偶，即可求解；
(8n -10) ×3n-1 -1
（3）代入an =3
n-1
得 dn = 2 ×3n-1 +1 2 ×3n+1 +1 ，对指数型式子配凑进行裂项可得
d 1 n -1 n +1= - n n-1 ，再由裂项相消即可求解.2 è 2 ×3 +1 2 ×3n+1 +1÷
ì a1 + a2 + a3 =13 ì a1 1+ q + q2 =13 ìa1 =1 ìa 1 = 9
【详解】（1）（1）解： í
2 a + 2 = a + a
í 或 ，
a 1- 2q + q2 í í 12 1 3 1 = 4 q = 3 q = 3
q ì
a =1
又Q >1 1，则 í ，∴ a =3n-1（ n N*n ）．
q = 3
设等差数列 bn 的公差为 d ，由题意得，b1 = a1 = 1，b3 = a 2 + 2 = 3 + 2 = 5，
ì b1 =1 ìb1 =1
即 í b + 2d = 5 í ，所以
bn = 2n -1 *
1 d = 2
（ n N ）．
1 1 1 1 1
（2）（2）解： n = 2k -1时， cn = c2k -1 = = = -b2k -1b2k +1 (4k - 3)(4k
，
+1) 4 è 4k - 3 4k +1÷
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ S奇 = c1 + c3 + c5 + ×××+ c2n-1 = - ÷ + - ÷ + - ÷ + ××× +
-
4 è1 5 4 è 5 9 4 9 13 ÷è 4 è 4n - 3 4n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 1 n
4
- + - + - + ×××+ - = 1- = ．
è1 5 5 9 9 13 4n - 3 4n +1÷ 4 è 4n +1÷ 4n +1
n = 2k 2k -1时， cn = c2k = a2kb2k = (4k -1) 3 ∴ S = c2 + c4 + c6 + ×××+ c偶 2n
S = 3 31 + 7 33 +11 35 + ×××+ (4n -1) 32n-1
偶 ，①
5
9S = 3 33 + 7 3 + ×××+ (4n - 5) 32n-1 + (4n -1) 32n+1 ②
偶 ，
由① - ②可得，
3 2n-1
-8S = 3 31 + 4 33 + 4 35 + ××× + 4 32n-1 - (4n -1) 32n+1 9 4 3 - 4 3 9= + - (4n -1) ×32n+1偶 1- 9
(8n - 3) ×32n+1∴ S + 9 ∴ S S S n (8n - 3) ×3
2n+1 + 9
= *2n = + = + （ n N ）．偶 16 奇 偶 4n +1 16
3 3 n-1（ ）（ ）由（1）知an =3 ，则
(8n -10)a -1 (8n -10) ×3n-1d n -1 1 n -1 n +1= = = - n 2an +1 2an+2 +1 2 ×3n-1 +1 2 ×3n+1 +1 2 è 2 ×3n-1 +1 2 ×3n+1 +1÷
T 1 0 2= - 1 1 3 1 2 4+ - + - 1 n -1 n +1∴ n 0 2 ÷ 1 3 ÷ 2 + ××× +
-
2 è 2 ×3 +1 2 ×3 +1 2 è 2 ×3 +1 2 ×3 +1 2 è 2 ×3 +1 2 ×34 +1÷ 2 è 2 ×3n-1 +1 2 ×3n+1 +1÷
1
=
0 1 n n +1
+ - -
1 1 n n +1
0 1 n n+1 ÷ = -
+
2 è 2 ×3 +1 2 ×3 +1 2 ×3 +1 2 ×3 +1 ÷ 14 2 è 2 ×3n +1 2 ×3n+1 +1
T 1 1 n n +1故 n = -
+
（ * ）.
14 2 è 2 ×3n +1 2 ×3n+1 +1÷
n N
【典例 1-2】
（21-22 高三上·天津静海·阶段练习）已知等比数列 an 的各项均为正数， 2a5， a4， 4a6成等差数列，且满
足 a 24 = 4a3 ，等差数列数列 bn 的前 n 项和 Sn ，b2 + b4 = 6， S4 =10
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
ìbn n为奇数
(2)设 cn = í ，求数列
cn 的前 2n 项和.
an ×bn n为偶数
d b(3) = 2n+5设 n a * d Tb n ， n N ， n 的前 n 项和 n ，求证：T
1
n < .
2n+1b2n+3 3
(1) a 1
n
8 2n 8
【答案】 n = ÷ ,bn = n (2) n
2 + - + ÷·4
-n (3)证明见解析
è 2 9 è 3 9
【分析】（1）根据条件求出 a1 ,b1 ,d ,q 即可；
（2）按照下标为奇数和偶数分组，用分组法求前 2n 项的和；
（3）用裂项相消法即可证明.
【详解】（1）由题意， 2a4 = 2a5 + 4a6 ，设公比为 q，
2 1
则有 a4 = a4q + 2a4q 解得 q = 或 q = -1 （由于 a2 n
是正数列，舍），
n
由 a4 = 4a
2
3 ， a q 4a
2 ,a q 1 ,a a 13 = 3 3 = = 1 = 3 = , \a
1
= 4 8 q2 2 ， n ÷ ；è 2
对于b
b + b
2 + b4 = 6, 由等差中项可知b 2 43 = = 3 ，2
设公差为 d， S4 = b1 + b2 + b3 + b4 = b3 - 2d + 3b3 =10,\d =1 ，b1 = b3 - 2d =1 ，\bn = n ；
（2）设数列 cn 的前 n 项和为Pn ，
则有：P2n = c1 + c2 + c3 + c4 +L+ c2n-1 + c2n = (b1 + b3 +L+ b2n-1) + (a2b2 + a4b4 +L+ a2nb2n )
1+ 2n -1
= n + 2 2-2 + 4 2-4 + 6 2-6 +L+ 2n 2-2n 设K = 2 2-2 + 4 2-4 + 6 2-6 +L+ 2n 2-2n …①，2
2-2 K = 2 2-4 + 4 2-6 + 6 2-8 +L+ 2n 2-2n-2 …② ，
3
-② K = 2 2-2 + 2 2-4 + 2 2-6 +L+ 2 2-2n - 2n 2-2n-2
8 2n 8
得： ，K = - + 4-n
4 9 3 9 ÷ ，è
P = n2 8 2n 8+ - + 4-n2n 9 ÷
；
è 3 9
2n + 5 1 1 1
（3） dn = = - 2n +1 2n + 3 2n 2n +1 2n-1 2n + 3 2n ，
Tn = d1 + d2 +L+ d
1 1 1 1
n = - + - 2 +L
1 1
+ -
3 5 2 5 2 7 2 2n +1 2n-1 2n + 3 2n
1 1
= - 1
3 2n + 3 2n < ；3
1
n
b n c n2 8 2n 8 a = = 2n = + - + 4-n综上， n ÷ ， n ， n 的前 项和 9 ÷ .è 2 è 3 9
【变式 1-1】
（2024·天津河西·三模）已知递增数列 an 的前 n 项和为 S 2n ，且 4Sn = an + 4n， n N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) b = a C1 + a C2 3 n设 n 1 n 2 n + a3Cn + ×××+ anCn．
（ⅰ）求数列 bn 的通项公式；
n 12b - 2i+3i
（ⅱ）求 ÷．
i=1 è ai × ai+2
n+2 n+1
【答案】(1) an = 2n (2)（i）bn = n × 2
n
；（ii 2 2） + - 4
n + 2 n +1
【分析】（1）根据 Sn ,an 的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案；
12b - 2i+3
（2 i i）（ ）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出 的表达式，
ai × ai+2
利用裂项相消法，即可求得答案.
