专题 15 直线与圆归类
目录
题型 01 斜率与倾斜角：函数型 ......................................................................................................................................1
题型 02 直线含参：双参型定圆 ......................................................................................................................................2
题型 03 直线一般式理论 ..................................................................................................................................................3
题型 04 光学性质与“将军饮马”型 ................................................................................................................................4
题型 05 直线对称与“叠纸”型 ........................................................................................................................................6
题型 06 直线含“三角函数”型参数 ................................................................................................................................7
题型 07 直线与圆最值 ........................................................................................................................................................8
题型 08 圆切线长范围与最值 ............................................................................................................................................8
题型 09 圆切线面积范围最值 ............................................................................................................................................9
题型 10 圆的切点弦 ..........................................................................................................................................................10
题型 11 切点弦最值范围 ..................................................................................................................................................11
题型 12 两圆公切线 ..........................................................................................................................................................12
题型 13 圆型“将军饮马”求范围最值 ..........................................................................................................................13
题型 14 角度型 ..................................................................................................................................................................14
题型 01 斜率与倾斜角：函数型
【解题规律·提分快招】
斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应
π
由正切图象可以看出：①当 α∈[0， 时，斜率 k∈[0，＋∞)且随着 α 增大而增大；2 )
π
当 α＝ 时，斜率不存在，但直线存在；
2
π
当 α∈( ，π )时，斜率 k∈(－∞，0)且随着 α 增大而增大．2
【典例 1-1】
（2022·湖南娄底·模拟）将函数 f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ(θ∈(0，α])，得到曲
线 C，若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则 α 的最大值为
π π π
A．π B． C． D．
2 3 4
【典例 1-2】
1 1 π
（23-24 高三·江西景德镇·模拟）将函数 y = x - cos2x + , x [0, ]的图象绕原点逆时针旋转q 角，得到曲
2 2 4
线C .若曲线C 始终为函数图象，则 tanq 的最大值为（ ）
1 π 2A． 2 B． C． D．1π + 2 3
【变式 1-1】
f (a) f (b) f (c)
（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = log2 (x +1)，且 c > b > a > 0，则 ， ， 的大小关a b c
系是（ ）
f a f b f c f c f b f aA ． > > B． > >
a b c c b a
f b f a f c f a f c f bC D ． > > ． > >
b a c a c b
【变式 1-2】
q π, 3π （22-23 高三·河南周口·阶段练习）已知 ÷，若直线 l : y = kx过点 cosq , cosq ，则 l的倾斜角为
è 2
（ ）
π 3π
A． B． C．q D．q - π
4 4
【变式 1-3】
（2021 高三·全国·专题练习）已知正VABC的顶点 A 1,1 ，B 1,3 ，顶点C 在第一象限，若点P x, y 是VABC
y
内部及其边界上一点，则 的最大值为（
x 1 ）+
1 3 2
A 3 3 - 3． B． C． D．
2 2 3 2
题型 02 直线含参：双参型定圆
【解题规律·提分快招】
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条
直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的
最值求解计算
【典例 1-1】
（21-22 高三·天津·模拟）设m R，过定点A 的动直线mx - y = 0和过定点 B 的动直线 x + my - 4m - 3 = 0交
于点 P ，则 PA + PB 的取值范围是（ ）
A． é 5,2 5ù B． é 2 5,5ù
C． é 5,5 2 ù D． 5,10
【典例 1-2】
（22-23 上·贵州贵阳·阶段练习）已知m R ，若过定点A 的动直线 l1： x - my + m - 2 = 0 和过定点 B 的动直
线 l2：mx + y + 2m - 4 = 0 交于点 P （ P 与A ， B 不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．A 点的坐标为 2,1 B．PA ^ PB
C 2 2． PA + PB = 25 D． 2 PA + PB 的最大值为 5
【变式 1-1】
（18-19 高三·河北石家庄·模拟）设m R ，过定点A 的动直线 x + my = 0和过定点 B 的动直线
mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x, y) ，则 PA × PB 的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D． 10
【变式 1-2】
（2021 高三·江苏·专题练习）设m R，若过定点 A 的动直线 y -1 = m x - 2 和过定点 B 的动直线
x + my + 2 - 4m = 0交于点 M（M 与 A, B不重合），则 MA + 2 MB 的最大值为（ ）
A．5 B．5 2 C．5 5 D．5 6
【变式 1-3】
（21-22 高三·湖南·阶段练习）已知m R ，若过定点 A 的动直线 l1 : x - my + m - 2 = 0和过定点 B 的动直线
l2 : y - 4 = -m(x + 2)交于点 P（P 与 A，B 不重合），则 2 PA + PB 的最大值为（ ）
A．5 6 B．5 5 C．5 2 D．5
题型 03 直线一般式理论
【解题规律·提分快招】
直线系型：
(1)平行线系：与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0.
【典例 1-1】
（21-22 高三·全国·模拟）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x
y ìa1x + b1y =1和 的方程组 ía x b y 1的解的情况是（ ） 2 + 2 =
A．无论 k ，P1，P2如何，方程组总有解
B．无论 k ，P1，P2如何，方程组总有唯一解
C．存在 k ，P1，P2，方程组无解
D．存在 k ，P1，P2，方程组无穷多解
【典例 1-2】
（20-21 高三·上海宝山·模拟）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，则
关于 l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交点情况是（ ）
A．无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在 k ，P1，P2使之有无穷多个交点
C．无论 k ，P1，P2如何，总是无交点 D．存在 k ，P1，P2使之无交点
【变式 1-1】
（21-22 高三·全国·单元测试）定义点 P(x ，y )到直线 l：ax＋by＋c＝0(a20 0 ＋b2≠0)的有向距离为 d＝
ax0 + by0 + c
2 2 .已知点 P1，P2到直线 l 的有向距离分别是 d ，da b 1 2
.以下命题正确的是（ ）
+
A．若 d1－d2＝0，则直线 P1P2与直线 l 平行
B．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2与直线 l 平行
C．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2与直线 l 垂直
D．若 d1·d2＜0，则直线 P1P2与直线 l 相交
【变式 1-2】
（23-24 高三·上海杨浦·模拟）已知直线 l : ax + by + c = 0，点M x1, y1 、 N x2 , y2 ，设l1 = ax1 + by1 + c，
l2 = ax2 + by2 + c ，以下选项中命题都正确的为（ ）
（1）若l1 + l2 = 0 ，则线段MN 的中点在直线 l上
（2）若l1 - l2 = 0，则直线MN 与直线 l平行
（3）若l1 × l2 < 0，则点M 、 N 分布在直线 l的两侧
l
（4 1）若 > 1 l MNl ，则直线 与线段 的延长线相交2
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【变式 1-3】
ax + by + c
（22-23 1 1高三·上海青浦·阶段练习）设 M (x1, y1) ，N (x2 , y2 ) 为不同的两点，直线 l : ax + by + c = 0，d = ax2 + by2 + c
，
以下命题中正确的序号为（ ）
①存在实数d ，使得点 N 在直线 l上；
②若d = 1，则过M 、 N 的直线与直线 l平行；
③若d = -1，则直线 l经过MN 的中点；
④若0 < d <1，则点M 、 N 在直线 l的同侧且直线 l与线段MN 的反向延长线相交．
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
题型 04 光学性质与“将军饮马”型
【解题规律·提分快招】
直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
ì n - b A
- ÷ = -1
（1）点 A a,b 关于直线 Ax + By + C = 0 m - a è B 的对称点 A m,n ，则有 í ；
A a + m b + n × + B × + C = 0 2 2
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【典例 1-1】
（22-23 高三·福建厦门·阶段练习）在直角坐标系 xOy 中，全集U = x, y x, y R ，集合
A = x, y x cosq + y - 4 sinq =1,0 q 2p ，已知集合 A 的补集 U A所对应区域的对称中心为 M，点 P 是
线段 x + y = 8（ x > 0， y > 0）上的动点，点 Q 是 x 轴上的动点，则VMPQ 周长的最小值为（ ）
A．24 B． 4 10 C．14 D．8 + 4 2
【典例 1-2】
（22-23 高三·浙江嘉兴·模拟）如图，棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点G 在线段 AC 上且
AG = 3 ，点E, F , H 分别为线段 A1B, A1G, A1A上的动点，则空间四边形 AFHE 周长的最小值为（ ）
3 3 3
A． 1+ 3 B． 1+ 6 C．
2 2 2 2 + 6
3
D． 3 + 62
【变式 1-1】
（21-22 高三·重庆沙坪坝·模拟）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，O(0,0) A(8,0) ， B(8,6) ，C(0,6) ，
光线从 OA 边上一点P0 4,0 沿与 x 轴成q 角的方向发射到 AB 边上的P1点，被 AB 反射到 BC 上的P2点，再
被 BC 反射到 OC 上的P3 点，最后被 OC 反射到 x 轴上的P4 (t,0) 点，若 t (4,8) ，则 tanq 的取值范围是
（ ）
3 3 1 3 3 2 3 1
A． , ÷ B． , C．5 4 2 4 ÷
,
8 3 ÷
D． , ÷
è è è è 8 2
【变式 1-2】
（21-22 高三·浙江绍兴·模拟）如图，在直角坐标系中，三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A 0, 3 、 B -1,0 、
C 1,0 ，O 为原点，从 O 点出发的光线先经 AC 上的点P1反射到边 AB 上，再由 AB 上的点P2反射回到 BC
边上的点P3 停止，则光线OP1的斜率的范围为（ ）
é 3 ù é ù
A． ê , 2 3
3
ú B． ê ,3 3ú C． é ù 3,3 3 D． é ù2 3
3,2 3
【变式 1-3】
（18-19 高三·福建莆田·模拟）已知长方形的四个顶点： A 0,0 、B 2,0 、C 2,1 、D 0,1 .一质点从点A
出发，沿与 AB 夹角为q 的方向射到BC 上的点P1后，依次反射到CD、DA和 AB 上的点P2、P3 、P4（入射
角等于反射角）.设P4的坐标为 x4 ,0 ，若1< x4 < 2，则 tanq 的范围是
1 1 1 2 2 1 2 2
A． , B．3 2 ÷
, ÷ C． ,3 5 5 2 ÷
D． , ÷
è è è è 5 3
题型 05 直线对称与“叠纸”型
【典例 1-1】
（2023·云南保山·二模）折纸艺术大约起源于公元 1 世纪的中国，6 世纪传入日本，后经由日本传到全世界.
折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个
分支，是一项具有艺术性的思维活动.现有一张半径为 6，圆心为 O 的圆形纸片，在圆内选定一点 P 且
OP = 4 ，将圆翻折一角，使圆周正好过点 P，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到 O，P 两点距离之
和最小的点为 M，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设 M 点的轨迹为曲线 C，在 C 上任取一点 Q，则
△QOP 面积的最大值是（ ）
A． 2 2 B． 2 5 C． 2 3 D．4
【典例 1-2】
b
（22-23 高三·浙江杭州·模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点 -3,4 与点 -4, a 重合，点 -1,2 与点 -2,
è 2 ÷
重合，则 a - b = （ ）
A．-2 B 1．-1 C． 2 D．1
【变式 1-1】
（22-23 高三·上海徐汇·阶段练习）折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC 纸片放在平面直角坐
标系中，O(0,0), A(2,0),C(0,1) ，将矩形折叠，使O点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为 k ，则 k 的
取值范围是（ ）
A．[0,1] B．[0,2] C．[-1,0] D．[-2,0]
【变式 1-2】
（23-24 下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张
直径为 4 的圆形纸片，圆心为O，在圆内任取一点 P ，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点 P 重合，记此
时的折痕为 l，点Q在 l上，则 OQ + PQ 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式 1-3】
（2023 高三·安徽芜湖·专题练习）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为 4，将这张扇形纸片折叠，使
点 A 与点 O 恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（ ）
16p
A． - 4 3 B． 4 3
4p 16p
- C． -8 3 D．
3 3 3 9 3 - 3p
题型 06 直线含“三角函数”型参数
【解题规律·提分快招】
圆的动切线：
a, b 到直线系M（: x - a）cosq + y - b sinq = R 0 q 2p 距离，每条直线的距离
d R= = R ，
cos2 q + sin2 q
直线系M（: x - a）cosq + y - b sinq = R 0 q 2p 2表示圆（x - a）2 + y - b = R2 的切线集合，
【典例 1-1】
（21-22 高三·全国·模拟）对于直线系M : x cosq + (y -1)sinq = 2，0 q 2p ，下列说法错误的有（ ）．
A．存在定点 C 与 M 中的所有直线距离相等
B．M 中不存在两条互相平行的直线
C．M 中存在两条互相垂直的直线
D．存在定点 P 不在 M 中的任意一条直线上
【典例 1-2】
（22-23 高三·广东广州·模拟）设直线系M : xcosq + ysinq =1,0 q < 2p ，对于下列四个命题：
（1）M 中所有直线均经过某定点；
（2）存在定点 P 不在M 中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数 n,n 3，存在正 n 边形，其所有边均在M 中的直线上；
（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）
【变式 1-1】
S | sinq x cosq（21-22 高三·吉林白城·阶段练习）已知集合 = {直线 l + y =1,其中m, n是正常数q 0,2p }，下
m n
列结论中正确的是（ ）
p n
A．当q = 时，S 中直线的斜率为
4 m
B．S 中所有直线均经过同一个定点
C．当m n 时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为 2n
D．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【变式 1-2】
x y
（24-25 高三·山东·模拟）已知直线 l： sina + cosa =1，其中 m，n 都是正实数，a 0,2π ，下列结论
m n
正确的是（ ）
π
A．当a = 时，直线 l的一个方向向量为（1，0）
2
B．当a 变化时，所对应的直线均过同一个定点
C．当m n 时，坐标原点（0，0）到直线 l的距离的最小值为m
D．所有直线 l组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
题型 07 直线与圆最值
【解题规律·提分快招】
直线与圆的位置关系：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr 相离．
(2)代数法：利用判别式 Δ＝b2－4ac 进行判断：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离．
【典例 1-1】
（24-25 高三·江苏连云港·模拟）已知动直线 y = kx -1+ k k R 与圆C : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0（圆心为C ）
交于点A ， B ，则弦 AB 最短时，VABC 的面积为（ ）
A． 2 2 B．4 2 C． 5 D． 2 5
【典例 1-2】
（22-23 高三·天津·模拟）已知eM ： x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 ，直线 l： 2x - y + 4 = 0， P 为 l上的动点，过
点 P 作eM 的切线PA， PB，切点为A ， B ，当 PM × AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A．2x - y -1 = 0 B．2x + y - 3 = 0
C．2x - y +1 = 0 D． 2x - y + 3 = 0
【变式 1-1】
（21-22 高三· 2 2湖南衡阳·阶段练习）已知圆C ： x -1 + y - 2 =16 ，直线 l： 2m +1 x + m +1 y - 7m - 4 = 0，
则直线 l被圆C 截得的弦长的取值范围为（ ）
A． é 2 5,8ù B． é ù é ù é ù 4 5,8 C． 4 5,16 D． 2 11,8
【变式 1-2】
（23-24 高三·天津·模拟）直线 l1：mx + y + m = 0与圆C ： x + 3 2 + y2 = 9 交于A 、 B 两点，点 E 为 AB 中点，
直线 l2：3x + 4y -12 = 0与两坐标轴分别交于 P 、Q两点，则△EPQ面积的最大值为（ ）
15 23
A． B．9 C．10 D．
2 2
【变式 1-3】
（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线 l : 3m +1 x + y - 6m - 3 = 0，圆C : x2 + y2 - 6x - 8y + 9 = 0，当直线 l
被圆C 截得的弦最短时， l的方程为（ ）
A． x - y -1 = 0 B． x - 3y +1 = 0
C． x + 3y - 5 = 0 D． x + y - 3 = 0
题型 08 圆切线长范围与最值
【解题规律·提分快招】
圆的切线常用结论：
(1)过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y 20y＝r .
