5.5 数学归纳法 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
5.5 数学归纳法
1. 了解数学归纳法的原理及使用范围；
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论；
3. 能用数学归纳法证明一些简单的命题.
如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.
不完全归纳法得到的结论不一定正确.
例如，在数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，有待验证.
问题 1：已知数列{}中， 且 = ,求出这个数列的第2、3、4、5项，你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗？
计算可得，a2 = 3，a3 = 5，a4 = 7 ，a5 = 9 ；
由此猜想{}是一个等差数列，且通项公式为：an ①
思考：当 n 较小时，可逐一验证，但当 n 取所有正整数时，如何验证？
思路：通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数时命题都成立.
在多米诺骨牌游戏中，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，则会让第2张倒下，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下.
① 第一块骨牌倒下；
② 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下；
（2）条件 ② 的作用是什么？如何用数学语言描述它？
递推关系：第 k 块骨牌倒下 第 k + 1 块骨牌倒下.
结论：无论有多少块骨牌，只要保证①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
（1）在游戏中，多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
类比多米诺骨牌游戏证明问题 1 中猜想：数列{an}满足 a1 = 1，= ，则通项公式为 an = ①.
证明：假设时， ①式成立，即 ，
根据已知条件和假设可知， 时，
= == 1，
即， ①式也成立，
所以①式对任意的正整数都成立了.
理解：依据当n = k时，①式成立，证明了n = k + 1时， ①式也成立.
已知n=1,2,3,4,5都是成立的，则n=5+1=6也成立，n=6+1=7也成立，依次类推，所以①式对任意的正整数都成立了.
对所有正整数 n (n ≥ n0，n∈N*)，命题都成立
证明一个与正整数 n (n ≥ n0，n∈N*) 有关的的命题
ⅰ证明当n = n0 (n0∈N*)时
命题成立
ⅱ假设当n = k (k ≥ n0，k∈N*) 时命题成立，证明当n = k + 1 时命题也成立
归纳奠基
归纳递推
一个结论
数学归纳法
两个步骤
例1：用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝对任何都成立.
证明：（1）当，左边，右边，等式成立.
（2）假设当 时，等式成立，即
根据等差数列的定义，有
于是
即当时，等式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
证明：（1）当时， ①式的左边＝12＝1，
右边＝×1×(1+1)×(2×1+1)＝＝1，成立；
（2）假设时， 等式成立，即
＝在上式两边同时加上，有
＝
＝＝＝
＝即当， 等式也成立.
由(1)(2)可知， 等式对任何都成立.
例2：用数学归纳法证明：
归纳总结
用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点：
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项；
(3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
问题 2：以下是某人给出的关于 + ②
对所有正整数都成立的证明，这个证明有问题吗？由此你能得到什么启发
证明：假设当时， ②式成立，即 + k
则
+ k
+ +1，
所以，此时也成立.
②式对任何都成立.
问题 2：以下是某人给出的关于 + ②
对所有正整数都成立的证明，这个证明有问题吗？由此你能得到什么启发
显然②式是不成立的，因为当时，
左边，右边，
此时②式不成立，这个证明只是数学归纳法证明中的第(ⅱ)部分.
这就说明数学归纳法证明是(ⅰ)与(ⅱ)缺一不可，事实上， (ⅰ)是(ⅱ)的基础，只有确定了题成立，后续的推导才会有意义。
例3：求证：平面上 个圆把平面最多分成个区域.
证明： (ⅰ)显然，一个圆将平面分成2个区域，当时，
所以当，结论成立.
(ⅱ)假设当时，结论成立，即个圆，最多把平面分成 个区域.
在此基础上增加一个圆，为使区域最多，应使新增加的圆与前个圆都相交于两点，如图所示，于是新增了个交点，这个交点将新圆分成 段弧，这段弧将所经过的区域一分为二，因此新增了个区域.
这样最多把平面分成
个区域，
即当时结论也成立，
所以结论对任何正整数都成立.
例3：求证：平面上 个圆把平面最多分成个区域.
例4：求证：当是大于或等于5的正整数时，.
证明： (ⅰ)当时，=25，显然，所以此时命题成立.
(ⅱ)假设)时命题成立，即.
因为，所以 ，因此
.
可知不等式当时也成立.
综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.
归纳总结
用数学归纳法证明不等式
当遇到与正整数n有关的不等式证明时，关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．
1.用数学归纳法证明：设 ，则 ，第一步要证的式子是( )
A. B.
C. D.
A
2.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
1. 什么是数学归纳法？.
2. 说说如何用数学归纳法证明一些简单的命题？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？