小题限时卷 01（A 组+B 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1．已知集合U = 1,2,3,4,5 ， A = 2,3 ，B = x x = 2k,k Z ，则B I U A = （ ）
A． 4 B． 2,4 C． 1,2 D． 1,3,5
【答案】A
【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.
【详解】由U = 1,2,3,4,5 ,A = 2,3 可得 U A = 1,4,5 ，又因为B = x x = 2k,k Z ，所以B I U A = 4 .
故选：A.
2．设 a,b R ，则“ a > b ”是“ lg a - b > 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法结合对数运算即可判断.
【详解】若 a =1，b = 0，此时 a > b，但 lg a - b = lg1 = 0 ，即 a > b lg a - b > 0，所以“ a > b ”不是
“ lg a - b > 0 ”的充分条件；
若 lg a - b > 0，则 a - b >1 > 0，得 a > b，所以“ a > b ”是“ lg a - b > 0 ”的必要条件；
故选：B.
3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）
A．a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关 B．a 为负相关，b 为不相关，c 为正相关
C．a 为负相关，b 为正相关，c 为不相关 D．a 为正相关，b 为不相关，c 为负相关
【答案】D
【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论．
【详解】根据散点图，由相关性可知：图 a 各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；
图 b 中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；
图 c 中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．
故选：D
4．下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． f (x) = cos(sin 2x) B． f (x) lg
1- x
=
1+ x
x - x
C． f (x) = log x4 4 +1 1- x D f (x) 2 - 2． =2 2x + 2- x
【答案】D
【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，
即可得答案.
【详解】A： f (-x) = cos[sin(-2x)] = cos[-sin(2x)] = cos[sin(2x)] = f (x)，定义域为 R， f (x) 是偶函数，不符；
f ( x) lg 1+ xB： - = = - lg
1- x
= - f (x)，定义域为 (-1,1)， f (x) 是奇函数，
1- x 1+ x
根据复合函数的单调性，易知 f (x) = lg(
2
-1)在 (-1,1)上单调递减，不符；
1+ x
C： f (-x) = log4 4- x +1 1+ x = log4 4x +1 1- x = f (x)，定义域为 R， f (x) 是偶函数，不符；2 2
2- x - 2x 2x - xD： f (-x) - 2= - x x = - = - f (x) ，定义域为 R， f (x) 是奇函数，2 + 2 2x + 2- x
2x - 2- x 4x -1 2
根据复合函数的单调性，易知 f (x) = x - x = x =1- x 在 R 上单调递增，符合.2 + 2 4 +1 4 +1
故选：D
5 31 5
5．设 a = , b = ln , c = sin ，则（
21 21 21 ）
A． c < b < a B．a < b < c C． c < a < b D．b < c < a
【答案】C
【分析】三个数值的特征，构造函数 f x = x - sin x ， x 0,1 和 g x 1= ln 1+ 2x - x ， x 0, ，结合函
è 2 ÷
数的单调性，即可比较大小.
【详解】设 f x = x - sin x ， x 0,1 ，
f x =1- cos x 0 f x f 5 ，所以 单调递增，则 ÷ > f 0 = 0，
è 21
5 5
所以 > sin ，即 a > c ，
21 21
设 g x = ln 1+ 2x - x ， x 0, 1 ，
è 2 ÷
g x 2 1 1- 2x x 0, 1= - = > 0 ， ，
1+ 2x 1+ 2x è 2 ÷
所以 g x 0, 1 在 ÷ 上单调递增，所以 g
5
÷ > g 0 = 0，
è 2 è 21
所以 ln
1 10 + ÷ = ln
31 5
> ，则b > a ，所以b > a > c .
è 21 21 21
故选：C
6．在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，若棱长为1，E，F 分别为线段BD1, BC1 上的动点，则下列结论中错误的
个数为（ ）
（1）DB1 ^ 平面 ACD1
1
（2）直线 AE 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为定值 3
（3）平面 A1C1B / / 平面 ACD1
（4）点F 3到平面 ACD1的距离为定值
3
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】方法一：根据线线垂直即可求解DB1 ^ 平面 ACD1判断（1），根据线面角的几何法，可得直线 AE
与平面 BB1D1D 所成角为 EAO，根据正切值，即可判断(2),根据面面平行的判定即可求解(3),利用等体积法
即可求解（4）.方法二：以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐
个计算判断即可
【详解】方法一：由于BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，故BB1 ^ AC ,
又 AC ^ BD ，BD BB1 = B, DB, BB1 平面BDD1B1，
故 AC ^平面BDD1B1，DB1 平面BDD1B1，故DB1 ^ AC ,
同理可得DB1 ^ AD1 , AD1 I AC = A, AD1, AC 平面 ACD1，故DB1 ^ 平面 ACD1，故（1）正确，
EO
根据 AC ^平面BDD1B1，故直线 AE 与平面 BB1D1D 所成角为 EAO ,则 tan EAO = ，AO
由于EO长度是不确定的，故 EAO的正弦值不为定值，故（2）错误，
由于 AC / / A1C1， AC 平面 ACD1 , A1C1 平面 ACD1 ,故 A1C1 / / 平面 ACD1 ,
同理可得 A1B / / 平面 ACD1 , A1C1 A1B = A1, A1C1, A1B 平面 A1C1B，故平面 A1C1B / / 平面 ACD1，（3）正
确，
由于BC1 / / 平面 ACD1，故点 B 到平面 ACD1的距离即为点F 到平面 ACD1的距离，
设点 B 到平面 ACD1的距离为 h ，
1
SVABC × DD
1 1 1
1 2 3
由VB- ACD = V1 D1 - ABC 得 SVACD ×h = SVABC × DD1 h = = =1 S ，故(4)正确，VACD 1 3 31 2 2
2 2
方法二：以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1),C1(1,1,1), D1(0,1,1)，uuur uuuur
