大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c
2π
，已知 a = 3，b - c = 2 ，B = ．
3
(1)求 b，c 的值；
(2)求 sinC 的值；
(3)求 sin B - C 的值．
17．（15分）
如图，在多面体 ABCDGEF 中，四边形 ABCD 为直角梯形，且满足 AD ^ CD ，EG∥AD ，
EG = AD = DC = DG = 2BC = 2 ，CD∥FG ，DG ^ 平面 ABCD．
(1)证明： AG ^平面 CDE；
(2)求平面 CDE 与平面 ABE 夹角的余弦值；
EP
(3)在线段 BE 上是否存在一点 P，使得直线 DP 与平面 ABE 8 85所成角的正弦值为 ？若存在，求 的值；
85 EB
若不存在，说明理由．
18．（15分）
x2 y2
已知椭圆E : 2 + 2 =1(a > b > 0)
2
的离心率为 , F1, F 分别为椭圆E 的左 右焦点，A, B2 分别为椭圆E 的上 a b 2
下顶点，且 AB = 2 .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知过F1的直线 l 与椭圆E 交于M , N 两点，且直线 l 不过椭圆四个顶点.
（i）设VMF1F2 ,VMAB的面积分别为 S1, S2，若 S1 S2 ，求 AM 的最大值；
（ii）若M 在 x轴上方， AF1为 MAN 的角平分线，求直线 l 的方程.
19．（15分）
已知公差大于 0 的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S3 = 9, a2 + 3是 a3 -1,a5 的等比中项．
(1)求 an 的通项公式及 Sn ；
(2)记 bm 为 an 在区间 é a2m , 2
am+1 m N* 内项的个数，Tn 为数列 bn 的前 n项和．
（i）若Tn + Sn < 2025，求 n的最大值；
a n
ii c = 2n
a2n+2 21
（ ）设 n ，证明： c 19T + S 4 i < ．n n i=1 9
20.（16 分）
e2x
已知函数 f (x) = - + (1- a)ex + ax．
2
(1)若 a =1，求 f (x)在 (1, f (1))处的切线方程；
(2)求 f (x)的单调区间；
(3)若 a < -1，且 f (m) = f (n) = 0(m < n) ，证明： f (m) + f (n) > 3．
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 c + b = 2acosB .
(1)证明： A = 2B；
3 1 1
(2)若 BAC 的平分线交BC 于D， AD =1， sinB = ，求 + 的值；
5 b c
c
(3)求 的取值范围.
a
17．（15分）
如图，在四棱锥E - DABC 中，平面DEC ^ 平面DABC, AD ^ CD, AB ∥ CD，DA = DC = 4, AB = EC = 2，
且CE ^ ED .
(1)求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值；
(2)求平面 ABC 与平面BCE 的夹角的余弦值；
(3)求点A 到平面BCE 的距离.
18．（15分）
1
已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为 x轴， y轴，且过 0, -1 , 3, ÷ 两点．
è 2
(1)求E 的方程；
(2)过点 -4,0 ，斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于 A, B两点，点C -1,1 ，直线 AC 与 x轴交于 P，与 y轴交于
M ，直线BC 与 x轴交于Q ，与 y轴交于 N ．若3SVCMN = SVCPQ ，求直线 l 的斜率．
19．（15分）
M + m
已知 n N* ，记无穷数列 an 的前 n项中的最大值为M n ，最小值为mn，令b n nn = .2
(1)若 a nn = (-2) ，求数列 bn 的通项公式与其前 n项和 Sn ；
(2)若数列 bn 为递增的等差数列，判断数列 an 是否也一定为递增的等差数列，并说明理由；
(3)若bn = 2n - 4,c
a
= nn n ，设数列 cn 的前 n项和为Tn ，是否存在正整数 p, q(1 < p < q) ，使得T1,T3 p
,Tq为等差
数列？如果存在，求出所有 p, q的值，如果不存在，请说明理由.
20．（16 分）
已知函数 f x = ax - ln x - 2 a R
(1)当 a =1时，求曲线 y = f x )在点 1, f 1 处的切线方程;
(2)讨论函数 f x 的单调性；
(3)若对任意的 x 1, + ，都有 x ln x + x > k x -1 成立，求整数 k 的最大值.
【C 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，内角A ， B，C 的对边分别为 a，b ， c， c = 2b， 2 sin A = 3sin B .
(1)求 sin C 的值；
cos 2C π (2)求 + ÷ 的值；
è 6
(3)若VABC 3 7的面积为 ，求 c的值.
2
17．（15分）
1
如图，已知四棱锥 P - ABCD, PD ^平面 ABCD， AB∥CD， AB ^ AD ，CD = AD = AB =1， PAD = 45°，
2
1
E 是 PA 的中点， AF = AB ．
4
(1)求证：DE ∥平面 PBC；
(2)求平面 FPC 与平面 PBC 夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面 PBC 的距离．
18．（15分）
x2 y2 2
已知椭圆 C : 2 + 2 =1 a > b > 0 过点 1, 2 ÷÷ ，F1, F2 分别为椭圆的左、右焦点且 ∣F1F∣2 = 2.a b è
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆交于P1, P2 两点( P1在P2的左侧)，P1F1和P2F2都是圆
的切线且P1F1 ^ P2F2？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
19．（15分）
数列 an 是公差不为 0 的等差数列， a1 =1．已知 ab ,ab ,ab ,L,a1 2 3 bn 为等比数列，且b1 = 2，b2 = 6，b3 = 22．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)设数列 an 中的项落在区间 3bm ,3bm+1 *中的项数为 cm m N ．
（i）求数列 ancn 的前 n项和Hn；
k d 1
（ii）设数列 dn 满足 d1 =1，若存在正整数 k 2满足当 n = 1,2,3,L,k -1时， dn+1 = c indn ，且 = ，求
i=1 di+1 3
dk +1．
20．（16 分）
设函数 f x = ex+1 - x2 - kx ．
(1)当 k = 0时，求曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处的切线方程；
(2)若 f x 在区间 -1, + 上单调递增，求 k 的取值范围；
(3)当 x -1时， f x f -1 ，求 k 的取值范围．大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
【A 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，内角 A, B,C
2π
所对的边分别是 a,b,c，已知 a = 3，b - c = 2 ，B = ．
3
(1)求 b，c 的值；
(2)求 sinC 的值；
(3)求 sin B - C 的值．
【答案】(1) c = 5,b = 7
(2) 5 3
14
(3) 4 3
7
【分析】（1）由已知，利用余弦定理，代入求解即可；
（2）根据正弦定理进行求解即可；
（3）由（2）可求得cosC，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可.
2π
【详解】（1）因为 a = 3，b - c = 2 ，B = ，则b = c + 2，
3
a2 2 2cosB + c - b 1 9 + c
2 - (c + 2)2
由余弦定理， = ，则- = ，
2ac 2 6c
解得 c = 5，b = c + 2 = 7 .
