江苏省盐城市建湖县第二中学2015-2016学年高二5月阶段考试数学试题

建湖县第二中学高二数学独立练习
时间：120分钟
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．命题“，”的否定是 ▲ ．
2．设复数满足（为虚数单位），则的实部为 ▲ ．
3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．
4．“”是“”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.
5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程
为 ▲ ．
8．已知点在不等式组所表示
的平面区域内，则 的最大值为 ▲ ．
9．已知，，，….，
类比这些等式，若（均为正实数），则= ▲ ．
10．（理科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ．
（文科学生做）已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为 ▲ ．
11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）
（文科学生做）设函数是奇函数，则实数的值为 ▲ ．
12．设正实数满足，则当取得最大值时，的值为
▲ ．
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．
14．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人.
（1）求3人中恰有2人为型血的概率；
（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.
（文科学生做）给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）设数列满足，.
（1）求；
（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.
（文科学生做）已知函数（）的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域.
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（文科学生做）设函数.
（1）用反证法证明：函数不可能为偶函数；
（2）求证：函数在上单调递减的充要条件是.
18．（本小题满分16分）
如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设．
（1）试将表示为的函数，并注明定义域；
（2）当的正弦值是多少时，用料最省？
19．（本小题满分16分）
如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；
若不是，请说明理由.
20．（本小题满分16分）
设函数.
（1）当时，求函数的极大值；
（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；
（3）设，当时，求函数的单调减区间．
建湖县第二中学高二数学独立练习参考答案
时间：120分钟 2016.05.21
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．命题“，”的否定是 ▲ ．
【知识点】命题的否定’
【答案解析】解析 ：解：∵命题“，”是特称命题,∴否定命题为：.
故答案为：．
【思路点拨】由于命题是一个特称命题，故其否定是全称命题，根据特称命题的否定的格式即可.
2．设复数满足（为虚数单位），则的实部为 ▲ ．
【知识点】复数代数形式的混合运算;复数的基本概念．
【答案解析】1解析 ：解：由，得,
则的实部为1.
故答案为：1．
【思路点拨】由，两边除以，按照复数除法运算法则化简计算．
3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．
【知识点】分层抽样的方法.
【答案解析】40 解析 ：解：设从高二学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得 x=40，
故答案为40．
【思路点拨】设从高二学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．
4．“”是“”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【答案解析】充分不必要解析 ：解：由，得x＞2或x＜-2．即q：x＞2或x＜-2．∴是的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【思路点拨】求出成立的条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．
【知识点】古典概型及其概率计算公式.
【答案解析】解析 ：解：∵总个数，
∵事件A中包含的基本事件的个数,∴p＝
故答案为：．
【思路点拨】算出基本事件的总个数n=C42=6，再 算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 ▲ ．
【知识点】伪代码.
【答案解析】21解析 ：解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环
故答案为：21
【思路点拨】第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．
7．在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程
为 ▲ ．
【知识点】抛物线、双曲线方程.
【答案解析】解析 ：解：抛物线的焦点坐标为（2，0），则双曲线的右焦点（2，0），所以，
设双曲线方程为代入点（1，0），可得，即，.
∴双曲线的方程为.
故答案为：．
【思路点拨】求出抛物线的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求出双曲线的方程．
8．已知点在不等式组所表示的平面区域内，则 的最大值为 ▲ ．
【知识点】简单线性规划．
【答案解析】6解析:解：P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，如图：
所以z=2x+y的经过A即的交点（2，2）时取得最大值：2×2+2=6．
故答案为：6．
【思路点拨】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出最大值即可．
9．已知，，，….，类比这些等式，若（均为正实数），则= ▲ ．
【知识点】类比推理．
【答案解析】41解析 ：解：观察下列等式，，，….，第n个应该是=
则第5个等式中：a=6，b=a2-1=35,a+b=41．
故答案为：41．[]
【思路点拨】根据观察所给的等式，归纳出第n个式子，即可写出结果．
10．（理科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ．
【知识点】二项式定理.[]
【答案解析】解析 ：解：因为展开式中所有项的二项式系数和为：
，解得，由二项式展开式
整理得：，所以，故，则其展开式中的常数项为：.