2
【详解】（1）因为 4Sn = an + 4n n =1 4S = a
2
，当 时， 1 1 + 4，则 a1 = 2；
当 n 2 2 2 2 2时， 4S = a 2n-1 n-1 + 4 n -1 ，则 4an = an - an-1 + 4，即 an-1 = an - 2 ，
而 an 为递增数列，故 an - an-1 = 2，即 an 为首项为 2，公差为 2 的等差数列，故 an = 2n；
2 1 2 3 n 0 1（ ）（i）bn = a1Cn + a2Cn + a3Cn + ×××+ anCn，所以bn = 0Cn + 2Cn + 4C
2
n + 6C
3
n +L+ 2nC
n
n ，
\b nn = 2nCn + 2n - 2 Cn-1n +L+ 2C1 0n + 0Cn，
2b = 2n C0 + C1两式相加可得 n n n +L+ Cnn = 2n × 2n ,\b n nn = n ×2 ，故数列 bn 的通项公式为bn = n × 2 ；
12b - 2n+3 12n × 2n - 2n+3 3n - 2 × 2n 2n+2 nn 2
（ii） = = = - ，
an × an+2 2n ×2 n + 2 n n + 2 n + 2 n
n 12b - 2i+3 23 21 i 2
4 22 25 23 2n+2 2n 2n+2 2n+1
故 ÷ = - + - + - +L+ - = + - 4 .
i=1 è ai × ai+2 3 1 4 2 5 3 n + 2 n n + 2 n +1
12b - 2n+3 12n × 2n n+3n - 2
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于第二问的求和，要将 =an × an+2 2n ×2 n + 2
裂项为
2n+2 2n
- ，即可求解.
n + 2 n
题型 12 裂项求和难点：分母有理化型
【解题规律·提分快招】
无理根式型裂项：
1 n + k - n
=
一般情况下，无理型裂项相消满足： n + n + k k
【典例 1-1】
*
（24-25 高三下·天津滨海新·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = nan - n n -1 n N ，
且 a2 = 3 .
(1)证明数列 an 为等差数列，并求 an 的通项公式;
1 2
(2)设 bn = ,Ta a + a a n 为数列 bn 的前 n 项和，求使 Tn 成立的最小正整数 n 的值;n n+1 n+1 n 5
a +1
(3)在数列 c 中，对任意 n N*n ，当 2k n < 2k +1,k N 时， cn = k ，若满足 2
cm + c2m + c4m + c8m + c16m 23 ，求正整数 m 的最小值.
【答案】(1)证明见解析； an = 2n -1(2)12 (3)8
【分析】（1）根据题意，由 an 与 Sn 的关系代入计算，结合等差数列的定义即可证明，再由等差数列的通项
公式即可得到结果；
（2）根据题意，先对数列bn 的通项公式进行化简，再由裂项相消法求解Tn 的表达式，然后代入计算，求解
不等式，即可得到结果；
（3）根据题意，先根据数列 an 的通项公式确定 cn 与 n 的关系，即可得到 cm + c2m + c4m + c8m + c16m 的表达式，
然后求解不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为 Sn = na
*
n - n n -1 n N ①，
当 n 2时， Sn-1 = n -1 an-1 - n -1 n - 2 ②，
由① - ② 2可得： an = nan - n + n - n -1 an-1 + n -1 n - 2 ，
化简可得 n -1 an - n -1 an-1 = 2n n -1 ， n 2，即 an - an-1 = 2， n 2，
又 a2 = 3，当 n = 2时， S2 = a1 + a2 = 2a2 - 2 ，解得 a1 =1，
所以数列 an 是以1为首项， 2为公差的等差数列，且 an =1+ n -1 2 = 2n -1 .
1 1
（2）bn = =an an+1 + an+1 an an × an+1 an+1 + an
an+1 - an an+1 - an
= =
an × an+1 an+1 + an an+1 - an an × an+1 an+1 + an an+1 - an
an+1 - an 2n +1 - 2n -1 1 1 1
= = = -
÷ ，则Tn = b2 1
+ b2 + b3 +L+ bn
2 an ×an+1 2 2n -1 2n +1 è 2n -1 2n +1
1 1 1 1 1 1 1 L 1 1= - + - + - + + -
2 è 3 3 5 5 7 2n -1 2n +1 ÷
1
= 1
1 1 1 2
- 2 ，由T 可得 1- ，化简可得 2n +1 5，解得 n 12，2 è 2n +1 ÷ n 5 2 2n +1 ÷è 5
T 2所以使 n 成立的最小正整数 n 的值为12 .5
a = 2n -1 an +1 2n -1+1（3）由 可得 = = n，因为当 2k n < 2k +1n , k N 时， cn = k ，2 2
设 2s m < 2s+1， s N ，则 2s+1 2m < 2s+2， 2s+2 4m < 2s+3， 2s+3 8m < 2s+4 ， 2s+4 16m < 2s+5 ，
所以 cm = s,c2m = s +1,c4m = s + 2,c8m = s + 3,c16m = s + 4 ，
由 cm + c2m + c4m + c8m + c16m > 23
13
，即5s +10 >13，解得 s > ，
5
且 s N ，所以 s 3，
当 s = 3时， 23 m < 24 ，即8 m <16，所以正整数m 的最小值为8 .
