专题 17 圆锥曲线求曲线方程归类
目录
题型 01 直接法 ....................................................................................................................................................................1
题型 02 定义法 ....................................................................................................................................................................4
题型 03 相关点法 ................................................................................................................................................................6
题型 04 消参法 .....................................................................................................................................................................8
题型 05 交轨法...................................................................................................................................................................12
题型 06 复数型...................................................................................................................................................................15
题型 07 向量型 ..................................................................................................................................................................17
题型 08 立体几何型 ..........................................................................................................................................................20
题型 09 综合难题：单选压轴题 .......................................................................................................................................24
题型 10 综合难题：填空压轴题 ......................................................................................................................................30
题型 01 直接法
【解题规律·提分快招】
可以直接列出等量关系式
解题步骤：
1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）
2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件
【典例 1-1】
（2020 高三·全 F (0,1)u国uur ·专uuu题r 练uu习ur）uu已ur 知点 ，直线 l : y = -1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l的垂线，
垂足为Q，且QP ×QF = FP × PQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为（ ）
A． x2 = 4y B． y2 = 3x
C． x2 = 2 y D． y2 = 4x
【答案】A uuur uuur uuur uuur
【分析】设点 P(x, y) ，得到Q(x, -1)，结合QP ×QF = FP × PQ，列出方程，即可求解.
【详解】设点 P(x, y)uuur uuur，则uuurQ(uuxu,r-1)，
因为F (0,1)且QP ×QF = FP × PQ，所以 (0, y +1) × (-x, 2) = (x, y -1) × (x, -2)，
即 2(y +1) = x2 - 2(y -1)，整理得 x2 = 4y，
所以动点 P 的轨迹C 的方程为 x2 = 4y .
故选：A.
【典例 1-2】
2 2
（21-22 高二·江苏· x y单元测试）已知F1，F2是双曲线C：2 - 2 =1(a > 0，b > 0)的左，右焦点，点 P 为双曲a b
线 C 上的动点，过点F2作 F1PF2 的平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【分析】点F2关于 F1PF2 的角平分线 PQ 的对称点 M 在PF1上，故 F1M = PF1 - PF2 = 2a ，又 OQ 是△F2F1M
的中位线，故 OQ = a，由此可以判断出点 Q 的轨迹．
【详解】如图，点F2关于 F1PF2 的角平分线 PQ 的对称点 M 在PF1上，
故 F 1M = PF 1 - PM = PF 1 - PF 2 = 2a ，又 OQ 是△F2F1M 的中位线，故
OQ = a，所以点 Q 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆.故选：A．
【变式 1-1】
PA
（23-24 高二下·江西·阶段练习）已知点 A 1,0 , B 14,0 ,C 2,1 ，动点 P 满足 =PB 2 ，则 PB + 2 PC 取得最
小值时，点 P 的坐标为（ ）
A． 7 +1, 7 -1 B． 6 +1, 6 -1
7 +1 7 -1 6 +1 6 -1
C． , ÷÷ D． ,2 2 2 2 ÷÷è è
【答案】C
PA 1
【分析】设P x, y ，由 =PB 2 ，得 P 点轨迹方程， PB + 2 PC = 2 PA + PC ，故当且仅当P, A,C 三点共
线，且点 P 在 A,C 之间时， PB + 2 PC 取得最小值，P 点轨迹方程与直线 AC 联立方程组，求出点 P 的坐标
即可.
PA 2 2
【详解】设P x, y 1 (x -1) + y，由 = 1PB 2 ，得 = ，化简得 x
2 + y2 = 4，
(x - 4)2 + y2 2
PA 1
由 = ，得 PB = 2 PA ，所以 PB + 2 PC = 2 PA + PCPB 2 ，
故当且仅当P, A,C 三点共线，且点 P 在 A,C 之间时， PB + 2 PC 取得最小值，
ìx2 + y2 = 4,
此时线段 AC 的方程为 y = x -1 1 x 2 ，由 í 并结合1 x 2，
y = x -1,
ì 7 +1
x = , 2 7 +1 7 -1
解得 í 故此时点 P 的坐标为 , .故选：C.
7 -1 è 2 2 ÷
÷
y = ,
2
【变式 1-2】
（20-21 高二上·北京海淀·期末）设点 A(- 3,0) ，B( 3,0) ，M 为动点，已知直线 AM 与直线 BM 的斜率之
1
积为定值 ，点M 的轨迹是（
3 ）
2 2
A x． - y2 =1 y 0 B y． - x2 =1 y 0
9 9
x2 y2C． - y2 =1 y 0 D． - x2 =1 y 0
3 3
【答案】C
【分析】设动点M x, y ，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
y y
【详解】解：设动点M x, y ，则 x ± 3 ，则 kMA = ， kMB = ， x ± 3 ，x + 3 x - 3
Q 1 y y 1
2
直线 AM \ × = x与直线 BM 的斜率之积为定值 ， ，化简可得， - y2 =1 y 03 x ，+ 3 x - 3 3 3
M x
2
故点 的轨迹方程为 - y2 =1 y 0 .故选：C.
3
【变式 1-3】
（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离
之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点F1 -2,0 ，F2 2,0 ，动点
P x, y 满足 PF1 × PF2 = 4 ，设 P 的轨迹为曲线C ，则下列结论不正确的是（ ）
A．C 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B． x ≤ 2 2
C．VPF1F2的面积大于 2 D． y 1
【答案】C
【分析】A 项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；B 项结合曲线方程特征消元转化进
行判断即可；D 项根据方程特征求得 P 纵坐标的范围，C 项结合三角形面积公式及 P 的纵坐标的范围进行判
断即可.
2 2
【详解】由题意可知 P 的轨迹方程为： x + 2 + y2 × x - 2 + y2 = 4，
则P x, y 关于 x 轴对称的点P1 x,-y 的横、纵坐标满足
x + 2 2 + -y 2 × x - 2 2 + -y 2 = x + 2 2 + y2 × x - 2 2 + y2 = 4，
同理P x, y 关于 y 轴对称的点P2 -x, y ，关于原点对称的点P3 -x,-y 均满足轨迹方程，
-x + 2 2 + y2 × -x - 2 2 + y2 = x + 2 2 + y2 × x - 2 2 + y2 = 4 ，
-x + 2 2 + -y 2 × -x - 2 2 + -y 2 = x + 2 2 + y2 × x - 2 2 + y2 = 4，
即 P 的轨迹关于 x 轴、 y 轴轴对称，关于原点中心对称，故 A 正确；
2 2
将轨迹方程 x + 2 + y2 × x - 2 + y2 = 4平方得：
2 2 2x - 4 + y4 + 2y2 x2 + 4 =16 x2 + y2 + 4 =16 +16x2 ，
2
整理得 y2 = 4 x2 +1 - x2 - 4 = - x2 +1 - 2 +1 0，解得 x2 +1 1,3 ，
所以1 x2 +1 9 x é-2 2,2 2ù ，即 x ≤ 2 2 ，故 B 正确；
2
又因为 y2 = - x2 +1 - 2 +1 1，故 y 1，故 D 正确；
又 S
1
VF PF = F F y 2，当且仅当 x2 = 3, y2 =1时取得最大值，故 C 错误.故选：C.1 2 2 1 2
题型 02 定义法
【解题规律·提分快招】
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．
1. 椭圆，双曲线，抛物线的定义
2. 一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆
3. 两个圆内外切情况下，较多与圆锥曲线定义有关
【典例 1-1】
（22-23 高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆M 与圆C : x2 + y2 - 4y = 0 外切，同时又与 x 轴相切，则圆M
的圆心轨迹方程为（ ）
A． x2 = 8y B 2． x = 8y y > 0 和 x = 0
C x2． = 8y y > 0 D． x2 = 8y y > 0 和 x = 0 y < 0
【答案】D
【分析】
ìr = y
设动圆圆心为M x, y y 0 ，半径为 r ，则由题意可得 í
r + 2 MC
化简可得答案.
=
【详解】
x2 + y2 - 4y = 0的圆心为C 0,2 ，半径为 2
设动圆圆心为M x, y y 0 ，半径为 r ，
ì r = y 2
由题意得 í ，即 2
r + 2 = MC
y + 2 = x + y - 2
当 y > 0时，化简得： x2 = 8y，当 y < 0时，化简得： x = 0，
故选：D.
【典例 1-2】
（22-23 高二下·湖北·期中）已知两圆 C1：（x-4）2+y2=169，C 2 22：（x+4） +y =9.动圆 M 在圆 C1内部且和圆 C1
相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）
x2A y
2 2 2
． - = 1 B x y． + = 1
64 48 48 64
2 2 2 2
C x y 1 D x y． - = ． + =1
48 64 64 48
【答案】D
【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径 r ，消去 r ，再由圆锥
曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】设动圆的圆心M x, y ，半径为 r
圆M 与圆C1 : x - 4 2 + y2 =169内切，与 C 2 22： x + 4 + y = 9外切.
所以 MC1 =13 - r, MC2 = 3+ r .
MC1 + MC2 =16 > C1C2 = 8
由椭圆的定义，M 的轨迹是以C1,C2 为焦点，长轴为 16 的椭圆.
则 a = 8,c = 4，所以b2 = 82 - 42 = 48
x2 y2
动圆的圆心M 的轨迹方程为： + =1
64 48
故选：D
【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
【变式 1-1】
2
（24-25 高二上·山东枣庄·阶段练习）若动圆过定点 A 2,0 ，且和定圆C : x + 2 + y2 = 1外切，则动圆圆心
P 的轨迹方程为（ ）
y2 1 y2 1
A x2． - =1 x
÷ B． x
2 - =1 x -
3 ÷è 2 3 è 2
4x2 4y
2 1 4y2 1
C． - =1 x - 2
15 2 ÷
D． 4x - =1 x ÷
è 15 è 2
【答案】D
【分析】根据动圆与定圆外切得出 PC - PA =1 < AC = 4，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可.
【详解】定圆的圆心为C -2,0 ，与 A 2,0 关于原点对称.
设 PA = r ，由两圆外切可得 PC =1+ r ，所以 PC - PA =1 < AC = 4 ,所以，点 P 的轨迹为双曲线的右支.
x2 y2 1 2 2 2 15
设双曲线的方程为 - =1 a > 0,b > 0 ，则 a =2 2 ， c = 2，b = c - a = ，a b 2 4
2 4y2 1
所以，点 P 的轨迹方程为 4x - =1 x .故选：D.
15 ֏ 2
【变式 1-2】
1 1
（21-22
高二上·陕西西安·阶段练习）已知点 F ,0 x = -4 ÷，直线 l ： ，点 B 是 l上的动点．若过 B 垂直于è 4
y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( )．
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【答案】D
【详解】如图所示，连结MF ，结合线段垂直平分线的性质可得：MF = MB，
即点M 到直线 l的距离与点M 到点F 的距离相等，
结合抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以F 为焦点， l为准线的抛物线.
本题选择 D 选项.
点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满
足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这
种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
【变式 1-3】
（2020 高三·全国·专题练习）已知点F 1,0 ，直线 l : x = -1，点 B 是 l上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与
线段 BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
【答案】D
【解析】根据垂直平分线的定义可得出点M 到直线 l的距离等于 MF ，利用抛物线的定义可得出结果.
【详解】连接MF ，由中垂线性质知 MB = MF ，即M 到定点F 的距离与它到直线 l距离相等.
因此，点M 的轨迹是抛物线.故选：D.
题型 03 相关点法
【解题规律·提分快招】
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代
换关系。
1、求谁设谁，设所求点坐标为（x，y）
2、所依赖的点称之为“参数点”，设为（x i , yi )（i=1,2..) 或（a,b)，（x0 , y0 )等
3、“参数点”满足某个（些）方程，可供代入
4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。
5、代入方程，消去参数值
【典例 1-1】 uuuur uuur uuuur uuur
（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）设 F 1,0 ，点M 在 x 轴上，点 N 在 y 轴上，且MN = NP, MN × NF = 0，
当点 N 在 y 轴上运动时，点 P 的轨迹方程为（ ）
A y2
1
= x B y2
1
． ． = x C． y2 = 2x D． y2 = 4x
2 4
【答案】D
【分析】设点P x, y ，根据向量关系及垂直关系可得点 P 的轨迹方程.
uuuur uuur
【详解】设点P x, y ，因为MN = NP ，则 N 为MP 的中点，且点 N 在 y 轴上，
y uuuur uuur
所以 N 0, ÷，则M -x,0 ,又F 1,0
，则MN = x,
y NF = ÷， 1,
y
-
2 2 2 ÷
，
è è è
uuuur uuur 1 2 2
由MN·NF = x - y = 0,\ y = 4x，故点 P 的轨迹方程为 y2 = 4x .故选：D.
