人教版2024-2025学年八年级数学下册《二次根式》专项训练专题02二次根式的乘除【知识串讲+九大考点】(原卷版+解析)

专题 二次根式的乘除
（一）二次根式乘法法则
二次根式的乘法法则:
【注意】
①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立；
②同样成立；
③乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0）
（二）二次根式除法法则
二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
【注意】
①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
（a≥0，b＞0）
（三）最简二次根式
①被开方数不含分母，例：、；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。
③分母有理化两种形式：、
考点1：二次根式乘法
典例1：计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
考点2：二次根式除法
典例2：化简：
(1)；
(2)．
【变式1】化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
考点3：二次根式乘除——混合运算
典例3：计算∶
(1)；
(2)．
【变式1】计算：；
【变式2】计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4】计算
(1)
(2)
【变式5】计算：
（1）；
（2）．
【变式6】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）．
【变式7】计算:
（1）;
（2）;
（3）
考点4：最简二次根式的判断
典例4：下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】在下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
【变式3】下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个．
①； ②； ③； ④.
考点5：最简二次根式的化简
典例5：将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式2】若与最简二次根式可以合并，则 ．
【变式3】已知，，化简 ．
考点6：最简二次根式——求字母
典例6：已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值．
【变式1】已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值．
【变式2】已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根；
(3)若，求的值．
【变式3】若最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求a的平方根；
(2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值．
考点7：分母有理化
典例7：化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】化简（ ）
A． B． C． D．
【变式2】分母有理化： ；
【变式3】化简的结果是 ．
考点8：分母有理化的应用
典例8：【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：_________；
(2)已知：，则_______；
(3)计算：________
【变式1】认识概念：
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；
如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是；
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
如：；
理解应用：
（1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；
（2）化简：；
拓展应用：
（3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．
【变式2】阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小： ______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【变式3】阅读下列解题过程：
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出______；
(2)利用上面的解法，化简
．
考点9：比较二次根式的大小
典例9：比较大小：
(1)与；
(2)与．
【变式1】已知，，比较与的大小．
【变式2】分母有理化应用：
(1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；
(2)化简：；
(3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．
【变式3】阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出_____；
(2)利用上面的解法，请化简：
(3)和的值哪个较大，请说明理由．
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专题 二次根式的乘除
（一）二次根式乘法法则
二次根式的乘法法则:
【注意】
①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立；
②同样成立；
③乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0）
（二）二次根式除法法则
二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
【注意】
①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
（a≥0，b＞0）
（三）最简二次根式
①被开方数不含分母，例：、；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。
③分母有理化两种形式：、
考点1：二次根式乘法
典例1：计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可
（3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)20
(3)
(4)
【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可．
（4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)12
(2)
(3)10
(4)
【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可．
（3）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可．
（4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解；
（2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
考点2：二次根式除法
典例2：化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【变式1】化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【变式3】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【知识点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键．
考点3：二次根式乘除——混合运算
典例3：计算∶
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式1】计算：；
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可
【详解】解：∵
∴，
∴
【变式2】计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的乘除混合运算
【分析】（1）首先根据二次根式的加减法法则计算即可；
（2）首先根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）首先根据二次根式的乘法法则计算即可；
（4）根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)1
(3)18
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．
【详解】（1）解：
（2）
＝1；
（3）
＝18．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．
【变式4】计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的乘法
【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；
（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；
【详解】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
【变式5】计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）15；（2）．
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可；
【详解】（1）原式=．
（2）原式= ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．
【变式6】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；
（5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
【变式7】计算:
（1）;
（2）;
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
考点4：最简二次根式的判断
典例4：下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可．
【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意；
C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】在下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的概念是关键．
最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此逐项判断即得答案．
【详解】解：
A． ，被开方数含能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． ，被开方数中含有分母x，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C． ，被开方数含有能开的尽方的因式，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． ，最简二次根式，故本选项符合题意；
【变式2】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
【答案】2
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】解： =，=，=，=，=，=，=，
∴，是最简二次根式，
故答案为：2.
