5.1.1 数列的概念 课件(共20张PPT)

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5.1.1 数列的概念
古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4， 9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等.
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现.
1.理解数列的概念，了解数列的几种分类.
2.理解数列通项公式的概念及意义.
3.了解数列与函数的关系.
4.能够利用通项公式求数列的项，能够根据数列的已知项，求数列的通项公式.
探究 (1)我国古代哲学著作《庄子》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.从数学上来说，如果木棍初始长度为1，则每天之后木棍的长度分别为
,,,… ①
(2)2009年至2015年，我国每一年专利申请受理数（精确到万）分别为
98,122,163,205,236,238,280. ②
(3)有些购物网站推出了分期付款服务，如图所示标价为3000元的电脑可以享受分期服务，不同的付款方式，所对应的付款总金额分别为
3000, 3045, 3090,3180,3360. ③
思考：上述①、②、③三个数列中的数有什么规律？
可否各自进行顺序交换？
一、数列
1.定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
3.表示：数列的一般形式是a1,a2,…,an,…，简记为{an}.
点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的数列是不相同的数列，例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.
(2)符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项.
二、数列的分类
类别 含义
按项的个数 有穷数列 项数_____的数列
无穷数列 项数_____的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
常数列 各项_____的数列
摆动数列 从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项
_____它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
练习1. 判断下列数是不是数列，是的打“√”，错的打“×”.
（1）数列4,7,8,12是有穷数列，首项是4. (　　)
（2）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (　　)
（3）同一个数在数列中不可能重复出现. (　　)
（4） 1,2,3,4与 {1,2,3,4 }是同一数列. (　　)
√
×
×
×
正确.
错误；数列具有顺序性.
错误；在数列的定义中并没有规定数必须不同.
错误；前一个是数列，后一个是集合.
三、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
点睛： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n，an=(-1)n+2，an=cos nπ等.
例 1：根据下列数列的通项公式，写出数列的第2项和第5项.
（1） （2） .
解：只要用序号代替公式中的便可，相当于给出函数解析式求函数值.
（1）求解数列的第2项，则，将其代入 1.
同理 .
（2） 0.
例 2：写出以下各数列{}的一个通项公式.
（1）2,4,6,8,10, … ；
（2）1,3,5,7,9, … ；
（3）0,2,0,2,0, … ；
（4），，，， , … .
解：观察、分析，寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
例 2：写出以下各数列{an}的一个通项公式：
2,4,6,8,…, (2) 1,3,5,7,9,…,
(3)0,2,0,2,0,…, (4)
解：(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an=2n.
(2)因为这个数列每一项都比(1)中小1，因此数列的一个通项公式为an=2n-1
(3)因为数列的第1,3,5项都是0，而第2,4项都是2.因此它的一个通项公式为
an=.
例 2：写出以下各数列{an}的一个通项公式：
2,4,6,8,…, (2) 1,3,5,7,9,…,
(3)0,2,0,2,0,…, (4)
(4)此题可分段考虑，
首先是符号，因为负号、正号是交替出现的，可乘解决；
其次是分子，数列每一项的分子构成的数列是2,4,6,8,10,…，其中每一个数都是序号的2倍，可用表示；
最后是分母，数列每一项的分母都是分子的平方减去1，可用表示
因此它的一个通项公式为=
方法归纳
根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
常见数列的通项公式
数列 通项公式
1，2，3，4，…
1，3，5，7，…
2，4，6，8，…
1，4，9，16，…
1，2，4，8，…
-1,1,-1,1,…
9,99,999,9999,…
1，，，，…
探究 （1）已知函数你能根据这个函数构造出一个数列吗？
（2）你能总结出一般数列与函数的关系吗？
分析：令=1,2,3,4，…，n…，
可得到数列2,,1，…，，….，
即这个数列的通项公式是.
四、数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)
有意义，那么_____________________________
构成了一个数列{f(n)}．
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
例 3：已知函数设数列{an}的通项公式为an=其中n∈N*
（1）求证：<1；
（2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解：（1）由题意可知an=又因为n∈N* ，所以0<，因此<1；即<1.
（2）因为= （ ）（
又因为> ，所以>0，
从而>0，即，
因此{an}是递增数列.
方法归纳
数列增减性的判定方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an+1-an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an+1-an=0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
类别 >1 0<<1 =1
an>0 递增数列 递减数列 常数列
an<0 递减数列 递增数列 常数列
1.以下四个数中，哪个数是数列{n(n+1)}中的一项 (　　 )
A.380 B.39 C.32 D.23
2.已知数列{an}中，an=-2n2+31n+9(n∈N+)，则{an}中的最大项为　　　.
3.下列数列的一个通项公式： .
A
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