(共16张PPT)
6.2.1 课时1
利用导数判断函数的单调性
通过具体实例与函数图象，发现函数的导数与单调性之间的关系；
掌握用导数判断函数在给定区间上的单调性的方法.
完成下列填空：
(1) 函数，_______，在R上单调性为__________；
(2) 函数，_______，在区间上单调性为_________；
(3) 函数，______，在R上单调性为_________；
单调递减
单调递减
单调递增
思考：仔细观察，猜想原函数在定义域内区间的单调性与导函数之间的关系？
猜想：原函数的单调性与导函数的正负有关，且在同一区间，导函数为正时，原函数单调递增；反之，导函数为负时，原函数单调递减.
问题1：竖直上抛的一个小物体，其高度与时间之间的关系式是
.
求出这个函数的导函数，并做出这个函数的图像与导函数的图像，前面的猜想仍然成立吗？
因为，如图所示.
从图可以看出，在区间上， ，
这说明曲线在左边的部分的每一个点处的切线斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此说明函数在区间上是增函数.
类似的在区间上， ，
这说明曲线在右边部分的每一点处的切线斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此说明函数在区间上是减函数.
问题1：竖直上抛的一个小物体，其高度与时间之间的关系式是
.
求出这个函数的导函数，并做出这个函数的图像与导函数的图像，前面的猜想仍然成立吗？
函数的单调性与导函数的正负之间的关系：
(1)如果在区间(a,b)内， ，则曲线在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0 ，曲线呈上升状态，因此在(a,b)上是增函数.
归纳总结
函数的单调性与导函数的正负之间的关系：
(2)如果在区间(a,b)内， ，则曲线在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0 ，曲线呈下降状态，因此在(a,b)上是减函数.
归纳总结
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(1)
（1）因为 ，其定义域为R .
所以
所以 在R上单调递增，
如图（1）所示.
（2）因为 ，所以
所以，函数 在 单调递减，如图（2）所示.
x
y
O
(2)
π
-π
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
x
y
O
(3)
1
1
方法归纳
判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
例2 求函数的单调区间.
解：根据题意有= ，
令 ，可得 ，解得1 ，
因此，函数在区间上是增函数；
令 ，可得，解得<1 ，
因此，函数在区间上是减函数；
综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
例2 求函数的单调区间.
此题还可以用导数为0的点来划分函数的单调区间.
令，解得，
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
综上可知，函数的单调递减区间为，
单调递增区间为.
0
1
思考：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特征
1.已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
B
2.若函数f (x)=x2-2x-3ln x，则函数f (x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,-1)∪[3,+∞) B.[-1,3]
C.[0,3] D.[3,+∞)
C
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 函数的单调性与导数的正负之间的关系？
2. 如何用导数来判断函数单调性？(共16张PPT)
6.2.1 课时2
导数与函数的单调性的综合
能用导数确定函数的单调区间；
能解决导函数与原函数的图像关系问题.
回顾：判定函数单调性的步骤.
定义域优先
求导数
解不等式
确定单调区间
问题：如何探究函数的单调性？
判断函数的单调性
观察函数的图象
函数单调性的定义
利用导数的正负
y=x3－3x
y=x3+3x
例1. 求函数的单调区间.
解：根据题意有.
令可得，解不等式可得或
令可得，解不等式可得
因此，函数的单调递增区间为和 ，
单调递减区间为.
例2. 求函数的单调区间.
解：根据题意有
令可得，
因为恒成立，所以0，因此；
令可得，解不等式可得.
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
归纳总结
用解不等式法求单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导函数f ′(x)；
(3)解不等式f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间.
【探究】研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况.
x
y
O
(2)
x
y
O
1
(1)
归纳总结
函数的图像 的变化规律 函数值变化规律 图像特点
越来越大 函数值增加得越来越快 越来越陡峭
越来越小 函数值增加得越来越慢 越来越平缓
越来越大 函数值减少得越来越快 越来越陡峭
越来越小 函数值减少得越来越慢 越来越平缓
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
函数值增减快慢与导数的关系
x
y
O
1
解：
例3.
例4.生物学上的种群研究表明，很多物种的数量与时间的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，因此物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以加以利用，物种数量的增加会越来越快；到了一定程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓，假设是时间的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示(1)(2)中，哪个能近似地表示上述规律？
解：物种数量的增加比较慢，表示曲线在对应点的切线斜率比较小，增加越来越快，表示曲线在对应点的切线斜率越来越大，因此图2能近似的表示上述规律.
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.
原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；
导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
归纳总结
C
1.设是函数的导函数，y=的图象如右图所示，则y=的图象最有可能的是( )
2.函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为____________．
(0，＋∞)
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1.用解不等式法求单调区间的步骤是什么？
2.函数值增减快慢与导数有什么关系？