【典例 1-2】
（2023·天津和平·三模）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,an+1 = Sn + 2 n N* .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an+1之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个等差数列，记插入的这 n 个数之和为Tn ，若不等式
(-1)n l < 2 3n-
T 对一切 n N
* 恒成立，求实数l 的取值范围；
n
1 b1 - b2 b2 - b3 bn - bn+1 *
(3)记bn = + +L+ < 2 n N log a2 ，求证： .2 n b1 b2 bn
3
【答案】(1) an = 2n (2) -1, ÷ (3)详见解析.
è 2
【分析】（1）根据 an 和 Sn 的关系即可求解；（2）根据等差数列前 n 项和公式求出Tn 代入化简即可解决；（3）
bn - bn+1
求出 b ，进行适当放缩后用裂项相消求和解决.n
【详解】（1）设等比数列 an 的公比为 q，
当 n =1时，有 a2 = a1 + 2，则 a1q = a1 + 2 ①
ìa = S + 2
当 n 2 n+1 n时， í ，两式相减可得： an+1 - an = Sn - Sn-1 = aa = S + 2 n ， n n-1
整理得 an+1 = 2an，可知 q = 2，代入①可得 a1 = 2，
所以等比数列 an 的通项公式为 an = 2n （ n N* ）.
（2）由已知在 an 与 an+1之间插入 n 个数，组成以 an = 2n 为首项的等差数列，
n + 2 an + an+1 n an + a所以Tn = - an - a n+1
= = 3n ×2n-1
2 n+1
，
2
( 1)n l 2 3n则 - < - = 2
2
- 2
T 2n ，设 cn = 2 - n ，则 cn 是递增数列，n 2
2 2 3 3
当 n 为偶数时，l < 2 - l < 2 - = c =
2n
恒成立，即 2n ÷ 2 ，所以
l < ；
è min 2 2
n l 2 2 -l < 2
2
- 当 为奇数时，- < - = c =1
2n
恒成立，即 2n ÷ 1 ，所以l > -1；è min
3
综上所述，l
的取值范围是 -1, .
è 2 ÷
1 1
（3）证明：由（1）得bn = log a2
=
2 n 2n
，
bn - bn+1 1 2 2 2
则有 = = = <
bn 2n n +1 2 n n +1 n n +1 + n n +1 n n +1 + n n +1
2 2 n +1 - n 1 1
= = = 2 - .
n n +1 n + n +1 n × n +1 è n n +1 ÷
b1 - b2 b2 - b3 L b+ + + n - bn+1
é
< 2 1 1 1 1 1 1
ù
b b b ê
- +
1 2 ÷
- +L+ ( - )
1 2 n è è 2 3
÷
n n +1
ú
2 1 1 < - ÷ < 2 ,原不等式得证.
è n +1
【变式 1-1】
（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差为 d ，若 d , S9为函数
f x = x - 2 (x - 99)的两个零点，且 d < S9 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若b
1
n = n N* , b n Tan+1 + a 求数列 n 的前 项和 n ．n
【答案】(1) a = 2n +1 (2) 2n + 3 - 3n
2
【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可.
【详解】（1）因为 d , S9为函数 f x = x - 2 x - 99 的两个零点，且 d < S9 ，
所以 d = 2, S9 = 99
n n -1
，又因为 Sn = na1 + d ，2
9a 9 8所以 1 + 2 = 99，解得a = 3，所以 a 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，2 1 n
所以 an = a1 + n -1 d = 2n +1．
1 1 1
（2）因为bn = = = 2n + 3 - 2n +1 ,an+1 + an 2n + 3 + 2n +1 2
T 1 5 3 1 7 5 L 1 2n 1 2n 1 1所以 n = - + - + + + - - + 2n + 3 - 2n +12 2 2 2
1
= 5 - 3 + 7 - 5 +L+ 2n +1 - 2n -1 + 2n + 3 2n 1 2n + 3 - 3- + = .2 2
题型 13 放缩型不等式：先求和再放缩
【解题规律·提分快招】
不等式证明：
可以先求和，通过求和化简为一个函数型数列通项，然后借助放缩和数列单调性证明不等式
【典例 1-1】
（24-25 高二上·浙江舟山·期末）数列 an 满足： a1 + 3a2 + 5a3 +L+ 2n -1 an = 3+ n -1 ×3n+1．
(1)求数列 an 的通项公式；
2a
(2) b = n T b n T < m2 7设 n a -1 a -1 ， n 为数列 n 的前 项和，若 n - 4m + 恒成立，求实数m 的取值范围．n n+1 2
(1) a = 3n , n N*【答案】 n (2) m 3或m≤1
【分析】（1）根据 an , Sn 的关系，即可作差求解，
1 1 1 2 7 1
（2）利用裂项相消法求解Tn = - n+1 ，根据单调性可得Tn < ，进而根据m - 4m + 求解即可.2 3 -1 2 2 2
【详解】（1）令 n =1, a1 = 3
又 a1 + 3a2 + 5a3 +L+ 2n -1 an = 3+ n -1 ×3n+1 n 1 ①
a1 + 3a2 + 5a3 +L+ 2n - 3 an-1 = 3+ n - 2 ×3n n 2 ②
① - ② 2n -1 a = n -1 ×3n+1 n n由 得到 n - n - 2 ×3 = 2n -1 ×3
即： an = 3
n n 2 ，
n *
经检验， n =1, a1 = 3也成立，故数列 an 的通项公式 an = 3 ,n N
2an 2 ×3
n 1 1
（2）bn = = = - an -1 an+1 -1 3n -1 3n+1 -1 3n -1 3n+1 -1
Tn = b1 + b
1 1 1 1 1 1 1 1
2 +L+ bn = - 2 + 2 - 3 +L+ n - n+1 = -3-1 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 2 3n+1 -1
T 1 1 1因为 n = - n+1 是单调递增数列，且T <2 3 -1 n 2
T m2 4m 7 2 7 1若 n < - + 恒成立，则m - 4m + ，解得m 3或m≤1，2 2 2
实数m 的取值范围为m 3或m≤1．
【典例 1-2】
（24-25 高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为 0 的等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 a1,a2 ,a5 成等比数列，
4
a2a3 = a8数列bn 满足bn = ． an +1 an+1 +1
(1)求数列 an 的通项公式；
m - 5 m
(2)设数列 bn 的前 n 项和为 Tn，若 < T *n < 对一切 n N 恒成立，求实数 m 的取值范围．2 3
【答案】(1) an = 2n -1(2) 3,6
【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列 an 的通项公
式;
n 1
(2)利用裂项相消法求和，求得Tn ，然后作差法判断 Tn 的单调性，以及结合 < 1，求得 Tn <1，然后n +1 2
根据恒成立建立不等式组，从而得解.