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x 20－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r .
【典例 1-1】
（22-23 上·浙江嘉兴·阶段练习）已知直线 l : x + 2y -1 = 0 2及圆C : x +1 + y + 2 2 = 4 ，过直线 l 上任意一点 P
作圆 C 的一条切线 PA，A 为切点，则 PA 的最小值是（ ）
A 4 5． B 2 5 C 4 70 D 2 70． ． ．
5 5 5 5
【典例 1-2】
2 2
（23-24 · x y上 天津和平·阶段练习）已知O为坐标原点，椭圆 E : + =1(a > b > 0)的左 右焦点分别是 F1, F2 ，a b2 2
3
离心率为 .M , P是椭圆E 上的点，MF1 的中点为 N , ON + NF1 = 2 ，过 P 作圆Q : x2 + (y - 4)2 =1的一条切
2
线，切点为 B ，则 PB 的最大值为（ ）
A 219． B． 2 5 C． 2 6 D．5
3
【变式 1-1】
（24-25 高三·天津滨海新·阶段练习）已知圆O : x2 + y2 = 4 与圆. M : x + y - 2x + 4y + 4 = 0相交于 A, B两点，
直线 l : 3x + 4y -10 = 0，点 P 在直线 l上，点Q在圆M 上，①圆 O 与直线 l ; ② AB 2 2相切 线段 的长为 ; ③
5
PQ 的最小值是 2； ④从 P 点向圆 M 引切线，切线长的最小值是 2 2.则说法正确的是 （ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③
【变式 1-2】
（24-25 高三·天津武清·模拟）已知圆C : x - 4 2 + y2 = 4，点M 在直线 y = x 上，过M 作圆C 的两条切线，
切点分别为A ， B ，以 AB 为直径的圆的面积最小值为（ ）
π 3π
A． B． C． 2π D．3π
2 4
【变式 1-3】
uuur uuur 1
（23-24 高三·河南安阳·模拟）已知 A x 2 21, y1 、B x2 , y2 为圆C : x + y =1不同两点，且满足OA ×OB = ，2
x1 + y1 - 2 x2 + y2 - 2
则 + 的最小值为（ ）
2 2
A． 2 - 3 B． 2 - 3 C．2 - 5 D． 2 2 - 3
题型 09 圆切线面积范围最值
【解题规律·提分快招】
圆切三角形面积最值
S 1 PAC = PA AC
1
= R PC 2 - R2
2 2 ,然后把三角形面积最值转化为PC最值
圆切四边形面积最值
SPACB = 2S ACB = PA AC = R PC
2 - R2 然后把三角形面积最值转化为PC最值
【典例 1-1】
（20-21 高三·天津滨海新·模拟）已知eC : x2 + y2 - 2x - 2 y - 2 = 0，直线 l : x + 2y + 2 = 0，M 为直线 l上的
动点，过点M 作eC 的切线MA, MB，切点为 A, B，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线 AB 的方程为
（ ）
A． x + 2y -1 = 0 B． x + 2y +1 = 0
C． x - 2 y -1 = 0 D． x - 2y+1 = 0
【典例 1-2】
（22-23 高三·山西朔州·模拟）已知点P x, y 是直线 kx + y + 4 = 0 k > 0 上一动点PA、 PB是圆
C : x2 + y2 - 2y = 0 的两条切线，A 、 B 是切点，若四边形PACB的最小面积是 2，则 k 的值为（ ）
A．3 B 21． C． 2 2 D． 2
2
【变式 1-1】
（23-24 高三·浙江温州·阶段练习）已知圆的方程为 .设该圆过点（3，5）的两条弦分
别为 AC 和 BD，且 .则四边形 ABCD 的面积最大值为
A．20 B．30 C．49 D．50
【变式 1-2】
（22-23 高三·河北唐山·模拟）已知 AC, BD 是圆 x2 + y2 = 4的互相垂直的两条弦,垂足为M 1, 2 ,则四边形
ABCD面积的最大值为M ,最小值为 N ,则M - N 的值为
A． 4 B．3 C． 2 D．1
题型 10 圆的切点弦
【解题规律·提分快招】
切点弦求解：
1.公共弦法：过圆C 外一点作圆的切线 PA, PB ，则切点 A, B与C, P 四点共圆，线段CP就是圆的一条直
径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点 P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x
－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
【典例 1-1】
（20-21 高三·四川凉山·模拟）已知直线 l : 2x + y + 2 = 0，圆C : (x -1)2 + (y -1)2 = 4．点 P 为直线 l上的动点，
过点 P 作圆C 的切线PA, PB，切点分别为 A, B．当四边形PACB面积最小时，直线 AB 方程是（ ）
A．2x - y -1 = 0 B． 2x + y +1 = 0 C． 2x + y -1 = 0 D．2x - y +1 = 0
【典例 1-2】
（20-21 高三·山西晋中·模拟）已知圆C : x2 + y2 - 2x = 0，直线 l : x + y +1 = 0，P 为 l 上的动点，过点 P 作圆
C 的两条切线 PA、PB，切点分别 A、B，当 PC · AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A． x + y = 0 B． x - y = 0
C． 2x - 2y +1 = 0 D． 2x + 2y +1 = 0
【变式 1-1】
（22-23 高三·山西晋中·模拟）过圆 x2 + y2 = 25上的动点作圆C : x2 + y2 = 9的两条切线，两个切点之间的线
段称为切点弦，则圆 C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（ ）
18p 9p
A．3p B． C． D．4
5 2
【变式 1-2】
（22-23·河北石家庄·开学考试）已知圆 C1：x2 + y2 = 9和圆C2：x 2 + y 2 = 1，点 P 为C1上任意一点，过 P 作C2
的两条切线，连接两个切点的线段称为圆C2 的切点弦，则在圆C2 内不与切点弦相交的区域的面积为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 9 6 4
【变式 1-3】
（2022 天津·模拟）已知 P（x,y)是直线 上一动点，PA，PB 是圆 C：
的两条切线，A、B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 的值为
A．3 B． C． D．2
题型 11 切点弦最值范围
【解题规律·提分快招】
切点弦最值范围
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形
结合求解．
（2）与圆上点 x, y 有关代数式的最值的常见类型及解法：
y - b
①形如 z = 型的最值问题，可转化为过点 a,b 和点 x, y 的直线的斜率的最值问题；
x - a
②形如 z = ax + by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如 x - a 2 + (y - b)2型的最值问题，可转化为动点 x, y 到定点 a,b 的距离平方的最值问题．
【典例 1-1】
．（2022·河南安阳·模拟预测）已知圆C : (x - 2)2 + ( y - 6)2 = 4，点 M 为直线 l : x - y + 8 = 0上一个动点，过点
M 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程
为（ ）
A． (x - 7)2 + ( y -1)2 = 4 B． (x -1)2 + ( y - 7)2 = 4
C． (x - 7)2 + ( y -1)2 = 2 D． (x -1)2 + ( y - 7)2 = 2
【典例 1-2】
（21-22 高三·四川绵阳·模拟）已知点 P 在直线 x + y = 4 上，过点 P 作圆O : x2 + y2 = 4 的两条切线，切点分别
为A ， B ，点M 在圆G : (x - 4)2 + (y - 5)2 =1上，则点M 到直线 AB 距离的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． 10 -1 D． 13 -1
【变式 1-1】
（2023·贵州毕节·一模）已知点 P 在直线 l : 3x + 4y - 33 = 0上，过点 P 作圆C : (x -1)2 + y2 = 4 的两条切线，切
点分别为 A, B，则圆心C 到直线 AB 的距离的最大值为（ ）
1 2 4
A． B． C．1 D．
3 3 3
【变式 1-2】
（20-21·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 在直线 x + y = 4 上，过点 P 作圆
O : x2 + y2 = 4 的两条切线，切点分别为 A，B，则 O 到直线 AB 距离的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【变式 1-3】
（21-22 高三·江苏南通·模拟）以下四个命题表述错误的是（ ）
A 2．圆 x2 + y2 = 2上有且仅有3个点到直线 l : x - y +1 = 0的距离都等于
2
B C : x2 + y2 + 2x = 0 C : x2 + y2．曲线 1 与曲线 2 - 4x -8y + m = 0 ，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围
为m > 4
C．已知圆C : x2 + y2 = 2， P 为直线 x + y + 2 3 = 0 上一动点，过点 P 向圆C 引一条切线PA，其中A 为
切点，则 PA 的最小值为 2
D．已知圆C : x2 + y2 = 4 ，点 P 为直线 l : 2x + y -8 = 0 上一动点，过点 P 向圆C 引两条切线 PA， PB，
A, B 1 为切点，则直线 AB 经过点 1, 2 ÷è
题型 12 两圆公切线
【解题规律·提分快招】
圆与圆的位置关系：设圆C1与圆C2 的半径长分别为 r1和 r2 .
（1）若 C1C2 < r1 - r2 ，则圆C1与圆C2 内含；
（2）若 C1C2 = r1 - r2 ，则圆C1与圆C2 内切；
（3）若 r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，则圆C1与圆C2 相交；
（4）若 C1C2 = r1 + r2 ，则圆C1与圆C2 外切；
（5）若 C1C2 > r1 + r2 ，则圆C1与圆C2 外离.
【典例 1-1】
（20-21 高三·全国·模拟）若圆O : x2 + y2 = 5 O : (x - m)2 + y2与圆 1 = 20(m R) 相交于 A，B 两点，且两圆在
点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（23-24 高三· 2全国·模拟）已知圆C1 : x + y
2 = 9 ，圆C : x - 4 2 + y - 6 2 =1，两圆的内公切线交于点P1，外
uuuuv uuuuv 2
公切线交于点P2，若P1C1 = lC1P2 ，则l 等于（ ）
9 1 1 1
A．- B．- C．- D．
16 2 3 3
【变式 1-1】
（2022·北京·模拟）已知圆的方程 x2 + y2 = 25，过M (-4,3)作直线MA, MB与圆交于点 A, B，且MA, MB关于
直线 y = 3对称，则直线 AB 的斜率等于
4 3 5 4
A．- B．- C．- D．-
3 4 4 5
【变式 1-2】
（21-22 高三·四川成都·阶段练习）若圆O : x2 + y2 = 4 与圆M : x - m 2 + y2 = 21 m > 0 相交于 A, B两点，且
两圆在点A 处的切线互相垂直，点 P 是直线 l : x + 2y - 20 = 0上的动点，过点Р 作圆M 的切线，切点为
C, D ，那么 CD × PM 的最小值是（ ）
A． 2 6 B．6 14
C．12 14 D． 24 14
【变式 1-3】
（23-24 高三·天津西青·阶段练习）已知圆O : x2 + y2 = 4 与圆M : x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0相交于 A, B两点，直
线 l : 3x + 4y -10 = 0，点 P 在直线 l上，点Q在圆M 上，则下列说法正确的个数是（ ）
① 2 5直线 AB 的方程为 x - 2y - 4 = 0 ②线段 AB 的长为
5
③ PQ 的最小值是 2 ④从 P 点向圆M 引切线，切线长的最小值是 2 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
题型 13 圆型“将军饮马”求范围最值
【典例 1-1】
（2021·全国·专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果
集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定
点 A，B 的距离之比为 λ(λ＞0，λ≠1)，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个
1
问题，已知圆 O：x2＋y2＝1 上的动点 M 和定点 A (- ,0) ，B(1，1)，则 2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
2
A． 6 B． 7
C． 10 D． 11
【典例 1-2】
（23-24 高三·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山
大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一
MQ
书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比 = lMP
l
1
（ > 0，l 1），那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的 M 与定点Q m,0 和定点P - ,0÷ 的距
è 2
离之比为 2，其方程为 x2 + y2 =1，若点B 1,1 ，则 2 MP + MB 的最小值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 10 D． 11
【变式 1-1】
（21-22 高三·湖南益阳·模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称为亚历山大时期
数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿
MQ
波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点Q, P 的距离之比 = l(l > 0,l 1)MP ，那
么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 x2 + y2 =1，其中，定点Q
1
为 x 轴上一点，定点 P 的坐标为 - ,0÷ ,l = 3，若点B 1,1 ，则3 MP + MB 的最小值为（3 ）è
A． 10 B． 11 C． 15 D． 17
【变式 1-2】
（22-23 高三·江苏·模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在圆C : (x - 8)2 + y2 =16上运动，A(6,0), B(6,1),则
PB + 2PA的最小值为
A． 37 B．6 C 4+ 5 D 11+ 2． ．
2
【变式 1-3】
（21-22 高三·浙江·阶段练习）已知圆C 是以点 M 2,2 3 和点 N 6, -2 3 为直径的圆，点 P 为圆C 上的动点，
若点 A 2,0 ，点B 1,1 ，则 2 PA - PB 的最大值为（ ）
A． 26 B． 4 + 2 C．8 + 5 2 D． 2
题型 14 角度型
【典例 1-1】
（23-24 高三·安徽合肥·模拟）已知圆C : x2 + y2 -8x +12 = 0，点 P 在圆C 上，点 A 6,0 ， M 为 AP 的中点，
O为坐标原点，则 tan MOA的最大值为（ ）
A 6 7 6 6． B． C． D．
12 12 4 3
【典例 1-2】
2 2
（22-23· x y河北石家庄·阶段练习）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左焦点为F ，M 是双曲线右支上的一a b
é π
点，点M 关于原点的对称点为 N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且 FMN ê ,
π
÷ ，则该双曲线的离心
12 4
率的取值范围是（ ）
A． 1, 2ù B． 1, 3 +1ù C． é 2, 3 +1ù é D． 2, +
【变式 1-1】
2 2
（22-23· x y广西南宁·阶段练习）已知双曲线 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的左焦点分 F ，M 是双曲线右支上的一点，a b
ép 5p ù
点M 关于原点的对称点为 N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且 FNM ê , ，则该双曲线的离心率的 3 12 ú
取值范围是（ ）
A． (1, 2] B． (1, 3 +1] C．[ 2, 3 +1] D．[ 2,+ )
【变式 1-2】
（2021·全国·模拟预测）知直线 l : x + y + m = 0 ，圆C : x2 + y2 - 4x = 0，若在直线 l上存在一点 P ，使得过点
P 作圆的切线PA， PB (点 A， B 为切点)，满足 APB = 60° ，则m 的取值范围为（ ）
A． -2,2 B． é -2 2,2 2ù C． -1,1 D． é -4 2 - 2,4 2 - 2ù
【变式 1-3】
（24-25·河北沧州·阶段练习）已知点 A -2,0 , B 0,-2 ，点 P 在圆C : (x - 2)2 + y2 = 2上运动， PAB 的最大
值为a ，最小值为 b ，则 sina + sinb =（ ）
A 3 B 5 C 6． ． ． D 7．
2 2 2 2
冲高考
1．（24-25 ·江西赣州·模拟）已知点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，定义 dAB = x1 - y
2
2 + x2 - y
2
为 A, B1 的“可测距离”.
若点 A, B在曲线 y = e x-2 + a 上，且 dAB 的最小值为 4，则实数 a的值为 .
2 2．（24-25·江苏·阶段练习）已知 P 是圆C1： x - m +1 + y2 = 4 m R 上的动点，M m + 3,0 ，点A ， B 是
C x - 5 2
uuur uuur uuur uuur uuur
圆 2 ： + y - 6 2 = 4上的两个动点，点C 6,6 满足CA ×CB = 0 ，CA + CB = CN ，则 PM + 2 PN 的最
小值为 ．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点 A 4, -2 ，Q为抛物线 x2 = 8y上的动点，点Q在直线 y = -2上的射影
为 H ，M 为曲线 x2 + y + 2 2 = 2 上的动点，则 MA + QH + QM 的最小值为 .
