人教版2024-2025学年八年级数学下册《二次根式》专项训练专题09二次根式易错必刷题型专训(63题21个考点)(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学下册《二次根式》专项训练专题09二次根式易错必刷题型专训(63题21个考点)(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-24 07:22:02 | ||
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文档简介
专题 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点）
【易错必刷一 二次根式的基本概念】
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
3．判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【易错必刷二 求二次根式的值】
1．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．当时，二次根式的值是 ．
3．当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
【易错必刷三 求二次根式中的参数】1．已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
2．已知是正整数，则实数n的最小值是 ．
3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
【易错必刷四 二次根式有意义的条件】
1．将根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的立方根为 ．
3已知实数m，n满足，求的立方根．
【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．当时，化简的结果是 ．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】
1．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
3．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简
【易错必刷七 复合二次根式的化简】
1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
3．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
(1)；
(2)．
【易错必刷八 二次根式的乘法计算】
1．计算：
2．计算：．
3．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【易错必刷九 二次根式的除法计算】
1．化简：
(1)；
(2)．
2．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
3．计算：
(1)
(2)
【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】
1．计算：．
2、计算：；
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】
1．下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．将化为最简二次根式是 ．
3．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】
1．最简二次根式与2可以合并，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
2．若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ．
3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【易错必刷十三 同类二次根式】
1．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ．
3．如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【易错必刷十四 二次根式的加减运算】
1．计算与化简：
(1)；
(2)．
2．计算：
(1)；
(2)
3．计算：
(1)．
(2)．
【易错必刷十五 二次根式的混合运算】
1．计算：
(1)；
(2)．
2．计算：
(1)；
(2)．
3．计算：
(1)；
(2)．
【易错必刷十六 分母有理化】
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．化简： ．
3．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小：______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】
1．已知，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（已知 ，则 的值为 ．
3．已知：，求的值．
【易错必刷十八 已知条件式化简求值】
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则代数式的值为 ．
3．已知，，求代数式的值．
【易错必刷十八 比较二次根式的大小】
1．2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
2．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
3．已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
【易错必刷二十 二次根式的应用】
1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．
3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）．
【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】
1．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：．
求：的值．
2．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
3．阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么．
(1)如果，其中a是整数，且，那么______，______；
(2)如果其中c是整数，且，那么______，______；
(3)已知，其中m是整数，且，求的值；
(4)在上述条件下，求的立方根．
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专题 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点）
【易错必刷一 二次根式的基本概念】
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、是开三次方，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
【答案】③④⑥
【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可．
【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式；
故答案为：③④⑥．
3．判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【答案】(1)是
(2)不是
(3)是
(4)不是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案．
【详解】（1）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， >0，
∴是二次根式；
（2）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0；
∴不是二次根式．
（3）解：∵x2≥0，
∴x2+1>0，
又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴是二次根式．
（4）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3，
∴不是二次根式．
（5）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，，
∴是二次根式
（6）解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴不是二次根式．
【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数．
【易错必刷二 求二次根式的值】
1．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】把代入进行计算即可．
【详解】解：当时，，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键．
2．当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
3．当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝＝＝3；
（3）解：把x＝﹣，代入二次根式得：
＝＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键．
【易错必刷三 求二次根式中的参数】
1．已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
2．已知是正整数，则实数n的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行分析求值．
【详解】解：∵是正整数，且最小的正整数是1，
∴当，此时，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键．
3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为．
【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【详解】（1）∵是整数，
∴，，，，，
解得：，，，，，
则自然数的值为2，9，14，17，18；
（2）∵是整数，为正整数，
∴正整数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
【易错必刷四 二次根式有意义的条件】
1．将根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选：B．
2．已知，则的立方根为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴，
∴，
∴的立方根为．
故答案为：2．
3已知实数m，n满足，求的立方根．
【答案】5
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件求出n的值，进而求出m的值，再求出的值，即可求出对应的立方根．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵125的立方根是5，
∴的立方根是5．
【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
2．当时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴
．
故答案为：．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．
（1）根据二次根式的性质求解即可；
（2）根据二次根式的性质求解即可；