（2）由（1）知 c = 5,b = 7 ，
b c
= sinC c ×sin B 5 3由正弦定理 ，则sinB sinC = =
.
b 14
（3）由（2）知 sinC 5 3= ，
14
B 2π 0 C π又 = ，则 < < ，
3 3
所以 cosC = 1- sin2 C
11
= ，
14
则 sin B - C = sinBcosC cosBsinC 3 11 1 5 3 4 3- = - - = ．
2 14 è 2 ÷ 14 7
17．（15分）
如图，在多面体 ABCDGEF 中，四边形 ABCD 为直角梯形，且满足 AD ^ CD ，EG∥AD ，
EG = AD = DC = DG = 2BC = 2 ，CD∥FG ，DG ^ 平面 ABCD．
(1)证明： AG ^平面 CDE；
(2)求平面 CDE 与平面 ABE 夹角的余弦值；
EP
(3) 8 85在线段 BE 上是否存在一点 P，使得直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的值；
85 EB
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 10
5
EP 1 EP 5
(3)存在， = 或 =
EB 2 EB 6
【分析】（1）四边形 ADGE 为菱形，所以 AG ^ DE ，由线面垂直得到DG ^ CD ，从而得到CD ^平面
ADGE ，CD ^ AG ，结合 AG ^ DE ，证明出结论；
（2）证明出DG ^ DA，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求两平面的夹角；
uur uur
（3）设EP = lEB = -l, 2l, 2l 0 l 1 5- 1 ，根据线面角的大小，得到方程，求出l = 或l = .2 6
【详解】（1）因为EG ∥ AD 且EG = AD ，所以四边形 ADGE 为平行四边形，
又 AD = DG ，所以四边形 ADGE 为菱形，所以 AG ^ DE .
因为DG ^ 平面 ABCD,CD 平面 ABCD，所以DG ^ CD ，
又 AD ^ CD, DG, AD 平面 ADGE, DG AD = D，所以CD ^平面 ADGE ，
又 AG 平面 ADGE ，所以CD ^ AG ，
又 AG ^ DE, DE,CD 平面CDE, DE CD = D，所以 AG ^平面CDE .
（2）因为DG ^ 平面 ABCD, DA 平面 ABCD，所以DG ^ DA，
又DG ^ DC, DA ^ DCuu，ur uuur uuur
以D为原点，分别以DA, DC, DG的方向为 x轴， y轴，. z .轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则D 0,0,0 , A 2,0,0 , B 1,2,0 ,G 0,0,2 E 2,0,2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB = -1,2,0 , AE = 0,0,2 , EB = -1,2,-2 , DE = 2,0,2 , AG = -2,0, 2 ，
r uuur
由（1）知平面 CDE 的法向量为m = AG = -2,0,2 ，
ìnr
uuur
r × AB = -x + 2y = 0
设平面 ABE 的法向量为 n = x, y, z ，则 í r uuur ，
n × AE = 2z = 0
y 1 r令 = ，得 x = 2, z = 0，所以 n = 2,1,0 .
mr r× n
故 c cos m
r , nr 4 10= = = ，
mr nr 2 2 5 5
平面 CDE ABE 10与平面 夹角的余弦值为 ；
5
（3）假设线段 BE 上存在点 P，使得直线DP与平面 ABE 8 85所成角的正弦值为 ，
uuur uuur uuur uuur uuur 85
设EP = l EB = -l,2l,-2l 0 l 1 , DP = DE + EP = 2 - l,2l,2 - 2l ，
r uuur
r uuur n × DP 2,1,0 × 2 - l, 2l, 2 - 2l
则 cos n, DP = r uuur =n DP 4 +1 (2 - l)2 + 4l 2 + (2 - 2l)2
4 8 85
= = ,
5 9l 2 -12l + 8 85
l 1 5解得 = 或l = .
2 6
EP 1 EP 5
所以线段 BE 上存在点 P，当 = 或 = 时，
EB 2 EB 6
使得直线DP与平面 ABE 8 85所成角的正弦值为 .
85
18．（15分）
x2 y2 2
已知椭圆E : 2 + 2 =1(a > b > 0)的离心率为 , F1, F2 分别为椭圆E 的左 右焦点，A, B分别为椭圆E 的上 a b 2
下顶点，且 AB = 2 .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知过F1的直线 l 与椭圆E 交于M , N 两点，且直线 l 不过椭圆四个顶点.
（i）设VMF1F2 ,VMAB的面积分别为 S1, S2，若 S1 S2 ，求 AM 的最大值；
（ii）若M 在 x轴上方， AF1为 MAN 的角平分线，求直线 l 的方程.
2
【答案】(1) x + y2 =1
2
(2) i 3 2 + 3（） ；（ii）3x + y + 3 = 0
3
【分析】（1）根据题目所给的条件，求出 a,b,c即可；
（2）（i）设M x0 , y0 ，由已知可得 y x 2 20 0 ，根据点M 在椭圆上，可得 | AM | = -y0 - 2y0 + 3，可求得最
大值；（ii）设 MAF1 = NAF1 = q ，直线 AN 的倾斜角为a ，直线 AM 的倾斜角为 b ，由题意可得
kAN × kAM =1
- m +1 2m
，设直线 l 的方程为： x = my -1, m 1，联立方程组，由根与系数的关系可得 2 = ，m + 2 m2 + 2
求解即可.
ìa2 = b2 + c2
c 2 ìa = 2
【详解】（1）由题意知 í = ，\a 2 í
，
b =1
b =1
\ x
2
椭圆方程为 + y2 =1，
2
（2）（i）设M x0 , y0 ，
1
则 S1 = SΔMF F = F1F
1
2 y0 = 2 y0 = y ，1 2 2 2 0
S S 1 AB x 12 = VMAB = 0 = 2 x0 = x2 2 0
，
QS S 2 21 2，\ y0 x0 ，\ y0 x0 ，
2
又QM x0 , y0 x在椭圆上，\ 0 + y 22 0 =1，
2
\ x 20 = 2 - 2y
2 \ y2 2 - 2y 2 20 ， 0 0 ，即 y0 ，3
Q| AM |2 = x2 + y -1 2 = 2 - 2y2 20 0 0 + y0 - 2y0 +1，
é 6 6 ù
= -y20 - 2y0 + 3, y0 ê- ,03 ÷÷
0, ú ，
è 3
2
\| AM |2 2 2 6 7 + 2 6 ( 6 +1)max = - + + 3 = = ，3 3 3 3
| AM | 3 2 + 3\ max = ；3
（ii）设 MAF1 = NAF1 = q ，直线 AN 的倾斜角为a ，直线 AM 的倾斜角为 b ，
Q A 0,1 , F -1,0 ，\直线 AF π1的倾斜角为 ，4
a π π π\ = +q , b = -q ，\a + b = ，
4 4 2
又 kAN = tana , kAM = tanb = tan
π
-a
，
è 2 ÷
\kAN × kAM =1，
由题意 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为： x = my -1, m 1，
ìx = my -1
2 2
由 í x2 2 ，得 m + 2 y - 2my -1 = 0，
+ y =1 2
设M (x1, y1)N (x2 , y2 )，
ì
Δ = 8m2 + 8 > 0
则 íy1 + y
2m
2 = 2 ，又 kAN × kAM =1，
m + 2
y
-1
1
y2 = m2 + 2
y -1 y -1
\ 2 × 1 =1
x x ，2 1
即 y1 -1 y2 -1 = x1x2 = my1 -1 my2 -1 ，
2
整理得 m -1 y1 y2 = m -1 y1 + y2 ，
- m +1 2m
\ = ，\m
1
= -
2 2 ，m + 2 m + 2 3
\l 的方程为3x + y + 3 = 0 .