【详解】（1）设等差数列{ an }的公差为 d d 0 ，
ìa22 = a1a ì5 a1 + d
2 = a a
í í 1 1
+ 4d
由题意知：
a2a3 = a8 a1 + d a1 + 2d = a1 + 7d
ìa2
í 2
= a1a5 ìa1 =1
解方程组得 í ，所以 an = a1 + n -1 d = 2n -1，即 an = 2n -1
a2a3 = a8 d = 2
4 4 1 1 1
（2）bn = = = = - an +1 an+1 +1 2n 2n + 2 n n +1 n n +1，
T b b b 1 1 1 1 1 1 1 nn = 1 + 2 + ×××+ n = - ÷ + -
÷ + ××× +
- =1- = ，
è 2 è 2 3 è n n +1÷ n +1 n +1
QT T n +1 n 1n+1 - n = - = > 0, \ Tn 1 n 1单调递增，\Tn T1 = ，又QTn = <1, \ Tn <1n + 2 n +1 (n +1)(n + 2) 2 n +1 2
ì
1
m
m - 5 m 3
若使得 < Tn < 对一切 n N* 恒成立，则 í ，解得3 m < 6m 5 1 ，∴实数 m 的取值范围是
3,6 ．
2 3 - <
2 2
【变式 1-1】
（24-25 高二上·河南安阳·期末）已知数列 an 满足 nan+1 - n +1 an = n n +1 ，且 a1 =1 .
ìa
(1)证明 í n
ü
n 是等差数列，并求
an 的通项公式；
a
(2) n若数列 b nn 满足bn = × 2 ，求 bn 的前 n 项和 Sn n ；
1 2 2 3 n n +1
(3)若存在 n N* ，使得不等式 × + × +L+ × n + 25 la a a a a a 成立，求实数l 的取值范围.1 2 2 3 n n+1
1
【答案】(1)证明见解析， an = n
2 (2) Sn = n -1 2n+1 + 2
(3) - ,
ù
è 36 ú
【分析】（1）对递推式变形结合等差数列的概念即可证明，然后根据等差数列的通项公式求解即可；
（2 n）由（1）知bn = n 2 ，然后利用错位相减法求和即可；
n
（3）利用裂项相消法求和化简已知得，存在 n N* ，使得 n + 25 l 成立，分离参数n +1
é ù
l n ê n 1 n 25 ú ，变形后利用基本不等式求解最值即可得解. ê + + ú max
【详解】（1）由 nan+1 - n +1 an = n n +1
a a
，可得 n+1 - n =1，
n +1 n
a ìan ü
又 1 =1，所以 í 是 1 为首项 1 为公差的等差数列，1 n
a
所以 n =1+ n -1 1 = n 2，所以 an = n ；n
2 1 b = n 2n S =1 2 + 2 22（ ）由（ ）知 n ，所以 n + 3 2
3 +L+ n 2n ，
2S 2n =1 2 + 2 2
3 + 3 24 +L+ n -1 2n + n 2n+1，
2 1- 2n2 3 n n+1 两式相减，得-Sn = 2 + 2 + 2 +L+ 2 - n 2 = - n 2n+1 = 1- n 2n+1 - 2，1- 2
故 Sn = n -1 2n+1 + 2；
n 1 1 2 2 3 L n n +1= + + + 1 1 1 1 1 1（3）由（1）知 a n ，所以 a a a a a a = + +L+ n 1 2 2 3 n n+1 1 2 2 3 n专题 13 数列综合大题
目录
题型 01 求和基础思维 ........................................................................................................................................................1
题型 02 求和基础方法：分组公式法 ..............................................................................................................................2
题型 03 分段型求和 ............................................................................................................................................................3
题型 04 正负相间型 ..........................................................................................................................................................3
题型 05 错位相消思维 ........................................................................................................................................................4
题型 06 函数中心对称性质型 ............................................................................................................................................5
题型 07 裂项求和难点：裂项基础型 ................................................................................................................................6
题型 08 裂项求和难点：分母线性差（函数型） ............................................................................................................7
题型 09 裂项求和难点：裂和型 ........................................................................................................................................8
题型 10 裂项求和难点：齐次分离常数型 ........................................................................................................................9
题型 11 裂项求和难点：同构型 ........................................................................................................................................9
题型 12 裂项求和难点：分母有理化型 ..........................................................................................................................10
题型 13 放缩型不等式：先求和再放缩 ..........................................................................................................................11
题型 14 放缩型不等式：先放缩再求和 ..........................................................................................................................12
题型 15 求导数函数型数列不等式 ..................................................................................................................................13
题型 16 插入数型 ..............................................................................................................................................................13
题型 01 求和基础思维
【解题规律·提分快招】
ìS
a = 1
, n =1
对于公式 n í
Sn - Sn-1,n 2
（1）当 n 2 时，用n - 1替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 Sn - Sn-1 (n 2) 便可求出当 n 2
时 an 的表达式；
（2）当 n =1时， a1 = S1求出 a1；
（3）对 n =1时的结果进行检验，看是否符合 n 2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式
合写；如果不符合，则应该分 n =1与 n 2 两段来写．
【典例 1-1】
（22-23 高三·全国·）已知数列 an 中，a1 =1，Sn 是数列 an 的前 n 项和，且对任意 n N* ，有 an+1 = kSn +1
（ k 为常数）．
(1)当 k = 2时，求 a2、 a3 的值；
(2)试判断数列 an 是否为等比数列？请说明理由．
【典例 1-2】
（2024 高三·北京·专题练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = 3n + 2n +1，求 an 的通项公式．
【变式 1-1】
（22-23 2高三·全国·模拟）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn = -2n + 3n +1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)数列 an 是否为等差数列？
题型 02 求和基础方法：分组公式法
【解题规律·提分快招】
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
n n－1 n a1＋an
等差：前 n 项和公式：Sn＝na1＋ d＝ .2 2
na1，q＝1，
等比：前 n 项和公式：S ＝ a1 1－qnn a1－anq
＝ ，q ≠ 1.
1－q 1－q
分组求和法： {
1.形如 an＝ b（n 等差）+ c（n 等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如 an＝ b（n 等差比）+ c（n 裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如 an＝ bn + cn，（bn，cn为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
【典例 1-1】
（24-25 *高三天津南开·）已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和，满足 Sn = 2an -1,n N ，数列 bn 是等差数列，且
b1 = -a1 ，b2 + b4 = -10 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)求数列 an + bn 的前 n 项和.