4．（24-25 高三·重庆·阶段练习）已知两点M - 3,0 , N 3,0 ，动点 P 满足 MPN = 60 ，直线 x - my = 0
uuur uuur
与动点 P 的轨迹交于 A 、B 两点.当m =1时， AB = ；当m R 时，MA × MB 的最小值为 .
r r r r r r 2 r r r 2 r r
（20-21 高三·浙江嘉兴·模拟）已知平面向量 a，b ， c 满足 a =1， b = 2， a = a ×b， 2c = b ×c ，则
r r r r 2c - a 2 + c - b 的最小值为 .
5.（24-25 2 2 2 2高三·江苏苏州·模拟）如图，已知点 A 2,0 ，点 B 为圆O1 : x + y = 9上的动点，若圆O2 : x + y =1
uuuur uuuur
上存在一点M ，使得 AM ^ BM ，则 AB 的取值范围是 .专题 15 直线与圆归类
目录
题型 01 斜率与倾斜角：函数型 ......................................................................................................................................1
题型 02 直线含参：双参型定圆 ......................................................................................................................................4
题型 03 直线一般式理论 ..................................................................................................................................................5
题型 04 光学性质与“将军饮马”型 ................................................................................................................................8
题型 05 直线对称与“叠纸”型 ......................................................................................................................................11
题型 06 直线含“三角函数”型参数 ..............................................................................................................................14
题型 07 直线与圆最值 ......................................................................................................................................................16
题型 08 圆切线长范围与最值 ..........................................................................................................................................19
题型 09 圆切线面积范围最值 ..........................................................................................................................................22
题型 10 圆的切点弦 ..........................................................................................................................................................24
题型 11 切点弦最值范围 ..................................................................................................................................................27
题型 12 两圆公切线 ..........................................................................................................................................................30
题型 13 圆型“将军饮马”求范围最值 ..........................................................................................................................33
题型 14 角度型 ..................................................................................................................................................................36
题型 01 斜率与倾斜角：函数型
【解题规律·提分快招】
斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应
π
由正切图象可以看出：①当 α∈[0， )时，斜率 k∈[0，＋∞)且随着 α 增大而增大；2
π
当 α＝ 时，斜率不存在，但直线存在；
2
(π当 α∈ ，π )时，斜率 k∈(－∞，0)且随着 α 增大而增大．2
【典例 1-1】
（2022·湖南娄底·模拟）将函数 f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ(θ∈(0，α])，得到曲
线 C，若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则 α 的最大值为
π π π
A．π B． C． D．
2 3 4
【答案】D
1
【分析】因为 x 0 时， f x = 在 0，＋ 是减函数且0 < f ' x 1，当且仅当 x = 0时等号成立，
x +1
故函数 f x = ln x +1 x 0 p的图像的切线中，在 x = 0处切线的倾斜角最大，其值为 ，由此可以求得答
4
案
【详解】函数 f x = ln x +1 x 0 的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，
当且仅当其任意切线都不经过 y 轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.
因为 f x 1= 在 0，＋ 是减函数且0 < f ' x 1，当且仅当 x = 0时等号成立，
x +1
故函数 f x = ln x +1 x 0 π的图像的切线中，在 x = 0处切线的倾斜角最大，其值为 .
4
π π π
由此可知amax = － = .故选D .2 4 4
【点睛】本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义，只需按照题意来求解，较为基础．
【典例 1-2】
1 1 π
（23-24 高三·江西景德镇·模拟）将函数 y = x - cos2x + , x [0, ]的图象绕原点逆时针旋转q 角，得到曲
2 2 4
线C .若曲线C 始终为函数图象，则 tanq 的最大值为（ ）
1 π 2A． 2 B． C． D．1π + 2 3
【答案】A
【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求
解.
1 1
【详解】令原函数为 y = f (x) ，即 f (x) = x - cos2x + ，求导得 f (x) =1+ sin 2x，
2 2
x [0, π当 ] 2x [0,
π
时， ]，函数 f (x)在[0,
π] π上单调递增， f (0) =1, f ( ) = 2
4 2 4 4
π π
函数 f (x), x [0, ]的图象上点 (x, f (x))处切线斜率由 1 逐渐增大到 2，记 x = 时的点为 P ，
4 4
令函数 f (x) 图象在 P 处的切线倾斜角为a ，则 tana = 2 ，
曲线C 在除端点 P 外的任意一点处的切线垂直于 x 轴时，则曲线C 上存在两点，其横坐标相同，
sin( ππ -a )tanq tan( π a ) 2 cosa 1 1而曲线C 始终为函数图象，因此q -a ，而q 0，则 - = π = = = ，2 2 cos( -a ) sina tana 2
2
所以 tanq 1的最大值为 2 .故选：A
【变式 1-1】
f (x) = log (x +1) c b a 0 f (a) f (b)
f (c)
（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 2 ，且 > > > ，则 ， ， 的大小关a b c
系是（ ）
f
A a f b f c f c f b f a ． > > B． > >
a b c c b a
f b f a f c f a fC c f b ． > > D． > >
b a c a c b
【答案】A
f (a) f (b) f (c)
【分析】把 ， ， 分别看作函数 f (x) = log2 (x +1)图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图a b c
象即可得答案．
f (x) f (x) - 0 f (x)
【详解】由 = ，得 的几何意义是过点 (x, f (x))(x 0) 和原点 (0,0)的直线的斜率，
x x - 0 x
画出函数 f (x) = log2 (x +1)的图象，如图，
l , l , l k f (a) k f (b) f (c)直线 1 2 3 的斜率分别为 1 = ， 2 = ， k3 = ，而 k1 > k2 > k ，a b c 3
f (a) f (b) f (c) f (a) f (b) f (c)
所以 ， ， 的大小关系是 > > .
a b c a b c
故选：A
【变式 1-2】
3π
（22-23 高三·河南周口·阶段练习）已知q π, ÷，若直线 l : y = kx过点 cosq , cosq ，则 l的倾斜角为
è 2
（ ）
π 3π
A． B． C．q D．q - π
4 4
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，即可求得答案.
【详解】 l : y = kx斜率存在，设直线 l的倾斜角为a ，则0o a <180o ,a 90o
q 3π π, k cosq π由题意 ÷，故 cosq 0，则 = =1 = tana ，故 l的倾斜角为 ．故选：A．
è 2 cosq 4
【变式 1-3】
（2021 高三·全国·专题练习）已知正VABC的顶点 A 1,1 ，B 1,3 ，顶点C 在第一象限，若点P x, y 是VABC
y
内部及其边界上一点，则 的最大值为（ ）
x 1 +
1 3 2
A B C D 3 3 - 3． ． ． ．
2 2 3 2
【答案】B
【分析】确定 C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.
【详解】正VABC 的顶点 A 1,1 ，B 1,3 且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为 (1+ 3 ， 2)，
y
可看作VABC 内部及其边界上一点与点 -1,0 的连线斜率，
x +1
y 3 3
当 P 运动到点B 1,3 时，直线的斜率最大，故 的最大值为 =
x +1 1+1 2
故选：B.
题型 02 直线含参：双参型定圆
【解题规律·提分快招】
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条
直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的
最值求解计算
【典例 1-1】
（21-22 高三·天津·模拟）设m R，过定点A 的动直线mx - y = 0和过定点 B 的动直线 x + my - 4m - 3 = 0交
于点 P ，则 PA + PB 的取值范围是（ ）
A． é 5,2 5ù B． é 2 5,5ù
C． é 5,5 2 ù D． 5,10
【答案】C
【分析】由已知确定点A ， B 坐标，且PA ^ PB，结合基本不等式求范围.
【详解】由已知可得动直线mx - y = 0经过定点 A 0,0 ，动直线 x + my - 4m - 3 = 0经过定点B 3,4 ，
PA PB PA 2 + PB 2 = AB 2且两条直线互相垂直，且相交于点 P ，所以 ^ ，即 = 25，
PA 2 2
2
由基本不等式可得 + PB PA + PB 2 PA 2 + PB 2 ，
2
即 25 PA + PB 50 ，可得5 PA + PB 5 2 ，故选：C.
【典例 1-2】
（22-23 上·贵州贵阳·阶段练习）已知m R ，若过定点A 的动直线 l1： x - my + m - 2 = 0 和过定点 B 的动直
线 l2：mx + y + 2m - 4 = 0 交于点 P （ P 与A ， B 不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．A 点的坐标为 2,1 B．PA ^ PB
C 2． PA + PB 2 = 25 D． 2 PA + PB 的最大值为 5
【答案】D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为 l1 : x - my + m - 2 = 0可以转化为m(1- y) + x - 2 = 0，
故直线恒过定点 A 2,1 ，故 A 选项正确；
又因为 l2：mx + y + 2m - 4 = 0 即 y -4 = -m x+2 恒过定点 B -2,4 ，
由 l1 : x - my + m - 2 = 0 和 l2 : mx + y - 4 + 2m = 0 , 满足 1 m + -m 1 = 0，
所以 l1 ^ l2 , 可得 PA ^ PB , 故 B 选项正确；
2 2 2
所以 PA + PB = AB = 2 + 2 2 + 1- 4 2 = 25 , 故 C 选项正确;
因为 PA ^ PB , 设 PAB = q ,q 为锐角, 则 PA = 5cosq , PB = 5sinq ,
所以 2 PA + PB = 5 2cosq + sinq = 5 5sin q +j , 所以当 sin q +j =1 时, 2 PA + PB 取最大值 5 5 ,
故选项 D 错误. 故选：D.
【变式 1-1】
（18-19 高三·河北石家庄·模拟）设m R ，过定点A 的动直线 x + my = 0和过定点 B 的动直线
mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x, y) ，则 PA × PB 的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D． 10
【答案】C
【分析】由题意可知两条动直线经过定点 A(0,0)、B(1,3) ，且始终垂直，有PA ^ PB，利用勾股定理求出
| AB |，再利用基本不等式求得答案.
【详解】由题意可知，动直线 x + my = 0经过定点 A(0,0)，
动直线mx - y - m + 3 = 0 即m(x -1) - y + 3 = 0，经过定点B(1,3) ，
因为1 m - m 1 = 0，所以动直线 x + my = 0和动直线mx - y - m + 3 = 0 始终垂直，
P 又是两条直线的交点，
则有PA ^ PB，\| PA |2 + | PB |2 =| AB |2 = 10 ，
2 2
故 | PA | | PB | | PA | + | PB |× = 5（当且仅当 | PA |=| PB |= 5 时取“ = ” ) ，
2
故选：C．
【变式 1-2】
（2021 高三·江苏·专题练习）设m R，若过定点 A 的动直线 y -1 = m x - 2 和过定点 B 的动直线
x + my + 2 - 4m = 0交于点 M（M 与 A, B不重合），则 MA + 2 MB 的最大值为（ ）
A．5 B．5 2 C．5 5 D．5 6
【答案】C
【分析】首先确定点 A 和点 B 的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形 ABM，利用三角函数
求最值即可．
【详解】由题意可知，动直线 y -1 = m x - 2 经过定点 A 2,1 ，
动直线 x + my + 2 - 4m = 0经过定点B -2,4 ， AB = 42 + 32 = 5，
Q动直线 y -1 = m x - 2 mx - y +1- 2m = 0和动直线 x + my + 2 - 4m = 0满足m 1+ -1 m = 0，
\两条直线始终垂直，又因为M 是两条直线的交点，所以MA ^ MB . MA 2 + MB 2 = AB 2所以 = 25 .
p
设 ABM = q ，则 MA = 5sinq , MB = 5cosq ，由 MA > 0, MB > 0，可得q 0, ÷，
è 2
\| MA | +2 | MB |= 5(sinq + 2cosq ) 5= 5 5 ( sinq 2 5 cosq ) cosa 5 ,sina 2 5+ ，令 = = ，
5 5 5 5
所以 MA + 2 MB = 5 5 sin q +a ， 故 MA + 2 MB 的最大值为5 5 ．故选: C
【变式 1-3】
（21-22 高三·湖南·阶段练习）已知m R ，若过定点 A 的动直线 l1 : x - my + m - 2 = 0和过定点 B 的动直线
l2 : y - 4 = -m(x + 2)交于点 P（P 与 A，B 不重合），则 2 PA + PB 的最大值为（ ）
A．5 6 B．5 5 C．5 2 D．5
【答案】B
【分析】首先确定点 A 和点 B 的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形 ABP，利用三角函数
求最值即可.
【详解】由题意可知，动直线 y -1 = m x - 2 经过定点 A 2,1 ，
动直线 x + my + 2 - 4m = 0经过定点B -2,4 ， AB = 42 + 32 = 5，∵动直线
y -1 = m x - 2 mx - y +1- 2m = 0和动直线 x + my + 2 - 4m = 0满足m 1+ -1 m = 0，
∴ 2 2 2两条直线始终垂直，又因为 P 是两条直线的交点，所以PA ^ PB .所以 PA + PB = AB = 25 .
所以VPAB 是直角三角形，且 AB = 5，设 PAB = q ，则 | PA |= 5cosq ， | PB |= 5sinq
∴ 2 | PA | + | PB |=10cosq + 5sinq = 5 5 sin(q +j)所以 2 | PA | + | PB |的最大值是5 5 .故选：B.
题型 03 直线一般式理论
【解题规律·提分快招】
直线系型：
(1)平行线系：与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0.
【典例 1-1】
（21-22 高三·全国·模拟）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x
ìa1x + b1y =1
和 y 的方程组 í
a2x b y
的解的情况是（ ）
+ 2 =1
A．无论 k ，P1，P2如何，方程组总有解
B．无论 k ，P1，P2如何，方程组总有唯一解
C．存在 k ，P1，P2，方程组无解
D．存在 k ，P1，P2，方程组无穷多解
【答案】B
【分析】通过P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx +1上，推出 a1,a2 ,b1,b2的关系，然后解方程组即可.
【详解】已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，
k b2 - b1所以 = ,即 a1 a2 ,并且b1 = ka1 +1,b2 = ka2 +1， a2b1 - a1b2 = ka1a2 - ka1a2 + a2 - a1 = a - aa1 - a
2 1 .
2
ìa1x + b1y =1①
所以 í ① b2 -② b1得： a1b2 - a2b1 x = b2 - b1即 a1 - a2 x = b2 - b ,
a2x + b2 y =1
1
②
所以方程组有唯一解.故选：B
【典例 1-2】
（20-21 高三·上海宝山·模拟）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，则
关于 l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交点情况是（ ）
A．无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在 k ，P1，P2使之有无穷多个交点
C．无论 k ，P1，P2如何，总是无交点 D．存在 k ，P1，P2使之无交点
【答案】A
【分析】根据P1, P2在直线 y = kx + 2可得bi = kai + 2 i =1,2 ，从而可得 l1, l2 有唯一交点，从而可得正确的选
项.
【详解】因为P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，
所以bi = kai + 2 i =1,2 即 ai -k + bi 1- 2 = 0 i =1,2 ，故 -k,1 既在直线 l1上，也在直线 l2上.
因为P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是两个不同的点，故 l1、 l2不重合，
故无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 -k,1 .故选：A.
【变式 1-1】
（21-22 高三·全国·单元测试）定义点 P(x 2 20，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0(a ＋b ≠0)的有向距离为 d＝
ax0 + by0 + c
a2 + b2
.已知点 P1，P2到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2.以下命题正确的是（ ）
A．若 d1－d2＝0，则直线 P1P2与直线 l 平行
B．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2与直线 l 平行
C．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2与直线 l 垂直
D．若 d1·d2＜0，则直线 P1P2与直线 l 相交
【答案】D
【分析】根据有向距离的定义，分别对直线P1P2 与直线 l 的位置关系进行判断.