19．（15分）
已知公差大于 0 的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S3 = 9, a2 + 3是 a3 -1,a5 的等比中项．
(1)求 an 的通项公式及 Sn ；
(2)记 bm 为 an 在区间 é a2m , 2
am+1 m N* 内项的个数，Tn 为数列 bn 的前 n项和．
（i）若Tn + Sn < 2025，求 n的最大值；
a a n
c 2n 2n+2 21 c 19（ii）设 n = ，证明： i < ．Tn + Sn 4 i=1 9
【答案】(1) an = 2n -1, Sn = n
2
；
(2)（i）5；（ii）证明见解析..
【分析】（1）应用等差数列前 n 项和公式及等差中项的性质、通项公式求基本量，进而得到 an 的通项公
式及 Sn ；
1
（2）（i）根据已知得 2m n < 22m + n，即得bn = 4 - 2n +1，应用等差、等比前 n 项和公式及分组求和得2
4 4n -1
T = - n2 ，再由Tn + Sn < 2025能成立求 n的最大值；n 3
ii i 3 4n -1 4n + 3
n
c c 21（ ）由（）得 c = ，判断其单调性即可得 i 1 = ，应用基本不等式及放缩有n 4 4n -1 i=1 4
c 3 4n +1 4n +1 19 12n +19n < n n ，应用错位相减法求右侧的前 n 项和M = - ，即可证.4 4 -1 4 n 9 9 × 4n
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，
依题意， S3 = 3a1 + 3d = 9 ，即 a1 = 3- d ①，
a 22 + 3 = a
2
3 -1 a5，即 a1 + d + 3 = a1 + 2d -1 a1 + 4d ②，
将①代入②得 d 2 + 3d -10 = 0 ，因为d > 0，解得 d = 2, a1 =1，
所以 an = 2n -1, S
2
n = n ．
1
（2）（i a 2n -1< 2a）令 m+12m ，即 4m -1 2n -1 < 22m+1，解得 2m n < 2
2m + ，
2
所以b = 22mm - 2m +1
n
，即 bn 的通项公式为bn = 4 - 2n +1
4 1- 4n n 1+ 2n -1 4 4n -1 所以Tn = - = - n2．1- 4 2 3
S = n2 4 4
n -1
又 n ，所以Tn + S ．n = 3
4 4n -1
由Tn + S ，得
n+1
n = < 2025 4 < 6079，3
因为 46 = 4096 < 6079,47 =16384 > 6079，
所以 n的最大值为 5．
n+1 n n 21
（ii）由（i 4n -1 4n + 3 ）知 c 3n = ，则 ci - cn i = cn+1 > 0，所以 ci c1 = ．4 4 -1 i=1 i=1 i=1 4
M 5 9 13 L 4n - 3 4n +1设 n = 1 + 2 + 3 + + n-1 + n ①，4 4 4 4 4
1 M 5 9 13 4n - 3 4n +1则 n = 2 + +4 4 43 44
+L+
4n
+
4n+1
②，
1
- 3 5 4 4 4 4 4n +1 1
1-
4n 4n +1 19 12n +19① ②得 M n = 1 + 2 + 3 + 4 +L+ - = + - = - ，4 4 4 4 4 4n 4n+1 4 n+11 1- 4 12 3 ×4
n+1
4
M 19 12n +19所以 n = - ．9 9 × 4n
3 4n -1 4n + 3 因为 c 3 4n +1 3 4n +1 3 4n +1 4n +1n = n < = ，4 4 -1 4 4n -1 4 4 × 4n-1 -1 4 3 ×4n-1 = 4n
n
c M 19 12n +19 19所以 i < n = - n < ．
i=1 9 9 ×4 9
21 n 19
综上， c < ．
4 ii=1 9
20.（16 分）
e2x
已知函数 f (x) = - + (1- a)ex + ax．
2
(1)若 a =1，求 f (x)在 (1, f (1))处的切线方程；
(2)求 f (x)的单调区间；
(3)若 a < -1，且 f (m) = f (n) = 0(m < n) ，证明： f (m) + f (n) > 3．
2
【答案】(1) y = 1- e x 1+ e22
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出导数，再根据 f (x) = 0得出方程的根，根据 a的范围讨论即可求出函数单调区间；
（3）求出 f m + f n ，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证.
2x
【详解】（1）由 a =1，所以 f x e= - + x, f x =1- e2x ，
2
e22
所以 k = f 1 =1- e ，又 f 1 =1- ，
2
2
所以曲线 y = f (x)在 (1, f (1))
e 2
处的切线方程为 y - 1- ÷ = 1- e x -1 ，
è 2
即 y = 1- e2 x 1+ e2 ；2
2x
（2）由 f x = ax + 1- a ex e- ，定义域为R ，
2
f x = a + 1- a ex - e2x = ex + a 1- ex .
令 f (x) = 0得 x = 0或 x = ln -a ，
当 a < -1时，-a >1， ln -a > 0，令 f (x) > 0，得0 < x < ln -a ，
令 f (x) < 0，得 x < 0 或 x > ln -a ，
所以 f (x)的递增区间为 (0, ln(-a)) ，递减区间为 (- ,0)， (ln(-a),+ )；
2
当 a = -1时， f x = ex -1 1- ex = - ex -1 0 ，所以 f (x)在R 上单调递减；
当-1 < a < 0时，0 < -a <1， ln -a < 0，令 f (x) > 0，得 ln -a < x < 0，
令 f (x) < 0，得 x < ln -a 或 x > 0，
所以 f (x)的递增区间为 (ln(-a),0)，递减区间为 - , ln -a ， (0,+ )；
当a 0时，令 f (x) > 0，得 x < 0 ；令 f (x) < 0，得 x > 0，
所以 f (x)的递增区间为 (- ,0)，递减区间为 (0,+ )；
综上所述，当 a = -1时， f (x)在R 上单调递减；
当-1 < a < 0时， f (x)的递增区间为 (ln(-a),0)，递减区间为 - , ln -a ， (0,+ )；
当a 0时， f (x)的递增区间为 (- ,0)，递减区间为 (0,+ ) .
（3 x）因为 f x = e + a 1- ex ，令 f x = 0，得 x = 0或 x = ln -a ，
因为 a < -1，所以-a >1， ln -a > 0，
又 f (m) = f (n) = 0(m < n) ，所以m = 0, n = ln -a ，
2
所以 f m + f n = f 0 + f ln 1-a = - + 1- a a- - a 1- a + a ln -a
2 2
a2 1
= a ln -a + - 2a + ，
2 2
2
令 g a = a ln -a a 1+ - 2a + a < -1 ，则 g (a) = ln(-a) + a -1，
2 2
令 h(a) = g (a) = ln(-a) + a -1 a < -1 ，则 h a 1= +1，
a
因为 a < -1，所以 h a 1= +1 a +1= > 0，
a a
所以 g (a) = ln(-a) + a -1在 (- ,-1)上是增函数，
所以 g (a) < g (-1) = -2 < 0，所以 g(a)在 (- ,-1)为减函数，
所以 g(a) > g(-1) = 3，即 f (m) + f (n) > 3 .