【典例 1-2】
（19-20 高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列 an 是等差数列，满足a2 = 5,a4 = 9，数列 bn + an 是公比为 3
的等比数列，b1 = 3 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
【变式 1-1】
（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）已知数列 an ， a1 = a2 =1， an+2 - 5an+1 + 6an = 0．
(1)证明：数列 an+1 - 2an ， an+1 - 3an 为等比数列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)求数列 an 的前 n 项和 Sn ．
题型 03 分段型求和
【解题规律·提分快招】
分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
1.分奇偶各自新数列求和
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
【典例 1-1】
（·山西吕梁·一模）已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn （ n N+ ），数列{bn}是等比数列，a1 = 3，b1 =1，
b2 + S2 =10， a5 - 2b2 = a3 .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
ì 2
, n为奇数
(2)若 cn = í Sn ，设数列{cn}的前 n 项和为Tn ，求T2n .
bn , n为偶数
【典例 1-2】
（23-24 高三上·天津河东·阶段练习）已知 an 为等差数列， bn 为等比数列，
a1 = b1 =1, a5 = 5 a4 - a3 ,b5 = 4 b4 - b3 ．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)记 bn 的前 n 项和为Tn n N* ，求 Tn 的前 n 项和Qn；
ì 3an - 2 bn
，n为奇数，
n a a(3) c =
í n n+2对任意的正整数 ， n 求数列 cn 的前 2n项和 Sa 2n ． n-1
,n为偶数.
bn+1
【变式 1-1】
ìan - 6, n为奇数（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 an 为等差数列，bn = í ，记 Sn ，Tn 分别为数列 an ， bn
2an , n为偶数
的前 n 项和， S4 = 32，T3 =16．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：当n > 5时，Tn > Sn．
题型 04 正负相间型
【解题规律·提分快招】
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇
数项通项。
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知等差数列 an 满足：a1 = 3公差 d 0． 且 a1,a4 ,a13 恰为等比数列 bn
的前三项．
(1)求数列 an 与 bn 的通项公式：
(2)若数列 cn 满足： cn = an + bn，求数列 cn 前 n 项和 Tn ;
(3)求 -1 n an 的前 n 项和
【典例 1-2】
（24-25 高二上·天津·阶段练习）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 = 4S2 ， a3n = 3an + 2 .
(1)求数列 an 的通项公式及数列 an 的前 n 项和 Sn ；
(2)设bn = -1
n a2n ，求数列 bn 的前 2n项和T2n .
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津南开·期末）已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 = 2,b2 = 4,an = 2log *2bn , n N .
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
c a
(2) n+1 n若数列 cn 满足 c1 = 6，且 = .设 Sn 为数列 c n *c a n 的前 项和，集合 A = Sn Sn N ，求 A（用列举n n+2
n
i
法表示）；(3)求 (-1) aibi-1 .
i=1
题型 05 错位相消思维
【解题规律·提分快招】
三种思维：
1.思维结构结构图示如下
Cn = (a n + b)q
n-1,则其前n项和Sn =（An+B)q
n + c
2.公式型记忆： a , B b - A其中A= = ,C = -B
q -1 q -1
an = (kn + b)q
n（, q 1),则
3.可可裂项为如下 an = [ p(n +1) + t)]q
n+1 - ( pn + t)qn = Cn+1 - Cn , (Cn = (( pn + t)q
n )
p t ì
k=pq-p
其中可通过方程组计算出 、 值：í
b=pq + tq - t
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知数列 an 是公差为 1 的等差数列，且 a1 + a2 = a3，数列 bn 是等比数列，
且b1 b2 = b3， a4 = 4b1 - b2 ．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
2n (-1)k a
2
kb(2) k *求 k n N ．
k =1 3 + (-1)
d d d d
(3)若已知 1 + 2 3 n2 + 3 +L+ n = 2n -1 n N* ，记数列 an 的前 n 项和为 An ，数列 dn 的前 n 项和为B ，2 2 2 2 n
B - 2
试比较 An 与 n 的大小．4
【典例 1-2】
（24-25 *高三下·天津武清·开学考试）设 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn (n N )， bn 为等比数列，公比
大于 1.已知 a1 =1，b1 = 4，b2 + S2 = 11，b3 + S3 = 22 .
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
3a
(2) c = (-1)n n+1
-1
设 n ，求 c a a 1 b n 的前 2n 项和
T2n ；
n n + n
ì ü
1
(3)求数列 í 的前 n 项和Hn .
T 1
2n
+
2
【变式 1-1】
1 1
（24-25 2 *高二上·天津滨海新·期末）已知数列 an 的前 n 项和 Sn = n + n n N ， b2 2 n 是公比大于 n 的等
比数列，且满足b1 = a3 ，b2 + b3 = 36．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
ì 1 ü
(2)若数列 í 的前 n T n N* T 1项和为 n ，求证： n < ；
a2n-1a2n+1 2
ìa , n为奇数, n c
(3) n 2k +1对任意的正整数 n ，设数列 cn = í 求
bn , n为偶数. k =1 c
．
2k
题型 06 函数中心对称性质型
【解题规律·提分快招】
函数中心对称性质型，实际上就是倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合
数。
【典例 1-1】
A x , y , B x , y f x 1 x（11-12 高三上·江苏泰州·期中）设 1 1 2 2 是函数 = + log2 的图象上任意两点，且2 1- x
uuuur uuur uuur
OM 1= (OA + OB) 1，已知点M 的横坐标为
2 2
．
（1）求证：M 点的纵坐标为定值；
1 2 n -1 *
（2）若 Sn = f n ÷
+ f n ÷
+ ...+ f ÷ ,n N ,且n 2求 Sn n ；è è è
2 n =1
（3）已知 a
3
n ={ 1 ，其中 n N
* ，Tn 为数列 an 的前 n 项和，若Tn < l Sn+1 +1 对一切 n N *
n 2
(Sn +1)(Sn+1 +1)
都成立，试求l 的取值范围．
【典例 1-2】
1 x
（2022 高三·全国·专题练习）设 A x1, y1 , B x2 , y2 是函数 f x = + log2 的图象上任意两点，且2 1- x
uuuur
OM 1
uuur uuur
= (OA + OB) ，已知点M 1的横坐标为 2 ．2
(1)求证：M 点的纵坐标为定值；
1 2
(2)若 Sn = f ÷ + f ÷ + ... f
n -1+ , n N * ÷ ,且 n 2求 S ；
è n è n n n è
【变式 1-1】
1 2 1
（20-21 高二·全国·课后作业）已知函数 f x = x + x ，数列 an 的前 n 项和为 Sn ，点 n, Sn n N* 均2 2
x
在函数 f x 4的图象上，函数 g x = .
