小题限时卷 02（A 组+B 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1． A = x | -2 x 5 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，若 AU B = A，则实数m的取值范围是（ ）
A． - ,3 B． - , 2 C． 2,3 D． - ,3
【答案】A
【分析】根据 AU B = A可得B A，从而可讨论 B 是否为空集建立不等关系解出m的范围即可．
【详解】已知集合 A = x | -2 x 5 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，
Q AU B = A，\B A，
①当B = 时，满足B A，此时m +1 > 2m -1，故m < 2；
ìm +1 2m -1
②当B 时，因B A ，则 ím +1 -2 ，解得 2 m 3．
2m -1 5
综上，m - ,3 ．
故选：A.
π
2．已知a R ，则“ tana =1”是“a = + kπ k Z ”的（ ）
4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分必要条件的概念判断即可.
π π
【详解】若 tana =1，则a = + kπ k Z ，反之若a = + kπ k Z ，则 tana =1，
4 4
π
所以 tana =1是a = + kπ k Z 的充要条件.
4
故选：C
3．下列说法错误的是 （ ）
A 2．若随机变量 X 服从正态分布 X : N 3,s ，且 P X 4 = 0.7 ，则 P 3 < X < 4 = 0.2 ;
B．一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的第 60 百分位数为 14 ;
C．对具有线性相关关系的变量 x, y ,利用最小二乘法得到的经验回归方程为 y = 0.3x - m ,若样本点的
中心为 m, 2.8 ，则实数m的值是 -4 ;
D．若决定系数 R2 越大，则两个变量的相关性越强.
【答案】B
【分析】对于 A：根据正态分布特点得到；对于 B：利用百分位数定义即可得到；
对于 C：利用回归方程经过样本中心点即可得到答案；对于 D，利用决定系数性质即可得到结果；
A X X : N 3,s 2【详解】对于 ：因为随机变量 服从正态分布 ，且 P X 4 = 0.7 ，
所以P(3 < X < 4) = P(X 4) - P(X > 3) = 0.7 - 0.5 = 0.2,故 A 正确；
14 +16
对于 B：这组数据一共 10 个数据，则10 60% = 6 ，故第 60 百分位数为 =15，故 B 错误；
2
对于 C：因为回归方程为 y = 0.3x - m ，若样本点的中心为 m, 2.8 ，所以 2.8 = 0.3m - m，解得m = -4，
故 C 正确；
对于 D：决定系数 R2 越大，则两个变量的相关性越强，故 D 正确；
故选：B
2ax4．已知 f x ×cosx= 2x 是奇函数，则 a =（ ）2 -1
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由奇函数的性质列方程求参数即可.
ax
f x 2 ×cosx【详解】 =
22x
是奇函数，
-1
-ax ax
由 f -x = - f (x) 2 ×cos(-x) 2 ×cos x得 -2x = -2 -1 22x ，-1
2(2-a) x ×cos x 2ax ×cos x
所以 = 恒成立，则 2 - a = a ，解得 a =1 .
1- 22x 1- 22x
故选：C
1
5．已知 a = 2log2 0.4，b = log0.4 2 ， c = log0.3 0.4
，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > a > b D． a > c > b
【答案】C
【分析】由对数的运算性质变形可得.
1
【详解】 a = 2log2 0.4 = 0.4，b = log0.4 2 < 0 = log0.4 1， c = = log0.4 0.3 > log0.4 0.4 =1log0.3 0.4
，
所以 c > a > b .
故选：C.
6．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今 2000 多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起
源．如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体 ABCEF ，D为边 AB 的中点，四边形 EFDC 为矩形，
且DF ^ AB ， AC = BC = 3， ACB = 120o ，当 AE ^ BE 时，多面体 ABCEF 的体积为（ ）
A 9 6 B 9 3 C 9 6 D 9 3． ． ． ．
4 8 8 4
【答案】A
【分析】由线面垂直的判定与性质，根据等腰三角形的性质与勾股定理，求得底面积，利用三棱锥体积公
式，可得答案.
【详解】在矩形CEFD中，有FD ^ CD，CE / /FD，
因为DF ^ AB ， AB ICD = D， AB,CD 平面 ABC ，所以FD ^平面 ABC
则CE ^平面 ABC ，因为 AC, BC 平面 ABC ，所以CE ^ AC ，CE ^ BC ，
在VABC 中，由 AC = BC = 3， ACB = 120o ，则 AB = 2 × AC ×sin 60° = 3 3，
又因D为 AB 的中点，则CD ^ AB ，易知CD = AC ×cos 60
3
° = ，
2 AB = 2AD = 2 AC sin 60° = 3 3
，
易知VECA @VECB ，则 AE = BE ，因 AE ^ BE ，则 AE = AB ×sin 45 3 6° = ，
2
2
RtVACE CE AE2 AC 2 3 6 32 3 2在 中， = - = 2 ÷÷
- = ，
è 2
CDFE S CD CE 3 3 2 9 2则矩形 的面积 = × = = ，
2 2 4
因为DF ^ AB ，CD ^ AB ，CD DF = D，CD, DF 平面CDFE，所以 AB ^平面CDFE，
多面体 ABCDEF 1 1 9 2 9 6的体积V = × AB × S = 3 3 = .
3 3 4 4
故选：A.
f x Asin wx j B A 0,w 0, j π7．已知函数 = + + > > <
÷的部分图象如图所示，则下列正确个数有（2 ）è
① f x π 关于点 ,3
è 6 ÷
对称；
② f x π关于直线 x = 3 对称；
f x é π 5π ù③ 在区间 ê , ú 上单调递减； 2 6
④ f x 5π π 在区间 - , ÷上的值域为 1,3 ；
è 12 12
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可.
5 -1 5 +1
【详解】由函数的图象可知： A = = 2，B = = 3 .
2 2
因为 f 0 = 2 2sinj + 3 = 2 sinj 1= - ，又 j π π< ，所以j = - .
2 2 6
f π- =1 2sin wπ π- - + 3 =1 sin wπ π 因为 ÷ ÷ - - ÷ = -1，
è 6 è 6 6 è 6 6
wπ π π
所以- - = - + 2kπ ， k Z .所以w = 2 -12k ， k Z .