【B 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 c + b = 2acosB .
(1)证明： A = 2B；
3 1 1
(2)若 BAC 的平分线交BC 于D， AD =1， sinB = ，求 + 的值；
5 b c
c
(3)求 的取值范围.
a
【答案】(1)证明见解析
8
(2)
5
2 , 2 3
(3)
è 2 3 ÷
÷
【分析】（1）由正弦定理得 sinC + sinB = 2sinAcosB，由两角和与差的正弦公式可得 sinB = sin A - B ，从
而得到 A = 2B；
1 1 1 1
（2）因为 A = 2B，所以由 SVABC = SVABD + SVACD 得 bcsinA = b + c AD sinB，代入数值即可求得 + 的2 2 b c
值；
π π c sin C sin 3B 1
（3）由VABC 是锐角三角形得 < B < ，由正弦定理得 = = = 2cos B - ，设
6 4 a sin A sin 2B 2cos B
cos B = t 2 , 3 1 2 3 c 2 2 ÷÷，根据
f t = 2t - 在 , ÷÷上单调递增即可求得 的取值范围.è 2t è 2 2 a
【详解】（1）证明：因为 c + b = 2acosB，由正弦定理得 sinC + sinB = 2sinAcosB，
因为 sinC = sin A + B = sinAcosB + cosAsinB，
所以 sinAcosB + cosAsinB + sinB = 2sinAcosB ，
所以 sinB = sinAcosB - cosAsinB = sin A - B ，
所以B = A - B，或 A - B + B = π （舍去），所以 A = 2B .
（2）由（1）知 A = 2B，所以 B为锐角，
因为 sinB
3 4
= ， 所以cosB = ,sinA = sin2B = 2sinBcosB
24
= ，
5 5 25
因为 SVABC = SVABD + SVACD ，
1
所以 bcsinA
1
= b AD sin B 1+ c AD sin B 1= b + c AD sinB，
2 2 2 2
12 3
所以 bc = b + c ，
25 10
b + c 8 1 1 8
所以 = ，即 + = .
bc 5 b c 5
ì
0
π
< B <
2
π π π
（3）因为VABC 是锐角三角形，所以 í0 < A = 2B < ，解得 < B < ，
2 6 4
0 C π A B π < = - - < 2
2 3
所以 cosB ,2 2 ÷÷，è
c sin C sin π - A - B sin 3B sin 2B cos B + cos 2B sin B
由正弦定理得 = = = =
a sin A sin A sin 2B sin 2B
sinB 2cos2B -1
cosB 2cosB 1= + = - .
2sinBcosB 2cosB
2 3 1 2 3
令 cosB = t ，则 t , ÷ , f t = 2t - ,2 2 2t 在 2 2 ÷÷上单调递增，è è
2 1 2 3 1 2 3 f 2 , f 3 f t 2 , 2 3
而 ÷ = - = ÷ = - = ，所以 ，
è 2 2 2 è 2 3 3 è 2 3
÷÷
c 2
所以 ,
2 3
.
a 2 3 ÷÷è
17．（15分）
如图，在四棱锥E - DABC 中，平面DEC ^ 平面DABC, AD ^ CD, AB ∥ CD，DA = DC = 4, AB = EC = 2，
且CE ^ ED .
(1)求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值；
(2)求平面 ABC 与平面BCE 的夹角的余弦值；
(3)求点A 到平面BCE 的距离.
【答案】(1) 4 19
19
(2) 2 19
19
(3) 4 57
19
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量，计算线面所成角的正弦值即可；
（2）利用空间坐标求出平面 ABC 的法向量，计算面面所成角的余弦值即可；
（3）利用空间向量计算点到平面的距离即可.
【详解】（1）平面ECD ^平面DABC ，交线为CD，过D在平面DCE 内作DM ^ DC ，
故DM ^平面DABC ，又因为 AD ^ CD ，
因此以点D为原点，DA, DC, DM 所在直线分别为 x轴， y轴， z 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系.
由已知CE ^ ED, DC = 4, EC = 2，求得E 0,3, 3 ，
所以D 0,0,0 , A 4,0,0 ,C 0,4,0 , B 4, 2,0 , E 0,3, 3 .
uuur uuur uuurDE = 0,3, 3 ，因为BC = -4,2,0 ,CE = 0,-1, 3 ，
ur uuur
ur ìn × BC = -4x + 2y = 0,
设平面BCE 1的法向量为 n1 = x, y, z ，则 íur uuur
n1 ×CE = -y + 3z = 0,ur
令 x = 3 ，则 n1 = 3,2 3,2 ，
uuur ur
uuur ur DE ×n1
设直线DE 与平面BCE 所成角为q1,sinq1 = cos DE, n1 = uuur ur
4 19
= ，
DE × n 191
DE 4 19则直线 与平面BCE 所成角的正弦值为 .
uur 19
（2）易知平面 ABC 的法向量为 n2 = 0,0,1 ，
ur uur
ur uur n1 ×n2
设平面 ABC 与平面BCE 夹角为q2 , cosq2 = cos n ,n ur uur
2 19
1 2 = = ，
n 191 × n2
ABC 2 19则平面 与平面BCE 夹角的余弦值为 .
uuur 19
（3）因为 AB = 0,2,0 ，
ur
AB ×n1 4 57
则点A 到平面BCE 的距离为 ur = .
n 191
18．（15分）
1
已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为 x轴， y轴，且过 0, -1 , 3, ÷ 两点．
è 2
(1)求E 的方程；
(2)过点 -4,0 ，斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于 A, B两点，点C -1,1 ，直线 AC 与 x轴交于 P，与 y轴交于
M ，直线BC 与 x轴交于Q ，与 y轴交于 N ．若3SVCMN = SVCPQ ，求直线 l 的斜率．
2
【答案】(1) x + y2 =1；
4
2
(2) .