（3）根据二次根式的性质求解即可；
（4）根据二次根式的性质求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】
1．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，根据数轴可得，进而化简二次根式，即可求解．
【详解】解：根据数轴可得，
，
∴，
故选：C．
2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
【答案】
【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【详解】
解：由数轴可知：，，，
∴
．
故答案为：．
3．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简
【答案】b
【分析】本题考查了考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．
【详解】解：如图所示：，
原式
．
【易错必刷七 复合二次根式的化简】
1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
【答案】/
【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．
3．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【易错必刷八 二次根式的乘法计算】
1．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∵，
∴，
∴
．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可
（3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【易错必刷九 二次根式的除法计算】
1．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
2．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
（2）
【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】
1．计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
2、计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式．
【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】
1．下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题．
根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】解：①；②=；③=；④是最简二次根式；⑤是最简二次根式．
故选：C．
2．将化为最简二次根式是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不是，；
(2)是；
(3)不是，．
【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
（1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可；
（2）根据定义判断是最简二次根式；
（3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可．
【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，；
（2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式．
（3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式，
．
【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】
1．最简二次根式与2可以合并，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可；
【详解】由题意得：3m﹣1=2，
解得：m=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键．
2．若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ．
【答案】2
3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【易错必刷十三 同类二次根式】
1．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．
把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，解得：．
故答案为：3．
3．如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：．
【易错必刷十四 二次根式的加减运算】
1．计算与化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算；
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
（1）先将每个二次根式化简，再作加减法；
（2）先化简二次根式和利用完全平方公式将式子展开，再算加减法．
【详解】（1）解：
（2）
【易错必刷十五 二次根式的混合运算】
1．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先化简各数，再合并同类二次根式即可；
（2）利用混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【易错必刷十六 分母有理化】
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小：______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)9
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：的有理化因式是．
．
故答案为：，
（3）解：因为 ，，
而，
．
和都是大于的数，
．
故答案为：．
（4）解： ，
，
，
．
【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】
1．已知，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．将代数式转化为，代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴
；
故选D．
2．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简求值，以及二次根式的计算的应用，利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简可得，将已知的值代入结合二次根式的计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
故答案为．
3．已知：，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，
先将整理为，再将待求式配方，然后整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
，
，
，
．
【易错必刷十八 已知条件式化简求值】
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
【详解】解：，，
、同号，并且、都是负数，
解得：，或，，
当，时，
；
当，时，
，
则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
2．已知，则代数式的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算．
将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： 11．
3．已知，，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
【易错必刷十八 比较二次根式的大小】
1．2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
【答案】A
【分析】将分别化成，再进行比较即可．
【详解】且
即
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．
2．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】=
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键．
把分母有理化即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；
（2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
【易错必刷二十 二次根式的应用】
1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解，正确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：A．
2．有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，利用二次根式的性质和正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，进而求出长方形木板的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：面积为和的正方形木板边长分别为 ，
∴原来长方形的长为，宽为，
∴原来长方形的面积为，
故答案为：．
3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）．
【答案】通道的面积为平方米
【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可．
【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米，
平方米，
小矩形花坛的长为米，宽米，
小矩形花坛的面积为平方米，
通道的面积为平方米．
【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】
1．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：．
求：的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可．
【详解】解：，
，
所以
．
故答案为：2．
2．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
∴且，
∴．
3．阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么．
(1)如果，其中a是整数，且，那么______，______；
(2)如果其中c是整数，且，那么______，______；
(3)已知，其中m是整数，且，求的值；
(4)在上述条件下，求的立方根．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
(4)3
【分析】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．
（1）估算出，即可确定，的值；
（2）估算出，可得，即可确定，的值；
（3）根据题意确定出，的值，代入求值即可；
（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．
【详解】（1）解：，其中a是整数，且，
又，
