大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
A
在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c 已知 ccos = asinC ．
2
(1)求角A 的大小；
(2)若b =1 2 7， cosB = ，求a的值；
7
(3)若a = 2，当VABC 的周长取最大值时，求VABC 的面积．
π 7
【答案】(1) A = (2) (3)
3 32
A A 1 π
【分析】（1）根据正弦定理得到 cos = sinA，再根据倍角公式得 sin = ，进而得到 A = ；
2 2 2 3
2 cosB 2 7 21（ ）根据 = 得 sinB = ，由正弦定理求得a的值；
7 7
（3）根据余弦定理得 4 = b + c 2 - 2bc π- 2bccos ，再利用均值不等式得b + c 4，当且仅当b = c = 2时取等
3
号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.
【详解】（1）因为 ccos
A A
= asinC ，由正弦定理得 sinCcos = sinAsinC ，
2 2
A
因为 sinC 0，所以 cos = sinA，
2
sinA 2sin A A又因为 = cos ，且 cos
A A 1
0，所以 sin = ，
2 2 2 2 2
A 0, π A又因为 ， 0,
π
，
2 è 2 ÷
A π π
所以 = ，即 A = ...............................................42 6 分3
2 VABC cosB 2 7 21（ ）因为在 中， = ，所以 sinB = ，
7 7
π a b
又因为 A = ，b =1，由正弦定理 = ，
3 sinA sinB
3
b ×sinA 1 2 7
可得 a = = =sinB 2 ................................................8 分21
7
（3）在VABC 中，由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA，
4 π
2
得 = b + c 2 - 2bc - 2bccos ，即
3 b + c
2 - 4 3bc 3 b + c 3= ÷ = b + c
2
，
è 2 4
1
所以 b + c 2 4, b + c 2 16,b + c 4，当且仅当b = c = 2时取等号，
4
所以周长的最大值为 a + b + c = 6 ，
S 1此时面积 = bcsinA = 3 ...............................................14 分
2
17．（15分）
如图所示，在几何体 ABCDEF 中， AE ^ 底面 ABCD，CF / / AE ， AD / /BC ， AB ^ AD ， AB = AD =1，
AE = BC = 2 ．
(1)求证：BF // 平面 ADE ；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
(3)若平面BDE与平面BDF 所成角的余弦值为 ，求线段CF 的长．
3
4 8
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .
9 7
【分析】（1）根据给定条件，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）求出平面BDE的法向量，利用线面角的向量法求解.
（3）由（1）（2）求出平面BDF 的法向量，再利用面面角的向量法列式求出CF 的长.
【详解】（1）由 AE ^ 底面 ABCD， AB ^ AD ，得直线 AB, AD, AE 两两垂直，
以点A 为原点，直线 AB, AD, AE 两两垂直分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0), B(1,0,0),C(1, 2,0), D(0,1,0)E(0,0, 2)，设CF = h(h > 0) F (1, 2,h)uuur uuur ，则 ，uuur uuur
显然 AB = (1,0,0)是平面 ADE 的一个法向量，而BF = (0, 2, h)，
uuur AB × BF = 0
，
uuur uuur
即BF ^ AB，因此BF / / 平面 ADE ，又BF 平面 ADE ，
所以BF // 平面 ADE .
...............................................4 分
uuur uuur uuur
（2）由（1）知，BD = (-1,1,0), BE = (-1,0,2),CE = (-1, -2,2)，
r uuurur ì m × BD = -x + y = 0 ur
设平面BDE的法向量m = (x, y, z)，则 í r uuur ，令 z =1，得m = (2, 2,1)，
m × BE = -x + 2z = 0
ur uuur ur uuur| m ×CE | 4 4
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 | cosám,CE |= ur uuur = = .....................................9 分
| m || CE | 3 3 9
uuur uuur r
（3）由（1）知，BD = (-1,1,0), BF = (0, 2, h)，设平面BDF 的法向量 n = (a,b,c) ，
r uuur
ìn × BD = -a + b = 0 r
则 í r uuur ，令 c = -2，得 n = (h,h, -2) ，
n × BF = 2b + hc = 0
ur 1
由（2）知平面BDE的法向量m = (2, 2,1)，由平面BDE与平面BDF 所成角的余弦值为 ，
3
ur r ur r
得 | cosám, n |
|umr × nr | | 4h - 2 | 1 8= = = ，解得 h = ，
| m || n | 3 2h2 + 4 3 7
8
所以线段CF 的长为 ................................................15 分
7
18．（15分）
x2 y2
椭圆C : 2 + 2 =1 a b
1
> > 0 的左焦点为F -1,0 ，离心率为 2 ．a b
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 的右顶点为D，点E的坐标为 0,1 ，过点F 的直线 l与椭圆C 交第一象限于点 P ， l与线段DE
交于点Q．若三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的 5 倍（O为坐标原点），求直线 l的方程．
x2 y2
【答案】(1) + =1(2) 3x - 4y + 3 = 0
4 3
5
【分析】首先根据三角形面积公式确定 yP = yQ ，【算法一】设直线 l方程为 x = my -1，联立直线 l和直线3
5
DE 求得点Q的坐标，思路一，根据 yP = yQ 求点 P 的坐标，代入椭圆方程，即可求解；思路二，直线 l与3
5
椭圆方程联立，求点 P 的坐标，再根据 yP = yQ ，即可求解；【算法二】设直线 l方程为 y = k x +1 ，3
k > 0 ，后面的过程同【算法一】.
