6.3 利用导数解决实际问题 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
6.3 利用导数解决实际问题
1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省、成本最低等实际问题中的作用．
2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．
用料最省
材料：如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=12 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=16 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
探究1. 分别计算下列两种算法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为(万元).
又因为
所以直接沿线段AB铺设，成本为 2×50=100(万元).
海
陆
记先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元，则
1.6
因此，当 时，
令 可解得
可知在上递减，在上递增，从而在时取得最小值，而且最小值为1.6 最少花费是96万元.
如图所示，在岸上取一点D，设计其距离C的距离为则
， 1.6
海
陆
归纳总结
解决优化问题的注意点
利用导数解优化问题，往往转化为求函数的最大值或最小值问题，解题时要特别注意以下几点：
（1）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.
利润最大
材料：某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元/件）满足关系：
Q＝
（1）求总利润（利润＝销售额-成本）y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式；
（2）当实际销售价为多少时总利润最大.
解：（1）根据题意得，总利润y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式是
y＝
＝
（2）由（1）得①当5则y′＝234(x2-13x+42)＝234(x-6)(x-7).
当50，y为增函数；
当6∴ 当x＝6时，ymax＝195.
②当7≤x<8时，y＝6(33-x)∈(150，156］.
③当8≤x<13时，y＝-10(x-9)2+160，
∴ 当x＝9时，ymax＝160.
综上，当x＝6时，总利润最大，即当实际销售价为6元/件时总利润最大.
效率最高
材料：如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
因为
令可解得，
因此可知在上递减，在上递增，
从而在时取得最小值. 这就是说，点C选在离点B点为时可使运输时间最短.
解：设点C与点B的距离为km，运输时间为T()小时，则
.
成本最低
材料：已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？
解：记平均成本为元，则
=
因为时，有 令，可解得
因此可知在上递减，在上递增，从而在 Q=10时取得极小值，而且在此事取得最小值
=
及当月产量为10万件，是每件产品的平均成本最低最低为400元.
归纳总结
利用导数解最优化问题的一般步骤
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式，标明自变量的取值范围；
(2)求导数 并解方程，即求出函数可能的极值点；
(3)比较函数在区间端点的函数值与极值的大小，得出函数最值；
(4)根据实际问题的意义，给出相应答案.
1.某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元. 已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)=x3x2x(其中x是该产品的月产量，单位：百台，06
2.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与产品的价格P(元/吨)之间的
关系为P=24200-x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元. 问每月生产多少吨产
品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润=收入-成本)
解：每月生产x吨时的利润为
f (x)=(24200-x2)x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0).
由f (x)=-x2+24000=0，解得x1=200，x2=-200(舍去).
因为f (x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200使f (x)=0，故它就是最大值点，
且最大值为f (200)=-×2003+24000×200-50000=3150000(元).
所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
最优化问题
用函数表示问题
用导数解决问题
最优化问题答案