4
【典例 1-2】
（22-23 高二上·河南南阳·期末）点P x0 , y0 在圆 x2 + y2 =1上运动，则点M 2x0 , y0 的轨迹是 ( )
A．焦点在 y 轴上的椭圆 B．焦点在 x 轴上的椭圆
C．焦点在 y 轴上的双曲线 D．焦点在 x 轴上的双曲线
【答案】B
2 2 (2x )2
【分析】根据 x0 + y0 =1变形 0 + y20 =1，得出结论．4
2 2 (2x )2
【详解】Q点P x0 , y0 在圆 x2 + y2 =1上，\x0 + y0 =1，\ 0 + y20 =1，4
2
\点M 2x0 , y0 x是椭圆 + y2 =1上的点．故选 B．4
【点睛】本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题．
【变式 1-1】
2
（2023· y重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线 x2 - =1与直线 l : y = kx + m k ±2 有唯一的公共点M ，过点
4
M 且与 l垂直的直线分别交 x 轴、 y 轴于 A x,0 , B 0, y 两点．当点M 运动时，点P x, y 的轨迹方程是
（ ）
2 2
A x． + y2 =1 y 0 B x． - y2 =1 y 0
4 4
x2C 4y
2 2 2
． + =1 y 0 D x 4y． - =1 y 0
25 25 25 25
【答案】D
k 4
【分析】根据直线 l与双曲线相切，推出m2 + 4 = k 2 ，M (- , - )，再求出 x, y ,消去 k, m可得结果.
m m
y2
【详解】因为双曲线 x2 - =1与直线 l : y = kx + m k ±2 有唯一的公共点M ，
4
所以直线 l与双曲线相切，
ìy = kx + m
联立 í 22 y ，消去 y 并整理得 (4 - k
2 )x2 - 2kmx - m2 - 4 = 0 ，
x - =1
4
所以D = 4k 2m2 + 4(4 - k 2 )(m2 + 4) = 0，即m2 + 4 = k 2 ，
将m2 + 4 = k 2 代入 (4 - k2 )x2 - 2kmx - m2 - 4 = 0 ，得-m2x2 - 2kmx - k 2 = 0，
得 (mx + k)2 = 0，因为 k ±2，m2 + 4 = k 2 ，所以m 0 ，
x k= - y k k m m
2 - k 2 4
所以 ， = - × + = = - ，即M (
k
- , 4- )，
m m m m m m
2 4 1 k由m + 4 = k 2 可知 k 0，所以过点M 且与 l垂直的直线为 y + = - (x + )，
m k m
y 0 x 5k 5 5k令 = ，得 = - ，令 x = 0，得 y = - ，则 A(- ,0) ，B(0,
5
- )，
m m m m
ì
x
5k
= -
m 5 x 25 x2 2 2
由 í ，得m = - ， k = ，代入m2 + 4 = k 2 ，得 2 + 4 =
x 4y
5 y y 2 ，即 - =1(y 0)， y = - y y 25 25
m
故选：D
【变式 1-2】
（24-25 高二上·江苏扬州·期中）椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M 是圆 O 上动点，M
uuur uuuur 1
在 y 轴上身影为 N，则满足 NP = NM （ > 1）的动点 P 的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率 e = ,则 λ=（2 ）
A 2 B C 3 3 D 2 3． ． 3 ． ．
2 3
【答案】D
x2 y2 1
【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程 2 2 + 2 =1，再由 e = ，列方程代入解方程即可得出答案.b b 2
【详解】设圆的方程为 x2 + y2 = b2 ，
设M x0 , y0 , N 0, y , P x, y
uuur uuuur
，因为 NP = NM ，
uuur uuuur
则 NP = x,0 = NM = x0 , y0 - y ，所以 x = x0 , y = y x
x
0 ，即 0 = , y0 = y
2 2 2
M x, y x2 + y2 = b2 x2 + y2 = b2 x y2 b2 x y因为 是圆 上一点，所以 0 0 ，所以 + = ，即 + =1， 2 b2 2 b2
c b2 2
所以 a2 = b2 2 b 1，而椭圆的离心率为： e = = 1- 2 = 1- = ，a a b2 2 2
1 3
= 2 3所以 2 ，解得： = .故选：D. 4 3
【变式 1-3】 uuur
（20-21 高二上·福建福州·期末）已知 AB = 3，A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，O为原点，
uuur
OP 1
uuur 2 uuur
= OA + OB ，则点 P 的轨迹方程为（ ）3 3
2 2 2 2
A． x2 y+ =1 B x． + y2 =1 C x． + y2 = 1 D． x2 y+ =1
4 4 9 9
【答案】A
ìa = 3x uuur
【分析】设点P x, y 、 A a,0 、B 0,b ，利用平面向量的坐标运算可得出 í 3 ，再利用 AB = 3化简
b = y 2
可得出点 P 的轨迹方程.
uuur uuur uuur
【详解】设点P x, y A a,0 B 0,b 1 2 1 2 1 2OP = OA + OB x, y = a,0 + 0,b = a, b 、 、 ，由 可得 ÷，3 3 3 3 è 3 3
ì 1
x = a ìa = 3x 3 uuur 2 y2
所以， í 2 ，解得 í 3 ，所以， AB = a
2 + b2 = 9x2 9y+ = 3，化简可得 x2 + =1.
y = b b = y
2
4 4
3
y2
因此，点 P 的轨迹方程为 x2 + =1.故选：A.
4
题型 04 消参法
【解题规律·提分快招】
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标 x, y ；
2.消去参数，得到关于 x, y 的方程，即为所求轨迹方程。
【典例 1-1】
（2015·河南南阳·三模）A 和 B 是抛物线 y2 = 8x上除去原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足
uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = 0 ，OM × AB = 0 ，则动点M 的轨迹方程为（ ）
2 2
A． x2 + y2 -8x = 0 B． y = 6x2 C． x2 + 4y2 = 1 D x y． - =1
9 4
【答案】A
【分析】设出A ， B ，M 的坐标，由已知得到三点坐标的关系，然后分 l的斜率存在和不存在分析，当斜率
存在时，设出直线 l的方程，和抛物线联立后结合根uu与ur 系uuur数的关系uu求ur得uuuMr 的轨迹．
【详解】解：设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，M (x, y)，由OA ×OB = 0 ，OM × AB = 0
则 x1 × x2 + y1 × y2 = 0 ①， x x2 - x1 + y y2 - y1 = 0 ②，
当 l垂直于 x 轴时， x1 = x2 ， y1 = -y 2 22 则 x 21 - y1 = 0，即 x1 - 8x1 = 0，解得 x1 = 8或 x1 = 0 （舍去），此时 y = 0 ，
即M 在 x 轴上，
uuur uuur uuur uuur y y1 - y2
当 l斜率存在时，由题意可知斜率 k 不为0 ，则由OM × AB = 0 ，即OM ^ AB，所以 × = -1x x - x ，1 2
设 lAB : y = kx + b，代入抛物线方程可得 k 2x2 + (2kb - 8)x + b2 = 0 ，
2
\ x1 + x
8 - 2kb b
2 = 2 ， x1 × x2 = ， y1 × y2 = k
2x1x2 + kb x1 + x2 + b2
8b
= ，Q x1 × x2 + y1 × yk 2 k 2
= 0，
k
\ b
2 8b b y
+ = 0 即 k = -2 ③8 ，
Q × k = -1 ④ Q y = kx + b ⑤
k k x
，又 点M 满足 ，
由③④⑤得： (x - 4)2 + y2 =16，而M (8,0) 满足上式，
\点M 的轨迹方程为： (x - 4)2 + y2 =16即 x2 + y2 -8x = 0 ．故选：A．
【典例 1-2】
（20-21 高二上·上海宝山·期中）如图，设点A 和 B 为抛物线 y2 = 2 px( p > 0)上除原点以外的两个动点，已知
OA ^ OB,OM ^ AB，则点M 的轨迹方程为（ ）
A． x2 + y2 - 2 px = 0 （原点除外）
B． x2 + y2 - 2 py = 0 （原点除外）
C． x2 + y2 + 2 px = 0 （原点除外）
D． x2 + y2 + 2 py = 0（原点除外）
【答案】A
【解析】当斜率存在时，由题意设M (x, y)，直线 AB 的方程为 y = kx + b，根据直线 AB 与抛物线有两个公共
x
点，且OA ^ OB，整理可得b = -2kp，所以 y = kx + b = k(x - 2 p)，又OM ^ AB可得 k = - y ，代入直线方程，
可得 x2 + y2 - 2 px = 0(y 0)，当斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x = x0，M (x0 ,0)，解得 x0 = 2 p，故点
M (2 p,0) ，满足方程 x2 + y2 - 2 px = 0，从而确定动点M 的轨迹方程.
x
【详解】当斜率存在时，设M (x, y)，直线 AB 的方程为 y = kx + b，由OM ^ AB得 k = - y ，
2
联立 y2 = 2 px和 y = kx + b消去 y 得 k 2 x2 + x(2kb - 2 p) b+ b2 = 0，所以 x1x2 = ，k 2
所以 y1 y2 = (kx1 + b)(kx b)
2 pb
2 + = k
2 x 21x2 + kb(x1 + x2 ) + b = ，k
2
由OA b 2 pb^ OB得 x1x2 + y1 y2 = 0，所以 2 + = 0，所以b = -2kp，k k
x
所以 y = kx + b = k(x - 2 p)，把 k = - y 代入得 x
2 + y2 - 2 px = 0(y 0)，
当斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x = x0， A(x0 , y0 )，B(x0 ,-y0 )，
由OM ^ AB得点M 在 x 轴上，即M (x 2 20 ,0)，QOA ^ OB ，\ x0 - y0 = 0，
又点 A(x0 , y
2
0 )在抛物线上，故 y0 = 2 px0，
整理得 x0 = 2 p，
故点M (2 p,0) ，满足方程 x2 + y2 - 2 px = 0，
综上所述：动点M 的轨迹方程为 x2 + y2 - 2 px = 0（除原点外）
故选：A.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关
系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公
式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【变式 1-1】
（21-22 高二·uuur uuur 江苏
·单元测试）已知直线 l 与抛物线 C： y2 = 4x交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且
OA ×OB = 0 ，过 O 作直线 AB 的垂线，垂足为 P，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A． (x - 2)2 + y2 = 4( 不包括原点O)
B． (x - 2)2 + y2 =16(不包括原点O)
C． (x - 4)2 + y2 = 4( 不包括原点O)
D． (x - 4)2 + y2 =16(不包括原点O)
【答案】A
【分析】当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性易知点 P 的坐标为 4，0 ；当直线 l 的斜率存在时，
ìy = kx + b uuur uuur设直线 l 的方程为 y = kx + b k 0 ，联立 í 2 ，结合OA ×OB = 0 与韦达定理可知b = -4k ，化简即可
y = 4x
求解 P 的轨迹．
p
【详解】当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性知，直线 OA 的倾斜角为 ，
4
所以直线 OA 的方程为 y = x ，
易得 A 4，4 ，B 4，- 4 ，故点 P 的坐标为 4，0 ；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y = kx + b k 0 ，
ìy = kx + b
联立 í ky2 - 4y + 4b = 0
y
2 = 4x 得： ，
k 0
D =16 -16kb > 0
4 uuur uuur设 A x1，y1 ，B x2，y2 ，所以{y1 + y2 = ，因为OA ×OB = 0 ，所以 x1x2 + y1 y2 = 0，即k
y y 4b1 2 = k
y 21y2 + y ，
16 1
y2 = 0
所以 y1y
4b 1
2 = = -16，解得b = -4k ．由题知，直线 OP 的方程为 y = - x ，k k
ì 1
y = - x 4k 2 x
联立 í k 得 x = ，又因为 k = - y 0 ，
y = kx - 4k 1+ k
2 y
所以 x2 + y2 - 4x = 0，因为点 4，0 也满足方程 x2 + y2 - 4x = 0，
所以点 P 的轨迹方程为 (x - 2)2 + y2 = 4( 不包括原点O)，故选：A．
【变式 1-2】 uuur uuur
（22-23 高二上·湖南岳阳·期中）已知直线 l交抛物线C : y2 = 4x 于 x 轴异侧两点 A, B，且OA ×OB =12 ，过 O
向 AB 作垂线，垂足为 D，则点D的轨迹方程为（ ）
A． (x - 3)2 + y2 = 9
B． (x - 3)2 + y2 = 9 x 0
C． (x - 3)2 + y2 = 9 y 0
D (x - 3)2 + y2． = 9 x 0 或 (x +1)2 + y2 =1 x 0
【答案】B uuur uuur
【分析】设直线方程 l : x = my + t，代入抛物线消去 x，由OA ×OB =12 和韦达定理，解得 t = 6，所以直线 l经
过定点 E 6,0 ，由OD ^ AB可知D在以OE 为直径的圆上，可求轨迹方程.
【详解】设直线 l : x = my + t，将它与抛物线方程联立得： y2 - 4my - 4t = 0，
则D =16m2 +16t > 0，
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 y1 y2 = -4t ，
uuur uuur y 2
所以OA ×OB = x x + y y = 1y2 2 ，故 t = 6或-2，1 2 1 2 + y y = t - 4t =1216 1 2
当 t = -2时， A, B位于 x 轴同侧，故舍去，所以 t = 6，
所以直线 l经过定点 E 6,0 ，由OD ^ AB可知D在以OE 为直径的圆 (x - 3)2 + y2 = 9 （原点除外）上.
故选：B
【变式 1-3】
（2022 高三·全国·专题练习）已知抛物线 y2 = 4 px( p > 0)，O 为顶点，A、B 为抛物线上的两动点，且满足
OA⊥OB，如果 OM⊥AB 于 M 点，求点 M 的轨迹方程.
2 2 2
【答案】 (x - 2 p) + y = 4 p x 0
1
【分析】设点 M 的坐标为(x，y)，OA 为 y＝kx，OB 为 y＝－ x ，联立 OA 和抛物线方程抛物线得 A 坐标，
k
联立 OB 方程和抛物线方程得 B 坐标，求出直线 AB、OM 方程，联立 AB 和 OM 方程消去 k 即可得 M 轨迹
方程.
1
【详解】设点 M 的坐标为(x，y)，直线 OA 的方程为 y＝kx，显然 k≠0，则直线 OB 的方程为 y＝－ x .
k
4 p 1
ìy = kx
+ k
4 p 4 p k ÷2 è 1
由 í 2 ( , )y 4 px解得 A 2 ，同理可得 B 4 pk , -4 pk ，从而知当 k≠±1 时， kAB = = = k k 4 p 1 1
，
2 - k
2
÷ - k
è k k
y + 4 pk 1= 1 x - 4 pk
2 1
故得直线 AB 的方程为 ，即 - k
÷ y + 4 p = x- k ①è kk
1
直线 OM 的方程为 y = - - k ÷ x ②
è k
联立①②消去 k 得 4 px = x2 + y2 (x - 2 p)2 + y2 = 4 p2，即 x 0 ，
当 k＝1 时，A(4p，4p)，B(4p，－4p)，M(4p，0)，显然 M(4p，0)满足上述方程，
同理 k＝－1 时，M 也满足上述方程，
2 2 2
故点 M 的轨迹方程为 (x - 2 p) + y = 4 p x 0 .
题型 05 交轨法
【解题规律·提分快招】
交轨法，即轨迹交点法。
1. 所求点满足条件方程 1
2. 所求点满足条件方程 2
3. 动点是两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去
参数得到轨迹的普通方程
4. 参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵
活多变.