令 B1E = lB1D1 = l(-1,1,0)，得E(1- l,l,1)，uuur uuur
令 BF = mBC1 = m(0,1,1) ，得F (1, m, m) ，l, m [0,1]， uuuur uuur
uuuur uuur uuuur ìDB × AC = 0
对于（1），DB1 = (1, -1,1), AC = (1,1,0), AD1 = (0,1,1)
，显然 íuuuur1 uuuur ，
DB1 × AD1 = 0
即DB1 ^ AC ，DB1 ^ AD1，
而 AC I AD1 = A， AC, AD1 平面 ACD1，因此DB1 ^平面 ACD1，（1）正确；
对于（2），由BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，得BB1 ^ AC ，
因为 AC ^ BD ，BB1 BD = B，BB1, BD 平面 BB1D1D，则 AC ^平面 BBuuur uuur 1
D1D，
于是 AC = (1,1,0)为平面 BB1D1D的一个法向量， AE = (1- l,l,1) ，
设直线 AE 与平面 BB1D1D所uu成ur 角为q ，uuur uuur uuur|
则 sinq =| cosáAC, AE |= u
AuuCr × AuuEur | 1= 不是定值，（2）错误；
| AC || AE | 2 × 2l 2 -uu2url + 2
对于（3），由选项 A 知DB1 ^平面 ACD1，即 DB1 = (1,-1,1) 为平面 ACD1的一个法向量，
uuuur uuuur
uuuur uuur ì A1C1 × DBAC 1
= 0
而 1 1 = (1,1,0), A1B = (1,0, -1) ，则 íuuuur uuur ，
DB1 × A1B = 0
即有DB1 ^ A1C1, DB1 ^ A1B，
又 A1C1 I A1B = A1 ， A1C1, A1B 平面 A1C1B，因此DB1 ^平面 A1C1B，
则平面 A1C1B / /平面 ACD 3uuur 1，（ ）正确；
对于（4），显然 AF = (1, m, m)，
uuur uuur
因此点F 到平面 ACD d
| AF × DB1 | 1 3
1的距离为 = uuur = = 3 ，为定值，（4）正确.| DB1 | 3
故选：B
7．已知函数 f x sin wx π= + ÷ w > 0 图象的一条对称轴是 x
π
= ，且在 0, π 2 上有且仅有两个对称中心，则è 3
函数 f x 的解析式为（ ）
A． f x 1 π 7 π= sin x + 3 3 ÷ B． f x = sin x +è è 3 3 ÷
f x sin 2x π 10 π C． = + ÷ D． f x = sin x +
è 3 è 3 3 ÷
【答案】B
πw π π π
【分析】根据函数的对称性可得出 + = kπ + k Z ，解出w 的表达式，由0 x π 可求出wx + 的取
2 3 2 3
值范围，结合题意可得出关于w 的不等式，解出w 的取值范围，可得出w 的值，由此可得出函数 f x 的解
析式.
f x = sin wx π 【详解】因为函数 + ÷ w > 0 图象的一条对称轴是 x
π
= ，
è 3 2
πw π π
则 + = kπ + k 1 Z ，解得w = 2k + k Z ，
2 3 2 3
0 x π π wx π πw π当 时， + + ，
3 3 3
因为函数 f x 在 0, π π 5 8上有且仅有两个对称中心，则 2π πw + < 3，解得 w < ，
3 3 3
7 7x π
故w = ，所以， f x = sin
3
+ ÷ .
è 3 3
故选：B.
x28 y
2
．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2，M 为双曲线的渐近线上的点，满足a b
uuuur uuuur
F1M × F2M = 0，且 | MF1 |= 2 | MF2 |，△MF F
20
1 2 的面积为 ，则双曲线C 的方程为（9 ）
2 2 2
A． x2 9y- =1 B x y． - =1
16 9 16
9x2 2 2C． - y2 1 D
x y
= ．
16 - =136 64
【答案】A
【分析】根据给定条件可得F1M ^ F2M ，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍
b
角的正切求出 即可得解.
a
uuuur uuuur
【详解】由F1M × F2M = 0，得F1M ^ F2M ，而 | MF1 |= 2 | MF2 |，△MF1F
20
2 的面积为 ，9
S | MF |2 20 | F F | | MF |2 | MF |2 5 | MF |2 100则 VMF1F =2 2 = ， 1 2 = 1 + 2 = 2 = ，9 9
c c2 1 25 25 b令双曲线C 的半焦距为 ，则 = | F1F2 |
2 = ，即 a2 + b2 = ，直线OM 方程为 y = x ，
4 9 9 a
1
tan MF F | MF | 1 b
2
1 2 =
2 = | MO |=| FO | 4
| MF | 2 ，而 1 ，则
= tan MOF2 = tan 2 MF1F 22 = 1 = ，1 a 1- ( )2 3
2
2
联立解得 a2 =1,b2
16
= 9y，所以双曲线C 的方程为 x2 - =1.
9 16
故选：A
uuur uuur uuur uuur
9．如图，在体积为V 的正四棱锥 P - ABCD 中， PE = 2EB， PF = FD ，设平面 AEF 与直线 PC 交于点G ，
记四棱锥P - AEGF 的体积为V1，则V1 :V =（ ）
1 2 7 7
A． B． C． D．
5 5 15 30
【答案】D
uuur 5 uuur
【分析】利用四点共面中的向量关系来求解PC = PG，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题.
2
【详解】如图所示，
由 A、B、C、D四点共面，且 ABCDuuur uuur uuur uuur uuur u四uur边形 为正方形，
可得
uuurAB =uDuurC uPuBur - PuAuur= PC - uPuDur， uuur
由PE = 2EB，PF = FD ，设PC = lPG ，
3 uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur uuur
可得： PE - PA = lPG - 2PF ，即 PA = PE - lPG + 2PF2 2 ，
根据 A、B C
3 5
、 、D四点共面，可得 - l + 2 = 1 l =2 2 ，
uuur
PC 5
uuur
即 = PG，
2
h1 PF 1
设h1，h2 分别是点F 到平面 PAE 和点D到平面PAB的距离，则 = =h PD 2 ，2
VP- AEF VF -PAE SVPAE × h1 S= = = VPAE 1 PA × PE 1 2 1 1所以 × = × = × =VP- ABD VD-PAB SVPAB × h2 SVPAB 2 PA × PB 2 3 2 3
，
1 VP- AEF 1VP- ABD = VP- ABCD ， =V 6 ，2 P- ABCD
VP-EGF VF -PEG PE × PG PF 2 2 1 2
同理， = = × = =V ，P-BDC VD-PBC PB × PC PD 3 5 2 15
1 VV = V P- AGF
1
=
P-BDC 2 P- ABCD ，V ，P- ABCD 15
VP- AEFG V= P- AGF +VP- AEF 1 1 7= + =
VP- ABCD VP- ABCD 6 15 30
则四棱锥P - AEFG
7
与四棱锥P - ABCD 的体积比为 .
