6.1.3 基本初等函数的导数 课件(共17张PPT)

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6.1.3 基本初等函数的导数
1.理解导函数的概念．
2.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2， ，的导数．
3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．
探究1.已知函数，任取一个实数，判断在是否可导，如果可导，求出，并观察与关系.
设自变量在附近的改变量为，则函数在以， 为端点的闭区间上的平均变化率为 .
可以看出，当无限接近于0时，平均变化率无限接近于，因此在处可导，而且
显然随着变化而变化，而且的值确定之后，也就确定了.
例如，时， 时， 这就说明，是的函数.
一、函数的导数
如果f (x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f ′(x) ．于是，在区间(a，b)内，f ′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f (x)的导函数．记为f ′(x) 或y ′(或y ′|x) ．
例1.分别求出下列函数的导数：
（1） 期中C是常数； （2） ； （3）
（4） （5）.
解：(1)根据定义可知
(2)根据定义可知
(3)根据定义可知
=[ =.
例1.分别求出下列函数的导数：
（1） 期中C是常数； （2） ； （3）
（4） （5）.
(4)根据定义可知
.
(5)根据定义可知
===.
上述结果表明，例1中的函数在它们的定义域或指定的范围内都是可导的，这也就说明对应的曲线在各点处都存在切线. 而且，我们还能根据导函数来分析不同点切线有什么联系或不同.
例如，由的导数是 偶函数可知，在曲线上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；而且，因为时， 增函数，这就说明曲线在那一部分，
自变量越大，切线的斜率越大，如图所示.
同样，由的导函数为 也能得到类似的结论，只是曲线在的那一部分，自变量越大，切线的斜率越小，如图所示.
为了简单起见，前面我们得到的有关导函数的结论通常简写为:
； ； ；
； ；
探究2.观察上述导函数的结论，归纳出（ ）的导函数具有形式(即写出的结果).
注意到 ，，所以可以改写为 ；
类似地， 可以改写为 .
结合 x和 ，可以归纳出 .
例2.已知求 以及曲线在点(4，)处的切线方程.
解：因为 ，
所以 又因为
所以切线的方程为 ，即
例3.已知函数求 ， .
解：在 ，中令，可得
，
因此
在 ，中令，可得 ，
即，
因此.
二、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝C(C为常数) f ′(x)＝_____________
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝_____________
f (x)＝sin x f ′(x)＝_____________
f (x)＝cos x f ′(x)＝_____________
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ex f ′(x)＝_____________
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x f ′(x)＝_____________
0
例4.已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 求曲线 过点 的切线方程.
解：（1） 由 ，得 ，
故切线斜率 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 .
① 当 为切点时，由（1）知，切线方程为 ；
②当 不为切点时，
设切点为 ，则切线斜率 ，
故切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，
解得 （舍去）或 ，
因此切线方程为 .
综上，过点 的切线方程为 或 .
例4.已知函数 .
（2） 求曲线 过点 的切线方程.
归纳总结
利用导数的几何意义解决切线问题：
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．　
1.若f (x)=x2， g (x)=x3 ，则满足f (x)+1=g(x)的x值为__________.
1或
2.设函数f (x)=， f (1)=1，则a=__________.
3. 曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程为 ．
x-ey=0
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