【典例 1-1】
2 2
（2024 高二上·全国· x y专题练习）设 A1, A2 是椭圆 + =1与 x 轴的两个交点，P1, P2 是椭圆上垂直于 A9 4 1
A2 的
弦的端点，则直线 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程为（ ）
x2 y2 y2A x
2
． + =1 x ±3 B． + =1 x ±3
9 4 9 4
x2 y2 2 2C y x． - =1 x ±3 D． - =1 x ±3
9 4 9 4
【答案】C
【分析】首先设出 P(x, y) 和P1(x0 , y0 ), P2(x0 ,- y0 ),根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点
P1(x0 , y0 ) 在椭圆上，代入消元即得点 P 的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线 A1P1与 A2P2 的交点为 P(x, y) ，则 A1(-3,0), A2 (3,0), P1(x0 , y0 ), P2(x0 ,- y0 ),
y0 y - y0 y∵ A1, P1, P 共线，故 = A , P , P =x0 + 3 x + 3
①，又∵ 2 2 共线，故 x0 - 3 x - 3
②.
- y2 y2
由①，② 两式相乘得 0x2
= 2 （* ,
0 - 9 x - 9
）
x2 y2 x2 y2 x2
因P1(x0 , y0 ) 在椭圆 + =1上，则 0 + 0 =1，可得： y2 09 4 9 4 0
= 4(1- ),将其代入（*）式，即得：
9
x20
y2 -4(1- )9 4= = ，
x2 - 9 x20 - 9 9
x2 y2 x2 y2
化简得： - =1，即 P 的轨迹方程为 - =1 x ±3 .
9 4 9 4
故选：C.
【典例 1-2】
2 2
（2023 x y高三·全国·专题练习）已知MN 是椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 中垂直于长轴的动弦， A, B是椭圆长轴a b
的两个端点，则直线 AM 和 NB的交点 P 的轨迹方程为 ．
x2 y2
【答案】 - =1（ x ±a ）．
a2 b2
【分析】设 M (x1, y1), N (x1, -y1) ，直线 AM 和 NB的交点为 P(x, y) ，根据 A, M , P 三点共线及 N , B, P 三点共线，
可得两个式子，两式相乘，再结合M 在椭圆上即可得出答案.
2 2
【详解】设M (x1, y1), N (x , -y )
x y
1 1 ，因为椭圆 + =1 a > b > 0 的长轴端点为 A(-a,0), B(a,0)，
a2 b2
y y
设直线 AM 和 NB的交点为 P(x, y) ，因为 A, M , P 1三点共线，所以 = x -ax + a x + a ， ，1
y y y21 y2
因为 N , B, P 三点共线，所以 = - x a = - 1x - a x ， 两式相乘得 2 2 2 2 ，（ x ±a ）,1 - a x - a x1 - a
x2 y2 b2 (a2 x2 ) y2- b2
因为 12 +
1 =1，所以 y22 1 =
1 ，即 1
a b a2 x2 - a2
= - ，
1 a
2
y2 b2 x2 y2
所以 2 2 = 2 ，整理得 2 - x ±ax - a a a b2
=1（ ），
2 2
所以直线 AM NB x y和 的交点 P 的轨迹方程 2 - =1（ x ±a ）.a b2
x2 y2
故答案为： 2 - x ±aa b2
=1（ ）.
【变式 1-1】
2016· x
2 y2
（ 安徽六安·三模）如图所示，椭圆 + =1的左，右顶点分别为 A, A ，线段CD是垂直于椭圆长轴
9 4
的弦，连接 AC, DA 相交于点 P ，则点 P 的轨迹方程为 ．
x2 y2
【答案】 - =1 y 0
9 4
【分析】设C x0 , y0 , D x0 ,-y0 ，求出直线 AC, DA 的方程，将两式相乘，再利用点在椭圆上建立关系式，
即可求解
y -y
【详解】设C x0 , y0 , D x0 ,-y0 ， A -3,0 A 3,0 0 0，所以直线 lAC : y = x + 3 , lx + 3 A D : y = x - 3 0 x0 - 3
，
2 -y 2 2 20 2
2
两式相乘得到 y = 2 x - 9 ① C x , y x0 y+ 0 =1 y 2，又点 0 0 在椭圆上，所以 ，即 0 = 4 1
x
- 0x - 9 9 ÷
，
0 9 4 è
x2 y2 x2 y2
代入①整理为 - =1，又点 P 不在 x 轴上，即两直线交点 P 的轨迹是 - =1 y 0 .
9 4 9 4
x2 y2
故答案为： - =1 y 0 .
9 4
【变式 1-2】
2022 · · A , A x
2 y2
（ 高三 山东 ）设 1 2 是椭圆 2 + 2 =1（ a > b > 0）长轴上的两个顶点，Pa b 1
P2 是垂直于长轴的弦，直
线 A1P1与 A2P2 的交点为 P ．则点 P 的轨迹的方程是 ．
x2 y2
【答案】 - =1
a2 b2
【详解】设点P1的坐标为 x0 , y0 ，则有P2 x0 ,-y0 , A1 -a,0 , A2 a,0 ．
y -y
A1P
0
1所在直线的方程为 y = x + a A P y = 0 x - a x ． 2 2 所在直线的方程为 ．0 + a x0 - a
2
x2 2
b 2 2
0 y0 x , y -y2 - a - x 2两式相乘，并利用 2 + 2 =1
，消去 2 00 0 有 y2 = 0 a2a b 2 2 - x2
b
= a a2 - x2 = - a2 - x2 ．
a x a2 x2 a2 - 0 - 0
x2 y2
整理得 2 - 2 =1．a b
【变式 1-3】
（2022 高三·全国·专题练习）由圆外一定点Q a,b 向圆 x2 + y2 = r 2 作割线，交圆周于 A、B两点，求弦 AB
中点的轨迹
2 2
【答案】弦 AB 中点的轨迹是圆 x + y -ax-by =0在圆 x2 + y2 = r 2 内的部分.
1
【分析】根据题意，设P x, y ，割线斜率为 k（参数），进而点P x, y 是 y - b = k x - a 与 y = - x 的交点，
k
2 2
进而消参求解，并结合实际情况得其轨迹为圆 x + y -ax-by =0在圆 x2 + y2 = r 2 内的部分.
【详解】解：设动弦 AB 的中点为P x, y ，P 点的轨迹是经过定点Q a,b 的割线，
设其斜率为 k（参数），其方程为 y - b = k x - a （1）
另一方面，由P x, y 为弦 AB 的中点，故 P x, y 点是在过 O 点到线 AB 的弦心距所在的直线上，其斜率为
1 1
- ，方程为 y = - x （2）
k k
所以P x, y 点是两直线系（1）、（2）相应直线的交点，
2 2
所以两式相乘，消去参数，得 x + y -ax-by =0，
所以弦 AB 2 2中点的轨迹是圆 x + y -ax-by =0在圆 x2 + y2 = r 2 内的部分.
题型 06 复数型
【解题规律·提分快招】
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
1、利用复数的模运算转化
2、利用复数的几何意义
【典例 1-1】
（2025·河南安阳·一模）若复数 z 满足 z -1 = 2 ，则在复平面内，复数 z 所对应的点组成的图形的周长为
（ ）
A． π B． 2π C．3π D． 4π
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数 z 所对应的点是半径为 2 的圆，进而求出其周长.
【详解】设 z = x + yi x, y R ，
由 z -1 = 2 2，则 x -1 + y2 = 4，
则在复平面内，复数 z 所对应的点组成的图形为以 1,0 为圆心， 2为半径的圆，
故复数 z 所对应的点组成的图形的周长为 2π 2=4π .
故选：D.
【典例 1-2】
（20-21 高二下·江苏泰州·期中）如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B 1． 2 C．2 D． 5
【答案】A
【分析】直接利用复数模的几何意义求出 z 的轨迹．然后利用数形结合求解即可．
【详解】解：Q| Z + i | + | Z - i |= 2
\点Z 到点 A(0, -1)与到点B(0,1)的距离之和为 2．\点Z 的轨迹为线段 AB ．
而 | Z + i +1|表示为点Z 到点C (-1,-1)的距离．数形结合，得最小距离为 1
所以|z＋i＋1|min＝1.故选：A
【变式 1-1】
（21-22 高一下·福建三明·阶段练习）已知设 z = x + yi(x, y R)，则 | (x - 3) + (y + 3)i |= 2 ，则 | z +1|的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先求得复数 z 实部与虚部的关系，再去求 | z +1|的最小值即可解决.
ìx = 2cosa + 3
【详解】由 | (x - 3) + (y + 3)i |= 2 ，可得 (x - 3)2 + ( y + 3)2 = 4，可令 í
y = 2sina 3
，
-
则 | z +1|= (x +1)2 + y2 = (2cosa + 4)2 + (2sina - 3)2
= 29 +16cosa -12sina = 29 + 20sin(j -a ) （j 为锐角，且 tanj
4
= ）
3
由-1 sin(j -a ) 1，可得3 29 + 20sin(j -a ) 7
则 | z +1|的最小值为 3.故选：A
【变式 1-2】
（22-23 高二上·上海静安·期末）已知 z C，且 z - i =1, i 为虚数单位，则 z - 3 - 5i 的最大值是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，可知 z - i =1中 z 对应点Z 的轨迹是以C(0,1)为圆心，r =1为半径的圆，而
z - 3 - 5i 表示圆上的点到 A(3,5)的距离，由圆的图形可得的 z - 3 - 5i 的最大值.
【详解】根据复数的几何意义，可知 z - i =1中 z 对应点Z 的轨迹是以C(0,1)为圆心， r =1为半径的圆.
Q| z - 3 - 5i |表示圆 C 上的点到 A(3,5)的距离，
\ | z - 3- 5i |的最大值是 | CA | +r = 5 +1 = 6，
故选 B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.
【变式 1-3】
i *
（21-22 高二下·上海普陀·期末）在复数列 zn 中， z1 = 8 +16i ， zn+1 = × zn n N ，设 zn 在复平面上对应2
的点为Zn ，则（ ）
A．存在点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 10
B．不存在点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 5 5
C．存在无数个点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 6 5
D．存在唯一的点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 8 5
【答案】C
i *
【分析】由 zn+1 = × zn n N ，可得Zn+1为Zn 绕原点逆时针旋转90°，且到原点的距离变为原来的一半，2
根据这个关系结合各选项中给出的条件可得正确的选项.
i *
【详解】因为 z1 = 8 +16i ，故Z1 8,16 ，由 zn+1 = × zn n N ，可得Z2 -8,4 ，2
Z3 -2, -4 ，Z4 2, -1 ，
对应 A， MZ1 10表示到以Z1 8,16 为圆心，半径为 10 的圆及其内部的点的集合，
同理 MZ2 10表示到以Z2 -8,4 为圆心，半径为 10 的圆及其内部的点的集合，
但是 Z1Z2 =10，故存在唯一的点M 0,10 ，使得 MZ2 10且 MZ1 10（如图（1）），
但是 MZ3 = 328 >10 ，故 A 错误.
对应 B， MZ1 5 5 表示到以Z1 8,16 为圆心，半径为5 5 的圆及其内部的点的集合，
同理 MZ2 5 5 表示到以Z2 -8,4 为圆心，半径为5 5 的圆及其内部的点的集合，
同理 MZ3 5 5 表示到以Z3 -2, -4 为圆心，半径为5 5 的圆及其内部的点的集合，
但是 Z1Z3 = 5 5 ，故存在唯一的点M 3,6 ，使得 MZi 5 5 i =1,2 （如图（2）），
此时 MZ2 = 5 5 ，且Zn n 4 均在圆Z3的内部，
故存在M 3,6 ，使得 MZi 5 5 i N * ，故 B 错误.
对于 C，如图（3），以Z1, Z2 , Z3分别为圆心，半径为 6 5 作圆面，三个圆面的公共部分如所示，此时Zn n 4
均在圆Z3的内部，
故此时存在无数个点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 6 5 ，故 C 正确，D 错误.
故选：C.
【点睛】关键点点：复数乘法的几何意义是向量的旋转，而模的范围则表示圆面，因此根据圆面的关系来
寻找点M 的存在性是关键.
题型 07 向量型
【解题规律·提分快招】
向量背景下求轨迹
1.向量几何意义
2.向量坐标运算或者数量积运算
【典例 1-1】 uuur uuur
（20-21 高uu一ur上·江uuu西r 宜u春uur·期末）如图，B 是 AC 的中点，BE = 2OB ，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的
一点，且OP = xOA + yOB x, y R ，则下列结论正确的个数为（ ）
①当 x = 0时， y 2,3
1 5
②当 P 是线段CE的中点时， x = - ， y =
2 2
③若 x + y 为定值 1，则在平面直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条线段
④ x - y的最大值为-1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C uuur
【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出 x，y 判断出
②正确,利用三点共线u解uur得④uu正ur确
【详解】当 x = 0时，OP = yOB ，则 P 在线段 BE 上，故1 y 3，故①错
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
当 P 是线段CE的中点时，OP = OE + EP = 3OB + (EB + BC)
2
uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 5 uuur
= 3OB + (-2OB + AB) = 3OB - OB + OB - OA = - OA + OB，故②对2 2 2 2
x + y 为定值 1 时，A ， B ， P 三点共线，又 P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故 P 的轨迹是线
段，故③对
如图，uuu过r Puu作ur PMuuu/ur/ AO ，交OE 于M ，作PN / /OE ，交 AO 的延长线于 N ，
则：
uuurOP =uOurN + uOuuM
；
r
又OP = xOA + yOB；\ x 0， y 1；
uuur uur uuur
由图形看出，当 P 与 B 重合时：OP = 0 ×OA +1×OB ；
此时 x 取最大值 0， y 取最小值 1；所以 x - y取最大值-1，故④正确
所以选项②③④正确.
故选：C uuur uuur uuur
【点睛】结论点睛：若OC = xOA + yOB，则 A, B,C 三点共线 x + y =1 .