30
故选：D.
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
a - 2i a - 2i
10．i 是虚教单位，若复数 是纯虚数，则 = ．
2 + i 2 + i
【答案】1
【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数是纯虚数求出 a的值，即可得到复数的模.
a - 2i a - 2i 2 - i 2a - 2 a + 4
【详解】由题意得， = = - i2 + i 2 + i 2 .- i 5 5
a - 2i 2a - 2 a + 4
∵ 是纯虚数，∴ = 0， 0，
2 + i 5 5
∴ a =1，
a - 2i
∴ = -i，
2 + i
a - 2i
∴ = -i =1 .
2 + i
故答案为：1.
1 6 1511 ．已知 ax - 2 ÷ a > 0 的展开式中的常数项为 ，则展开式中所有项的系数之和为 ．è x 16
1
【答案】 /0.015625
64
1
【分析】先求出二项式的展开式通项，利用常数项列式求得 a = ，然后赋值法求解系数和即可.
2
6 k
【详解】二项式 ax
1
- 2 ÷ 的展开式通项T
k
k +1 = C6 ax
6-k 1 k 6-k k 6-3k
x
- 2 ÷ = C6a -1 x ，è è x
15
令6
1
- 3k = 0 2 4，得 k = 2，故展开式中的常数项为C6a = ，得 a = （舍去负值），16 2
6 6
x =1 1 x 1 1 1则令 得 -
2 ÷ 展开式中所有项的系数之和为 1-1÷ = ．è 2 x è 2 64
1
故答案为：
64
12．已知抛物线 y2 = 4x上位于第一象限内的点 P 到抛物线的焦点F 的距离为 5，过点 P 作圆
x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的切线，切点为M ，则 PM = ．
【答案】3
【分析】先根据抛物线的定义求出点 P 的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根
据切线的性质，利用勾股定理求值.
【详解】
在抛物线 y2 = 4x中， 2 p = 4，则 p = 2 ，所以焦点F (1,0)，准线方程为 x = -1 .
设点P x0 , y0 x0 , y0 > 0 ，根据抛物线的定义，可得 x0 +1 = 5，解得 x0 = 4 .
2
把 x 20 = 4代入 y = 4x，得 y0 = 4 4 =16，因为 y0 > 0，所以 y0 = 4，即P 4,4 .
2 2
将圆 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0化为标准方程： x - 2 + y -1 = 4，从而圆心为C 2,1 ，半径 r = 2 .
PM = PC 2 - CM 2故 = 22 + 32 - 22 = 3 .
故答案为：3 .
13．某体育器材商店经营 A, B,C 三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为 0.9，0.8，0.7，
市场占有比例为 4 : 4 : 2 ，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产
品的概率为 ；若该健身中心从 A, B,C 三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率
为 ．
【答案】 0.82 0.398
【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二
空即可.
【详解】第一空：由全概率公式可得：0.4 0.9 + 0.4 0.8 + 0.2 0.7 = 0.82；
第二空：恰好买到两件优质产品是“AB 优 C 不优，AC 优 B 不优，BC 优 A 不优”这三个互斥事件的和，故所
求概率为：0.9 0.8 1- 0.7 + 0.9 1- 0.8 0.7 + 1- 0.9 0.8 0.7 = 0.398，
故答案为：0.82；0.398.
14．平面四边形 ABCD中， A = C = 90o， CBD = 30o ， BC = 3，点O为线段BD的中点．
uuur uuur
（I）若 ABD = 30o ，则 ；
uuur uuur AC × AO =
（II） AC - 2AO 的取值范围是 ．
3
【答案】 é0, 3
2
【分析】（I）证明四边形 AOCD 为菱形，即可利用定义求数量积；
（II）以C 为原点，以CB,CD所在直线为 x 轴和 y 轴建系，求出点A 的轨迹方程，再用坐标表示
uuur uuur
AC - 2AO ，再将其转化为几何意义求解.
【详解】（I）如图，连接CO，
因 A = C = 90o， CBD = ABD = 30o，O为线段BD的中点，
则CO = AO = CD = AD = OD
1
= BD =1， CDO = ADO = COD = AOD = 60o ，
2
故四边形 AOCD 为菱形，则 AC = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC × AO = AC × AO cos AC, AO 3 3 3= =
2 2
（II）如图，以C 为原点，以CB,CD所在直线为 x 轴和 y 轴，
3 1 在△BCD中可知， AB = 2,CD =1，则D 0,1 , B 3,0 ,O , ÷÷，
è 2 2
uuur uuur
设 A x, y 3 1，则CA = x, y ， AO = - x, - y ÷÷ ，
è 2 2
因 A = C = 90o，则点A 的轨迹为以BD为直径的圆，
2
2
方程为圆O : x
3 y 1- + - ÷÷ ÷ =1，欲使其构成平面四边形，则其轨迹为半圆，
è 2 è 2
uuur uuur uuur uuur
因 AC - 2AO = x - 3, y 1 2- ，则 AC - 2AO = x - 3 + y -1 2
该式子的几何意义为：点G 3,1 到半圆O上的点的距离，
2
3 3
1 2
因 -
÷÷ + 1- ÷ =1，则点G 在圆O上，
è 2 è 2
则距离的最短值为0 ，最长为 DG = 3 ，但此时无法构成四边形，
uuur uuur
故 AC - 2AO é 0, 3 .
