5.1.2 数列中的递推 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
5.1.2 数列中的递推
1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.
2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.
3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.
4.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.
如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
解：令，
解这个关于的方程，得(舍去)，或.
所以，120是数列的项，是第10项.
问题1：如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察 1，3， 6，10，15，…
中数字出现的规律，写出第8个数.
分析：如果将给定的数列记作数列{}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项，根据上节所学，可先求出数列的通项公式，从而可求任意项，但仔细观察，还有更快的方法.
观察1，3， 6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.
解：因为 ，
，
，
，
所以，可以猜想，数列{an}应该满足
，
，
易知 ，
，
，
显然，上述数列{an}可以由
1，
完全确定.
一、数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
思考：数列的通项公式和递推公式有何异同？
类别 区别 联系
通项公式 an是序号n的函数式an=f (n) 都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项
递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 例 1 ：分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
（1） 1,2,4,7,11，… （2） -1,2,5,8,11，… （3） 1,-2,4,-8,16，….
解：(1)因为 ， ，，，所以，即，
从而可知，
(2)因为，所以，，
即，从而可知
(3)因为，所以， ，
即，从而可知
归纳总结
由递推公式写出数列的项的方法：
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，再依次代入计算.
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1+1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
例 2 ：意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.
解：前2个月内，小兔子都还没有长成
大兔子，因此
第3个月时，
第4个月时，
第5个月时，
第6个月时，
一般地，当时第个月的兔子对数应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数，又因为第 -2个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有
例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列
1，1，2，3，5，8,…
的通项公式为
因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列. 令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！
问题2：已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1360，1820，2350.
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量.
二、数列的前n项和
一般地，给定数列{an}，称
Sn=a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和.
例如，对于探究中的数列来说，
S1=a1=220，
S2=a1+a2=220+530=750，
S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等.
问题3：已知数列{an}的前项和为Sn=2+1.
你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？
因为S1=，又因为S1=a1，所以
a1
因为S2=，又因为S2=a1+a2，所以
a2
因为S3=，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3，所以，
a3
三、 an与Sn的关系
一般的如果数列{an}的前项和为Sn，那么当有，
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1
Sn=a1+a2+a3+…+an
所以Sn=Sn-1+an
因此
例3：设数列的前项和为.已知，求的通项公式.
解：∵，∴，故
当时，，
两式相减得，
即，当时，不成立.
∴
由Sn求an的方法
若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段函数的形式表示an( )，此时不可不求a1而直接求an.
归纳总结
1. 已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于 (　　 )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.设数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4的值为(　　)
A.15 B.37 C.27 D.64
C
B