6 6 2
T π π 2π π
由图象可知： > T > ，即 > w < 6 .
2 6 3 w 3
所以当 k = 0时，w = 2 .
所以 f x = 2sin 2x
π
- ÷ + 3 .
è 6
f π 对①：因为 ÷ = 2sin
π π
2 - ÷ + 3 = 4 ，所以 f x
π
的图象不关于 ,3
6 6 6 6 ÷
对称，①错误；
è è è
f π = 2sin 2 π π - + 3 = 5 f x x π对②：因为 ÷ ÷ ，所以 的图象关于直线 = 对称，②正确；
è 3 è 3 6 3
x é π , 5π ù 2x π é5π , 3π对③：当
ù
ê ú时， - ê ú ，因为 y = sin x
é5π , 3π ù é π 5π ù在 ê ú 上单调递减，所以函数 f x 在 , 2 6 6 6 2 6 2 ê 2 6 ú
上单调递减，③正确；
x 5π π π对④：当 - , ÷ 时， 2x
π
- -π, 0 ，所以 sin 2x - ÷ -1,0 ，所以 f x 1,3 ，④正确.
è 12 12 6 è 6
故选：C
2 2
8 x y．已知双曲线C ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，C 上一点M -3,4 关于一条渐近线a b uuur uuuur
的对称点恰为右焦点F2．若 N x0 , y0 是C 上的一个动点，满足 NF1 × NF2 < 0 ，则 y0 的取值范围是（ ）
A． -5,5 B． -4,4 C． -5, 4 D． -4,5
【答案】B
π uuuur uuuur
【分析】依题意可得 F2MF1 = ，则MF1 × MF2 = 0 ，从而得到点 N 在以O为圆心， OF2 = OM 为半径的圆2
的内部，即可求出 y0 的取值范围.
b
【详解】设MF2 与渐近线 y = x 的交点为 P，则 P为MF2 的中点，且OP ^ MF2 ，a
π uuuur uuuur
又O为F1F2 的中点，所以OP//MF1 ，即 F2MF1 = ，所以MF1 × MF2 = 0 ，
uuur uuuur 2
要使 NF1 × NF2 < 0 ，则点 N 在以O为圆心， OF2 = OM 为半径的圆的内部，
根据对称性可知-4 < y0 < 4，即 y0 的取值范围是 -4,4 .
故选：B
9．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中， AC I BD = O ，E 是线段B1C （含端点）上的一动点，
①OE ^ BD1；
② OE // 平面 A1C1D ；
③三棱锥 A1 - BDE的体积为定值；
④ OE 与 A1C1所成的最大角为90° .
上述命题中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】利用正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定和性质，异面直线所成角及锥体体积计算对 4
个命题逐个判断即可得出结论.
【详解】对于①，因为 AB ^平面BCC1B1， B1C 平面BCC1B1，则 AB ^ B1C ，
又因为B1C ^ BC1，且 AB I BC1 = B, AB、BC1 平面 ABC1D1 ，
得 B1C ^ 平面 ABC1D1 ，又BD1 平面 ABC1D1 ，所以 B1C ^ BD1；
因为B1B ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，则B1B ^ AC ，
又因为 BD ^ AC, B1B I BD = B, B1B、BD 平面 BB1D1D，
所以 AC ^平面 BB1D1D，又BD1 平面 BB1D1D，
所以 AC ^ BD1，又 B1C I AC = C, B1C、AC 平面 AB1C ，所以 BD1 ^平面 AB1C .
又OE 平面 AB1C ，所以OE ^ BD1，正确；
对于②，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，因为 A1B1 // CD， A1B1 = CD ，
所以四边形 A1B1CD 是平行四边形，所以 A1D / /B1C ，
又因为 A1D 平面 AB1C ， B1C 平面 AB1C ，所以 A1D / / 平面 AB1C ，
同理， A1C1 / / 平面 AB1C ，又 A1D A1C1 = A1, A1D, A1C1 平面 A1C1D ，
所以平面 AB1C / / 平面 A1C1D .又OE 平面 AB1C ，所以OE // 平面 A1C1D ，正确；
对于③，由②知 A1D / /B1C ，B1C 平面 A1BD ， A1D 平面 A1BD ，
所以B1C / / 平面 A1BD ，所以点E 到平面 A1BD 的距离等于点B1到平面 A1BD 的距离，
V 1 1 1 1所以 A1 -BDE = VE- A = V1BD B1 - A1BD = VD- A1B B = S1 3 V A1B B
1 = 1 1 1 = 为定值，正确；
1 3 2 6
对于④，当E 与B1重合时，OE 与 A1C1所成的角最大,最大为90°，理由如下：
因为 A1C1 ^ B1D1，BB1 ^ 平面 A1B1C1D1， A1C1 平面 A1B1C1D1，
所以BB1 ^ A1C1，B1D1 BB1 = B1，且B1D1, BB1 平面 BB1D1D，
所以 A1C1 ^ 平面 BB1D1D，
OE 平面 BB1D1D，所以 A1C1 ^ OE ，所以OE 与 A1C1所成的最大角为90°，正确.
故正确的命题个数为 4 个.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查了线线、线面关系的判断及锥体的体积，解题的关键是利用等体积转化法
判断体积为定值.
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
10．已知 zn = 1+ i 1
i
+ ×× × 1 i+ （ n N* ），则 z - z 的值为 ．
è 2 ÷ n ÷
2023 2024
è
【答案】1
【分析】由已知条件先表示出 z2023 - z2004 ，利用复数模的性质计算 z2023 - z2024 .
z = 1+ i 1 i+ ×× × 1 i+ 【详解】由 n ÷ （ n N* ），
è 2 è n ÷
ì
z2023 = 1+ i
1
i 1 i + ÷ ××× + ,
è 2 è 2023
÷
得到 í
z = 1 i i+ i i 2024 1+ ÷ ×××2
1+
2023 ÷
1+
2024 ÷
,
è è è
从而有 z2023 - z2004 = 1 i
1 i i i+ +
÷ × × ×
1+
÷ ×
è 2 2023
- ÷ ，
è è 2024
z z 1 i 1 i 1 i i 2 3 2024 1则 2023 - 2024 = + + ××× + × - = ××× =1．2 2023 2024 2 2023 2024
故答案为：1
1 411 ．已知 2x + a - ÷ 的展开式中的常数项为19，则 a = .