ìc =1
c 1 ìa = 2 x2 y2
【详解】（1）由题意得： í = ，所以 í 所以椭圆方程为 + =1..................................3 分
a 2 b = 3 4 3
a
2 = b2 + c2
（2）由题意可知，直线 l的斜率存在且为正，
1
直线DE 方程为 y = - x +1，因为三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的 5 倍
2
1
S FD FP sin PFD FP y
∴ VFDP
FD 5
= 21 = 5 ∵
= 3
S FO ∴
= P =
V FO FQ sin PFD FQ yQ 3FOQ
2
5
又由题意可知 P 、Q均在 y 轴右侧，∴ yP = yQ .............................................8 分3
2m - 2
ì ì
y
1
= - x +1 xQ =
【算法一】设直线 l方程为 x = my -1
，由 í 2
2 + m
，解得 í
x = my -1 y 3
，
Q = 2 + m
5 5 4m - 2
思路一： yP = yQ = 所以 xP = myp -1 = 因为点 P 点在椭圆上，故将 P 点坐标代入椭圆方程整理3 2 + m 2 + m
2 4 4
得：9m2 - 24m +16 = 3m - 4 = 0 ∴ m = l x = y -1 3x - 4y + 3 = 03 所以直线 方程为 ，即 ．3
ì x2 y2
+ =1
思路二：由 í 4 3 得， 4 + 3m2 y2 - 6my - 9 = 0 Δ > 0显然成立∵ yP > 0
x = my -1
2
6m + -6m 2 - 4 4 + 3m2 3m + 6 1+ m -9 3m + 6 1+ m2 2∴ yP = = ∴ yP = 4 + 3m 52 3 =2 4 + 3m2 4 + 3m yQ 3
2 + m
4 3 2 2
整理得： 27m - 72m + 84m - 96m + 64 = 3m + 4 3m - 4 2 = 0 ∴ m 4= 3
4
所以直线 l方程为 x = y -1，即3x - 4y + 3 = 0． ..................................3 分
3
1 ì 2 - 2kìy = - x +1 xQ =
【算法二】设直线 l方程为 y = k x +1 ， k > 0 由 í 2 2k +1，解得 í ，
y = k x +1 y
3k
Q = 2k +1
y 5 5k思路一： P = yQ = ．所以由 yp = k xP +1 得 x
4 - 2k
=
3 2k +1 P 2k +1
因为点 P 点在椭圆上，故将 P 点坐标代入椭圆方程整理得：
16k 2 - 24k + 9 = 4k - 3 2 3= 0 ∴ k =
4
所以直线 l
3
方程为 y = x +1 ，即3x - 4y + 3 = 0．15 分
4
ì x2 y2
+ =1 2 2
思路二： í 4 3 得， 3 + 4k x + 8k 2x + 4k 2 -12 = 0 Δ > 0显然成立∵ xP > 0
y = k x +1
2
-8k 2 + -8k 2 2 - 4 3 + 4k 2 4k 2 -12 -4k 2 + 6 1+ k 2 y k xp +1 2k +1 1+ 2 1+ k 5∴ ∴ Px = = =P = = 22 3+ 4k 2 3+ 4k 2 y 3kQ 3+ 4k 32k +1
整理得：64k 4 - 96k 3 + 84k 2 - 72k + 27 = 4k 2 3 4k 3 2 0 k 3+ - = ∴ = 4
3
所以直线 l方程为 y = x +1 ，即3x - 4y + 3 = 0 ..................................15 分
4
19．（15分）
在正项等比数列 an 中已知 a1 + a3 =10, a3 + a5 = 40
(1)求数列 an 的通项公式；
30
(2)令bn = log2an ，若 cn = 2bn - 9，求 ci ．
i=1
(3)若在数列 bn 任意相邻两项bn ,bn+1之间插入一个实数 an ，从而构成一个新的数列 dn 求数列 dn 的前 2n
项和 S2n ．
(1) a = 2n (2) 692 (3) S = 2n+1
1 2 1
【答案】 n 2n - 2 + n + n2 2
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）得数列 cn 是首项为-7，公差为2的等差数列，利用等差数列的前n项和公式求解即可；
（3）利用分组求和即可.
【详解】（1）设正项等比数列 an 的公比为 q q > 0 ，
2
a 0 a3 + a5 a1q + a q
2
因为 3n > ，所以由题意可得 = = q
2 = 4
a a a ，解得
q = 2，
1 + 3 1 + a3
又 a1 + a3 = a1 + a q
2
1 =10，解得 a1 = 2，
所以 an = a q
n-1
1 = 2
n
，即数列 an 的通项公式 a = 2nn ...................................4 分
n
（2）由（1）得bn = log2 2 = n， cn = 2n - 9，
所以数列 cn 是首项为-7，公差为2的等差数列，且当n 4时 cn < 0，当n 5时， cn > 0 ，
设数列 c n -7 -1 4 é-7 + 2 30 - 9 ù 30n 的前 项和为Tn ，则T 4 = = -16，T2 30 = = 660，2
30
所以 ci = T30 - 2T4 = 692 ...................................9 分
i=1
（3）根据题意可得 S2n = b1 + a1 + b2 + a2 + ...+ bn + an = b1 + b2 + ...+ bn + a1 + a2 + ...+ an
n 1+ n 2 1- 2n n+1 1 1
= + = 2 - 2 + n
2 + n ..................................15 分
2 1- 2 2 2
20．（16 分）
已知函数 f (x) = ln x - ax +1(a R)
(1)当 a =1时，求函数 f (x)的极大值；
(2)若对任意的 x > 0，都有 f (x) 2x成立，求a的取值范围；
x - x
(3)设h(x) = f (x) + ax 1 2，对任意的 x1, x2 (0,+ )，且 x1 > x2 ，证明： > x xh(x1) - h(x )
1 2 恒成立．
2
【答案】(1)0(2)[-1,+ ) (3)证明见解析
【分析】（1）把 a =1代入，利用导数求出函数的极大值.
（2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.
（3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式.