4x + 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求 g x + g 1- x 的值；
a
(3) *令b = g nn ÷ n N ，求数列 bn 的前 2020 项和T2021 2020 .è
题型 07 裂项求和难点：裂项基础型
【解题规律·提分快招】
m m [ 1 1], 1 = 1 [1 1基础原理： = - 如： - ],
pq q - p p q 2 4 4 - 2 2 4
1 1 1 1 1 1 1
基本题型：（1） = - ; (2) = [ -
n(n +1) n n +1 (2n-1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1
要求（避免掉坑）：
1 1 1 1 1 1（）分母分解因式: 2 = = [ - ]n + 3n n(n + 3) 3 n n + 3
(2) 1 1 1 1 1 1 1系数不相同就提系数： = = [ - ]
n（2n+4） 2 n(n + 2) 2 2 n n + 2
(3)求和化简时，要写到“ 前三后二” ，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的是首尾项（或正负项）对应。
【典例 1-1】
（24-25 高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列 an 中，3a2 + a6 = 20，且前9项和为 S9 = 81.
(1)求数列 an 的通项公式与数列 an 的前 n 项之和 Sn .
b 1(2)若 n = a a ，若数列 bn 的前 n 项和Tn 满足 Sn - 6n lTn 恒成立，求负整数l 的最大值.n n+1
【典例 1-2】
（24-25 高二上·天津武清·阶段练习）已知等差数列 an 公差为 d， d 0，且 a2 = 7 ， a1， a4， a5 成等比数
列．
(1)求数列 an 的通项公式；
ì ü
(2)设bn = -an +11
2 1 1
，数列 í 的前 n 项和为Tn ，求Tn ，并求证： Tn < .
bn bn+1 4 2
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a *1 =1， an+1 = 2Sn +1， n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)令 cn = log3 a2n ，b
1
* 1
n = bc ·c ，数列 n 的前 n 项和为Tn ，若对 "n N ，Tn > loga 1- a 恒成立，求实n n+2 5
数 a的取值范围.
题型 08 裂项求和难点：分母线性差（函数型）
【解题规律·提分快招】
f（n）
裂项相消系列 1：函数型，指的是 型
pq
（1）f（n）=t（q-p），差型；
（2）f（n）是分离常数型；
核心思维特征：分子是分母之差或者之和的倍数
【典例 1-1】
（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn , an > 0且
a1a3 = 36, a3 + a4 = 9 a1 + a2 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 S +1 = 3bnn ，求数列 bn 及数列 anbn 的前 n 项和Tn ；
a
(3)设 cn = n a +1 a +1 ，求 cn 的前 n 项和Pn .n n+1
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津河东·阶段练习）已知等比数列 an 的各项均为正数， 2a5、 a4、 4a6成等差数列，且满
足 a4 = 4a
2
3 ，等差数列数列 bn 的前 n 项和 Sn ，b2 + b4 = 6,， S4 =10．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
b
(2) 2n+5设 dn = an ， n N* ， dn 的前 n 项和Tn ，求Tb n ．2n+1b2n+3
【变式 1-1】
（2021·河南·模拟预测）已知正项等比数列{an}，满足 a2a4=1，a5是 12a1与 5a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) b
a
= n+4设 n + (-1)
n n
a - 2 a -1 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.n+4 n+4
题型 09 裂项求和难点：裂和型
【解题规律·提分快招】
正负型：等差裂和型
形如（- 1）n f (n) 型，如果f (n) = l（a
a a n+1
+ an），则可以分子裂差：
n n+1
n f (n) n l（an+1+an） 1 1（- 1） =（- 1） =（- 1）n l（ + ）
an an+1 an an+1 an an+1
【典例 1-1】
（2023·天津·一模）在公差不为零的等差数列 an 和等比数列 bn 中， Sn 为 an 的前 n 项和.已知
a2 = b1 = 3, S9 = b4 ，且 a2是 a1与 a5 的等比中项.
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)记数列 an bn 的前 n 项和为Tn ，求Tn ；
n
(3) (-1)k -1 4k求 .
k =1 ak ak +1
【典例 1-2】
（19-20 高二上·天津宁河·阶段练习）已知各项均不为 0 的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n，
有 4Sn = (2n +1)an +1．
(1)求 a1的值及数列 an 的通项公式；
b (-1)
n 4n
(2)对一切正整数 m，设 n = ，求数列 bn 的前 n 项和Ta n ．n an+1
【变式 1-1】
（2022· n *天津河西·二模）已知数列 an 的首项a1 = 3，且满足 an+1 = 2an + 2 (n N ) ．
ì a
(1) n
ü
证明数列 í n-1 是等差数列，并求数列 an 的通项公式； 2
n
(2)求 ak 的值；
k =1
(-1)n 2n2 +10n +13 24n-2
(3)设bn = 2 2 ，数列 bn 的前 n 项和为Tn ，求Tn 的最大值和最小值．an an+1
题型 10 裂项求和难点：齐次分离常数型
【解题规律·提分快招】
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
把分子次幂降下来。
【典例 1-1】
（24-25 高二上·福建宁德·期末）已知 an 是等差数列， bn 是正项等比数列，且 a1 =1，b2 = 2 ， a3 -1 = b3，
a4 +1 = b4.
(1)求数列 an ， bn 的通项公式：
n+1
(2) *记 cn = -1 an an+1 n N .
（i）求数列 cn 的前 2n 项和 S2n ；
-S -8 *
（ii）记 dn = 2n n N16n n 1 b ，求数列 d+ n 的前 n 项和Tn .n
【典例 1-2】
2
（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知 f x = x + 2 x 0 ，数列 an 中， an > 0 ， n N* ， a1 = 2， n 2
时， a1 + a2 + + an = Sn且 Sn = f Sn-1 ．
(1)求证：数列 Sn 是等差数列.
(2)求数列 an 的通项公式.
a2 + a2
(3) n+1 n已知bn = 时，求b1 + b2 + + bn 并化简．2an+1 an
【变式 1-1】
（24-25 高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn + n = 2an n N* .
