(共14张PPT)
5.3.2 课时1
等比数列的前n项和
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
问题：信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友，(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，1，3，9，27，81， …
如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
我们需要计算出等比数列的前20项的和，即要算出+…+ ①的值.
+…+ ①
3+…+ ②
思考：为什么要两边同时乘以 3 ？
仔细观察①式和②式的右边，你发现了什么？下一步该如何做？
在①式两边同时乘以3
×3
×3
+…+ ①
3+…+ ②
发现：①式和②式中有很多相同的项，如果作减法，则可以相互抵消.
① 可得，
因此
也就是说经过19轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿，比我国的总人口还多！
问题1：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn.
设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是：
Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an ，即
Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 ③
在③两边同时乘以q qSn = a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ④
由 ③ – ④ 得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)；
当 q ≠ 1 时，Sn = ；
当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1；
（错位相减法）
归纳总结
等比数列的前n项和公式
由可得：
例 1：已知等比数列的公比为，且，求这个数列前8项的和.
解：，， n=8，因为 ，
所以，
因此255.
本题可以用另外一个公式求解吗？
例 2：已知等比数列中，，求这个数列前10项的和.
解：由等比数列的通项公式可列方程组
两式相除约分解得 ，，
因此.
方法归纳
等比数列的求解策略
(1)知三求二：利用这五个基本量的关系列方程求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用与列方程组求解．
(2)要注意公比和两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．
1.记数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-1，则S2 020=( )
A.22 020-1 B.22 021-1 C. 2- D. 2-
B
2.数列{(2n-1)·4n-1}的前n项和为 .
3.已知数列{an}是等比数列.
（1）若 a1 = 1，q = 2，求 S8 ；
（2）若 a1 = 2，q = 1，求 S2021.
解：（1）因为 a1 = 1，q = 2，n=8，所以 S8 = = 28 – 1=225；
（2）因为 a1 = 2，q = 1，所以 S2021 = 2021×2 = 4042.
本节课你学到了哪些知识？(共15张PPT)
5.3.2 课时2
等比数列的前n项和的应用
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝_______________
Sn＝_______________
例1. 已知数列的前项和为求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列.
解：当时，有.
当时，有==.
因此数列的通项公式为=
又因为= ，=
因此=，=2，所以可知不是等比数列.
变式：将例1中的改为，再次判断这个数列是否是等比数列.
解：当时，有，
当时，有=)=.
当时也满足此式，因此数列的通项公式为=
因此是首项为3，公比为2的等比数列.
探究： (1)等比数列中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？
(2)如果数列{an}的前项和的公式是
，
其中A,B,都是常数，且，那么{an}一定是等比数列吗？为什么？
(1)当时
如果记
则可以看出是关于n的指数型函数.
(2)不一定，
由(1)知，只有当q≠1时，A+B=0，{an}是等比数列.
时，
(1) (， ) 是等比数列；
(2) (， ) 从第2项起是等比数列.
归纳总结
例2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1) an＋1－an＝3an an＋1＝4an.
又当n＝1时，a2＝3S1＋1 a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列．
例2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
(2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋.
方法归纳
分组求和的适用题型
一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可．
例3. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解：假设从今年起每年生活垃圾的总量{} ，每年环保方式处理垃圾量{} ， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ，则=20, =6+1.5
=
=
= ()
当时，
故，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
分组求和
方法归纳
解决数列应用题的一般步骤：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；
②明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
2.设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=( )
A. B. C. D.
A
1.设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋ab3＋…＋ab10＝________.
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这节课你学到了哪些知识与技能？
