专题 18 圆锥曲线离心率归类
目录
题型 01 定义型 ....................................................................................................................................................................1
题型 02 中点型（点差型） ..............................................................................................................................................2
题型 03 焦点三角形型 ........................................................................................................................................................3
题型 04 基本量齐次型 ........................................................................................................................................................5
题型 05 双曲线渐近线型 ....................................................................................................................................................5
题型 06 焦点三角形：焦半径型 ........................................................................................................................................6
题型 07 焦点三角形：双余弦定理型 ................................................................................................................................7
题型 08 焦点三角形：双角度型 ......................................................................................................................................8
题型 09 焦点三角形：内切圆型 ........................................................................................................................................9
题型 10 焦点三角形：重心型 ..........................................................................................................................................11
题型 11 焦点三角形：离心率范围最值型 ......................................................................................................................12
题型 12 定比分点型 ..........................................................................................................................................................13
题型 13 共焦点型椭圆双曲线离心率 ..............................................................................................................................14
题型 14 共焦点范围最值型 ..............................................................................................................................................15
题型 15 离心率压轴单选题 ..............................................................................................................................................16
题型 16 离心率压轴填空题 ..............................................................................................................................................17
题型 01 定义型
【解题规律·提分快招】
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得 a、 c的值，根据离心率的定义求解离心率 e的值；
特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
1.椭圆第一定义： |PF1 | | PF2 | 2a
双曲线第一定义： ||PF1 | | PF2 || 2a
2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
|PF1 | 2a | PF2 |（椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减）
【典例 1-1】
2 2
（2022· x y福建厦门·模拟）已知椭圆 1 a > b > 0 的左右焦点分别为F1、F ，过点F 的直线与椭圆交
a2 b2 2 2
于 A, B两点，若DF1AB是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A 2． B． 2 3 C． 5 2 D． 6 3
2
【典例 1-2】
2 2
（20-21 · x y高三 云南昆明·阶段练习）已知椭圆 2 2 1(a > b > 0) ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭a b
圆上存在一点 P，使得 PF1 PF2 2b ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． (0,
1] 1B [ .1) C (0, 2 ] D [ 2． ． ． ,1)2 2 2 2
【变式 1-1】
2 2
（23-24 高二上· x y河南洛阳·阶段练习）已知椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2， A 2,1 a b
为椭圆C 内一点，对称中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲线 E 经过点 3,1 ，点Q a,b 在E 上，
若椭圆C 上存在一点 P ，使得 | PA | | PF2 | 4 ，则C 的离心率的取值范围是（ ）
é2 2 ù é
A． ê ,
2 2 2 2 2
ú B．5 3 ê
, ÷÷
5 2
2 , 2 2
ù 2
C． 2 3 ú
D． 0, ÷÷
è è 2
【变式 1-2】
2 2
（24-25 高三上· x y河南·期末）设椭圆 E : 2 2 1 a > b > 0 的一个焦点为 F 3,0 ， A 2, 3 为 E 内一点，a b
若E 上存在一点M ，使得 MA MF 10，则E 的离心率的取值范围是（ ）
é1 , 3 é1 3ùA． ê B． , 2 4 ÷ ê2 4 ú
é1 3
C． ê ,1÷ D． 0, 2 è 4 ÷
【变式 1-3】
x2 y2
（2022 河北石家庄·模拟预测）已知F1, F2 是双曲线 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点，过F1的直线与双曲a2 b2
线的两支分别交于 A, B两点（A 在右支，B 在左支）若DABF2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B． 5 C． 6 D． 7
题型 02 中点型（点差型）
【解题规律·提分快招】
x 2 y 2 x 2 y 2
设直线和曲线的两个交点 A(x1, y1)， B(x2 , y2 ) ，代入椭圆方程，得 1 1 1； 2 2 ；a2 2 2
b a b2
1
x 21 x
2 y 22 1 y
2
2 (x x )(x x ) (y y )(y y )将两式相减，可得 ； 1 2 1 2 1 2 1 2 ；
a2
2 0b a2 b2
a21 (y y )(y y ) a
2 y
最后整理得： 1 2 1 22 1 k
0
b (x1 x2 )(x1 x2 ) b
2 x0
a2 (y1 y2 )(y1 y2 ) a
2 y0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1 2 1 k b (x1 x2 )(x1 x2 ) b
2 x0
【典例 1-1】
2 2
（21-22 x y高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线C : 2 2 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F1，F2，过Fa b 2
的直线 l交双曲线的右支于A ，B 两点.点M 为线段BF1的中点，且 AF1 AB .若 cos AF B
1
1 ，则双曲线C4
的离心率是（ ）
A．2 B． 5 C 5． D． 3
2
【典例 1-2】
x2 y2
（21-22 高三上·浙江·期中）已知双曲线C : 2 2 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F1，F2 ，过F2的直线 la b
uuur uuur uuuur uuuur uuur 1
交双曲线的右支于A ， B 两点.点M 满足 AB AF1 2AM ，且 AM BF1 0，若 cos AF1B ，则双曲线的4
离心率是（ ）
A 5． B． 3 C．2 D． 5
2
【变式 1-1】
2 2
（21-22 高二上·重庆九龙坡·期中）已知双曲线C :
x y
2 2 1，F1, F2 分别是双曲线的左右焦点，过Fa b 1且垂直
于渐近线的一条直线交双曲线右支于 A，垂足为 M，若 M 是 AF1的中点，则双曲线的离心率为（ ）
4
A．2 B． 5 C 5． D．
2 3
【变式 1-2】
2 2
（2022· x y山西临汾·三模）已知双曲线 C： 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，点 A，B 分别
uuur uuur a b uuuur uuuur
在其左、右两支上，F1B 3F1A，M 为线段 AB 的中点，且F1M ^ F2M ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A 7 B 13． ． C． 7 D． 13
2 2
【变式 1-3】
2 2
（20-21 高三下· x y河北唐山·阶段练习）已知双曲线C ： 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，Fa b 2，uuur uuur
点A ， B 分别在其左、右两支上，且 AB 4F1A，M 为线段 AB 的中点，若 F2MF1 90°，则双曲线C 的离
心率为（ ）
4
A 14 7 14． B． C． D．
2 2 3 3
题型 03 焦点三角形型
【解题规律·提分快招】
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
S b2 tan F PF b
2
椭圆： 1 2DPF1F S2 2 DPF
1F2
，双曲线： tan F1PF2
2
2．顶角
椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
x2 y2
设椭圆 2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，a b
记 F1PF
sina c
2 a , PF1F2 b , F1F2P g ，则有 e .sin g sin b a
x2 y2
设双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1Fa b 2
中，记 F1PF2 a , PF1F2 b F F P g
sina c
, 1 2 ，则有 e| sin g sin b a
【典例 1-1】
2 2
（2021· x y河北保定·二模）已知F1、F2是椭圆 2 2 1 a > b > 0 的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A 、 Ba b
两点，若 AF1 :| AB |: BF1 3: 4 : 5，则该椭圆的离心率为（ ）
A 3． B． 2 3 C 3 1． D 2．
2 2 2
【典例 1-2】
x2 y2
（19-20 高二上·天津和平·期末）已知椭圆 C: 2 2 1( a > b > 0 )的左右焦点分别为F1, F2 ,如果 C 上存在一a b
点 Q,使 F1QF2 120° ,则椭圆的离心率 e的取值范围为
1 ù é1 3 ù é A． 0, ú B． ê ，1÷ C． 0,
3
ú D． ê ，1÷
è 2 2 ÷è 2 2
【变式 1-1】
2 2
（22-23 x y高三上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆 2 1 a > b > 0 的左右焦点分别F , F ，左顶点为 A，上a b2 1 2
顶点为 B，点 P 为椭圆上一点，且PF2 ^ F1F2 ，若 AB//PF1，则椭圆的离心率为（ ）
A 5． B 1． 2 C
3
． D 2．
5 3 2
【变式 1-2】
2 2
（21-22 x y高二上·北京房山·期末）已知 F1，F2是椭圆C : 2 2 1 a > b > 0 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，a b
O为坐标原点，若VPOF2 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 3 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1． ． ． ．
2 2
【变式 1-3】
2 2
（21-22 · x y高二上 黑龙江哈尔滨·期中）已知F1，F2分别为椭圆C : 2 2 1 a > b > 0 的左右焦点，O为坐标a b
2
原点，椭圆上存在一点 P ，使得 2 OP F1F2 ，设VF1PF2的面积为S ，若 S PF1 PF2 ，则该椭圆的离
心率为（ ）
1
A． B 1 3 5．
3 2
C． D．
2 3
题型 04 基本量齐次型
【解题规律·提分快招】
基本量齐次型：
基本量是指椭圆和双曲线的 a，b，c 三个量。要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－
a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)，两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不
等式)即可得 e(e 的取值范围)．
齐次式法：由已知条件得出关于 a、 c的齐次方程，然后转化为关于 e的方程求解；
【典例 1-1】
x2 y2 p
（21-22 高三上·天津南开·期末）已知双曲线 2 2 1 a > 0,b > 0 ，过原点作一条倾斜角为 的直线分别a b 3
交双曲线左、右两支于 P 、Q两点，以线段 PQ为直径的圆过右焦点F ，则双曲线的离心率为（ ）.
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 D． 2
【典例 1-2】
2 2
（20-21 高三下·全国·
x y
阶段练习）已知双曲线C : 2 2 1 a > 0,b > 0 的右顶点、右焦点分别为 A，F ，过a b uuur uuur uuur uuur
点 A 的直线 l与C 的一条渐近线交于点Q，直线QF 与C 的一个交点为 B，若 AQ AB AQ FB，且
uuur uuur
BQ 3FQ ，则C 的离心率为( )
A．2 B． 5 1 C 2 5． D． 2 5
3
【变式 1-1】
2 2
（19-20 x y高三上·福建泉州·阶段练习）F1, F2 是双曲线C : 2 2 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点，过Fa b 1
的直线 l
与C 的左、右两支分别交于 A, B两点，若DABF2 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A． 3 B． 7 C．2 D．3
【变式 1-2】
2 2
（2011· x y辽宁锦州·一模）过双曲线 2 2 1(a > 0,b > 0)的右顶点A 作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的a b
uuur uuur
两条渐近线的交点分别为B,C ．若 AB
1
BC ，则双曲线的离心率是
2
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
【变式 1-3】
2 2
（2019·山东临沂·一模）F1, F
x y
2 是双曲线C : 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点，直线 l 为双曲线 C 的一条a b
' '
渐近线，F1关于直线 l 的对称点为F1 ，且点F1 在以 F2 为圆心、以半虚轴长 b 为半径的圆上，则双曲线 C 的
离心率为
A． 2 B． 5 C．2 D． 3
题型 05 双曲线渐近线型
【解题规律·提分快招】
利用渐近线性质构造齐次型。双曲线渐近线性质：
（1）焦点到渐近线的距离为 b
b
（2）定点到渐近线的距离为 a
x2 y2 b2
2 - 2 1 kOM k
（3）一直线交双曲线 a b
AB 2
的渐近线于 A.B 两点。A,B 的中点为 M，则 a .
x2 - y
2
2 2 1
（4）过双曲线 a b 上任意一点 P 做切线，分别角两渐近线于 M,N 两点，O 为坐标原点则有如下结
论：
2 2
①OM·ON=a2+b2；② ON OM a b ；③ SDONM ab
【典例 1-1】
2
（2022·新疆克拉玛依· x模拟预测）已知双曲线 2 y
2 1 a > 0 的左焦点为 F，过点 F 作一条渐近线的垂线，
a
垂足为 P，△OPF 的面积为 1，则该双曲线的离心率为（ ）
3 5
A． B 5． C．2 D．
2 2 2
【典例 1-2】
2 2
（2019· x y天津红桥·二模）已知点 A 是抛物线C︰1 y2 2 px( p > 0) 与双曲线C︰2 2 2 1(a > 0，b > 0)的一条渐近线a b
的交点，若点 A 到抛物线C1的准线的距离为 p，则双曲线的离心率为
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
【变式 1-1】
2 2
（2022· · x y天津 二模）已知双曲线C : 2 1 b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2 ，点M 在C 的左支上，过点M9 b
作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 N ，若 MF2 MN 的最小值为 9，则该双曲线的离心率为（ ）
3 5
A． 2 B． 3 C． D．2 3
【变式 1-2】
x2 y2
（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线 E：2 2 1(a > 0，b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2，过Fa b 2
作一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F2 A与另一条渐近线交于点 B ，若 SVBOF 3SVAOB (O1 为坐标原点 ) ，则
双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D． 6
【变式 1-3】
2 2
（2022· x y宁夏石嘴山·一模）过双曲线 2 2 1(b > a > 0)的右顶点 A 作斜率为 1的直线，该直线与双曲线a b
的两条渐近线的交点分别为 B，C，若 A，B，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． 13 B． 10 C． 5 D． 3
题型 06 焦点三角形：焦半径型
【解题规律·提分快招】
圆锥曲线焦半径统一结论 PF ep ，（ = PFX( PFY)），其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双
1 ecos
b2
曲线而言 p
c
PF p ，（ = PFX( PFY)）
对于抛物线，则 1 cos
【典例 1-1】
2 2
（23-24 高二上· x y辽宁大连·期中）已知 P 是椭圆 2 2 1(a > b > 0) 上一点，F1 Fa b 2
分别是椭圆的左 右焦点
若VPF1F2的周长为 6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为 1，则椭圆的离心率为（ ）
1
A 1 3 3． 2 B． C． D．3 2 3
【典例 1-2】
2 2
（21-22 x y高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上a b
点 P(x, y) 到焦点F2的最大距离为 3，最小距离为 1，则椭圆的离心率为（ ）
A 1 B 3
2
． 2 ． C． D． 22 3
【变式 1-1】
2 2
（高二上· x y安徽安庆·期末）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 上任一点到两焦点的距离分别为 d1 ， d2 ，焦距为a b
2c，若 d1 ， 2c， d2 成等差数列，则椭圆的离心率为（ ）
A 1 2． 2 B． 2
C 3
3
． D．
2 4
【变式 1-2】
2 2
（19-20 高二上·天津·期末）已知F x y1、F2是椭圆 2 2 1(a > b > 0)的左 右焦点，点 P 为抛物线a b
y2 8ax(a > 0)准线上一点，若△F1PF2 是底角为15°的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A 3 1． 3 1 B． 2 1 C． D 2 1．
2 2
【答案】A
【变式 1-3】
x2 y2
（2023·全国·模拟预测）已知 F1，F2分别是椭圆C ： 2 2 1 a > b > 0 的左，右焦点，A 是椭圆的上顶点，a b
3
过点 A 且斜率为 的直线上有一点 P，满足VPF1F2是以 F1F2P 为顶角的等腰三角形，其中 PF1F2 30°，
4
则椭圆 C 的离心率为（ ）
A 7 B 2 7 C 3 2 3． ． ． D．
7 7 7 7
题型 07 焦点三角形：双余弦定理型
【解题规律·提分快招】
与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分
别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算．
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1. 焦点四边形具有中心对称性质。
2. 焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3. 焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
【典例 1-1】
x2 y2
（23-24 高二上·广东广州·期末）已知椭圆C ： F F F2 2 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 1， 2，过 2的直线a buuuur uuuur
交椭圆C 于 A，B 两点，若 AF1 3 AF2 ，点M 满足 F1M 3M F2 ，且 AM ^ F1B ，则椭圆 C 的离心率为
（ ）
1 2
A 3 6． B． C． D．
3 3 3 3
【典例 1-2】
2 2
（2024· x y全国·模拟预测）已知椭圆C : 2 1 0 < b < 2 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C 交4 b
uuur uuuur uuuur QF
于点 P ，Q，若 PF1 QF2 2 PF
1
2 ，且 F1P F1F2 PF2 0，则 PF （ ）1
A 19 41． B 9 21 C 6 21 D 77 7． ． ．
10 6 5 4
【变式 1-1】
（2024 高三·全国·专题练习）已知E 为平行四边形 ABCD的边CD的中点，以 B，E 为焦点的椭圆
x2 y2 uuur uuur 2Γ : 2 2 1 a > b
a
> 0 2过点 A，D，且BD BC BE ，则椭圆G的离心率为（ ）
a b 16
1
A． B 1． 2 C
2
． D 6．
3 2 3
【变式 1-2】
2 2
（24-25 x y高三上·山东枣庄·阶段练习）已知点F1 、F2 是椭圆B : 2 2 1 a > b > 0 的左、右焦点，点M 为a b
椭圆 B 上一点，点F1关于 F1MF2的角平分线的对称点 N 也在椭圆 B 上，若 cos F MF
7
1 2 ，则椭圆 B 的离9
心率为（ ）
A 3 10 3 10． B． C． D．
6 10 3 5
【变式 1-3】
2 2
（24-25 x y高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆C : 1 b > 0 的左右焦点分别为F1，F2，过F2 2的直线2 uubuur uuuur
交椭圆 C 于 A，B 两点，若 AF1 3 AF2 ，点 M 满足 F1M 3M F2 ，且 AM ^ F1B ，则椭圆 C 的离心率为
（ ）
1 2
A． B 3． C． D 6．
3 3 3 3
题型 08 焦点三角形：双角度型
【解题规律·提分快招】
x2 y2
1
设椭圆 a
2 b2 （a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2
sina c
e
F1PF2 a PF1F2 b F中，记 , , 1F2P g ，则有 sin b sin g a .[ ]
x2 y2
设双曲线 2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF Fa b 1 2
F PF a PF F b F F P g sina c中，记 1 2 , 1 2 , 1 2 ，则有 e .| (sin g sin b ) | a
【典例 1-1】
（21-22 高二上·山西晋城·阶段练习）设 P 为椭圆上一点，且 PF1F2 30°, PF2F1 45°，其中F1, F2 为椭圆
的两个焦点，则椭圆的离心率 e 的值等于（ ）
A (2 2)(1 3) B (2 2)(1 3)． ．
2 2
C (2 2)( 3 1) D (2 2)( 3 1)． ．
2 2
【典例 1-2】
2 2
（2021· x y安徽黄山·二模）已知F1，F2分别为椭圆E : 2 2 1 a > b > 0 的两个焦点，P 是椭圆 E 上的点，a b
PF1 ^ PF2，且 sin PF2F1 = 3sin PF1F2 ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A 10 B 10． ． C 5 5． D．
2 4 2 4
【变式 1-1】
2 2
（19-20 x y高二上·江西抚州·期末）已知椭圆 2 2 1（ a > b > 0）的左右焦点分别为 F1 c,0 ，F2 c,0 ，若a b
sin PF1F2 a
椭圆上存在一点 P 使得 sin PF F c ，则这椭圆的离心率的取值范围为（ ）2 1
A． 0, 2 1 1 1B 0, ． 2 ÷ C． ,1÷ D． 2 1,1 è è 2
【变式 1-2】
2
19-20 x y
2
（ 高二上·贵州贵阳·期末）已知椭圆C： 2 2 1( a > b > 0 ) 的左右焦点分别为F1，F2，焦距为 2c.若直a b
y 3线 x c 与椭圆的一个交点 M 满足 MF2F1 2 MF1F2 ，则该椭圆的离心率等于3
A．3 5 B． 5 3 C． 3 1 D． 3 1
【变式 1-3】
2 2
（2022 高三·全国·专题练习）已知F x y1，F2分别为椭圆 2 2 1的左、右两个焦点，P 是以F1F2 为直径的圆a b
与该椭圆的一个交点，且 PF1F2 2 PF2F1，则这个椭圆的离心率为（ ）
A 3 1 3 1． 3 1 B． 3 1 C． D．
2 2
题型 09 焦点三角形：内切圆型
【解题规律·提分快招】
双曲线中，焦点三角形的内心 I 的轨迹方程为 x a( b < y < b, y 0) .
