6.1.1 函数的平均变化率 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
6.1.1 函数的平均变化率
1.理解函数平均变化率的概念．
2.会求函数的平均变化率．
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
探究1.药物在动物体内的含量随时间变化的规律,是药学与数学间的边缘学科—药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据，他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛，已知某病人服用他克莫司后血药浓度的一些对应数据如下表所示，
（1）当和时都是增加的，哪个时段的增加更快？
（2）当时，平均每小时的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？
0 0.5 1 1.5 2 3 5 8
0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3
由所给数据不难看出，当和时， 的增加量分别为
因为时间间隔都是，所以时， 增加更快.
当时， 的变化量为
又因为共有5-3=2个小时，所以平均每小时的变化量为
这说明，在这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少此时，任意)个小时血药浓度平均减少.
一、函数的平均变化率
一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且
x1,x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，
则称
Δx=x2-x1
为自变量的改变量；称
Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))
为相应的因变量的改变量；称
为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率.
(或 ）
函数平均变化率的几何意义:
如图所示，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2)). 事实上，
问题:在平均变化率中， Δx， Δy， 是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？
分析：Δx可以为正数,也可以为负数，但Δx不可以为0，Δy可以为0.
当平均变化率等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数.
例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]的平均变化率是0，但它不是常数函数.
例1.求函数在下列区间上的平均变化率：
（1）
（2）以1和为端点的闭区间.
解： (1)依定义可知 4.
即在上的平均变化率为4.
(2)依定义可知 .
在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为.
例1(2)的计算结果说明，函数在以1和为端点的闭区间上的平均变化率与有关； 增大时，平均变化率增大.
从几何上来看就是，当增大时，函数的图像上，连接(1)与(1+ )的直线斜率将不断增大，如图所示的图中，直线AB的斜率小于直线AO的斜率，且直线AO的斜率小于直线AC的斜率.
方法归纳
求平均变化率的主要步骤
前述情境中的数据可以用图表示，若将作为时间的函数，除了根据已知数据得到的点以外，函数图像上其他点我们是不知道的.例如,函数图像有可能是图中黄色曲线，也有可能是绿色曲线.
探究2.观察前述情景中的数据与图思考，怎样才能估计出时的值？
可以将图中的线段AB近似的看成在上的图像，从而由AB的方程可以计算出时的估计值：因为直线AB的斜率为6.95，且B（5，8.8），所以由直线的点斜式可知AB的直线方程为
，
代入可以算得，也就是说的估计值为.
上述求估计值的关键是用直线段代替了曲线段，这在数学中简称为“以直代曲”.
二、平均速度与平均变化率
从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t)，则物体在[t1,t2](t1(m/s).
这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.
例2.已知某物体运动的位移是时间的函数，而且时， 时，
(1)求这个物体在时间段内的平均速度；
(2)估计出时物体的位移.
解： (1) 所求平均速度为 ).
(2)将上的图像看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为5，且直线通过点，因此， 与的关系可近似地表示为
在上式中令，可求得，即物体的位移可以估计为
归纳总结
运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.
1.一物体的运动方程是，则在一小段时间内相应的平均速度为( )
A. B. C. D.
D
2.如图所示，函数y=f(x)在[x1,x2]，[x2,x3]，[x3,x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_____________.
[x3,x4]
3.已知函数f(x)=3x2+5，求f(x)：
(1)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率；
(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
解：(1)因为f(x)=3x2+5，所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9.
(2) f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3+5)
=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5=6x0Δx+3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.
函数的平均变化率
定义
几何背景
物理背景
割线斜率
平均速度