3
故答案为： ； é
2
0, 3
ì x+1 2 + a，x < 0
15．已知 a R ，函数 f (x) =
í sin πx ,当 x > 0时，函数 f (x) 的最大值是 ；若函数 f (x) 的图象
2
2x-1 - x+1
, x > 0
+ 2
上有且只有两对点关于 y 轴对称，则 a的取值范围是 ．
1 1
【答案】 / 0.5 (-1, )
2 2
【分析】第一空，根据分段函数解析式，对于 x > 0 时的解析式，利用均值不等式结合正弦函数性质即可求
得最小值；第二空，把函数 f x 的图象上有且只有两对点关于 y 轴对称转化为 f (x)(x < 0) 的图象关于 y 轴
对称的函数图象与 f (x)(x > 0) 仅有两个交点的问题，数形结合，求得答案.
πx
【详解】当 x > 0 sin时， f x = 2 ，
2x-1 + 2- x+1
令 f1(x) 2
x-1 2- x+1 1= + = 2x-1 + 2, x -1 1x-1 ，当 2 = x -1 ，即 x =12 时取等号，2
即当 x =1时， f1(x)min = 2 ，
令 f2 (x) = sin
π x,\ f2 (x) [-1,1]，2
π
又因为 f2 (x)max = f2 (1) = sin =1,2
f2(x)max 1
则 f (x)max = =f1(x)min 2
;
因为 f (x) 图象仅有两对点关于 y 轴对称，
即 f (x), (x < 0) 的图象关于 y 轴对称的函数图象与 f (x), (x > 0)图象仅有两个交点，
当 x < 0 时， f (x) = (x + 1)2 + a ，
设其关于 y 轴对称的函数为 g(x) ，
∴ g(x) = f (-x) = (x -1)2 + a, (x > 0)，
∵ sin
πx
f x = 2x-1 - x+1 , (x > 0)
，
2 + 2
由（1）可知近似图象如图所示：
g(0) = 0时， a = -1，
当 g(x)与 f (x)
1
仅有两个交点时，-1 < a < ，
2
综上，a 的取值范围是 (-1,
1) ，
2
1 1
故答案为： ； (-1, ) ．
2 2
【点睛】本题考查了分段函数最值的求解以及参数的范围求解，涉及到三角函数以及均值不等式的知识，
综合性较强，解答时要注意数形结合的思想方法,解答的关键是把函数 f x 的图象上有且只有两对点关于 y
轴对称转化为 f (x)(x < 0) 的图象关于 y 轴对称的函数图象与 f (x)(x > 0) 仅有两个交点的问题.
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1．已知集合 A = {0,1,2}，B = {0,2,4}，C = {x | 2 lg x <1}，则 (A B) C =（ ）
A．{0,1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{1,2,4}
【答案】B
【分析】解对数不等式求出集合C ，再求 A B C .
【详解】 A B = 0,1,2,4 ，
由 2lgx <1 lgx
1
，得 < ，解得 x 0, 102 ，
所以 A B C = 1,2 .
故选：B．
2．设 x R ，则“ x - sin x < 0 ”是“ x < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用导数研究 f (x) = x - sin x 的单调性，结合 f (x) = x - sin x < f (0) = 0及充分、必要性定义即可得
答案.
【详解】对应 f (x) = x - sin x ，有 f (x) =1- cos x 0，故 f (x) 在 R 上单调递增，
若 f (x) = x - sin x < f (0) = 0，即 x < 0 ，
所以“ x - sin x < 0 ”是“ x < 0 ”的充要条件.
故选：C
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在 1，3，6，7，9，10，12，15 这组数据中，第 50 百分位数为 8
B．分类变量 A 与 B 的统计量 c 2 越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为 y = b x + a ，若b = 2 ，x =1，y = 3，
则 a =1
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
【答案】D
【分析】求数据的第 50 百分位数，判断 A 的真假；根据 c 2 的意义，判断 B 的真假；根据线性回归方程必
过 x , y 求 a 判断 C 的真假；根据残差平方和的意义判断 D 的真假.
7 + 9
【详解】对 A：因为8 50% = 4，所以这组数据的第 50 百分位数为： = 8，故 A 选项内容正确；
2
对 B：根据统计量 c 2 的意义可知，B 选项内容正确；
对 C：根据线性回归方程必过 x , y 得：3 = 2 1+ a a =1，故 C 选项内容正确；
对 D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故 D 选项内容错误.
故选：D
x
4 2 + a．已知 f x = x 是奇函数，则不正确的是（ ）2 -1
A．a =1 B． f x 在x - ,0 上单调递增
C． f x 的值域为 - , -1 1 1,+ x D． f 3 > f 3 的解集为 x - , 2 ÷è
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性求出 a即可判断 A；利用复合函数的单调性即可判断 B；利用反函数法求出函数
f (x) 的值域即可判断 C；利用函数的单调性解不等式即可判断 D.
【详解】A：由 2x -1 0，得 x 0，即函数 f (x) 的定义域为 x x 0 ，
由 f (x) 为奇函数，得 f (x) + f (-x) = 0，
2x + a 2- x + a
即 x + - x = 0，整理得 (a -1)(2
x + 2- x -1) = 0 ，
2 -1 2 -1
又 2x + 2- x -1 0，所以 a -1 = 0，解得 a =1 .故 A 正确；
x
B：由选项 A 知 f (x) 2 +1 2=
2x
=1+ ，
-1 2x -1
当 x < 0 时， 2x -1< 0 .又函数 y = 2x -1在 (- ,0)上为增函数，
所以 f (x) 在 (- ,0)上为减函数，故 B 错误；
2x +1 x y +1C：令 y = ，得2 = > 0x y 1 ，解得
y < -1或 y > 1，
2 -1 -
所以 f (x) 的值域为 (- , -1) U (1, + ) ，故 C 正确；
D：因为 f (x) 在 (- ,0)上为减函数，且为奇函数，
所以 f (x) 在 (0, + )上为减函数，且3x > 0，
1 1
由 f (3x ) > f ( 3) 得0 < 3x < 3 = 32 ，解得 x < ，2
1
即原不等式的解集为 (- , ) ，故 D 正确.