证明：设内切圆与 PF1, PF2 , F1F2 的切点分别为M , N ,T ，则由切线长定理可得
PM PN , F1M F1T , F2N F2T ,因为 PF1 PF2 F1M F2M F1N F2T 2a ，
F1F2 F1T F2T 2c，所以 F2T c a，所以点T 的坐标为 (a,0) ，所以点 I 的横坐标为定值 a.
【典例 1-1】
2 2
（24-25 x y高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2 ，点 P 是椭圆a b
S
上的一点，且点 P 在 x 轴上方，VPF F
VPF1F2
1 2的内切圆圆心为 I，若 l(2 < l 3)S 则椭圆的离心率 e 的取值VIF1F2
范围是（ ）
é1 , 1 0, 1ù é1 ,1 é1 A． ê ÷ B． C3ú ．3 2 ê 2 ÷
D． ,1÷
è ê3
【典例 1-2】
2 2
（2021· x y湖南永州·模拟预测）已知椭圆的方程为 2 2 1 a > b > 0 ，F1 F2为椭圆的左右焦点， P 为椭圆a b
上在第一象限的一点， I 为VPF1F2的内心，直线PI 与 x 轴交于点Q，若 PQ 3 IQ ，则该椭圆的离心率为
（ ）
1 1 1 2A． 2 B． C． D3 4
．
3
【变式 1-1】
2 2
（24-25 x y高三上·天津河北·期末）设 F 是双曲线 2 2 1（ a > 0，b > 0）的右焦点，O 为坐标原点，过 Fa b uuur uuur
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若△FOH 的内切圆与 x 轴切于点 B，且BF 3OB，则双曲线的
离心率为（ ）
A 2 2 7 3 2 7 4 7 5 7． B． C． D．
3 3 3 3
【变式 1-2】
2
22-23 x y
2
（ 高三上·陕西安康·阶段练习）已知椭圆C : F F2 2 1 a > b > 0 ，其左 右焦点分别为 1， 2，离心a b
1 π
率为 2 ，点 P 为该椭圆上一点，且满足 F1PF2 ，若VF1PF2的内切圆的面积为 π，则该椭圆的方程为3
（ ）
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2A． 1 B． 1 C x y x y． 1 D． 1
12 9 16 12 24 18 32 24
【变式 1-3】
x2 y2
（2023·河南·模拟预测）已知双曲线C : 2 2 1(a > 0,b > 0)的左 右焦点分别为F1, F2 F1F2 2c ，左顶点a b
为 A,O
ab
为坐标原点，以 F1F2 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点 M .若VAOM 的内切圆半径为 ，3c
则C 的离心率为（ ）
A 2 10． B 1 10 C 2 5 D 3 3． ． ．
3 3 3 3
题型 10 焦点三角形：重心型
【解题规律·提分快招】
重心：中线交点
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
M (x , y ) x x1 x y中点 ， 2 ， y 1 y20 0 0 2 0 2
椭圆中的中点弦解题步骤:
x 2 2
1
y
12 2 2 2 1
第一步：若 A(x1, y1)， B(x2 , y )
x y a b
2 是椭圆 2 2 （1 a > b > 0）上不重合的两点，则a b
，
x 2 2 2 y2
a2
2 1b
（x1 x2）(x1 x2） (y y )(y y )第二步：两式相减得 2
1 2 1 2
2 0，a b
y1 y2 AB k x1 x y y第三步： 是直线 的斜率 ，（ 2 , 1 2 ）是线段 AB 的中点（x , y ），化简可得
x1 x2 2 2
0 0
y1 y2 y y b
2 y 2
1 2 02 k
b
，此种方法为点差法。
x1 x2 x1 x a x a
2
2 0
【典例 1-1】
2022 x
2 y2
（ 高三·全国·专题练习）已知椭圆 2 2 1 a＞b＞0 的左右焦点为 F1、Fa b 2，点 P 为椭圆上一点，
VF1PF2
uur
的重心、内心分别为 G、I，若 IG l 1,0 , l 0 ，则椭圆的离心率 e 等于（ ）
A 1 B 2
1
C D 5 1． 2 ． ． ．2 4 2
【典例 1-2】
2 2
（24-25 高二上·山东青岛· x y期中）已知椭圆 2 2 1(a > c > b > 0) 的左焦点F 和下顶点A ，直线a b
l : 2x y 4 0交椭圆于M , N 两点，若F 恰好为VAMN 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
2
A． B 3 3 6． C． D．
3 2 3 3
【变式 1-1】
x2 2
（高二上·四川绵阳· y期中）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F1 ，F2 ，点Q为椭圆上一点.
uuva ubuuuv
VQF1F2的重心为G ，内心为 I ，且GI lF1F2 ，则该椭圆的离心率为（ ）
1 2 1A 2． 2 B． C． D．2 3 3
【变式 1-2】
2 2
（23-24 高二下· x y山西晋城·阶段练习）已知F1，F2是椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的两个焦点，M 为 C 的顶a b
点，若VMF1F2 的内心和重心重合，则 C 的离心率为（ ）
A 3 B 3
1
． ． C 1． 2 D．3 2 3
【变式 1-3】
23-24 x
2 y2
（ 高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 的右焦点和上顶点分别为点F c,0 b > c 和a b
点 A，直线 l : 2 x y 4 0 交椭圆于 P，Q 两点，若 F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A 3 B 2 3 C 6 2． ． ． D．
3 3 3 2
题型 11 焦点三角形：离心率范围最值型
【解题规律·提分快招】
求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
c
①求出a,c，代入公式 e ；
a
②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的齐次式，结合b2 a2 c2 转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两
边分别除以 a或 a2 转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e（ e的取值范围）.
【典例 1-1】
x2 y2
（2023·江西·二模）已知双曲线 E: 2 2 1 ,其左右顶点分别为 A1 , A2 ,P 在双曲线右支上运动,若 A1PAa b 2
的角
平分线交 x 轴于 D 点, A2关于PD的对称点为 A3 ,若仅存在 2 个 P 使直线 A3D与 E 仅有一个交点,则 E 离心率
的范围为( )
A． (1, 2) B． ( 2, 2) C． ( 2, ) D． (2, )
【典例 1-2】
2 2
（2022·全国· x y模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1(a > 0,b > 0) 左、右顶点为 A，B，
a2 b2
若该双曲线上存在点 P，使得PA, PB的斜率之和为 1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
3 , 1, 3
5 , 1, 5
A． ÷÷ B． ÷÷ C． 2 ÷
D． ÷
è è 2
2 ÷ è è 2 ÷
【变式 1-1】
2
（21-22 高二·全国·课后作业）已知直线 l : y x 2 x，若椭圆C : 2 y
2 1(a >1)上的点到直线 l的距离的最大
a
值与最小值之和为 2 2 ，则椭圆C 的离心率范围是（ ）
6 ù 6
A． 0, ú B．3
,1÷÷
è è 3
ù é ù
C． 0,
2 2
2 ú
D． ê ,1ú
è 2
【变式 1-2】
é7
23-24 · · x b2 ,
9 b2 ù（ 高二上 湖南长沙 期中）焦点在 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ê ú，则椭圆离心 2 2
率的范围是（ ）
é 29 , 65
ù é 31 67 ù é 33 65 ù é 34 69 ù
A． ê ú B． , C． , D．7 9 ê 7 9 ú ê 7 9 ú ê
,
7 9 ú
【变式 1-3】
x2 y2 π
（2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线C ： 2 2 1（ a > 0，b > 0）右焦点为F2，过F2倾斜角为 的直线a b 4
与双曲线右支交于A ， B 两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． 1, 2 1, 3 6 3B． ÷ C． , , D．2 2 ÷ 2 ÷è è è
【答案】A
题型 12 定比分点型
【典例 1-1】
x2 y2
（22-23 高二上·北京东城·期中）已知双曲线 C： 2 2 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F，关于原点对称的两点a b uuur uuur
A、B 分别在双曲线的左、右两支上，以 AB 为直径的圆恰好过右焦点 F，3BF FC ，且点 C 在双曲线上，
则双曲线的离心率为（ ）
A 10． B 10． C 5． D 2 3．
3 2 2 3
【典例 1-2】
2
22-23 x y
2
（ 高三上·天津南开·阶段练习）已知双曲线H : 2 2 1 a > 0,b > 0 的右焦点为F ，关于原点对称的
uuur uuur a b uuur uuur
两点A ， B 分别在双曲线的左、右两支上， AF FB 0 ，3BF 2FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离
心率为（ ）
A． 2 B 37． C
10
． D 2 3．
5 2 3
【变式 1-1】
2 2
（22-23 x y高二上·江西宜春·阶段练习）已知双曲线C ： 2 2 1 a > 0,b > 0 的右焦点为F ，关于原点对称a b
uuur uuur uuur uuur
的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上， AF FB 0 ，3BF FC ，且点 C 在双曲线上，则双曲线的离
心率为（ ）
A 10 B 10 C 5 2 3． ． ． D．
3 2 2 3
【变式 1-2】
2 2
（2024· x y浙江台州·二模）设F1，F2是双曲线C ： 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点，点M , N 分别在双曲a b
p uuuur uuuur
线C 的左、右两支上，且满足 MF2N ， NF2 2MF1 ，则双曲线C 的离心率为（3 ）
7 5
A．2 B． C． 3 D．3 2
【变式 1-3】
x2 y2
（24-25 高三下·天津·开学考试）已知F1, F2 分别是双曲线E : 2 2 1 a > 0, b > 0 的左、右焦点，焦距为a b
π uuur uuur
4，若过点F1且倾斜角为 的直线与双曲线的左、右支分别交于 A, B两点， AB 2AF ，则该双曲线的离6 1
心率为（ ）
A 2 3． B 4 3． C． 3 D． 2
3 3
题型 13 共焦点型椭圆双曲线离心率
【解题规律·提分快招】
椭圆与双曲线共焦点F1、F2 ，它们的交点 P 对两公共焦点F1、F2 的张角为 F1PF2 2 ，椭圆与双曲线的
sin2 cos2
离心率分别为 e1 、 e2，则． 2 2 1e1 e2
【典例 1-1】
（2021·江西·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2 的焦点相同，离心率分别为 e1 ， e2，且满足 e2 5e1 ， F1，
F2 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 F1PF2 120°，则双曲线C2 的离心率为
（ ）
3
A． 2 B． 3 C．2 D． 22
【典例 1-2】
（2018·山东·一模）我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1, F2 是一
o
对相关曲线的焦点，e1,e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，若 P 为它们在第一象限的交点， F1PF2 60 ，则
双曲线的离心率 e2
A． 2 B． 2 C． 3 D．3
【变式 1-1】
3 2 2 2
（19-20 x y x y高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆C1 : 2 2 1 a > b > 0 与双曲线C2 : 2 2 1 c > 0,d > 0 的焦点a b c d
相同，F1，F2分别为左焦点和右焦点，椭圆C1和双曲线C2 在第一象限的交点为 P ，若 F1PF2 ，椭圆的
离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则下列选项中正确的是（ ）
2 2 cos sin sin
2 2
÷ ÷ ÷ cos ÷
A． 2 ÷ 2 ÷ 1 B． 2 2 1
e1 ÷ e2 ÷ e
÷ e ÷1 ÷ 2 ÷
è è è è
2 2
tan 2 2 2 ÷ 1 1
tan ÷
C． ÷ ÷ 1 D．e ÷
2 ÷ 1
1 ÷ è e2 è e1 e2 ÷
è è
【变式 1-2】
x2 y2 x2 y2
（21-22 高二·全国·课后作业）已知椭圆C1 : 2 2 1（ a1 > b1 > 0 ）与双曲线Ca b 2
:
a2
2 1（ a2 > 0，
1 1 2 b2
b2 > 0）有公共焦点 F1， F2，且两条曲线在第一象限的交点为 P．若VPF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，
1 1
曲线C1，C2 的离心率分别为 e1 和 e2，则 e e （ ）1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-3】
（2022 海南·一模）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是
o
一对相关曲线的焦点， P 是它们在第一象限的交点，当 F1PF2 30 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是
（ ）
A．7 4 3 B． 2 3 C． 3 1 D． 4 2 3
题型 14 共焦点范围最值型
【典例 1-1】
（21-22 高三上·山东德州·）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条
曲线在第一象限的交点为 P， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离
心率分别为 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D． ]
【典例 1-2】
（高二上·重庆·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线
在第一象限的交点为 P ，若DPF1F2 是以PF1为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 ， e2，则
e1·e2 的取值范围是
1 1
A． (0, ) B． (0, ) C． (
1 , 1 1 ) D． ( , )
3 2 3 3 2
【变式 1-1】
（20-21 高三下·河南·阶段练习）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为
F1、F2 ．这两条曲线在第一象限的交点为 P ，VPF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若 PF1 8，记椭圆与
双曲线的离心率分别为 e1、e2 ，则 e1 e2的取值范围是（ ）
1 , 1 1 A． 9 ÷
B． , ÷ C． , 5 3 ÷
D． 0,
è è è
【变式 1-2】
（高二·湖北武汉·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲
线在第一象限的交点为 P ，VPF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若 PF1 8，椭圆与双曲线的离心率分别
1
为 e1、 e2，则 e1 e 的取值范围是（ ）2
0, 1 1 4 4A． ÷ B． , ÷ C． , 2
1
3 ÷
D． , ÷
è 2 è 2 3 è è 2
【变式 1-3】
（2023·湖南长沙·模拟）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条曲线
在第一象限的交点为 P，DPF1F2 是以 PF1为底边的等腰三角形，若 PF1 10，椭圆与双曲线的离心率分别
为 e1,e2 ，则 e2 e1的取值范围是
(2 , ) (4A． B． , )
3 3
2 2 4
C． (0, ) D ( , )3 ． 3 3
题型 15 离心率压轴单选题
【解题规律·提分快招】
求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
c
一：求出a,c，代入公式 e 计算；
a
二：只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的齐次式，结合b2 c2 a2 转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以 a或 a2 转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e（ e的取值范围）.