1 -(x -1)
【详解】（1）当 a =1时， f (x) = ln x - x +1 ，求导得 f (x) = -1 = ，
x x
当0 < x <1时， f (x) > 0，当 x >1时， f (x) < 0，
函数 f (x)在( 0, 1)上单调递增，在 (1,+ )上单调递减，
所以当 x =1时函数 f (x)取得极大值 f (1) = 0 ....................................5 分
（2）"x > 0， f (x) 2x a
ln x +1
- 2， g(x)
ln x +1
= - 2，求导得 g (x)
- ln x
= ，
x x x2
当 x (0,1)时， g (x) > 0，当 x (1,+ )时， g (x) < 0，函数 g(x)在( 0, 1)上递增，在 (1,+ )上递减．
则当 x =1时函数 g(x)取得最大值 g(1) =1- 2 = -1， a -1，
所以a的取值范围是[-1,+ ) ....................................10 分
（3）依题意， h(x) = f (x) + ax = ln x +1，
x - x x
x , x (0,+ ) x > x 1 2 > x x 1
- x2 x1
对任意的 > ln1 2 ，且 1 2 ， h(x1) - h(x )
1 2
2 x1x2 x
，
2
x x1 = t > 1 1
- x2
令 ，不等式 > ln
x1 1 1
x x x 化为 t - > 2ln t t - - 2ln t > 0 ，x2 1 2 2 t t
令j(t)
1
= t - - 2ln t, t 1 2>1，求导得j (t) =1+ 2 - = (1
1
- )2 > 0，
t t t t
函数j(t)
1
在 (1,+ )上单调递增，j(t) > j(1) = 0 ，因此 t - - 2ln t > 0，
t
x1 - x2
所以 > x xh(x ) - h(x ) 1 2 恒成立....................................16 分1 2
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单
调性、最值是解决问题的关键.
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， c cos A = 3b - a cosC ．
(1)求 cosC ；
(2)若VABC 的面积为3 2，且 a + b = 3c ，
（ⅰ）求VABC 的周长；
（ⅱ）若a = 3，求 sin 2A - C ．
1
【答案】(1) cosC = (2)（ⅰ）
3 6 + 2 3
4 2
；（ⅱ）
9
【分析】（1）解法 1：由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 cosC 的值；解法 2：利用余弦定理化
2 2 2 2
简得出 a + b - c = ab，再利用余弦定理可求得 cosC 的值；
3
（2）（ⅰ）由同角三角函数的基本关系可求出sinC的值，利用三角形的面积公式可求出 ab的值，利用余
弦定理结合 a + b = 3c 可得出关于c的方程，可求出c的值，进而可求出 a + b 的值，由此可得出该三角形的
周长.
（ⅱ）先求得b，判断出 A = B ，利用诱导公式、二倍角公式求得 sin 2A - C
【详解】（1）解法 1：因为 ccosA = 3b - a cosC ，由正弦定理得 sinCcosA = 3sinB - sinA cosC ，
即3sinBcosC = sinCcosA + sinAcosC = sin A + C = sin π - B = sin B，
因为B 0, π ，则 sin B 1> 0，故 cosC = ；...................................4 分
3
2 2 2 2 2 2
解法 2：因为 ccosA = 3b - a cosC b + c - a a + b - c，由余弦定理得 c = 3b - a ，
2bc 2ab
整理得 2ab = 3a2 + 3b2 - 3c2 2 2 2
2
，可得 a + b - c = ab，由余弦定理可得
3
a2 + b2 - c2cosC 1= = ....................................4 分
2ab 3
（2）（ⅰ）因为 cosC
1
= ，且C 0, π ，则
3 sinC = 1- cos
2 C 2 2= ，
3
S 1ABC = absinC
2
= ab = 3 2 ，所以 ab = 9 ，因为由余弦定理得△ 2abcosC = a
2 +b2 -c2 ，
2 3
于是 a + b 2 - c2 = a2 + b2 - c2 + 2ab = 2ab cosC +1 = 24 a + b 2，因为 a + b = 3c ，则 - c2 = 2c2 = 24 ，所以
c = 2 3 ，因此 a + b = 3c = 6，于是VABC 的周长a +b + c = 6+ 2 3 ....................................9 分
1
（ⅱ）若a = 3 2 2，则b = 3，则 A = B ，由上述分析得 cosC = ，
3 sinC =
，
3
所以 sin 2A - C = sin A + B - C = sin π - C - C
= sin C = 2sin C cosC 2 2 1 4 2= 2 = ....................................14 分
3 3 9
17．（15分）
如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， AB / /CD ， AB ^ AD ，PA = AB， AB = 2， AD = 2 ，
CD =1．
(1)证明：BD ^ PC ；
(2)求平面 APC与平面DPC 夹角的余弦值；
PQ
(3)设 Q 2为线段 PD 上的点，且直线 AQ 和平面PAC 所成角的正弦值为 ，求 的值．
3 PD
2 2
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .
3 3
【分析】（1）以A 为原点，直线 AB, AD, AP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向
量证明推理即得.
（2）求出平面 APC的法向量和平面 PCD的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值．
PQ uuur
（3）令 = l ， 0≤l ≤1，求出 AQ = (0, 2l, 2 - 2l)，由已知结合线面角的向量法求解.
PD
【详解】（1）在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， AB ^ AD ，则直线 AB, AD, AP两两垂直，
以 A 为原点，直线 AB, AD, AP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
而 AB / /CD, PA = AB ， AB = 2, AD = 2,CD =1，则B(2,0,0), D(0, 2,0), P(0,0, 2),C(1, 2,0)，
uuur uuur uuur uuur
BD = (-2, 2,0), PC = (1, 2, -2) ，BD × PC = 0 ，所以BD ^ PC .
...................................4 分
uuur uuur uuur uuur
（2）由（1）知， A(0,0,0), AP = (0,0, 2), AC = (1, 2,0), PD = (0, 2, -2), DC = (1,0,0) ，
r r uuur ìn × AP = 2z = 0 r
设平面 APC 的法向量n = (x, y,z)，则 í r uuur ，取 x = 2 ，得 n = ( 2, -1,0)，
n × AC = x + 2y = 0
r uuurur ìm × DC = a = 0 r
设平面 PCD 的法向量m = (a,b,c)，则 í uuur ，令 c =1，得m = 0, 2,1 ，
m
r
× PD = 2b - 2c = 0
ur r ur r
APC | m × n | 2 2设平面 与平面DPC 的夹角为q ，则 cosq =| cosám, n |= ur r = = ，
| m || n | 3 × 3 3
所以平面 APC与平面DPC 2夹角的余弦值为 ....................................9 分
3
PQ uuur uuur
（3）令 = l ， 0≤l ≤1，则PQ = lPD = (0, 2l,-2l)，
uuur uuurPDuuur r
AQ = AP + PQ = (0, 2l, 2 - 2l) ，由（2）知平面 PAC 的法向量 n = ( 2, -1,0)，
uuur uuur2 | cos nr, AQ | | n
r
× AQ | 2l 2
由直线 AQ 和平面 PAC 所成角的正弦值为 ，得 á = r uuur = =
3 | n || AQ |
，
3 × 2l 2 + (2 - 2l)2 3
2
整理得3l 2 -8l + 4 = 0，而 0≤l ≤1，解得l = ，3
PQ 2
所以 的值为 ....................................15 分
PD 3
18．（15分）
x2 y2 2
已知椭圆Γ : 2 + 2 =1 a > b > 0 的离心率 e = ，上顶点为B 0,1 .a b 2
(1)求Γ的方程； uuur uuuur
(2)设 P 是直线 x - 2y - 4 = 0上一点，点M 满足BP = 3BM .若Γ经过点M ，求点 P 的坐标；
PQ
(3)过Γ的右焦点F 作不垂直于 x轴的直线 l，交Γ于 P 、Q两点，线段 PQ的垂直平分线交 x轴于点T ，求 FT
的值.