2
故选：B
5．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为
r ．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为 a
r
，则 =（
a ）
3 3
A． 2 + 2 B． 2 - 2 C． 2 +12 D． 2 2 -1
【答案】D
【分析】画出截面图，设储物盒所地球的半径为R ，从而利用R 表达出小球最大半径 r 和正方体棱长 a，进
而求出比值.
【详解】设储物盒所在球的半径为R ，如图，
R
小球最大半径 r 满足 2 +1 r = R ，所以 r = = 2 -1 R ，2 +1
2
2 a 2
正方体的最大棱长 a满足 2a + ÷ = R 2，解得 a = R3 ，è 2
r 2 -1 3
= = 2 -1
所以 a 2 2 .
3
故选：D.
13π
6 *．已知函数 f x = sin wx +j + ÷ (w N ,0 < j
π π π 7π
< ) 在
2 2
- , ÷上单调，且 f = 0，若将函数 y = f (x)
è è 6 6 è 12 ÷
的图象向右平移m(m > 0)个单位长度后关于 y 轴对称，则 m 的最小值为（ ）
2π π π π
A． B． C3 ． D．3 4 6
【答案】D
【分析】根据三角函数周期性将函数 f x 化简，再结合单调性计算出w 的取值，逐个验证后确定w 和j 的
值，即得到函数 f x 的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质解得m
的最小值.
【详解】因为函数 f x = sin wx j
13π
+ + ÷ = cos wx
π π
+j f (x) ，又函数 在 - , ÷上单调，所以函数 f (x)
è 2 è 6 6
2π é π π ù 2π
的最小正周期T = 2 ê - - ÷ú = ，所以w 3，又w N* ，所以w =1，2，3.w 6 è 6 3
若w =1，则 f (x) = cos(x j ) f
7π+ ，且 ÷ = cos
7π +j ÷ = 0，又 0 < j
π
<
2 ，则
j 无解；
è 12 è 12
7π 7π
若w = 2，则 f (x) = cos(2x +j)
，且 f ÷ = cos
+j
= 0 π π÷ ，又 0 < j < ，则j = ；
è 12 è 6 2 3
7π 7π
若w = 3，则 f (x) = cos(3x +j) ，且 f ÷ = cos +j ÷ = 0，又 0 < j
π
<
2 ，则
j 无解.
è 12 è 4
π
综上， f x = cos 2x + 3 ÷ .è
所以函数 f (x) 的图像向右平移 m 个单位长度后对应解析式为
f x - m = cos éê2 x
π
- m + ùú = cos
2x - 2m
π
+ ÷，
3 è 3
π
因为关于 y 轴对称，所以 - 2m
p kp
= kπ， k Z .所以m = - ， k Z ，又m > 0，所以当 k = 0时，m 取最
3 6 2
π
小值为 .
6
故选：D.
7 x
2 y2
．已知双曲线C : - 2 x2 2 =1(a > 0,b > 0), A为C 的左顶点，抛物线 y =16ax的准线与 轴交于 B ．若在C 的a b
渐近线上存在点 P ，使得 APB = 90o，则C 的离心率的取值范围为（ ）
ù
A． 1,
5 5 5 5 ù
B．
2 ÷÷
1, ú C． 1, D． 1,
è è 2 è 4
÷
è 4 ú
【答案】D
【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】抛物线 y2 =16ax的准线与 x 轴交于 B ，则B -4a,0 ，
设 AB 的中点为D， A -a,0 5 ，则D - a,0 ，
è 2 ÷
在C 的渐近线上存在点 P ，使得 APB = 90o，
5 3
是以D - a,0÷ 为圆心，半径为 a的圆与渐近线bx - ay = 0 有公共点，
è 2 2
5 ab
所以 2 5ab 3= a,5b 3c, 25b2 9c2 ，
a2 + b2 2c 2
2
25c2 25a2 9c2 ,16c2 25a2 , c 25- ，
a2 16
1 c 5所以 < .
a 4
故选：D
8 0.5x = x log y = x y log z = 0.5z．已知 ， 0.5 ， x ，则（ ）
A． y < x < z B． z < x < y C． x < z < y D． z < y < x
【答案】A
【分析】将0.5x = x 变形为 log0.5 x = x，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得
到 0.5 < x <1，进而得到 x < z <1， y 0.5,1 ， x < x y ，结合 x = log0.5x ， log0.5 y = x y ，得到 log0.5 x < log0.5 y ，
x > y ，求出 y < x < z .
y z
【详解】要比较0.5x = x ， log x, y, z0.5 y = x ， log x z = 0.5 中的 大小，
y z
等价于比较 log0.5 x = x， log0.5 y = x ， log x z = 0.5 中的 x, y, z大小，
∵ x = log0.5x ，由定义域可知 x > 0，故 log0.5x > 0 = log0.51，
∵ y = log0.5x 在定义域上单调递减，\0 < x <1,0 < log0.5x <1，\0.5 < x <1，
∵0.5z > 0，∴ log zx z > 0 = log x1，∵ 0.5 < x <1，∴ 0 < z <1，故0.5 0,1 ，则 log x z 0,1 ，
\ x < z <1 y， log0.5 y = x ，由定义域可知： y > 0，又∵ 0.5 < x <1，
x y∴ 0,1 ，则 log0.5 y 0,1 ，\ y 0.5,1 ，故 x < x y y，∵ x = log0.5x ， log0.5 y = x ，
∴ log x < log y ，\ x > y，\ y < x < z0.5 0.5 .
故选：A.
9．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - AB1C1D1中，E，F，G 分别是 AB ，BC ，CC1的中点，点 P 在线段 B1D1
上，BP// 平面EFG ，则以下错误的是（ ）
A．D1C 与EF 所成角为60° B．点 P 为线段 B1D1的中点
C．三棱锥P - EFG 1的体积为 2 D．平面EFG 截正方体所得截面的面积为3 3
【答案】C
【分析】对于 A，连接 AC, AD1 ，得出 ACD1即为D1C 与EF 所成角的平面角即可判断；对于 B，连接
A1C1, A1B, BC1，证明平面PBC1和平面EFG 重合即可判断；对于 C，利用等体积法求出三棱锥P - EFG的体
积；对于 D：先判断出平面EFG 截正方体所得截面为正六边形EFGHIJ ，边长为 2 ，即可判断.