7
【分析】（1）根据椭圆所过的点求参数，即可得方程；
（2）设直线 l : x = ty - 4, A x1, y1 , B
y -1
x2 , y2 ，联立椭圆并应用韦达定理，再由直线 AC : y -1 =
1 x +1
x +1 ，1
直线BC : y 1
y -1
- = 2 x +1 求交点坐标，根据面积关系得3 yM - yN = xP - xQ ，进而求得 t 7=x +1 .2 2
，即可得
【详解】（1）设E 的方程为mx2 + ny2 =1(m > 0, n > 0且m n)，
ìn =1
将 0, -1 , 3,
1 1
÷ 两点代入得 í 1 ，解得m = ,n =1，
è 2 3m + n =1 4 4
x2
故E 的方程为 + y2 =1．
4
（2）依题意，设直线 l : x = ty - 4, A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ì x = ty - 4
í 2联立 2 2 ，消去 x整理得 t + 4 y2 -8ty +12 = 0
x
，
+ 4y = 4
则Δ = (-8t)2 - 48 t 2 + 4 > 0 8t 12，即 t 2 >12，且 y1 + y2 = , yt 2 + 4 1 y2 = ．t 2 + 4
y1 -1 y -1
直线 AC : y -1 = x +1 2x +1 ，直线BC : y -1 = x +1 ，1 x2 +1
y -1 y -1
令 x = 0，则M 0, 1 +1 , N 0, 2 +1x +1 ÷ ÷
，
è 1 è x2 +1
x +1 x +1
令 y = 0 ，则P - 1 -1,0 ,Q - 2 -1,0 ，
è y1 -1
÷
è y
÷
2 -1
y -1 y -1 x +1 x +1
由3SVCMN = SVCPQ ，得3 yM - yN = xP - x 1Q ，即3 - 2 = 1 - 2 ，x1 +1 x2 +1 y1 -1 y2 -1
t - 33 y1 - y2 t - 3 y1 - y2 整理得 =t 2 y1y2 - 3t y1 + y2 + 9 y y
，
1 2 - y1 + y2 +1
因为 t 2
7
>12 2，所以3t - 36 = 3 t 2 -8t +16 ，解得 t = 2 ，
2
所以直线 l 的斜率为 7 ．
19．（15分）
已知 n N* ，记无穷数列 a M + mn 的前 n项中的最大值为M n ，最小值为m ，令b = n nn n .2
(1)若 an = (-2)n ，求数列 bn 的通项公式与其前 n项和 Sn ；
(2)若数列 bn 为递增的等差数列，判断数列 an 是否也一定为递增的等差数列，并说明理由；
a
(3)若bn = 2n - 4,c = nn nn ，设数列 cn 的前 项和为Tn ，是否存在正整数 p, q(1 < p < q) ，使得T3 1
,Tp ,Tq为等差
数列？如果存在，求出所有 p, q的值，如果不存在，请说明理由.
ì-2, n =1,
【答案】(1) bn = í S
5 1
= - - (-2)n-1
(-2)
n-2 , n ， 2. n 3 3
(2)数列 an 为递增的等差数列，证明见解析.
(3)存在， p = 2, q = 3
【分析】（1）由 an = (-2)n ，分类讨论求解bn 及其前 n项和 Sn 即可；
（2）设等差数列公差为 d ，则d > 0，讨论 an+1 < an ，和 an+1 = an ，矛盾，所以 an+1 > an ，然后证明即可；
（3）若bn = 2n - 4,b1 = -2，由（2）可知 an 也为等差数列，且公差为 4， a1 = b1 = -2，
n
an = a1 + 4 n -1 = 4n - 6,cn = 4n - 6 ×
1
÷ ，由错位相减法求出Tn ，假设存在正整数 p, q(1 < p < q) ，使得
è 3
T1,Tp ,Tq为等差数列，求解 p, q即可.
ì
n -2
n ,n为奇数,
【详解】（1）由 an = (-2) ，即 an = í n ，当 n =1时，b1 = -2，当 n > 2时，
2 ,n为偶数.
n b an + an-1 (-2)
n + (-2)n-1 2n - 2n-1
为偶数， n-2n = = = = 2 ，2 2 2
n-1 n n-1 n
n为奇数，且 n 3,b an-1 + an (-2) + (-2) 2 - 2= = = = -2n-2n ，2 2 2
ì-2, n =1,
故bn = í n-2
(-2) , n 2.
当 n =1时， Sn = -2，
1- (-2)n-1 1
当 n 2 n-1时， Sn = b1 + b2 + b3 +L+ bn = -2 + = -2 + é1- -2 3
1- (-2) ù，
5 1 n-1
所以， Sn = - - (-2)3 3
（2）若 bn 为递增的等差数列，设其公差为 d ，则d > 0，
b b M n+1 + mn+1 M n + m M所以， - = - n = n+1
- M n mn+1 - mn
n+1 n + = d > 0，2 2 2 2
若 an+1 < an ，则M n+1 = M n ,mn+1 mn ,bn+1 - bn 0，矛盾，
若 an+1 = an ，则M n+1 = M n ,mn+1 = mn ,bn+1 - bn = 0，矛盾，所以 an+1 > an ，
M
所以， a 是递增的数列.由M = a ,m = a ,d = n+1 - M n mn+1 - mn an+1 - ann n n n 1 + = ，2 2 2
所以， an 是公差为 2d 的等差数列，因此数列 an 为递增的等差数列得证.
（3）若bn = 2n - 4,b1 = -2，由（2）可知 an 也为等差数列，且公差为 4，
n
a1 = b1 = -2， an = a1 + 4 n -1 = 4n - 6,cn = 4n - 6 ×
1
÷ ，
è 3
1 1 1 2 nT 1 n = -2 ÷ + 2 ÷ +L+ 4n - 6 × ÷ ，
è 3 è 3 è 3
1 T 1
2 1 3 1 n+1
n = -2
3 3 ÷
+ 2 ÷ +L+ 4n - 6 × ÷ ，
è è 3 è 3
1 1
n
1
2 2 é 2 n n+1
- n+1
T = - + 4 1 +L 1
ù 1 2 ÷- 4n - 6 × = - + 4 9 è 3 3 - 4n 1- 6 × n ê ÷ ÷ ú3 3 ê è 3
÷ ÷
è 3 ú è 3 3 1 1- è 3
3
1 n+1 n
= -4n × ÷ ，所以Tn = -2n
1 -2n× ÷ =è 3 è 3 3n
.
若存在正整数1 < p < q，使得T1,Tp ,Tq成等差数列，即 2Tp = T1 +Tq ，
2 -2 p 2 -2q , 2 p 1 q q 3q 2 p 1 p ÷ = - + q ÷ p = + q ，即 = × -
3 3 3 3 3 3 3p 3 ÷
①，
è è è
j p 2 p令 = p ，j p 1 j p
2 p + 2 2 p 2 - 4 p
+ - = p+1 - p = p+1 < 0，所以j p 单调递减，3 3 3 3
j 2 4 1= > ,j 3 2 1= < ，
9 3 9 3
p = 2 q = 3q × 4 1- ① = 3q-2所以若 式成立，则 ，所以 9 3 ÷
，
è
类似j p 的单调性，可得y q q=
3q-2
是单调减函数，
由于y 3 =1，
所以上面关于 q的方程存在唯一解 q = 3 .
因此存在唯一一组正整数 p = 2, q = 3，使得T1,Tp ,Tq为等差数列.
20．（16 分）
已知函数 f x = ax - ln x - 2 a R
(1)当 a =1时，求曲线 y = f x )在点 1, f 1 处的切线方程;
(2)讨论函数 f x 的单调性；
(3)若对任意的 x 1, + ，都有 x ln x + x > k x -1 成立，求整数 k 的最大值.
【答案】(1) y = -1
(2)答案见解析
(3)3
【分析】（1）求出函数 f (x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数，讨论a 0， a > 0求出 f (x)的单调区间作答.
（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】（1）当 a =1时，函数 f (x) = x - ln x - 2，
f 求导得 (x) =1
1
- ，则 f (1) = 0，而 f (1) = -1，
x
所以曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程是 y = -1.