x2
【答案】(1) + y2 =1(2) P 2 3, 3 - 2 或P -2 3, - 3 - 2 (3) 2 2
2
【分析】（1）求得 a,b可求椭圆的方程；
2 y + 2 y + 2
（2）设P 2y + 4, y ，从而可得M , ÷ ，利用点M 在椭圆上，可求 y ，从而可得 P 的坐标；
è 3 3
2
（3）设 l : y = k x -1 k +1，与椭圆方程联立方程组，利用弦长公式求得 PQ = 2 2 × ，设 PQ中点为 N x , y ，
2k 2 +1 0 0
k 2FT +1
PQ
求得 = ，可求 的值.
2k 2 +1 FT
b2 2 x2
【详解】（1）由题意知b =1.而 e = 1- 2 = ，解得 a = 2 .因此 Γ : + y
2 = 1 ....................................3 分
a 2 2
uuuur uuur uuuur uuur 1 uuur 2 y + 2 y + 2
（2）设P 2y + 4, y ，由题意知OM = OB + BM = OB + BP ，得M ,
3 ÷
.
è 3 3
2 2 1 2
由于Γ经过点M ，得 y + 2 + y + 2 =1，解得 y = -2 ± 3 .将 y = -2 ± 3 代入点 P 的坐标，
9 9
得P 2 3, 3 - 2 或P -2 3, - 3 - 2 ....................................8 分
（3）由题意知F 1,0 .
设 l : y = k x -1 2 2 2 2， 与Γ的方程联立得 2k +1 x - 4k x + 2 k -1 = 0 .
ì 4k 2
x1 + x2 =
2k
2 +1
设P x1, y1 、Q x2 , y2 ，则 í ，于是
2 k 2 -1
x1x = 2 2k 2 +1
2
PQ = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ k
2 × x 21 + x2 - 4x x
k +1
1 2 = 2 2 × 2 .设 PQ中点为 N x0 , y0 ，2k +1
1 2
则 x0 =
-k
x 2k1 + x2 = ，y0 = k x0 -1 = 2 .由于 NT ^ PQ ，故直线 NT 的方程为 x - x0 + k y - y0 = 0，2 2k 2 +1 2k +1
k 2 2 PQ
解得T 2 ,0 .
k +1
÷ 因此 FT = 2 ，得 = 2 2FT ....................................15 分è 2k +1 2k +1
【点睛】关键点点睛：在处理直线与椭圆的综合问题时，常采用联立直线与椭圆方程，借助韦达定理以及
题中的条件来得出结论，利用弦长公式求得弦长，进而求得比值，平面解析几何大题通常运算量大.
19．（15分）
2 *
已知数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，且 a4 = 7,a1 =1, a1 + b3 = a2 ,a2b3 = 4a3 + b2 , n N
(1)求数列 an ,数列 bn 的通项公式；
ìk -1, n = b
C =
k -1
(2) a 1 k N*设 n í + ， , k 2 .
Cn-1 +
n ,bk -1 < n < b n k
①证明：当 k 2，n = bk +1 -1时， Cn bk +1；
2n+1
② C1 =1，求 Ci .
i=1
n 4n+1 14
【答案】(1) an = 2n -1，bn = 2 (2)①证明见解析 ② n - 2 × 2n+1 + + n +3 3
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式计算求解即可；
（2）① n = bk +1 -1时Cn = C k+1 = k + 2 2k -12 -1 ，利用作差法证明即可
②根据数列 Cn 的通项公式，利用分组求和，可通过等比数列的求和公式、裂项相消法分别求和即可得解.
【详解】（1）设数列 an 的公差为 d ，数列 bn 的公差为q，Qa4 = 7,a1 =1，
\3d = a4 - a1 = 6\d = 2，\an = a1 + n -1 d = 2n -1.Qa 21 + b3 = a2 ,a2b3 = 4a3 + b2 n N+ ，
b
\b3 = 8,b2 = 4，\q =
3 = 2
b ，\bn = b2q
n-2 = 2n ...................................4 分
2
ìk -1, n = 2 k-1
（2）由题意Cn = í k ，①\C k-1 ,C2 2k-1 ,C k-1 ,L,C C C + 2,2 k-1 < n < 2 +1 2 +2 2
k -1是以 2k-1 为首项，2为公差的等差数
n-1
\C = k -1 + 2 2k -1- 2k -1 = k -1 + 2 2k -1 -1 n = b -1 C = C = k + 2 2k列， 2k -1 ，当 k +1 时， n -12k+1 -1
要证C k+1 2k +12 1 ，即证： k + 2 2k -1 2k +1 k k +1，作差， k + 2 2 -1 - 2 = k - 2 0- ，得证...........................9 分
② ① C = n -1 + 2 2n-1 -1 = 2n由 知， n + n - 3 n+12 -1 ，\C n + C n +L+ C n+1 = n + n + 2 +L+ 2 + n - 22 2 +1 2 -1
2n+1 -1- 2n +1 × én + 2n+1 + n - 2 ù n
= = 2 2n + n -1 = 4n + 2n n -1 ，
2
2n+1 n n n n
\ C =C i ii 1 + 4 + 2 i -1 + C n+1 =1+ n +1 + 4i + 2i i -12 ，
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n 4 1- 4n n+1
又 4i 4 - 4= = ，Q2n n -1 = - n - 3 × 2n - n - 2 × 2n+1]
i=1 1- 4 3
n n
\ 2i i -1 = - é i - 3 ×2i - i - 2 × 2i+1 ù = 4 + n - 2 × 2n+1，
i=1 i=1
2n+1 n+1 n+1
\ Ci =C1 + 4 + n - 2 2n+1 4 - 4 4 - 4× + + C n+1n+1 = 5 + n - 2 × 2 + + n +12
i=1 3 3
n+1
= n - 2 × 2n+1 4 14+ + n + ....................................15 分
3 3
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数列 Cn 通项公式的理解，由于通项公式为分段函数的形式，
准确理解项数为 2k -1 时，对应的项的规律，当项数不是 2k -1 时对应项的规律，再由分组求和的思想，利用等
比数列求和、裂项相消求和得解.
