北师大版八年级数学下册第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组综合测试卷（含详解）

第2章 《一元一次不等式和一元一次不等式组》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
3．定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C．（为整数） D．
4．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
6．已知的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（　　）
A．3个 B．9个 C．7个 D．5个
8．若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知，且，则（ ）
A． B． C．24 D．48
10．在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ．
12．我们称形如(其中为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则 ．
13．定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有．
（1）若的值不大于3，则x的取值范围是 ；
（2）若的值大于3且小于9，则m的整数值是 ．
14．若，且，，设，则t的取值范围为 ．
15．已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
16．已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知关于的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集．
(2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
(3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
18．（6分）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
19．（8分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
(2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
20．（8分）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（10分）探究学习：
探究问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴
∴，
即，
得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题探究：
(1)已知，且，，
试确定的取值范围；
试确定的取值范围；
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值．
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3．
(1)已知点，，．
①若点，，的“近距”是4，则的值为 ；
②点，，的“近距”的最大值为 ；
(2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标．
23．（12分）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
(2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
(4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为射线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向右作正方形．

(1)直接写出直线的函数关系式为__________．
(2)当时，求线段的长．
(3)求正方形的周长（用含的代数式表示）．
(4)当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解得：，
，，
，
解得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
2．C
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
3．D
【分析】本题主要考查了新定义运算、实数比较大小、一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．根据新定义为不超过的最大整数，逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，故选项A错误，不符合题意；
例如，，，
∵，
∴，
∴不成立，选项B错误，不符合题；
例如，，，
∴，
∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题；
∵为不超过的最大整数，
∴，选项D正确，符合题意．
故选：D．
4．D
【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值．
【详解】解：由不等式，解得，
由不等式，解得，
不等式组有且只有4个整数解，
，
解得：；
所以满足条件的整数的值有、、共3个，
故选：．
5．D
【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设 ，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
6．D
【分析】令1－x=y，则，根据题干可知：，从而得出x的取值范围．
【详解】令1－x=y，则
∵的解集为
∴的解集为：
∴
解得：
故选：D．
7．D
【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．
【详解】
∵解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x≤，
∴不等式组的解集为，
∵x的不等式组的整数解仅有7，8，9，
∴6≤＜7，9≤＜10，
解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况.
故选D
8．B
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值．
【详解】解：①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，根据绝对值的非负性可得：．
即只能取．
故选：B．
9．B
【分析】由可得，而根据，可得，，由此确定a、b、c的取值，进而求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴．
故选B．
10．B
【分析】根据“点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为”，得出除了点外，其它个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段上，从而求出的取值范围．
【详解】解：∵点在点的右侧，
∴，
解得：，
记边，，所围成的区域（含边界）为区域，则落在区域的横纵坐标都为整数的点个数为个，
∵点，，的坐标分别是，，，
∴区域的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的个都在线段上，如图，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
故选：B．

二．填空题
11．
【分析】解方程组求出，根据解的情况得到；再根据和得到，再由变形得，得到，解题即可．
【详解】解：解关于x，y的方程组，得，
由题意，得，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】首先必须是异号的，否则不等式组必定有无数个正整数解或者没有正整数解，从而推出，继而推导，从而推出
【详解】解：，，
若，则原不等式可化为，
∴若，则原不等式组无解，若，则解得，均不合题意；
若，则任意正整数都满足，不合题意；
若，则任意正整数都不满足，不合题意；
∴，必须是异号的．
∵是整数，
∴能被整除，
故，
∴，
∵，异号，
∴，(当且仅当，时取等号)
∴若，由①得：；由②得：，
由可知，此时无解；
∴只能是， 此时由①得：；由②得：
∴不等式组的解集是：，
∵互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，
∴，
又∵为整数，
∴，
∴，
此时代入得，符合题意，
故答案是：．
13． -1
【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；
（2）先根据题意列出关于m的不等组，求出m的取值范围，再取整数值即可．
【详解】解∶（1）∵对于任意实数a，b都有，
∴3△x=3x-3-x+2=2x-1，
∵的值不大于3，
∴，
解得；
（2）∵对于任意实数a，b都有，
∴，
∵的值大于3且小于9，
，
由①得，，由②得，
∴，
∵m为整数，
∴m=-1．
故答案为： ；-1．
14．
【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：
故答案为：
15． 1 或
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
【详解】（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
16．
【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由①与②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴，
∵，，
∴，
故，
∵x只能取两个整数，
故令整数的值为n，n+1，
则，，
故，
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
三．解答题
17．（1）解：当时，不等式组为，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
即，
解得，
∴的整数解为，，，
∴；
（3）解：，
方程组化简得，，
得，，
解得，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为，
把，代入不等式得，，
解得．
18．（1）解：①解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
故答案为：；
②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为，
∴不等式组对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴
解得；
（3）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴，
解得，
∵所有符合要求的整数之积为，
∴可取或可取，
∴或，
即．
19．（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，
依题意，得，
解得，
答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元．
（2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
故整数可以为和，可以为和，
故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台；
方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台．
设台机器人每小时的分拣量为，则．
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时，
∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大．
20．（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
21．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，
即，
∴，
∴的取值范围是；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的取值范围是，
∴，
解得：．
22．（1）解：①∵，，，
∴轴，轴，，，
∵斜边大于直角边，
∴，
∵点，，的“近距”是4，
∴，
∴或，
解得或，
故答案为：或6．
②∵，，，，
∴轴，轴，，，
∵斜边大于直角边，
∴，
当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为8，且
当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为，且，
综上：点A，B，C的“近距”的最大值为8．
故答案为：8．
（2）解：法一：过点作交于于
∵
∴
∴
∴
当时，，重合，则近距为0；
当时，则，．
∴，此时近距为．
当点与点重合时，即时，近距最大值为2；
当时，则，即
①若，则近距为；
②若，则近距为；
③若，则近距为；
∴此时近距的最大值小于2．
综上：近距最大值为2，此时．
法二：连接，
∵
∴
∴
∴
∵点为线段上一动点，
∴
∵，
∴①当时，
若时，近距为
则，得
∵
∴此时不合题意舍去；
若时，近距为，
则，得
又∵
∴
此时近距的最大值为2
②当时，
若时，近距为
则，得
又∵
∴
则近距的最大值为
若时，近距为
，得
又∵
∴
则近距小于
∴当时，近距的最大值为
综上：近距的最大值为2，此时，，即．
23．（1）由题意可得，
1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型，
故答案为：3，4；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得，
，解得，
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个；
（3）解：根据题意，得．
解得．
为非负整数，
的最大值为12；
（4）设可以制作横式纸盒个．
个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，
需要张型和张型，
，解得，
在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个．
故答案为：27．
24．（1）解：设抛物线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
故答案为：；
（2）解：∵点为射线上一点，横坐标为，
∴点P的坐标为：，
当时，点P的坐标为，
此时点Q的坐标为，
∴；
（3）解：点P的坐标为，点Q的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
当时，如图所示：

此时正方形的边长为：，
∴正方形的周长为；
当时，如图所示：

此时正方形的边长为：，
∴正方形的周长为；
故答案为：或；
（4）解：设直线的解析式为，把代入得：
，
即，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
直线与直线的交点坐标为
把代入得：
，
解得：，
∴直线与直线的交点为，
当时，如图所示：

要使正方形相邻两边与线段只有两个交点，则：
，
解得：；
当时，如图所示：

要使正方形相邻两边与线段只有两个交点，则：
，
解得：；
综上分析可知，使正方形相邻两边与线段只有两个交点时，或．