【详解】对于 A，连接 AC, AD1 ，
因为E, F 分别为 AB, BC 的中点，所以EF //AC ，
所以 ACD1即为D1C 与EF 所成角的平面角，
在△ACD1中， AC = CD1 = AD1，故 ACD1 = 60°，
所以D1C 与EF 所成角为60°，故 A 正确；
对于 B，连接 A1C1, A1B, BC1，
因为 AA1 //CC1 且 AA1 = CC1，
所以四边形 ACC1A1 为平行四边形，所以 AC //A1C1，
又因为EF //AC ，所以EF //A1C1，
又EF 平面EFG ， A1C1 平面EFG ，
所以 A1C1 //平面EFG ，
因为F ,G 分别为BC,CC1的中点，所以FG//BC1 ，
又 FG 平面EFG ，BC1 平面EFG ，
所以BC1 // 平面EFG ，
又 A1C1 I BC1 = C1, A1C1, BC1 平面 A1BC 1，
所以平面 A1BC1 // 平面EFG ，
因为BP// 平面EFG ，BP BC1 = C1, BP, BC1 平面PBC 1，
所以平面PBC1 // 平面EFG ，
而BC1为平面PBC1和平面EFG 的公共边，
所以平面PBC1和平面EFG 重合，
所以点 P 即为 A1C1, B1D1的交点，
所以点 P 为线段 B1D1的中点，故 B 正确；
对于 C：因为BP// 平面EFG ，所以点B, P到平面EFG 的距离相等，
V 1 1 1 1所以 P-EFG = VB-EFG = VG-BEF = S3 VBEF
CG = 1 1 1 = ，故 C 错误；
3 2 6
对于 D：分别取C1D1， A1D1， AA1的中点为H , I , J ，连接GH , HI , IJ , JE, JG, A1B ，
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， AC //JG, AC //EF ，
所以 JG//EF ，所以E, F,G, J 四点共面，
同理可证：E, F ,G, J , H , I 共面，
在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，所以EF = 12 +12 = 2 .
同理可求：FG = GH = HI = IJ = JE = 2 ，
所以平面EFG 截正方体所得截面为正六边形EFGHIJ ，边长为 2 ，
1
面积为6 2 2 sin 60° = 3 3 ，故 D 正确.
2
故选：C.
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
3
10． 1+ x + x2 的展开式中， x2的系数是 .
【答案】6
【分析】利用组合方法求出通项，然后可得.
3【详解】对于 1+ x + x2 的展开式，依据排列组合知识，
2
相当于从 1+ x + x 1+ x + x2 1+ x + x2 这 3 个因式中选出 k 个因式取元素 x2，
再从剩下的3 - k 个因式中选出 r 个因式取元素 x ，
最后再从剩下的3 - k - r 个因式中取元素 1.
k r 3-k -r
根据分步乘法计数原理，可知选取的情况种数为C3C3-kC3-k -r .
2 3所以可以得到 1+ x + x 的通项公式为：
CkCr C3-k -r 3-k -r r 2
k
3 3-k 3-k -r1 x . x k = 0,1,2,3, r r Z∣0 r 3- k .
1 0 2 0 2
根据通项公式，可得 x2的系数为C3C2C2 + C3C3C11 = 6 .
故答案为：6
11．已知复数 z1 = cosq - i， z2 = sinq + i q R ，则 z1z2 的实部的最大值为 ．
3
【答案】 /1.5
2
【分析】直接计算可知 z1z2 的实部为 cosq sinq +1，然后求 cosq sinq +1的最大值即可.
【详解】直接计算知：
z1z2 = cosq - i sinq + i = cosq sinq +1 + cosq - sinq i ，
故 z1z2 的实部为 cosq sinq +1.
cosq sinq 1 1而 + = sin 2q +1
1 3
+1 = ， cos π sin π 1 2 2 3+ = × +1 = ，
2 2 2 4 4 2 2 2
3 3
所以 cosq sinq +1的最大值为 ，故 z1z2 2
的实部的最大值为 .
2
3
故答案为： .
2
12．已知 a R ，直线 l : (a +1)x + 2y - 2a = 0 恒过定点 P ，圆C 的圆心与点 P 关于直线 y = x 对称，直线
l : 2x + y - 5 = 0与圆C 相交于 A, B两点，且 | AB |= 2，则圆C 的半径为 ．
【答案】 6
【分析】根据题意，由直线过定点可得点 P 的坐标，从而可得点C 的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，
即可得到结果.
【详解】直线 l : (a +1)x + 2y - 2a = 0 的方程可化为 a x - 2 + x + 2y = 0，
ìx - 2 = 0 ìx = 2
令 í ，解得 í ，所以点 P 的坐标为 2, -1
x + 2y = 0 y 1
，
= -
又圆C 的圆心与点 P 关于直线 y = x 对称，则C -1,2 ，
设圆C 的方程为 x +1 2 + y - 2 2 = r 2 r > 0 ，
-2 + 2 - 5
且圆C 的圆心到直线 l : 2x + y - 5 = 0的距离为 d = = 5，
22 +12
又 | AB | 2 2= ，则 r = 12 + 5 = 6 .
即圆C 的半径为 6 .