【典例 1-1】
x2 y2
（2024·天津·二模）设双曲线C ： 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2 2 2，过坐标原点O的直线a b uuuur uuuur
与双曲线 C 交于 A，B 两点， F1B 2 F1A ，F 22 A F2B 2a ，则 C 的离心率为（ ）
A． 7 B． 6 C． 5 D．2
【典例 1-2】
2 2 2 2
（24-25 x y x y高二上·天津东丽·阶段练习）已知椭圆 2 1 b > 0 与双曲线 2 1 a > 0 有公共焦点，F9 b a 4
为右焦点，O为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点 P ，且满足OP ^ FP，则椭圆的
离心率为（ ）
A 21． B 7 5 3． C． D．
3 3 3 3
【变式 1-1】
2 2
（22-23 高二上·天津静海· x y期中）设椭圆 （a > b > 0)2 2 1 的左、右焦点分别为F1( c,0)，F2 (c,0)，点a b
N (c, a ) 3在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足 MF1 MN < F1F2 恒成立，则椭圆离心率 e的取值范2 2
围是
A (0 2． ， ) B 2 2 5． ( ，1) C． ( ，) D． (
5 ,1)
2 2 2 6 6
【变式 1-2】
x2 y2
（2024·天津武清·模拟预测）双曲线C : 2 2 1 a > 0,b > 0 的左顶点为 A，右焦点为F ，过点 A 且倾斜a b
π
角为 的直线 l顺次交两条渐近线和C 的右支于M、N、B，且 AB ^ OM ，下列结论不正确的是（
6 ）
A．离心率为 2 B． AM MN
C． S△OAM S
2
△OBN D． SVABF 3a
【变式 1-3】
2 2
（2024·
x y
天津·一模）过双曲线C : 2 2 1 a > 0,b > 0 的左焦点F 作圆 x
2 y2 a2 的切线，切点为A ，直
a uuurb uuur
线FA交直线bx ay 0 于点 B ．若BA 3AF ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A． 2 B． 5 C 35 2 6． D．
5 3
题型 16 离心率压轴填空题
【典例 1-1】
2 2
（23-24 x y高二上·天津·期中）已知椭圆 2 2 1 a > b > c > 0 的左 右焦点分别为F1, F2 ，若以F2为圆心，b ca b
3
为半径作圆F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为T ，且 PT 的最小值为 a c ，则椭圆的离心率 e
2
是 .
【典例 1-2】
（22-23 高二上·天津静海·期中）已知椭圆C1与双曲线C2 有公共焦点F1，F2 ，M 为C1与C2 的一个交点，
MF1 ^ MF2，椭圆C1的离心率为 e1，双曲线C2 的离心率为 e2，若 e2 2e1，则 e1 ．
【变式 1-1】
x2 y2
（24-25 高三下·山东聊城·开学考试）已知椭圆 C： 2 2 1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，焦距a b
为 2c，点 P 为 C 在第一象限上一点，直线PF1与 y 轴交于点 M， PF2M MF2F1，若直线PF1的斜率为
1
2 ，则 C 的离心率为 ．
【变式 1-2】
2 2
（23-24
x y
高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线C : 1 a > 0,b > 0 的左 右焦点分别是F , F2 2 1 2 .点Ma b
3
为C 左支上的一点，过F2作与 x 轴垂直的直线 l，若M 到 l的距离 d 满足 MF2 d ，则C 的离心率 e的取2
值范围为 .
【变式 1-3】
x2 y2
（2023·云南昆明·一模）椭圆C ： 2 2 1 a > b > 0 的左，右焦点分别为F1，Fa b 2，上顶点为
A 0,1 ，离
2
心率为 ，直线 y kx m k > 0 将△AF1F2分成面积相等的两部分，则m 的取值范围是 .2
冲高考
2 2
1 2020· · E : x y 1 5．（ 安徽马鞍山 二模）已知双曲线 2 2 的离心率为 ，过E 的左焦点 F ( 5,0)作直线 l，直a b 2
uuur uuur uuur
线 l与双曲线E 分别交于点 A, B，与E 的两渐近线分别交于点C, D ，若 FA AC ，则 | BD | .
x2 22 y．（19-20 高三上·浙江绍兴·期末）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2， P 是椭圆上a b
任意一点，直线F2M 垂直于OP 且交线段F1P于点M ，若 F1M 2 MP ，则该椭圆的离心率的取值范围
是 .
3．（2022 高二上·全国·专题练习）已知F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且
2 e
PF 21 > PF2 ，线段PF1的垂直平分线过F2 ，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 e 2 的最小值1
为 ．
4 x
2 y2
．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知椭圆C : 1(a > b > 0) ，C 的上顶点为A ，两个焦点为 F1，Fa2 b2 2
，
1 96
离心率为 2 ．过
F1且垂直于 AF2 的直线与椭圆C 交于D，E两点， DE ，则VADE 的周长是 ．13
5．（2023·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆 E 以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为 A，
B，点 P 为第一象限内椭圆上的一点，P 关于 x 轴的对称点为 Q，过 P 作椭圆的切线 l，若 l ^ AP，且△APQ
的垂心恰好为坐标原点 O，记椭圆 E 的离心率为 e，则 e2的值为 .专题 18 圆锥曲线离心率归类
目录
题型 01 定义型 ....................................................................................................................................................................1
题型 02 中点型（点差型） ..............................................................................................................................................4
题型 03 焦点三角形型 ........................................................................................................................................................6
题型 04 基本量齐次型 ........................................................................................................................................................9
题型 05 双曲线渐近线型 ..................................................................................................................................................11
题型 06 焦点三角形：焦半径型 ......................................................................................................................................14
题型 07 焦点三角形：双余弦定理型 ..............................................................................................................................16
题型 08 焦点三角形：双角度型 ....................................................................................................................................20
题型 09 焦点三角形：内切圆型 ......................................................................................................................................22
题型 10 焦点三角形：重心型 ..........................................................................................................................................26
题型 11 焦点三角形：离心率范围最值型 ......................................................................................................................29
题型 12 定比分点型 ..........................................................................................................................................................33
题型 13 共焦点型椭圆双曲线离心率 ..............................................................................................................................36
题型 14 共焦点范围最值型 ..............................................................................................................................................38
题型 15 离心率压轴单选题 ..............................................................................................................................................40
题型 16 离心率压轴填空题 ..............................................................................................................................................44
题型 01 定义型
【解题规律·提分快招】
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得 a、 c的值，根据离心率的定义求解离心率 e的值；
特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
1.椭圆第一定义： |PF1 | | PF2 | 2a
双曲线第一定义： ||PF1 | | PF2 || 2a
2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
|PF1 | 2a | PF2 |（椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减）
【典例 1-1】
x2 2
（2022·福建厦门· y模拟）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交a b
于 A, B两点，若DF1AB是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A 2． B． 2 3 C． 5 2 D． 6 3
2
【答案】D
【详解】试题分析：设 F1F2 2c, AF1 m ，若DF1AB是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ AB AF1 m， BF1 2m．由椭圆的定义可知DF1AB的周长为 4a，∴ 4a 2m 2m，
m 2 2 2 2(2 2)a． ∴ AF2 2a m (2 2 2)a ． ∵ AF1 AF2 F1F2 ， ∴ 4(2 2)2 a2 4( 2 1)2 a2 4c2 ，
∴ e2 9 6 2 ， e 6 3 ．
考点：椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着
重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若DF1AB是以A 为直
角顶点的等腰直角三角形，得出 AB AF1 m， BF1 2m，再由椭圆的定义，得到DF1AB的周长为 4a，
列出a,c的关系式，即可求解离心率.
【典例 1-2】
2 2
（20-21 x y高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆 2 2 1(a > b > 0) ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭a b
圆上存在一点 P，使得 PF1 PF2 2b ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． (0,
1] 1B．[ .1) C 2 2．
2 2 (0, ]
D．[ ,1)
2 2
【答案】D
【分析】结合椭圆定义求出焦半径 PF1 ，利用 PF1 a c 可得离心率的不等关系，求得其范围．
ì PF1 PF2 2b， c c
【详解】 í 所以 | PF1 | a b，又 | PF1 |≤ a c ，所以b c ，1 > e
PF1 PF2 2a
2 2
， a b c
2
，故选：D．
2
【变式 1-1】
x2 y2
（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2， A 2,1 a b
为椭圆C 内一点，对称中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲线 E 经过点 3,1 ，点Q a,b 在E 上，
若椭圆C 上存在一点 P ，使得 | PA | | PF2 | 4 ，则C 的离心率的取值范围是（ ）
é2 2 2 2 ù é2 2 2
A． ê ,5 3 ú
B． ê ,
5 2 ÷
÷
2 ù
C． ,
2 2 2
2 3 ú
D． 0,
è è 2
÷÷
【答案】B
x2 y2
【分析】根据题意求出双曲线E 的方程为 1，由 | PA | | PF2 | 4 及椭圆的性质可知
2 2
PA PF1 4 2a，再根据点Q a,b 在E 上和 A 2,1 为椭圆C 内一点，求出 a的取值范围进而即可得到
离心率的取值范围.
【详解】因为等轴双曲线E 经过点 3,1 ，所以将 3,1 代入 x2 y2 t 2可得双曲线E 的方程为
x2 y2
1，
2 2
由点Q a,b 在E 上，得 a2 b2 2 ，所以椭圆C 的左焦点F1的坐标是 2,0 ，
因为 PA PF2 4，所以 PA 2a PF1 4，即 PA PF1 4 2a，
又 PA PF1 AF1 1，当且仅当P, A, F1 共线时等号成立，
所以 4 2a 1
3 5 2 1 2 1
，解得 a ①，又因为点 A 2,1 在椭圆C 内，所以2 2 a2 2 <1，即b a2 a2 <1， 2
2 2 a 5 2 1 1解得a2 < 1（舍去）或 a > 4 ②，由①②得 < ， < ，2 5 a 2
é
所以 e
c 2 2 2 2
a a ê
,
5 2 ÷÷，故选：
B
【变式 1-2】
x2 y2
（24-25 高三上·河南·期末）设椭圆 E : 2 2 1 a > b > 0 的一个焦点为 F 3,0 ， A 2, 3 为 E 内一点，a b
若E 上存在一点M ，使得 MA MF 10，则E 的离心率的取值范围是（ ）
é1 3 é1 3ù
A． ê , B． , 2 4 ÷ ê2 4ú
é1 3
C． ê ,12 ÷
D． 0, ÷
è 4
【答案】B
x2 y2
【分析】令椭圆E : 2 2 1的左焦点为F ，利用椭圆的定义可求出 AM MF 的最大值和最小值，即可a b
得出 a的取值范围，即可求得椭圆E 的离心率的取值范围.
2 2
【详解】令椭圆E : x y 1的左焦点为F ，则F 3,0 ，由椭圆定义知 MF MF 2a2 2 ，则a b
AM MF 2a AM MF ，设直线 AF 交椭圆E 于M1、M 2 两点（如图），
2
而 AM MF AF 2 3 2 3 2，即 2 AM MF 2，
当且仅当点M 、A 、F 共线时取等号.当点M 与M1重合时， AM MF 2 ，则 AM MFmax 2a 2max ，
当点M 与M 2 重合时， AM MF 2min ，则 AM MF 2a 2min ，
所以 2a 2 10 2a 2，即 4 a 6 ，经检验，此时点 A 2, 3 在E 内，
1 3 3
所以 e .故选：B.
2 a 4
【变式 1-3】
x2 y2
（2022 河北石家庄·模拟预测）已知F1, F2 是双曲线 Fa2
2 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点，过 1的直线与双曲线b
的两支分别交于 A, B两点（A 在右支，B 在左支）若DABF2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B． 5 C． 6 D． 7
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可得DABF2 的边长为 4a，然后在DAF F a,c1 2 中应用余弦定理得 的等式，从而求
得离心率．
【详解】由题意 AF1 AF2 2a， BF2 BF1 2a ，又 AF2 BF2 AB ，
∴ AF1 BF1 AB 4a，∴ BF1 2a ，
在DAF 2 2 21F2 中 F1F2 AF1 AF2 2 AF1 AF2 cos 60°，
4c2即 (6a)2 (4a)2 2 6a 4a
1
2 28a
2，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用 a表示，然后用余
弦定理建立关系式．
题型 02 中点型（点差型）
【解题规律·提分快招】
x 2 y 2 x 2 y 2
设直线和曲线的两个交点 A(x1, y1)， B(x , y 1 1 2 22 2 ) ，代入椭圆方程，得 2 1； 1；a b2 a2 b2
x 2 x 2 y 2 y 2 (x x )(x x ) (y y )(y y )
将两式相减，可得 1 2 1 2 ； 1 2 1 2 1 2 1 2 ；
a2 b2
0 a2 b2
a21 (y y
2
1 2
)(y1 y2 ) a y
最后整理得： 2 1 k
0
b (x x )(x x ) b2
1 2 1 2 x0
a2 (y1 y2 )(y1 y
2
2 ) a y0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1 2 1 k b (x1 x2 )(x1 x2 ) b
2 x0
【典例 1-1】
2 2
（21-22 高三上· x y福建厦门·阶段练习）已知双曲线C : 2 F F Fa b2
1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 2
1
的直线 l 交双曲线的右支于A ，B两点.点M 为线段BF1的中点，且 AF1 AB .若 cos AF1B ，则双曲线C4
的离心率是（ ）
A．2 B 5． 5 C． D． 3
2
【答案】A
【分析】设 AF1 m ，根据双曲线的定义得出m 8a，从而求出 F1B 4a, F2B 2a，在△BF1F2 中利用余弦
定理以及离心率的定义即可求解.
