(共16张PPT)
6.1.2 课时1
瞬时变化率与导数
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A,B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同，那么到底什么是瞬时速度呢？
1. 通过实例分析，体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；
2.了解瞬时变化率的概念，理解导数的概念；
3. 会应用定义求简单函数的导数，并能说出其实际意义.
问题1：已知物体运动的位移与时间的关系为
（1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度.
根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为
.
在这段时间内物体的平均速度为
.
问题1：
（2）思考物体在时的速度该如何定义.
如果记时物体速度为，那么当很小时，
物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即
0.5
而且，无限接近于0时近似会越来越精确，此时，可以看出是无限接近于2的.
-0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1
区间
平均速度 0.5 1.95 1.995 1.9995 2.0005 2.005 2.05
问题1：
（2）思考物体在时的速度该如何定义.
因此可以认为时，是物体的速度，
这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）.
0.5
问题1：
（3）指出这一速度的实际意义.
这一速度的实际意义是：在附近的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为
你知道哪些生活中的瞬时速度？
0.5
一、瞬时变化率与导数
一般地，设函数y=f (x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f (x)在x=x0处的瞬时变化率.此时，也称f (x)在x0处可导，并称k为f (x)在x=x0处的导数，记作
f '(x0)=k.
为了简单起见，“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，→k，
或者写成=k，即f '(x0)=.
前面的问题中， 时的瞬时速度实际上就是函数在处的导数 即
例1.已知函数，求在处的导数
解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率
.
可以看出，当无限接近于0时，无限接近于-6，因此
例2.在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续的取值，并将总成本函数C在数的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC.已知某产品的总成本函数，求边际成本MC，并说明实际意义.
解：设Q=300时产量的改变量为，则
.
令 ，可得MC 因此，产量为300时的边际成本为600. 其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600.
方法归纳
求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限.
例3.某正方形铁板在时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为10 ，其中为常数，设此时正方形的面积为，且求并解释其实际意义.
解：依题意可知 ，
设=0时温度的改变量为，则
.
令 ，可得
这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为，实际意义是，在时，温度的该变量很小时，铁板面积的改变量的近似值.
1.一质点的运动方程为，其中表示位移(单位：)，表示时间(单位：).
(1)求该质点在这段时间内的平均速度；
(2)求质点在时的瞬时速度.
解：(1)该质点在这段时间内的平均速度为
(2)由(1)知，当趋近于时，趋近于，
∴该质点在时的瞬时速度为.
2.一质点按规律作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在时的瞬时速度为,求常数的值．
解：因为
,
所以.
在时,瞬时速度为,
即,所以.
1.瞬时速度：
2.求导数的步骤：
一差、二比、三极限(共17张PPT)
6.1.2 课时2
导数的几何意义
1.理解导数的几何意义．
2.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤
问题1：已知函数 ，设自变量在的改变量：
（1）依照定义求出；
显然，平均变化率
可以看出，当无限接近于0时，瞬时变化率无限接近于1，
因此函数在导数
问题1：已知函数 ，设自变量在的改变量：
（2）设M为函数图像上一点，探讨无限接近于0时，直线OM具有什么样的性质.
思考：比较图中直线OA和直线OB，谁的斜率更接近1呢？
在A，B两点中，B对应的更加接近于0，则直线OB的斜率更接近于1.
由(1)可知. 图中l为斜率为1的直线.
1
O
x
y
l→k=1
A
B
1
因此，若M为函数图像上一点，则无限接近于0时，直线OM的斜率将无限接近于1，直线OM将无限接近于过O点且斜率为1的直线.
思考：直线OC和直线OD，谁的斜率更接近1呢？
类似地，在C，D两点中，C对应的更加接近于0，则直线OC的斜率更接近于1.
1
O
x
y
l→k=1
C
D
1
这里的直线就是曲线在(0，0)处的切线.
曲线切线的定义
一般地，设S是平面上的一条曲线，是曲线S上的一个定点，P是曲线S上附近的点，则称直线P为曲线S的割线，如果P无限接近于时，割线P无限接近于通过的一条直线l，则称直线l为曲线S在点处的切线.
S
依照切线的定义可知，如果将函数的图像看成曲线，而且曲线在点处的切线为，则很小时，是附近的一点，割线的斜率是
,
则当无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线的斜率.
导数的几何意义：就是曲线在点处(也称在处)的切线的斜率.
思考：利用导数的几何意义，你能够求切线方程吗？
例1：已知函数，求曲线在处切线的斜率与方程.
解：因为
，
因此所求切线的斜率为2.
又因为=1，
所以切线的方程为 ，
即.
切点坐标(1,1)
方法归纳
求曲线上点)处的切线方程
(1)根据曲线的函数关系式求出切线斜率；
(2)将代入，求得曲线上点；
(3)根据直线的点斜式方程，得切线方程
例2： 求曲线在点(1，3)处的切线方程.
解：因为
，
又因为切点坐标为，
所以切线的方程为 ，
即.
借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可以利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值，具体过程如下.
如果函数在处的导数为，且在处自变量的改变量为，对应的函数值改变量为
,
则
此时曲线在处的切线l的斜率为，因此
AC=，CD= .
又因为BC=,可以看出，当很小时，可用 来近似表示，即
,
所以 .
本质上是用处的切线代替了附近的曲线，使用了“以直代曲”的方法.
例3：已知函数，计算的近似值.
解：由题意可得，，，
因此
分析：利用求导来估值， .
1.已知函数f(x)=，则曲线y=f (x)在(1,-1)处的切线方程是( )
A.x-y-2=0 B.2x-2y+3=0
C.x+y=0 D.x-y=0
A
2.已知函数f (x)=x2+，试求曲线y=f (x)与x轴平行的切线方程.
解：设切点为()，由导数定义可得
=
==.
切线与x轴平行时，其斜率为0，则有=0，解得，此时.
故切线方程为y-3=0(x-1)，即y=3.
1.求曲线在点(x0， y0)函处的切线方程可直接套用公式：
求解.
2.根据导数的几何意义可知，能反映曲线f (x)在x=x0处的升降及变化快慢情况.
若，则曲线在该点处上升，
若，则曲线在该点处下降.
