(共20张PPT)
5.3.1 课时2
等比数列的性质
1. 了解等比数列与指数函数的关系；
2. 理解等比中项的概念，能用公式求解；
3. 掌握判断等比数列的常用方法；
4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题.
等差数列 等比数列
定义 an - an-1=d
公差与公比 d可以为0
通项公式 an=a1+(n－1)d an=am+(n－m)d
q不可以为0
an=a1qn-1
an=amqn-m
探究1：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么应该满足什么条件？
由等比数列定义及成等比数列可得：，
整理可得 =
由此可知 .
一、等比中项的概念
与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时， .
对等比中项的理解：
(1)若G是a与b的等比中项，则 ，所以 .
(2)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项 ”不同，只有当a，b同号时才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是 与 ；当a，b异号时没有等比中项．
探究2：在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关
类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图所示）.
反之，任给指数函数为常数，，且），则，构成一个等比数列，其首项为，公比为.
注意：如果一个数列的通项公式为常数，那么这个数列必定为等比数列.
思考：类比指数函数的性质，你能说说公比等比数列的单调性吗？
当时，是一个常数列；
当时，，其单调性如下表：
指数函数的单调性 单调递减 单调递增
数列的单调性 单调递减 单调递增
单调递增 单调递减
例1.等比数列{an}中， ， ，则 与 的等比中项是( )
A. B.4 C. D.
解：由题， ，
所以 ， ，
故 与 的等比中项为 .
归纳总结
由等比中项的定义可知： .
这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．
反之，若 ，则 ，即a，G，b成等比数列．
例2. 已知数列{an}中，
在时恒成立，求证： {an}是等比数列.
证明：根据题意有
，
因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列.
方法归纳
判定等比数列的方法：
(1)定义法： 或
(2)等比中项法：
(3)通项法：
证明：设等比数列{an}的公比为q，则
am=a1qm-1，an=a1qn-1,
as=a1qs-1，at=a1qt-1,
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
asat=(a1qs-1) (a1qt-1) = a12qs+t-2,
因为m+n=s+t(m, n, s, t∈N*), 所以aman=asat .
探究3：等比数列{an}中, 已知m+n=s+t(m, n, s, t∈N*)，证明aman=asat .
一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数满足+t=p+q，则
asat=apaq.
特别地，如果2=p+q，则as2=apaq.
例3. 在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.
解：（方法一）依题意，由等比数列的通项公式，得解得
当时，插入的3个数分别为
当时，插入的3个数分别为
因此插入的3个数分别为或.
（方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，，
又因为所以
即，又因为要与同号，所以
类似地，有而且与同号，因此
当 =2时， =；
当 = 2时， = ；
因此插入的3个数分别为或.
1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
归纳总结
1. 在等比数列{an}中，a3 a5 = 14，则 a1 a7 等于（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 14
2.已知等比数列{an}中, a5+a7=8, 则a4(a6+2a8)+a3a11的值为( )
A.128 B.64 C.16 D.8
D
B
3.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，求log3a1+ log3a2 +…+ log3a10.
解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6，
∴ a5a6=a4a7=3，
则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1 a2 a3 … a10)
=log3 (a5a6)5 =log335=5 .
2. 什么是等比中项？回忆其表达式.
3. 判断等比数列的常用方法你能说出几种？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？
4. 等比数列的性质是什么？
1. 等比数列和指数函数有什么关系？(共18张PPT)
5.3.1 课时1
等比数列的定义
1. 通过生活中的实例，类比等差数列，归纳并理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列；
2. 能够由定义进一步归纳出等比数列的通项公式，掌握其推导证明过程；
3. 能灵活运用等比数列的通项公式及其推导公式解决一些简单问题.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
①
②
③
．
④
．
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他
5年内每年末得到的本利和分别是
⑤
．
⑥
．
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现左边数列的取值规律？你发现了什么规律？
①
②
③
．
④
．
⑤
．
⑥
．
如果用 表示数列①，那么有
规律 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
．
①
②
③
．
④
．
⑤
．
⑥
．
如果用 表示数列③，那么有
如果用 表示数列②，那么有
．
．
如果用 表示数列④，那么有
．
如果用 表示数列⑤，那么有
．
如果用 表示数列⑥，那么有
规律：上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(显然q ≠ 0).
(1)已知首项a1和公比 q，可以确定一个等比数列．
(2)对于等比数列{an}，
若q>0，则数列{an}各项同号；
若q<0，则{an}中正负项间隔出现.
对等比数列通项公式的理解：
问题：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的定义，
可得，即 .
所以 ，
= ，
==
……
由此可归纳出等比数列的通项公式为 .
另外，注意到由等比数列定义可得
，
，
……
，
，
将这个式子两边分别相乘，则有，
因此同样可得等比数列的通项公式为.
二、等比数列的通项公式
一般地，若等比数列{an}的首项为a1，公比为则通项公式为：
.
点睛：等差数列的通项公式an中共含有四个变量，即a1， ，n，an，如果知道了其中任意三个量，就可由通项公式求出第四个量.
例1. 判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由.
（1）1,10,100,1000,10000；
（2）0,1,2,4,8；
（3）1, .
解：（1）因为=10，所以是等比数列，且公比为10.
（2）因为没有意义，因此不是等比数列.
（3）因为=，所以是等比数列，且公比为.
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？
解：∵ ，∴ ，
作差得
∴ ，
又 ，∴
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列．
例3.已知等比数列{an}的公比为，求证：对于任意的正整数有
解：设等比数列的首项为,则
两式相除，整理可得
，
即
推导公式：
已知数列的任意一项（不一定是首项）以及公比，即可求出其通项公式.
，
例4.已知等比数列{an}中，，，求.
解：（方法一）设等比数列的首项为，公比为，则
，
解得 ，，因此
（方法二）设等比数列的公比为
根据推导公式
所以
将已知条件代入，可得 ，
又，解得.
例4.已知等比数列{an}中，，，求.
2.在等比数列{an}中，，，则该数列的第10项是 .
1.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
1或-2
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式 .
根据以下内容回顾本课所学知识：