(1)求数列 an 的通项公式；
* ì ü(2) bn = log2 an +1 n N bn+1 b n *，求数列 í + n N 的前 n 项和T .
bn b
n
n+1
题型 11 裂项求和难点：同构型
【解题规律·提分快招】
r n + c 1
形如 n+1 型，可以“ 仿写” 裂差，再通过反解凑配系数（或者直接构造凑配）(kn + b)[k(n +1) + b] q
r n + c 1 1 1 1 1
如 = l[ - ]
(kn + b)[k(n +1) + b] qn+1 (kn + b) qn k(n +1) + b qn+1
，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的.要注意：指数是在分母还是分子上
仿写规律：t>1
b 1 1 b
（1）、 n - = l n 。（可通分反解l）
an an+1 t
n an t
n-1 an+1 t
n an a
n
n+1 t
b nn t t
n+1 tn b tn
（2）、 - - = l n 。（可通分反解l）
an an+1 an+1 an an an+1
【典例 1-1】
（2022·天津南开·三模）已知数列 an 是公比 q > 1 的等比数列，前三项和为 13，且 a1， a2 + 2， a3 恰好分别
是等差数列 bn 的第一项，第三项，第五项．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
ì 1
, n = 2k -1
(2)已知 k N* ，数列 cn 满足 cn = íbnbn+2 ，求数列 cn 的前 2n 项和 S2n ；
anbn , n = 2k
(8n -10)a -1
(3) n设 dn = 2a +1 2a +1 ，求数列 dn 的前 n 项和Tn ．n n+2
【典例 1-2】
（21-22 高三上·天津静海·阶段练习）已知等比数列 an 的各项均为正数， 2a5， a4， 4a6成等差数列，且满
2
足 a4 = 4a3 ，等差数列数列 bn 的前 n 项和 Sn ，b2 + b4 = 6， S4 =10
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
ì bn n为奇数
(2)设 cn = í ，求数列
cn 的前 2n 项和.
an bn n为偶数
(3)设 d
b2n+5 * 1
n = a d Tb b n ， n N ， n 的前 n 项和 n ，求证：Tn < .2n+1 2n+3 3
【变式 1-1】
（2024· 2天津河西·三模）已知递增数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 4Sn = an + 4n， n N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) 1 2 3 n设bn = a1Cn + a2Cn + a3Cn + + anCn．
（ⅰ）求数列 bn 的通项公式；
n 12b - 2i+3i
（ⅱ）求 ．
i=1 è ai a
÷
i+2
题型 12 裂项求和难点：分母有理化型
【解题规律·提分快招】
无理根式型裂项：
1 n + k - n
=
一般情况下，无理型裂项相消满足： n + n + k k
【典例 1-1】
（24-25 高三下·天津滨海新·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = nan - n n -1 n N* ，
且 a2 = 3 .
(1)证明数列 an 为等差数列，并求 an 的通项公式;
b 1(2)设 n = ,Ta a a a n 为数列 bn
2
+ 的前
n 项和，求使 Tn 成立的最小正整数 n 的值;
n n+1 n+1 n 5
a +1
(3)在数列 cn 中，对任意 n N* 2k n < 2k +1，当 , k N 时， cn = k ，若满足 2
cm + c2m + c4m + c8m + c16m 23 ，求正整数 m 的最小值.
【典例 1-2】
（2023· *天津和平·三模）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,an+1 = Sn + 2 n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an+1之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个等差数列，记插入的这 n 个数之和为Tn ，若不等式
( 1)n l 2 3n- < - *
T 对一切 n N 恒成立，求实数l 的取值范围；n
1 b1 - b2 b2 - b3 L bn - bn+1(3)记bn = ，求证： + + + < 2 n N* log a22 n b b b .1 2 n
【变式 1-1】
（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差为 d ，若 d , S9为函数
f x = x - 2 (x - 99)的两个零点，且 d < S9 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
1
(2)若bn = n N* ,a a 求数列 bn n+ 的前 项和Tn ．n+1 n
题型 13 放缩型不等式：先求和再放缩
【解题规律·提分快招】
不等式证明：
可以先求和，通过求和化简为一个函数型数列通项，然后借助放缩和数列单调性证明不等式
【典例 1-1】
n+1
（24-25 高二上·浙江舟山·期末）数列 an 满足： a1 + 3a2 + 5a3 +L+ 2n -1 an = 3+ n -1 3 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
b 2a= n b n T m2 4m 7(2)设 n a T-1 a -1 ， n 为数列 n 的前 项和，若 n < - + 恒成立，求实数m 的取值范围．n n+1 2
【典例 1-2】
（24-25 高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为 0 的等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 a1,a2 ,a5 成等比数列，
4
a ．2a3 = a8数列bn 满足bn = an +1 an+1 +1
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列 bn
m - 5 m
的前 n 项和为 Tn，若 < Tn < 对一切2 3 n N
* 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【变式 1-1】
（24-25 高二上·河南安阳·期末）已知数列 an 满足 nan+1 - n +1 an = n n +1 ，且 a1 =1 .
ìa ü
(1)证明 í nn 是等差数列，并求
an 的通项公式；
a
(2)若数列 bn 满足bn = n 2n ，求 bn 的前 n 项和 Sn n ；
1 2 2 3 n n +1
(3)若存在 n N* ，使得不等式 + +L+ n + 25 la a a a a a 成立，求实数l 的取值范围.1 2 2 3 n n+1
题型 14 放缩型不等式：先放缩再求和
【解题规律·提分快招】
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，
所以放缩成能求和的形式。
【典例 1-1】
（23-24 高三上·天津·期末）已知数列 an 是正项等比数列， bn 是等差数列，且
a1 = 2b1 = 2,a2 = b4 , a5 = 4a3 .
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
ì é
n ù
ê ú ü ì T b ü
(2) x 2 2 *表示不超过 x 的最大整数，T4n 表示数列 í(-1) bn 的前 4n项和，集合 A = ín l 4n n+2 , n N 共
an+2
有 4 个元素，求实数l 的取值范围；
ì 4 b
n+1
- bn , n = 2k -1
(3) c = a b2 + 2b , k N* c S S
25 2n 2
n í ，数列 n 前 2n项和为 2n ，求证： 2n < +
- 4n+1
n+2 n n .
18
è 3 9 ÷
an bn , n = 2k
【典例 1-2】
（2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为
10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2
分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为 0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的
比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 0.8，若上一球乙获胜则甲在下一
球比赛中获胜的概率为 p 0 < p <1 .