è 2x
【答案】± 13
【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可.
4
1
【详解】二项式 2x + a - 2x ÷
的展开式中的常数项为
è
C1C1 2 1 2 2 2 1
2
4 2
4 3 2x a - ÷ + C4C2 2x - ÷ + a = -12a + 6 + a4 ，
è 2x è 2x
则-12a2 + 6 + a4 =19，解得 a2 =13或 a2 = -1（舍去），
所以a = ± 13 .
故答案为：± 13
12．已知 M 为抛物线 y2 = 8x上一点，以 M 为圆心，1为半径作得圆 M ．过点 N 6, 0 作圆 M 的两条切线，
切点分别为 A, B，则四边形MANB 周长的最小值是 ．
【答案】 2 31 + 2 / 2 + 2 31
【分析】利用圆的性质结合勾股定理求解边长，结合二次函数性质求解最值即可.
【详解】因为M 是圆心，半径为 1，所以 MA = MB =1，
如图，设点M x1, y1 ，连接MN ，
因为 NA, NB是圆的两条切线，所以 NA ^ MA, NB ^ MB ，
2
由勾股定理得 NA = NB = MN -1，
由两点间距离公式得 MN 2 = (x1 - 6)
2 + y21 ，
因为M (x , y ) 为抛物线 y21 1 = 8x上一点，所以 y21 = 8x1，
2
故 MN = (x - 6)2 + 8x = x21 1 1 -12x1 + 36 + 8x1 = x
2
1 - 4x1 + 36 = (x
2
1 - 2) + 32，
x = 2 MN 2当 1 时，此时 取得最小值，最小值为32，
2 2
则 MN 32 ，故 MN -1 31，即 NA 31，同理 NB 31 ，
而CMANB = MA + MB + NA + NB = 2 + 2 NA 2 + 2 31，
故当圆心为M (2, 4) 或M (2,-4)时，四边形MANB 周长最小，最小为 2 + 2 31 .
故答案为： 2 31 + 2 .
13．某中学组建了A ，B，C ，D，E 五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只
能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记
事件M 为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A ”，则P M = ；若甲、乙、丙三名学生中有两
人参加社团A ，则恰巧甲参加社团A 的概率为 ．
12 2
【答案】
125 3
【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A 的事件数，及恰巧甲参加社团A 的事件数，
再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有5 5 5 =125个，
2 1 12
若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A ，则有C3C4 =12 种选择，所以P M = ；125
甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A ，则恰巧甲参加社团A ，则有C1 12C4 = 8种选择，
8 2
所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A ，则恰巧甲参加社团A 的概率 P = = .12 3
12 2
故答案为： ；
125 3 uuur uuur
14．如图uu，ur 梯uuu形r ABCD，AB / /CD 且 AB = 5，AD = 2DC = 4，AC × BD = 0，则 BAD = ，E 在线段BC
上，则 AE × DE 的最小值为 .
π 95 4
【答案】 / 7
3 13 u1u3ur uuur
【分析】取平面的一个基底{AB, AD}，利用向量线性运算及数量积的运算律求出 cos BAD 可得 BAD ；
uuur uuur
作DF ^ AB ，以F 为原点建立平面直角坐标系，设BE = lBC ，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出
最小值.
uuur 2 uuur
【详解】在梯形 ABCD中， AB / /CD 且 AB = 5， AD = 2DC = 4，则DC = AB ，
5
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
于是 AC × BD = (AD + DC) × (AD - AB) = (AD
2
+ AB) × (AD - AB)
5
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
= AD 2- AB 3- AB × AD AD 2= - AB 3- AB × AD cos BAD
5 5 5 5
π
= 6 -12cos BAD = 0，则 cos BAD
1
= ，又 BAD (0, π)2 ，所以 BAD = ；uuur uuur 3
作DF ^ AB 于F ，以F 为原点，FB, FD正方向为 x, y 轴建立平面直角坐标系，如图，
uuur
则 A(-2,0), B(3,0), D(0, 2 3),C(2, 2 3)，BC = (-1, 2 3)，
uuur uuur
令BE = lBC = (-l, 2 3l),0 l 1，则E(3 - l, 2 3l)，
uuur uuur
AE = (5 - l, 2 3l)，DE = (3 - l, 2 3l - 2 3)，
uuur uuur
因此 AE × DE = (5 - l)(3- l) + 2 3l(2 3l - 2 3) =13l 2 - 20l +15，
10 uuur uuurl 95所以当 = 时， AE × DE 取得最小值，最小值为 .13 13
π 95
故答案为： ；
3 13
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
ì2 x - a, x 1,
15．已知函数 f x = í 当 a =1时，不等式 f x > x的解集是 ；若关于 x的方程 f x = 0
- x - a
2 + a, x >1,
恰有三个实数解，则实数 a的取值范围是 ．
3 - 5 ù 3 + 5
【答案】 (- ,
1
- ) , 2ú U , + ÷3 ÷è 2 è 2
【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行讨论分析求解即可．
ì2 x - a, x 1 ì2 x -1, x 1
【详解】解：当 a =1时， f (x) = í
-(x - a)2
= ，
+ a, x >1
í 2
-(x -1) +1, x >1
当 x 1时，由 f (x) > x得 2 | x | -1 > x，
当0 x 1，不等式等价为 2x -1 > x ，即 x >1此时不等式不成立，
1
当 x < 0 时，不等式等价为-2x -1 > x，得 x < - ，
3
当 x >1时，由 f (x) > x得 -(x -1)2 +1 > x，得 x2 - x < 0，得0 < x <1，此时无解，
1
综上不等式 f (x) > x的解集 (- , - )，
3
当 x 1时， f (x) = 2 | x | -a的最小值为 f (0) = -a ，在 (0 ，1]上的最大值为 f （1）= 2 - a ，