故答案为： 6 .
uuur uuur uuur uuur uuur
13．在边长为 2的菱形 ABCD中， BAD = 60
1
°，且CE = ED ，BE = lBA + m BC ，则l + m = ；若F
3
uuur uuur
为线段 BE 上的动点，则DF × BF 的最小值为 ．
5 25
【答案】 /1.25 -
4 52
uuur 1 uuur
【分析】依题意可得CE = CD ，根据平面向量线性运算及基本定理求出l 、m ，建立平面直角坐标系，求
4
uuur uuur
出F 点坐标，设BF = tBE 0 t 1 ，利用坐标法及二次函数的性质计算可得.
uuur uuur uuur uuur
【详解】因为CE
1
= ED 1，所以CE = CD ，
3 4
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuurBE BC CE BC CD BC 1
uuur
所以 = + = + = + BA，
4 4
uuur uuur uuur uuur 1uuur ì l = 5
又BE = lBA + m BC 且BA、BC 不共线，所以 í 4 ，所以l + m =
4
；
m =1
如图建立平面直角坐标系，则D 2,0 ，B 1, 3 ，C 3, 3 ，
uuur uuur 1 uuur 所以CD = -1, - 3 E 11, 3 3，由CE = CD ，所以 ，4 è 4 4 ÷÷
uuur
所以BE
7 3
= ,- ÷÷，因为F 为线段 BE 上的动点，
è 4 4
uuur uuur uuur uuur 7t 3t 7t
设BF = tBE 0 t 1 ，所以BF = tBE = ,- ÷÷，所以F +1,
3t
- + 3 ，
è 4 4 ÷
÷
è 4 4
uuur
DF 7t 3t
所以 = -1, - + 3 ÷÷，
è 4 4
uuur uuur 7t 7t
所以DF × BF = -1
3t 3t 13 5
÷ + - ÷÷ - + 3 = t
2 - t
4 è 4 è 4 4 ÷
÷
è 4 2
13 5
2
25 5 uuur uuur 25= t -
4 13 ÷
- ，所以当 t = 时 取得最小值，且最小值为- .
è 52 13
DF × BF 52
5 25
故答案为： ；-
4 52
14．一袋中装有 3 个红球，5 个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入 2 个与取出的球颜色相同的球，
再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入 2 个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.
（1）第二次取出的球是黑球的概率为 ；
（2）在第一次取出的球是红球的条件下，第 2 次和第 2025 次取出的球都是黑球的概率为 .
5 7
【答案】 /0.625
8 24
【分析】（1）利用全概率公式即可解决；
（2）计算P A2 A∣4 A1 7、P A2 A∣5 A1 等探寻规律即可发现其概率均为 .24
【详解】记 Ai 表示第 i 次取到黑球，则
5 7 3 5 5
（1）P A2 = P A1 P A∣2 A1 + P A1 P A∣2 A1 = + = ，8 10 8 10 8
5
则第二次取出的球是黑球的概率为 .
8
（2）P A2 A 5 7 7∣3 A1 = =10 12 24
P A A A P A 5 7 9 5 5 7 72 ∣4 1 = 2 A3 A∣4 A1 + P A2 A3 A∣4 A1 = + =10 12 14 10 12 14 24
P A2 A∣5 A1 = P A2 A3 A4 A∣5 A1 + P A2 A3 A4 A∣5 A1 + P A2 A3 A4 A∣5 A1 + P A2 A3 A4 A∣5 A1
5 7 9 11 5 7 5 9 5 5 7 9 5 5 7 7
= + + +
10 12 14 16 10 12 14 16 10 12 14 16 10 12 14 16
7
=
24
………
P A2 A∣n A1 7= n > 2 24
* 5
事实上，可以证明：① "n N , P An = ；8
② "n > 2, P A A A 72 ∣n 1 = 24 n N
* ；
③ "n > m 2, P Am A∣n A1 7= m N*, n N *24 .
5 7
故答案为： ； .
8 24
15 x > 0,e2x．已知 - 2lnx + 4 - a x 2lna 恒成立，则正数 a的取值范围为 ．
【答案】 0,2e
e2 x + 4x 2ln ax + ax e2x + 4x eln ax 【分析】将原不等式同构为 ，即 + 2ln ax ，令 f x = ex + 2x，分析单
调性可得 lna 2x - lnx ，令h x = 2x - lnx(x > 0)利用导数求出最值得解.
2 x
【详解】由e - 2lnx + 4 - a x 2lna e2 x，可得 + 4x 2ln ax + ax ．
令 f x = ex + 2x，易知 f x 在R 上单调递增，
e2x由 + 4x 2ln ax + ax = eln ax + 2ln ax ，可得 f 2x f ln ax ，
故2x ln ax ，即 lna 2x - lnx .
令h x = 2x - lnx(x > 0)，则 h x = 2 1 2x -1- = ，
x x
1 1
当0 < x < 时， h x < 0，当 x > 时， h x > 0，
2 2
所以 h x 在 0,
1 1
÷上单调递减，在 ,+
è 2 è 2 ÷
上单调递增，
则h(x)
1
min = h
÷ = 1+ ln22 ，è
所以 lna 1+ ln2，即 a 2e，
故正数 a的取值范围是 0,2e .
