(共17张PPT)
5.2.1 课时1
等差数列的定义
1. 理解等差数列的定义，掌握并会推导等差数列的通项公式；
2. 能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题；
3. 理解等差数列通项公式与一次函数的关系.
观察下面几个的数列，你能通过运算发现数列①—③的取值规律吗？
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81
② 38，40，42，44，46，48
③ 25，24，23，22，21
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.
一、等差数列的定义
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差.
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x ,公差 d= 3x
×
a1=95, 公差 d=－13
×
×
a1=1 ,公差 d=
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
（7）
①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义判断 an+1-an是不是同一个常数.
②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒!
③公差可以是正数，负数，也可以为0.
注意事项
思考：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的定义，
可得= ，所以= = = …
于是 + + =(+ ) + + 2
+ =(+ ) + + 3 …
归纳可得+() (n)，
当n时，上式为+() ，这就是说，上式当时也成立.
因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为+()
另外根据等差数列的定义可得：
∵
将上述(n-1)个式子相加得
∴
当n=1时，符合上式，
∴
二、 等差数列的通项公式
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
点睛：等差数列的通项公式an中共含有四个变量，即a1，d， n，an，如果知道了其中任意三个量，就可由通项公式求出第四个量.
例1：已知等差数列10,7,4，…
（1）求这个数列的第10项；
（2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.
解：(1)记数列{an}，则由题意知，，
因此数列的通项公式为，
当时，有因此第10项为.
(2)设-56是数列中的第 项，则，解得
所以-56是数列的第23项. 设-40是数列中的第 项，则，
解得所以-40不是数列中的项.
问题：在等差数列的通项公式中， an与 的关系与以前学过的什么函数有关
因为+() 所以如果记
则可以看出，而且
（1）当公差时，是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此公差为0的等差数列是常数列）；
（2）公差时，是一次函数，而且的增减性依赖于公差的符号，因此，当时， {an}是递增数列，当时， {an}是递减数列.
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an=f (n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).
(I)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加______.
d
例2：已知数列{an}的通项公式为an =5－2n判断这个数列是否是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由.
解：因为
所以数列{an}是等差数列，且公差为-2.
事实上，可以证明数列{an}是等差数列的充要条件是其中是常数.
例3：已知等差数列{an}的公差为求证:对于任意的正整数有
.
解：设等差数列的首项为，则
两式相减，整理可得
即.
(1)等差数列的通项公式有两个基本量：首项a1和公差d，故求通项公式主要是利用方程思想解a1，d.
(2)等差数列通项公式的另两种形式：
①an=am+(n-m)d；
②an=kn+b(k，b是常数).
归纳总结
1. 已知一个等差数列首项为，第10项为70，则该数列的公差为 .
2.已知等差数列{an}中，， ，求= .
8
18
1.等差数列的概念
2.等差数列的通项公式
3.从函数角度认识等差数列
根据以下内容回顾本课所学知识：(共15张PPT)
5.2.1 课时2
等差数列的性质
1. 理解等差中项的概念，能用公式求解；
2. 掌握判断等差数列的常用方法；
3. 掌握等差数列的性质，并能灵活运用等差数列的性质解决问题.
还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am＋ ＝ap＋ .特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
an
aq
注意点：
(1)等式两边的项数相同；
(2)等式两边项的下标之和相等；
(3) m，n，p，q∈N*．
问题1：已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t∈N ，且p+q=s+t，
求证ap+aq=as+at.
问题 2：如果在与之间插入一个数，使得成等差数列，那么应该满足什么条件？
由等差数列定义及成等差数列可得：，
整理可得 .
等差中项的概念
如果是等差数列，那么称为与的等差中项.（ ）
中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项.
例如：2与8的等差中项是
例 1：一个等差数列是2，4，6，8，10，12，14.
在这个数列中，4是2和6的等差中项，6是4和8的等差中项，那么8是谁的等差中项？12呢？
解：根据等差中项的概念，易知8是6和10的等差中项，12是10和14的等差中项.
我还发现8还是4和12，2和14的等差中项.
等差数列中连续（或对称）的三项的中间项为其余两项的等差中项
2，4，6，8，10，12，14
例2：已知数列{an}中，
在时恒成立，求证： {an}是等差数列.
解：因为 ，
所以.
因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列.
例3：如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度.
解：(方法一)依题意，
设公差为，则解得因此
因此其余三级的宽度分别为37cm，39cm，41cm.
例3：如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度.
(方法二)因为等差数列为，，，，共5项，
又因为所以
即，类似地，有
所以，，
因此其余三级的宽度分别为37cm，39cm，41cm.
归纳总结
等差数列的常用性质
等差数列有很多条性质，但常用的主要有两条：若{an}为等差数列，则
(1)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时，总有am+an=ap+aq.
(2)当m+n=2k(m,n,k∈N+)时，总有am+an=2ak.
1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
2.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
B
B
3.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝( )
A．3 B．-3 C．1.5 D．-1.5
4.在等差数列{an}中，a5＝6，a8＝15，则a14＝( )
A．21 B．32 C．33 D．4
5.等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＋a6＋a10＋a13＝32，am＝8，
m的值为( )
A．12 B．8 C．6 D．4
B
C
B
1. 什么是等差中项？回忆其表达式.
2. 等差数列的性质是什么？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题：