当 x >1时，函数 f (x)是开口向下的抛物线对称轴为 x = a，顶点为 (a, a)，
当 x 1时， f (x) = 2 | x | -a最多有两个零点，
当 x >1时， f (x) = -(x - a)2 + a 最多有两个零点，
则要使 f (x) = 0 恰有三个实根，
则当 x 1时，有两个零点， x >1时有一个零点，
或当 x 1时，有一个零点， x >1时有两个零点，
ì f (0) = -a < 0 ìa > 0
①若当 x 1时，有两个零点，则 í f (1) 2 a ，得= - 0 í ，即0 < a 2 ， a 2
此时当 x >1时只能有一个零点，
若对称轴 a满足1< a 2，此时当 x a时，必有一个零点，
则只需要当1< x a 时， f （1）= -(1- a)2 + a = -a2 + 3a -1 0，即 a2 - 3a +1 0 ，
3- 5 a 3+ 5得 ，此时1< a 2，
2 2
若对称轴 a满足0 < a 1，此时 f (x)在 (1, + )上为增函数，
要使 f (x)此时只有一个零点，则 f （1）= -(1- a)2 + a = -a2 + 3a -1 0
即 a2 - 3a 1 3- 5 3+ 5 3 - 5+ 0 ，得 a ，此时 < a 1，
2 2 2
②若当 x 1时，有一个零点，此时 f （1） = 2 - a < 0，
即 a > 2时，
此时当 x >1时，函数的对称轴 a > 2，
要使 x >1时有两个零点，则 f （1） = -(1- a)2 + a = -a2 + 3a -1 < 0
即 a2 - 3a +1 3 - 5 3 + 5 3 + 5> 0，得 a < 舍或 a > ，此时 a > ，
2 2 2
综上实数 a 3 + 5 3- 5的取值范围是 a > 或 < a 2，
2 2
1 3 - 5 ù 3 + 5
故答案为： (- , - )， , 2ú U , + 2 2 ÷÷ ．3 è è
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及函数零点个数的应用，结合绝对值函数和一元二次函数的
图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1．已知集合 A = y∣y = log2x, x >1 , B
ì
= íy y
1 ü
= x , x >1 ，则 A I B = （ ）
2
ì
A． íy 0
1 ü
< y < B．{y∣0 < y <1}
2
ì
C． íy
1
< y <1ü
2
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的值域可化简集合 A，根据指数函数的值域化简集合 B，然后利用集合交集的运算求
解即可，
【详解】因为 x >1时， y = log2x > log21 = 0，所以集合 A = y∣y > 0 ，
x >1 0 y 1 1
x 1
1 1 ì 1 ü
因为 时， < = x = <2 2 ÷ 2 ÷
= ，所以集合B = íy∣0 < y < 2
，
è è 2
A 1 B = y y > 0 ìy 0 < y < ü = ì 1 ü所以 ∣ í∣ íy∣0 < y < ，
2 2
故选：A，
1
2．已知 a R ，使得不等式“ >1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
a
1
A． a > 2 B． a <1 C．0 < a < D．0 < a <1
2
【答案】C
【分析】借助分式不等式的解法解出原不等式后，结合充分不必要条件定义即可得.
1 1 1- a
【详解】由 >1，则有 -1 = > 0 ，即 a 1- a > 0，解得0 < a <1，
a a a
则0 < a
1 1
< 是使得不等式“ >1”成立的一个充分不必要条件. B 是必要不充分条件，A 是既不充分也不必要
2 a
条件，D 为充要条件
故选：C.
3．对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． r2 < r4 < 0 < r3 < r1 B． r4 < r2 < 0 < r1 < r3 C． r4 < r2 < 0 < r3 < r1
D． r2 < r4 < 0 < r1 < r3
【答案】A
【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可.
【详解】由散点图可知，相关系数 r2 , r4 所在散点图呈负相关，r1, r3 所在散点图呈正相关，所以 r1, r3 都为正数，
r2 , r4 都为负数．
r1, r2所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1，
而 r3, r4 所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1．
综上可得： r2 < r4 < 0 < r3 < r1．
故选：A．
ì x 2a -1 ，x < 0
4．已知函数 f x = í 满足对任意 x x 2 都有 x - x é f x - f x ù < 0成立，
-x + 4a - 3 x + 3a -1，x 0
则实数 a 的取值范围是 （ ）
A． 2,1 1 , 2] é 2 3 ù 1 3B． C
è 2 3
． ê , D． , ] 3 4 ú è 2 4
【答案】B
【分析】先根据 x - x é f x - f x ù < 0判断函数的单调性，再根据分段函数的单调性可得关于 a的不等
式组，解不等式组即可求解
【详解】因为对任意 x1 x2 ，都有 x - x é f x - f x ù < 0成立，
所以函数 f x 在 R 上单调递减，
ì1
ì0 < 2a -1 <1 < a <1
2
4a - 3
所以 í 0 ，即 ía
3
2 4
0 2 2
2a -1 - 0 + 4a - 3 0 + 3a -1 a 3
1
解得 < a
2
，
2 3
故选：B.
5 x．已知函数 f x = 2 + x， g x = x + log2 x， h x = x3 + x的零点分别为 x1, x2 , x3，则（ ）
A． x1 < x3 < x2 B． x2 < x1 < x3
C． x1 < x2 < x3 D． x3 < x1 < x2
【答案】A
【分析】利用零点存在定理及函数的单调性确定 f x 与 g x 的零点所在区间，再利用直接法求得 h x 的
零点，从而得解.
x
【详解】因为 f x = 2 + x，易得 f x 在R 上单调递增，
-1 1
又 f -1 = 2 -1 = - < 0， f 0 = 20 + 0 =1 > 0，即 f -1 × f 0 < 0，
2
所以 f x 在 -1,0 在存在唯一零点，即 x1 -1,0 ，
因为 g x = x + log2 x，易得 g x 在 0, + 上单调递增，
g 1 1 log 1 1 1 1又 ÷ = + 2 = - = - < 0 ， g 1 =1+ log
1
2 1 =1 > 0 g
，即 × g 1 < 0，
è 2 2 2 2 2 2 ÷è
g x 1 ,1 x 1所以 在 ÷在存在唯一零点，即 2 ,1
è 2 ÷
，
è 2
令 h x = 0 ，即 x3 + x = 0，即 x2 +1 x = 0，解得 x = 0，即 x3 = 0，
综上： x1 < x3 < x2 .
故选：A.