【详解】由定义可知，若 d1＝d2＝0，即点 P1，P2到直线 l 的有向距离为 0，则点 P1，P2在直线 l 上，则可
知 A，B，C 均不成立，
故选：D.
【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关
键，综合性较强.
【变式 1-2】
（23-24 高三·上海杨浦·模拟）已知直线 l : ax + by + c = 0，点M x1, y1 、 N x2 , y2 ，设l1 = ax1 + by1 + c，
l2 = ax2 + by2 + c ，以下选项中命题都正确的为（ ）
（1）若l1 + l2 = 0 ，则线段MN 的中点在直线 l上
（2）若l1 - l2 = 0，则直线MN 与直线 l平行
（3）若l1 × l2 < 0，则点M 、 N 分布在直线 l的两侧
l1
（4）若 > 1l ，则直线 l与线段MN 的延长线相交2
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】根据条件，再合（1）（2）（3）（4）中所给条件，逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于（1），因为l1 + l2 = 0 ，所以
ax + by + c + ax + by + c = a(x + x ) + b(y + y ) + 2c x + x= 2[a( 1 2 ) + b( y1 + y21 1 2 2 1 2 1 2 ) + c] = 0 ，即2 2
a( x1 + x2 ) + b( y1 + y2 ) + c = 0
2 2 ，所以（
1）正确；
对于（2），当l1 = l2 = 0时，满足l1 - l2 = 0，此时有 ax1 + by1 + c = 0 ， ax2 + by2 + c = 0，即M x1, y1 、 N x2 , y2
均在直线 l上，所以（2）错误；
对于（3），由l1 × l2 < 0，得到 (ax1 + by1 + c) × (ax2 + by2 + c) < 0，由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧
异号”，知选项 C 正确；
l1 ax + by + c
对于（4），由 > 1 1 1，得到 >1，则有 (ax1 + by1 + c) × (ax2 + by2 + c) > 0l ax + by + c ，由直线分平面区域的点满足2 2 2
ax1 + by1 + c“同侧同号，异侧异号”，知点M 、 N 分布在直线 l的同侧，且由 >1ax ，得到2 + by2 + c
a y - y
[a(x1 - x2 ) + b(y1 - y2 )](ax2 + by2 + c) > 0，所以 a(x1 - x2 ) + b(y1 - y2 ) 0 -
1 2
，从而有 b x - x ，所以（4）正1 2
确，故选：C.
【变式 1-3】
d ax1 + by + c（22-23 1高三·上海青浦·阶段练习）设 M (x1, y1) ，N (x2 , y2 ) 为不同的两点，直线 l : ax + by + c = 0， = ax2 + by2 + c
，
以下命题中正确的序号为（ ）
①存在实数d ，使得点 N 在直线 l上；
②若d = 1，则过M 、 N 的直线与直线 l平行；
③若d = -1，则直线 l经过MN 的中点；
④若0 < d <1，则点M 、 N 在直线 l的同侧且直线 l与线段MN 的反向延长线相交．
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】依次分析命题：①根据d 中的分母不为 0，即可判断点 N 不在直线 l上；②当d = 1时，分b = 0和
b 0 两种情况考虑，当b = 0时，根据d = 1推出直线 l与直线MN 平行；当b 0 时，根据d = 1，化简后得
到直线 l与直线MN 的斜率相等，且点 N 不在直线 l上，进而得到两直线平行；③当d = -1时，化简后得到
线段MN 的中点在直线 l上；④根据0 < d <1，得到 ax1 + by1 + c 与 ax2 + by2 + c同号且 ax1 + by1 + c 小于
ax2 + by2 + c ，进而得到点M 、 N 在直线 l的同侧且直线 l与线段MN 的反向延长线相交，综合可得答案.
d ax① = 1
+ by1 + c
【详解】 因为 ax + by + c 中，
ax2 + by2 + c 0，所以点 N 不在直线 l上，故①错误；
2 2
ax1 + by1 + c②当b = 0时，根据d = 1得到 =1，化简得：x1 = x2 ，直线 l与直线MN 的斜率不存在，都与 yax + by + c 轴2 2
平行，由①知点 N 不在直线 l上，得到直线 l与直线MN 平行；当b 0 时，根据d = 1，得到
ax1 + by1 + c 1 y2 - y= 1 b= - b b- -
ax2 + by + c
，化简得：
2 x2 - x a
，即直线MN 的斜率为 a ，又因为直线 l的斜率为 a ，由①知点 N1
不在直线 l上，得到直线 l与直线MN 平行；综上，当d = 1时，直线 l与直线MN 平行，故②正确；
ax + by + c
③当d = -1 1 1，得到 = -1 a
x1 + x y，化简得 × 2 + b × 1
+ y2
ax by c + c = 0 MN+ + ，而线段 的中点坐标为2 2 2 2
( x1 + x2 , y1 + y2 )，所以直线 l经过直线MN 的中点，故③正确；
2 2
ax
④ 0 < d <1 0 < 1
+ by1 + c
当 ，得到 <1，即 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) > 0ax + by + c ，所以得到点M 、 N 在直线 l的2 2
同侧，且 ax1 + by1 + c < ax2 + by2 + c ，得到点M 与点 N 到直线 l的距离不等，所以直线 l与线段MN 的反向
延长线相交，故④正确，故选：D .
题型 04 光学性质与“将军饮马”型
【解题规律·提分快招】
直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
ì n - b
A
- = -1 m - a B ÷
（1）点 A a,b 关于直线 Ax + By + C = 0的对称点 A m,n è ，则有 í ；
A a + m B b + n × + × + C = 0 2 2
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【典例 1-1】
（22-23 高三·福建厦门·阶段练习）在直角坐标系 xOy 中，全集U = x, y x, y R ，集合
A = x, y x cosq + y - 4 sinq =1,0 q 2p ，已知集合 A 的补集 U A所对应区域的对称中心为 M，点 P 是
线段 x + y = 8（ x > 0， y > 0）上的动点，点 Q 是 x 轴上的动点，则VMPQ 周长的最小值为（ ）
A．24 B． 4 10 C．14 D．8 + 4 2
【答案】B
【分析】根据集合 A = x, y xcosq + y - 4 sinq =1,0 q 2p 可判断出集合CU A表示圆 x2 + y - 4 2 =1,再
画图,根据做对称点的方法转换VMPQ 的周长,再求最小值即可.
1
【详解】∵点 0, 4 到直线 xcosq + y - 4 sinq =1的距离 d = =1 ,
cos2q + sin2q
∴直线 xcosq + y - 4 sinq =1始终与圆 x2 + y - 4 2 =1相切,
∴集合 A 表示除圆 x2 + y - 4 2 =1以外所有的点组成的集合,
∴ C A x2 + y - 4 2集合 U 表示圆 =1,其对称中心M 0,4 如图所示：设M 是点M 0,4 关于直线线段 x + y = 8
ì b - 4
=1 a = 4
（ x > 0, y > 0）的对称点,设M a,b ì, a - 0则由 ía 0 b 4 求得 í ,b 8 可得M
4,8 .设M 关于 x 轴的对称
+ + =+ = 8
2 2
点为M m, n ,易得M 4, -8 ,则直线QM ,和线段的交点为 P,则此时,VMPQ 的周长为
MP + PQ + QM = PM + PQ + QM = M Q + QM = M Q + QM = M M = 4 10 ,为最小值.
故选：B
【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再
转换所求求最值即可.属于难题.
【典例 1-2】
（22-23 高三·浙江嘉兴·模拟）如图，棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点G 在线段 AC 上且
AG = 3 ，点E, F , H 分别为线段 A1B, A1G, A1A上的动点，则空间四边形 AFHE 周长的最小值为（ ）
3 3 3 3
A． 1+ 3 B． 1+ 6 C． 2 + 6 D． 3 + 62 2 2 2
【答案】C
【分析】把平面 A1ACC1 与平面 A1ABB1展开在同一平面上B1BCC1上，然后利用对称将空间四边形各边长转
化到同一直线上，找到最小值即可求解；
【详解】把平面 A1ACC1 与平面 A1ABB1展开在同一平面上B1BCC1上，
作点 A 关于 A1G 的对称点 M ，因为 AG = 3 ，且正方体边长为 3，易得VA1AM 为正三角形，由对称性可得：
AE = B1E , AF = MF ，所以周长 AE + EH + HF + FA = B1E + EH + HF + FM B1M ,
作MN ^ B1C1，可得VA1AG :VA1NM 易得 MN
3 3
= , B1N = 3 + 3，2 2
2
B M = B N 2 + | MN |2 = 3 3+ 3 9 31 1 ÷ + = 3 2 + 3 = 2 + 6 ,故选：C.
è 2 4 2
【变式 1-1】
（21-22 高三·重庆沙坪坝·模拟）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，O(0,0) A(8,0) ， B(8,6) ，C(0,6) ，
光线从 OA 边上一点P0 4,0 沿与 x 轴成q 角的方向发射到 AB 边上的P1点，被 AB 反射到 BC 上的P2点，再
被 BC 反射到 OC 上的P3 点，最后被 OC 反射到 x 轴上的P4 (t,0) 点，若 t (4,8) ，则 tanq 的取值范围是
（ ）
3 3 1 3 3 2 3 1
A． , B．5 4 ÷
, ÷ C． , ÷ D． ,
è è 2 4 è 8 3 è 8 2
÷
【答案】A
【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得P4坐标，再由 t (4,8) 求解即可.
【详解】由题意， AP1 = 4 tanq BP = 6 - 4 tanq BP
6 - 4 tanq 6
，则 1 , 2 = = - 4，tanq tanq
CP 63 = [8 - ( - 4)] tanq 12 tanq 6 OP
6 - (12 tanq - 6) 12 12 P ( 12= - ， = = - ，即 -12,0) ，
tanq 4 tanq tanq 4 tanq
12 3 3
\t = -12 (4,8)，解得 < tanq < .故选：A
tanq 5 4
【变式 1-2】
（21-22 高三·浙江绍兴·模拟）如图，在直角坐标系中，三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A 0, 3 、 B -1,0 、
C 1,0 ，O 为原点，从 O 点出发的光线先经 AC 上的点P1反射到边 AB 上，再由 AB 上的点P2反射回到 BC
边上的点P3 停止，则光线OP1的斜率的范围为（ ）
é 3 ù é ù
A． ê , 2 3
3
ú B． ê ,3 3ú C． é 3,3 3ù é ù D． 3,2 3
2 3
【答案】A
【分析】入射角等于反射角，把VABC 以 AC 为轴进行翻折，使点 B 落到B ，再以 AB 为轴，把△ACB 进
行翻折，使点C 落到C ，由光的反射原理得光线OP1的斜率满足 kOB kOP k1 OC ，根据VABC 为等边三角形
得出B 2, 3 ,C 1,2 3 ，利用两点求斜率即可求解.
【详解】Q入射角等于反射角，
\把VABC 以 AC 为轴进行翻折，使点 B 落到B ，再以 AB 为轴，把△ACB 进行翻折，使点C 落到C ，如
图： 由光的反射原理，若 kOP < k1 OB 或 kOP > k1 OC ，
则光线反射到边 AC 后不会反射到边 AB 上，\光线OP1的斜率满足 kOB kOP k1 OC ，
Q A 0, 3 , B -1,0 ,C 1,0 ，\ AB = 3+1 = 2， AC = 1+ 3 = 2， BC =1- -1 = 2，
\VABC 3是等边三角形，由翻折可得B 2, 3 ,C 1,2 3 ，\直线OB 的斜率 kOB = ，2
é 3 ù
直线OC 2 3的斜率 kOC = = 2 3 ，\光线OP1的斜率的范围为 ê , 2 3 .故选：A1 2
ú
【变式 1-3】
（18-19 高三·福建莆田·模拟）已知长方形的四个顶点： A 0,0 、B 2,0 、C 2,1 、D 0,1 .一质点从点A
出发，沿与 AB 夹角为q 的方向射到BC 上的点P1后，依次反射到CD、DA和 AB 上的点P2、P3 、P4（入射
角等于反射角）.设P4的坐标为 x4 ,0 ，若1< x4 < 2，则 tanq 的范围是
1
A． ,
1 1 2 2 1 2 2
B．
3 2 ÷
, ÷ C． , D． ,
è è 3 5 è 5 2 ÷ 5 3 ÷ è
【答案】B
【解析】将矩形 ABCD先向右平移 2个单位，再向上平移1个单位得到矩形CEFG，再将矩形CEFG向右平
移 2个单位，得到矩形FGHM ，过点Q作QR ^ x轴，可得 QR = 2 ，计算出 AR 的取值范围，可得出
QR
tanq =
AR ，由此可得出
tanq 的取值范围.
【详解】将矩形 ABCD先向右平移 2个单位，再向上平移1个单位得到矩形CEFG，再将矩形CEFG向右平
移 2个单位，得到矩形FGHM ，如下图所示：
延长 AP1分别交CG 、 FG 、FM 于点 N 、 P 、Q，
过点Q作QR ^ x轴，垂足为点 R ，则 QR = 2 ，
由对称性结合图形可知， BAP1 = P1P2C = DP2P3 = AP4P3 = q ，
且有 P2C = CN ， DP2 = NG ， FQ = AP4 1,2 ，
所以， AR = AB + CG + FQ = 4 + FQ 5,6 ，
QR 2 1 2
在RtDAQR tanq = =
中， ,
AR AR è 3 5 ÷
.
故选：B.
题型 05 直线对称与“叠纸”型
【典例 1-1】
（2023·云南保山·二模）折纸艺术大约起源于公元 1 世纪的中国，6 世纪传入日本，后经由日本传到全世界.
折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个
分支，是一项具有艺术性的思维活动.现有一张半径为 6，圆心为 O 的圆形纸片，在圆内选定一点 P 且
OP = 4 ，将圆翻折一角，使圆周正好过点 P，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到 O，P 两点距离之
和最小的点为 M，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设 M 点的轨迹为曲线 C，在 C 上任取一点 Q，则
△QOP 面积的最大值是（ ）
A． 2 2 B． 2 5 C． 2 3 D．4
【答案】B
【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线 C，再利用椭圆的性质计算即可.
【详解】如图所示，设折痕为直线 l，点 P 与P 关于折痕对称， l IOP = M ，在 l上任取一点 B，由中垂线
的性质可知： PB + BO = BP + BO OM + MP = OP ，当且仅当 M、B 重合时取等号.
即折痕上到 O，P 两点距离之和最小的点为 M，且 PM + MO = OP = 6 > OP = 4 .
故 M 的轨迹是以 O，P 为焦点，且长轴长为 2a = 6的椭圆，焦距 2c = OP = 4， c = 2，
1
故短半轴长b = 5 ，所以当 Q 为椭圆上（下）顶点时，△QOP 面积的最大值为 2c b = 2 5 .2
故选：B.
【典例 1-2】
（22-23 高三·浙江杭州·模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点 -3,4 与点 -4, a b 重合，点 -1,2 与点 -2,
è 2 ÷
重合，则 a - b = （ ）
A 1．-2 B．-1 C． 2 D．1
【答案】D
【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数.