20．（16 分）
x
已知函数 f x = xe ， g(x) = ln x + x .
(1)求函数 g x 在 1, g 1 处的切线方程；
(2)若 h x = f x - ag x ，
（i）当 a =1时，求函数 h x 的最小值；
1
ii h x = 0 x x x x ex1 +x2 -2（ ）若 有两个实根 ， 2 ，且 1 2 ，证明： >1 x x .1 2
【答案】(1) 2x - y -1 = 0 (2)（i）1；（ii）证明见详解.
【分析】（1）计算 g x ，由导数的几何意义即可求；
（2）（i）求出 h x ，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程 h x = 0 有两个实根 x1, x2转化为
1
G t = t - a ln t x +x -2 41 2有两个不相等的零点 t1, t2 ，由此列方程，将证明 e > 转化为证明 ln m + - 2 > 0x1x
，
2 m +1
由导数证明不等式成立.
1 1
【详解】（1）因为 g(x) = ln x + x，所以 g (x) = +1，所以 g (1) = +1 = 2，又 g(1) =1，
x 1
所以函数 g x 在 1, g 1 处的切线方程为： y -1 = 2 x -1 ，即2x - y -1 = 0 ....................................3 分
2 i a =1 h x = f x - g x = xex（ ）（）当 时， - ln x - x ，定义域为 0, + ，
x +1 xex -1 x x
h x 1= x +1 ex - -1 = ，令F x = xe -1, x 0,+ ，则F x = x +1 e > 0，
x x
所以F x 在 0, + 上单调递增，又因为F 0 = -1 0, F 1 = e 0，所以$x0 0,1 使得F x0 = 0，即
x0e
x0 =1，①故当 x 0, x0 时，F x < 0，即 h x < 0，此时 h x 在 0, x0 上单调递减；
当 x x0 ,+ 时，F x > 0，即 h x > 0，此时 h x 在 x0 ,+ 上单调递增，
所以当 x = x0时，函数 h x x有最小值，由①可得 ln x e 00 = ln1 = 0，即 ln x0 + x0 = 0，
h x x所以函数 的最小值为 x e 00 - ln x0 - x0 =1 .....................................9 分
（ii x）由题意， h x = xe - a ln x + x ，定义域为 0, + ，
x x x
由题意 h x = xe - a ln x + x = xe - a ln xe = 0有两个不相等的实数根，
令 t = xex x，则 t = x +1 e > 0 ，所以 t = xex 在 0, + 上递增，所以 t > 0，
令G t = t - a ln t t > 0 ，所以G t x有两个不相等的正的零点 t 11, t2 ，且 t1 = x1e , t2 = x2ex2 ，
ìt1 - a ln t1 = 0
即 í ，两式分别相加减得， a ln t2 + ln t1 = t2 + t1,a ln t2 - ln t1 = t - tt - a ln t = 0 2 1 . 2 2
ln t + ln t t2 + t1 t2 - t1 x1 +x2 -2 1 x所以 1 x2 22 1 = , a = e > x e × x e > ea ln t2 - ln t
②要证 ，只需证 1 2 ，
1 x1x2
t2 +1÷ ln
t2
即证 ln x ex11 + ln x2ex2 > 2 t + t t t，即需证 ln t 2 1 è 1 11 + ln t2 > 2，由②知， ln t1 + ln t2 = ln t2 - ln t1 = ，t - t t2 1 2 -1
t1
t2 1 ln t + ÷ 2
故只需证 è
t t m t2 1 m +1 ln m1 1 > 2 ，不妨设0 < t1 < t2 ，令 = > ，则只需证 > 2，即t2 t-1 1 m -1
t1
ln m 2 m -1 2
4 4
> × = 2 × 1- ÷，故只需证 ln m + - 2 > 0，令 s m = ln m + - 2， m >1 m +1 è m +1 m +1 m +1
1 4 m -1
2
则 s
m = - 2 = 2 > 0，所以 s m 在 1, + 上单调递增，所以 s m > s 1 = 0，m m +1 m m +1
4
即当m >1 x x 2时， ln m + - 2 > 0成立.所以 ln t1 + ln t > 2，即 x 1m +1 2 1e × x
2
2e > e ，故
ex +x 11 2 -2 >
x x .....................................16 分1 2
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，
然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立.
【C 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c
tanB 2c
，已知 = -1 .
tanA a
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a = 3,b = 3 7 .
（i）求c的值；
（ii）求 tan(2A - B)的值.
π
【答案】(1) ；(2)（i）c = 9；（ii 3 3）- .3 13
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解.