π
6．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = ， AB = AC = AA1 = 1，已知G 与E 分别为 A2 1
B1 和CC1的
中点，D与F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点），若GD ^ EF ，则线段DF 的长度的取值范围
为（ ）
A． é 2, 3ù
é 2 , 5
ù
B． ê ú 4 2
é 5 é 5
C． ê ,1÷÷ D． ê , 2
5
÷
÷ 5
【答案】C
【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出D、F
的坐标，利用GD ^ EF 求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【详解】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 ^ 底面 ABC ，
以点A 为坐标原点， AB ， AC 、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 E 0,1, 1 1 、 ÷ 、G ,0,1÷，设点F x,0,0 、D 0, y,0 ，
è 2 è 2
uuur 1 uuurGD 1= - , y,-1
÷，EF =
x, -1, -
÷，
è 2 è 2
uuur uuur 1 1
由于GD ^ EF ，则GD × EF = - x - y + = 0，可得 x + 2y -1 = 0，
2 2
Q x 0,1 y -x +1 0, 1 ，则 = ÷ ，2 è 2
2
DF x2 y2 1 2y 2 y2
é
5y2 4y 1 5 y 2 1 5
= + = - + = - + = - ÷ + 5 5 ê
,1
5 ÷÷
.
è
故选：C.
π7
π
．将函数 f x = sin wx + 3 ÷ w > 0 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原è 6
1 π
来的 2 ，纵坐标不变，得到函数
g x 的图象.若 g x 在 0, 3 ÷上单调递增，则w 的取值范围为（ ）è
0, 1 ù 1ù 2ù 3ùA． ú B． 0, ú C． 0, ú D． 0,è 2 è 3 è 3 è 2 ú
【答案】B
【分析】根据平移规则可得 g x 的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果.
wπ π
【详解】由题可得 g x = sin 2wx - + ÷，
è 6 3
π wπ π wπ π wπ π
因为w > 0，所以当 0 < x < 时， 2wx - + - + , +3 ，6 3 è 6 3 2 3 ÷
π wπ π wπ π
且
- + , + ，
3 è 6 3 2 3 ÷
ì wπ π π
- + -
因为 g x π 6 3 2在 0, 单调递增，所以
è 3 ÷
í
wπ π π
，
+
2 3 2
1
又w > 0，解得0 < w .
3
故选：B
uuur uuur
A x , y B x , y 2 2 OA OB 1 x1 + y1 - 2 x2 + y2 - 28．已知 1 1 、 2 2 为圆C : x + y =1不同两点，且满足 × = ，则 +2 2 2
的最小值为（ ）
A． 2 - 3 B． 2 - 3 C．2 - 5 D． 2 2 - 3
【答案】D
π
【分析】求出 AOB = ，题目转化为A 、 B到直线 x + y - 2 = 0的距离之和，变换得到 AC + BD = 2 EF ，
3
3
计算 EF = 2 - 得到答案.
min 2
uuur uuur
【详解】因为 A x1, y1 、B x2 , y2 在圆 x2 + y2 =1上，OA OB
1
× =
2
2
所以 x1 + y
2
1 =1， x2 + y2
1
2 2 = 1， x1x2 + y1 y2 = ，
uuur uuur 2
且 cos AOB = u
OuurA ×OuuBur 1= x1x2 + y1y2 =
OA ，× OB 2
π
因为0 AOB π，则 AOB = ，
3
因为 OA = OB =1，则VAOB 是边长为1的等边三角形，
x + y
1 1
- 2 x2 + y2 - 2+ 表示A 、 B到直线 x + y - 2 = 0的距离之和，
2 2
2
原点O到直线 x + y - 2 = 0的距离为 d = = 2 ，
2
如图所示： AC ^ CD ，BD ^ CD，E 是 AB 的中点，作EF ^ CD于F ，且OE ^ AB，
2
AC + BD = 2 EF OE OA 2 AE 2 1 1 3， = - = - ÷ = ，
è 2 2
2 2 3
故E 在圆 x + y = 上，
4 EF = d
3 2 3- = - .
min 2 2
x1 + y1 - 2 x2 + y2 - 2
故 + 的最小值为 2 EF = 2 2 - 3 .
2 2 min
故选：D.
π
【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出 AOB = ，再将题意转化为表示A 、B到直线 x + y - 2 = 0的距
3
离之和，最后利用中位线性质和圆外点外圆上点距离最值问题解决.
9．在正方形 ABCD中， AB = 2 ，E 为 AB 中点，将VADE 沿直线DE 翻折至△A1DE 位置，点F 为线段DC
中点.在翻折的过程中，若M 为线段 A1C 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A 5．三棱锥B - MCE 的体积最大值为
10
B．异面直线 BM 、 A1E 所成角始终为60°
C．翻折过程中存在某个位置，使得 MFB 大小为60°
D．点M 在某个圆上运动
【答案】D
【分析】当二面角 A1 - DE - C 为直二面角，三棱锥B - MCE 的体积最大值，过 A1作 A1H ^ DE 于H ，求出 A1H ，
从而求出点M 到平面BCE 的距离，再由锥体的体积公式计算，即可判断 A；取CE的中点K ，取CD的中点
F ，连接MF ， BF ，即可得到MF =1、BM = 2 ， BMK 是异面直线 BM ， A1E 所成的角，利用余弦定理
求出 BMK ，即可判断 B、C，再根据MF ， BM 为定值，即可判断 D.
