(共17张PPT)
5.2.2 课时1
等差数列的前n项和
1.理解公式的推导方法．
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.能较熟练应用等差数列前n项和公式求和．
你知道高斯是怎么算的吗？
高斯的算法是：首尾配对，共有50个101，总和是5050.
即：S=1+2+3+…+100，
倒加可得
S=100+99+98+…+1，
∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(100+1)，
所以 S==5050.
问题1：如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，在不逐层相加的前提下，你能算出这堆钢管共有多少根吗？
思考1：每层钢管数有什么规律？
构成一个等差数列.
思考2：共有多少根钢管，实际上是求什么？
等差数列的前8项和.
动手：借鉴高斯的算法试试吧！
这些钢管从上到下每一层的数量构成一个等差数列，首项为公差，而且该数列共有8项，第8项为
设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管，但是倒过来放置，如图所示.
这时每一层的钢管数是相同的，都是4+11根，因此这些钢管的总数为
.
=4
=11
思考：请类推出一般等差数列前项和公式
(4+11)
设等差数列的前项和为，即
+…+， ①
显然倒加可得
+…+， ②
根据等差数列的性质有 =…，
所以把①②两边分别相加，可得=)，因此
=.
（倒序相加法）
(若s + t = p + q，则as + at= ap + aq. )
问题2：上述等差数列的前项求和公式与首项和第项有关，你能将其改写成与公差有关的形式吗？
因为，所以等差数列前项求和公式也可以改写为
= .
归纳总结
等差数列的前 n 项和公式
Sn = （1）
Sn = na1 + d （2）
已知a1，，选用公式（1）更简便；
已知a1， d，选用公式（2）更简便.
公式记忆
可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
n
a1
an
a1
(n-1)d
n
a1
an
例1. 已知等差数列的公差为2，且，求这个等差数列前20项的和.
解：由等差数列的通项公式可得29=，由此可解得
因此= =200.
例2. 求等差数列5，12，19，26，…，201，208. 的各项之和.
解：可以看出，所求数列是公差为7的等差数列.
设共有项，则208=5，
解得 因此各项之和为=3195.
方法归纳
等差数列的求解策略
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解.
解题过程中要注意：①选择适当的公式；
②合理利用等差数列的有关性质.
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
2. 等差数列－1, －3, －5, 的前多少项的 和是－100
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
1. 等差数列的前n项和公式是用什么方法推导的呢？回忆一下推导过程.
2. 等差数列涉及到哪些量，它们之间又有什么关系呢？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？(共15张PPT)
5.2.2 课时2
等差数列的前n项和的应用
1.结合实际问题，理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.能够根据一些简单实际问题的特征，灵活选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出相应的算式求解.
Sn = （1）
Sn = na1 + d （2）
说说什么是等差数列的前 n 项和公式？
如何选取合适的公式解决问题？
例1 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
通项公式法求最值
例1 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
前n项和公式法求最值
归纳总结
求等差数列前n项和最值的常用两种方法
(1)当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负或者为0, 此时所有为负或者为0的项的和为Sn的最小值.
此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值
(2)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正或者为0, 此时所有正或者为0的项的和为Sn的最大值.
此时由an≥0且an+1≤0求n的值
方法一:通项公式法
方法二:前n项和公式法
等差数列{an}的前n项和公式 可化简为
当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.
常数列
当d≠0 时， 是二次函数
当x = n时的函数值.
1.当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的
过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.（注意：如果对称轴不是整数，则取离对称轴最近的整数）
2.当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.（注意：如果对称轴不是整数，则取离对称轴最近的整数）
练习： 等差数列 30，26，24，… 的前多少项的和最大？为什么？
(方法一：前n项和公式法)
解：∵=30，，结合公式Sn = na1 + d，
易得，
∴当8时，最大，最大值是
练习： 等差数列 30，26，24，… 的前多少项的和最大？为什么？
(方法二：通项法)
解：∵=30＞0，＜0，
易得通项公式，
再令，即，
解得，是正整数，
∴当8时，最大，最大值是
例2 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1日开始，每个月的1日都存入1000元，共存入3年.
（1）已知当年 “教育储蓄”的存款月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？
（2）已知当年同档次的“零存整取” 储蓄的月利率是1.725‰，则李先生办理 “教育储蓄”比 “零存整取”多收益多少元？
解：(1)每1000元“教育储蓄” 存一个月能得到的利息是元
第1个1000元存36个月的利息元
第2个1000元存35个月得利息元
…….
第36个1000元存一个月的利息元
因此3年后李先生获得利息
+ +…+ =元
所以，3年后李先生可支取的本息和为
(2)每1000元“零存整取” 存一个月能得到的利息是
元
因此，若“零存整取”，3年后李先生获得利息，
+ +…+ =元
因此李先生多收益，元
即李先生办理 “教育储蓄”比“零存整取” 多收益649.35元.
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知13a3+S13=52，则S9=( )
A.9 B.18 C.27 D.36
2.设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A.S4B
B
1. 等差数列的前 n 项和公式与二次函数有什么关系？
2. 求解等差数列前n项和Sn 最值的方法有哪些？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？