，，
故答案为：，；
（2）解：，其中是整数，且，
又，
，，
故答案为：，；
（3）解：，
∴，
，其中是整数，且，
，，
；
（4）解：
，
的立方根为：．
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【易错必刷一 二次根式的基本概念】
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
3．判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【易错必刷二 求二次根式的值】
1．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．当时，二次根式的值是 ．
3．当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
【易错必刷三 求二次根式中的参数】1．已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
2．已知是正整数，则实数n的最小值是 ．
3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
【易错必刷四 二次根式有意义的条件】
1．将根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的立方根为 ．
3已知实数m，n满足，求的立方根．
【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．当时，化简的结果是 ．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】
1．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
3．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简
【易错必刷七 复合二次根式的化简】
1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
3．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
(1)；
(2)．
【易错必刷八 二次根式的乘法计算】
1．计算：
2．计算：．
3．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【易错必刷九 二次根式的除法计算】
1．化简：
(1)；
(2)．
2．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
3．计算：
(1)
(2)
【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】
1．计算：．
2、计算：；
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】
1．下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．将化为最简二次根式是 ．
3．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】
1．最简二次根式与2可以合并，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
2．若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ．
3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【易错必刷十三 同类二次根式】
1．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ．
3．如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【易错必刷十四 二次根式的加减运算】
1．计算与化简：
(1)；
(2)．
2．计算：
(1)；
(2)
3．计算：
(1)．
(2)．
【易错必刷十五 二次根式的混合运算】
1．计算：
(1)；
(2)．
2．计算：
(1)；
(2)．
3．计算：
(1)；
(2)．
【易错必刷十六 分母有理化】
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．化简： ．
3．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小：______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】
1．已知，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（已知 ，则 的值为 ．
3．已知：，求的值．
【易错必刷十八 已知条件式化简求值】
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则代数式的值为 ．
3．已知，，求代数式的值．
【易错必刷十八 比较二次根式的大小】
1．2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
2．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
3．已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
【易错必刷二十 二次根式的应用】
1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．
3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）．
【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】
1．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：．
求：的值．
2．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
3．阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么．
(1)如果，其中a是整数，且，那么______，______；
(2)如果其中c是整数，且，那么______，______；
(3)已知，其中m是整数，且，求的值；
(4)在上述条件下，求的立方根．
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专题 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点）
【易错必刷一 二次根式的基本概念】
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、是开三次方，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
【答案】③④⑥
【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可．
【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式；
故答案为：③④⑥．
3．判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【答案】(1)是
(2)不是
(3)是
(4)不是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案．
【详解】（1）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， >0，
∴是二次根式；
（2）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0；
∴不是二次根式．
（3）解：∵x2≥0，
∴x2+1>0，
又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴是二次根式．
（4）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3，
∴不是二次根式．
（5）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，，
∴是二次根式
（6）解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴不是二次根式．
【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数．
【易错必刷二 求二次根式的值】
1．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】把代入进行计算即可．
【详解】解：当时，，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键．
2．当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
3．当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝＝＝3；
（3）解：把x＝﹣，代入二次根式得：
＝＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键．
【易错必刷三 求二次根式中的参数】
1．已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
2．已知是正整数，则实数n的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行分析求值．
【详解】解：∵是正整数，且最小的正整数是1，
∴当，此时，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键．
3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为．
【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【详解】（1）∵是整数，
∴，，，，，
解得：，，，，，
则自然数的值为2，9，14，17，18；
（2）∵是整数，为正整数，
∴正整数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
【易错必刷四 二次根式有意义的条件】
1．将根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选：B．
2．已知，则的立方根为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴，
∴，
∴的立方根为．
故答案为：2．
3已知实数m，n满足，求的立方根．
【答案】5
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件求出n的值，进而求出m的值，再求出的值，即可求出对应的立方根．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵125的立方根是5，
∴的立方根是5．
【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
2．当时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴
．
故答案为：．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．
（1）根据二次根式的性质求解即可；
（2）根据二次根式的性质求解即可；
（3）根据二次根式的性质求解即可；
（4）根据二次根式的性质求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】
1．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，根据数轴可得，进而化简二次根式，即可求解．
【详解】解：根据数轴可得，
，
∴，
故选：C．