【详解】对于 A，当二面角 A1 - DE - C 为直二面角，过 A1作 A1H ^ DE 于H ，
所以平面 A1DE ^ 平面DEC ．又平面 A1DE I 平面DEC = DE ，所以 A1H ^平面DEC ．
由题意可得 A1D = 2， A1E =1．由勾股定理可得ED = 12 + 22 = 5 ．
1 1 1 1 2 5
由 SVA DE = A1D A1E = DE A1H ，即 2 1 = 5 A H ，解得2 2 2 2 1 A1H =
．
1 5
M AC 5因为 为线段 1 的中点，所以M 到平面BCE 的距离为 ．
5
又 S
1
VBCE = EB BC =1
1 5 5 5
，所以
2 VM -BCE = 1 =
，即三棱锥B - MCE 的体积最大值为 ，故 A 错误．
3 5 15 15
对于 B、C 选项，取CE的中点K ，则MK //A1E MK
1 A 1，且 = 2 1
E =
2 ，EC = 1
2 + 22 = 5 ，所以
BK = 1 EC = 5 ．2 2
因为MK //A1E ，所以 BMK 是异面直线 BM ， A1E 所成的角．
1
取CD的中点F ，连接MF ， BF ，可得MF = A1D = 1，FK //DE ，2
所以 cos MFB = cos A1DE
2 5
= ．
5
在△BMK 中，可得BF = 5 ．
2 2 5
由余弦定理可得BM 2 =12 + 5 - 2 1 5 = 2 ，所以BM = 2 ．5
2 2 2 2 + 1 - 5
在△BMK 中，由余弦定理可得 cos BMK
BM + MK - BK 2
= = 4 4 = ，
2BM × MK 2 2 1 2
2
BMK π π所以 = ，所以异面直线 BM ， A1E 所成的角为 ，故 B，C 均错误．4 4
对于 D 选项，由 B，C 选项可知，MF ， BM 均为定值，则M 的轨迹为以F ， B为球心的球面的交线，
即点M 在某个圆上运动，故 D 正确．
故选：D
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
10．18 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意
义，例如 | z |=| OZ | ，即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距离．设复数 z = x + yi(x, y R)，且
| (x - 2) + (y - 3)i |= 2 ，则 | z +1|的取值范围是 .
【答案】[2 2,4 2]
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求解.
【详解】 | (x - 2) + (y - 3)i |= 2 为 | (x + yi) - (2 + 3i) |= 2 ，
表示复平面内复数 z 对应的点Z 与点 A(2,3) 的距离为 2 ，
因此点Z 的轨迹是以点A 为圆心， 2 为半径的圆， | z +1|表示点Z 与点B(-1,0)的距离，
而 | AB |= (-1- 2)2 + (0 - 3)2 = 3 2 ，则 2 2 | ZB | 4 2 ，
所以 | z +1|的取值范围是[2 2,4 2] .
故答案为：[2 2,4 2]
n
11 x 1+ ．在 ÷ 的展开式中，仅第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ．
è 2x
【答案】15x4
【分析】利用二项式系数的性质得到 n =10 ，设展开式中系数最大项是Tr+1，利用展开式的通项公式得到
ì 1 Cr 1 r 10 C
r+1
2 2r+1 10
í 1 1 ，即可求解
.
Cr Cr-1
2r 10 2r-1 10
x 1
n
【详解】由 + ÷ 的展开式中，仅第6 项的二项式系数最大，得展开式共11项，则 n =10 ，
è 2x
1 10 r x + 1 1所以 ÷ 的展开式的通项公式T
r 10-r r 10-2r
r+1 = C10x ÷ = r C10x ， 0 r 10, r N ， è 2x è 2x 2
ì 1 1 ì2 10! 10!Cr Cr+1
× ，
T 2
r 10 2r+1 10 r! 10 - r ! r +1 ! 9 - r !
设展开式中系数最大项是 r+1，则 í 1 1 ，即 í Cr r-1 10! 10!
2r 10 2r-1
C10 2 × r! 10 - r ! r -1 ! 11- r !
8 r 11 1 r N r = 3 T = C3 4解得 ，而 ，所以 ， 4 x = 15x
4
，
3 3 23 10
所以展开式中系数最大的项是15x4 ,
故答案为：15x4 . uuur uuur
12 2．如图，已知抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点为F , A, B为C 上两点，BE = lEF , AE / / x轴，△AEF 为
正三角形，则l = .
【答案】 2
3 1
【分析】联立直线与抛物线方程可得 xB = p, xA = p ，即可利用焦点弦公式求解，或者利用抛物线焦半径2 6
的公式求解.
【详解】延长 BF 交抛物线C 于点 A .
p o
解法一：由题意得F ,0÷ , BFx = 60 ，
è 2
l : y 3 x p= - 则直线 BF ÷ ，
è 2
ì
y = 3
x p -
,
联立方程组 í è 2 ÷ 整理得12x2 - 20 px + 3p2 = 0 ，
y
2 = 2 px,
3 1
解得 xB = p, x2 A
= p .
6
FB 3 p p 2 p, FA 1 p 2\ = + = = FA = EF = p + = p，
2 2 6 2 3
FB 2 p
\ = 2 = 3,l = 2FA .p
3
解法二： A FO = BFx = AFO = 60o ，
由抛物线的对称性得 FA = FA ，
Q FB = p + FB cos60o , FB p\ = = 2 p;
1- cos60o
FB
Q FA = p - FA cos60o , p 2 p\ FA = = . 2 p\ = = 3,l = 2
1+ cos60o 3 FA 2 .p
3
故答案为：2
13．如图， O 是正八边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，
则可作平行四边形的概率为 ，则可作梯形的概率为 . (用数字作答)
3 12
【答案】
35 35
【分析】第一空利用组合数先求出从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形个数，再求出没两条直
径构成的四边形个数即可；第二空设 m, n 分别为正八边形的两条不同类型的对称轴，再分别讨论以m和 n
为对称轴的平行弦的梯形个数即可.
4
【详解】从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，可得四边形的个数为 C8 ；
八个顶点的连线中有 4 条过中心 O ，即有 4 条直径，每两条直径可确定一个平行四边形，可得平行四
2
C2
C 3
边形的个数为 4 ，所以可作平行四边形的概率为
4
4 = ；C8 35
梯形可由两条平行但不等的弦的四个顶点构成. 如图，设 m, n 分别为正八边形的两条不同类型的对称轴.
（1）以 m 为对称轴的平行弦 A1A8 , A2 A7 , A3 A6 , A4 A5 中，有 2 对平行且相等，所以 4 条平行弦可构成
C2 24 - 2 个梯形，而类似的平行弦共有 4 组，所以可构成梯形 4 C4 - 2 =16 个；
2 2（ ）以 n 为对称轴的平行弦 A2 A8 ， A3 A7 ，A4 A6 中，有 1 对平行且相等，所以 3 条平行弦可构成 C3 -1
2
个梯形，而类似的平行弦共有 4 组，所以可构成梯形 4 C3 -1 = 8 个.