【典例 1-2】
（21-22 高一下·重庆·期中）已知O是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP OA uuurAB uuurAC
= + + ÷ 0 ，则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的（
÷ ）
è AB sin B AC sinC
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
uuur uuur
【分析】结合图形，将题干条件变形为 AP = AE2 | AD | ，从而得解.
【详解】记E 为BC 的中点，连接 AE ，作 AD ^ BC ，如图，
uuur uuur uuur uuur uuur
则 AB sin B = AC sin C = AD ， AB + AC
1
= AE ，
2
uuur uuur uuur uuur
因为OP = OA + uuur
AB
+ uuurAC ÷ ，
è AB sin B AC sinC
÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP = OP - OA = uuur
AB AC
+ uuur ÷ = (AB + AC) = AE ，
è AB sin B AC sin C
÷ | AD | 2 | AD |
所以点 P 在三角形的中线 AE 上，则动点 P 的轨迹一定经过VABC 的重心.
故选：D.
【变式 1-1】
（19-20 高三下uu·u广r 西uu南ur 宁·u阶uur段u练uur习）已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足uuur uuur
OP OA (| AB | ×AB | AC | ×AC= + + ), ∈R.则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（ ）
sin C sin B
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出 P 的轨迹u经uur过重心uuu.r
AB AC
【详解】设三角形 ABC 外接圆的半径为 R ，由正弦定理得 = = 2R ，
uuur uuur uuur uuur sin C sin Buuur uuur | AB | ×AB | AC | ×AC uuur uuur uuur
所以OP = OA + ( + ) = OA + 2 × R × (AB + AC)，
uuur uuur uusurin C sin B
AP = 2 × R × (AB + AC)
uuur uuur uuur uuur
根据向量加法的几何意义可知： AB + AC 表示以 AB, AC 为邻边的平行四边形的对角线，
此对角线与三角形中线重合，所以 P 在三角形 ABC 的中线上，也即 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的重
心.
故选：C
【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题.
【变式 1-2】
（22-2u3uur高一uuu下r ·重庆·阶uu段ur 练习）设uuOur为DABC 所在平面上一点,动点 P 满足uuur
OP OB + OC ( uuurAB uuurAC= + + )
2 A, B,C DABC P DABCAB cos B AC cosC ，其中 为 的三个内角，则点 的轨迹一定通过
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【详解】试题分析：由原式可得 ，两边再时与 进行数量积运算,则
，DABC 中 ，
，所以 所以 P 轨迹一定过外心．
考点：向量的数量积运算，三角形的三心．
【变式 1-3】 uuur
（2021·浙江·模拟预测）已知E 为平面内一定点且 OE =1，平面内的动点 P 满足：存在实数 1，使
uuur uuur
OP + 1- OE 1= ，若点 P 的轨迹为平面图形S ，则S 的面积为 .
2
p 3
【答案】 +
6 4
O 1【分析】以 为圆心，以 2 为半径作圆，过 E 作圆O的切线 EA， EB分别与圆O切于点A ， B ，连结OA，uuur uuur uuur
OB ，延长 EO与圆O交于点 F ，设点Q，满足OQ = OP + 1- OE ，由 1，则点Q在 EP的延长线上，
uuur 1
若要存在 1使得 OQ = ，所以EP的延长线与圆O有交点，从而得出点点 P 的轨迹图形，从而可求解.
2
1
【详解】以O为圆心，以 2 为半径作圆，
过E 作圆O的切线EA，EB分别与圆O切于点A ， B ，
连结OA，OB ，延长EO与圆O交于点Fuu，ur uuur uuur
存在点 P 以及实数 1，设点Q，满足OQ = OP + 1- OE ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OQ - OE = OP - OE ，即EQ = EP
由 1，可知点Q在EP的延长线上，
uuur 1
若要存在 1使得 OQ = ，相当于EP的延长线与圆O有交点，
2
故 P 只能在图中阴影部分，所以点 P 的轨迹面积 S = SVAOE + SVBOE + S + S扇形AOF 扇形BOF ，
因为EA与圆O相切于点A ，所以OA ^ AE 3 3，由勾股定理可知， AE = ，所以 S
2 △AOE
= ，同理
8
S 3△BOE = ，8
AO 1 1 p p p 3
因为 = ，所以 AOF = 120°，所以 S
OE 2 扇形AOF
= S BOF = = S扇形 ，综上所述， 的面积为 .3 4 12 +6 4
p 3
故答案为： + .
6 4
【点睛】关键点睛uuu：r 本题uuu考r 查轨迹问uuu题r ，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键
是设点Q，满足OQ = OP + 1- OE ，由 1，可知点Q在EP的延长线上，由条件得出相当于EP的延
长线与圆O有交点，从而得出点点 P 的轨迹图形，属于中档题.
题型 08 立体几何型
【解题规律·提分快招】
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
1. 建系，利用空间坐标系求出方程。
2. 通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
【典例 1-1】
（24-25 高二上·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD, ABEF 的边长都是 1，且它
们所在的平面互相垂直．长度为 1 的金属杆端点 N 在对角线 BF 上移动，另一个端点M 在正方形 ABCD内
（含边界）移动，且始终保持MN ^ AB ，则端点M 的轨迹长度为（ ）
π π
A． B． 2 C．1 D．2 4
【答案】A
【分析】双动点，目标求轨迹长，需先确定轨迹，建系列条件找出轨迹即可求解.
【详解】以 B 为坐标原点，BA, BE, BC 分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
uuur uuuur
则 A 1,0,0 , B 0,0,0 ，设 N a,a,0 , M x,0, z ,a, x, z 0,1 ，可得BA = 1,0,0 , NM = x - a,-a, z ，
uuur uuuur
因为MN ^ AB ，即BA × NM =1 x - a = 0，可得 x = a，
uuuur uuuur
则 NM = 0, -x, z NM = (-x)2，则 + z2 =1，整理可得 x2 + z2 =1，
1
可知端点M 的轨迹是以 B 为圆心，半径 r =1的圆的 4 部分，
1 π
所以端点M 的轨迹长度为 2π 1 = ．故选：A．
4 2
【典例 1-2】
（24-25 高二上·福建厦门·阶段练习）在棱长为 a的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M , N 分别为 BD1, B1C1的中点，
点 P 在正方体表面上运动，且满足MP ^ CN ，点 P 轨迹的长度是（ ）.
A． 2 + 5 a B． 3+ 3 a C． 3 + 5 a D． 4a
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系设点P x, y, z ，利用MP ^ CN 以及M , N 两点的位置关系可得点 P 的轨迹为四
边形EFGH ，求出该矩形周长即可得结果.
【详解】在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，以D为坐标原点，分别以DA, DC, DD1为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间
a a a a uuur a
直角坐标系，\D 0,0,0 , M , , ÷ , N ,a, a2 2 2 2 ÷ ,C 0, a,0 ,\CN = ,0,a ÷，è è è 2
uuur
设P x, y, z a a a，则MP = x - , y - , z -
2 2 2 ÷
，
è
QMP a^ CN ,\ x
a a
- ÷ + a
2 2
z - ÷ = 0，可得 2x + 4z - 3a = 0；
è è 2
当 x = a z
a a a 3a
时， = ，当 x = 0时， z
3a
= ，取E a,0,
, F ÷ a,a, ÷ , H
0,0,
÷ ,G
0,a,
3a
，
4 4 ÷è 4 è 4 è 4 è 4
uuur uuur uuur uuur
连结EF , FG,GH , HE，则EF = HG = 0, a,0 , EH = FG = -a,0,
a
÷，
uuur uuur uuur uuur è 2
\四边形EFGH 为矩形，则EF ×CN = 0, EH ×CN = 0，
即EF ^ CN , EH ^ CN ，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线，
uuuur a a a uuuur a a a
\CN ^平面EFGH ，又EM = - , ,
2 2 4 ÷
, MG = - , , ，
è è 2 2 4 ÷
\M 为EG 的中点，则M 平面EFGH ，为使MP ^ CN ，必有点P 平面EFGH ，
又点 P 在正方体表面上运动，所以点 P 的轨迹为四边形EFGH ，
又EF = GH = a, EH = FG 5= a,\EF EH ，则点 P 的轨迹不是正方形，
2
则矩形EFGH 的周长为 2 + 5 a .故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 MP ^ CN 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直
角坐标系可简化求解过程，得出点 P 的轨迹形状即可求得周长.
【变式 1-1】
（24-25 高二上·天津·期中）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 是侧面正方形CDD1C1 内的动点，
Q 4 17点 是正方形 ABB1A1的中心，且 PQ 与平面CDD1C1 所成角的正弦值是 ，则动点 P 的轨迹图形的面积
17
为（ ）
π
A． B． π C． 2 2 D．4 2
【答案】A
1
【分析】取正方形CDD1C1 的中心O，利用线面垂直及线面角可求得OP = ，进而确定轨迹并求出面积.2
【详解】在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，取正方形CDD1C1 的中心O，连接OQ ，
由 Q 是正方形 ABB1A1的中心，得OQ ^ 平面CDD1C1 ，则 QPO 是 PQ 与平面CDD1C1 所成的角，
sin QPO 4 17则 = ，而QO
1
= 2 PQ 17，于是 = ，OP = PQ2 - QO2 = ，
17 2 2
π
因此动点 P 1的轨迹是以点O为圆心， 2 为半径的圆，其面积为 .4
故选：A
【变式 1-2】
（24-25 高二上·安徽·开学考试）如图，在VABC 中， AB ^ BC，BC = 3AB = 3，D是BC 上一点，且
BD =1，将VBAD沿 AD 翻折，当动点 B 在平面 ADC 上的射影在△ADC 内部及边界上时，动点 B 的轨迹长
度为（ ）
A 2 π B 2 2 2． ． π C． π D． π
12 8 6 4
【答案】A
【分析】设 B 在平面上翻折前的位置为 B ，翻折后位于 P .过点 B 作 BF ^ AD ，得到动点 P 的轨迹是以E 为圆
心，以 BE 为半径且圆心角为 P1EP2 的圆弧，在VABC 所在平面建立平面直角坐标系，求得直线 BE 和 AC 的
3 3 π
方程，联立方程组，求得F , ÷ ，得到 EF 的长，进而求得 P1EP2 = ，结合弧长公式，即可求解.
è 4 4 6
【详解】设 B 在平面上翻折前的位置为 B ，翻折后位于 P .
如图（1）所示，过点 B 作 BF ^ AD ，分别交 AD, AC 于点E, F ，则动点 P 在平面 ADC 上的射影轨迹为线段
EF ，
设当 P 与P1重合时，有 P1E ^ EF ；当 P 与P2重合时，有 P2F⊥ EF ，
则由 PE = BE 为定长，可知动点 P 的轨迹是以 E 为圆心，以 BE 为半径且圆心角为 P1EP2 的圆弧，如图（1）
所示，在VABC 所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系，
则 A(0,1)，D(1,0)，C(3,0)
1 1
，E , ÷，直线 BE : y = x
1
，直线 AC : y = - x +12 2 ，è 3
ìy = x
3 3 3 3 2
联立方程组 í 1 ，解得 x = , y = ，即F , ，则 ，
y = - x +1 4 4 è 4 4
÷ EF =
4
3
EF 1 π π
又由 BE 2= ，可得 cos P2EF = =BE 2 ，所以
P2EF = ， P3 1
EP2 = ，
2 6
P 2 π 2所以动点 的轨迹长度为 × = π .选：A．
2 6 12
【变式 1-3】
（24-25 高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D 的棱长为 2， M 、 N 分别为线段 AA1、
BC 的中点，若点 P 为正方体表面上一动点，且满足 NP ^ 平面MDC ，则点 P 的轨迹长度为（ ）
A． 2 2 B． 5 C． 2 D．2
【答案】B uuuur uuur uuuur uuuur
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出 NC1 × DC = 0, NC1 × DM = 0 ，从而得到 NC1 ⊥平面
MDC ，从而点 P 在线段 NC1上时，满足 NP ^ 平面MDC ，点 P 的轨迹长度为 NC = 12 + 221 = 5 .
【详解】以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为 x, y, zuuuur轴，建立空间uuu直r 角坐标系，uuuur
则D 0,0,0 ,C 0,2,0 , M 2,0,1 , N 1,2,0 ，C1 0,2,2 ，则 NC1 = -1,0, 2 , DC = 0,2,0 , DM = 2,0,1 ，uuuur uuur uuuur uuuur
故 NC1 × DC = -1,0,2 × 0,2,0 = 0, NC × DM = -1,0,2 × 2,0,1 = -2 + 2 = 0，uuuur uuur uuuur uuuur 1
所以 NC1 ^ DC, NC1 ^ DM ，又CD DM = D ，CD, DM 平面MDC ，所以 NC1 ⊥平面MDC ，
故当点 P 在线段 NC1上时，满足 NP ^ 平面MDC ，点 P 的轨迹长度为 NC = 12 + 221 = 5 .
故选：B
题型 09 综合难题：单选压轴题
【典例 1-1】
（23-24 高二上·福建福州·阶段练面内两定点M 0, -2 和 N 0,2 ，动点P x, y ，满足
uuuur uuur
PM × PN = m m 4 ，动点 P 的轨迹为曲线E ，其中错误的是（ ）
A．存在m ，使曲线E 过坐标原点；
B．曲线E 关于 y 轴对称，但不关于 x 轴对称；
C．若P, M , N 三点不共线，则VPMN 周长最小值为 2 m + 4；
D．曲线E 上与M , N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m .