【详解】点M 为线段BF1的中点，且 AF1 AB ，则 AM ^ BF1 ,
设 AF1 m ，则 AB m， 又VAMF1为直角三角形，
Qcos AF B 1 1 ，即 cos AF
1
1M ，\ F M
1
m， F B
1
m，由双曲线的定义可得 AF AF 2a，
4 4 1 4 1 2 1 2
BF1 BF2 2a，\ AF1 BF1 AB 4a，\m 8a ，\ F1B 4a, F2B 2a ，
又 cos F2BF1 cos ABF2 cos
1
AF1B ，在△BF4 1
F2 中，由余弦定理可得
BF 22 BF
2
1 F1F
2
2 4a2 16a2 4c2 1 c ，\c2 4a2，\离心率 e 2 .故选：A
2 BF2 BF1 2 2a 4a 4 a
【典例 1-2】
2 2
（21-22 高三上·浙江· x y期中）已知双曲线C : F F F
a2
2 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为 1， 2 ，过b 2
的直线 l
uuur uuur uuuur uuuur uuur
交双曲线的右支于A ， B两点.点M 满足 AB AF1 2AM ，且 AM BF1 0，若 cos AF B
1
1 ，则双曲线的4
离心率是（ ）
A 5． B． 3 C．2 D． 5
2
【答案】C
【分析】根据uuu给r 定uu条ur件可uu得uur AM 垂直平分
BF1，再结合双曲 .u线uuu定r 义uuu及r 三角形余弦定理列式计算作答
【详解】因 AB AF1 2AM ，则点M 是线段BF1中点，由 AM BF1 0得 AM ^ BF1，即 AM 垂直平分BF1，
则有 F1BF2 AF1B，｜AF1 | | AB |，而 | AF1 | | AF2 | 2a，则 | BF2 | | AB | | AF2 | | AF1 | | AF2 | 2a，
又 | BF1 | 2a | BF | 4a
1
2 ，令双曲线C 的半焦距为 c，在△BF1F2 中， | F1F2 | 2c ， cos F1BF2 ，4
2 2 2
由余弦定理得： | F1F2 | | BF1 | | BF2 | 2 | BF1 | | BF2 | cos F1BF
2 2
2 ，即 (2c) (4a) (2a)
2 2 4a 2a 1 ，
4
化简得 c 2a ，所以双曲线的离心率是 e 2 .故选：C
【变式 1-1】
2 2
（21-22 x y高二上·重庆九龙坡·期中）已知双曲线C : 2 2 1，F1, F2 分别是双曲线的左右焦点，过F1且垂直a b
于渐近线的一条直线交双曲线右支于 A，垂足为 M，若 M 是 AF1的中点，则双曲线的离心率为（ ）
4
A 5．2 B． 5 C． D．
2 3
【答案】B
a
【分析】先作出辅助线，根据中位线得到 AF2 ⊥ AF1，求出直线 AF1： y x c ，直线 AFb 2 ：
y b x c ，联立后求出 A 点坐标，代入到双曲线方程，得到 c2 5a2，进而求出离心率.a
【详解】连接 AF2 ，因为若 M 是 AF1的中点，O 是F1F2 中点，所以OM 是三角形F1F2 A的中位线，所以 AF2
b a
∥OM，因为 AF1 ⊥OM
b
，所以 AF2 ⊥ AF1，因为 kOM ka ，所以 AF ， kAF ，所以直线
AF1：2 a 1 b
y a
2 2
x c AF y b x c b a y 2ab b
2 a2 2ab
①，直线 2 ： ②，联立①②得： xA ， A ，将 A ,b a c c è c c
÷
c
代入到双曲线方程中，解得： c2 5a2，所以双曲线离心率为 5 . 故选：a
B
【变式 1-2】
2 2
（2022·山西临汾·三模）已知双曲线 C x y： 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，点 A，B 分别
uuur uuur a b uuuur uuuur
在其左、右两支上，F1B 3F1A，M 为线段 AB 的中点，且F1M ^ F2M ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A 7 13． B． C． 7 D． 13
2 2
【答案】C
【分析】由条件uuu结ur合双uuu曲ur线的定义求
F a,c1M , F2M ，结合勾股定理求出 的关系，由此可得离心率.
【详解】因为F1M ^ F2M ，所以F2M ^ AB ，又 M 为线段 AB 的中点，所以 F2 A F2 B ，uuur uuur
设 AF1 x ，因为F1B 3F1A，M 为线段 AB 的中点，所以 AM MB x ， BF1 3x ，
由双曲线定义可得 AF2 AF1 2a， BF1 BF2 2a，所以 AF2 x 2a， BF2 3x 2a，又
F2 A F2 B ，
所以 x 2a 3x 2a ，故 x 2a，所以 AF2 BF2 AB 4a，由F2M ^ AB ，可得 F2M 2 3a ，
2 2 2 2 2 2
由已知F1M ^ MF2 ，所以 MF1 MF2 F1F2 ，即 4a 2 3a 2c ，
c
所以 c2 7a2 ，所以离心率 e 7 ，C 正确；故选：Ca
【变式 1-3】
2 2
（20-21 x y高三下·河北唐山·阶段练习）已知双曲线C ： 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，
uuur uuur a b
点A ， B分别在其左、右两支上，且 AB 4F1A，M 为线段 AB 的中点，若 F2MF1 90°，则双曲线C 的离
心率为（ ）
4
A 14 7 14． B． C． D．
2 2 3 3
【答案】A
【分析】若F1A m， AB 4m ，F2 A F2B n ，由F2 A F1A F1B F2B 2a求得 n 3m 3a ，进而可求
F M F M RtVF MF F M 2 F M 2 F F 22 、 1 ，在 1 2 中有 2 1 1 2 得到关于 a、c 的齐次方程，即可求离心率.
【详解】 由题意，若F1A m， AB 4m ，F2 A F2B n ，
∴ F2 A F1A F1B F2B 2a，即 n m 5m n 2a ，得 n 3m 3a ，
∵ F2MF1 90°，得F2M n
2 4m2 5a ，
∴在RtVF MF F M 2 F M 2 F F 2中， ，即5a2 9a2 4c2 ∴ e 141 2 2 1 1 2 ， .故选：A2
题型 03 焦点三角形型
【解题规律·提分快招】
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
S b2 tan F PF b
2
椭圆： 1 2DPF S 1F2 2 DPF1F2，双曲线： tan F1PF2
2
2．顶角
椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
x2 y2
设椭圆 2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF Fa b 1 2
中，
记 F1PF2 a , PF1F2 b , F1F2P g
sina c
，则有 e .
sin g sin b a
x2 y2
设双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的两个焦点为 Fa b 1
、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
sina c
中，记 F1PF2 a , PF1F2 b , F1F2P g ，则有 e| sin g sin b a
【典例 1-1】
2 2
（2021· x y河北保定·二模）已知F1、F2是椭圆 2 2 1 a > b > 0 的两个焦点，过F 的直线与椭圆交于A 、 Ba b 2
两点，若 AF1 :| AB |: BF1 3: 4 : 5，则该椭圆的离心率为（ ）
A 3 B 2 3 C 3 1 D 2． ． ． ．
2 2 2
【答案】D
o
【分析】利用勾股定理得出 F1AF2 90 ，利用椭圆的定义求得 AF1 、 AF2 ，利用勾股定理可得出关于 a、
c的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】如下图所示，设 AF1 3t ，则 AB 4t， BF1 5t
2 2 2
，所以， AF1 AB BF1 ，
所以， F1AF2 90
o
， 由椭圆定义可得 AF1 AB BF 12t 4a t
a
1 ，\ ，3
\ AF1 3t a ，所以， AF2 2a AF1 a ，所以，△AF1F2为等腰直角三角形，可得
AF 21 AF
2
2 F F
2
2a2 4c2 c 21 2 ，\ ，所以，该椭圆的离心率为 e .a 2
【典例 1-2】
x2 y2
（19-20 高二上·天津和平·期末）已知椭圆 C: 2 2 1( a > b > 0 )的左右焦点分别为F1, F2 ,如果 C 上存在一a b
点 Q,使 F1QF2 120° ,则椭圆的离心率e的取值范围为
1 ù é1 3 ù é 3 A． 0, 2ú B． ê
，1
2 ÷ C．
0,
2 ú
D． ê ，1
è 2 ÷
÷
è
【答案】D
o
【解析】因为当 Q 为椭圆上下顶点时 F1QF2最大，不妨让 Q 是椭圆上定点，则 F1QF2 120 ,则
F1QO 60
o ,即可求得离心率取值范围.
【详解】当 Q 是椭圆上下顶点时 F1QF2最大，∴120
o F1QF2 <180
o ,∴ 60o F1QO < 90
o
，
o é∴ sin 60 sin F1QO < sin 90
o
，∵ F1Q a, F1O c ∴
3 c 3
， <1，∴椭圆离心率取值范围为 ê ,1 ，
2 a 2
故选：D【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及标准方程，属中档难度题目.
【变式 1-1】
2 2
（22-23 x y高三上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 的左右焦点分别Fa b 1
, F2 ，左顶点为 A，上
顶点为 B，点 P 为椭圆上一点，且PF2 ^ F1F2 ，若 AB//PF1，则椭圆的离心率为（ ）
A 5 1 3 2． B． 2 C． D．5 3 2
【答案】A
P c, b
2
【分析】首先根据题意得到 ，根据 AB//PF 得到b 2c，再计算离心率即可.
è a
÷ 1
b2 b2
【详解】由题知：P c, ÷ ，因为 AB//PFa 1
，所以 a b ，整理得b 2c，è 2c a
所以b2 4c2 a2 c2 e2
1 5
，得 ， .故选：A
5 e 5
【变式 1-2】
2 2
（21-22 高二上·北京房山·期末）已知F1，F2是椭圆C :
x y
2 2 1 a > b > 0 的两个焦点，P为椭圆C 上一点，Oa b
为坐标原点，若VPOF2 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 3 3 1 3 1． 1 B． 3 1 C． D．
2 2
【答案】A
【分析】利用VPOF a,c2 为等边三角形，构造焦点三角形F1PF2 ，根据几何关系以及椭圆定义，得到 的等量
关系，即可求得离心率.
【详解】连接F1P，根据题意，作图如下： 因为VPOF2 为等边三角形，即可
得： OF1 OP OF2 c，且 F1PF2 90°, PF2F1 60°则 PF1 sin 60° F1F2 3c ，
c 2
由椭圆定义可知： PF2 2a PF1 2a 3c c ，故可得： 3 1a .故选：A.3 1
【变式 1-3】
2 2
（21-22 x y高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知F1，F2分别为椭圆C : 2 2 1 a > b > 0 的左右焦点，O为坐标a b
2
原点，椭圆上存在一点 P，使得 2 OP F1F2 ，设VF1PF2的面积为S，若 S PF1 PF2 ，则该椭圆的离
心率为（ ）
1
A． B
1
． 2 C
3
． D 5．
3 2 3
【答案】D
2 OP F F VPF F 2【分析】由 1 2 可得 1 2为直角三角形，故 S PF PF 11 2 PF1 PF2 ，且2
2
PF 21 PF
2
2 F1F
2
2 ，结合 PF1 PF2 2a
5a
，联立可得 c2 ，即得解
9
2 1
【详解】由题意 2 OP F1F2 ，故VPF1F2为直角三角形，\S PF1 PF2 PF1 PF ，2 2
2 2
2
又 PF1 PF2 PF1 PF2 4 PF
1 8a
1 PF2 PF1 PF2 ， PF1 PF2 2a \ PF1 PF2 ，2 9
VPF F PF 2 PF 2 F F 2 \( PF PF )2 2 PF PF F F 2又 1 2为直角三角形，故 1 2 1 2 ， 1 2 1 2 1 2 ，
16a2 2
即 4a2 5a 4c2 \c2 ，\e c 5 . 故选：D.
9 9 a 3
题型 04 基本量齐次型
【解题规律·提分快招】
基本量齐次型：
基本量是指椭圆和双曲线的 a，b，c 三个量。要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－
a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)，两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不
等式)即可得 e(e 的取值范围)．
齐次式法：由已知条件得出关于 a、 c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
【典例 1-1】
x2 y2 p
（21-22 高三上·天津南开·期末）已知双曲线 2 2 1 a > 0,b > 0 ，过原点作一条倾斜角为 的直线分别a b 3
交双曲线左、右两支于 P、Q 两点，以线段 PQ为直径的圆过右焦点F ，则双曲线的离心率为（ ）.
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 D． 2
【答案】A
【分析】设双曲线的左焦点为F ，连接 PF 、QF ，求得 QF 、 QF ，利用双曲线的定义可得出关于 a、 c
的等式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为F ，连接 PF 、QF ，如下图所示：
由题意可知，点O为 PQ的中点，也为FF 的中点，且PF ^ QF ，
则四边形PFQF 为矩形，故QF ^ QF
p
，由已知可知 QOF ，
3
由直角三角形的性质可得 OQ OF c，故△OQF 为等边三角形，故 QF c ，
QF FF 2所以， QF 2 3c，
c 2
由双曲线的定义可得 2a QF QF 3 1 c ，所以， e 3 1a .故选：A.3 1
【典例 1-2】
x2 y2
（20-21 高三下·全国·阶段练习）已知双曲线C : 2 2 1 a > 0,b > 0 的右顶点、右焦点分别为 A，F ，过a b uuur uuur uuur uuur
点 A 的直线 l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为 B，若 AQ AB AQ FB，且
uuur uuur
BQ 3FQ ，则C 的离心率为( )
A 2 B 5 2 5． ． 1 C． D． 2 5
3
【答案】C
【分析】由向量数量积等式推出 l⊥x 轴，求u出uur点uuQur坐u标uur，u进uur而得点uuuBr 坐uu标ur，u再uur代入uu双ur曲uu线ur 方程求解即得.
【详解】由已知得 A a,0 ，设F c,0 ，由 AQ AB AQ FB，得 AQ (AB BF ) AQ AF 0，
uuur uuur uuur uuur
所以 l ^ x轴，即 l : x a ，不妨设点Q 在第一象限，则Q a,b .设B x0 , y0 ，由BQ 3FQ ，得BF 2FQ ，
x 3c 2a
\ ìc x0 , y0 2 a c,b 0，\í ，即B 3c 2a, 2b ，Q点B x , y y 在双曲线上， 0 2b 0 0
3c 2a 2 2b 2
\ 1，整理得9c2 12ac a2 0，\9e2 12e 1 0，
a2 b2
2 5 2 5
解得 e ，或 e (负值舍去).故选 C.故选：C
3 3
【变式 1-1】
x2 y2
（19-20 高三上·福建泉州·阶段练习）F1, F2 是双曲线C : 2 2 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点，过F1的直线 la b
与C 的左、右两支分别交于 A, B两点，若DABF2 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A． 3 B． 7 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题可先通过构造几何图形，先设 AF2 为 x，再利用双曲线第一定义，列出 AF1与 AF2 的关系式，BF1
与 BF2 的关系式，利用几何关系，在△AF1F2中，利用余弦定理即可求得答案．
【详解】设 AB x ，由于△ABF2 为等边三角形，所以 AB AF2 BF2 x，所以
BF1 BF2 AF1 x x 2a ，即 AF1 2a，又 AF2 AF1 x 2a 2a ，所以 x 4a，在△AF1F2中，
2 2 2
AF1 2a， AF2 4a ，F1F2 2c ， F1AF2 120
° cos120° (2a) (4a) (2c)，所以根据余弦定理有：
2 2a 4a
1
，
2
c
整理得：5a2 c2 2a2 ，即 c2 7a2 ，所以离心率 e 7 ．故本题正确答案为 B．a
【变式 1-2】
x2 y2
（2011·辽宁锦州·一模）过双曲线 2 2 1(a > 0,b > 0)的右顶点A 作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的a b
uuur 1 uuur
两条渐近线的交点分别为B,C ．若 AB BC ，则双曲线的离心率是
2
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
【答案】C
a2 ab
【详解】试题分析：直线 l：y=-x+a 与渐近线 l1：bx-ay=0 交于 B , ，
è a b a b
÷
a2 ab
l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于 C , ÷，A（a，0），
è a b a b
uuur
AB ab , ab
uuur 2a2b 2a2b uuur
, BC , AB 1
uuur
∴ ÷ 2 2 2 2 ÷ ，∵ BC ，è a b a b è a b a b 2
ab a2b 2∴ 2 2 ，b=2a
c
，∴ c2 a2 4a2 ，∴ e2 2 5，∴ e 5a b a b a
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
【变式 1-3】
2 2
（2019· x y山东临沂·一模）F1, F2 是双曲线C : 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点，直线 l 为双曲线 C 的一条a b
渐近线，F1关于直线 l F '的对称点为 1 ，且点F
'
1 在以 F2 为圆心、以半虚轴长 b 为半径的圆上，则双曲线 C 的
离心率为
A． 2 B． 5 C．2 D． 3
【答案】B
'
【分析】根据左焦点F1与渐近线方程，求得F1关于直线 l 的对称点为F1的坐标，写出以 F2 为圆心、以半虚
'
轴长 b 为半径的圆的方程，再将F1的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．
b
【详解】因为直线 l 为双曲线 C 的一条渐近线，则直线 l : y x 因为F1, F2 是双曲线C 的左、右焦点a
所以F1（-c，0），F ' '2（c，0）因为F1关于直线 l 的对称点为F1 ，设F1 为（x，y）
y 0 b 1, y 0 b x c
2 2 2 2
则 x b a , y 2ab F ' b a 2ab解得 所以
x c a 2 a 2 c c 1
为（ , ）
c c
因为F '
2
1 是以F2为圆心，以半虚轴长 b 为半径的圆，则圆的方程为 x c y2 b2
b2 a2
2
F ' 2ab b
2 a2 2ab
2
将以 1 的（ , ）代入圆的方程得 c ÷
2
c c ÷
b
è c è c
c2
化简整理得5a2 c2 ，所以 e 5 2 所以选 Ba
题型 05 双曲线渐近线型
【解题规律·提分快招】
利用渐近线性质构造齐次型。双曲线渐近线性质：
（1）焦点到渐近线的距离为 b
b
（2）定点到渐近线的距离为 a
x2 y2 b2
2 - 2 1 kOM kAB 2
（3）一直线交双曲线 a b 的渐近线于 A.B 两点。A,B 的中点为 M，则 a .
x2 y2
2 - 2 1
（4）过双曲线 a b 上任意一点 P 做切线，分别角两渐近线于 M,N 两点，O 为坐标原点则有如下结
论：
①OM·ON=a2+b2；② ON OM a
2 b2 ③ S； DONM ab
【典例 1-1】
2
（2022· x新疆克拉玛依·模拟预测）已知双曲线 2 y
2 1 a > 0 的左焦点为 F，过点 F 作一条渐近线的垂线，
a
垂足为 P，△OPF 的面积为 1，则该双曲线的离心率为（ ）
3 5 5A． B． C．2 D．
2 2 2
【答案】B
【分析】先求出 P点纵坐标，再根据△OPF 的面积为 1 列出 a、 c的方程，即可求出 a、 c，进而求出双曲
线的离心率.