【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式.
【变式3】下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个．
①； ②； ③； ④.
【答案】3
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】根据最简二次根式的条件判定即可.一是被开方数是整数或整式；二是被开方数中不能含有能尽方的数或整式.
【详解】解：①中被开方数中x的指数是2，所以它不是最简二次根式；
②中被开方数0.3不是整数，所以它不是最简二次根式；
③中被开方数不是整数，所以它不是最简二次根式；
④符合最简二次根式的条件，是最简二次根式.
所以不是最简二次根式的有3个．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的条件是解题关键.
考点5：最简二次根式的化简
典例5：将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、化为最简二次根式、不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可．
【详解】解：若二次根式有意义，则，
即：，
解得：，
原式，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键．
【变式1】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键．
先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可，
【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：A．
【变式2】若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】1
【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式
【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵与最简二次根式可以合并，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式3】已知，，化简 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为： ．
考点6：最简二次根式——求字母
典例6：已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值．
【答案】
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
∵b的算术平方根为2，c是8的立方根，
∴，
∴．
【变式1】已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值．
【答案】
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数
【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键．
【变式2】已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)6
【知识点】已知字母的值，化简求值、已知最简二次根式求参数、求一个数的立方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值：
（1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可；
（2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可；
（3）求出的值，将转化为，再代值计算即可．
【详解】（1）解：，由题意，得：，
∴，
∵b是27的立方根，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的平方根；
（3），
∴
．
【变式3】若最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求a的平方根；
(2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、新定义下的实数运算、求一个数的平方根
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键．
（1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可；
（2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可．
【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得，
的平方根是；
（2），
，
．
考点7：分母有理化
典例7：化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
【变式1】化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化
【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
分子分母同时乘以化简求解即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式2】分母有理化： ；
【答案】/
【知识点】分母有理化
【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式3】化简的结果是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握化简方法是解题的关键．分子、分母都乘以，即可去掉分母中的根号，从而得出最后结果．
【详解】解：，
故答案为：．
考点8：分母有理化的应用
典例8：【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：_________；
(2)已知：，则_______；
(3)计算：________
【答案】(1)
(2)2
(3)9
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键．
（1）根据分母有理化的步骤进行计算即可；
（2）根据题干中的步骤进行计算即可；
（2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果．
【详解】（1）；
（2）∵，
∴
∴
∴
∴；
（3）根据题意得，
．
【变式1】认识概念：
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；
如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是；
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
如：；
理解应用：
（1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；
（2）化简：；
拓展应用：
（3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解；
（3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴的有理化因式是，
∵，
∴将分母有理化得，
故答案为：，；
（2）
；
（3），理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴．
【变式2】阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小： ______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)9
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：的有理化因式是．
．
故答案为：，
（3）解：因为 ，，
而，
．
和都是大于的数，
．
故答案为：．
（4）解： ，
，
，
．
【变式3】阅读下列解题过程：
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出______；
(2)利用上面的解法，化简
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化
【分析】本题主要查了二次根式的混合运算：
（1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可；
（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）解：
．
考点9：比较二次根式的大小
典例9：比较大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【知识点】比较二次根式的大小
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可；
（2）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可．
【详解】（1）解：，，，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
【变式1】已知，，比较与的大小．
【答案】
【知识点】比较二次根式的大小
【分析】将、分别平方后，比较即可得．
【详解】解：、，
因为大于，
所以．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较的方法和二次根式的运算法则．
【变式2】分母有理化应用：
(1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；
(2)化简：；
(3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，理由见解析
【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查了二次根式的混运算；
（1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解；
（2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解；
（3）比较两数的倒数的大小，即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ，；
（2）
；
（3）理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴．
【变式3】阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出_____；
(2)利用上面的解法，请化简：
(3)和的值哪个较大，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题主要查了二次根式的混合运算：
（1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可；
（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可；
（3）根据，，即可求解．
【详解】（1）解：
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：，理由如下：
∵，，且，
∴，
∴．
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