(1)求甲以 12 :10的比分赢得比赛的概率;
(2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求 p 的范围;
32
(3)若 p = 0.55 ，设甲运动员在第 n 球比赛中获胜的概率为Pn ，数列 bn 满足bn = - 415Pn -11
，求
n 1 b b b b n
证: - < 1 + 2 + 3 + + n <4 4 b2 b3 b4 b
.
n+1 4
（参考知识: 当 c 0，1 时，若 n + ，则 cn 0 .）
【变式 1-1】
（24-25 高三上·上海·期中）已知函数 f (x) = x -1- a ln x,a R .
(1)当 a =1 时， 求 f (x) 的严格增区间;
(2)若 f (x) 0恒成立，求 a 的值；
1 1 1
(3)对于任意正整数 n，是否存在整数 m，使得不等式 (1+ )(1+ 2 )L(1+ ) < m成立 若存在，请求出 m 的2 2 2n
最小值； 若不存在，请说明理由.
题型 15 求导数函数型数列不等式
【典例 1-1】
（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 (q -1)Sn = qan -1, (q > 0)， n N* ．
(1)求数列 an 的通项公式；
n + 2 3
(2)当 q = 2时，数列 bn 满足bn = n(n +1)a ，求证： b1 + b2 +L+ bn < 2；n 2
(3)若对任意正整数 n 都有 an+1 n成立，求正实数 q 的取值范围．
【典例 1-2】
（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列 an 和等比数列 bn ，满足
a1 = b1 =1, a2 + b2 = 4, a3 + b3 = 7 .
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)求数列 an bn 的前 n 项和为 Sn ；
ì S -1 ü l
(3)在（2 n）的条件下，设数列 ía a
的前 n 项和为Tn ，若对于任意的 n N*时，Tn > +14恒成立，求
n n+1 n +1
实数l 的取值范围．
【变式 1-1】
（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + a lnx - 2 x -1 ．
(1)若 a =1，求 f x 的单调区间；
(2)当 x >1时， f x > 0，求 a的取值范围；
1 1 1 4
(3) + + + < ln n +1设 n N* ，证明： 2 2 22 ．+1 3 + 2 n +1 + n
题型 16 插入数型
【解题规律·提分快招】
复杂的数列题型三个层次：
1. 常规的奇、偶分段（注意 n 分奇偶讨论时，各自的项数关于 n 的函数）。
2. 跳项替换型，不仅仅是奇、偶跳项，还包含“数列型”跳项。
插入数改变型
【典例 1-1】
（24-25 高二上·天津·期末）已知等差数列 an ， Sn 是数列 an 的前 n 项和，满足 S2 = 4， S4 =16；数列 bn
2 *
各项都是正数，且满足b1 = a1，b3 = a3 -1，bnbn+2 = bn+1 n N .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
ì 6n - 7 bn
,n为偶数,
(2)记 cn = í anan+2 数列 cn 的前 2n项和为T2n ；
an , n为奇数,
(3)在 a 和 a ， k N* k -1 k +1k k +1 中插入 个相同的数 k ，构成一个新数列 dn ： a1,1,a2 ,-2,-2,a3,3,3,3,a4 , ，
求 dn 的前 2025 项和.
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津·期中）已知等差数列 an ，等比数列 bn ,a4 = b1 = 2,a5 = 3 a4 - a3 ,b4 = 4 b3 - b2
(1)求 an , bn 的通项公式.
ì 3an +14
,n为奇数 a a b 2n
(2) "n N*,cn =
n+2 n+4 n+2
ía ，求 ci . n+2 ,n为偶数 i=1
bn
(3)任意m N*，在 b 和b 之间插入m 个相同的数 (-1)m+1 *m m+1 m构成一个新数列，若给定一个 k k N ，这个
n (1+ k)(k + 2) n (k + 2)(k + 3)新数列项数 满足 < < （
2 2 n N
* ）.求这个新数列前 n 项的和 Sn （用 n,k 表示）
【变式 1-1】
（11-12 *高三下·江西·阶段练习）设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且满足 2an - Sn =1, n N .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{an}的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{bn}，在 an和an+1两项之间插入 n
个数，使这 n + 2 个数构成等差数列，求b2012 的值；
（3）对于（2）中的数列{bn}，若bm = an ，并求b1 + b2 + b3 +L+ bm （用 n 表示）．
冲高考
1．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列 a *n 满足：对于"n N ， an+1 - an = A，其中 A 为常数，则称数
列 an 为“A 数列”．
(1)若等比数列 bn 为“A 数列”，求 bn 的公比 q；
(2)若数列 an 为“A 数列”，且 a1 =1， A =1．
n 1 7
①求证： < ；
i=1 ai 4
n 1
② c2 *若 n = an ，且 cn 是正项数列， Sn = ，求满足不等式 2 an + b - 2 < Sn 2 cn -1 a,b,c, n N 的 abc
i=1 ci
的最小值．
2．（2025·云南昆明·一模）已知数列{an}， a = 9， a n1 n n+1 = 3an + 6 3 ， Sn 是{an}的前 项和.
a
(1)证明：数列{ nn }为等差数列；3
(2)求 Sn ；
ì 2n
,n为奇数,
Sn - n
(3)若bn = í n 1 ，记数列 b nn + n 的前 项和为Tn ，证明：T4n < 1．
-1 +1 2 32 , n为偶数 Sn
参考数据： ln 2 0.69 .
3．（2025·湖南邵阳·一模）已知正项数列 an （ n N* 2）的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn = an + n .当n 4时，将
a1,a2 ,L,an 进行重新排列，构成新数列 bn ，使其满足： b *i+1 - bi = 2或 bi+1 - bi = 3（其中 i N ，
1 i < n ）.
(1)当 n = 5时，写出所有满足b1 = 2的数列 bn ；
(2)试判断数列 bn 是否为等差数列，并加以证明；
(3)当 n = 80 时，数列 bn 满足：b5 ,b10 ,L,b5k ,L,b80 (k = 1,2,3,L,16) 是公差为 d 且（d > 0且 d 4）的等差数
列，求公差 d .
1
4．（2021·天津和平·二模）已知等比数列 an 是递减数列， an 的前 n 项和为 Sn ，且 ， 2S2 ，8aa 3 成等差1
数列，3a 22 = a1 + 2a3 .数列 bn 的前 n 项和为Tn ，满足T n = n + n ， n N* .
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
ìa
n
bn , n是奇数 2n
(2)若 cn = í(3n + 8)an ,n ，求 c是偶数 i
b b
i=1
n n+2