【答案】B
【分析】根据题意得到曲线方程为 x2 + (y + 2)2 × x2 + (y - 2)2 = m，根据各项描述依次分析判断即可.
uuuur uuur
【详解】平面内M 0, -2 和 N 0,2 ，动点P x, y 满足 PM × PN = m m 4 ，故
x2 + (y + 2)2 × x2 + (y - 2)2 = m ，
A： 0,0 代入，可得m = 4 ，正确；
B：对应曲线任意点 (x, y)，则关于 y 轴对称点为 (-x, y)，关于 x 轴对称点为 (x, -y)，
将 (-x, y)代入上式得 (-x)2 + (y + 2)2 × (-x)2 + (y - 2)2 = x2 + (y + 2)2 × x2 + (y - 2)2 = m ；
将 (x, -y)代入上式得 x2 + (-y + 2)2 × x2 + (-y - 2)2 = x2 + (y - 2)2 × x2 + (y + 2)2 = m；
所以曲线E 既关于 y 轴对称，也关于 x 轴对称，不正确;
uuuur uuur uuuur uuur
C：若 P 、M 、 N 三点不共线，则 PM + PN 2 PM × PN = 2 m ，
uuuur uuur
当且仅当 PM = PN = m 时等号成立，又 | MN |= 4 ，
所以VPMN 周长的最小值为 2 m+4，正确；
D：由于实质是卡西尼卵形线（图象形式较多），下图为其中一种图象形式，
曲线E 上与M 、 N 不共线的任意一点G 关于原uu点uur对u称uur的点为
H ，
又图象既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，且 GM GN = m ，知：
四边形GMHN 的面积为 2SVMNG = GM × GN sin MGN m，
π
当且仅当 sin MGN =1时等号成立，此时 MGN = ，
2
所以四边形GMHN 的面积不大于m ，正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：曲线为 x2 + (y + 2)2 × x2 + (y - 2)2 = m，对于m 的取值范围不同，实际的图象呈现
不同的形式，结合基本不等式 a + b 2 ab ,a,b > 0即可证明 C，对于 D 虽不能画出具体图形，但是可以根据
其对称性画出大概图象，得到面积表达式.
【典例 1-2】
（22-23 高二上·四川眉山·期末）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 为棱 AB 的中点，点 P
uuur 1 uuur
在侧面 BCC1B1及其边界上运动，下列命题：①当C1P = C3 1
B 时，异面直线CP与 AD 所成角的正切值为 2；
②当点 P 到平面 ABCD的距离等于到直线 A1B1 的距离时，点 P 的轨迹为拋物线的一部分；③存在点 P 满足
PM + PD = 5 ④ MP ^ D M P 21 ； 满足 1 的点 的轨迹长度为 ；其中真命题的个数为（ ）4
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
uuur 1 uuur 2 2
【分析】对于①，可得 BCP 为异面直线CP与 AD 所成角，由C1P = C1B 可得BP = ，然后在VBCP3 3
中利用正余弦定理可求得结果，对于②，将距离转化后，利用抛物线的定义分析判断，对于③，由题意可
1
得点 P 轨迹是以 B 为圆心，长度为 1 的圆上，点 P 轨迹是以C1为圆心，长度为 2 的圆上，则可得点 P 是两
圆的交点，对于④，取BB1的中点E ，连接 AE ，过 M 点作MG / / AF 交 BC 于点 G，过 M 点作MH / / AE
交BB1于 H，可得点 P 的轨迹为HG.
【详解】对于①，如图，CP 与 AD 所成的角即 CP 与 BC 所成的角，即 BCP ，
uuur 1 uuur 2 2 π
因为C1P = C1B ，所以BP = ， BC = 1， PBC = ，3 3 4
所以由余弦定理，得CP = BC 2 + BP2 - 2BC × BP cos π = 1 8+ - 2 1 2 2 2 5 = ，
4 9 3 2 3
2
sin BCP BP sin PBC 2 5
由正弦定理， = = ，所以 cos BCP 2 5 5= 1-
CP 5 5 ÷÷
= ，
è 5
所以 tan BCP = 2，
即 CP 与 AD 所成的角的正切值为 2，①正确；
对于②，点 P 到平面 ABCD的距离即点 P 到直线BC 的距离，点 P 到直线 A1B1 的距离即点 P 到B1的距离，
依据抛物线的定义当两距离相等时点 P 的轨迹为抛物线一部分，②正确；
对于③ 5 1选项，假设PM = PD1 = ，点 P 到M 距离可以转化成PM = BM
2 + MP2 = 12 + ( )2 ，
2 2
正好点 BM
1
= ，且 BM 始终垂直平面BCC2 1
B1，所以只需要让BP =1即可，
点 P 轨迹是以 B 为圆心，长度为 1 的圆上，
5 1 1
同理PD1 = ，D1C1 =1，只需要让C1P = 即可，点 P 轨迹是以C1为圆心，长度为 2 的圆上，如图 1.2 2
1 1又因为 - < BC
1
1 = 2 <1+
5
，所以两个圆相交有交点，即存在点 P 满足
2 2 PM = PD1 =
，
2
选项③正确；
对于④选项，取BB1的中点E ，连接 AE ，过 M 点作MG / / AF 交 BC 于点 G，过 M 点作MH / / AE 交BB1
于 H，则BG = BH
1
= ，
4
因为M , F
1
分别为 AB, BC 的中点，所以 AM = BF = ，
2
因为 AD = AB, DAM = ABF = 90°，所以△DAM ≌△ABF ，
所以 ADM = BAF ，因为 ADM + AMD = 90°，所以 BAF + AMD = 90°，
所以DM ^ AF ，
因为DD1 ^平面 ABCD， AF 平面 ABCD，所以DD1 ^ AF ，
因为DD1 I DM = D ，DD1, DM 平面DD1M ，所以 AF ^平面DD1M ，
因为D1M 平面DD1M ，所以D1M ^ AF ，所以MG ^ D1M ，
同理MH ^ D1M ，因为MH MG = M ，MH , MG 平面MHG ，
所以D1M ^平面MHG ，平面MHG I平面BCC1B1 = HG，
1 1 2
所以点 P 的轨迹为HG = ( )2 + ( )2 = ，
4 4 4
所以选项④正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查点到面的距离的求解，考查立体几何中的轨迹问
题，考查正余弦定理的应用，解题的关键是根据题意结合正方体的性质和线面垂直的判定与性质求出动点
的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.
【变式 1-1】
x2 y2
（2023·全国·模拟预测）椭圆 E： 2 + 2 = 1(a > b > 0) ，过 E 外一点 P 作 E 两条切线 PA，PB，a b
tan APB = 2，记 P 的轨迹为 T，圆 C： x2 + y2 = k ，记 T 与 C 的交点为 x1, x2 ,L, xn ，当 xi 的最大值 m 最
m2 9
大时， = ，则 E 的离心率为（ ）
k 10
A 6 B 30 C 35 10． ． ． D．
3 6 7 4
【答案】B
【分析】根据给定条件，设出切线方程并与椭圆方程联立求出轨迹 T 的方程，再探求 | xi |取最大值的情况求
解作答.
【详解】设P(x0 , y0 )，过点 P 的椭圆E 的切线PA, PB的斜率都存在时，
设切线方程为 y = nx + t ，其中 n1,n2 分别为PA, PB的斜率，
ìy = nx + t
由 í 消去 y 得： (a2n2 + b2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 )x + 2a ntx + a t - a
2b2 = 0
b x + a y
，
= a b
则D = 4a4n2t 2 - 4a2 (a2n2 + b2 )(t 2 - b2 ) = 0，即有 a2n2 + b2 - t 2 = 0，又 t = y0 - nx0 ，
(a2 - x2 )n2于是 0 + 2x0 y0n + b
2 - y20 = 0，显然 | x0 | a， n1,n2 是这个方程的二根，
2x y y2 2n + n = 0 0 ,n 0 - b有 1 2 2 2 1n2 = 2 2 ，令直线PA, PB的倾斜角分别为a1,ax - a x - a 2 ，有
APB =|a1 -a2 |，
0 0
又 tan APB
tana - tana n - n
=| tan(a1 -a2 ) |=| 1 2 |=| 1 2 |= 21+ tana tana 1+ n n ，1 2 1 2
即 (n - n )21 2 = 2 |1+ n n |，即有 (n + n )
2
1 2 1 2 - 4n1n2 = 2 |1+ n1n2 |，
2x y y2 2 2 2( 0 0 )2 - 4 × 0 - b 2 |1 y0 - b= + |，整理得 a2 y2 + b2x2 - a2b2 = x22 2 2 2 2 2 0 0 0 + y
2 - a2 - b2 ，
x0 - a x0 - a x0 - a
0
而当 | x0 |= a n
1 1
时， = 或 n = - y2 - ay - b2 2，此时有 = 0 或 y + ay - b2 = 0，
2 2 0 0 0 0
即 y20 - b
2 =| ay |= a2 y2 ，满足 a2 y20 0 0 + b
2x2 2 2 2 2 2 20 - a b = x0 + y0 - a - b ，
因此点 P 的轨迹 T 的方程为 a2 y2 + b2x2 - a2b2 = x2 + y2 - a2 - b2 ，
由 a2 y2 + b2x2 - a2b2 = x2 + y2 - a2 - b2 与 x2 + y2 = k 联立，整理得：
(a2 - b2 )x2 = -k 2 + (3a2 + 2b2 )k - (a2 + b2 )2 - a2b2 ，
5a4
3a2 + 2b2 4 2 2 2
于是当 k = 时，m2
5a m
= 4(a - b ) 9有最大值 ，因此 = ，
2 4(a2 - b2 ) k 3a2 + 2b2 10
2
整理得 2a4 - 9a2b2 -18b4 = 0，解得 a = 6b，则半焦距 c = a2 - b2 = 5b ，
c 30
所以 E 的离心率 e = = .故选：B
a 6
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特
别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
【变式 1-2】
（20-21 高二下·浙江金华·期末）如图， POQ = 60°，等边VABC 的边长为 2，M 为 BC 中点，G 为VABC
的重心，B，C 分别在射线 OP，OQ 上运动，记 M 的轨迹为C1，G 的轨迹为C2 ，则（ ）
A．C1为部分圆，C2 为部分椭圆
B．C1为部分圆，C2 为线段
C．C1为部分椭圆，C2 为线段
D．C1为部分椭圆，C2 也为部分椭圆
【答案】C
【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M 的轨迹方程，由此得C1为部分椭圆；过
点A 作与 y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，得等边VOEF ，由平面几何可得G 是等边VOEF
的外心，由此可得点G 的轨迹C y2 为 轴在曲线C1内的一段线段.
【详解】以O为原点，以 POQ 的角平分线为 y 轴建立平面直角坐标系如图所示.
依题意得直线OQ 的方程为 y = 3x，直线OP 的方程为 y = - 3x .
2 2
设点B b, - 3b ，C c, 3c ，由 BC = 2得 b - c + 3 b + c = 4（*），
ìx b + c = ìb + c = 2x
设点M x, y 2 ，因为M 是BC 的中点，所以 í 即 í
- 3 b c
2y .
- = -
y = b - c 2 3
4 y
2 x2
2 2 + =1
将其代入（*）得 y +12x = 4，即 3 1 ，故M 的轨迹C1为椭圆在 POQ 内部的部分.3
3
过点A 作与 y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，则VOEF 显然也是等边三角形.
下面证明等边VABC 的重心G 即等边VOEF 的外心.
设 OCB = q ，则 OBC =120o -q = ACF ，又 BOC = CFA = 60o ，且BC = AC ，所以VOBC @VFCA，
因此OC = AF .
在VOGC 和VFGA中， OCG = q + 30o = FAG ，又GA = GC ，所以VOGC @VFGA，则OG = FG ，同理可
证OG = EG ，即点G 是等边VOEF 的外心，所以，点G 在 y 轴上移动，故点G 的轨迹C y2 为 轴在曲线C1内
的一段线段.故选：C.
【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.
【变式 1-3】
x2 2
（22-23 y高二上·北京·阶段练习）已知椭圆G : + 2 = 1(0 < b < 6) 的两个焦点分别为F6 b 1
F2，短轴的两个端点
分别为B1 B2 ，点 P 在椭圆G 上，且满足 PB1 + PB2 = PF1 + PF2 ．当b 变化时，给出下列三个命题：
①点 P 的轨迹关于 y 轴对称；
②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点 P 仅有两个；
③ OP 的最小值为 2．
其中，所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【分析】由题可知 PB1 + PB2 = 2 6 ，所以点 P 同时也在以B1 B2 为焦点，长轴长为 2 6 的椭圆上，其椭圆
y2 x2
方程为：C : + 2 = 1(0 < b < 6)，而点 P 则是两椭圆交点，根据椭圆的几何性质即可对选项进行判断.6 6 - b
【详解】由题可知 PB1 + PB2 = PF1 + PF2 =2 6 ，所以点 P 同时也在以B1 B2 为焦点，长轴长为 2 6 的椭圆
y2 x2
上，其椭圆方程为：C : + = 1(0 < b < 6)
6 6 - b2
对于①，将 x 换为-x方程不变，则点 P 的轨迹关于 y 轴对称，故①正确；
对于②，由椭圆方程可知椭圆G 的长轴顶点 ± 6,0 ，短轴长度小于 2 6 ，椭圆C 的长轴顶点 0, ± 6 ，短
轴长度小于 2 6 ，所以椭圆G 与椭圆C 有 4 个交点，对应的点 P 有 4 个，故②错误；
ì x2 y2
+ 2 =1 6 b ìb
2 2
x + 6y
2 = 6b2
对于③，代数法：联立 í
y2 x2
，即 í ，即
6x
2 + 6 - b2 y2 = 6 6 - b2
+ =1 6 6 - b2
ìb2 ×b2 x2 6b
2 2
+ y2 b 2 2 = 2 ×6b
2
4
6 - b 6 - b 6 - b b - 6b
2 + 36 4
í ，两式相加可得 x2 + y2 6b2 = 2 + 6 6 - b2 ，则
6x2 + 6 - b2 y2 = 6 6 - b2
6 - b 6 - b
12b4 - 72b2 + 216 12 b4 - 6b2 + 36 - 216x2 216 2 2+ y2 = 4 2 = 4 2 = 12 - ，当b24 2 = 3时， x + y 的最小值为 4，即当 OPb - 6b + 36 b - 6b + 36 b - 6b + 36
的最小值为 2；
几何法：如图所示
因为椭圆G 与椭圆C 长轴确定，所以当点 P 靠近坐标轴时（b 0或b 6 ），即其中一个椭圆更接近圆时，
此时 OP 会越接近 6 ， OP 会越大；反之点 P 远离坐标轴时，即两个椭圆离心率逐渐接近时， OP 越小，
所以当b2 = 6 - b2 ，即b2 = 3时 OP 最小
x2 y2 y2 2 2 2
此时G : + = 1，C :
x
+ = 1 y x，两式相加得 + = 2 x2 + y2 = 2 ，即 OP 的最小值为 2，故③正确.