2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
【答案】
【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【详解】
解：由数轴可知：，，，
∴
．
故答案为：．
3．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简
【答案】b
【分析】本题考查了考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．
【详解】解：如图所示：，
原式
．
【易错必刷七 复合二次根式的化简】
1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
【答案】/
【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．
3．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【易错必刷八 二次根式的乘法计算】
1．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∵，
∴，
∴
．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可
（3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【易错必刷九 二次根式的除法计算】
1．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
2．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
（2）
【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】
1．计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
2、计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式．
【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】
1．下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题．
根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】解：①；②=；③=；④是最简二次根式；⑤是最简二次根式．
故选：C．
2．将化为最简二次根式是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不是，；
(2)是；
(3)不是，．
【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
（1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可；
（2）根据定义判断是最简二次根式；
（3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可．
【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，；
（2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式．
（3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式，
．
【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】
1．最简二次根式与2可以合并，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可；
【详解】由题意得：3m﹣1=2，
解得：m=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键．
2．若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ．
【答案】2
3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【易错必刷十三 同类二次根式】
1．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．
把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，解得：．
故答案为：3．
3．如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：．
【易错必刷十四 二次根式的加减运算】
1．计算与化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算；
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
（1）先将每个二次根式化简，再作加减法；
（2）先化简二次根式和利用完全平方公式将式子展开，再算加减法．
【详解】（1）解：
（2）
【易错必刷十五 二次根式的混合运算】
1．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先化简各数，再合并同类二次根式即可；
（2）利用混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【易错必刷十六 分母有理化】
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小：______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)9
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：的有理化因式是．
．
故答案为：，
（3）解：因为 ，，
而，
．
和都是大于的数，
．
故答案为：．
（4）解： ，
，
，
．
【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】
1．已知，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．将代数式转化为，代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴
；
故选D．
2．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简求值，以及二次根式的计算的应用，利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简可得，将已知的值代入结合二次根式的计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
故答案为．
3．已知：，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，
先将整理为，再将待求式配方，然后整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
，
，
，
．
【易错必刷十八 已知条件式化简求值】
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
【详解】解：，，
、同号，并且、都是负数，
解得：，或，，
当，时，
；
当，时，
，
则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
2．已知，则代数式的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算．
将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： 11．
3．已知，，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
【易错必刷十八 比较二次根式的大小】
1．2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
【答案】A
【分析】将分别化成，再进行比较即可．
【详解】且
即
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．
2．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】=
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键．
把分母有理化即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；
（2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
【易错必刷二十 二次根式的应用】
1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解，正确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：A．
2．有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，利用二次根式的性质和正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，进而求出长方形木板的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：面积为和的正方形木板边长分别为 ，
∴原来长方形的长为，宽为，
∴原来长方形的面积为，
故答案为：．
3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）．
【答案】通道的面积为平方米
【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可．
【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米，
平方米，
小矩形花坛的长为米，宽米，
小矩形花坛的面积为平方米，
通道的面积为平方米．
【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】
1．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：．
求：的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可．
【详解】解：，
，
所以
．
故答案为：2．
2．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
∴且，
∴．
3．阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为2，小数部分为；的整数部分为1，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么．
(1)如果，其中a是整数，且，那么______，______；
(2)如果其中c是整数，且，那么______，______；
(3)已知，其中m是整数，且，求的值；
(4)在上述条件下，求的立方根．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
(4)3
【分析】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．
（1）估算出，即可确定，的值；
（2）估算出，可得，即可确定，的值；
（3）根据题意确定出，的值，代入求值即可；
（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．
【详解】（1）解：，其中a是整数，且，
又，
，，
故答案为：，；
（2）解：，其中是整数，且，
又，
，，
故答案为：，；
（3）解：，
∴，
，其中是整数，且，
，，
；
（4）解：
，
的立方根为：．
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