四川省乐山第一中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（含答案）

乐山一中高2026届高一（下）4月月考数学测试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（ ）
A．2 B．0 C．－2i D．－2
2．平面向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．6 B．36 C． D．12
3．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B．（2，1） C．（－3，1） D．
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝6，，则AC边上的高为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，均为单位向量，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000米后到达S处，又测得山顶的仰角∠DSB＝75°，则山高BC为（ ）
A．米 B．1000米 C．米 D．米
7．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．a＝5，b＝7，c＝8，有唯一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，无解
C．a＝8，，B＝45°，有两解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有唯一解
11．如图，△ABC中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在△ABC中，若，角B的平分线BD交AC于D，且BD＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．若BD＝BC，则△ABC的面积是
B．若BD＝BC，则△ABC的外接圆半径是
C．若BD＝BC，则
D．的最小值是
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i为虚数单位，若复数是实数，则实数m的值为______．
14．若两点P（3，4）、Q（12，7），点R在直线PQ上，且，则点R的坐标为______．
15．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，其面积为，则______．
16．设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在m，，使得与垂直，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知复数，i为虚数单位．
（1）求和z；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
18．（12分）已知向量，，，（m，x，y∈R）．
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
19．（12分）如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a千米，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．
（1）求A，N之间的距离（用字母表示）；
（2）若，，，，，求M，N之间的距离
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
（1）若，求AP的长；
（2）设，，，，求x和y的值．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，，，点M在线段PQ上．
（1）若，求PM的长；
（2）若点N在线段MQ上，且．∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
22．（12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，，求实数t的最小值．
乐山一中高2026届高一（下）4月月考数学测试卷
参考答案
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A C A D B B D C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AC AD ACD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．/0.2 14．（6，5）或（0，3） 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【详解】解：（1）∵复数
，
∴，．
（2）∵复数z是关于x的方程的一个根，
∴，
∴，∴，
∴，
解得m＝－4，n＝5．
18．【详解】（1）向量，，，
所以，，
由A，B，C三点共线知，，即，解得；
（2）由，，，
，
若四边形ABCD为矩形，则，即，解得m＝7；
由，得，解得x＝5，y＝5，
所以．
19．【详解】（1）在△ABN中，由正弦定理得，
即，所以．
（2）在△ABM中，由正弦定理得，即，
因此，而，，，，，
则，
由（1）得，
在△AMN中，，由余弦定理得
，
所以MN之间的距离为千米．
20．【详解】解：（1），
解得．
（2）因为，设，
所以①，
又因为，，，
所以，
由AP⊥BD可知，
展开化简得到y＝3x，②
联立①②解得，．
21．【详解】解：（1）在△OMP中，，，，
由余弦定理得，，
得，
解得MP＝1或MP＝3．
（2）设，，
在△OMP中，由正弦定理，
得，
所以，同理．
故
．
因为，，
所以当时，的最大值为1，
此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为．
22．【详解】（1）由已知△ABC中，
即，
故，由正弦定理可得，故△ABC直角三角形，即．
（2）由（1），所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：，
设，，，由得：
，整理得，
则
．
（3）点P为△ABC的费马点，则，
设，，，m＞0，n＞0，x＞0，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而m＞0，n＞0，故，
当且仅当m＝n，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数t的最小值为