1
【详解】解：由题意，设双曲线的一条渐近线方程为： y x 因为直线FP与渐近线垂直，即 kFP aa
又且F c,0 ，所以直线FP的方程为： y 0 a x c 即 y ax ac设P x0 , y0 ，联立直线FP与渐近线
ì 1
y0 xa 0 y ac 1 ac方程得 í 解得 因为△OPF 的面积为 1，即 c 1，又 c2 20 2
y ax ac 1 a 2 1
a 1
a2
0 0
所以 a3 2a2 a 2 0化简得 a2 1 a 2 0，解得 a 2所以 c a2 1 5
c 5
所以该双曲线的离心率为 e 故选：B.
a 2
【典例 1-2】
2 2
（2019·天津红桥·二模）已知点 A 是抛物线C︰y21 2 px( p > 0)
x y
与双曲线C︰2 2 2 1(a > 0，b > 0)的一条渐近线a b
的交点，若点 A 到抛物线C1的准线的距离为 p，则双曲线的离心率为
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
【答案】A
2
【解析】根据抛物线和双曲线的对称性，设点 A 是抛物线C︰1 y 2 px( p > 0) 与双曲线
x2 y2C︰2 2 2 1(a > 0，b > 0)的一条渐近线在第一象限的交点，根据抛物线的定义可以直接求出点A 的横坐标，a b
代入抛物线方程中，可求出点 A 的纵坐标，因为点在渐近线上，得到等式，最后结合 c2 a2 b2 ，求出双
曲线的离心率.
【详解】由题意和抛物线、双曲线的对称性可设点 A 的坐标为 (x1, y1) ， (x1 > 0, y1 > 0)，根据抛物线的定义
p p p
有 x1 p x1 ， y1 p ，所以点 A 的坐标为 ( , p)，2 2 2
b b p 2 2
由题意可知：点 A 在渐近线 y x 上，所以有 p b 2a b 4a ，而
a a 2
c2 a2 b2 ，所以有 c2 5a2 e 5 ，故本题选 A.
【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，解决本题的关键是利用抛物线的定义求出点的坐标.
【变式 1-1】
2 2
（2022· · x y天津 二模）已知双曲线C : F , F
9 b2
1 b > 0 的左、右焦点分别为 1 2 ，点M 在C 的左支上，过点M
作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 N ，若 MF2 MN 的最小值为 9，则该双曲线的离心率为（ ）
3 5
A． 2 B． 3 C． D．2 3
【答案】A
【分析】由题意可知 a 3，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知 | MF2 | | MN |… | F1N | 6 ，当
且仅当点F1，M ， N 三点共线时，等号成立，从而得到 | MF2 | | MN |的最小值为b 6，求出b 的值，得到双
曲线的离心率．
C : x
2 y2
【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线， 因为双曲线 2 1 b > 0 ，9 b
\a 3，由双曲线的定义可知， | MF2 | | MF1 | 2a 6，\| MF2 | | MN | | MF1 | | MN | 6 | F1N | 6，
b
当且仅当点F1，M ， N 三点共线时，等号成立， Q渐近线方程为 y x ，即a
| bc | bc
bx ay 0 ，且F ( c,0)，\此时 | F1N | b1 ，\| MF | | MN |的最小值为b 6，a2 b2 c 2
c
\b 6 9，\b 3，所以 c a 2 b2 3 2 \离心率 e 2 ，故选：A．a
【变式 1-2】
2 2
（23-24 高三下·
x y
山东菏泽·阶段练习）已知双曲线 E：2 2 1(a > 0，b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2，过Fa b 2
作一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F2 A与另一条渐近线交于点 B，若 SVBOF 3S1 VAOB (O 为坐标原点 ) ，则
双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D． 6
【答案】D
【分析】利用已知条件求出A 点坐标，求出点F1 c,0
b
到渐近线 y x的距离 d ，结合 SVBOF 3Sa 1 VAOB
可
b d
以得到点A 到渐近线 y x的距离为 ，进而利用点到直线的距离公式求出 a与 c的关系，然后求解双曲
a 3
线的离心率.
b b
【详解】由题意知，双曲线E 的两条渐近线方程分别为 y x ， y x，
a a
b a
过点F2且与渐近线 y x 垂直的直线方程为 y x c ，a b
ì b bc
y x a a2 ab b a
联立 í a ，可解得
A , ÷，点F1 c,0 到渐近线 y x的距离 d b2 ，
y x c è c c a 1 b
b è a ÷
b·a
2 ab
S 3S b b
a c c b
因为 VBOF1 VAOB ，所以点A 到渐近线 y x的距离为 ，所以
2 3 ，即
2 2 ，所以
a 3 b c 6a1
è a ÷
c
6 ，即双曲线的离心率为 6 .故选：Da
【变式 1-3】
2 2
（2022· x y宁夏石嘴山·一模）过双曲线 2 2 1(b > a > 0)的右顶点 A 作斜率为 1的直线，该直线与双曲线a b
的两条渐近线的交点分别为 B，C，若 A，B，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． 13 B． 10 C． 5 D． 3
【答案】B
【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，再判断直线 l 与渐近线交点所在象限，从而求出交点坐标，再根
据等比中项的性质得到方程，整理可得b 3a，即可求出离心率.
x2 y2
【详解】解：因为双曲线 2 a b2
1，
所以渐近线为bx ay 0 ，
b b
因为b > a > 0，即 >1，则 < 1，则直线 l 与渐近线bx ay 0的交点位于第二象限，直线 l 与渐近线
a a
bx ay 0 的交点位于第一象限，
又A 、 B、C 三点的横坐标成等比数列，
ì a2
bx ay 0 x 2
所以直线 l : y x a 与渐近线 l1 : bx ay 0
ì
a b a ab ，即 íy x a ，解得 í ，即
C , ÷，同理可得 l
ab è a b a by
a b
2
与渐近线 l
2 : bx ay 0 B
a , ab交于 a b a b ÷，因为
A(a,0) ，且A 、 B、C 三点的横坐标成等比数列，
è
a2
2
a2
所以 ÷ a ，化简整理，解得b 3a，因为a b a b c a
2 b2 10a ，所以双曲线的离心率
è
e c 10
a
故选：B．
题型 06 焦点三角形：焦半径型
【解题规律·提分快招】
圆锥曲线焦半径统一结论 PF ep ，（ = PFX( PFY)），其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双
1 ecos
b2
曲线而言 p
c
PF p ，（ = PFX( PFY)）
对于抛物线，则 1 cos
【典例 1-1】
23-24 · · x
2 y2
（ 高二上 辽宁大连 期中）已知 P是椭圆 2 2 1(a > b > 0) 上一点，F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 a b
若VPF1F2的周长为 6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为 1，则椭圆的离心率为（ ）
1
A 1 3 3． 2 B． C． D．3 2 3
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和性质列式求 a,c ，进而可得离心率.
ì2a 2c 6 ìa 2
【详解】由题意可知： í ，解得 í ，所以椭圆的离心率 e
c 1
.故选：A.
a c 1 c 1 a 2
【典例 1-2】
x2 y2
（21-22 高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上a b
点 P (x, y) 到焦点F2的最大距离为 3，最小距离为 1，则椭圆的离心率为（ ）
2
A 1 3． 2 B． C． D． 22 3
【答案】A
【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为 a c，最小值为a c ，可求出 a,c ，即可计算出离心率
ìa c 3 c 1
【详解】设椭圆的半焦距为 c，由题意可得 í ，解得 a 2， c 1a c 1 ，所以椭圆 C 的离心率
e ，
a 2
故选：A.
【变式 1-1】
x2 y2
（高二上·安徽安庆·期末）已知椭圆 2 2 1 a > b > 0 上任一点到两焦点的距离分别为 d1， d2 ，焦距为a b
2c，若 d1， 2c， d2 成等差数列，则椭圆的离心率为（ ）
A 1 B 2． 2 ． 2
3
C 3． D．
2 4
【答案】A
【分析】由题设条件，结合椭圆的定义知：d1 d2 2a，由 d1, 2c, d2成等差数列，得到 d1 d2 4c，由此能
求出椭圆的离心率．
x2 y2
【详解】∵椭圆 + =1（ a > b > 0）上任意一点到两焦点的距离分别为 d , d
a2 b2 1 2
，
∴由椭圆的定义知： d1 d2 2a，由 d1, 2c, d2成等差数列，得到 d1 d2 4c，∴ 2a 4c ，即 a 2c ，
e c∴ = 12 故选：A．a
【变式 1-2】
2 2
（19-20 高二上·天津·期末）已知F1、F
x y
2是椭圆 2 2 1(a > b > 0)的左 右焦点，点P为抛物线a b
y2 8ax(a > 0)准线上一点，若△F1PF2 是底角为15°的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． 3 1 B 3 1 2 1． 2 1 C． D．
2 2
【答案】A
F M
【分析】利用几何性质确定VF1PF2中得 PF2M 2 =30°, F1F2 = PF2 =2c ，利用 cosPF2M =
2 = 2a c2 =
3
PF2 2c 2
可得 a,c 的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】解：如图，抛物线的准线与 x轴的交点为M
x2 y2
因为F1, F2 是椭圆 F ( c,0), F (c,0)a2
2 1(a > b > 0) 的左 右焦点，所以b 1 2
抛物线 y2 8ax(a > 0)准线为：直线 x 2a，所以M (2a,0)
因为VF1PF2是底角为15°的等腰三角形，则 PF1F2 = F1PF2 =15° 则 PF2M 2 =30°, F1F2 = PF2 =2c
F
cos PF M = 2
M
= 2a c则 2 2 =
3 c 2
，整理得： 所以离心率 e 3 1.
PF2 2c 2
2a=( 3+1)c a 3 1
故答案为：A.
【变式 1-3】
2 2
（2023·全国· x y模拟预测）已知 F1，F2分别是椭圆C ： 2 1 a > b > 0 的左，右焦点，A 是椭圆的上顶点，a b2
3
过点 A 且斜率为 的直线上有一点 P，满足VPF1F2是以 F1F2P 为顶角的等腰三角形，其中 PF1F2 30°，
4
则椭圆 C 的离心率为（ ）
A 7 2 7 3 2 3． B． C． D．
7 7 7 7
【答案】B
【分析】
3
由题意易知直线 AP 的方程为 y x b，因为VPF1F2为等腰三角形， PF1F2 30°，求出 y的值，再结合
4
三角函数和椭圆离心率的求法进行求解即可.
AP y 3【详解】椭圆的定义和几何性质由题意易知直线 的方程为 x b ①，因为VPF1F2为等腰三角形，
4
PF1F2 30°
4b 3c
，所以直线PF2 的方程为 y 3 x c ，联立①②可得 y ．3
4b 3c
如图，过点 P 向 x 轴引垂线，垂足为 H，则 PH ，
3
4b 3c
所以 PH 3 3 2b 3c 4b2 3c2 3 a2sin 60° ，即 ， b
2 ，
PF2 2c 2
b2 3 b2 2 7
所以 ，所以 e 1 .故选：B．
a2 7 a2 7
题型 07 焦点三角形：双余弦定理型
【解题规律·提分快招】
与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分
别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算．
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1. 焦点四边形具有中心对称性质。
2. 焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3. 焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
【典例 1-1】
x2 y2
（23-24 高二上·广东广州·期末）已知椭圆C ： 2 2 1 a > b > 0 的左右焦点分别为F1，Fa b 2，过
F2的直线
uuuur uuuur
交椭圆C 于 A，B 两点，若 AF1 3 AF2 ，点M 满足 F1M 3M F2 ，且 AM ^ F1B ，则椭圆 C 的离心率为
（ ）
1
A B 3
2 6
． ． C． D．
3 3 3 3
【答案】B
uuuur uuuur
【分析】由 AF1 3 AF2 、 F1M 3M F2 结合正弦定理可得 F1AM F2AM，又 AM ^ F1B ，故 AB AF1 ，
再结合余弦定理计算即可得离心率.
3 1
【详解】由椭圆定义可知 AF1 AF2 2a，由 AF1 3 AF2 ，故 AF1 a ， AF a ，2 2 2
uuuur uuuur AF1 3 AF2 AF
点M 2满足 F1M 3M F2 ，即 F1M 3 MF2 ，则 F1M 3 MF MF
，
2 2
AF1 F1M AF2 F2M AF1 sin AMF 1
AF2 sin AMF2
又 ， ，即 ，又
sin AMF1 sin F1AM sin AMF2 sin F2 AM F1M sin F1AM MF2 sin F2 AM
AMF1 AMF2 180°，故 sin AMF1 sin AMF2 ，则 sin F1AM sin F2 AM ，即 F1AM F2AM，
3 3 1
即 AM 平分 F1AF2 ，又 AM ^ F1B ，故 AB AF1 a，则 BF2 a a a，则 BF2 2 2 1
2a a a
2 2
2c 2 1 a 3 a
， cos AF F è 2
÷ 2 ÷ è 2c2 a2 1 ，
2 1
2 2c 1
2e
a ac e
2
2c 2 a2 a2 2cos BF F 4c e，由 AF2F1 BF2F1 180°，故 cos AF2F1 cos BF F 0，即2 1 2 12 2c a 4ac
2e 1 e 0 ，即 2
e 3e 1
，又 e > 0，故 e 3 .故选：B.
3
【典例 1-2】
2 2
（2024· x y全国·模拟预测）已知椭圆C : 1 0 < b < 2 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2 2的直线与C 交4 b
uuur uuuur uuuur QF于点 P，Q ，若 PF1 QF2 2 PF2 ，且 F1P F1F2 PF2 0 1，则 PF （ ）1
A 19 41． B 9 21 C 6 21 D 77 7． ． ．
10 6 5 4
【答案】A
【分析】根据向量关系得到 PF1 F1F2 ，根据椭圆的定义及线段间的关系求出 PF2 、QF2 、QF1 ，解法一，
QF1 QF1
再利用三角知识求出 c的值，进而求得 cPF 的值；解法二，再利用二级结论求出 的值，进而求 PF 的值.
uuur uuuur uuuur uuur 1 uuuur uuuur uuur 1
【详解】如图，由 F1P F1F2 PF2 F1P F1F2 F1F2 F1P 0，得 PF1 F1F2 ．
设 F1F2 2c 0 < c < 2 ，则 PF1 2c ， PF2 4 2c ，由 PF1 QF2 2 PF2 ，
1 PF2
得 QF2 8 6c， QF1 4 8 6c 6c 4 ．解法一， cos PF F 2 2 c ，由2 1 F1F2 2c
2 2 2
cos QF2F1 cos PF2F 0
8 6c 2c 6c 4 2 c1 ，得 ，2 8 6c 2c 2c
11 41 11 41 QF1 6c 4 2 19 41
整理得 2c2 11c 10 0 ，得 c ，（ c > 2，舍去）所以 3 ；
4 4 PF1 2c c 10
解法二，
x2 y2
如下图，直线 l 过椭圆 2 2 1 a > b > 0 的右焦点F ，交椭圆于点 P，Q ，a b
a2 AF
椭圆的右准线方程为 x ，根据椭圆的第二定义 e，即有 AF e AC ， OF c
c AC
，
2
设 AF 与 x轴的夹角为 a，则有 DF AF cos ，于是有 AC xC xA xC xF xD c AF cos ，c
2 2 2
可得 AF
a
c AF cos e a c AF cos c a c cos ，
è c
÷ c ÷ a a AF è c a
2 2
c cos 21 AF a a b
2 b b 1 1 2a
÷ ，可得
è a c a AF
a ，同理可得 BF a ，所以 PF QF b2 .