7
【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点 -3,4 与点 -4, a 可得折痕所在直线的方程为 x = - ，由
2
点 b-1,2 3与点 -2, 2 ÷可得折痕所在直线的方程为 x = - ，故舍去；è 2
由点 -3,4 与点 -4, a 可得折痕所在直线的斜率不为 0，
-7 4 + a
由点 -3,4 与点 -4, a 关于折痕对称，两点的中点坐标为 , ÷ ，两点确定直线的斜率为
è 2 2
4 - a
= 4 - a 1 4 + a 1 7
-3 - -4 ，则折痕所在直线的斜率为 a 4 ，所以折痕所在直线的方程为： y - = x + ，- 2 a - 4 2 ÷è
2 b+
即 y
x 7 4 + a ÷
= + + b -3
a 4 2 a 4 2 ，由点 -1,2
-2,
- - 与点 2 ÷关于折痕对称，两点的中点坐标为 ,
2 ÷ ，两点
è 2 2 ÷
è
2 b- 1
确定直线的斜率为 2 2 b= - ，则折痕所在直线的斜率为 b - 2 ，所以折痕所在直线的方程为：-1- -2 2 2
2 b
ì 2 1
+ =
y 2 1 3
b - 4 a - 4 ìa = 3
- = x + y 2x 3 4 + b b ÷，即 = + + ，则有 ，解得 .2 - 2 è 2 b - 4 b - 4 4
í
3 4 + b 7 4 + a
í
+ = + b = 2
2 b - 4 4 2 a - 4 2
所以 a - b =1故选：D
【变式 1-1】
（22-23 高三·上海徐汇·阶段练习）折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC 纸片放在平面直角坐
标系中，O(0,0), A(2,0),C(0,1) ，将矩形折叠，使O点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为 k ，则 k 的
取值范围是（ ）
A．[0,1] B．[0,2] C．[-1,0] D．[-2,0]
【答案】D
【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O 点落在线段BC 上，O 点与BC 上的点关
于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解
【详解】如图， 要想使折叠后 O 点落在线段BC 上，可取BC 上任意一点D，
1
作线段OD 的垂直平分线 l，以 l为折痕可使O与D重合，因为 kOD kOB = ，2
所以 k
1
= - -2
k ，且 k < 0 .又当折叠后O与C 重合时， k = 0，所以-2 k 0 OD
\k 的取值范围是 -2,0 ，故选：D
【变式 1-2】
（23-24 下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张
直径为 4 的圆形纸片，圆心为O，在圆内任取一点 P ，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点 P 重合，记此
时的折痕为 l，点Q在 l上，则 OQ + PQ 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】利用对称性，两点之间，线段最短得到答案.
【详解】如图，设 P 关于 l对称的点为P1，则P1在圆O上，连接P1Q ，OP1，则有 PQ = QP1 ，
故 QP + QO = QP1 + QO OP1 = 2 .
故选：D
【变式 1-3】
（2023 高三·安徽芜湖·专题练习）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为 4，将这张扇形纸片折叠，使
点 A 与点 O 恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（ ）
16p 4p 16p
A． - 4 3 B． 4 3 - C． -8 3 D．
3 3 3 9 3 - 3p
【答案】B
【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式，结合= S BDO - S扇形 弓形OD，即可求解.
【详解】由图形的折叠，可得 S弓形AD = S弓形OD , DA = DO，
因为OA = OD，所以 AD = OD = OA，所以△AOD为等边三角形，
可得 AOD = 60°, DOB = 30°，因为 AD = OD = OA = 4 ，所以CD = 2 3 ，
S S 60π ×4
2 1 8 8
所以 弓形AD = 扇形ADO - SVADO = - 4 2 3 = π - 4 3 ，所以 S = π - 4 3 ，360 2 3 弓形OD 3
S S 30π ×4
2 8= 4则阴影部分的面积 扇形BDO - 弓形OD = - π - 4 3 = 4 3 - π .故选：B．360 ÷è 3 3
题型 06 直线含“三角函数”型参数
【解题规律·提分快招】
圆的动切线：
a, b 到直线系M（: x - a）cosq + y - b sinq = R 0 q 2p 距离，每条直线的距离
d R= = R ，
cos2 q + sin2 q
直线系M（: x - a）cosq + y - b sinq = R 0 q 2p 2表示圆（x - a）2 + y - b = R2 的切线集合，
【典例 1-1】
（21-22 高三·全国·模拟）对于直线系M : x cosq + (y -1)sinq = 2，0 q 2p ，下列说法错误的有（ ）．
A．存在定点 C 与 M 中的所有直线距离相等
B．M 中不存在两条互相平行的直线
C．M 中存在两条互相垂直的直线
D．存在定点 P 不在 M 中的任意一条直线上
【答案】B
【分析】应用点线距离公式知，点( 0, 1)到 M 的距离 d = 2且该点不在 M 上，可判断 A、D 的正误；利用特
殊值法可判断 B、C 的正误.
| -2 |
【详解】A：由 M 的方程知：点( 0, 1)到 M 的距离为 d = = 2 ，故正确；
cos2 q + sin2 q
B：当q = 0有 x = 2，当q = p 有 x = -2，即存在平行的直线，故错误；
p
C：当q = 0有 x = 2，当q = 有 y = 3，即存在垂直的直线，故正确；
2
D：显然存在( 0, 1)，有 x cosq + (y -1)sinq = 0 2，即不在M 中的任意一条直线上，故正确；
故选：B.
【典例 1-2】
（22-23 高三·广东广州·模拟）设直线系M : xcosq + ysinq =1,0 q < 2p ，对于下列四个命题：
（1）M 中所有直线均经过某定点；
（2）存在定点 P 不在M 中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数 n,n 3，存在正 n 边形，其所有边均在M 中的直线上；
（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）
【答案】A
【分析】先求出直线 xcosθ + ysinθ = 1 的几何特征，再逐项分析即可.
-1
【详解】原点 O 0,0 到直线 xcosθ + ysinθ = 1的距离为 =1 ，所以直线 M 始终是圆 O：
cos2 q + sin2 q
x2 + y2 =1 的切线；
对于 A，由于q 的变化，直线 M 是围绕圆 O 旋转的，没有定点，错误；
对于 B，O 点不在直线 M 上，正确；
对于 C，如果圆 O 是该正多边形的内切圆，则其所在的边必定在 M 上，正确；
对于 D，正VABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点
在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，错误；
故选：A.
【变式 1-1】
sinq cosq
（21-22 高三·吉林白城·阶段练习）已知集合 S = {直线 l | x + y =1,其中m, n是正常数q 0,2p }，下
m n
列结论中正确的是（ ）
p n
A．当q = 时，S 中直线的斜率为
4 m
B．S 中所有直线均经过同一个定点
C．当m n 时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为 2n
D．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【答案】C
p 2 n
【分析】A 中，当q = 时，sinθ＝cosθ = ，S 中直线的斜率为 - ；B 中，S 中所有直线均经过一个定点，4 2 m
d 2= 2n
不正确；C 中，当 m>n 时，S 中的两条平行直线间的距离为 sin2q cos2q ，可得最小值为 2n；D
m2
+
n2
中，由（0，0）不满足方程，可判断命题错误．
p n
【详解】当 θ = 时，sinθ＝cosθ 2 2 2= ，S 中直线的方程为4 x + y =1
，即 y = - x + 2n，故其斜率为
2 2m 2n m
n
- ，故 A 不正确；
m
sinq x cosq根据 + y＝1，可知 S 中所有直线不可能经过一个定点，B 不正确；
m n
d 2= 2 2 2 2
当m n S sin q sin q sin q cos q 1时， 中的两条平行直线间的距离为 sin2q cos2q ，而 2 2 ，则 2 + 2 2 ，
2 + 2 m m m n nm n
d 2= 2n
故 sin2q cos2q ，即最小值为 2n，C 正确；
m2
+
n2
易见，点（0，0）不满足方程，∴S 中的所有直线不可覆盖整个平面，D 不正确；故选：C.
【变式 1-2】
x
（24-25 高三·山东·模拟）已知直线 l： sina
y
+ cosa =1，其中 m，n 都是正实数，a 0,2π ，下列结论
m n
正确的是（ ）
A．当a
π
= 时，直线 l的一个方向向量为（1，0）
2
B．当a 变化时，所对应的直线均过同一个定点
C．当m n 时，坐标原点（0，0）到直线 l的距离的最小值为m
D．所有直线 l组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
【答案】C
π
【分析】对于 A，将a = 代入得直线方程，即可判断；对于 B，通过给a 赋值，得三条直线的方程，根据
2
三条直线交于一点不成立判断 B 不成立；对于 C，根据公式表示距离，再利用同角三角函数关系化简，即可
求最小值；对于 D，根据 0,0 不满足直线方程，即可判断.
π 1
【详解】对于 A，当a = 时，直线 l的方程为 x =1，即 x = m ，平行于 y 轴，直线 l的方向向量与 0,1 平
2 m
行，故 A 不正确；
y
对于 B，当a = 0 时，得 =1，即 y = n ；当a
π x π y π
= 1 3时，得 sin + cos =1，即
n 6 m 6 n 6 x + y -1 = 0
，联立
2m 2n
ìy = n
ì x = 2 - 3 m π
方程 í 1 3 得 í ，则两直线交于点 2m - 3m,n ，当a = 时，得 x = m ，显然点
x + y -1 = 0 2 2m 2n y = n
2m - 3m,n 不在直线 x = m 上，此时三条直线交于一点不成立，故当a 变化时，所对应的直线均过同一个
定点不成立，故 B 不正确；
d 1= cos2a cos2a
对于 C，当m n 时，坐标原点 0,0 到直线 l的距离 sin2a cos2a ，而 2 2 ，则
m2
+
n2 n m
1
sin2a cos2a 1 d = m
+ ，故 sin2q cos2q ，即最小值为m2 2 2 ，故 C 正确；m n m m2
+
n2
对于 D，由于点 0,0 不满足方程，所以所有直线 l组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故 D 不正确；
故选：C.
题型 07 直线与圆最值
【解题规律·提分快招】
直线与圆的位置关系：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr 相离．
(2)代数法：利用判别式 Δ＝b2－4ac 进行判断：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离．
【典例 1-1】
（24-25 高三·江苏连云港·模拟）已知动直线 y = kx -1+ k k R 与圆C : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0（圆心为C ）
交于点A ， B ，则弦 AB 最短时，VABC 的面积为（ ）
A． 2 2 B．4 2 C． 5 D． 2 5
【答案】D
【分析】确定动直线过圆内一定点 P ，求出圆心C 的坐标和半径，由PC ^ AB时，弦最短求解．
2 2
【详解】根据题意，圆C : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0可化为 x -1 + y + 2 = 9 ，其圆心为 (1, -2) ，半径 r = 3，
动直线 y = kx -1+ k ，即 y +1 = k(x +1) ，恒过点 (-1,-1) .
设P(-1, -1) 2 2，又由 -1-1 + -1+ 2 < 9 ，则点P(-1, -1) 在圆C 的内部，
动直线 y = kx -1+ k(k R)与圆C : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0（圆心为C ）交于点 A, B，
当 P 为 AB 的中点，即CP与 AB 垂直时，弦 AB 最短，
此时 | CP |= 5 ，弦 AB 的长度为 2 r 2- | CP |2 = 4，
1 1
此时VABC 的面积 S = | CP | | AB |= 5 4 = 2 5 ，
2 2
故选：D.
【典例 1-2】
（22-23 高三·天津·模拟）已知eM ： x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 ，直线 l： 2x - y + 4 = 0， P 为 l上的动点，过
点 P 作eM 的切线PA， PB，切点为A ， B ，当 PM × AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A．2x - y -1 = 0 B．2x + y - 3 = 0
C．2x - y +1 = 0 D． 2x - y + 3 = 0
【答案】D
【分析】由四边形 PAMB 等面积法将求 |PM |×|AB|的最小值转化为求 |PM |的最小值，即：当MP ^ l 时，|PM |
取得最小值；联立 lMP 与 l 的方程可求得点 P 坐标；再由点 P，点 M 求出以 PM 为直径的圆的方程；两圆方
程之差即为（公共弦）AB 所在的直线方程.
【详解】eM 的方程为： x2 + y2 - 2x - 2y - 2=0 ①
可化为： (x -1)2 + (y -1)2 = 4，则圆心 M（1，1），半径为 2.
| 2 1-1+ 4 |
点 M 到直线 l 的距离为 d = = 5 > 2
22 +12
∴直线 l 与eM 相离，则如图所示，连接 AM，BM.
S = 1\ PAMB |PM |×|AB|=四边形 2 S△PAM +S PBM = 2△ S△PAM
2 1= |PA|×|AM |=2|PA|=2 |PM |2 -|AM |2 = 2 |PM |2 - 4
2
∴要求 |PM |×|AB|的最小值，只需求 |PM |的最小值.
∴当MP ^ l 时， |PM |取得最小值，即： |PM |×|AB|取得最小值.
1 1
∴ kMP = - ∴ lMP：y -1 = - (x -1) 即： y
1 3
= - x +
2 2 2 2
ì y 1 x 3 = - + ìx = -1
联立 í 2 2 解得 í ∴ P(-1,2) ∵ PA ^ MA， PB ^ MB ∴A，B 也在以 PM 为直径的圆上.
2x - y + 4 = 0
y = 2
又∵以 PM 为直径的圆的方程为： (x -1)(x +1) + (y -1)(y - 2) = 0
3 5
（或用圆的标准方程求解为： x2 + (y - )2 =（ ）2 ）即： x2 + y2 - 3y+1=0 ②
2 2
∴②-①得： 2x - y + 3 = 0故选：D.
【变式 1-1】
（21-22 2 2高三·湖南衡阳·阶段练习）已知圆C ： x -1 + y - 2 =16 ，直线 l： 2m +1 x + m +1 y - 7m - 4 = 0，
则直线 l被圆C 截得的弦长的取值范围为（ ）
A． é 2 5,8ù B． é 4 5,8ù é C． 4 5,16ù D． é 2 11,8ù
【答案】D
【分析】先求出直线 l恒过定点 A(3,1) ，再确定圆心到直线的距离的取值范围，再根据弦长公式可求解.
【详解】由 2m +1 x + m +1 y - 7m - 4 = 0得， x + y - 4 + m(2x + y - 7) = 0，
ìx + y - 4 = 0 ìx = 3
由 í 解得 í ，所以直线 l恒过定点 A(3,1)
2x + y - 7 = 0 y
，
=1
设圆心C(1,2) 到直线 l的距离为 d ， AC = 4 +1 = 5 ，
当直线 l过圆心C(1,2) ，
1
即 2m +1+ 2m + 2 - 7m - 4 = 0即m = - 时， d 有最小值为 0，
3
当直线 l ^ AC 时， d 有最大值为 AC = 5 ，
所以0 d 5 2 r 2 - d 2 = 2 16 - d 2，所以弦长等于 é 2 11,8ù ，
故选:D.
【变式 1-2】
（23-24 高三·天津·模拟）直线 l1：mx + y + m = 0与圆C ： x + 3 2 + y2 = 9 交于A 、 B 两点，点 E 为 AB 中点，
直线 l2：3x + 4y -12 = 0与两坐标轴分别交于 P 、Q两点，则△EPQ面积的最大值为（ ）
15 23
A． B．9 C．10 D．
2 2
【答案】D
【分析】C(-3,0)， l1过定点 X (-1,0)，P(0,3) ，Q(4,0)，由垂径定理易知CE ^ XE ，所以点E 的轨迹为以
D(-2,0)为圆心，1 为半径的圆，计算出点E 到 PQ的最大距离为 d ，据此即可求出△EPQ面积的最大值.
