云南省玉溪市峨山县第一中学2024-2025学年高一下学期3月份考试数学试卷（含答案）

峨山县第一中学2024-2025学年高一下学期3月份考试
数学试卷
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，若为上一点，且满足，则( )
D.
2.如图所示，在正△ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
与
与
与
D. 与
3.若复数是的根，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
4.已知是两个不共线的单位向量，向量)．“，且”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
6.若是内一点，，则是的( )
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
7.若，且是纯虚数，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
8.已知A(0,1)，B(3,5)，向量a＝，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A. B. － C. D. －
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.化简以下各式，结果为的有( )
A. B. C. D.
10.如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( ).
A. B. C. D.
11.设非零向量，满足，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，，都是边长为1的等边三角形，，，三点共线，则 ．
13.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·＝________.
14.已知、、为圆上的三点，若，则与夹角的大小为 .
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
(1)求角；
(2)若点满足，且，求的面积的最大值.
16.求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.
17.若定义一种运算：.已知为复数，且.
(1)求复数；
(2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值.
18.已知幂函数（）定义域上不单调．
（1）试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
（2）若，求实数的取值范围．
19.英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．
（1）证明：当时，；
（2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
一、单选题
1.【答案】A
【解析】因为所以
由,
因三点共线，由共线定理推论可得，解得
故选：A.
2.【答案】B
【解析】由已知可得PQ AC，向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
3.【答案】B
【解析】由复数求根公式，有，所以.
故选：B.
4.【答案】A
【解析】当，且时，
，充分性满足；
当时，
，当，时，
是可以大于零的，
即当时，可能有，，必要性不满足，
故“，且”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
5.【答案】B
【解析】∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cos B＝＝＝.
6.【答案】D
【解析】取线段的中点，连接，则，而，
因此，即三点共线，线段是的中线，
且是靠近中点的三等分点，所以是的重心.
故选：D.
7.【答案】B
【解析】设，
则，
因为是纯虚数，可得，即，所以．
故选：B.
8.【答案】A
【解析】∵A(0,1)，B(3,5)，a＝，∴a＝(3,5)－(0,1)＝(3,4)．
∵a∥b，∴4sin α＝3cos α，∴tan α＝.
二、多选题
9.【答案】ABD
【解析】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD.
10.【答案】AC
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误.
故选：AC.
11.【答案】BC
【解析】因为，
所以，
即，所以，A错误，B正确；
因为，所以，所以，C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题
12.【答案】
【解析】因为，都是边长为的等边三角形，
所以，
在中，，所以，，
所以，所以.
故答案为：.
13.【答案】－19
【解析】设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，
∴·＝－19.
14.【答案】
【解析】连接、，如下图所示：
因为，则四边形为平行四边形，
因为，则平行四边形为菱形，
因为，故为等边三角形，所以，，
故，即与夹角的大小为.
故答案为：.
四、解答题
15.【答案】解：(1) ，
由正弦定理可得：，
在中，有，
，
，
整理得，
又在中，，
∴，即，
，
，解得，
故.
(2)如图所示：
，
，
两边平方可得，
，
，
，当且仅当时等号成立，即，
所以，
故的面积的最大值为.
16.【答案】解：（1）因为复数是实数，
所以，所以.
（2）因为复数是纯虚数，所以，
所以.
（3）复数在复平面中对应的点为，
因为该点位于第三象限，所以，所以.
17.【答案】解：（1）设复数,，是虚数单位），则，
因为，
解得，，
可得．
（2），
由题意可得，
当时，取最大值.
18.【答案】解：（1）因为为幂函数，所以满足，即，
解得或，
当时，，可知在定义域内单调递增，不满足条件；
当时，，其定义域为，判断可知在定义域内单调递减，但在定义域内不单调，符合题意；
综上所述：，.
函数为奇函数，理由如下：
因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（2）因为为奇函数，所以可将转化为，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
分情况讨论如下：
①当时，解得；
②当时，无解；
③当时，解得；
综上，可得或，
所以实数的取值范围.
19.【答案】：解（1）由题意，得，所以，
又，所以，所以
所以当时，．
（2）对于函数，有，
①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”；
②同理时，也不存在，
下面讨论，
③若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意．
④若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，
所以，于是，
若，即，则，
故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”．