1 e cos 1 e cos
1 1 2 2
根据椭圆的焦半径倒数和公式得 PF QF b2 ，2 2
1 1 4
2c2 11c 10 0 c 11 41 11 41即 2 ，整理得 ，得 ，（ 4 2c 8 6c 4 c c > 2
，舍去）
4 4
QF1 6c 4 2 19 41
所以 3 .故选：A．
PF1 2c c 10
【变式 1-1】
（2024 高三·全国·专题练习）已知E 为平行四边形 ABCD的边CD的中点，以 B，E 为焦点的椭圆
x2 y2 uuur uuur a2Γ : 2
a2
b2
1 a > b > 0 过点 A，D，且BD BC BE ，则椭圆G的离心率为（ ）
16
1
A B 1 C 2 D 6． ． ． ．
3 2 2 3
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得 AB , DE ，连接 AE 并利用椭圆的定义求 AE , BD ，
再由余弦定理求 cos ABE, cos BED，易知 ABE BED π，建立方程求 a2 ,c2 间的关系，进而可得椭圆
的离心率
【详解】如下图所示： 因为E 为平行四边形 ABCD的边CD的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2
2
所以BD BC BE ED (BE EC) BE 1 CD ÷ BE 1 CD 1 a÷ BE CD BE 2 ，
è 2 è 2 4 16
AB CD 1 a DE 1 CD 1所以 ，所以 a ．连接 AE ，由椭圆的定义可知，
2 2 4
AE 2a AB 1 3 2a a a, BD 2a ED 7 a；设B c,0 ，则E c,0 ，故 BE 2c，
2 2 4
1 2 3 2 a ÷ 2c
2 a
2 2 ÷ 2 2在VABE 中， cos ABE è è 2c a ．在VBDE 中，
2 1 a 2c ac
2
2c 2 1
2 2
a 7 a ÷ ÷ 4c2 3a2
cos BED è 4 è 4 ．在平行四边形 ABCD中，AB∥CD，所以 ABE BED π ，
2 2c 1 a ac
4
2 2 2 2
所以 cos ABE cos BED 0 2c a 4c 3a，则 0，整理得 2a2 3c2，
ac ac
c c2 6
所以椭圆G的离心率为 ，故选：D．
a a2 3
【变式 1-2】
2 2
（24-25 · x y高三上 山东枣庄·阶段练习）已知点F1 、F2 是椭圆B : a2
1 a > b > 0 的左、右焦点，点M 为
b2
7
椭圆 B上一点，点F1关于 F1MF2的角平分线的对称点 N 也在椭圆 B上，若 cos F1MF2 ，则椭圆 B的离9
心率为（ ）
A 3 B 10 3 10． ． C． D．
6 10 3 5
【答案】C
【分析】确定 N 在MF2 上，设 MF1 m，由椭圆的定义用 a, m表示出 MN , MF2 , NF2 , NF1 ，由余弦定理
确定 a, m的关系m 3 a ，然后在△MF F a,c1 2 中用余弦定理求得 关系，得离心率．2
【详解】点F1关于 F1MF2的角平分线的对称点 N 必在MF2 上，因此M , F2 , N 共线， MF1 MN ，
MF1 MF2 2a，设 MF1 m，则 MF2 2a m ， MN m， NF2 MN MF2 2m 2a ，
又 NF1 NF2 2a，∴ F1N 4a 2m ，
VMF N 2 2 21 中，由余弦定理得： F1N MF1 MN 2 MF1 MN cos F1MF2 ，
∴ (4a 2m)2
7 3 1
m2 m2 2m2 m 3，化简得 a ，∴ MF1 a， MF2 a ，△MF1F2 中， FF9 2 2 2 1 2
2c ，
2 3 2 1 2 3 1 7 c 3
由余弦定理得 (2c) ( a) ( a) 2 a a ，解得 e ，故选：C．2 2 2 2 9 a 3
【变式 1-3】
2 2
（24-25 高三上· x y福建福州·阶段练习）已知椭圆C : 1 b > 0 的左右焦点分别为F1，F
2 b2 2
，过F2的直线
uuuur uuuur
交椭圆 C 于 A，B 两点，若 AF1 3 AF2 ，点 M 满足 F1M 3M F2 ，且 AM ^ F1B ，则椭圆 C 的离心率为
（ ）
1 3 2A． B 6． C． D．
3 3 3 3
【答案】B
uuuur uuuur
【分析】由 AF1 3 AF2 、 F1M 3M F2 结合正弦定理可得 F1AM F2AM，又 AM ^ F1B ，故 AB AF1 ，
再结合余弦定理计算即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可知 AF1 AF2 2a 2 2 ，由 AF1 3 AF AF
3
2 ，故 1 2
2
，
2 AF2
，
2
uuuur uuuur AF1 3 AF AF
点M 满足 F1M 3M F2 ，即 F1M 3 MF
2 22 ，则 F1M 3 MF
，
2 MF2
AF1 F1M AF F 2 2
M
又 ， ，
sin AMF1 sin F1AM sin AMF2 sin F2 AM
AF1 sin AMF1 AF2 sin AMF2
即 AMF AMF 180°F1M sin F1AM MF sin F AM
，又 1 2 ，
2 2
故 sin AMF1 sin AMF2 ，则 sin F1AM sin F2 AM ，即 F1AM F2AM，
即 AM 平分 F1AF2 ，又 AM ^ F1B ，故 AB AF
3
1 2 ，则 BF
3 1
2 2 2 2 ，则 BF1 2 2 2 2 ，2 2 2
2 2
2c 2 1 3 2 ÷ 2 2
cos AF F è 2 è 2
÷
2c2 2 2c 2 2
2
，2 1 cos BF F
c
2 1 ，
2 2c 1 2 2c 2 2c 2 2c
2
由 AF2F1 BF2F1 180°，
cos AF F cos BF F 0 2c
2 2 c2
故 2 1 2 1 ，即 0，2c 2c
2
即3c2 2 3 0，即 c ，故 e .故选：B.
3 3
题型 08 焦点三角形：双角度型
【解题规律·提分快招】
x2 y2
2 2 1
设椭圆 a b （a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2
sina c
e
F1PF2 a PF1F2 b F1F2P g中，记 , , ，则有 sin b sin g a .[ ]
x2 y2
设双曲线 2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PFa b 1
F2
sina c
中，记 F1PF2 a , PF1F2 b , F1F2P g ，则有 e .| (sin g sin b ) | a
【典例 1-1】
（21-22 高二上·山西晋城·阶段练习）设 P 为椭圆上一点，且 PF1F2 30°, PF2F1 45°，其中F1, F2 为椭圆
的两个焦点，则椭圆的离心率 e 的值等于（ ）
A (2 2)(1 3) B (2 2)(1 3)． ．
2 2
C (2 2)( 3 1) D (2 2)( 3 1)． ．
2 2
【答案】B
【分析】设 PF1 m, PF2 n，利用正弦定理，求得m, n与 c的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.
m n 2c
【详解】设 PF1 m, PF2 n, F1F2 2c，在VPF1F2中，由正弦定理得 ，sin 45o sin 30o sin105o
m n 2c
可得 o o o ，又由 PF1 PF2 m n 2a
2a 2c
，所以 ，
sin 45 sin 30 sin105 sin 45o sin 30o sin105o
3 2 1 2
o o o
所以 e
c sin105 sin(60 45 )
2 2 2 2 6 2 (2 2)(1 3)o .故选：B.a sin 45 sin 30o sin 45o sin 30o 2 1 2( 2 1) 2
2 2
【典例 1-2】
2 2
（2021·安徽黄山·二模）已知F1，F
x y
2分别为椭圆E : 2 2 1 a > b > 0 的两个焦点，P 是椭圆 E 上的点，a b
PF1 ^ PF2，且 sin PF2F1 = 3sin PF1F2 ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A 10 B 10 C 5 5． ． ． D．
2 4 2 4
【答案】B
【分析】由题意得 PF1 3 PF2 ，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.
【详解】由题意及正弦定理得： PF1 3 PF2 ，
令 PF1 3 PF2 3n
5
，则3n n 2a ，9n2 n2 4c2 a2，可得 4c2 ，2
5
所以椭圆的离心率为： e c 10 2 .故选：B
a 4 4
【变式 1-1】
2 2
（19-20 x y高二上·江西抚州·期末）已知椭圆 1（ a > b > 0）的左右焦点分别为 F1 c,0 ，F2 c,0a2 b2
，若
sin PF1F2 a
椭圆上存在一点 P使得 sin PF F c ，则这椭圆的离心率的取值范围为（ ）2 1
A． 1 10, 2 1 0, B ． ÷ C． ,1÷ D． 2 1,12 2 è è
【答案】D
【解析】利用正弦定理，结合椭圆的定义以及焦半径的取值范围列出关于 a,c 的不等式，进而可得结果.
c sin PF F PF 2a PF 2a
【详解】由正弦定理得 e 2 1 1 2 1,a sin PF F PF PF PF 因为
PF2 < a c ，
1 2 2 2 2
e c 2a 2a\ 1 > 1 2
a PF a c ，即 e > 1,\e
2 2e 1 > 0
，又Q0 < e <1,\ 2 1 < e <1，故选：D.2 1 e
【变式 1-2】
2 2
（19-20 高二上· x y贵州贵阳·期末）已知椭圆C： 2 2 1( a > b > 0 ) 的左右焦点分别为F ，Fa b 1 2，焦距为 2c.若直
y 3线 x c 与椭圆的一个交点 M 满足 MF2F1 2 MF1F2 ，则该椭圆的离心率等于3
A．3 5 B． 5 3 C． 3 1 D． 3 1
【答案】D
【解析】由直线斜率得直线倾斜角，从而DF1MF2的三个内角都能求出，可确定DOMF2 是正三角形，于是有
M (c , 3 c)，把M 点坐标代入椭圆方程，变形整理可解得e．
2 2
p p p
【详解】如图，由题意得 MF1O ，又 MF6 2
F1 2 MF1F2 ，∴ MF2F1 ， F MF ，3 1 2 2
DOMF c 3 c
2 3c2
于是 2 是正三角形，∴ M ( , c)，点M 在椭圆上，∴ 2 2 1，整理得 c
4 8a2c2 4a4 0 ，即
2 2 4a 4b
e4 8e2 4 0， e2 4 2 3 （ e2 4 2 3舍去）， e 3 1．
故选：D.
【变式 1-3】
2 2
（2022 高三·全国· x y专题练习）已知F1，F2分别为椭圆 2 2 1的左、右两个焦点， P是以F1F2 为直径的圆a b
与该椭圆的一个交点，且 PF1F2 2 PF2F1，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． 3 1 B． 3 1 C 3 1 D 3 1． ．
2 2
【答案】A
【分析】由几何关系得 F1PF2 90°，再由椭圆性质求解
【详解】由题意VPF1F2为直角三角形， F1PF2 90°，而 PF1F2 2 PF2F1，则 PF1F2 60°，又
F1F2 2c ，
∴ PF1 c ，PF2 3c ，由椭圆的定义知，PF1 PF2 c 3c 2a ，
c
∴离心率为 e 3 1．故选：A
a
题型 09 焦点三角形：内切圆型
【解题规律·提分快招】
双曲线中，焦点三角形的内心 I 的轨迹方程为 x a( b < y < b, y 0) .
证明：设内切圆与 PF1, PF2 , F1F2 的切点分别为M , N ,T ，则由切线长定理可得
PM PN , F1M F1T , F2N F2T ,因为 PF1 PF2 F1M F2M F1N F2T 2a ，
F1F2 F1T F2T 2c，所以 F2T c a，所以点T 的坐标为 (a,0) ，所以点 I 的横坐标为定值 a.
【典例 1-1】
2 2
（24-25 高二上·湖北武汉· x y期末）已知椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的左，右焦点分别为F1，F2，点 P 是椭圆a b
SVPF F
上的一点，且点 P 在 x 轴上方，VPF1F
1 2
2的内切圆圆心为 I，若 l(2 < l 3)S 则椭圆的离心率 e 的取值VIF1F2
范围是（ ）
é1
A． ê ,
1 1ù é1
÷ B． 0, ú C． ê ,1
é1
÷ D． ê ,1 3 2 è 3 2 3 ÷
【答案】C
SVPF1F2 PQ
【分析】由内切圆性质可得 S ，结合椭圆的定义即可求解.VIF F IQ1 2
【详解】连接PI 并延长，交 x 轴于点 Q，
PI PF PF PI PF PF 2a 1
则 PF1I IF1Q, PF
1 2 1 2
2I IF2Q ，则 IQ F ，所以
1Q F2Q IQ F1Q F2Q 2c e
，
SVPF1F2 PQ PI IQ PI 1 1所以 1 lSVIF F IQ IQ IQ e
，
1 2
2 1
1
由 2 < l 3得 < 1 3
é
，所以 e ,1 .故选:C.
e ê ÷ 2
【典例 1-2】
2 2
（2021· x y湖南永州·模拟预测）已知椭圆的方程为 2 2 1 a > b > 0 ，F1 F2为椭圆的左右焦点， P为椭圆a b
上在第一象限的一点， I 为VPF1F2的内心，直线PI 与 x轴交于点Q ，若 PQ 3 IQ ，则该椭圆的离心率为
（ ）
1 1 1 2A． 2 B． C． D4 ．3 3
【答案】A
【分析】连接 IF1 IF2， I 是VPF1F2的内心，得到 PQ为 F1PF2 的角平分线，即Q 到直线PF1 PF2 的距离相
PI PF1 PF2 PF1 PF2 a
等，利用三角形的面积比，得到 IQ F1Q F
，结合椭圆的离心率的定义，即可求
2Q F1F2 c
解.
【详解】如图所示，连接 IF1 IF2， I 是VPF1F2的内心，
可得 IF1 IF2分别是 PF1F2 和 PF2F1 的角平分线，
由于经过点 P与VPF1F2的内切圆圆心 I 的直线交 x轴于点Q ，
则 PQ为 F1PF2 的角平分线，则Q 到直线PF1 PF2 的距离相等，
S△PF Q PF1 QF1 PI PF PI PF1 1 2所以 S PF QF ，同理可得 IQ FQ ，△PF Q 2 2 1 IQ F2Q
，
2
PI PF1 PF2 PF1 PF2 2a a
由比例关系性质可知 IQ F1Q F2Q F1F2 2c c
.
uur
uur uur c IQe uur 1又因为PI 2IQ，所以椭圆的离心率 .a PI 2
故选：A.
【变式 1-1】
x2 y2
（24-25 高三上·天津河北·期末）设 F 是双曲线 2 2 1（ a > 0，b > 0）的右焦点，O 为坐标原点，过 Fa b uuur uuur
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若△FOH 的内切圆与 x 轴切于点 B，且BF 3OB，则双曲线的
离心率为（ ）
A 2 2 7 B 3 2 7 C 4 7． ． ． D 5 7．
3 3 3 3
【答案】A
a b c uuur uuur
【分析】首先求出 r ，由BF 3OB，通过运算得到 2b 2a c，再利用 a,b,c,e 之间的关系得到关2
于e的方程，解出e即可.
b
【详解】Q双曲线的渐近线方程为： y x，即bx ay 0 ，\F c,0 到渐近线的距离为
a
bc
FH b
b2 a2
，
a b c
\ OH c2 b2 a，则直角三角形FOH 的内切圆的半径 r ，
2
a b c uuur uuur
如图，设三角形的内切圆与FH 切于M ，则 MH r ， ，
2 BF 3OB
3 3 a b c
可得 FM BF c，\ BF MH c FH b ，即 2b 2a c，则
4 4 2
4b2 4c2
c
4a2 c2 4ac 4a2 ，所以8a2 4ac 3c2 0，由 e ，a \3e
2 4e 8 0 ，Qe >1，
e 2 2 7\ .
3
故选：A.
a b c
【点睛】关键点点睛：直角三角形内切圆的半径 r .