2
【详解】因为圆C ： x + 3 + y2 = 9，所以C(-3,0)，因为 l1：mx + y + m = 0，即m x +1 + y = 0，所以 l1过
定点 X (-1,0)，直线 l2：3x + 4y -12 = 0，令 x = 0，则 y = 3；令 y = 0 ，则 x = 4，
则P(0,3) ，Q(4,0)， PQ = 5，作出图象如图所示：
因为E 为 AB 中点，所以CE ^ XE ，所以点E 的轨迹为以D(-2,0)为圆心，1 为半径的圆，
| -6 -12 | 23
所以点E 到 PQ的最大距离为 d = +1 = ，所以△EPQ
1
面积的最大值为 × | PQ | ×d
23
= .
32 + 42 5 2 2
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到点E 的轨迹，再求出该圆上的点到定直线距离的最大值，从而得到
面积最大值.
【变式 1-3】
（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线 l : 3m +1 x + y - 6m - 3 = 0，圆C : x2 + y2 - 6x - 8y + 9 = 0，当直线 l
被圆C 截得的弦最短时， l的方程为（ ）
A． x - y -1 = 0 B． x - 3y +1 = 0
C． x + 3y - 5 = 0 D． x + y - 3 = 0
【答案】C
【分析】求出直线 l过的定点及圆C 的圆心的坐标，再结合已知求出直线 l的斜率即可得解.
3x - 6 = 0 x = 2
【详解】依题意，直线 l : 3x - 6 m + x + y - 3 0 ì ì= ，由 í
x + y
，解得 ，
- 3 = 0 í y =1
2
所以直线 l过定点 A 2,1 ，由C : x2 + y2 - 6x - 8y + 9 = 0，得 x - 3 + y - 4 2 =16，
所以圆心C 3,4 2，半径 r = 4，显然 AC = 3- 2 + 4 -1 2 = 10 < 4 ，即点 A 2,1 在圆C 内，
k 4 -1所以直线 AC 斜率 AC = = 3，当 l ^ AC 时，直线 l被圆C 截得的弦最短，3 - 2
1
所以 kl × kAC = -1，即3kl = -1
1
，解得 kl = - ,所以直线 l的方程为 y -1 = - ÷ x - 2 ，即 x + 3y - 5 = 0，3 è 3
经检验，此时m
2
= - ，满足题意.故选：C.
9
题型 08 圆切线长范围与最值
【解题规律·提分快招】
圆的切线常用结论：
(1)过圆 x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y 20y＝r .
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
【典例 1-1】
（22-23 2上·浙江嘉兴·阶段练习）已知直线 l : x + 2y -1 = 0及圆C : x +1 + y + 2 2 = 4 ，过直线 l 上任意一点 P
作圆 C 的一条切线 PA，A 为切点，则 PA 的最小值是（ ）
A 4 5 B 2 5 C 4 70． ． ． D 2 70．
5 5 5 5
【答案】A
2 2
【分析】根据题意，由切线长公式可得 PA = PC - r 2 = PC - 4 ，据此可得当 PC 取得最小值时， PA
取得最小值，又由 PC 的最小值即点 C 到直线 l 的距离，计算可得答案.
2
【详解】根据题意，圆C : x +1 + y + 2 2 = 4 的圆心 C(-1，-2)，半径 r= 2，
过直线 l : x + 2y -1 = 0上任意一点 P 向圆引切线 PA，切点为 A
2 2
则 PA = PC - r 2 = PC - 4 ，当 PC 取得最小值时， PA 取得最小值，
-1+ 2 (-2) -1 6
又由 PC 的最小值即点 C 到直线 l d = = PA 4 5的距离 ， 取得最小值为 .故选：A
12 + 22 5 5
【典例 1-2】
x2 y2
（23-24 上·天津和平·阶段练习）已知O为坐标原点，椭圆 E : 2 + 2 =1(a > b > 0)的左 右焦点分别是 F1, F2 ，a b
3
离心率为 .M , P是椭圆E 上的点，MF1 的中点为 N , ON + NF1 = 2 ，过 P 作圆Q : x2 + (y - 4)2 =1的一条切
2
线，切点为 B ，则 PB 的最大值为（ ）
A 219． B． 2 5 C． 2 6 D．5
3
【答案】C
1 1 3
【分析】由 ON + NF1 = 2，得到 MF1 + MF = 2 ，从而求得 a = 2，再由离心率为 求得椭圆2 2 2 2
x2
+ y2 =1，设P 2cosq ,sinq ，利用切线长公式求解.
4
1 1
【详解】解：如图所示： 因为 ON + NF1 = 2，所以 MF2 1
+ MF
2 2
= 2 ，
即 2a = MF1 + MF2 = 4，则 a = 2
3
，又因为离心率为 ，所以 c = 3 ，b =1，
2
x2
所以椭圆 + y2 =1 2，设P 2cosq ,sinq ，则 PB = PQ - R2 = 2cosq 2 + sinq - 4 2 -1 ，
4
= -3 sinq 2 -8sinq +19 ，当 sinq = -1时， PB = 2 6max .故选：C
【变式 1-1】
（24-25 高三·天津滨海新·阶段练习）已知圆O : x2 + y2 = 4 与圆. M : x + y - 2x + 4y + 4 = 0相交于 A, B两点，
直线 l : 3x + 4y -10 = 0，点 P 在直线 l上，点Q在圆M 上，①圆 O 2 2与直线 l 相切; ②线段 AB 的长为 ; ③
5
PQ 的最小值是 2； ④从 P 点向圆 M 引切线，切线长的最小值是 2 2.则说法正确的是 （ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】对于①，由点到直线的距离公式求得圆心O到直线 l的距离，进而判断①是否正确；对于②，将
两圆方程相减，得到直线 AB 的方程，根据圆心到直线的距离公式，利用勾股定理，即可求出结果，进而判
断②是否正确；对于③，利用圆心到直线的距离减半径最小，即可求出结果，进而判断③是否正确；对
于④，由勾股定理，可知当 PM 最小时，切线长 PN 的最小值，结合点到直线的距离公式，即可求出结果，
进而判断④是否正确.
【详解】对于①，由圆O : x2 + y2 = 4 的圆心O(0,0) ，半径为 r = 2，
d | 0 + 0 -10 |圆心O(0,0) 到直线 l : 3x + 4y -10 = 0的距离 = = 2 = r ，所以圆 O 与直线 l相切，故①正确；
32 + 42
对于②，将两圆方程相减，可得直线 AB 的方程为 x - 2y - 4 = 0，
d | 0 - 0 - 4 | 4圆心O(0,0) 到直线 AB 的距离 1 = =12 + (-2)2 5 ，
2 2 4 2 4 5
所以线段 AB 的长为 | AB |= 2 r - (d1) = 2 4 - ( ) = ，故②错误；5 5
对于③，圆M : x + y - 2x + 4y + 4 = 0，即 (x -1)2 + (y + 2)2 =1，
| 3 -8 -10 |
所以圆M 的圆心坐标为 (1, -2) ，半径为R = 1，所以圆心M 到直线 l的距离为 d2 = = 3，
32 + 42
当PQ ^ l时， PQ 可取得最小值，此时 PQ 的最小值是 d2 - R = 3-1 = 2，故③正确；
对于④，从点 P 向圆M 引切线，设切点为D，则 | PD |= | PM |2 -R2 = | PM |2 -1，
所以当 | PM |最小时，切线PD的长取的最小值，所以当直线PM ^ l时， | PM |最小，
即 | PM | = d = 3，所以 | PD | = 32min 2 min -1 = 2 2 ，故④正确.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求直线上的点到圆上的点的距离的最小值，常常数形结合，求得圆心到直线的距离的
最小值减去圆的半径，可求得最小值.
【变式 1-2】
2
（24-25 高三·天津武清·模拟）已知圆C : x - 4 + y2 = 4，点M 在直线 y = x 上，过M 作圆C 的两条切线，
切点分别为A ， B ，以 AB 为直径的圆的面积最小值为（ ）
π 3π
A． B． C． 2π D．3π
2 4
【答案】C
【分析】由题意作图，根据相似三角形以及勾股定理，建立所求圆的半径与CM 的等量关系，利用数形结
合，可得答案.
2
【详解】由题意可作图如下： 由圆C : x - 4 + y2 = 4，则圆心
C 4,0 ，半径 r = 2，因为MA, MB与圆C 分别相切于 A, B，所以 AC ^ AM ，CM ^ AB，
1
设 AB ICM = D， AD = AB = R，CD = d ，易知 AC = r ，
2
AD DC R d 2
易知VADC :VMDA R，则 = ，可得 = ，即MD = ，
MD AD MD R d
在RtVADC 中， AD2 + CD2 = AC 2 ，则R2 + d 2 = r 2，即 d = r 2 - R2 ，
R2 4
由图可知MD + CD = CM 2 2，则 + r - R = CM R2 r 2 r 4 16，整理可得 = - 2 = - 2 ，r 2 - R2 CM CM
由图易知当CM 垂直于直线 y = x
4 - 0
时，CM 取得最小值，则CM min = = 2 2 ，1+1
R2 4 16由函数 = - 2 在 é 2 2, + 上单调递增，则R2 的最小值为 2，CM
以 AB 为直径的圆的面积 S = πR2 ，所以面积的最小值为 2π .故选：C.
【变式 1-3】
uuur uuur
（23-24 高三·河南安阳·模拟）已知 A x1, y 、B x , y 为圆C : x2 + y2
1
1 2 2 =1不同两点，且满足OA ×OB = ，2
x1 + y1 - 2 x2 + y2 - 2
则 + 的最小值为（ ）
2 2
A． 2 - 3 B． 2 - 3 C．2 - 5 D． 2 2 - 3
【答案】D
π
【分析】求出 AOB = ，题目转化为A 、 B 到直线 x + y - 2 = 0的距离之和，变换得到 AC + BD = 2 EF ，
3
计算 EF = 2 3- 得到答案.
min 2
uuur uuur 1 2 2
【详解】因为 A x1, y1 、B x 2 2 2 22 , y2 在圆 x + y =1上，OA ×OB = 所以 x1 + y1 =1， x2 + y2 = 1，2
x 11x2 + y1 y2 = ，2 uuur uuur
cos AOB uOuurA ×OuuBur x x 1且 = =
π
1 2 + y1y2 = 2 ，因为0 AOB π，则 AOB =OA × OB ，3
因为 OA = OB =1，则VAOB 是边长为1的等边三角形，
x1 + y1 - 2 x + 2
+ y2 - 2
表示A 、 B 到直线 x + y - 2 = 0的距离之和，
2 2
2
原点O到直线 x + y - 2 = 0的距离为 d = = 2 ，
2
如图所示： AC ^ CD ，BD ^ CD，E 是 AB 的中点，作EF ^ CD于F ，且OE ^ AB，
2
AC + BD = 2 EF OE = OA 2 - AE 2 = 1- 1 3 2 2
3
， 2 ÷
= ，故E 在圆 x + y = 上，
è 2 4
EF d 3 3
x + y - 2 x + y - 2
= - = 2 - . 1 1 + 2 2故 的最小值为 2 EF = 2 2 - 3
min 2 2 2 2 min
.故选：D.
π
【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出 AOB = ，再将题意转化为表示A 、 B 到直线 x + y - 2 = 0的距
3
离之和，最后利用中位线性质和圆外点外圆上点距离最值问题解决.
题型 09 圆切线面积范围最值
【解题规律·提分快招】
圆切三角形面积最值
S 1= PA AC 1= R PC 2DPAC - R
2
2 2 ,然后把三角形面积最值转化为PC最值
圆切四边形面积最值
S 2 2PACB = 2SDACB = PA AC = R PC - R 然后把三角形面积最值转化为PC最值
【典例 1-1】
（20-21 高三·天津滨海新·模拟）已知eC : x2 + y2 - 2x - 2 y - 2 = 0，直线 l : x + 2y + 2 = 0，M 为直线 l上的
动点，过点M 作eC 的切线MA, MB，切点为 A, B，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线 AB 的方程为
（ ）
A． x + 2y -1 = 0 B． x + 2y +1 = 0
C． x - 2 y -1 = 0 D． x - 2y+1 = 0
【答案】B
2
【解析】将面积化为 SMACB = 2 MC - 4 ，即可得点 C 到直线的距离即为 MC 最小，由此求出 M 坐标，由
M , A,C, B四点共圆，求出该圆方程，和圆 C 方程相减可得直线 AB 方程.
【详解】将 x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 化为标准方程为 x -1 2 + y -1 2 = 4 ，故圆心C 1,1 ，半径为 2，
可得MA ^ AC ，则MA2 + AC 2 = MC 2 ，\S 2S
1
MACB = VMAC = 2 MA AC = 2 MC
2 - 4 ，
2
1+ 2 + 2
Q M 为直线 l上的动点，则可得 MC = = 5min ，此时 SVMAC 取得最小值为 2，此时MC ^ l ，5
\kMC = 2，则直线MC 方程为 y -1 = 2 x -1 ，即 y = 2x -1，联立 MC 和 l 可得M 0, -1 ，
可得M , A,C, B
1 1 5
四点共圆，且圆心为 MC 中点 ,02 ÷
，半径为 MC = ，
è 2 2
2
1 5
则该圆方程为 x - 2 ÷ + y = ，将两圆联立相减可得直线 AB 方程为 x + 2y +1 = 0 .故选：B.
è 2 4
【点睛】关键点睛：本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当MC ^ l ，面积最大，求出
点 M 坐标，且M , A,C, B共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦 AB 方程.
【典例 1-2】
（22-23 高三·山西朔州·模拟）已知点P x, y 是直线 kx + y + 4 = 0 k > 0 上一动点PA、 PB是圆
C : x2 + y2 - 2y = 0 的两条切线，A 、 B 是切点，若四边形PACB的最小面积是 2，则 k 的值为（ ）
A．3 B 21． C． 2 2 D． 2
2
【答案】D
【分析】作出图形，可知RtDPAC @ RtDPBC ，由四边形PACB的最小面积是 2，可知此时 PA = PB 取最小
值 2，由勾股定理可知 PC 的最小值为 5 ，即圆心C 到直线 kx + y + 4 = 0 k > 0 的距离为 5 ，结合点到直
线的距离公式可求出 k 的值.
【详解】如下图所示，由切线长定理可得PA = PB ，又 AC = BC ，PC = PC ，且 PAC = PBC = 90o，
\RtDPAC @ RtDPBC ，所以，四边形PACB的面积为DPAC面积的两倍，
2
圆C 的标准方程为 x2 + y -1 = 1，圆心为C 0,1 ，半径为 r =1，
Q四边形PACB的最小面积是 2，所以，DPAC面积的最小值为1，
S 1 1 2 2又 DPAC = PA × AC = PA 1，\ PA = 2min ，由勾股定理2 2 PC = PA + r
2 = PA +1 5 ，
1+ 4
当直线 PC 与直线 kx + y + 4 = 0 k > 0 垂直时， PC 取最小值 5 ，即 PC = = 5 2min ，整理得2 k = 4，k +1
Qk > 0，解得 k = 2 .故选：D.
【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确
定动点 P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【变式 1-1】
（23-24 高三·浙江温州·阶段练习）已知圆的方程为 .设该圆过点（3，5）的两条弦分
别为 AC 和 BD，且 .则四边形 ABCD 的面积最大值为
A．20 B．30 C．49 D．50
【答案】C
【详解】圆的方程为 .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为 AC 和 BD，且 .