（2） f x a 1 ax -1= - = , x > 0 ，
x x
当a 0时， f x < 0，恒成立，函数 f x 在定义域 0, + 单调递减；
1 1
当 a > 0时，由 f x < 0，可得：0 < x < ，由 f x > 0，可得 x > ，
a a
所以 f x 0, 1 1 在 a ÷单调递减，在 ,+ a ÷ 单调递增；è è
综上：当a 0时， f x 在定义域 0, + 单调递减，无增区间，
当 a > 0时， f x 1 1 在 0, ÷单调递减，在 , + ÷ 单调递增；
è a è a
（3）"x (1, + ) ， x ln x + x > k(x
x ln x + x
-1) k < ，
x -1
x ln x + x 2 + ln x x -1 - x ln x + xg x x - ln x - 2令 g(x) = , x >1，求导得 = = ，
x -1 x -1 2 x -1 2
由（2）知， f (x) = x - ln x - 2在 (1,+ )上单调递增， f (3) =1- ln 3 < 0， f 4 = 2 1- ln 2 > 0 ，
因此存在唯一 x0 (3,4) ，使得 f (x0 ) = 0，即 x0 - ln x0 - 2 = 0 ln x0 = x0 - 2，
当 x (1, x0 )时， f (x) < 0，即 g (x) < 0，当 x (x0 ,+ )时， f (x) > 0 ，即 g (x) > 0 ，
因此函数 g (x) 在 (1, x0 )上单调递减，在 (x0 ,+ )上单调递增，
于是 g(x) g(x )
x0 ln x0 + x0 x0 (x0 - 2) + x0
min = 0 = = = x0 ，则 k < x0 (3, 4)x0 -1 x0 -1
，
所以整数 k 的最大值是 3.
【C 组】
（建议用时：60 分钟 满分：75 分）
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在VABC 中，内角A ， B，C 的对边分别为 a，b ， c， c = 2b， 2 sin A = 3sin B .
(1)求 sin C 的值；
cos π (2)求 2C + 6 ÷
的值；
è
(3)若VABC 3 7的面积为 ，求 c的值.
2
14
【答案】(1) ；
4
(2) 3 3 + 7- ；
8
(3)4.
2
【分析】（1）应用正弦边角关系得 2a = 3b，结合已知及余弦定理得 cosC = ，再由平方关系求 sin C ；
4
（2）应用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函数值；
（3）由三角形面积公式得 ab = 6 2 ，结合 2a = 3b、 c = 2b即可求边长.
【详解】（1）因为 2 sin A = 3sin B ，所以 2a = 3b，而 c = 2b，
a2 2 2
\cosC + b - c 2= = ，0 < C < π，
2ab 4
\sin C = 1- cos2 C 14= ；
4
2 1 sin 2C 2sin C cosC 7（ ）由（ ） = = ， cos 2C = 2cos2 C 1
3
- = - ，
4 4
cos 2C π 3 cos 2C 1 + ÷ = - sin 2C
3 3 + 7
= - ；
è 6 2 2 8
1
（3）由（1） S△ABC = absin C
3 7
= ，则 ab = 6 2 ，又 2a = 3b，则b = 2 ，
2 2
又 c = 2b，则 c = 4 .
17．（15分）
1
如图，已知四棱锥 P - ABCD, PD ^平面 ABCD， AB∥CD， AB ^ AD ，CD = AD = AB =1， PAD = 45°，
2
1
E 是 PA 的中点， AF = AB ．
4
(1)求证：DE ∥平面 PBC；
(2)求平面 FPC 与平面 PBC 夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面 PBC 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
3
(3) 2 3
3
【分析】（1）点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 PBC 的法向量，利用向量法证明线面平行；
（2）求出平面FPC 的法向量，然后利用向量法求解两平面夹角的余弦值；
（3）利用点到平面的向量距离公式求解即可.
【详解】（1）如图所示，
建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点，
A 1,0,0 , B 1,2,0 , P 0,0,1 , E 1 ,0,
1
÷ , F
1,
1 ,0 ÷ ,C 0,1,0 , D 0,0,0 ，
è 2 2 è 2
uuur 1 1 uuur uuur uuurDE ,0, , PB 1则 = ÷ = 1,2, -1 , PC = 0,1,-1 , PF =
1, ,-1
è 2 2 è 2 ÷
mr
uuur
x, y, z , DE 1 ,0, 1 设平面 PBC 的法向量 = = ÷，
è 2 2
uuur
ì m × PB = 0 ìx + 2y - z = 0
则 í uuur ，即 í ，
m × PC = 0 y - z = 0
不妨令 y 1
r
= ，可得m = -1,1,1 ，
uuur
DE mr 1 1因为 × = -1 + 0 3+1 = 0，
uuur 2 2r
所以DE ^ m，且DE 平面 PBC ，即DE ∥平面 PBC ；
r
（2）设平面FPC 的法向量 n = a,b,c ，
ìnr
uuur
× PC = 0 ìb - c = 0
则 í r uuur
，即 í 1 ，
n × PF = 0 a + b - c = 0 2
r 1
不妨令b 1 = ，可得 n = ,1,12 ÷ ，è
r r 1- +1+1
于是 cos m
r r m × n 3
× n = = 2 =
mr nr 3 ，
3 1× +1+1
4
3
所以平面FPC 与平面PBC 夹角的余弦值为 ；
uuur 3
（3）由 AP = r-1,0,1 ，平面 PBC 的法向量m = -1,1,1 ，
mr
uuur
× AP 2 2 3
则点 A 到平面 PBC 的距离 d = r = = ，m 3 3
2 3
所以点A 到平面PBC 的距离为 ．
3
18．（15分）
2 2 2
已知椭圆 C : x y2 + 2 =1 a > b > 0 过点 1, 2 ÷÷ ，F , Fa b 1 2 分别为椭圆的左、右焦点且
∣F1F∣2 = 2.
è
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆交于P1, P2 两点( P1在P2的左侧)，P1F1和P2F2都是圆
的切线且P1F1 ^ P2F2？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
x2
【答案】(1) + y2 =1
2
2 5 2 32(2)存在， x + (y - ) =3 9
【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出方程组，求解 a、b 、 c，进而得到椭圆的标准方程；
（2）利用圆和椭圆的对称性，结合向量垂直的性质求出交点坐标，再根据直线垂直的关系确定圆心坐标和
半径，从而判断圆是否存在并求出圆的方程.
ì
1 (
2 )2
+ 2 =1 ì 1 1+ =1
a2 b2 a2 2b2
【详解】（1） í2c = 2 ，即 í2c = 2 .
a
2 = b2 + c2 a
2 = b2 + c2
将 c =1代入 a2
1 1
= b2 + c2，得 a2 = b2 +1，代入 a2
+
2b2
=1，
化简得 2b4 - b2 -1 = 0，解得，b2 =1（负值舍去），所以a2 = 2，
x2
故椭圆的标准方程为 + y2 =1.
2
x2
（2）设圆心在 y轴上的圆C 与椭圆 + y2 =1相交，P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )是两个交点，且 y1 > 0 ，2
F1P1 ^ F2P2 .
