5.4 数列的应用 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
5.4 数列的应用
1. 理解分期还款中“等额本金还款法”和“等额本息还款法”的概念及计算方式；
2. 会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式解决分期付款和政府支出的“乘数”效应等问题.
一、分期还款与数列
探究1. 我们知道，当偿还银行贷款时，需要将本金和利息一起偿还，分期还款是一种很常见的还款方式，其本质是将本金和利息分摊到每一期偿还.目前，常见的分期还款方式，有“等额本金还款法”，“等额本息还款法”. 你能根据这两种还款方式的名称猜出他们的不同吗？如果向银行贷款本金元打算分成期偿还，并且每一期的利率为，记每期还款的钱数构成的数列为
, , …,
你能写出这两种还款方法中，第期所要还的钱数的表达式吗？
1.等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额=
_____________________________________________.
＋(贷款本金－已还本金总额)×利率
贷款本金
还款期数
例1.自主创业的大学生张华向银行贷款200000元租赁了一处经营场所，因为预计前期经营状况会比较好，张华跟银行的约定按照“等额本金还款法” 分10年进行还款，贷款的年利率为5%，设第年张华的还款金额为元，求出的表达式，并说出数列{}的特征.
解：因为每期所还本金为 =20000（元），
因此，第年以前已还本金总额为20000 元，从而有
= .
可以看出，{}是一个递减的等差数列.
“等额本息还款法” 是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还的钱数相等，即.
为了较快地推导出这种方式中每一期所要还的钱数，我们先介绍资金的现值与未来值.
探究2.假设你现在手中有1000元钱，而且你打算一年以后再使用这笔钱，那么一年以后这笔钱所能买到的东西价值最多只能是1000元吗？为什么？由此你能得到什么启发？
因为可以将这笔钱存入银行中，而到期之后银行会支付利息，因此一年后使用这笔钱时所能买到的东西价值是不止1000元的. 例如，假设一年定期的存款利率为5%，不计利息税，则一年后的本息和为
（元）.
即一年后可以买到价值1050元的东西.
换句话说现在的1000元相当于一年后的1050元.类似地，如果记现在的元相当于年后的A元，银行存款的年利率为且每年结算一次利息（不计利息税，下同）则 ，即 .
经济学上，一般称为A的现值，而A为的未来值.
可以看出，现值的计算公式提供了不同时期资金换算的方法，因此日常生活中有广泛的应用.
在前面的情境中，如果用“等额本息还款法” 进行还款，设贷款时的资金元为现值，且每一期所还钱数为元，则：
第1期所还前的现值为元；
第2期所还钱的现值为元；
……
第 期所还钱的现值为元.
最后还款的现值总和为元，因此 … =，
又因为，所以由等比数列前项和公式可解得
2.等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.每期还款金
额=____________，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月).
例2.刚考入大学的小明准备向银行贷款5000元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款，小明与银行约定：每个月还一次款，在12个月内还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，试求出小明每个月所要还款的钱数（精确到0.01元）.
解：可以看出，小明选择的还款方式为“等额本息还款法”，因此
（元）
即小明每个月要还款约430.33元.
1．本节课的重点是应用数列知识解决实际问题，难点是如何化实际问题为数学问题，转化的关键是明确题设信息，利用递推关系式方程思想建立等量关系．
2．明确分期付款中的两种常见方式：等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型．
总结归纳
二、政府支出的乘数效应与数列
经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时支出，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数” 效应.
例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加，假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使份部分居民收入增加.收入增加了的居民又将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新一轮的影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后国内消费总额将会是300亿元的倍数(最初政府支出也算是国内消费)，也就是说有了“乘数” 效应.
事实上，在这个例子中，如果设第轮消费的金额为元，则：
第1轮居民用于消费的金额为=300×75%（亿元）；
第2轮居民用于消费的金额为= ×75% =300× （亿元）；
……
第30轮居民用于消费的金额为= ×75% =300× （亿元）.
因此，经过30轮后，国内消费总额是
300+300×75%+300× +…+300×
（亿元）.
政府的初始支出为300亿元，而国内消费最后约为1200亿元，因此国内消费越是初始支出的4倍.
例3.假设政府增加某项支出100亿元，每个受惠的居民会将80%的额外收入用于国内消费，求经过30轮影响之后，最后的国内消费总额（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1亿元）.
解：依题意可知，经过30轮影响之后，最后国内消费总额为
100+100×80%+100× +…+100×
（亿元）
例4.某些食物中含有一定量的微量元素，当人体摄入微量元素之后，微量元素会随着尿液、汗液等部分排出.假设某人每天吃进微量元素10 mg，该微量元素每天以10%的比率排出，则30天后在此人体中积累了多少该微量元素？（设一开始某人体内该微量元素为0，计算结果精确到0.1mg）
解：设第天时此人体内有微量元素mg，则：
第1天此人身体内的微量元素为=10×(1 %) (mg)；
第2天，此人身体内的微量元素为
=+10) ×(1 %)=10 ×(1 %)+10× (mg).
第3天，此人身体内的微量元素为
=+10) ×(1 %)
=10 ×(1 %)+10× +10× (mg)
第30天，此人身体内的微量元素为
=+10) ×(1 %)
=10 ×(1 %)+10× +…+10×
(mg)
即30天后在此人身体中积累了约86.2mg的该微量元素.
例5.某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年之后，该项目的资金为万元.
(1)写出的值以及数列的递推公式；
(2)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标.
例5.项目启动资金1000万元，每年可获利25%，每年需从利润中取出200万元资金进行科研等，设经过年之后，该项目的资金为万元.
(1)写出的值以及数列的递推公式；
解：(1)由题意知=1000×(1 %) ，
=×(1 %) ，
=×(1 %) ，
而且=×(1 %) ，
即 .
例5.项目启动资金1000万元，每年可获利25%，每年需从利润中取出200万元资金进行科研等，设经过年之后，该项目的资金为万元.
(2)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)由(1) 可知， = ，
因为 ，所以可知 ，
所以，从而可知为等比数列，
因此 ，
所以 +800.
例5.项目启动资金1000万元，每年可获利25%，每年需从利润中取出200万元资金进行科研等，设经过年之后，该项目的资金为万元.
(3)求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标.
(3)令 ，可得 ，
因此( (，
所以 ，因此.
即至少要经过12年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标.
求解此类问题的关键是依据题设条件，巧借an及an－1，即抓住数列前后两项(几项)的数量关系，建立递推关系an＝pan－1＋q，在此基础上借助数列知识给予解答，常用的方法便是待定系数法和构造等比数列法.
总结归纳
1.某工厂去年12月份的月产量为a，若该厂产量月平均增长率为p，则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为(　　 )
A.(1+p)12 B.(1+p)12-1 C.(1+p)11 D.12p
B
2.如图所示，是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续.若一共能得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为　 　.
1. 分期还款主要方式有哪些？它们和数列有什么关系？
2. 什么是乘数效应？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？