6 3 6 3 2 2
故选：C
题型 10 综合难题：填空压轴题
【典例 1-1】
（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知两点M - 3,0 , N 3,0 ，动点 P 满足 MPN = 60o，直线 x - my = 0
与动点 P 的轨迹交于 A 、B 两点.当m =1时， AB
uuur uuur
= ；当m R 时，MA × MB 的最小值为 .
【答案】 2 + 14 -6
【分析】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等和勾股定理以及对称性得到点 P 的轨迹方程，再由两点间
uuur uuur
距离公式求出 AB ，由向量数量积的坐标表示结合几何意义求出MA × MB 的最小值；
【详解】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等可知，不妨设点 P 在 x 轴上方时，
由 MPN = 60o可得 MPO = 30°，又 OM = 3 ，所以 OP = 3，
2
设圆的半径为 r ，所以在RtVMOP 中， 3 - r + 3 = r2 ，解得 r = 2，
所以点 P 的轨迹为以 0,1 为圆心，2 为半径的圆中MN 所对应的优弧，不包括断点，
又对称性可得 x 轴下方也满足，图形如下： 可得点 P 的轨迹方程为
ì x
2 + y -1 2 = 4, y > 0 ì x2 + y -1 2 = 4
í 2 ，当m =1 x - y = 0
1± 7
时，直线方程为 ，联立 ，解得 x = ，
x2
í
+ y +1 = 4, y < 0 x = y 2
由对称性可得 A
1+ 7 ,1+ 7 , B 1+ 7 1+ 7 2 2 2 2 ÷÷
- , -
2 2 ÷÷
，所以 AB = 1+ 7 + 1+ 7 = 2 + 14 ，
è è uuur uuur
当m R 时，设 A x, y ，由对称性可得B -x,-y 2 2，所以MA × MB = x + 3, y × -x + 3, -y = 3 - x + y ，
uuur uuur
由几何意义可得 x2 + y2 表示点A 到原点距离的平方，所以MA × MB 的最小值为-6 .
故答案为： 2 + 14 ；-6 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能根据圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等的到点 P 的轨迹方程.
【典例 1-2】
（24-25 高二上·四川成都·期中）已知 A(-1,0), B(1,0) ，点C 满足： | AC |2 + | BC |2 =10，过点D(1,1)分别作两
条相互垂直的射线 DM，DN 分别与点C 的轨迹交于 Mu，uurNu两uur点，记 MN 的中点为E ，记E 的轨迹为G，过
点C 分别作轨迹G的两条切线，切点分别为G, F ，则CG ×CF 取值范围为 .
é
3 2 9 , 62 2 + 81
ù
【答案】 ê -
2 49
ú
【分析】先分别求出点C 的轨迹和E 的轨迹方程，设 GCF = 2q ，根据圆的性质结合数量积的定义化简，
进而可得出答案.
【详解】设C (x, y) ，由 A(-1,0), B(1,0) ，得 (x +1)2 + y2 + (x -1)2 + y2 =10，化简得 x2 + y2 = 4，
1
故点C 的轨迹是以O 0,0 为圆心，2为半径的圆，因为DM ^ DN ，E 为MN 的中点，所以 DE = MN = NE ，
2
又M , N 在圆O上，所以OE ^ MN OE 2 + DE 2 = OE 2 + NE 2，则 = ON 2 = 4，
1 2 1 2
设E(x, y)，得 x2 + y2 + (x -1)2 + (y -1)2 = 4 3，化简得 x - ÷ + y - ÷ = ，
è 2 è 2 2
1 1
则轨迹G 6的方程是以O1 ,2 2 ÷为圆心， 为半径的圆，è 2
GO 6 CG
设 GCF = 2q ，则 GCO1 = FCO = q
1
1 ，故 sinq = = , cosq = ，CO1 2 CO1 CO1
2 2
2 2 CG 3 CO1 - GO
2
cos 2q cos q sin q 1 3 3则 = - = 2 - 2 = 2 - 2 =1- ，CO 21 2 CO1 CO1 2 CO1 CO1
9
uuur uuur 2 2
则CG CF CG 2 cos 2q CO 2 3
1 3 ÷ CO 2 2 9
1 1 1
× = = - ÷ - = + - ，因为 +
= < 4，所以点O
1
è 2 CO 2
1
÷ 1 2 2 ÷ 2 ÷ 2
è 1 CO 2 è è 1
é ù
在圆O内，则 2 - OO1 CO1 2 + OO
2 2 9 9
1 ，即 CO1 ê2 - , 2 +
2 é ù
ú，所以 CO1 ê - 2 2, + 2 2 ，
2 2
ú
2 2
9 3 2 3 2
由双钩函数的性质可得函数 y = x + 2 在 0, ÷÷上递减，在 ,+ ÷÷上递增，
x è 2 è 2
9 9
9 3 2 9 2 9 ÷ 9 9 9 81- 62 2
又 - 2 2 < < + 2 2 ，所以 CO + 2 21
2 2 2 CO 2
- ÷ = 3 2 - ，又 - 2 2 +
2 ÷ 2 2 9
- = ，
1 - 2 2 2 49
è min 2
9 9
9 2 2 9 81+ 62 2
9 ÷ 62 2 + 81
+ + 2 - = ，所以 CO
2 + 2
2 9 2 49 1
- ÷ = ，
+ 2 2 CO
2 2
1 ÷ 49
2 è max
9
uuur uuur é ù
所以CG ×CF = CO 2 2 9 9 62 2 + 811 + 2 - 2 ê
3 2 - , ú .
CO1 2 49
é 9 62 2 + 81ù
故答案为： ê3 2 - , ú .
2 49
【变式 1-1】
（23-24 高二上·重庆·期中）如图，已知菱形 ABCD中， AB = 2, BAD = 120°, E 为边BC 的中点，将VABE 沿
AE 翻折成△AB1E （点B1位于平面 ABCD上方），连接 B1C 和 B1D, F 为 B1D的中点，则在翻折过程中， AE
与B1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．
π p 1
【答案】 / p
2 2 2
【分析】
通过证明 AE ^ 面 B1EC 得 B1C ^ AE B C
π
，故 AE 与 1 的夹角为 ；设G 是 AB 的中点，可证 F 的轨迹与G 的2 1
轨迹相同，求得B1的轨迹之后再求G 的轨迹.
【详解】
由 AB = 2, BAD = 120°, E
π
为边BC 的中点知： B = 且BE =1，
3
易知 AE ^ EC, AE ^ B1E ，而EC B1E = E ，EC, B1E 面B1EC ，故 AE ^ 面B1EC ，
π
又 B1C 面B1EC ，所以B1C ^ AE ，故 AE 与B1C 的夹角为 ．2
设G 是 AB
1
1的中点，又F 为B1D的中点，则G F∥AD 且G F = AD ，2
1 1
而 EC = BC = AD 且 EC∥AD，所以 G F∥EC 且 G F = EC ，即 FG EC 为平行四边形，故 EG = CF 且
2 2
EG ∥CF ，故 F 的轨迹与G 的轨迹相同.因为 AE ^ 面 B1EC 且 B1E = 1，所以 B1的轨迹为以 E 为圆心，1 为
1
半径的半圆，设 AE 的中点为O，则OG = B1E ，OG //B1E ，又OG 面B1EC ，B1E 面B1EC ，所以OG //2
B E 1
面B1EC ，故G 的轨迹为以O为圆心， 1 = 为半径的半圆，2 2
1 B E π π π
所以F 的轨迹长度为 2π 1 = .故答案为： ；
2 2 2 2 2
【变式 1-2】
（24-25 高二上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义 d P,Q = x1 - x2 + y1 - y2 为P x1, y1 ，Q x2 , y2
两点之间的“折线距离”．已知O 0,0 ， A 2,0 ，B 2,1 ，C 0,1 ，点M 在矩形OABC 内（含边界）且到点
O， B 的“折线距离”相等，则点M 的轨迹长度为 ．
【答案】 2
【分析】由题意设M x, y ，可知0 x 2，0 y 1，根据点M 到点O， B 的“折线距离”相等，可得
x 3+ y = ，即可求解.
2
【详解】 设M x, y ，因为点M 在矩形OABC 内（含边界），
则0 x 2，0 y 1，因为点M 到点O， B 的“折线距离”相等，所以 x - 0 + y - 0 = x - 2 + y -1 ，即
x + y = 2 - x +1- y ，则 x
3 3 1
+ y = ，当 y = 0 时， x = ，当 y =1时， x = ，
2 2 2
D 3 ,0 E 1 设 ÷， ,1÷，则点M 的轨迹为线段DE ，故点M 的轨迹长度为 DE = 2 .故答案为： 2 .
è 2 è 2
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出点M x, y ，根据折线距离的计算公式列出相关的式子，由
x ， y 的取值去掉绝对值符号求解即可.
【变式 1-3】
（23-24 高二上·北京朝阳·期末）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = AD = 3, AA1 =1, M 为棱BC 的中
点，点 P 是侧面CC1D1D 上的动点，满足 APD = CPM ，给出下列四个结论：
①动点 P 的轨迹是一段圆弧；
π
②动点 P 的轨迹长度为 ；
3
③动点 P 的轨迹与线段CC1有且只有一个公共点；
④ 4 - 3三棱锥P - ADD1的体积的最大值为 .
2
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【分析】利用三角函数的定义得到PD = 2PC ，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点
P 的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解.
【详解】由长方体性质可知： AD, BC 都与平面CC1D1D 垂直，
而DP,CP在平面CC1D1D 内，所以 AD ^ DP,CP ^ BC ，
AD CM
由 APD = CPM ，可知 tan APD = tan CPM ，即 = ，故PD = 2PC ，
PD PC
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ,C 0,3,0 ，因为点 P 是侧面CC1D1D 上的动点，故设P 0, y, z ，
故所求点P 0, y, z 满足 y2 + z2 = 2 (y - 3)2 + z2 ，化简得 (y - 4)2 + z2 = 4，
则动点 P 的轨迹为此圆在矩形CDD1C1 内的部分，是一段圆弧，故①正确；
记圆心为F 0,4,0 ，当 y = 3时，由 (3 - 4)2 + z2 = 4，得 z = 3 >1，
显然动点 P 的轨迹与线段CC1没有公共点，故③错误；
当 z =1时，由 (y - 4)2 +12 = 4，得 y = 4 - 3或 y = 4 + 3 （舍去），
当 z = 0时，由 (y - 4)2 + 02 = 4，得 y = 2 或 y = 6（舍去），
1 3
则E 0,2,0 ，G 0,4 - 3,1 ，易得 tan GFE = = 3 ，又0 < GFE
π
< ，则 GFE
π
=
4 4 3 ，- - 2 6
π π
所以动点 P 的轨迹长度为 2 = ，故②正确；
6 3
显然，动点 P 到平面 ADD1的最大距离为点G 到平面 ADD1的距离，即 4 - 3 ，
1 1 4 - 3
所以三棱锥P - ADD1的体积的最大值为 3 1
3 2 4 - 3 = ，故④正确.2
故答案为：①②④.
冲高考
2
1 x．（23-24 高三上·北京海淀·阶段练习）已知椭圆C : + y2 = 1的中心为O，A 、 B 是椭圆C 上的两个不同的
2
点且满足OA ^ OB，给出下列四个结论：
①点O在直线 AB 上投影的轨迹为圆；
② AOB 6的平分线交 AB 于D点， OD 的最小值为 ；
3
2
③VAOB 面积的最小值为 ；
3
④VAOB AB 2 3中， 边上中线长的最小值为 ．
3
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据斜率是否存在分类设直线 AB 方程，利用OA ^ OB，可求得点O到直线 AB 的距离为定值，即
可判断①；根据椭圆的对称性， AOB的平分线OD 及 AB 边上中线最小值都为点O到直线 AB 的距离可判
断②④；对于③可三角形相似和基本不等式求出 AB 的最小值，进而得到VAOB 面积的最小值.
【详解】对于①，如图，作OM ^ AB于M ，则点O在直线 AB 上投影为点M ，
当直线 AB 斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x = m ，
因OA ^ OB，根据椭圆的对称性可知，若A 在第一象限，则 A m, m ，
x2 m2
代入 + y2 =1得 + m2 =1 6，得m = ，
2 2 3
6 6
故直线 AB 方程为 x = ，此时M 为直线 AB 与 x 轴的交点， OM = ，
3 3
6 6
根据椭圆的对称性知，当直线 AB 方程为 x = - ，也符合题意， OM = ，
3 3
ìy = kx + n
当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 2 2的方程为 y = kx + n ，联立 í x2 得 1+ 2k x + 4knx + 2n2 - 2 = 02 ，
+ y =1 2
2
设 A x1, y1 、B x2 , y2
4kn 2n - 2
，则 x1 + x2 = - 2 ， x1x2 = ，因OA ^ OB2 ，故 x x + y1+ 2k 1 2k 1 2 1
y2 = 0，即
+
x1x2 + kx1 + n kx2 + n = 0，化简得 1+ k 2 x x + kn x + x 21 2 1 2 + n = 0 ，
2
2
即 1+ k 2n - 2 kn 4kn 2 2 2 22 + - 2 ÷ + n = 0，得 n = k +11 2k 1 2k 3 ，+ è +
n 2
OM OM n 2 6即点O到直线 AB 的距离，则 = = = = ，
1+ k 2 1+ k 2 3 3
6 6
综上可知 OM 为定值 ，故M 点的轨迹是以O为圆心以 为半径的圆，故①正确；
3 3
② ① 6对于 ，由 可知点O到直线 AB 的距离为 OM = ， AOB的平分线交 AB 于D点，
3
6
因为点O到直线 AB 上任意一点的距离，垂线段最短，即 OD OM = ，
3
当且仅当OD ^ AB时，即当 OA = OB 时，即当点A 、 B 关于坐标轴对称时，等号成立，
6
所以， OD 的最小值为 ，故②正确；
3
对于③，因为 OMA = AOB = 90o ， AOM = 90o - OAB = OBM ，
AM OM 2
所以，△AOM∽△OBM =
2
，则 OM BM ，则
AM × BM = OM = ，
3
2 6
故 AB = AM + BM 2 AM × BM = ，当且仅当 AM = BM 时等号成立，
3
S 1 AB OM 1 2 6 6 2此时 VAOB = × = ，故③正确；2 2 3 3 3
对于④，当直线 AB 斜率不存在时，
根据椭圆的对称性，VAOB AB OM 6中， 边上中线长即为 = ，故④错误，
3
故答案为：①②③.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值． uuuv
2．（21-22 高二上·上海虹口·期末）在直角坐标系中，O是原点，OQ = -2 + cosq ,-2 + sinq q R ，动点 P
在直线 x + y =1上运动，若从动点 P 向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 .