（2）（i）由（1）的结论，利用余弦定理求出c；（ii）利用正弦定理求出 sin A ，再利用同角公式、二倍角
的正切及差角的正切公式计算得解.
tanB 2c sinBcosA 2sin C
【详解】（1）在VABC 中，由 = -1及正弦定理，得 +1 = ，
tanA a sinAcosB sin A
sinBcosA + cosBsinA 2sin C sinC
即 = ，则 = 2sinC ，
sinAcosB sin A cosB
1 π
由0 < C < π，得 sinC 0,cosB = ，又0 < B < π ，所以B = ......................................5 分
2 3
（2）（i）由（1）及余弦定理，得63 = b2 = a2 + c2 - 2accosB = 9 + c2 - 3c ，
整理得c2 -3c -54 = 0，而c > 0，解得c = 9，所以c = 9 ......................................9 分
a b c 3 3
（ii）由正弦定理 = = ，得 asinB 21
sinA sinB sinC sinA = = 2 =
，
b 3 7 14
3
2tanA 2 5 3
由 a < b ，得 A < B ，则 cosA = 1- sin2 A 5 7 sinA 3= , tanA = = 5，因此 tan2A = = = ，
14 cosA 5 1- tan2 A 1- ( 3 )2
11
5
5 3
tan(2A B) tan2A - tanB
- 3 3 3
所以 - = = 11 = - ......................................14 分
1+ tan2AtanB
1 5 3
13
+ 3
11
17．（15分）
如图，已知四边形 ABCD 是矩形， AB = 2BC = 2，三角形 PCD 是正三角形，且平面 ABCD ^平面PCD .
(1)若 O 是 CD 的中点，证明: BO ^ PA；
(2)求二面角B - PA - D 的正弦值；
(3) 3在线段 CP 上是否存在点 Q，使得直线 AQ 与平面 ABP 所成角的正弦值为 ，若存在，确定点 Q 的位置，
8
若不存在，请说明理由
【答案】(1)答案见解析(2) 15 (3)存在点 Q，点 Q 为 PC 的中点
4
【分析】（1）根据面面垂直可证OP ^平面 ABCD，BC ^平面 PCD，建系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）分别uuu求r 平面uuurABP 与平面PAD的法向量，利用空间向量求二面角；
（3）设PQ = lPC = l,- 3l,0 ,l 0,1 ，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可.
【详解】（1）连接OP，
因为三角形 PCD 是正三角形，且 O 是 CD 的中点，则OP ^ CD ，
且平面 ABCD ^平面 PCD，平面 ABCD I平面PCD = CD，OP 平面 PCD，
所以OP ^平面 ABCD，
又因为四边形 ABCD 是矩形，则BC ^ CD，
且平面 ABCD ^平面 PCD，平面 ABCD I平面PCD = CD，BC 平面 ABCD，
所以BC ^平面 PCD，
以O为坐标原点，OC,OP分别为 x, y 轴，过O平行于BC 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A -1,0,1 , B 1,0,1 ,C 1,0,0 , D -1,0,0 ,O 0,0,0 , P 0, 3,0 ，
uuur uuur
uuur uuur可得OB = 1,0,1 , AP = 1, 3,-1 ，则OB × AP =1+ 0 -1 = 0，所以BO ^ PA .......................................5 分
uuur uuur uuur（2）由（1）可得： AB = 2,0,0 , AP = 1, 3,-1 , DA = 0,0,1 r，设平面PAB的法向量 n = x1, y1, z1 ，则
r uuur
ìn × AB = 2x1 = 0 r
í r uuur ，令 y1 =1，则 x1 = 0, z1 = 3，可得 n = 0,1, 3 ，
n × AP = x1 + 3y1 - z1 = 0
r uuur
mr = x , y , z
ìm × DA = z2 = 0
设平面PAD的法向量 2 2 2 ，则 í r uuur ，令 x2 = 3 ，则 y2 = -1, z2 = 0，可得
m × AP = x2 + 3y2 - z2 = 0
r m
r r
× n 1 1
m = 3, -1,0 r r，设二面角B - PA - D 为q 0, π ，则 cosq = cos m, n = = =mr nr 2 2 4 ，可得×
sinq 1 cos2 q 15 15= - = ，所以二面角B - PA - D 的正弦值为 .......................................10 分
uuu4r 4
（3）由（1）可得PC = 1,- 3,0 ，
uuur uuur
设PQ = lPC = uuur uuur uuurl,- 3l,0 ,l 0,1 ，可得 AQ = AP + PQ = l +1, 3 - 3l, -1 ，
nr由（2）可知：平面PAB的法向量 = 0,1, 3 ，
uuur
uuur nr × AQ
则由 cos n
r, AQ uuur 3l 3= r = =n × AQ 2 2 ，2 l +1 + 3 - 3l +1 8
1 5
整理可得12l 2 + 4l - 5 = 0，解得l = 或l = - （舍去），2 6
uuur 1 uuur
即PQ = PC ，可知存在点 Q，点 Q 为 PC 的中点.......................................15 分
2
18．（15分）
2 2
已知椭圆 C : x y+ =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F
a2 b2 1
, F2 ， N -2,0 为椭圆的一个顶点，且右焦点F2 到
2
直线 x - y = 0的距离为 .
2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l : y = kx + m k 0 与椭圆 C 交于 A、B 两点.
① 8 3若直线 l过椭圆右焦点F2 ，且△AF1B 的面积为 ，求实数 k的值；
5
②若直线 l过定点P(0, 2)，且 k > 0，在 x轴上是否存在点T (t,0) 使得以TA,TB 为邻边的平行四边形为菱形
若存在，则求出实数 t的取值范围； 若不存在，请说明理由.
2
(1) x y
2 é 3
【答案】 + =1(2)① k = ± 3 ；②存在， t ê- ,0
4 3 6 ÷
÷
【分析】（1）根据椭圆的定义和点到直线的距离求出椭圆方程；
（2）①联立后根据弦长公式求出弦长再求出面积即可；②先假设存在，再根据菱形对角线互相垂直的特
点，转化为斜率问题，最后求出取值范围.
2
【详解】（1）由题意，得F2 (c,0)，又F2 到直线 x - y = 0的距离为 ，
2
c 2
则 = ，因为c > 0，所以 c =1，再由椭圆的一个顶点为 N -2,0 ，可得a = 2，
2 2
x2 y2
所以b2 = a2 - c2 = 4 -1 = 3，即椭圆 C 的标准方程为 + =1；......................................3 分
4 3
（2）①由（1）知F2 (1,0) ，
直线 l : y = kx + m k 0 过椭圆右焦点 F 可得：0 = k + m，即m = -k ，
2 2
所以由直线 l : y = k x -1 与椭圆 C x y的标准方程 + =1联立方程组，消去 y 得
4 3
4k 2 + 3 x2 -8k 2x + 4k 2 -12 = 0 .
