(共17张PPT)
6.2.2 课时2
函数的最值求法
1. 理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系；
2. 会求某闭区间上函数的最值.
探究1.观察图所示函数 的图像，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
（1）图中所示函数的最值点与最值分别是多少？
（2）图中所示函数的极值点与极值分别是多少？
（3）一般的函数的最值与函数的极值有什么关系？
怎样求可导函数的最值？
函数的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值. 因此，如图所示的最大值点为2，最大值为3；最小值点为0，最小值为-3. 而且，函数的极大值点为-2，极大值为2；极小值点为0，极小值为-3.
由此可以看出，最值与极值是有区别的，最值点与极值点也有区别.
一、函数的最值
(1)一般地，如果函数y＝f (x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个 ；
(2)如果函数y＝f (x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f (x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是 ，要么是 ．
极值点
极值点
区间端点a或b
问题1：函数的极值与最值的区别是什么？
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，
函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；
有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；
极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
问题2：求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的____________；
(2)将函数y＝f (x)的__________与________处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是_________，最小的一个是__________．
极值
各极值
端点
最大值
最小值
练习：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得． ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值． ( )
(4)若函数y＝f (x)在区间[a,b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． ( )
×
√
×
√
例1：已知. (1)求在区间(-3,3)的极值以及最值.
解：(1) . 解方程，可得或
解不等式，可得或此时递增，
解不等式可得此时递减.
因此， 在上递增，在上递减，在上递增.
所以极大值为 极小值为.
因为函数端点无意义，所以函数没有最大值，
因为 对任意实数都是成立的，所以最小值是
例1：已知. (2)求在区间[-3,3]的极值以及最值.
(2)求区间单调性同第一小问，
因此， 在[-3,-2)上递增，
在上递减，在(0,3]上递增.
所以极大值为
极小值为.
由于端点值 f (-3) = ， f (3) = 9，
函数 f (x) = 在区间[-3,3]的最大值为 9，最小值为 0.
归纳总结
求函数最值的解题策略
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，求f(x)在区间[a,b]上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值.
(3)求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点的函数值进行比较，有时需要作差、作商,有时还要估算，甚至有时需要进行分类讨论.
(4)求函数在开区间上的最值时，要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况，从而画出函数的大致图像，结合图像求出最值.
例2： (1)若函数f (x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值，且极值为0，求实数a,b的值；
(2)已知函数f (x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在实数a,b使f (x)在区间[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.
思路分析：(1)可利用f (1)=0，f (1)=0求解；
(2)利用求最值的方法建立关于a,b的方程组确定a,b的值，注意对a的讨论.
解：(1)由于f (x)=ax3+bx-4，所以f '(x)=3ax2+b.
依题意，可得f '(1)=0且f (1)=0.
即解得
(2)存在. f (x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，
令f (x)=0，解得x1=0，x2=4(舍去).
①当a>0，x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
所以当x=0时，f (x)取得最大值. 所以b=3.
又f (2)=-16a+3，f (-1)=-7a+3，f (-1)>f (2)，所以当x=2时，f (x)取得最小值，
所以-16a+3=-29，即a=2.
x (-1,0) 0 (0,2)
f '(x) + 0 -
f (x) ↗ 极大值 ↘
②当a<0，x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
所以当x=0时，f (x)取得最小值. 所以b=-29.
又f (2)=-16a-29，f (-1)=-7a-29，f (2)>f (-1)，所以当x=2时，f (x)取得最大值，
所以-16a-29=3，即a=-2.
综上所述，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
x (-1,0) 0 (0,2)
f '(x) - 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
方法归纳
根据函数极值与最值求参数值(或范围)的解题策略
(1)已知函数的极值或最值求参数值时，主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值，列出方程(组)，利用待定系数法求解；同时应注意，导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
(2)对于可导函数f (x)，若它有极值点x0，则必有f(x0)=0，因此函数f (x)有极值的问题，往往可以转化为方程f(x)=0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解.
(3)有些含参数的问题,需要对参数进行分类讨论求解.
1.函数f (x)=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是( )
A.5，-15 B.5，-4 C.-4，-15 D.5，-16
2.设函数f (x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围是____________．
A
3.已知函数f (x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3，求它在[-2，2]上的最小值.
解： f ′(x) =6x2-12x=6x(x-2)，在(-2,2)上，只有x=0是f (x)的极值点，且为极大值点，
∴f (x)极大值=f (0)=m.
又f (-2)=-16-24+m=m-40，f (2)=16-24+m=m-8.
容易判断m-40∴f (x)min=m-40=-37，即最小值是-37.
求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1) f (x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
(2) 将f (x)的各导数值为零的点的函数值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(共17张PPT)
6.2.2 课时1
函数的导数与极值
1. 了解极大值、极小值的概念.
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
3. 会用导数求函数的极大值、极小值．
情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点.
观察图中函数的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述.
从图中可以看出，函数在这三点对应的函数值，都是其附近的函数值中的最大者；而在这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者.
一、极值点与极值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1) f (x)(2) f (x)>f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极小值点，且f (x)在x0处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值. 显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.
思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？
由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质，并且一个函数可以有若干个极大值与极小值.
如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值没有必然的大小关系.
探究1.从图所示的函数图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标都是函数的极值点，已知曲线在A，B，C，D之处都存在切线.
（1）A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明在处的导数具有什么特点？
（2）曲线在A，B，C，D附近的点处
的切线具有什么特征？
可以看出，曲线在A，B，C，D处的切线都是水平的，这等价于
在A点与C点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于0；在右侧的附近曲线的切线斜率都小于0. 在B点与D点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样.
一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有
.
例1.已知，求所有使得的，并判断所求得的数是否是函数的极值点.
解：因为，
所以令可知 由此可解得
但0不是的极值点，因为而0左侧点的函数值总是小于0，且0右端的点的函数值总是大于0，这也可以从图中函数的图像看出来，
例1说明，若存在是“是极值点” 的必要而不充分条件.
x
y
O
追问：函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？
x0左右侧导数异号
f ′(x0)=0
x0为极值点
二、函数的导数与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝_____，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_________，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，______叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝_____，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧_________，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为________；极大值、极小值统称为_______．
0
f ′(x)<0
f ′(x)>0
f (a)
0
f ′(x)>0
f ′(x)<0
f (b)
极值点
极值
例2.已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图.
解：由题意可得 .
令0，解得.
当变化时， 的变化情况如下表：
因此，当时，有极大值，极大值为=
当时，有极小值，极小值为=- .
-2 2
+ 0 0 +
单调递增 单调递减 - 单调递增
函数的图像如图所示.
例2.已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图.
方法归纳
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
1．(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)是增函数
B．在(3,4)上函数f(x)是减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
2.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为 .
ABC
0
3.函数f (x)=-x3-x2+x的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
A
求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是___________；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是___________．
极大值
极小值