2
【变式 1-2】
x2 y2
（22-23 高三上·陕西安康·阶段练习）已知椭圆C : 2 2 1 a > b > 0 ，其左 右焦点分别为F1，F2，离心a b
1 π
率为 2 ，点 P 为该椭圆上一点，且满足 F1PF2 ，若VF1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为3
（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 2A 1 B 1 C y 1 D x
2 y2
． ． ． ． 1
12 9 16 12 24 18 32 24
【答案】A
π
【分析】由离心率的值，可得 a,c 的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由 F1PF2 3
及余弦定理可得 PF1 PF
1
2 的值，进而求出VF1PF2的面积，再由 S△F PF PF1 PF2 F1F2 r ，可得 a的1 2 2
值，进而求出椭圆的方程．
1 c 1 1
【详解】由离心率 e ，得 ，即 c a ．因为VF1PF2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为 r ，所2 a 2 2
π
以 πr 2 π，解得 r 1，由椭圆的定义可知 PF1 PF2 2a，在VF1PF2中， F1PF2 ，由余弦定理得3
PF 2 21 PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 F1F
2
2 ，即 PF
2
1 PF
2
2 PF1 PF
2
2 F1F2 ，
2
∴ PF PF 2 2 2 2 21 2 3 PF1 PF2 F1F2 ，∴ 3 PF1 PF2 4a 4c 3a ，可得 PF1 PF2 a ，
1 π 3 1
所以 S PF PF sin a2，而 S△F PF PF PF F F r 1 (2a 2c) 3 r a c a△F1PF2 2 1 2 ，3 4 1 2 2 1 2 1 2 2 2
3 a2 3所以可得 a ，解得 a 2 3 ， c 3 ，由 a2 b2 c2，得b 3，
4 2
x2 y2
所以该椭圆的方程为 1．故选：A．
12 9
【变式 1-3】
2
2023· · C : x y
2
（ 河南 模拟预测）已知双曲线 2 2 1(a > 0,b > 0)的左 右焦点分别为F1, F2 F1F2 2c ，左顶点a b
为 A,O
ab
为坐标原点，以 F1F2 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点 M .若VAOM 的内切圆半径为 ，3c
则C 的离心率为（ ）
A 2 10． B 1 10 C 2 5 3 3． ． D．
3 3 3 3
【答案】A
【分析】渐近线与圆联立求出M 点坐标，两点间的距离公式求出 AM 的长，利用三角形等面积可建立
a、b、c之间的等量关系，同除 a2 ，建立e的一元二次方程，求解即可.
b
【详解】由题意知 A a,0 ，双曲线C 过第一 三象限的渐近线方程为 y x ，以Fa 1
F2 为直径的圆的方程为
ì b
x2 2 2
y x, ìx a, ìx a,
y c .联立 í a 解得 í 或 í 所以M a,b y b ，则 AM (a a)
2 b2 4a2 b2 .又
x2 y2 c2 ,
y b,
OA a, OM c,VAOM ab 1 2 2 ab 1的内切圆半径为 ，所以 (a c 4a b ab ，
3c 2 3c 2
则 4a2 b2 2c a .结合 a2 b2 c2，得3c2 4ac 2a2 0，
2 10 2 10
所以3e2 4e 2 0，解得 e 或 e （舍去）.故选：A
3 3
题型 10 焦点三角形：重心型
【解题规律·提分快招】
重心：中线交点
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
x x y y
中点M (x 1 20 , y0 ) ， x0 ， y 1 22 0 2
椭圆中的中点弦解题步骤:
ì x 2 y 2
x2 y2
1 1
a2
2 1b
第一步：若 A(x1, y1)， B(x2 , y2 ) 是椭圆 2 2 （1 a > b > 0）上不重合的两点，则a b í
，
x 2 y 2 2
2 1
a2 b2
（x x ）(x x ） (y y )(y y )
第二步：两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 22 2 0，a b
y y x x y y
第三步： 1 2 是直线 AB 的斜率 k ，（ 1 2 , 1 2 ）是线段 AB 的中点（x0 , y0），化简可得x1 x2 2 2
y1 y y y
2 2
2 1 2
b y b
02 k x x x x a x 2
，此种方法为点差法。
1 2 1 2 0 a
【典例 1-1】
x2 y2
（2022 高三·全国·专题练习）已知椭圆 2 2 1 a＞b＞0 的左右焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上一点，VFa b 1
PF2
uur
的重心、内心分别为 G、I，若 IG l 1,0 , l 0 ，则椭圆的离心率 e 等于（ ）
1 2 1A B C D 5 1． 2 ． ．2 4
．
2
【答案】A
【分析】设P(x0 , y0 )，求出重心的坐标，利用VF1PF 中面积等积法可求出 a,c2 的关系，即可得椭圆离心率.
x0 y0
【详解】设P(x0 , y0 ),QG 为VF1PF2的重心，\G 点坐标为 ,3 3 ÷，è
uur y
∵ IG l 1,0 , l 0 ，∴IG∥x 轴 ∴I 的纵坐标为 0 ，在VF1PF2中， | PF1 | | PF2 | 2a,| F1F2 | 2c ，3
1
\S△F PF | F1F | | y
y
2 0 |， 又∵I 为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标 0 即为内切圆半径，1 2 2 3
内心 I 把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，
1 y 1 1 y
\S 0 0△F PF (| PF1 | | F1F2 | | PF2 |) | | . \ | F1 2 2 3 2 1
F2 | | y0 | (| PF2 1
| | F1F2 | | PF2 |) | |，3
1 1 y c 1
即 2c | y0 | (2a 2c) | 0 |，\a 2c， ∴椭圆 C 的离心率 e .故选：A2 2 3 a 2
【典例 1-2】
2 2
（24-25 高二上· x y山东青岛·期中）已知椭圆 1(a > c > b > 0) 的左焦点F 和下顶点A ，直线
a2 b2
l : 2x y 4 0 交椭圆于M , N 两点，若F 恰好为VAMN 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
2
A． B 3 3 6． C． D．
3 2 3 3
【答案】D uuur uuur
【分析】取MN 的中点E ，确定 kOE ,再结合 AF 2FE,列出等式即可求解.
【详解】
设E 为MN 的中点，设M , N 两点坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ，E
x1 x2 y1 y2
, ，
è 2 2 ÷
ì x 2 y 21 1
2 2 1 a b x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y b2 y1 y2 y1 y2 则 í 2 2 ，两式作差化简可得： 2 2
x y a b
2 a2 x x2 2 1 1 2 x1 x2 a2 b2
b2 b2 2b2
即 kOEkMN 2 ，得 2 kOE 2 ，所以 kOE 2 , F ( c,0), A(0, b)，a a 2a
uuur uuur 3c b
由F 恰好为VAMN 的重心，则 AF 2FE,即可得： c,b 2 xE c, y
E ，解得：E ,
è 2 2 ÷
2b2 b
2a2 3 2bc 2a4 9b2c2 9 a2 c2 c2 ,9c4 9a2c2 4所以 ，则 ，平方后得 2a 0，
2a2 3c
4 2 2 2 3 6 6
即9e 9e 2 0 3e 1 3e 2 0，解得： e= 或 e ，由条件c > b，所以 e .
3 3 3
故选：D
【变式 1-1】
2 2
（高二上· x y四川绵阳·期中）已知椭圆 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F1 ，F2 ，点Q 为椭圆上一点.
uuva
2 2
ubuuuv
VQF1F2的重心为G ，内心为 I ，且GI lF1F2 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A 1 2
1 2
． 2 B． C． D．2 3 3
【答案】A
x y
【分析】由题意，设 Q（x0，y0），由 G 为△F1QF2 的重心，得 G 点坐标为（ 0 ， 0 ），利用面积相等可得，3 3
1 1 y
×2c |y0|= （2a+2c）| 0 |，从而求椭圆的离心率．2 2 3
x2 y2
【详解】椭圆 2 2 1 a＞b＞0 的左右焦点分别为 F1（﹣c，0），F2（c，0），设 Q（x0，y0），a b
x y uur uuuur uur uuuur y
∵G 为△F1QF2 的重心，∴G 点坐标为 G（ 0 ， 0 ），∵ GI lF1F
0
3 3 2
，则GI ∥ F1F2 ，∴I 的纵坐标为 ，3
1
又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴ SVF1QF2 = |F1F2| |y0|，2
y
又∵I 为△F1QF2 的内心，∴| 0 |即为内切圆的半径，3
内心 I 把△F1QF2 分为三个底分别为△F1MF2 的三边，高为内切圆半径的小三角形，
1 y
∴ SVF1QF2 = （|QF1|+|F1F2|+|QF
0
2 2
|）| |，
3
1 1 y 1 1
即 ×2c |y 00|= （2a+2c）| |，∴2c=a，∴椭圆 C 的离心率为 e= ，∴该椭圆的离心率 ，故选：A．2 2 3 2 2
【变式 1-2】
2 2
（23-24 高二下·山西晋城·阶段练习）已知F x y1，F2是椭圆C : 2 2 1(a > b > 0) 的两个焦点，M 为 C 的顶a b
点，若VMF1F2 的内心和重心重合，则 C 的离心率为（ ）
1
A 3 3 1． B． C． D．
3 2 2 3
【答案】C
【分析】根据△MF1F2 的内心和重心重合，判断△MF1F2 为等边三角形，得 a 2c 即可.
x2 y2
【详解】如图所示，M 为椭圆C：2 2 1(a > b > 0)的顶点，a b
且△MF1F2 的内心和重心重合，所以△MF1F2 为等边三角形，又因为 | MF1 | | MF2 | a,| F1F2 | 2c，
c 1
所以 a 2c ，即 e .故选：C.
a 2
【变式 1-3】
x2 y2
（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆 2 1 a > b > 0 的右焦点和上顶点分别为点F c,0 b > c 和a b2
点 A，直线 l : 2 x y 4 0 交椭圆于 P，Q 两点，若 F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A 3 B 2 3 C 6 2． ． ． D．
3 3 3 2
【答案】A
b2
【分析】首先设 PQ的中点M ，由点差法得 kOM kPQ 2 ，再根据重心的性质求得点M 的坐标，联立求得a
椭圆的离心率，再结合条件b > c，即可求解.
ì x2 21 y 1 2 2 1
【详解】设P x1, y1 ，Q x2 , y
a b
2 ， PQ的中点为点M x0 , y0 ， í x2 2 ，两式相减得 2 y
2
2
2 1 a b
x1 x2 x x y y y y y1 y 2 2 21 2 1 2 1 2 0 2
y1 y2 b b b
2 2 ，化解得a b x1 x2 x x a2
，即 kOM kPQ 2 ，得 2 kOM 2 ，
1 2 a a
k 2b
2
所以 F c,0 A 0,bOM ， ， ，由 F 恰好为△APQ 的重心，2a2
uuur uuuur 3c b 3c b b
则 AF 2FM ，即 c, b 2 x0 c, y0 ，得 x0 ， y0 2 ，即M2
, ÷， k ，
è 2 2 OM 3c
2b2 b
2a2 3 2bc 4 2 2 2 2 2所以 ，则 ，平方后得 2a 9b c 9 a c2 c ，2a 3c
9c4 9a2c2 2a4 0 4，即9e 9e2 2 0 3e2 1 3e2 2 0 3 6，解得： e 或 e ，
3 3
由条件b > c，得b2 > c2，即a2 c2 > c2 0 e 2 3，得 < < ，所以 e .
2 3
题型 11 焦点三角形：离心率范围最值型
【解题规律·提分快招】
求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出 a,c
c
，代入公式 e ；
a
②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的齐次式，结合b2 a2 c2 转化为 a,c 的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以 a或 a2 转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围）.
【典例 1-1】
x2 y2
（2023·江西·二模）已知双曲线 E: 2 2 1 ,其左右顶点分别为 A1 , A2 ,P 在双曲线右支上运动,若 A1PAa b 2
的
角平分线交 x 轴于 D 点, A2关于PD的对称点为 A3 ,若仅存在 2 个 P 使直线 A3D与 E 仅有一个交点,则 E 离心
率的范围为( )
A． (1, 2 ) B． ( 2, 2) C． ( 2, ) D． (2, )
【答案】D
ìtan a b b <
2 a 2
【分析】设直线PA
b b
1的倾斜角为a ，直线PA2 的倾斜角为 b ，我们可证直线 kPD < 且 ítana tan b ，据a a
2
tan a b
b
a
此可求离心率的范围.
【详解】设直线PA1的倾斜角为a ，直线PA2 的倾斜角为 b ，由题设可得 P不为右顶点.
x22
b 1设P x , y ，则 y y y2 a2 ÷ b20 0 tan tan 0 0 0 è .a b
x a x a x2 a2 x2 a2
2
0 0 0 0 a
双曲线在P x0 , y0 处的切线斜率必存在，设切线方程为 y k x x0 y0 ，
ìb2x2 a2 y2 a2b2
由 í 可得b2x2 a2 kx y0 kx0
2 a2b2 ，
y kx y0 kx 0
2 2 2 2 2
整理得到： b a k x 2ka y0 kx0 x a2 y0 kx 20 a2b2 0，
故Δ 4k 2a4 y0 kx
2
0 4 b2 a2k 2 é a
2 y0 kx
2 a2b2 ù0 0，
a2 y2 2 2 x2 a2 k 2整理得： 0 2kx0 y0x y20 b2 0 0 k 2 b x即 2 2kx0 y0x 02 0，b a
b2x0 b
2x0 x x y y
故 k 2 ，故切线方程为： y x x 0 0a y a2 y 0 y0即 a2 b2 1.0 0
因为存在 2 个 P 使直线 A3D与 E 仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设 P在第一象限，
此时a ， b
b
均为锐角且存在唯一的 P满足题设条件.故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或 kPD < . a
b
若直线PD与渐近线平行，则 kPD ，而PD为 A1PA2 的平分线，故其倾斜角g 满足g a b g ，故a
b
a b 2 2ab tan a b tana tan b tana tan b g ，故 tan
a b b
，故 tan a b a b a2 b2 ，但 1 tana tan b 1 b
2 ,
2 2 a 1 2 2
a2 a
2 2 2
故 tana tan b 1
b 2ab 2b
b b 2b
a2 ÷
2 2 ，而 tana tan b ，由基本不等式可得 tana tan b 2 ，
è a b a a2 a2 a
当且仅当 tana tan b 即a b 时等号成立，此时PA1 //PA2 ，这不可能，故直线PD与渐近线不平行.
x x y y
若直线PD与双曲线相切，且切点为P x0 , y0 ，双曲线在 P的切线方程为： 0 0a2 1，b2
2
x0 2 b x 0
D a
2 2 b2x a2 y
故 ，0÷ a 0 0且该切线的斜率为 y 2 ，所以直线 A3D的斜率为 4 2 .è x0 0 a y0 1 b xb2
0
a4 y20
b2x b20 k x 0 y02 PA 2 1 2
tan DPA a y a y x a a b
2 ab2x
此时 1
0 0 0 0
b2
2 ，
1 x 0 k 1 b x y 0 0 a
3 y0 a2 b2 x0 y0
a2 y PA10 a
2 y0 x0 a
2 2
k b x0 y0 b x0PA 21 2 2 2 2 2
tan DPA a y 0 x0 a a y0 a b ab x而 2 2
0
1 b x0 k 1 b
2x0 y 3 2 2
，
2 PA 2
0 a y0 a b x0 y0
a y 20 a y0 x0 a
a2b2 ab2x 2 2 2 20 a b ab x0 ab x
2 2
0
a b
2 2 2 k ba3 y <0 a2 b2 x y a3 y a2 b2 x y 即 a2 b2 x y a3 y ，故 a a b ，矛盾.故直线 PD ，0 0 0 0 0 0 0 0 a
a b b
所以 tan < ，而直线 A3D的倾斜角为a b ，2 a
b
因为直线 A3D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA2 之间，故 kA3D ，a
ì a b b
tan <
2 a
b2 b 2 tan
a b
由 P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的a , b ，使得 ítana tan b ，而 2
a
2 a 1 tan2 a b
，故
2
tan a b
b
a
a 1 1 a b ÷ a 1 a b 2
a b tan
b
÷，所以
> ÷即b2 > 3a2，所以b 2 2 b 2 e 1 > 2
，故选：D.
tan ÷ è b a a
2
è 2
【典例 1-2】
2
2022· x y
2
（ 全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 1(a > 0,b > 0) 左、右顶点为 A，B，a b2
若该双曲线上存在点 P，使得PA, PB的斜率之和为 1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
3 , 3
5 5
A． ÷÷ B2 ．
1, ÷÷ C． ,
è 2 2 ÷
÷ D． 1,
è è è 2 ÷
÷
【答案】D
2b2
【分析】由题可得 y 2 x与双曲线有公共点，据此可得答案.a
【详解】易知 A( a,0), B(a,0)，设P(x, y)(y 0)
y y
，则 1，所以 2xy x2 a2 ，
x a x a
x2 y2 a2 a2 2b21 2b
2
又 2 2 ，所以 x
2 a2 y2 ，即2xy y22 2 ( y 0)，所以 y 2 x，即直线 y a b b b a a2
x与双曲线有公
ìb2x2 a2 y2 a2b2
2
共点.联立 y 2b x与双曲线方程，有 í 2b2a2
，
y 2 x a
4 2 2
y b2x2 a2 4b x2 a2b2 x2
a 4b
消去 得： 4 2 ÷ a
2
，则要使方程有根，需使
a è a
2
a2 > 4b2 4 c2 a2 c 5 5 2 .a2 e < 1 < e <4 2
故选：D
【变式 1-1】
x2
（21-22 高二·全国·课后作业）已知直线 l : y x 2，若椭圆C : 2 y
2 1(a >1)上的点到直线 l 的距离的最大
a
值与最小值之和为 2 2 ，则椭圆C 的离心率范围是（ ）
6 ù
A． 0,
6
ú B． ,13 ÷÷è è 3
ù é ù
C． 0,
2 2
2 ú
D． ê ,12 úè
【答案】A
【分析】先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去 y，由D 0求出 a的范围，设椭圆上任意一点 P
（acosθ，sinθ），然后利用点到直线的距离公式求出点 P 到直线的距离 d ，利用三角函数的性质可求得 d 的
b2 1
最值， 从而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由 e 1 可求出离心率的范围
a2
1
a2
ì y x 2
【详解】解：联立 í x2 可得（1+a22 ）x2+4a2x+3a2=0，因为直线 l 与椭圆 C 相离或相切，所以D=16a4﹣12a2
2 y 1 a
（1+a2）≤0，∴1
d | a cos sin 2 | | a
2 1sin( a ) 2 | tana a d 2 a
2 1
，其中 ， 的最小值 最大值分别为： ，
2 2 2
a2 1 2 b2 1 6 ù
，满足最大值与最小值之和为 2 2 ，∴1A.