8k 2 4k 2 -12
设两交点 A x1，y1 ，B x2，y2 ，则有 x1 + x2 = 2 , x x = ,4k + 3 1 2 4k 2 + 3
2 2 2 12 k 2 +1
所以 AB = 1+ k 2
x x 1 8k 4k -12
1 - 2 = + k
2
，4k 2 ÷
- 4
+ 3 2
= 2
è 4k + 3 4k + 3
-2k
又椭圆左焦点F1 -1，0 到直线 l : k x -1 - y = 0的距离为 d=
1+ k 2
，
1 1 -2k 12 k 2 +1 S d AB 8 3所以 VAF B = × × = × × 2 = ，1 2 2 1+ k 2 4k + 3 5
12
解得 k 2 = 3 k 2或 = - （舍去），即 k = ± 3 ； ......................................9 分11
②假设存在点T t,0 使得以TA,TB 为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点P(0，2)， 且 k > 0，可知直线方程为 y = kx + 2，
x2 y2 2 2
与椭圆 + =1联立方程组，消去 y 得： 4k + 3 x +16kx + 4 = 0，
4 3
1
由D =192k 2 - 48 > 0，且 k > 0，解得 k > ，2
-16k 4
设两交点 A x1，y1 ，B x2，y2 ， AB中点M x0 , y0 ，则有 x1 + x2 = 2 , x4k + 3 1x2 = ,4k 2 + 3
x x1 + x2 -8k , y kx 2 6所以 0 = = = + = ，2 4k 2 + 3 0 0 4k 2 + 3
6
1 4k 2
2k 2
k = - = + 3 t = - = -即 TM 8k ，整理得k 4k
2 + 3 3 ，
- - t 4k +
4k 2 + 3 k
1 3
又因为 k > ，所以 4k + é 4 3, +
é
，则 t
3
ê- ,0÷÷ .......................................15 分2 k 6
19．（15分）
a *已知数列 n 的前 n 项和为 Sn ， Sn = 2an - 2 n N .
(1)求 an 的通项公式；
b a *(2) n设 n = n N ，求数列 ba -1 S +1 n 的前 n 项和Tn ；n n
2
(3)证明：对于 an 中任意项 an n 3 ，在 an 中都存在两项 a
as
s ， at s > t ，使得 an = .at
1
【答案】(1) an = 2n (2)Tn =1- n+1 (3)证明见解析2 -1
【分析】（1）根据 Sn 与 an 的关系式计算即可；
（2）运用裂项相消计算即可；
（3）找出符合条件的 as ， at s > t 即可.
【详解】（1）当n =1时， S1 = 2a1 - 2 = a1，解得 a1 = 2 .
当 n 2时， Sn-1 = 2an-1 - 2，
a
所以 Sn - Sn-1 = 2an - 2an-1 = an ，即 an = 2an-1，而 a1 = 2 0
n
，故 an 0 ，故 = 2a ， n 2，n-1
∴数列 an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 a nn = 2 .......................................4 分
n
n+1 *
（2）由（1）可得 S = 2 - 2 n N ，所以b an 2 1 1n = = = -n an -1 Sn +1 2n -1 2n+1 -1 2n -1 2n+1 -1
T = 1 1- + 1 1 1 1 1所以 n 22 -1÷ 2
- 3 ÷ + ××× + - ÷ =1- ......................................10 分è è 2 -1 2 -1 è 2n -1 2n+1 -1 2n+1 -1
2
（3）∵ "n N*
a
， n 3 2s-t n，$s = n -1， t = n - 2，则 s = 2 = 2 = an ，所以结论成立........... ...................15a 分t
20．（16 分）
2
已知函数 f x = x + a cos x ，其中 a R .
π
(1)若曲线 y = f x 在点 , f
π
2 è 2 ÷ ÷
处的切线过原点，求 a；
è
(2)当 a =1时，证明： f x x +1- sin x ；
(3)若 f x 在 0, π 上单调递增，求 a 的取值范围.
a π【答案】(1) = (2)证明见详解(3) - , 2
2
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入原点运算求解即可；
（2）构建 g x = f x - x -1+ sin x ，利用导数分析其单调性和最值，即可分析证明；
（3）分类讨论a的符号，可知 f x 0在 0, π 上恒成立，构建F x = f x ，结合端点效应分析证明.
2
【详解】（1）因为 f x = x + a cos x，则 f x = 2x - a sin x，
π π2 π
则 f ÷ = ， f ÷ = π - a ，
è 2 4 è 2
π π2 π2 π
即切点坐标为 , ÷，切线斜率 k = π - a ，则切线方程为 y - = π - a x - ÷，
è 2 4 4 è 2
π2
若切线过原点，则0 - = π - a 0
π
-
π
÷，解得 a = .......................................4 分4 è 2 2
（2）若 a =1 f x = x2，则 + cos x ，
构建 g x = f x - x -1+ sin x = x2 - x + sin x + cos x -1，
则 g x = 2x -1+ cos x - sin x，
令 h x = g x ，则 h x = 2 - sin x - cos x = 2 - 2 sin x π + ÷ 2 - 2 > 0，
è 4
即 h x > 0恒成立，则 h x 在R 上单调递增，且 h 0 = 0，
当 x < 0时， h 0 < 0，即 g x < 0；当 x > 0时， h 0 > 0，即 g x > 0；
可知 g x 在 - ,0 内单调递减，在 0, + 内单调递增，
则 g x g 0 = 0 ，所以 f x x +1- sin x .......................................10 分
（3）若 f x 在 0, π 上单调递增，
当 a = 0，则 f x = x2 在 0, π 上单调递增，符合题意；
2
当 a < 0，则 f x = x - a cos x在 0, π 上单调递增，符合题意；
当a > 0，由（1）可知： f x = 2x - a sin x，则 f x 0在 0, π 上恒成立，
设F x = f x ，则F x = 2 - a cos x，
且F 0 = 0，则F 0 = 2 - a 0，解得a 2，
若0 < a 2 ，可知F x = 2 - a cos x在 0, π 上单调递增，
则F x F 0 = 2 - a 0 ，
可知F x 在 0, π 上单调递增，则F x F 0 = 0 ，符合题意；
综上所述：a 的取值范围为 - , 2 .......................................16 分大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