由圆和椭圆的对称性可知， x2 = -x1， yuuuur1
= y2 ， | P1P2 |= 2 | x1 | . uuuur
由（1）知F1(-1,0)，F2 (1,0) ，所以F1P1 = (x1 +1, y1)，F P = (-x -1, y ) . uuuur uuuur 2 2 1 1
因为F1P1 ^ F2P2，则F1P1 × F2P2 = 0，即-(x +1)
2 + y21 1 = 0，可得 y
2
1 = (x1 +1)
2 .
x2 x2 x2
又因为点P1(x1, y1)在椭圆 + y2 =1上，所以 1 + y21 = 1，联立可得 1 + (x +1)2 =1 .2 2 2 1
整理得3x21 + 4x1 = 0
4
，解得 x1 = - 或 x3 1
= 0 .
当 x1 = 0 时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在.
4 4 1
当 x1 = - 时， y1 =| x1 +1|=| - +1|= .3 3 3
过P1，P2分别与F1P1，F2P2 垂直的直线的交点即为圆C ，设C (0, y0 ) .
1
- y 1
3 0 3 5
因为CP1 ^ F1P1，即 4 × 4 = -1，解得 y0 = .
- - +1 3
3 3
4
则圆C 的半径 | CP1 |= (- - 0)
2 (1 5)2 4 2+ - = .
3 3 3 3
C 2 5 2 32所以圆 的方程为 x + (y - ) = .3 9
19．（15分）
数列 an 是公差不为 0 的等差数列， a1 =1．已知 ab ,ab ,ab ,L,ab 为等比数列，且b1 = 2，b2 = 61 2 3 n ，b3 = 22．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2) *设数列 an 中的项落在区间 3bm ,3bm+1 中的项数为 cm m N ．
（i）求数列 ancn 的前 n项和Hn；
k d 1
（ii）设数列 dn i满足 d1 =1，若存在正整数 k 2满足当 n = 1,2,3,L,k -1时，dn+1 = cndn ，且 = ，求
i=1 di+1 3
dk +1．
4n
【答案】(1) an = 3n - 2，b
+ 2
n = 3
k -1 k +2
(2)（i）Hn = n -1 4n+1 + 4 ；（ii） d 2k +1 = 3 4
2
【分析】（1）设数列 an 的公差为 d ，由题意得 a6 = a2a22，可求出公差 d ，从而可求出 an ，设数列 abn 的
公比为 q，再由 ab = 4,ab = 16可求出 q1 2 ，从而可求出 abn ，进而可求出bn ；
m m+1
（2）（i 4 + 4 4 + 4）由题意可得 < n < ，则可求出 cm ，从而可求出 ancn ，方法一：利用错位相减法可求3 3
出Hn，方法二：对 ancn 变形后，利用累加法可求出Hn；（ii）当 n = 1,2,3,L,k -1时，可得
1 1 1 d 1 k k -1
+ +L + + k = k -1
c c c d 3，则可得 dk +1 = 3 4 dk ，当当
n = 2,3,L,k 时，利用累乘法可求得 dk = 4 2 ，1 2 k -1 k +1
从而可求出 dk +1 .
【详解】（1）设数列 an 的公差为 d ，
因为 ab ,ab ,ab ,L,a1 2 3 bn 为等比数列，且b1 = 2，b2 = 6，b3 = 22，
a2所以 6 = a2a22，
2
所以 1+ 5d = 1+ d 1+ 21d ，
解得d = 3或 d = 0 (不合题意，舍去)，
又因 a1 =1，所以 an =1+ 3 n -1 = 3n - 2 ，
设数列 ab 的公比为 q，n
16
因为 ab = a2 = 4,ab = a6 = 16，所以 q = = 41 2 ，4
所以 ab = 4 4
n-1 = 4n ，
n
又因 ab = 3bn - 2，所以3b nn n - 2 = 4 ，
4n + 2
所以bn = ．3
m m+1
（2）（i）3bm = 4 + 2，3bm+1 = 4 + 2，
数列 an 中的项落在区间 3bm ,3bm+1 中的项数满足 4m + 2 < 3n - 2 < 4m+1 + 2，
4m + 4 n 4
m+1 + 4
即 < < ，
3 3
4m + 4 3+1 m + 4 C0 0 1 1m 3 + Cm 3 +L+ Cm 3m + 4因为 2= = m = +1+ C1m + +L+ Cm 3m-1，3 3 3 3 m
m+1 3 +1 m+14 + 4 + 4 C0 0 1 1 m+1 m+1
= = m+1
3 + Cm+13 +L+ Cm+13 + 4
3 3 3
2
= +1+ C1m+1 + +L+ C
m+1 m
3 m+1
3 ，
a *数列 n 中的项落在区间 3bm ,3bm+1 中的项数为 cm m N ，
4m+1 + 4 2 mc 4 + 4 1
m
所以 m = - - +3 3 3 3 ÷
+1 = 4 ，
è
所以 ancn = 3n - 2 4n ，
方法一：
H =1 41 + 4 42 +L+ 3n - 2 4nn ，
4Hn =1 4
2 + 4 43 +L+ 3n - 2 4n+1，
-3Hn =1 4
1 + 3 42 + 43 +L+ 4n - 3n - 2 4n+1
16 1- 4n-1
= 4 + 3 - 3n - 2 4n+1
1- 4
= 4 + 4n+1 -16 - 3n - 2 4n+1
= 3- 3n 4n+1 -12
所以Hn = n -1 4n+1 + 4 ．
n+1
方法二： ancn = n -1 4 - n - 2 4n = - n - 2 4n + n -1 4n+1，
Hn = 4 + 0 - 0 + 4
3 - 43 + 2 44 -L- n - 2 4n + n -1 4n+1
= n -1 4n+1 + 4
d 1
（ii）当 n = 1,2,3,L,k -1 n时， dn+1 = cndn ，则 =d ，n+1 cn
k
di d d d d所以 = 1 + 2 +L + k -1 + k
i=1 di+1 d2 d3 dk dk +1
1 1 1 d
= + +L+ + k 1=
c1 c2 ck -1 dk +1 3
1 1 1-
1 1 L 1 1 1 1
k -1 ÷ 1 1 1 k -1
又因为 + + + = + + ×××+ = 4 è 4 = - ，
c1 c2 ck -1 4 4
2 4k -1 ÷1 1- 3 3 è 4
4
d k -1k 1= 1 k -1所以
d 3 ÷
，解得 d = 3 4 d ，
k +1 è 4
k +1 k
所以当 n = 2,3,L,k 时，
d d= n d d所以 n n-1 n-2 L
d
2
dn-1 dn-2 dn-3 d1
= cn-1 cn-2 L c1
= 4n-1 4n-2 × × × 42 4
n n-1
= 4 2 ，
k k -1
所以 dk = 4 2 ，
k k -1 k -1 k +2
所以 d = 3 4k -1
k -1+
k +1 dk = 3 4 2 = 3 4 2 ，
k -1 k +2
综上 dk +1 = 3 4 2 ．
20．（16 分）
x+1 2
设函数 f x = e - x - kx ．
(1)当 k = 0时，求曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处的切线方程；
(2)若 f x 在区间 -1, + 上单调递增，求 k 的取值范围；
(3)当 x -1时， f x f -1 ，求 k 的取值范围．
【答案】(1) y = 3x + 3
(2) k 4 - 2ln2
(3) k e
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；
（2）由条件转化为 x -1, + , f x 0恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于 0，即可求解；
x+1 2
（3）方法一：首先将不等式整理为 ex+1 - x2 k x +1 e - x，再参变分离为 k ，转化为求函数
x +1
ex+1G x - x
2
= , x -1, + 的最小值；方法二：根据（2）的结果，由 f x0 的值，讨论 k 的取值，判断不x +1
等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解 k
的取值范围.