则四边形 ABCD 的面积最大值为 49，选 C
【变式 1-2】
（22-23 高三·河北唐山·模拟）已知 AC, BD 是圆 x2 + y2 = 4的互相垂直的两条弦,垂足为M 1, 2 ,则四边形
ABCD面积的最大值为M ,最小值为 N ,则M - N 的值为
A． 4 B．3 C． 2 D．1
【答案】D
【详解】试题分析：设点O到直线 AC 和直线BD的距离分别为 d1, d2，如图，做OE ^ BD,OF ^ AC ,则四边
OEMF 2 2形 为矩形，又M 1, 2 ，所以 d1 + d2 = 3， AC = 2 4 - d 21 , BD = 2 4 - d 22 ．则四边形 ABCD的面
1
积为： S = AC BD = 2 4 - d 2 4 - d 2 2 22 1 2 ，又 d2 = 3- d1 ，所以
S = 2 4 - d 21 4 - 3+ d 21 = 2 4 - d 2 1+ d 21 1 ，令 d 21 = t ，则0 t 3，从而
S = 2 4 - t 1 3+ t = 2 -t 2 + 3t + 4 0 t 3 ．对于函数 y = -t 2 + 3t + 4，其对称轴为 t = ，根据一元二次函2
2
3
数的性质， ymax = - ÷ + 3
3 25 25
× + 4 = , ymin = 4，即M = Smax = 2 = 5, N = Smin = 2 4 = 4，所以
è 2 2 4 4
M - N =1，选 D．
考点：1.勾股定理；2.一元二次函数的最值；3.数形结合的思想和方法．
【方法点晴】本题考查的是勾股定理和一元二次函数的最值，属于中档题．本题首先根据已知条件可得：
S 1= AC BD 2和 d1 + d
2
2 2
= 3，从而转化为利用圆中三角形勾股定理求弦长．表示出面积后，利用前面条件，
2 2
把面积表示为关于 d1 的二次函数，利用换元法令 d1 = t ，此时注意0 t 3，转化为一元二次函数在闭区间
上的最值问题，确定对称轴即可求解．
题型 10 圆的切点弦
【解题规律·提分快招】
切点弦求解：
1.公共弦法：过圆C 外一点作圆的切线 PA, PB ，则切点 A, B与C, P 四点共圆，线段CP就是圆的一条直
径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点 P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x
－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
【典例 1-1】
（20-21 高三·四川凉山·模拟）已知直线 l : 2x + y + 2 = 0，圆C : (x -1)2 + (y -1)2 = 4．点 P 为直线 l上的动点，
过点 P 作圆C 的切线PA, PB，切点分别为 A, B．当四边形PACB面积最小时，直线 AB 方程是（ ）
A．2x - y -1 = 0 B． 2x + y +1 = 0 C． 2x + y -1 = 0 D．2x - y +1 = 0
【答案】B
【解析】求得点 C 到直线 l 的距离 d ，根据 SPACB = 2SDPAC = 2 × PA = 2 PC
2 - r2 2 d 2 - 4 ，等号成立时
CP ^ l ，求得点 P，进而求得过P, A,C, B的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
2 +1+ 2
【详解】设点 C 到直线 l 的距离为 d = = 5 ，由
5
SPACB = 2SDPAC = 2 × PA = 2 PC
2 - r2 2 d 2 - 4 = 2，
1 1 1 1
此时CP ^ l ， kCP = ，CP方程为 y -1 = (x-1)，即 y = x + ，与直线 l联立得P(-1,0)，2 2 2 2
P, A,C, B 1 5因为 共圆，其圆心为 (0, )，半径为 ，圆的方程为 x2 + y2 - y -1 = 0 ,
2 2
与联立 (x -1)2 + (y -1)2 = 4，化简整理得 2x + y +1 = 0，答案：B
【典例 1-2】
（20-21 高三·山西晋中·模拟）已知圆C : x2 + y2 - 2x = 0，直线 l : x + y +1 = 0，P 为 l 上的动点，过点 P 作圆
C 的两条切线 PA、PB，切点分别 A、B，当 PC · AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A． x + y = 0 B． x - y = 0
C． 2x - 2y +1 = 0 D． 2x + 2y +1 = 0
【答案】A
【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出 PC · AB 最小时，直线 l与直线PC 垂直，结合图象求得直线 AB
的方程.
C 2【详解】圆 的标准方程为 x -1 + y2 =1，圆心为 1,0 ，半径为 r =1 .
依圆的知识可知，四点 P，A，B，C 四点共圆，且 AB⊥PC，所以
PC × AB = 4S 1△PAC = 4 PA × AC = 2 PA ，而2 PA = PC
2 -1，
当直线 PC⊥l 时， PA 最小，此时 PC × AB 最小.
结合图象可知，此时切点为 0,0 , 1, -1 ，所以直线 AB 的方程为 y = -x ，即 x + y = 0 .
故选：A
【变式 1-1】
（22-23 高三·山西晋中·模拟）过圆 x2 + y2 = 25上的动点作圆C : x2 + y2 = 9的两条切线，两个切点之间的线
段称为切点弦，则圆 C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（ ）
18p 9p
A．3p B． C． D．4
5 2
【答案】B
【分析】作出图形，过圆 x2 + y2 = 25上一动点 P 作圆C : x2 + y2 = 9的两条切线PA, PB ,切点分别为 A，B，
根据切线的性质可得过点 P，A，B 的圆是以PO直径的圆，设其方程，联立方程组得出 AB 的直线方程，再
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设圆 x2 + y2 = 25的动点为P(m, n) ，过点 P 作圆 C 的切线，切点分别为 A，B，则过点 P，A，B 的
ì 2 2
圆是以PO直径的圆，该圆的方程为 x(x m) y( y n) 0
x + y = 9
- + - = ．由 í ,可得 AB 的直线方程
x(x - m) + y(y - n) = 0
9 9 9
为mx + ny = 9． 原点到直线mx + ny = 9的距离为 = =
m2 2 25 5
，
+ n
18
故圆 C 不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为 p ，故选:B．
5
【变式 1-2】
（22-23· 2河北石家庄·开学考试）已知圆 C ：x2 21 + y = 9和圆C2：x + y 2 = 1，点 P 为C1上任意一点，过 P 作C2
的两条切线，连接两个切点的线段称为圆C2 的切点弦，则在圆C2 内不与切点弦相交的区域的面积为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 9 6 4
【答案】B
1 2 2 1
【分析】根据切线长定理及直角三角形的边角关系确定 OE = ，则可得切点弦始终与圆 x + y = 相切，
3 9
即可得所求区域面积.
【详解】解：如图，切点为A ， B ，连接OA,OB,OP ，OP 与 AB 的交点为E ，
由切线长定理可得 PA = PB ， OA = OB =1，且 AB ^ OP ，
|OA|=1,|OP |=3,OA^ PA,
cos POA | OA | 1 | OE | = = = OE 1 1=
| OP | 3 | OA | ，所以 ，则原点
O到直线 AB 的距离为定值
3 3
2 2 1 π
故切点弦始终与圆 x + y = 相切，在圆C2 内不与切点弦相交的区域面积为 ．9 9
故选：B．
【变式 1-3】
（2022 天津·模拟）已知 P（x,y)是直线 上一动点，PA，PB 是圆 C：
的两条切线，A、B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 的值为
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【详解】试题分析：圆C 的方程可化为 x2 + (y -1)2 =1，因为四边形PACB的最小面积是 2，且此时切线长
5
为 2，故圆心 0,1 到直线 kx + y + 4 = 0的距离为 5 ，即 =1+ k 2 5 ，解得 k = ±2 ，又 k > 0，所以 k = 2．
考点：直线与圆的位置关系．
【思路点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，解决本题时先求圆的半径，
四边形PACB的最小面积是 2，转化为三角形PBC 的面积是1，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到
直线的距离，可解 k 的值．
题型 11 切点弦最值范围
【解题规律·提分快招】
切点弦最值范围
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形
结合求解．
（2）与圆上点 x, y 有关代数式的最值的常见类型及解法：
z y - b①形如 = 型的最值问题，可转化为过点 a,b 和点 x, y 的直线的斜率的最值问题；
x - a
②形如 z = ax + by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如 x - a 2 + (y - b)2型的最值问题，可转化为动点 x, y 到定点 a,b 的距离平方的最值问题．
【典例 1-1】
．（2022·河南安阳·模拟预测）已知圆C : (x - 2)2 + ( y - 6)2 = 4，点 M 为直线 l : x - y + 8 = 0上一个动点，过点
M 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程
为（ ）
A． (x - 7)2 + ( y -1)2 = 4 B． (x -1)2 + ( y - 7)2 = 4
C． (x - 7)2 + ( y -1)2 = 2 D． (x -1)2 + ( y - 7)2 = 2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB周长最小时点 M 的坐标即可求解作答.
d | 2 - 6 + 8 |【详解】圆C : (x - 2)2 + ( y - 6)2 = 4的圆心C(2,6) ，半径 r = 2，点 C 到直线 l 的距离 = = 2 212 ( 1)2 ，+ -
依题意，CA ^ AM ，四边形CAMB周长 2 | CA | +2 | AM |= 4 + 2 CM 2 - CA2 4 + 2 d 2 - 4
= 4 + 2 (2 2)2 - 4 = 8，
ìx - y + 8 = 0
当且仅当CM ^ l时取“=”，此时直线CM : x + y -8 = 0，由 í M (0,8)
x + y 8 0
得点 ，
- =
四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM 中点 (1,7)，半径 2 ，方程为 (x -1)2 + ( y - 7)2 = 2 .
故选：D
【典例 1-2】
（21-22 高三·四川绵阳·模拟）已知点 P 在直线 x + y = 4 上，过点 P 作圆O : x2 + y2 = 4 的两条切线，切点分别
为A ， B ，点M 在圆G : (x - 4)2 + (y - 5)2 =1上，则点M 到直线 AB 距离的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． 10 -1 D． 13 -1
【答案】B
【分析】根据题意，设 P(m, n) 为直线 l : x + y = 4上的一点，由切线的性质得点 A 、B 在以OP 为直径的圆上，
求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线 AB 的方程，将其变形分析可得直线 AB 恒过的定点，由点到
直线的距离分析可得答案．
【详解】根据题意，设P(m, n) 为直线 x + y = 4 上的一点，则m + n = 4 ，
过点 P 作圆O : x2 + y2 = 4 的切线，切点分别为A 、 B ，则有OA ^ PA，OB ^ PB，
则点A 、 B 在以OP 为直径的圆上，
m 2 2
以OP
n 1 m + n
为直径的圆的圆心为 C ( ， )2 ，半径2 r = | OP |=
，
2 2
2
(x m n m + n
2
则其方程为 - )2 + (y - )2 = ，变形可得 x2 + y2 - mx - ny = 0 ，
2 2 4
ìx2 + y2 = 4
联立 í 2 2 ，可得圆 C 和圆 O 公共弦 AB 为：mx + ny - 4 = 0，
x + y - mx - ny = 0
又由m + n = 4 ，则有mx + (4 - m)y - 4 = 0，变形可得m(x - y) + 4y - 4 = 0，
ìx - y = 0
则有 í4y 4 ，解可得
x = y =1，故直线 AB 恒过定点Q(1,1) ，
- = 0
点M 在圆G : (x - 4)2 + (y - 5)2 =1上，则点M 到直线 AB 距离的最大值为 | GQ | +1 = (4 -1)2 + (5 -1)2 +1 = 6 ．
故选：B．
【变式 1-1】
（2023·贵州毕节·一模）已知点 P 在直线 l : 3x + 4y - 33 = 0上，过点 P 作圆C : (x -1)2 + y2 = 4 的两条切线，切
点分别为 A, B，则圆心C 到直线 AB 的距离的最大值为（ ）
1 2 4
A． B． C．1 D．
3 3 3
【答案】B
【分析】根据题意，设P(m, n) 为直线 l : 3x + 4y - 33 = 0上的一点，由圆的切线的性质得点 A, B在以CP为直
径的圆上，求出该圆的方程，与圆 C 的方程联立可得直线 AB 的方程，将其变形分析可得直线 AB 恒过的定
点，由点到直线的距离分析可得答案．
| 3 - 33 |
【详解】由题意可得C : (x -1)2 + y2 = 4 的圆心C(1,0)到直线 l : 3x + 4y - 33 = 0的距离为 d = = 6 > 2 ，
5
即 l : 3x + 4y - 33 = 0与圆相离；
设P(m, n) 为直线 l : 3x + 4y - 33 = 0上的一点，则3m + 4n - 33 = 0 ，
过点 P 作圆C : (x -1)2 + y2 = 4 的切线，切点分别为 A, B，则有CA ^ PA,CB ^ PB，
则点 A, B在以CP为直径的圆上，
2 2
以CP为直径的圆的圆心为 (
m +1, n) 1 (m -1) + n，半径为
2 2 r = | CP |=
，
2 2
m +1 2 2
则其方程为 (x - )2 + (y n)2 (m -1) + n- = ，变形可得 x2 + y2 - (m +1)x - ny + m = 0 ，
2 2 4
ì 2 x -1 + y2 = 4
联立 í 2 2 ，可得： (m -1)x + ny - m - 3 = 0，
x + y - m +1 x - ny + m = 0
又由3m + 4n - 33 = 0 ，则有 4(m -1)x + (33 - 3m)y - 4m -12 = 0 ，
变形可得m(4x - 3y - 4) - 4x + 33y -12 = 0 ，
ì 7
ì4x - 3y - 4 = 0 x = 5 (7 , 8则有 í )
-4x + 33y 12 0
，可得 í 8 ，故直线 AB 恒过定点 ，- = y = 5 15
15
M (7 , 8 ) (7 1)2 ( 8 )2 4 M (7 , 8设 ，由于 - + < ，故点 )在C : (x -1)2 + y2 = 4 内，
5 15 5 15 5 15
则CB ^ AB时，C 到直线 AB 的距离最大，
7 8 2
其最大值为 | CM |= ( -1)2 + ( )2 = ,
5 15 3
故选∶B
【变式 1-2】
（20-21·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 在直线 x + y = 4 上，过点 P 作圆
O : x2 + y2 = 4 的两条切线，切点分别为 A，B，则 O 到直线 AB 距离的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【分析】根据相交圆的公共弦所在直线方程的求法，先求以OP 为直径的圆的方程，和圆O的方程 x2 + y2 = 4
的差即为公共弦所在直线方程，利用距离公式即可得解.
2 2
【详解】设 P a,b a b 1，则 a + b = 4 ，以OP 为直径的圆的方程是 x - ÷ + y - ÷ = a2 + b2 ，与圆O的方程
è 2 è 2 4
x2 + y2 = 4相减，得直线 AB 的方程为，即 ax + by - 4 = 0
4 4 4 4 4
所以O到直线 AB 的距离为 = = = = 2a2 + b2 2 ，a + 4 - a 2 2a2 -8a +16 2 a - 2 2 + 8 8
当且仅当 a = 2时取等号，所以坐标原点到直线 AB 距离的最大值为 2 .