2 è
【变式 1-2】
é7 9 ù
（23-24 高二上·湖南长沙·期中）焦点在 x 2 2轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ê b , b ú，则椭圆离心 2 2
率的范围是（ ）
é 29 65 ù é 31 67 ù é 33 65 ù é 34 69 ù
A． ê , ú B． , C． , D． ,
7 9
ê 7 9 ú ê ú ê ú 7 9 7 9
【答案】C
x2 y2
【分析】设椭圆的标准方程为 1 a > b > 0 ，不妨设矩形 ABCD的对角线 AC 所在的直线方程为：
a2 b2
y kx 4a
2b2k
（假设 k > 0 ），与椭圆方程联立可得矩形 ABCD的面积 S 4 xy 2 2 2 ，变形利用基本不等式结b a k
合题意求解即可.
x2 y2
【详解】设椭圆的标准方程为 2 2 1 a > b > 0 ，不妨设矩形 ABCD的对角线 AC 所在的直线方程为：a b
ì x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2
y kx 1（假设 k > 0 x k x a b a b k），联立 ía2 b2 ，则 2 2 1，解得： x
2 22 2 2 ， y 2 2 2 ，
y kx
a b b a k b a k
2 2 2 2 2 2
S 4 xy 4a b k 4a b 4a b 2 2ab
所以矩形 ABCD的面积为： b2 a2k 2 b 2 a2k b ，
k 2 a
2k
k
b é7 2 9 2 ù
当且仅当 k 时取等，因为点在 x 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ê b , b ，a 2 2 ú
7 b2 9 7 9 49 2ab b2 b a b b2 a2 81 b2 49 a2 c2所以 ，则 ，即 ， a2 81 a2 c2 ，即2 2 4 4 16 16 16 16
ìa2 81
2
a2 c2 16
ì c 65
a2 81 ée 33 , 65
ù
í . C.
49
，解得： í 2 ，即 ê ú 故选：
a2 c2 a2 c 33 7 9 16 a2 49
【变式 1-3】
x2 y2 b 0 F F π（2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线C ： 2 2 1（ a > 0， > ）右焦点为 2，过 2倾斜角为 的直线a b 4
与双曲线右支交于A ， B两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． 1, 2 3 6 3 B． 1, 2 ÷ C． , D． , è è 2 ÷ è 2 ÷
【答案】A
π b
【分析】根据过F2的直线 l 的倾斜角为 ，且与双曲线右支交于A ， B两点，由 <1求解.4 a
π π
【详解】因为过F2的直线 l 的倾斜角为 ，所以直线 l 斜率 k tan 1，因为直线 l 与双曲线右支交于A ，B4 4
b c b 2
两点，如图所示： 由图象知： <1，所以
a e 1 < 2
，
a ֏ a
又 e >1，所以1 < e < 2 .故选：A.
题型 12 定比分点型
【典例 1-1】
x2 y2
（22-23 高二上·北京东城·期中）已知双曲线 C： 2 2 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F，关于原点对称的两点a b uuur uuur
A、B 分别在双曲线的左、右两支上，以 AB 为直径的圆恰好过右焦点 F，3BF FC ，且点 C 在双曲线上，
则双曲线的离心率为（ ）
A 10． B 10． C 5 D 2 3． ．
3 2 2 3
【答案】B
【分析】设双曲线的左焦点为F ，连接 AF ，BF ，CF ，由题意推得四边形 AFBF 为矩形，可设
| BF | t ，则 | FC | 3t,| BF | 2a t,| CF | 3t 2a ，分别在直角三角形CBF 和直角三角形BFF 中，运用勾
股定理，结合离心率公式可得所求值．
【详解】设双曲线的左焦点为F ，连接 AF ，BF ，CF ，
由以 AB 为直径的圆恰好过右焦点 F 可得 AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形 AFBF 为矩形，
可设 | BF | t ，则 | FC | 3t,| BF | 2a t,| CF | 3t 2a ，
在直角三角形CBF 中，可得 | BC |2 | BF |2 | CF |2 ，即为 (4t)2 (2a t)2 (3t 2a)2 ，
解得 t a ，又在直角三角形BFF 中， | BF |2 | BF |2 | FF |2 ，
即为 t 2 (2a t)2 4c2，即为 a2 9a2 10a2 4c2 c 10 ，即有 e ，故选：
a 2
B．
【典例 1-2】
2 2
（22-23 高三上· x y天津南开·阶段练习）已知双曲线H : 2 2 1 a > 0,b > 0 的右焦点为F ，关于原点对称的
uuur uuur a buuur uuur
两点A ，B分别在双曲线的左、右两支上，AF FB 0 ，3BF 2FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心
率为（ ）
A 37 10 2 3． 2 B． C． D．
5 2 3
【答案】B
【分析】令双曲线左焦点F ，利用给定条件证得四边形 AFBF 为矩形，再利用双曲线定义结合勾股定理列
式求解作答.
【详解】令双曲线右焦点F (c,0) ，则其左焦点F ( c,0)，连接 AF , BF ,CF ，如图，
uuur uuur
显然 AB 与FF 互相平分于点 O，即四边形 AFBF 为平行四边形，又 AF FB 0 ，则
uuur uuur 3
AFB 90o ，因此四边形 AFBF 为矩形，令 | BF | m ，由3BF 2FC 得 | CF | m ，2
3
由双曲线定义知， | BF | 2a m,| CF | 2a m，
2
3 2 5 2 2 2
在RtVBCF 中， | CF |2 | BC |2 | BF |2 ，即 (2a m) ( m) (2a m) ，解得m a，2 2 5
12 2
在Rt△BFF 中， | BF | a,| BF | a,| FF | 2c ，而 | FF |2 | BF |2 | BF |2 ，
5 5
(2c)2 (2 a)2 (12于是得 a)2 c 37 c 37，解得 a ，所以双曲线的离心率
5 5 e
.故选：B
5 a 5
【变式 1-1】
2 2
（22-23 x y高二上·江西宜春·阶段练习）已知双曲线C ： 2 2 1 a > 0,b > 0 的右焦点为F ，关于原点对称
uuur uuur a b uuur uuur
的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上， AF FB 0 ，3BF FC ，且点 C 在双曲线上，则双曲线的离
心率为（ ）
A 10． B 10 C 5． ． D 2 3．
3 2 2 3
【答案】B
m2 n2
【分析】由F (c,0) ，令 A(m,n)且m < a ，C(x, y)，则 B( m, n)，根据题设有 2 2 2
a2
2 1、m n c 、b
2 2
C(4c 3m,3n) (4c 3m) 9n，进而有 2 2 1，将它们整理为关于 a,c 的齐次方程求离心率即可.a b
2 2
【详解】由题设F (c,0) ，令 A(m,n) m < a C(x, y) B( m, n) m n且 ， ，则 ，且 2 2 1①，a b
uuur uuur
由 AF FB (c m, n) ( m c, n) m2 c2 n2 0，即m2 n2 c2 ②，
uuur uuur x 4c 3m
由3BF FC 3(c m, n)
ì
(x c, y) í ，即C(4c 3m,3n)
y 3n
，
C (4c 3m)
2 9n2 1③ n
2 m2
又 在双曲线上，则 2 2 ，由①得： 2 1，代入③并整理得：2c
2 3mc a2 0，
a b b a2
m2b2 a4
由①②及 a2 b2 c2得： n2 2 2 2 2 2
a2
b c m m 2a 2 ，c
所以 (2c2 a2 )2 9m2c2 18a2c2 9a4 ，即 2c2 7a2c2 5a4 (2c2 5a2 )(c2 a2 ) 0，
2
显然 a2 c2 ，则 e2 c 5 e 10 .故选：B
a2 2 2
【变式 1-2】
2 2
（2024·浙江台州·二模）设F x y1，F2是双曲线C ： 2 2 1 a > 0,b > 0 的左、右焦点，点M , N 分别在双曲a b
uuuur uuuur
线C 的左、右两支上，且满足 MF2N
p
， NF2 2MF1 ，则双曲线C 的离心率为（ ）3
7 5
A．2 B． C． 3 D．3 2
【答案】B
【分析】设 NF1与MF2 的交点为 P， MF1 x ，进而根据下向量关系得VNF2P ∽VF1MP ，再结合双曲线的性
2 2
质即可得 PF2 2a x ， PN 2a
10
2x ，进而结合余弦定理求得 x a，最后在△F
3 3 3 1
MF2中利用余
弦定理求得 7a 3c ，进而可得答案.
uuuur uuuur uuuur uuuur
【详解】解：如图，设 NF1与MF2 的交点为 P， MF1 x ，因为 NF2 2MF1 ，所以 NF2 2 MF1 2x，
uuur uuuur
所以，由双曲线的定义可知： MF2 MF1 2a 2a x ， NF1 2a NF2 2x 2a ，
uuuur uuuur p
因为 NF2 2MF1 ，所以 NF2 / /MF1 ，所以VNF2P ∽VF1MP ， F1MF2 MF2N ，3
所以 PF
2 2
2 MF2 2a x PN
2 NF 2 ， 1 2a 2x ，所以，在VPNF
p
3 3 3 3 2
中， PF2N MF2N ，3
PF 2 F N 2 PN 2 π 1
所以 ，由余弦定理有： cos PF2N
2 2 cos ，
2 PF2 F2N 3 2
2 2 uuuur
代入 PF2 2a x ， PN 2a 2x ， NF2 2x ，整理得3 3 3x
2 10ax 0，
10 10 16
解得 x a， x 0（舍），所以， MF1 x a , MF3 3 2
2a x a ， F1F3 2
2c，
F M 2 F M 2 F F 2 1
所以，在△F MF 中，由余定理有： cos F MF 1 2 1 21 2 1 2 ，2 F1M F2M 2
c 7
代入数据整理得： 7a 3c ，所以，双曲线的离心率为： e .故选：B
a 3
【变式 1-3】
x2 y2
（24-25 高三下·天津·开学考试）已知F1, F2 分别是双曲线E : 2 2 1 a > 0, b > 0 的左、右焦点，焦距为a b
π uuur uuur
4，若过点F1且倾斜角为 的直线与双曲线的左、右支分别交于 A, B两点， AB 2AF1 ，则该双曲线的离6
心率为（ ）
A 2 3 B 4 3． ． C． 3 D． 2
3 3
【答案】B
【分析】首先直线方程 x 3y 2与椭圆方程联立，再根据条件，以及韦达定理，建立等量关系，即可求
离心率.
【详解】由条件可知，F1 2,0 F
π
，过点 1且倾斜角为 的直线方程为 x 3y 2，设 A x1, y1 ，B x2 , y6 2
uuur uuur ìx x 4 2x
因为 AB 2AF x x 2 1 11 ，所以 2 1, y2 y1 2 2 x1, y1 ，得 íy ，即 y2 3y1 2 y1 2y1
ìx 3y 2 22 2 2
联立 í ，得 3b a y 4 3b2 y 4b2 a2b2 0 y y 4y 4 3b
b2x2
，所以 ，
a
2 y2 a2b2 1 2 1 3b2 a2
16y2 48b
4 2 2 2 4
1 2 4b a b b 3b2 2 ，① y a2 1 y2 3y1 ，②3b2 a2 3b2 a2
16 48 2 3 2 13
由①②可得 ，又因为得
3 3b2 3b
2 a2 9，且a2 b2 4，得 a ，b ，
a2 4 4
e c 2 4 3
所以双曲线的离心率 a 3 3 .故选：B
2
题型 13 共焦点型椭圆双曲线离心率
【解题规律·提分快招】
椭圆与双曲线共焦点F1、F2，它们的交点 P对两公共焦点F1、F2的张角为 F1PF2 2 ，椭圆与双曲线的
sin2 cos2
离心率分别为 e1 、 e2，则． 1e2 21 e2
【典例 1-1】
（2021·江西·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2 的焦点相同，离心率分别为 e1 ， e2，且满足 e2 5e1 ， F1，
F2是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 F1PF2 120°，则双曲线C2 的离心率为
（ ）
3
A． 2 B． 3 C．2 D． 22
【答案】C
【分析】设 PF1 r1 ， PF2 r2 ，利用余弦定理可得 2c 2 r 2 21 r2 2r1r2cos120o，再分别利用椭圆与双曲
2 1 3
线的定义可得 r r 4b 2 4b 2 ，可得 2 + 41 2 1 e e 2 ，结合 e2 5e1 ，解方程即可得答案.3 2 1
x2 y2
【详解】设 PF1 r1 ， PF2 r2 ，在椭圆C1： 2 1中， 2c
2 r 2 r 2 2r r cos120o
a1 b
2 1 2 1 2
1
2 2
r 2 2 2 2 2 x y1 r2 r1r2 2a1 r1r2 ， \r1r2 4a1 4c 4b1 ， 在双曲线C2 ： 2 a 2 1中，2 b2
2
2c 2 r 2 r 2 2r r cos120o1 2 1 2 r1 r2
2 3r1r2 2a
2
2 3r1r2 \3r 2 2 2
4b2
1r2 4c 4a2 4b2 r1r2 ， 3
4 2 22 2 2 2 a2 c2 3 c2 a2 a2 3a2 4c2 a2 3a1 4 1 + 3\ b2 4b1 即b2 3b1 ，则 2 1 所以 2 1 2 2 2 2 4，3 c c e2 e1
1 15
又因为 e2 5e1 ，所以 2 + 2 4，解得 e2 2e e ，故选：C.2 2
【典例 1-2】
（2018·山东·一模）我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1, F2 是一
o
对相关曲线的焦点，e1,e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，若 P为它们在第一象限的交点， F1PF2 60 ，则
双曲线的离心率 e2
A． 2 B． 2 C． 3 D．3
【答案】C
【分析】设 F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为 m，分别运用
椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．
【详解】设 F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为 m，
可得 PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得 PF1=a+m，PF2=a﹣m，
由余弦定理可得 F1F 22 =PF 21 +PF 22 ﹣2PF1 PF2cos60°，
即有 4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2，
1 3
由离心率公式可得 + 4 2e 2 e 2 =4，e1e2=1，即有 e2 ﹣4e2 +3=0，解得 e2= 3故选 C．1 2
【变式 1-1】
3 2 2 2
（19-20 高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆C : x y 1 a b 0 C : x y1 2 2 > > 与双曲线 2 2 1 c > 0,d > 0 的焦点a b c d 2
相同，F1，F2分别为左焦点和右焦点，椭圆C1和双曲线C2 在第一象限的交点为 P，若 F1PF2 ，椭圆的
离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则下列选项中正确的是（ ）
2 2 2 2
cos
sin sin cos
A． 2
÷ 2 ÷ ÷ ÷ 1 B． 2 2
÷
1
e1 ÷ e
÷ ÷ ÷
2 ÷ e1 ÷ e2 ÷
è è è è
2 2 tan