故答案为：.
【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出，然后欲求展开式中的常数项，则令x的指数可求得结果.
（文科学生做）已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为 ▲ ．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角．
【答案解析】解析 ：解：设向量的夹角为；因为，平方变形得：，解得：，所以.
故答案为：.
【思路点拨】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可.
11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）
【知识点】排列组合及简单计数问题.
【答案解析】55 解析 ：解：从8名学生中选出4人，共有种选法，
其中甲乙同时参加的有种选法，
所以从8名学生中选出4人，甲乙不同时参加的选法有70-15=55种，
故答案为55．
【思路点拨】所有选法共有种，减去甲乙同时参加的情况种即可.
（文科学生做）设函数是奇函数，则实数的值为 ▲ ．
【知识点】奇函数的定义.
【答案解析】解析 ：解：因为函数，所以，
又因为函数是奇函数，所以，即，解得，
故答案为：.
【思路点拨】利用奇函数的定义解方程即可.
12．设正实数满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．[]
【知识点】基本不等式.
【答案解析】3解析 ：解：因为为正实数，且,则，所以，当且仅当时等号成立，此时=3.
故答案为3.
【思路点拨】把原式整理代入并判断出等号成立的条件即可.
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．
【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题.
【答案解析】解析 ：解：因为在上单调递增，即
在上恒成立，令，即
在上恒成立，故，则.
故答案为：.
【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题，然后求解即可.
14．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 ▲ ．
【知识点】导数的几何意义；利用导数求最大值.
【答案解析】解析 ：解：设点坐标为，则有，因为以为切点可作直线与两曲线都相切，所以，即
或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：，，令，即，得，可判断当时有极大值也是最大值，，
故答案为：.
【思路点拨】设点坐标为满足两个函数解析式成立，再借助于斜率相同可解得a，代入函数，最后利用导数求最大值即可.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[]
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人.
（1）求3人中恰有2人为型血的概率；
（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.
【知识点】n次独立重复试验恰有k次发生的概率；分布列；期望.
【答案解析】（1）（2）
解析 ：解：（1）由题意，随机抽取一人，是型血的概率为， …………2分
3人中有2人为型血的概率为. …………6分
（2）的可能取值为0，1，2，3， …………8分
， ， ，
， …………12分
. …………14分
【思路点拨】（1）代入n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式即可；（2）根据n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式依次求出为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.[]
（文科学生做）给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
试题解析：解：命题：ax2+ax+1＞0恒成立
当a=0时，不等式恒成立，满足题意）
当a≠0时，，解得0＜a＜4
∴0≤a＜4
命题：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2
∵为真命题，为假命题∴有且只有一个为真，
当真假时得
当假真时得
所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）设数列满足，.
（1）求；
（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.
【知识点】数学归纳法；归纳推理．
【答案解析】（1）（2），证明见解析.
解析 ：解：（1）由条件，依次得，
，， …………6分
（2）由（1），猜想. …………7分
下用数学归纳法证明之：
①当时，，猜想成立； ………8分
②假设当时，猜想成立，即有， …………9分
则当时，有，
即当时猜想也成立， …………13分
综合①②知，数列通项公式为. …………14分
【思路点拨】（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4；
（2）利用（1）猜想数列的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可.（文科学生做）已知函数（）的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域.
（1）由题意知：，∴，
又，∴,
，又，∴.
∴函数的解析式：.
（2）由，，得，
所以的增区间为，，
（3）∵，∴，
∴.
∴值域为
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角.
【答案解析】（1）（2）
解析 ：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得：,,,,,,
又分别是的中点，,. …………3分
（1）因为， ，
所以， …………7分
直线与所成角的大小为. …………8分
（2）设平面的一个法向量为,由,得,
可取， …………10分
又，所以， ……13分
直线与平面所成角的正弦值为. …………14分
【思路点拨】（1）分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得， ，然后利用向量的夹角公式计算可得结果；（2）找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.
（文科学生做）设函数.
（1）用反证法证明：函数不可能为偶函数；
（2）求证：函数在上单调递减的充要条件是.