46
【答案】
2
【分析】由题意可知点Q的轨迹为圆心C(-2,-2)，半径 r =1的圆. 从动点 P 向Q点的轨迹引切线的切点为A ，
则半径为 AC = r =1，切线长为 | PA |= | PC |2 - | AC |2 = | PC |2 -1，则当 | PC |为圆心C(-2,-2)到直线
x + y =1的距离时，所引的uu切uv线长最小.求解
| PC |的值，即可.
【详解】设点Q(x, y) ，则OQ = (x, y) = -2 + cosq , -2 + sinq q R ，
ìx = -2 + cosq
即 í (q R) 则 (x + 2)2 + (y + 2)2 =1.\ Qy 2 sinq 点 的轨迹为圆心
C(-2,-2)，半径 r =1的圆.
= - +
设从动点 P 向Q点的轨迹引切线的切点为A ，则半径为 AC = r =1 .
切线长为 | PA |= | PC |2 - | AC |2 = | PC |2 -1
-2 - 2 -1
当PC ^ l 时， | PC |最小，此时 PC
5 5 2
= = =
12 +12 2 2
2
则切线长最小为： PA | PC |2 1 5 2 46 46= - = ÷÷ -1 = =
è 2 4 2
46故答案为：
2
3．（2019·北京·二模）已知平面内两个定点M (3,0) 和点 N (-3,0)， P 是动点，且直线PM , PN 的斜率乘积为
常数 a(a 0)，设点 P 的轨迹为C .
① 存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (-4,0),(4,0) 距离之和为定值；
② 存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (0, -4), (0, 4)距离之和为定值；
③ 不存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (-4,0),(4,0) 距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (0, -4), (0, 4)距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【分析】由题意首先求得点 P 的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法
是否正确即可.
y y 2 2
【详解】设点 P 的坐标为：P（x，y），依题意，有： = a x y，整理，得： - =1，
x + 3 x - 3 9 9a
对于①，点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 c＝4，a＜0，
椭圆在 x 轴上两顶点的距离为：2 9 ＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆，且 c＝4，
y2 x2 25
椭圆方程为： + =1，则-9a - 9 =16 ，解得： a = - ，符合；
-9a 9 9
7 x2 y2
对于③，当 a = 时， - =1，所以，存在满足题意的实数 a，③错误；
9 9 7
y2 x2
对于④，点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线，即 + =1，
-9a 9
不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数 a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
1 1
4．（21-22 高三上·浙江宁波·期末）已知 A(1, ), B(-1, )，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与
4 4
BM 1直线 的斜率的差是 2 ，则点 M 的轨迹 C 的方程是 ．若点F 为轨迹 C 的焦点， P 是直线 l : y = -1uuur uuur
上的一点，Q是直线PF 与轨迹C 的一个交点，且FP = 3FQ，则 QF = ．
4
【答案】 x2 = 4y(x ±1)
3
1 1
【详解】设 M（x，y），∵A（1， 4 ），B（﹣1， 4 ），直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的
y 1 11 - y -
斜率与直线 BM 的斜率的差是 2 ，∴kAM﹣kBM= 4 - 4 1= ，
x -1 x +1 2
整理，得点 M 的轨迹 C 的方程是 x2=4y（x≠±1）．
∵点 F 为轨迹 C 的焦点，∴F（0，1），
uuur uuur
P 是直线 l：y=﹣1 上的一点，Q 是直线 PF 与轨迹 C 的一个交点，且FP =3 FQ，
⊥ FM 1 2作 QM y 轴于 M 点，作 PN⊥y 轴于 N 点，则 = ，∴MF= Q 2 3 1FN 3 3 ，∴ （± ， ），3 3
∴|QF|= 2 3 2 1 2 4 (1). x2 = 4y x ±1 4(± - 0) + ( -1) = ．故答案为 (2).
3 3 3 3
5．（21-22 高三下·河南·阶段练习）已知动点A 到P 1,3 的距离是到Q 4,0 的距离的 2 倍，记动点A 的轨迹
为C ，直线 l： x - ty - 4 = 0
1
与C 交于E ，F 两点，若 S△OQF = S△OQE （点O为坐标原点，S 表示面积），则3
t = ．
【答案】-1
【分析】由题意求出A 的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解
2 2 2
【详解】设 A x, y ，则 x -1 + y - 3 = 2 x - 4 + y2 ，
整理得 x - 5 2 + y +1 2 = 8．
ì 2 2
设E x1, y1 ，F x , y
x - 5 + y +1 = 8
2 2 ．联立 í
x = ty + 4
t 2整理得 +1 y2 - 2t - 2 y - 6 = 0，
故 y y
2t - 2 6
1 + 2 = 2 ①， y y = - ②．t +1 1 2 t 2 +1
S 1又 △OQF = S△OQE ，故 y1 = -3y3 2
③．
联立①②③，解得 t = -1．
故答案为：-1专题 17 圆锥曲线求曲线方程归类
目录
题型 01 直接法 ....................................................................................................................................................................1
题型 02 定义法 ....................................................................................................................................................................2
题型 03 相关点法 ................................................................................................................................................................3
题型 04 消参法 .....................................................................................................................................................................4
题型 05 交轨法 .....................................................................................................................................................................5
题型 06 复数型 .....................................................................................................................................................................6
题型 07 向量型 ....................................................................................................................................................................7
题型 08 立体几何型 ............................................................................................................................................................8
题型 09 综合难题：单选压轴题 .......................................................................................................................................10
题型 10 综合难题：填空压轴题 ......................................................................................................................................11
题型 01 直接法
【解题规律·提分快招】
可以直接列出等量关系式
解题步骤：
1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）
2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件
【典例 1-1】
（2020 高三·全国·专题练习）已知点F (0,1)，直线 l : y = -1uuur uuur uuur uuur ，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l的垂线，垂
足为Q，且QP ×QF = FP × PQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为（ ）
A． x2 = 4y B． y2 = 3x
C． x2 = 2 y D． y2 = 4x
【典例 1-2】
x2 y2
（21-22 高二·江苏·单元测试）已知F1，F2 是双曲线C：2 - 2 =1(a > 0，b > 0)的左，右焦点，点 P 为双曲a b
线 C 上的动点，过点F2 作 F1PF2 的平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式 1-1】
PA 1
（23-24 高二下·江西·阶段练习）已知点 A 1,0 , B 4,0 ,C 2,1 ，动点 P 满足 = ，则 PB + 2 PCPB 2 取得最
小值时，点 P 的坐标为（ ）
A． 7 +1, 7 -1 B． 6 +1, 6 -1
7 +1, 7 -1
6 +1, 6 -1
C． ÷÷ D．2 2 è è 2 2
÷÷
【变式 1-2】
（20-21 高二上·北京海淀·期末）设点 A(- 3,0) ，B( 3,0) ，M 为动点，已知直线 AM 与直线 BM 的斜率之
1
积为定值 ，点M 的轨迹是（ ）
3
2 2
A x． - y2 =1 y y 0 B． - x2 =1 y 0
9 9
x2 2C． - y2 1 y 0 D y= ． - x2 =1 y 0
3 3
【变式 1-3】
（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离
之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点F1 -2,0 ，F2 2,0 ，动点
P x, y 满足 PF1 × PF2 = 4 ，设 P 的轨迹为曲线C ，则下列结论不正确的是（ ）
A．C 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B． x ≤ 2 2
C．VPF1F2的面积大于 2 D． y 1
题型 02 定义法
【解题规律·提分快招】
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．
1. 椭圆，双曲线，抛物线的定义
2. 一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆
3. 两个圆内外切情况下，较多与圆锥曲线定义有关
【典例 1-1】
（22-23 高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆M 与圆C : x2 + y2 - 4y = 0 外切，同时又与 x 轴相切，则圆M
的圆心轨迹方程为（ ）
A 2． x2 = 8y B． x = 8y y > 0 和 x = 0
C 2． x = 8y y > 0 D 2． x = 8y y > 0 和 x = 0 y < 0
【典例 1-2】
（22-23 高二下·湖北·期中）已知两圆 C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆 M 在圆 C1内部且和圆 C1
相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）
2 2 2 2
A x y x y． - = 1 B． + = 1
64 48 48 64
C x
2 y2 x2 y2
． - = 1 D． + =1
48 64 64 48
【变式 1-1】
2
（24-25 高二上·山东枣庄·阶段练习）若动圆过定点 A 2,0 ，且和定圆C : x + 2 + y2 = 1外切，则动圆圆心 P
的轨迹方程为（ ）
y2 1 y2 1
A x2． - =1 x
÷ B． x
2 - =1 x -
3 ÷è 2 3 è 2
4x2 4y
2
1 x 1 4x2 4y
2
C． - = -
÷ D． - =1 x
1
15 è 2 15 ÷è 2
【变式 1-2】
1 1
（21-22
高二上·陕西西安·阶段练习）已知点 F ,04 ÷，直线 l ： x = - ，点 B 是 l上的动点．若过 B 垂直于è 4
y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( )．
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【变式 1-3】
（2020 高三·全国·专题练习）已知点F 1,0 ，直线 l : x = -1，点 B 是 l上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与
线段 BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
题型 03 相关点法
【解题规律·提分快招】
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代
换关系。
1、求谁设谁，设所求点坐标为（x，y）
2、所依赖的点称之为“参数点”，设为（x i , yi )（i=1,2..) 或（a,b)，（x0 , y0 )等
3、“参数点”满足某个（些）方程，可供代入
4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。
5、代入方程，消去参数值
【典例 1-1】 uuuur uuur uuuur uuur
（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）设 F 1,0 ，点M 在 x 轴上，点 N 在 y 轴上，且MN = NP, MN × NF = 0，
当点 N 在 y 轴上运动时，点 P 的轨迹方程为（ ）
y2 1 1A． = x B 2． y = x C． y2 = 2x D． y2 = 4x
2 4
【典例 1-2】
（22-23 高二上·河南南阳·期末）点P x0 , y0 在圆 x2 + y2 =1上运动，则点M 2x0 , y0 的轨迹是 ( )
A．焦点在 y 轴上的椭圆 B．焦点在 x 轴上的椭圆
C．焦点在 y 轴上的双曲线 D．焦点在 x 轴上的双曲线
【变式 1-1】
2
（2023· y重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线 x2 - =1与直线 l : y = kx + m k ±2 有唯一的公共点M ，过点
4
M 且与 l垂直的直线分别交 x 轴、 y 轴于 A x,0 , B 0, y 两点．当点M 运动时，点P x, y 的轨迹方程是
（ ）
A x
2 2
． + y2 =1 y x 0 B． - y2 =1 y 0
4 4
C x
2 4y2 x2 4y2
． + =1 y 0 D． - =1 y 0
25 25 25 25
【变式 1-2】
（24-25 高二上·江苏扬州·期中）椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M 是圆 O 上动点，M
uuur uuuur 1
在 y 轴上身影为 N，则满足 NP = NM （ > 1）的动点 P 的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率 e = ,则 λ=（2 ）
A．2 B C 3 3． 3 ． D 2 3．
2 3
【变式 1-3】 uuur
（20-21 高二上·福建福州·期末）已知 AB = 3，A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，O为原点，
uuur
OP 1
uuur 2 uuur
= OA + OB ，则点 P 的轨迹方程为（
3 3 ）
y2A x2 1 B x
2 x2 y2
． + = ． + y2 =1 C． + y2 = 1 D． x2 + =1
4 4 9 9
题型 04 消参法
【解题规律·提分快招】
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标 x, y ；
2.消去参数，得到关于 x, y 的方程，即为所求轨迹方程。
【典例 1-1】
（2015·河南南阳·三模）A 和 B 是抛物线 y2 = 8x上除去原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足
uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = 0 ，OM × AB = 0 ，则动点M 的轨迹方程为（ ）
2 2
A． x2 + y2 -8x = 0 B． y = 6x2 C． x2 + 4y2 = 1 D x y． - =1
9 4
【典例 1-2】
（20-21 高二上·上海宝山·期中）如图，设点A 和 B 为抛物线 y2 = 2 px( p > 0)上除原点以外的两个动点，已知
OA ^ OB,OM ^ AB，则点M 的轨迹方程为（ ）
A． x2 + y2 - 2 px = 0 （原点除外）
B． x2 + y2 - 2 py = 0 （原点除外）
C． x2 + y2 + 2 px = 0 （原点除外）
D． x2 + y2 + 2 py = 0（原点除外）
【变式 1-1】
（21-22 高二·江苏·单元测试）已知直线 l 与抛物线 C： y2 = 4xuuur uuur 交于
A，B 两点，O 为坐标原点，且
OA ×OB = 0 ，过 O 作直线 AB 的垂线，垂足为 P，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A． (x - 2)2 + y2 = 4( 不包括原点O)
B． (x - 2)2 + y2 =16(不包括原点O)
C． (x - 4)2 + y2 = 4( 不包括原点O)
D． (x - 4)2 + y2 =16(不包括原点O)
【变式 1-2】 uuur uuur
（22-23 高二上·湖南岳阳·期中）已知直线 l交抛物线C : y2 = 4x 于 x 轴异侧两点 A, B，且OA ×OB =12 ，过 O
向 AB 作垂线，垂足为 D，则点D的轨迹方程为（ ）
A． (x - 3)2 + y2 = 9
B． (x - 3)2 + y2 = 9 x 0
C 2 2． (x - 3) + y = 9 y 0
D (x - 3)2 + y2． = 9 x 0 或 (x +1)2 + y2 =1 x 0
【变式 1-3】
（2022 高三·全国·专题练习）已知抛物线 y2 = 4 px( p > 0)，O 为顶点，A、B 为抛物线上的两动点，且满足
OA⊥OB，如果 OM⊥AB 于 M 点，求点 M 的轨迹方程.
