(共15张PPT)
6.1.4 课时2
复合函数的求导法则及应用
1.了解复合函数的概念.
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.
回顾：导数的四则运算法则
和、差：= ；
积：，
特殊：；
商：；
.
情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有
复合函数
一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称
为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量.
复合函数可分为内外两层：
f (u)为外层函数
g(x)为内层函数.
问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
()
()
()
()
问题2：已知 .
(1)可以由与得到吗？
(2)分别求出有什么关系？，并总结它们之间的关系.
(1)如果在中，令，则有
.
问题2：已知.
(2)分别，并总结它们之间的关系.
(2)，
所以
.
又因为，所以
.
一般地，如果函数与的复合函数为
，
则可以证明，复合函数的导数与之间的关系为
这一结论也可以表示为
即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
复合函数求导法则
.
.
解：(1)函数h(x)可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则，因此
=5.
(2)函数可以看成是由和的复合函数，因此 =.
例1.求下列函数的导数
(1)h(x) (2)f(x)
(3); (4)
例1.求下列函数的导数
(1)h(x) (2)f(x)
(3); (4)
(3)函数可以看成是由和的复合函数，因此
= =.
(4)函数可以看成是由和的复合函数，因此
= =cosu.
方法归纳
求复合函数导数的步骤
分解
选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系
， ；
求导
分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求;
回代
计算，并把中间变量转化为自变量的函数.
1.函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos2x－x2sin2x B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x
C．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x
2.已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.
B
3. 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝； (4)y＝x2－.
解：(1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－＝x2－sin x，∴y′＝2x－cos x.
结合以下关键词谈谈你的收获：
1.复合函数；
2.复合函数的导数法则；
3.复合函数求导法则的综合应用.(共17张PPT)
6.1.4 课时1
函数的四则运算求导法则及应用
我们知道，由基本初等函数经过加、减、乘、除等运算可以构造出新的函数，例如，由与相加可以得到新函数
那么，构造出新函数的导函数与原有函数的导函数之间是否有联系呢？
1.掌握导数的四则运算法则.
2.能用导数的四则运算法则求简单函数的导数.
问题1：设由，且，猜测 的关系.
.
猜测：
利用导数的定义，请证明此猜测.
设，则
+，
所以，
即=+.
证明：
问题1：设由，且，猜测 的关系.
一般的如果与都可导，则
即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和.
=+
类似地，如果都可导，则
即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差.
=
求导法则
和
差
上述法则可以推广到任意有限个函数，即
.
例1：求下列导数
（1） （2）
解：原式
解：原式
问题2：如果都可导，你认为 的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想.
一般来说，
例如，当时，，因此
， ，
即
事实上，可以证明，当都可导都可导时，有
.
即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.
特别地，当是常函数，即=C时，因为=0，所以由上述法则立即可以得出
即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.
问题3：如果都可导，且，，你认为的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想.
一般来说，.
例如，当 时，因此
，
即.
事实上，可以证明，当都可导，且，时有
=.
事实上，可以证明，当都可导时，有
积
求导法则
商
事实上，可以证明，当都可导，且，有
例2：求下列导数.
（1） （2）
解:原式
解:原式
（3） （4）
解:原式
解:原式
例3：求曲线在（，）处的切线方程.
解：因为 ===.
所以所求切线的斜率为 又因为所以切点为（，1），从而可知所求切线的方程为 ，即
方法归纳
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个” 函数的积、商的导数计算．
1.求下列函数的导数
（1） （2）
解：
y = .
（1）= = = = .
（2）= ()' = = = .
2.求下列函数的导数
（1） （2）.
解：（1）
= .
（2）
.
导数的四则运算法则
和、差：______________________________；
积：__________________________________，特殊：________；
商：__________________________________； ________________.
=