24 12
综合 （1）（2）可得共有梯形 24 个，故可作梯形的概率为 C4
= .
8 35
3 12
故答案为： ； .
35 35
【点睛】关键点点睛：本题第一空的关键是能够发现以直径端点作为定点的平行四边形；第二空关键是讨
论以m和 n为对称轴的平行弦的梯形个数.
14．如图所示，已知点G 是VABC 的重心，过点G 作直线MN 与 AB 、 AC 两边分别交于M 、 N 两点，且
uuur uuuur uuur uuur x2 y2
AB = xAM ， AC = y AN ，则 x + y = ； + 的最小值为 ．x +1 y + 2
3
【答案】 3
2
uuur 1 uuur 1 uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur 1- l uuur l uuur
【分析】由题可知 AG = AB + AC ，设 M G = l M N ，化简得出 AG = 1- l AM + l AN = AB + AC
3 3 x y
，
2 2
根据平面向量的基本定理可求出 x + y 的值；由已知得出 x +1 + y + 2 = 6 x y 1 4，可得出 + = + ，
x +1 y + 2 x +1 y + 2
1 1 4
再将代数式 é x +1 + y + 2 ù 与 +6 x +1 y 2 相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.+
uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】因为G 为VABC 的重心，延长 AG 交BC 于点Q ，则Q 为BC 的中点，且 AQ = AB + AC ，
2 2
uuur 2 uuur 2 1 uuur uuur uuur uuur由重心的几何性质可知 AG = AQ = × AB + AC 1 1= AB + AC ，3 3 2
uuuur uuuur uuur u
3uuur 3 uuur uuuur
因为M 、G 、 N 三点共线，设M G = l M N ，即 AG - AM = l AN - AM ，
uuur uuuur uuur
所以， AG = 1- l AM + l AN ，
uuur uuuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur
因为 AB = xAM ， AC = y AN ，则 AM = AB， AN = ACx y
，
uuur uuuur uuur 1- l uuur l uuur
则 AG = 1- l AM + l AN = AB + ACx y ，
uuur uuur 1- l 1 l 1 1
因为 AB 、 AC 不共线，所以， = ， = ，则1- l = x
1
，l = y ，
x 3 y 3 3 3
1 x 1故 + y =1，即 x + y = 3，则 x +1 + y + 2 = 6，
3 3
x2 y2 x2 -1+1 y2 - 4 + 4 1 4
所以， + = + = x -1 + y - 2 + +
x +1 y + 2 x +1 y + 2 x +1 y + 2
1 4 1 é 4 x +1
ù
= + = é x +1 y 2
1 4 1 y + 2
+ + ù × + =
x +1 y + 2 6 x +1 y + 2 ÷ 6 ê
5 + +
è y + 2 x +1
ú
1 é 4 x +1 y + 2 ù 9 3
ê5 + 2 × ú = = ，
6 ê y + 2 x +1 ú 6 2
ì4 x +1 y + 2
=
y + 2 x +1 x 1 y 2 6 ì
x =1
当且仅当 í + + + = 时，即当 í
y 2
时，等号成立，
=
x > 0, y > 0
x2 y2 3
故 + 的最小值为 .
x +1 y + 2 2
3
故答案为：3； .
2
15 a+1 x．已知 a < 0，函数 f x = x ×e + alnx，若对任意的 x 1, + ，f x 0 恒成立，则 a 的最小值为 ．
【答案】-e
x
【分析】由 f x 0 变形可得 xex -a ln x ×e-a ln x ，构造函数 g x = xe ，其中 x > 0，利用导数分析函数 g x
的单调性，可得出 g x g -a ln x x，结合函数 g x 的单调性可得出 x -a ln x ，参变分离可得-a ，
ln x
x
其中 x >1，利用导数求出函数 h x = 在 1, + 上的最小值，即可得出实数 a的最小值.
ln x
【详解】对任意的 x 1, + ，则 ln x > 0，因为 a < 0，则-a ln x > 0 ，
由 f x = xa+1 ×ex + alnx = ea ln x × xex + a ln x 0，可得 xex -a ln x ×e-a ln x ，
构造函数 g x = xex ，其中 x > 0，则 g x = x +1 ex > 0，即函数 g x 在 0, + 上为增函数，
由 xex -a ln xe-a ln x 可得 g x g -a ln x ，所以， x -a ln x ，
所以，-a
x
，其中 x >1，
ln x
x ln x -1
令 h x = ，其中 x >1，则 h x =
ln x ln x 2 ，
由 h x < 0可得1< x < e ，由 h x > 0可得 x>e，
所以，函数 h x 在 1,e 上单调递减，在 e, + 上单调递增，
所以，当 x >1时， h x = hmin e = e，则-a e，故 a≥- e .
因此，实数 a的最小值为-e .
故答案为：-e .小题限时卷 02（A 组+B 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1． A = x | -2 x 5 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，若 AU B = A，则实数m的取值范围是（ ）
A． - ,3 B． - , 2 C． 2,3 D． - ,3
π
2．已知a R ，则“ tana =1”是“a = + kπ k Z ”的（ ）
4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法错误的是 （ ）
A 2．若随机变量 X 服从正态分布 X : N 3,s ，且 P X 4 = 0.7 ，则 P 3 < X < 4 = 0.2 ;
B．一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的第 60 百分位数为 14 ;
C．对具有线性相关关系的变量 x, y ,利用最小二乘法得到的经验回归方程为 y = 0.3x - m ,若样本点的
中心为 m, 2.8 ，则实数m的值是 -4 ;
D．若决定系数 R2 越大，则两个变量的相关性越强.