A
在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c已知 ccos = asinC ．
2
(1)求角A 的大小；
(2)若b =1， cosB 2 7= ，求 a的值；
7
(3)若 a = 2，当VABC 的周长取最大值时，求VABC 的面积．
17．（15分）
如图所示，在几何体 ABCDEF 中， AE ^ 底面 ABCD，CF / / AE ， AD / /BC ， AB ^ AD ， AB = AD =1，
AE = BC = 2 ．
(1)求证：BF // 平面 ADE ；
(2)求直线CE与平面BDE 所成角的正弦值；
1
(3)若平面BDE 与平面BDF 所成角的余弦值为 ，求线段CF 的长．
3
18．（15分）
x2 y2 1
椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左焦点为F -1,0 ，离心率为 2 ．a b
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 的右顶点为D，点E 的坐标为 0,1 ，过点F 的直线 l与椭圆C 交第一象限于点 P ， l与线段DE
交于点Q．若三角形FDP 的面积是三角形FOQ面积的 5 倍（O为坐标原点），求直线 l的方程．
19．（15分）
在正项等比数列 an 中已知 a1 + a3 =10, a3 + a5 = 40
(1)求数列 an 的通项公式；
30
(2)令bn = log2an ，若 cn = 2bn - 9，求 ci ．
i=1
(3)若在数列 bn 任意相邻两项bn ,bn+1之间插入一个实数 an ，从而构成一个新的数列 dn 求数列 dn 的前 2n
项和 S2n ．
20．（16 分）
已知函数 f (x) = ln x - ax +1(a R)
(1)当 a =1时，求函数 f (x) 的极大值；
(2)若对任意的 x > 0，都有 f (x) 2x成立，求 a的取值范围；
x - x
(3)设h(x) = f (x) + ax ，对任意的 x1, x2 (0,+ )，且 x1 > x
1 2
2 ，证明： > x xh(x1) - h(x )
1 2 恒成立．
2
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， c cos A = 3b - a cosC ．
(1)求 cosC ；
(2)若VABC 的面积为3 2，且 a + b = 3c ，
（ⅰ）求VABC 的周长；
（ⅱ）若 a = 3，求 sin 2A - C ．
17．（15分）
如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， AB / /CD ， AB ^ AD ，PA = AB， AB = 2 ， AD = 2 ，
CD =1．
(1)证明：BD ^ PC ；
(2)求平面 APC 与平面DPC 夹角的余弦值；
PQ
(3)设 Q 为线段 PD 上的点，且直线 AQ 2和平面PAC 所成角的正弦值为 ，求 的值．
3 PD
18．（15分）
x2 y2
已知椭圆Γ : 2 + 2 =1 a > b > 0
2
的离心率 e = ，上顶点为B 0,1 .
a b 2
(1)求Γ 的方程； uuur uuuur
(2)设 P 是直线 x - 2y - 4 = 0上一点，点M 满足BP = 3BM .若Γ 经过点M ，求点 P 的坐标；
PQ
(3)过Γ 的右焦点F 作不垂直于 x 轴的直线 l，交Γ 于 P 、Q两点，线段 PQ的垂直平分线交 x 轴于点T ，求 FT
的值.
19．（15分）
已知数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，且 a4 = 7,a1 =1, a 21 + b3 = a2 ,a2b3 = 4a3 + b2 , n N*
(1)求数列 an ,数列 bn 的通项公式；
ìk -1, n = b
C =
k -1
(2)设 n í a +1 ， k N*, k 2C n . n-1 + ,bn k -1 < n < bk
①证明：当 k 2，n = bk +1 -1时， Cn bk +1；
2n+1
② C1 =1，求 Ci .
i=1
20．（16 分）
x
已知函数 f x = xe ， g(x) = ln x + x .
(1)求函数 g x 在 1, g 1 处的切线方程；
(2)若 h x = f x - ag x ，
（i）当 a =1时，求函数 h x 的最小值；
ii x1 +x2 -2
1
（ ）若 h x = 0 有两个实根x ， x2，且 x1 x2 ，证明： e >1 x1x
.
2
【C 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
tanB 2c
在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 = -1 .
tanA a
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a = 3,b = 3 7 .
（i）求 c的值；
（ii）求 tan(2A - B)的值.
17．（15分）
如图，已知四边形 ABCD 是矩形， AB = 2BC = 2，三角形 PCD 是正三角形，且平面 ABCD ^平面PCD .
(1)若 O 是 CD 的中点，证明: BO ^ PA；
(2)求二面角B - PA - D 的正弦值；
(3) 3在线段 CP 上是否存在点 Q，使得直线 AQ 与平面 ABP 所成角的正弦值为 ，若存在，确定点 Q 的位置，
8
若不存在，请说明理由
18．（15分）
x2 y2
已知椭圆 C : + =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2 ， N -2,02 2 为椭圆的一个顶点，且右焦点Fa b 2到
直线 x - y = 0 2的距离为 .
2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l : y = kx + m k 0 与椭圆 C 交于 A、B 两点.
① 8 3若直线 l过椭圆右焦点F2，且△AF1B 的面积为 ，求实数 k 的值；
5
②若直线 l过定点P(0, 2)，且 k > 0 ，在 x 轴上是否存在点T (t,0) 使得以TA,TB 为邻边的平行四边形为菱形
若存在，则求出实数 t的取值范围； 若不存在，请说明理由.
19．（15分）
a n S S = 2a - 2 n N*已知数列 n 的前 项和为 n ， n n .
(1)求 an 的通项公式；
a *
(2) n设bn = n N an -1 Sn +1
，求数列 bn 的前 n 项和Tn ；
a2
(3)证明：对于 an 中任意项 an n 3 ，在 a sn 中都存在两项 as ， at s > t ，使得 an = .at
20．（16 分）
已知函数 f x = x2 + a cos x ，其中 a R .
π π
(1)若曲线 y = f x 在点 , f2 è 2 ÷ ÷ 处的切线过原点，求 a；è
(2)当 a =1时，证明： f x x +1- sin x ；
(3)若 f x 在 0, π 上单调递增，求 a 的取值范围.