【知识点】反证法与放缩法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【答案解析】（1）见解析（2）见解析
解析 ：解：(1)假设函数是偶函数， …………2分
则，即，解得， …………4分
这与矛盾，所以函数不可能是偶函数. …………6分
(2)因为，所以. …………8分
①充分性：当时，，
所以函数在单调递减； …………10分
②必要性：当函数在单调递减时，
有，即，又，所以. …………13分
综合①②知，原命题成立. …………14分
【思路点拨】（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），代入利用对数的性质，可得矛盾，即可得证；
（2）分充分性、必要性进行论证，即可得到结论．
18．（本小题满分16分）
如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设．
（1）试将表示为的函数，并注明定义域；
（2）当的正弦值是多少时，用料最省？
【知识点】函数解析式与定义域的求法；利用导数求函数的最知.
【答案解析】（1），.
（2）时用料最省.
解析 ：解：（1）因与地面垂直，且，
则是
全等的直角三角形，又圆的半径为3，
所以，， …………3分
又，所以， …………6分
若点重合，则，即，所以，
从而，. …………7分
（2）由（1）知，
所以，当时，， …………11分
令，，当时，；当时，；
所以函数L在上单调递减，在上单调递增， …………15分
所以当，即时，L有最小值，此时用料最省. …………16分
【思路点拨】（1）通过图形分别求出的值，然后写出解析式并注明定义域即可；（2）利用导数结合单调性即可求出最值.
19．（本小题满分16分）
如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；
若不是，请说明理由.
【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；根与系数的关系.
【答案解析】（1）（2）（3）为定值.
解析 ：解：（1）因为，所以，得，即，
所以离心率. ………4分
（2）因为，，所以由，得， ………7分
将它代入到椭圆方程中，得，解得，
所以. ………10分
（3）法一：设，
由，得， ………12分
又椭圆的方程为，所以由，
得 ①， 且 ②，
由②得，，
即，
结合①，得， ………14分
同理，有，所以，
从而，即为定值. ………16分[]
法二：设，
由，得，同理，……12分
将坐标代入椭圆方程得，两式相减得
，
即， ……14分
同理，，
而，所以，
所以，
所以，
即，所以为定值. ………16分
【思路点拨】（1）根据椭圆的性质求出a，c的关系式即可；（2）由得代入到椭圆方程中即可得结果；
（3）设，由，得到点坐标间的关系，再将将坐标代入椭圆方程后两式相减，再利用即可.
20．（本小题满分16分）
设函数.
（1）当时，求函数的极大值；
（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；
（3）设，当时，求函数的单调减区间．
【知识点】利用导数求极值；借助导数求范围；利用导数求单调区间.
【答案解析】（1）极大值为5.（2）;
（3）①当时，函数的单调减区间为；②当时，函数的单调减区间为,；
③当时，函数的单调减区间为,, ．
解析 ：解：（1）当时，由=0，得或， ………2分
列表如下：
－1 3
＋ 0 － 0 ＋
递增 极大 递减 极小 递增
所以当时，函数取得极大值为5. ………4分
（2）由，得，即， ………6分
令，则，
列表，得
1
－ 0 ＋ 0 －
递减 极小值 递增 极大值2 递减
………8分
由题意知，方程有三个不同的根，故的取值范围是. ………10分
（3）因为，
所以当时，在R上单调递增；
当时，的两根为，且，
所以此时在上递增，在上递减，在上递增； ………12分
令，得，或 （），
当时，方程（）无实根或有相等实根；当时，方程（）有两根，
………13分
从而
①当时，函数的单调减区间为； ………14分
②当时，函数的单调减区间为,； ……15分
③当时，函数的单调减区间为,, ． ………16分
【思路点拨】（1）当时，求出原函数的导数，找到极值点列表求出极大值；（2）原式变型为，令，然后通过列表找到a的取值范围；（3）对a进行分类讨论即可.
第6题
A
B
C
A1
B1
C1
E
D
第17题
O
P
H
A
B
C
θ
第18题
O
A
B
P
C
D
x
y
第19题
第6题
A
B
C
A1
B1
C1
E
D
第17题
O
P
H
A
B
C
θ
第18题
O
A
B
P
C
D
x
y
第19题