【详解】（1）当 k = 0时， f x = ex+1 - x2 ，则 f x = ex+1 - 2x ，
则曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处的切线斜率为 f -1 = 3，
又 f -1 = 0，
所以曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处的切线方程为 y = 3x + 3．
（2） f x = ex+1 - 2x - k ，
由题意得， x -1, + , f x 0恒成立．
F x = f x F x = ex+1令 ，则 - 2，且F x 在 -1, + 单调递增，
令F x = 0，解得 x = ln2 -1 > -1，
所以当 x -1, ln2 -1 时，F x < 0，故F x 单调递减；
当 x ln2 -1,+ 时，F x > 0，故F x 单调递增；
所以F (x)min = F ln2 -1 = 4 - 2ln2 - k ，
又 f x 0，当且仅当F (x)min 0，故 k 4 - 2ln2．
（3）解法一：因为 f -1 = k ，所以题意等价于当 x > -1时， f x k ．
即"x -1,+ , ex+1 - x2 - kx k ，
x+1 2
整理，得 e - x k x +1 ，
ex+1 - x2
因为 x > -1，所以 x +1 > 0，故题意等价于 k ．
x +1
x+1 2
设G x e - x= , x -1, + ，
x +1
ex+1G x - 2x x +1 - e
x+1 - x2
的导函数G x = ，
(x +1)2
G x x= ex+1化简得 2 - x - 2(x 1) ，+
x
考察函数 g x = e - x -1, x - , + ，其导函数为 g x = ex -1，
当 x < 0, g x < 0, g x 单调递减；当 x > 0, g x > 0, g x 单调递增；
故在 x = 0时， g x 取到最小值，即 g x g 0 = 0 ，
即 ex x +1，
所以ex+1 x + 2 ex+1 - x - 2 0，
所以当 x -1,0 ,G x < 0,G x 单调递减；
当 x 0, + ,G x > 0,G x 单调递增；
所以G x 的最小值为G 0 = e，
故 k e．
解法二：先考察 f x = ex+1 - 2x ，由（2）分析可得 f (x)min = f x0 ，
情况 1：当 f (x)min 0，即 k 4 - 2ln2，
此时 f x 在区间 -1, + 单调递增，
故 f (x)min = f -1 ，即 f x f -1 ，符合题意；
情况 2：若 k > 4 - 2ln2，则 f (x)min = f x0 < 0，
注意到2 < 4 - 2ln2 < 3，且 f -1 = 3 - k ，故对 k 进一步讨论．
①当 k 3时，即 f -1 = 3- k 0
且由（2）分析知：当 x -1, x0 , f x 单调递减，
故当 x -1, x0 , f x0 < f -1 0，即 f x 单调递减，
故恒有 f x < f -1 = k ，不符合题意，舍去；
②当4 - 2ln2 < k < 3时，
注意到在区间 -1, x0 , f x 单调递减，且 f -1 = 3- k > 0，又 f x0 < 0 ，
故在区间 -1, x0 存在唯一的x 1满足 f x1 = 0 ；
2
同理在区间 x0 , + , f x 单调递增，且 f x0 0, f 1 = e - 2 - k 0，
故在区间 x0 ,+ 存在唯一的 x2满足 f x2 = 0；故可得
x -1, x1 x1 x1, x2 x2 x2 ,+
f x + 0 - 0 +
f x Z 极大值 ] 极小值 Z
所以当 x -1, x1 f x > f -1 ，符合题意；
故题意等价于 f x2 f -1 ，即 f x2 k ．
又因为 f x2 = 0，即ex2 +1 - 2x - k = 0 ex2 +12 ，化简，得 = 2x2 + k
2
所以 f x2 k 2x2 + k - x2 - kx2 k ，整理得 x2 é x2 - 2 - k ù 0．
注意到2 < 4 - 2ln2 < k ，所以 2 - k < 0，
故解得 x2 2 - k,0 ，
ì f 2 - k 0, ìe3-k 4 - k,
由之前分析得 í
f 0
即
0, í k e,
考察函数 g x = ex - x -1, x - , + ，其导函数为 g x = ex -1，
当 x < 0, g x < 0, g x 单调递减；
当 x > 0, g x > 0, g x 单调递增；
故在 x = 0时， g x 取到最小值，即 g x g 0 = 0 ，
即 ex x +1，所以e3-k 4 - k 恒成立，
ìe3-k 4 - k,
故 í k e，又注意到情况（2）讨论范围为4 - 2ln2 < k < 3，
k e,
所以4 - 2ln2 < k e也符合题意．
综上①②本题所求 k 的取值范围为 - , e ．
方法三：先探究必要性，由题意知当 x -1时， f -1 是 f x 的最小值，
则必要地 f -1 f 0 ，即得到必要条件为 k e；
下证 k e的充分性，即证：当 k e时， x -1, + , f x f -1 ．
证明：由（2）可知当 k 4 - 2ln2时， f x 在 -1, + 单调递增，
故 f x 的最小值为 f -1 , f x f -1 ，符合题意；
故只需要证明4 - 2ln2 < k e时， f x f -1 ．
由（2）分析知 k > 4 - 2ln2时，
x -1, x1 x1 x1, x2 x2 x2 ,+
f x + 0 - 0 +
f x Z 极大值 ] 极小值 Z
其中 x0 = -1+ ln2 -1,0 , x1 -1, x0 , x2 x0 , + ．
注意到 f 0 = e - k 0，据此可得 x2更精确的范围是 x0 ,0 ；
所以等价于证明 f x2 f -1 = k ，
x +1
又因为 f x2 = 0，即e 2 - 2x - k = 0 x，可得e 2 +12 = 2x2 + k ，
只需证明 f x2 k 2x2 + k - x22 - kx2 k ，
等价于证明 x2 éx2 - 2 - k ù 0，
注意到 x2 x0 ,0 ，即-1+ ln2 < x2 < 0，
故若①当 x2 = 0，此时 k = e, x2 é x2 - 2 - k ù 0显然成立；
若②当 x2 < 0，只要证明 x2 + k 2，
此时4 - 2ln2 < k < e，且-1+ ln2 < x2 < 0
所以 x2 + k > 3 - ln2 > 2，故得证．
综上必要性，充分性的分析，本题所求 k 的取值范围为 - , e ．
【点睛】方法点睛：本题第三问给了三种方法，第一种参变分离比较简单实用.