题型 05 交轨法
【解题规律·提分快招】
交轨法，即轨迹交点法。
1. 所求点满足条件方程 1
2. 所求点满足条件方程 2
3. 动点是两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去
参数得到轨迹的普通方程
4. 参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵
活多变.
【典例 1-1】
2 2
（2024 高二上· x y全国·专题练习）设 A1, A2 是椭圆 + =1与 x 轴的两个交点，P9 4 1
, P2 是椭圆上垂直于 A1A2 的
弦的端点，则直线 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程为（ ）
A x
2 y2 y2 x2
． + =1 x ±3 B． + =1 x ±3
9 4 9 4
x2 y2C 1 x 3 D y
2 x2
． - = ± ． - =1 x ±3
9 4 9 4
【典例 1-2】
2 2
（2023 x y高三·全国·专题练习）已知MN 是椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 中垂直于长轴的动弦， A, B是椭圆长轴a b
的两个端点，则直线 AM 和 NB的交点 P 的轨迹方程为 ．
【变式 1-1】
2 2
（2016·安徽六安· x y三模）如图所示，椭圆 + =1的左，右顶点分别为 A, A ，线段CD是垂直于椭圆长轴
9 4
的弦，连接 AC, DA 相交于点 P ，则点 P 的轨迹方程为 ．
【变式 1-2】
x2 y2
（2022 高三·山东·）设 A1, A2 是椭圆 2 + 2 =1（ a > b > 0）长轴上的两个顶点，P1P2 是垂直于长轴的弦，直a b
线 A1P1与 A2P2 的交点为 P ．则点 P 的轨迹的方程是 ．
【变式 1-3】
（2022 高三·全国·专题练习）由圆外一定点Q a,b 向圆 x2 + y2 = r 2 作割线，交圆周于 A、B两点，求弦 AB
中点的轨迹
题型 06 复数型
【解题规律·提分快招】
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
1、利用复数的模运算转化
2、利用复数的几何意义
【典例 1-1】
（2025·河南安阳·一模）若复数 z 满足 z -1 = 2 ，则在复平面内，复数 z 所对应的点组成的图形的周长为
（ ）
A． π B． 2π C．3π D． 4π
【典例 1-2】
（20-21 高二下·江苏泰州·期中）如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B 1． 2 C．2 D． 5
【变式 1-1】
（21-22 高一下·福建三明·阶段练习）已知设 z = x + yi(x, y R)，则 | (x - 3) + (y + 3)i |= 2 ，则 | z +1|的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 1-2】
（22-23 高二上·上海静安·期末）已知 z C，且 z - i =1, i 为虚数单位，则 z - 3 - 5i 的最大值是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式 1-3】
i *
（21-22 高二下·上海普陀·期末）在复数列 zn 中， z1 = 8 +16i ， zn+1 = × z2 n n N ，设 zn 在复平面上对应
的点为Zn ，则（ ）
A．存在点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 10
B．不存在点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 5 5
C．存在无数个点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 6 5
D．存在唯一的点M ，对任意的正整数 n ，都满足 MZn 8 5
题型 07 向量型
【解题规律·提分快招】
向量背景下求轨迹
1.向量几何意义
2.向量坐标运算或者数量积运算
【典例 1-1】 uuur uuur
（20-21 高uu一ur上·江uuu西r 宜u春uur·期末）如图，B 是 AC 的中点， BE = 2OB ，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的
一点，且OP = xOA + yOB x, y R ，则下列结论正确的个数为（ ）
①当 x = 0时， y 2,3
1 5
②当 P 是线段CE的中点时， x = - ， y =
2 2
③若 x + y 为定值 1，则在平面直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条线段
④ x - y的最大值为-1
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 1-2】
（21-22 高一下·重庆·期中）已知O是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP OA uuurAB AC
= + + uuur ÷ 0 ，则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的（
÷ ）
è AB sin B AC sinC
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式 1-1】
（19-20 高三下uu·u广r 西uu南ur 宁·u阶uur段u练uur习）已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足uuur uuur
OP OA (| AB | ×AB | AC | ×AC= + + ), ∈R.则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（ ）
sin C sin B
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式 1-2】
（22-2u3uur高一uuu下r ·重庆·阶uu段ur 练习）设uuOur为DABC所在平面上一点,动点 P 满足uuur
OP OB + OC= + ( uuurAB + uuurAC )
2 AB cos B AC cosC ，其中
A, B,C 为DABC的三个内角，则点 P 的轨迹一定通过DABC
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式 1-3】 uuur
（2021·浙江·模拟预测）已知E 为平面内一定点且 OE =1，平面内的动点 P 满足：存在实数 1，使
uuur uuur
OP + 1 OE 1- = ，若点 P 的轨迹为平面图形S ，则S 的面积为 .
2
题型 08 立体几何型
【解题规律·提分快招】
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
1. 建系，利用空间坐标系求出方程。
2. 通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
【典例 1-1】
（24-25 高二上·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD, ABEF 的边长都是 1，且它
们所在的平面互相垂直．长度为 1 的金属杆端点 N 在对角线 BF 上移动，另一个端点M 在正方形 ABCD内
（含边界）移动，且始终保持MN ^ AB ，则端点M 的轨迹长度为（ ）
π π
A． B． 2 C．1 D．2 4
【典例 1-2】
（24-25 高二上·福建厦门·阶段练习）在棱长为 a的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M , N 分别为 BD1, B1C1的中点，
点 P 在正方体表面上运动，且满足MP ^ CN ，点 P 轨迹的长度是（ ）.
A． 2 + 5 a B． 3+ 3 a C． 3+ 5 a D． 4a
【变式 1-1】
（24-25 高二上·天津·期中）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 是侧面正方形CDD1C1 内的动点，
点 Q 4 17是正方形 ABB1A1的中心，且 PQ 与平面CDD1C1 所成角的正弦值是 ，则动点 P 的轨迹图形的面积
17
为（ ）
π
A． B． π C．
4 2 2
D． 2
【变式 1-2】
（24-25 高二上·安徽·开学考试）如图，在VABC 中， AB ^ BC ，BC = 3AB = 3，D是BC 上一点，且
BD =1，将VBAD沿 AD 翻折，当动点 B 在平面 ADC 上的射影在△ADC 内部及边界上时，动点 B 的轨迹长
度为（ ）
A 2 2 2 2． π B． π C． π D． π
12 8 6 4
【变式 1-3】
（24-25 高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D 的棱长为 2，M 、 N 分别为线段 AA1、BC
的中点，若点 P 为正方体表面上一动点，且满足 NP ^ 平面MDC ，则点 P 的轨迹长度为（ ）
A． 2 2 B． 5 C． 2 D．2
题型 09 综合难题：单选压轴题
【典例 1-1】
（23-24 高二上·福建福州·阶段练面内两定点M 0, -2 和 N 0,2 ，动点P x, y ，满足
uuuur uuur
PM × PN = m m 4 ，动点 P 的轨迹为曲线E ，其中错误的是（ ）
A．存在m ，使曲线E 过坐标原点；
B．曲线E 关于 y 轴对称，但不关于 x 轴对称；
C．若P, M , N 三点不共线，则VPMN 周长最小值为 2 m + 4；
D．曲线E 上与M , N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为 H ，则四边形GMHN 的面积不大于m .
【典例 1-2】
（22-23 高二上·四川眉山·期末）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 为棱 AB 的中点，点 P
uuur uuur
在侧面 BCC1B
1
1及其边界上运动，下列命题：①当C1P = C1B 时，异面直线CP与 AD 所成角的正切值为 2；3
②当点 P 到平面 ABCD的距离等于到直线 A1B1 的距离时，点 P 的轨迹为拋物线的一部分；③存在点 P 满足
PM + PD1 = 5 ；④满足MP ^ D1M
2
的点 P 的轨迹长度为 ；其中真命题的个数为（ ）
4
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-1】
x2 y2
（2023·全国·模拟预测）椭圆 E： 2 + 2 = 1(a > b > 0) ，过 E 外一点 P 作 E 两条切线 PA，PB，a b
tan APB = 2，记 P 的轨迹为 T，圆 C： x2 + y2 = k ，记 T 与 C 的交点为 x1, x2 ,L, xn ，当 xi 的最大值 m 最
m2 9
大时， = ，则 E 的离心率为（ ）
k 10
A 6 B 30 35 10． ． C． D．
3 6 7 4
【变式 1-2】
（20-21 高二下·浙江金华·期末）如图， POQ = 60°，等边VABC 的边长为 2，M 为 BC 中点，G 为VABC
的重心，B，C 分别在射线 OP，OQ 上运动，记 M 的轨迹为C1，G 的轨迹为C2 ，则（ ）
A．C1为部分圆，C2 为部分椭圆
B．C1为部分圆，C2 为线段
C．C1为部分椭圆，C2 为线段
D．C1为部分椭圆，C2 也为部分椭圆
【变式 1-3】
2 2
（22-23 高二上·北京·阶段练习）已知椭圆G :
x y
+ 2 = 1(0 < b < 6) 的两个焦点分别为F6 b 1
F2，短轴的两个端点
分别为B1 B2 ，点 P 在椭圆G 上，且满足 PB1 + PB2 = PF1 + PF2 ．当b 变化时，给出下列三个命题：
①点 P 的轨迹关于 y 轴对称；
②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点 P 仅有两个；
③ OP 的最小值为 2．
其中，所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
题型 10 综合难题：填空压轴题
【典例 1-1】
（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知两点M - 3,0 , N 3,0 ，动点 P 满足 MPN = 60 ，直线 x - my = 0
uuur uuur
与动点 P 的轨迹交于 A 、B 两点.当m =1时， AB = ；当m R 时，MA × MB 的最小值为 .
【典例 1-2】
（24-25 高二上·四川成都·期中）已知 A(-1,0), B(1,0) ，点C 满足： | AC |2 + | BC |2 =10，过点D(1,1)分别作两
条相互垂直的射线 DM，DN 分别与点C 的轨迹交于 Mu，uurNu两uur点，记 MN 的中点为E ，记E 的轨迹为G，过
点C 分别作轨迹G的两条切线，切点分别为G, F ，则CG ×CF 取值范围为 .
【变式 1-1】
（23-24 高二上·重庆·期中）如图，已知菱形 ABCD中， AB = 2, BAD = 120°, E 为边BC 的中点，将VABE 沿
AE 翻折成△AB1E （点B1位于平面 ABCD上方），连接 B1C 和B1D, F 为 B1D的中点，则在翻折过程中， AE
与B1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．
【变式 1-2】
（24-25 高二上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义 d P,Q = x1 - x2 + y1 - y2 为P x1, y1 ，Q x2 , y2
两点之间的“折线距离”．已知O 0,0 ， A 2,0 ，B 2,1 ，C 0,1 ，点M 在矩形OABC 内（含边界）且到点
O， B 的“折线距离”相等，则点M 的轨迹长度为 ．
【变式 1-3】
（23-24 高二上·北京朝阳·期末）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = AD = 3, AA1 =1, M 为棱BC 的中
点，点 P 是侧面CC1D1D 上的动点，满足 APD = CPM ，给出下列四个结论：
①动点 P 的轨迹是一段圆弧；
π
②动点 P 的轨迹长度为 ；
3
③动点 P 的轨迹与线段CC1有且只有一个公共点；
④ 4 - 3三棱锥P - ADD1的体积的最大值为 .
2
其中所有正确结论的序号是 .
冲高考
2
1．（23-24
x
高三上·北京海淀·阶段练习）已知椭圆C : + y2 = 1的中心为O，A 、 B 是椭圆C 上的两个不同的
2
点且满足OA ^ OB，给出下列四个结论：
①点O在直线 AB 上投影的轨迹为圆；
② AOB 6的平分线交 AB 于D点， OD 的最小值为 ；
3
2
③VAOB 面积的最小值为 ；
3
④VAOB 2 3中， AB 边上中线长的最小值为 ．
3
其中所有正确结论的序号是 ．
uuuv
2．（21-22 高二上·上海虹口·期末）在直角坐标系中，O是原点，OQ = -2 + cosq ,-2 + sinq q R ，动点 P
在直线 x + y =1上运动，若从动点 P 向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 .
3．（2019·北京·二模）已知平面内两个定点M (3,0) 和点 N (-3,0)， P 是动点，且直线PM , PN 的斜率乘积为
常数 a(a 0)，设点 P 的轨迹为C .
① 存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (-4,0),(4,0) 距离之和为定值；
② 存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (0, -4), (0, 4)距离之和为定值；
③ 不存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (-4,0),(4,0) 距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数 a(a 0)，使C 上所有点到两点 (0, -4), (0, 4)距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
4．（21-22 高三上·浙江宁波·期末）已知 A(1,
1), B(-1, 1)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与
4 4
1
直线 BM 的斜率的差是 2 ，则点 M 的轨迹 C 的方程是 ．若点F 为轨迹 C 的焦点，P 是直线 l : y = -1uuur uuur
上的一点，Q是直线PF 与轨迹C 的一个交点，且FP = 3FQ，则 QF = ．
5．（21-22 高三下·河南·阶段练习）已知动点A 到P 1,3 的距离是到Q 4,0 的距离的 2 倍，记动点A 的轨迹
为C ，直线 l： x - ty - 4 = 0
1
与C 交于E ，F 两点，若 S△OQF = S3 △OQE
（点O为坐标原点，S 表示面积），则
t = ．