故选：B
【变式 1-3】
（21-22 高三·江苏南通·模拟）以下四个命题表述错误的是（ ）
A．圆 x2 + y2 = 2 2上有且仅有3个点到直线 l : x - y +1 = 0的距离都等于
2
B 2 2．曲线C1 : x + y + 2x = 0 C
2
与曲线 2 : x + y
2 - 4x -8y + m = 0 ，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围
为m > 4
C．已知圆C : x2 + y2 = 2， P 为直线 x + y + 2 3 = 0 上一动点，过点 P 向圆C 引一条切线PA，其中A 为
切点，则 PA 的最小值为 2
D．已知圆C : x2 + y2 = 4 ，点 P 为直线 l : 2x + y -8 = 0 上一动点，过点 P 向圆C 引两条切线 PA， PB，
A, B 1 为切点，则直线 AB 经过点 1, ÷
è 2
【答案】B
【分析】选项 A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项 B 根据两曲线有四条公切
线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项 C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转
化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项 D，设点 p n,8 - 2n 为直线 l上一点，求出切线 AB 的
方程即可判断．
【详解】解：选项 A：圆 x2 + y2 = 2的圆心为O 0,0 ，半径 r = 2 ，
所以圆心O 0,0 到直线 l : x - y +1 = 0 |1| 2 1的距离 d = = = r ，
2 2 2
所以圆 x2 + y2 = 2上有且仅有3个点到直线 l : x - y +1 = 0 2的距离都等于 ，
2
故选项 A 正确；
选项 B：方程 x2 + y2 + 2x = 0 2可化为 x +1 + y2 =1，故曲线C1 表示圆心为C1(-1,0)，半径 r1 =1 的圆，
方程 x2 + y2 - 4x -8y + m = 0 2 2可化为 x - 2 + y - 4 = 20 - m，
因为圆C1 与曲线C2 有四条公切线，
所以曲线C2 也为圆，且圆心为C2 (2, 4) ，半径 r2 = 20 - m(m < 20) ，
同时两圆的位置关系为外离，有 | C1C2 |> r1 + r2 ，即5 > 1+ 20 - m ，
解得 4 < m < 20，故 B 错误；
选项 C：圆C : x2 + y2 = 2的圆心C 0,0 ，半径 r = 2 ，
| 2 3 |
圆心C 0,0 到直线 x + y + 2 3 = 0 的距离 d = > r ，
2
所以直线与圆相离，由切线的性质知，VPAC 为直角三角形， | PA |= | PC |2 -r 2 d 2 - 2 = 2 ，当且仅当
PC 与直线 x + y + 2 3 = 0 垂直时等号成立，所以 PA 的最小值为 2，故选项 C 正确；
选项 D：设点P n,8 - 2n 为直线 l上一点，则以O， P 为直径的圆的方程为
2
n
2
2 n
2 + 8 - 2n 2
x - ÷ + y - 4 + n = ÷ ，即： x2 - nx + y2 -8y + 2ny = 0 ÷ ，两圆的方程相减得到直线 AB 方è 2 2 ÷
è
程为 nx + 8y - 2ny 4
1
- = 0，即 n x - 2y + 8y - 4 = 0 ，所以直线 AB 过定点 1, ÷，D 正确．
è 2
故选：B．
题型 12 两圆公切线
【解题规律·提分快招】
圆与圆的位置关系：设圆C1与圆C2 的半径长分别为 r1和 r2 .
（1）若 C1C2 < r1 - r2 ，则圆C1与圆C2 内含；
（2）若 C1C2 = r1 - r2 ，则圆C1与圆C2 内切；
（3）若 r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，则圆C1与圆C2 相交；
（4）若 C1C2 = r1 + r2 ，则圆C1与圆C2 外切；
（5）若 C1C2 > r1 + r2 ，则圆C1与圆C2 外离.
【典例 1-1】
2 2
（20-21 高三·全国·模拟）若圆O : x2 + y2 = 5与圆O1 : (x - m) + y = 20(m R) 相交于 A，B 两点，且两圆在
点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】连接OO1 ，记 AB 与OO1 的交点为 C，求出 OO1 = 5，再求出 | AC |= 2即得解.
【详解】如图所示，连接OO1 ，记 AB 与OO1 的交点为 C，
在Rt△OO1A中， | OA |= 5 ， O1A = 2 5 ，
所以 OO1 = 5
5 2 5
，所以 | AC |= = 2，
5
所以 | AB |= 4．
故选：C
【典例 1-2】
23-24 · · C : x2 2（ 高三 全国 模拟）已知圆 1 + y = 9 ，圆C2 : x - 4
2 + y - 6 2 =1，两圆的内公切线交于点P1，外
uuuuv uuuuv
公切线交于点P2，若P1C1 = lC1P2 ，则l 等于（ ）
9 1 1 1
A．- B．- C．- D．
16 2 3 3
【答案】B
3 13
【分析】作出两圆的内公切线和外公切线，由三角形的相似得到 | C1P1 |= | C1P2 |= 3 13 ，再利用
uuuur uuuur 2
P1C1 = lC1P2 求得l 值。
| C P | 3
【详解】如图所示， | C1C2 |=| C1P1 | + | P1C2 |= 2 13
1 1
， =| PC | 1 ，解得： | C P |
3 13
1 1 = ，
1 2 2
1 x
设 | P2C2 |= x ，则 = x = 133 ，所以 | C1P2 |= x + 2 13 = 3 13 ，x + 2 13
uuuur 3 13 1
| l | | uP= u1Cuur1 | = 2 1= ，因为l < 0 ，所以l = - ，故选 B.
| C P | 3 13 2 21 2
【点睛】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，与平面向量进行交会，求解时注意平面几何中相似三角
形的运用，考查数形结合思想和坐标法思想求解问题。
【变式 1-1】
（2022·北京·模拟）已知圆的方程 x2 + y2 = 25，过M (-4,3)作直线MA, MB与圆交于点 A, B，且MA, MB关于
直线 y = 3对称，则直线 AB 的斜率等于
4 3 5 4
A．- B．- C．- D．-
3 4 4 5
【答案】A
【详解】设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，
因为直线MA、MB关于直线 y = 3对称，故两直线斜率互为相反数，
设直线MA方程的斜率为 k ，则直线MB斜率为-k ，
所以，直线MA方程为： y - 3 = k ( x + 4) ，
ìy - 3 = k(x + 4)
í 2 2 整理得： (1+ k
2 )x2 + (8k 2 + 6k)x +16k 2 + 24k -16 = 0，
x + y = 25
2 2
x 4 8k + 6k x -4k - 6k + 4
2
y -3k + 8k + 3所以： 1 - = - 2 ，即： 1 = 2 ， 1 = ，1+ k 1+ k 1+ k 2
A -4k
2 - 6k + 4 , -3k
2 + 8k + 3 B -4k
2 + 6k + 4 , -3k
2 -8k + 3
所以 ，同理1+ k 2 1+ k 2 ÷ 1+ k 2 1+ k 2 ÷
，
è è
-3k 2 + 8k + 3 -3k 2 -8k + 3
-
k = 1+ k
2 1+ k 2 16k 4
所以 AB = = - ，故选A ．-4k 2 - 6k + 4 -4k 2 + 6k + 4
- -12k 3
1+ k 2 1+ k 2
【变式 1-2】
（21-22 高三·四川成都·阶段练习）若圆O : x2 + y2 = 4 与圆M : x - m 2 + y2 = 21 m > 0 相交于 A, B两点，且
两圆在点A 处的切线互相垂直，点 P 是直线 l : x + 2y - 20 = 0上的动点，过点Р 作圆M 的切线，切点为
C, D ，那么 CD × PM 的最小值是（ ）
A． 2 6 B．6 14
C．12 14 D． 24 14
【答案】C
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心与半径，分析可得OA ^ MA，
2
则有 OM = R2 + r 2 ，由此得出m 的值，即可得出M 的方程，过点Р 作圆M 的切线，切点为C, D ，可得
1 CD × PM 1 PC r 1= + PD r 1= PC 2 r ，由 PC 2 = PM 2 - r 2 ，进而转化为求 PM 的最小值，再利用点到
2 2 2 2
直线的距离公式即可求解.
2
【详解】根据题意，圆O : x2 + y2 = 4 ,其圆心O 0,0 ，半径R = 2，圆M : x - m + y2 = 21 m > 0 ，
其圆心为M -m,0 ，半径 r = 21，两圆在点A 处的切线互相垂直，
则OA ^ MA，则有 OM 2 = R2 + r 2 ，即m2 = 25，解得m = ±5，因为m > 0，所以m = 5，
即M : x - 5 2 + y2 = 21，过点Р 作圆M 的切线，切点为C, D ，则 PC = PD
S 1 1 1由 四边形PCMD = CD × PM = PC r + PD r = PC r ，所以 CD × PM = 2 PC
2 r = 2 21 PC ，
2 2 2
又 PC = PM 2 - r 2 = PM 2 - 21，点 P 是直线 l : x + 2y - 20 = 0上的动点，
5 + 0 - 20
所以 PM = ，所以 PC = 45 - 21 = 2 6min 5 min
所以 CD × PM = 2 21 2 6 =12 14min .故选：C
【变式 1-3】
（23-24 高三·天津西青·阶段练习）已知圆O : x2 + y2 = 4 与圆M : x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0相交于 A, B两点，直
线 l : 3x + 4y -10 = 0，点 P 在直线 l上，点Q在圆M 上，则下列说法正确的个数是（ ）
①直线 AB 的方程为 x - 2y - 4 = 0 ② 2 5线段 AB 的长为
5
③ PQ 的最小值是 2 ④从 P 点向圆M 引切线，切线长的最小值是 2 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】①将两圆方程作差后整理即可得到公共弦的方程；②利用弦长公式求解；③依据PQ ^ l时 PQ
取得最小值进行求解；④依据PQ ^ l时由 P 向圆作切线所得切线长最小进行求解.
【详解】对于①，直线 AB 的方程为 x2 + y2 - 4 - (x2 + y2 - 2x + 4y + 4) = 0，
整理得 x - 2y - 4 = 0，故①正确；
| -4 | 4 5
对于②，圆 O 的圆心O(0,0) 到直线 AB 的距离 d1 = = ，圆 O 的半径 r1 = 2，5 5
所以 | AB |= 2 r 2 2 4 51 - d1 = ，故②错误；5
对于③，圆 M 的方程可化为 (x -1)2 + (y + 2)2 =1，圆心M (1,-2) ，半径 r2 =1 .
d | 3 -8 -10 |圆心 M 到直线 l 的距离 2 = = 3，5
当PQ ^ l时 PQ 取得最小值，此时 PQ = d2 - r2 = 2，故③正确；
对于④，从点 P 向圆 M 引切线，设其中一个切点为 D，
则切线 | PD |= | PM |2 -r 22 = | PM |
2 -1 ，所以当 PM 最小时，切线长最短.
由③可知 PM = d = 3min 2 ，故 PD = 3
2 -1 = 2 2 ，故④正确.故选：C
min
题型 13 圆型“将军饮马”求范围最值
【典例 1-1】
（2021·全国·专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果
集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定
点 A，B 的距离之比为 λ(λ＞0，λ≠1)，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个
1
问题，已知圆 O：x2＋y2＝1 上的动点 M 和定点 A (- ,0) ，B(1，1)，则 2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
2
A． 6 B． 7
C． 10 D． 11
【答案】C
【分析】讨论点 M 在 x 轴上与不在 x 轴上两种情况，若点 M 不在 x 轴上，构造点 K(－2，0)，可以根据三
| MK | |OM |
角形的相似性得到 = = 2| MA | |OA | ，进而得到 2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答
案.
【详解】①当点 M 在 x 轴上时，点 M 的坐标为(－1，0)或(1，0)．
1 2
若点 M 的坐标为(－1，0)，则 2|MA|＋|MB|＝2× 2 ＋ 1+1 +1
2 =1+ 5 ；
3
若点 M 2的坐标为(1，0)，则 2|MA|＋|MB|＝2× ＋
2 1-1 +1
2 = 4 ．
②当点 M 不在 x 轴上时，取点 K(－2，0)，如图，
1
连接 OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝ 2 ，|OK|＝2，
|OM | |OK | 2 | MK | |OM |所以 = = ．因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则 = = 2|OA | |OM | | MA | |OA | ，
所以|MK|＝2|MA|，则 2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．因为 B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|) 2min＝|BK|＝ -2 -1 + 0 -1 2 = 10 ．
又 10 <1＋ 5 <4，所以 2|MA|＋|MB|的最小值为 10 ．故选：C
【典例 1-2】
（23-24 高三·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山
大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一
MQ
书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比 = lMP
l 0
1
（ > ，l 1），那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的 M 与定点Q m,0 和定点P - ,0÷ 的距
è 2
离之比为 2，其方程为 x2 + y2 =1，若点B 1,1 ，则 2 MP + MB 的最小值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 10 D． 11
【答案】C
【分析】令M (x, y)，应用两点距离公式列方程求 M 轨迹，结合已知圆的方程求参数 m，进而得Q -2,0 ，
再由 2 MP + MB = MQ + MB ，数形结合求目标式最小值.
| MQ | (x - m)
2 + y2 2
【详解】由题设 = 2，令M (x, y) = 4 (4 + 2m) m -1| MP | ，则
2 2
(x 1+ )2 + y2 ，所以 x + x + y = ，则
2 3 3
ìm2 -1
=1 3
í m = -2，即Q -2,0 ，又12 +12 >1，即B 1,1 在圆外， (-2)2 +12 >1，即Q -2,0 在圆外，
4 + 2m = 0
3
由 2 MP + MB = MQ + MB BQ = 10 ，当且仅当B, M ,Q共线上等号成立，
所以 2 MP + MB 的最小值为 10 .故选：C
【变式 1-1】
（21-22 高三·湖南益阳·模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称为亚历山大时期
数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿
MQ
波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点Q, P 的距离之比 = l(l > 0,l 1)MP ，那
么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 x2 + y2 =1，其中，定点Q
1
为 x 轴上一点，定点 P 的坐标为 - ,0÷ ,l = 3，若点B 1,1 ，则3 MP + MB 的最小值为（3 ）è
A． 10 B． 11 C． 15 D． 17
【答案】D
| MQ |【分析】设Q a,0 ，M x, y ，根据 = l 和 x2 + y2 =1求出 a 的值，由3 | MP | + | MB |=| MQ | + | MB || MP | ，
两点之间直线最短，可得3 | MP | + | MB |的最小值为 BQ ，根据坐标求出 BQ 即可.
2 1
【详解】设Q a,0 ，M x, y ，所以 MQ = x - a + y2 ，由P - ,0÷，
è 3
2 x - a| MQ |
2 + y2
所以 PM = x
1
+ ÷ + y
2 ，因为 = l| MP | 且l = 3
= 3
，所以 2
è 3 1
，
2
x + ÷ + y
è 3
ì3+ a = 0
3 + a a2 -1 4
整理可得 x2 + y2 + x = ，又动点 M 的轨迹是 x2 + y2 =1，所以 í ，
4 8 2 a -1 =1
8
解得 a = -3，所以Q -3,0 ，又 MQ =3 MP ，所以3 MP + MB = MQ + MB BQ ，
因为 B(1,1)，所以3 | MP | + | MB |的最小值 BQ = 1+ 3 2 + 1- 0 2 = 17 ，
当 M 在位置M1或M 2 时等号成立.故选：D
【变式 1-2】
（22-23 高三·江苏·模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在圆C : (x - 8)2 + y2 =16上运动，A(6,0), B(6,1),则
PB + 2PA的最小值为
A 11+ 2． 37 B．6 C．4+ 5 D．
2
【答案】A
AC PC 1
【解析】根据圆的方程、 A 6,0 可知 = = ，从而得到DPAC : DOPC ，进而根据比例关系得到
PC OC 2
OP = 2PA，将问题转化为求解 PB + OP 的最小值的问题，可知当 P 为线段OB 与圆C 的交点时，取最小值OB ，
两点间距离公式求得OB 即为所求最小值.
【详解】 P 为圆C 上任意一点，圆的圆心C 8,0 ，半径 r = 4，如下图所示，
AC PC 1
QPC = 4，OC = 8， AC = 2 \ = = \DPAC : DOPC
PC OC 2
PA 1
\ = ，即OP = 2PA \PB + 2PA = PB + OP又PB + OP OB（当且仅当 P 为线段OB 与圆C 的交点时
OP 2
取等号）\PB + 2PA OB = 62 +12 = 37 ，即PB + 2PA的最小值为 37
本题正确选项：A
【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将 2PA转化为OP ，
进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难
题.
【变式 1-3】
（21-22 高三·浙江·阶段练习）已知圆C 是以点 M 2,2 3 和点 N 6, -2 3 为直径的圆，点