4 f x 2
ax ×cosx
．已知 = 是奇函数，则 a =2x （ ）2 -1
A．-1 B．0 C．1 D．2
1
5．已知 a = 2log2 0.4，b = log0.4 2 ， c = log0.3 0.4
，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > a > b D． a > c > b
6．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今 2000 多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起
源．如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体 ABCEF ，D为边 AB 的中点，四边形 EFDC 为矩形，
且DF ^ AB ， AC = BC = 3， ACB = 120o ，当 AE ^ BE 时，多面体 ABCEF 的体积为（ ）
A 9 6 B 9 3 C 9 6． ． ． D 9 3．
4 8 8 4
7．已知函数 f x = Asin wx +j + B π A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ）
è 2
① f x π关于点 ,3 6 ÷对称；è
② f x π关于直线 x = 3 对称；
③ f x é π 5π ù在区间 ê , ú 上单调递减； 2 6
④ f x 5π π 在区间 - , ÷上的值域为 1,3 ；
è 12 12
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8 x
2 y2
．已知双曲线C ： F F M -3,4
a2
- 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为 1， 2，C 上一点 关于一条渐近线b uuur uuuur
的对称点恰为右焦点F2．若 N x0 , y0 是C 上的一个动点，满足 NF1 × NF2 < 0 ，则 y0 的取值范围是（ ）
A． -5,5 B． -4,4 C． -5, 4 D． -4,5
9．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中， AC I BD = O ，E 是线段B1C （含端点）上的一动点，
①OE ^ BD1；
② OE // 平面 A1C1D ；
③三棱锥 A1 - BDE的体积为定值；
④ OE 与 A1C1所成的最大角为90° .
上述命题中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
z 1 i 1 i 1 i10．已知 n = + + ÷ ×× × +
÷（ n N* ），则 z2 n 2023
- z2024 的值为 ．
è è
4
11 1 ．已知 2x + a - ÷ 的展开式中的常数项为19，则 a = .
è 2x
12．已知 M 为抛物线 y2 = 8x上一点，以 M 为圆心，1为半径作得圆 M ．过点 N 6, 0 作圆 M 的两条切线，
切点分别为 A, B，则四边形MANB 周长的最小值是 ．
13．某中学组建了A ，B，C ，D，E 五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只
能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记
事件M 为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A ”，则P M = ；若甲、乙、丙三名学生中有两
人参加社团A ，则恰巧甲参加社团A 的概率为 ．
uuur uuur
14．如图uu，ur 梯uuu形r ABCD，AB / /CD 且 AB = 5，AD = 2DC = 4，AC × BD = 0，则 BAD = ，E 在线段BC
上，则 AE × DE 的最小值为 .
ì 2 x - a, x 1,
15．已知函数 f x = í 2 当 a =1时，不等式 f x > x的解集是 ；若关于 x的方程 f x = 0
- x - a + a, x >1,
恰有三个实数解，则实数 a的取值范围是 ．
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
ì 1
1．已知集合 A = y∣y = log2x, x >1 , B = íy y = x , x >1
ü
，则 A I B = （2 ）
ì
A． íy 0 < y
1 ü
< B．{y∣0 < y <1}
2
ì
C． íy
1 ü
< y <1 D．
2
1
2．已知 a R ，使得不等式“ >1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
a
1
A． a > 2 B． a <1 C．0 < a < D．0 < a <1
2
3．对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． r2 < r4 < 0 < r3 < r1 B． r4 < r2 < 0 < r1 < r3 C． r4 < r2 < 0 < r3 < r1
D． r2 < r4 < 0 < r1 < r3
ì x 2a -1 ，x < 0
4．已知函数 f x = í 满足对任意 x x 都有 x - x é f x - f2 x ù < 0成立，
-x + 4a - 3 x + 3a -1，x 0
则实数 a 的取值范围是 （ ）
A． 2,1 1B． ,
2] é 2 3 ù 1 3C
2 3 ． ê
, ú D． , ]è 3 4 è 2 4
5 x．已知函数 f x = 2 + x， g x = x + log2 x， h x = x3 + x的零点分别为 x1, x2 , x3，则（ ）
A． x1 < x3 < x2 B． x2 < x1 < x3
C． x1 < x2 < x3 D． x3 < x1 < x2
π
6．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = ， AB = AC = AA1 = 1，已知G 与E 分别为 A2 1
B1 和CC1的
中点，D与F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点），若GD ^ EF ，则线段DF 的长度的取值范围
为（ ）
A． é
é ù
2, 3ù
2 5
B． ê , 4 2
ú
é 5 é 5
C． ê ,1÷÷ D． ê , 2
5 5 ÷
÷
7．将函数 f x = sin wx
π
+ ÷ w > 0
π
3 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原è 6
1 g x π 来的 2 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.若 g x 在 0, 3 ÷上单调递增，则w 的取值范围为（ ）è
0, 1 ù 0, 1ù A． B C 0,
2ù
D 0,
3ù
è 2ú
． ． ．
è 3 ú è 3 ú è 2 ú
uuur uuur
2 2 1 x1 + y - 2 x + y - 28．已知 A x1, y1 、B x2 , y2 为圆C : x + y =1不同两点，且满足OA ×OB = 1 2 2，则 +2 2 2
的最小值为（ ）
A． 2 - 3 B． 2 - 3 C．2 - 5 D． 2 2 - 3
9．在正方形 ABCD中， AB = 2 ，E 为 AB 中点，将VADE 沿直线DE 翻折至△A1DE 位置，点F 为线段DC
中点.在翻折的过程中，若M 为线段 A1C 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A 5．三棱锥B - MCE 的体积最大值为
10
B．异面直线 BM 、 A1E 所成角始终为60°
C．翻折过程中存在某个位置，使得 MFB 大小为60°
D．点M 在某个圆上运动
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
10．18 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意
义，例如 | z |=| OZ | ，即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距离．设复数 z = x + yi(x, y R)，且
| (x - 2) + (y - 3)i |= 2 ，则 | z +1|的取值范围是 .
n
11 1 ．在 x + ÷ 的展开式中，仅第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ．
è 2x
uuur uuur
12 2．如图，已知抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点为F , A, B为C 上两点，BE = lEF , AE / / x轴，△AEF 为
正三角形，则l = .
13．如图， O 是正八边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，
则可作平行四边形的概率为 ，则可作梯形的概率为 . (用数字作答)
14．如图所示，已知点G 是VABC 的重心，过点G 作直线MN 与 AB 、 AC 两边分别交于M 、 N 两点，且
uuur uuuur uuur uuur x2 y2
AB = xAM ， AC = y AN ，则 x + y = ； + 的最小值为 ．x +1 y + 2
15 a < 0 f x = xa+1 ×ex．已知 ，函数 + alnx，若对任意的 x 1, + ，f x 0 恒成立，则 a 的最小值为 ．