故答案为： 0,2e .小题限时卷 01（A 组+B 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1．已知集合U = 1,2,3,4,5 ， A = 2,3 ，B = x x = 2k,k Z ，则B I U A = （ ）
A． 4 B． 2,4 C． 1,2 D． 1,3,5
2．设 a,b R ，则“ a > b ”是“ lg a - b > 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）
A．a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关 B．a 为负相关，b 为不相关，c 为正相关
C．a 为负相关，b 为正相关，c 为不相关 D．a 为正相关，b 为不相关，c 为负相关
4．下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． f (x) = cos(sin 2x)
1- x
B． f (x) = lg
1+ x
f (x) log 4x 1 1 2
x - 2- xC． = 4 + - x D． f (x) =2 2x + 2- x
a 5 , b ln 315．设 = = , c = sin
5
，则（ ）21 21 21
A． c < b < a B．a < b < c C． c < a < b D．b < c < a
6．在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，若棱长为1，E，F 分别为线段BD1, BC1 上的动点，则下列结论中错误的
个数为（ ）
（1）DB1 ^ 平面 ACD1
（2）直线 AE 与平面 BB1D1D
1
所成角的正弦值为定值
3
（3）平面 A1C1B / / 平面 ACD1
3
（4）点F 到平面 ACD1的距离为定值
3
A．0 B．1 C．2 D．3
π π
7．已知函数 f x = sin wx + 3 ÷ w > 0 图象的一条对称轴是 x = ，且在 0, π 2 上有且仅有两个对称中心，则è
函数 f x 的解析式为（ ）
f x sin 1 πA． = x + ÷ B． f x = sin
7 x π+
è 3 3 è 3 3 ÷
π 10
C． f x = sin 2x + ÷ D． f x = sin x
π
+
è 3 è 3 3 ÷
x2 y28．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2，M 为双曲线的渐近线上的点，满足a b
uuuur uuuur
F M F M 0 | MF |= 2 | MF | MF F 201 × 2 = ，且 1 2 ，△ 1 2 的面积为 ，则双曲线C 的方程为（9 ）
2 2 2
A． x2 9y x y- =1 B． - =1
16 9 16
2 2 2
C 9x． - y2 = 1 D
x y
．
16 - =136 64
uuur uuur uuur uuur
9．如图，在体积为V 的正四棱锥 P - ABCD 中， PE = 2EB， PF = FD ，设平面 AEF 与直线 PC 交于点G ，
记四棱锥P - AEGF 的体积为V1，则V1 :V =（ ）
1 2 7 7
A． B． C． D．
5 5 15 30
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
a - 2i a - 2i
10．i 是虚教单位，若复数 是纯虚数，则 = ．
2 + i 2 + i
1 6 1511．已知 ax -
è x2 ÷
a > 0 的展开式中的常数项为 ，则展开式中所有项的系数之和为 ．
16
12．已知抛物线 y2 = 4x上位于第一象限内的点 P 到抛物线的焦点F 的距离为 5，过点 P 作圆
x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的切线，切点为M ，则 PM = ．
13．某体育器材商店经营 A, B,C 三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为 0.9，0.8，0.7，
市场占有比例为 4 : 4 : 2 ，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产
品的概率为 ；若该健身中心从 A, B,C 三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率
为 ．
14．平面四边形 ABCD中， A = C = 90o， CBD = 30o ， BC = 3，点O为线段BD的中点．
uuur uuur
（I）若 ABD = 30o ，则 ；
uuur uuur AC × AO =
（II） AC - 2AO 的取值范围是 ．
ì x+1 2 + a，x < 0
15．已知 a R ，函数 f (x) =
í sin πx ,当 x > 0时，函数 f (x) 的最大值是 ；若函数 f (x) 的图象
2
2x-1 + 2- x+1
, x > 0
上有且只有两对点关于 y 轴对称，则 a的取值范围是 ．
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1．已知集合 A = {0,1,2}，B = {0,2,4}，C = {x | 2 lg x <1}，则 (A B) C =（ ）
A．{0,1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{1,2,4}
2．设 x R ，则“ x - sin x < 0 ”是“ x < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在 1，3，6，7，9，10，12，15 这组数据中，第 50 百分位数为 8
B．分类变量 A 与 B 的统计量 c 2 越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为 y = b x + a ，若b = 2 ，x =1，y = 3，
则 a =1
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
x
4 2 + a．已知 f x = x 是奇函数，则不正确的是（ ）2 -1
A．a =1 B． f x 在x - ,0 上单调递增
C． f x 的值域为 - , 1 1, f 3x f 3 x , 1- + > D． 的解集为 - ÷
è 2
5．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为
r r．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为 a，则 =（ ）a
3 3
A． 2 + 2 B． 2 - 2 C． 2 +1 D． 2 -12 2
6．已知函数 f x = sin wx +j 13π+ * π π π 7π 2 ÷ (w N ,0 < j < )在 - ,2 6 6 ÷上单调，且 f ÷ = 0，若将函数 y = f (x)è è è 12
的图象向右平移m(m > 0)个单位长度后关于 y 轴对称，则 m 的最小值为（ ）
2π π π π
A． B． C3 ． D．3 4 6
2 2
7 x y．已知双曲线C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0), A为C 的左顶点，抛物线 y
2 =16ax的准线与 x 轴交于 B ．若在C 的
a b
渐近线上存在点 P ，使得 APB = 90o，则C 的离心率的取值范围为（ ）
1, 5
5 ù 5 5 ù
A． ÷÷ B． 1, ú C． 1, ÷ D． 1,
è 2 è 2 è 4 è 4
ú
8．已知0.5x = x ， log0.5 y = x
y
， log x z = 0.5
z
，则（ ）
A． y < x < z B． z < x < y C． x < z < y D． z < y < x
9．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - AB1C1D1中，E，F，G 分别是 AB ，BC ，CC1的中点，点 P 在线段 B1D1
上，BP// 平面EFG ，则以下错误的是（ ）
A．D1C 与EF 所成角为60° B．点 P 为线段 B1D1的中点
C 1．三棱锥P - EFG的体积为 2 D．平面EFG 截正方体所得截面的面积为3 3
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
3
10． 1+ x + x2 的展开式中， x2的系数是 .
11．已知复数 z1 = cosq - i， z2 = sinq + i q R ，则 z1z2 的实部的最大值为 ．
12．已知 a R ，直线 l : (a +1)x + 2y - 2a = 0 恒过定点 P ，圆C 的圆心与点 P 关于直线 y = x 对称，直线
l : 2x + y - 5 = 0与圆C 相交于 A, B两点，且 | AB |= 2，则圆C 的半径为 ．
uuur uuur uuur uuur uuur
13．在边长为 2的菱形 ABCD中， BAD = 60
1
°，且CE = ED ，BE = lBA + m BC ，则l + m = ；若F
3
uuur uuur
为线段 BE 上的动点，则DF × BF 的最小值为 ．
14．一袋中装有 3 个红球，5 个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入 2 个与取出的球颜色相同的球，
再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入 2 个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.
（1）第二次取出的球是黑球的概率为 ；
（2）在第一次取出的球是红球的条件下，第 2 次和第 2025 次取出的球都是黑球的概率为 .
15．已知 x > 0,e2x - 2lnx + 4 - a x 2lna 恒成立，则正数 a的取值范围为 ．
