韦达定理与方程（组）综合典型考点 专题练 2025年中考数学二轮复习备考
文档属性
| 名称 | 韦达定理与方程（组）综合典型考点 专题练 2025年中考数学二轮复习备考 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 890.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-23 10:07:53 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
韦达定理与方程（组）综合典型考点
专题练 2025年中考数学二轮复习备考
一、单选题
1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
2．在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
3．关于x的方程（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．一个正根，一个负根
C．两个负根 D．根的符号与m的值有关
4．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和1，那么抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．轴 D．直线
5．若，方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．7 B．12 C．14 D．15
6．如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该矩形的面积为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
7．已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是( )
A． B． C． D．
8．以和5为两根的一元二次方程为（ ）
A． B． C． D．
9．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知实数，满足，，且，求的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知，是方程的两个根，那么 ．
13．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
14．在解一元二次方程 时，小红看错了常数项 n ，得到方程的两个根是 ．小明看错了一次项系数m ，得到方程的两个根是，则原来的方程的根为 ．
15．关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为 ．
三、解答题
16．已知是一元二次方程的一个根．
(1)求m的值；
(2)已知一元二次方程的两个根分别为，求代数式的值．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根：
(2)若方程的两个根分别为，且，请求出m的值．
18．【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点；
【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：；
【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？
19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(2)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值．
20．综合与探究
已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若，求m的值；
(3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
21．阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解法一：解方程得：，．
∵所求方程的根分别是已知方程根的2倍，
∴所求方程的两根为：，，
∴所求方程为：．
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
22．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，．
(1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和．
(2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，．
设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程．
(3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、．
参考答案
1．C
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案．
解：∵是一元二次方程的两个实数根
∴，
将，代入，则
故选C．
2．C
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系；先根据公式计算出一元二次方程的两根之和与两根之积，再结合三角形三边关系即可求出．
解：根据题意，
∴
∴
故选：C．
3．D
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，先将方程整理为一般式，再根据判断根的情况即可．
将整理，
得，
可知，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
设两个根是，根据题意，得
，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根，根的符号与m的值有关．
故选：D．
4．B
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．二次函数的性质．根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由二次函数的性质解答，即可求解．
解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和1，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线．
故选：B
5．D
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得．
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
∴
．
故选：D．
6．D
设矩形的相邻两边长分别是，则是方程的两个实数根，矩形的面积为，根据韦达定理解答即可．
本题考查了韦达定理，矩形的面积，熟练掌握定理是解题的关键．
解：设矩形的相邻两边长分别是，
则是方程的两个实数根，
故
又矩形的面积为，
故矩形的面积为24，
故选：D．
7．B
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理：若一元二次方程有两个实数根，那么．
首先设一元二次方程为，由二次项系数为1，两个根分别是3和，再根据根与系数之间的关系可知：，继而可求解．
解：设一元二次方程为，
∵二次项系数为1，两个根分别是3和，
．
∴该方程为：，
故选：B．
8．C
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．根据一元二次方程根与系数的关系，列式即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．
解：设这样的方程为，则根据根与系数的关系可得：
，，
∴方程是．
故选：C．
9．C
本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题；
设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解；
解：设一元二次方程为，
由题意得：，
，
方程为，
，
或，
解得：，；
故选：C
10．C
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1；
∴，
又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项不符合题意；
C. 中，，，故该选项符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：C．
11．A
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解．
解：化为，
，且，
实数，是方程的两个根，
，，
，
故选：A．
12．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，．
根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案．
解：，是方程的两个根，
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．/
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个根是、，则，．根据方程得到两根之和为，即可求出另一个根．
解：方程，
方程的两根之和为，
方程的一个根为，
方程的另一个根为，
故答案为：．
14．
本题考查根与系数的关系，错解复原问题，根据根与系数的关系，看错某项，求出另一项，将方程复原，再求解即可．
解：由题意，得：，即：，
∴原方程为：，
解得：；
故答案为：
15．
本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系，结合乘积为1的两数互为倒数，得到，求出的值，再根据根与系数的关系求出两根之和即可．
解：设的两个根为，
则：，
∵关于的方程的两实数根互为倒数，
∴，
∴，
当时，，此方程无解，不符合题意；
当时，，
∴；
故答案为：．
16．(1)
(2)18
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值：
（1）将代入，即可求解；
（2）由根与系数关系，得出，，，代入化简，即可求解，
（1）解：∵是一元二次方程的一个根，
∴将代入得：，
解得：；
（2）解：由解析（1）可得，
∴方程为，
一元二次方程的两个根分别是，，
，，，
．
17．(1)见详解
(2)或
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入，求解即可．
（1）证明：
，
，
，
故无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：根据题意可得，
代入，得出，
解得：或．
18．（1）图见解析；（2），；（3），，
本题考查尺规作图、角平分线的性质、解一元二次方程、解一元高次方程，得到点P坐标规律，以及利用类比方法求解是解答的关键．
（1）根据题中叙述画出图形即可；
（2）先由（1）中画图过程得到点P在的平分线上，则，原方程化为，然后解方程即可求解；
（3）类比一元二次方程中根与系数的推导过程求解即可．
解：（1）如图所示：
（2）根据作图过程，点P在的平分线上，又点在第一象限内，
∴，
∴方程化为，即，
解得，；
（3）由于一元三次方程存在三个根、、，
∴把方程可以写为，
整理，得，
∴，，，
解得：，，．
19．(1)或
(2)16
（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果；
（2）根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出与的关系式，再由可列出与的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值．
本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键．
（1）解：关于的方程是邻根方程，
解方程可得：，，
，
，，
或；
（2）关于的方程（是常数）是邻根方程，
设两个根分别为，
，
由韦达定理：，，
，
，
此时，方程必定有解．
，
当时，有最大值，最大值为16．
答：的最大值为16．
20．(1)
(2)
(3)
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
（1）根据判别式即可解答；
（2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可；
（3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：，，
，即，
，即，
解得，，
而，
的值为6；
（3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，
所以，
方程化为，
解得，则，故舍去，
这个三角形的周长为17．
21．(1)
(2)
(3)
（1）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得；
（2）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得；
（3）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得．
（1）解法一：解方程得：，
∵所求方程的根分别为已知方程根的相反数，
∴所求方程的两根为：，
∴所求方程为：，
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
故答案为：．
（2）解法一：解方程得：，
∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，
∴所求方程的两根为：，，
∴所求方程为：，
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
（3）解法一：解方程得：，
∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，
∴所求方程的两根为：，
∴所求方程为：，
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“换根法”．
22．(1)
(2)、
(3)，详见解析
本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点，
（1）把两根倒数和通分后代入计算即可；
（2）仿照小明同学的求解即可；
（3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解；
熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键．
（1）∵，，
∴；
（2），
、、，
，．
设，，
∴，即，
解得，
∴原方程的解为、；
（3）∵三次方程的三个根分别为、、，且，
∴由根与系数的关系，可得，，，
∴，
由题意得，可设新方程为，
∵新的三次方程，其三个根分别为、、，
又∵，
∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴新方程为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
韦达定理与方程（组）综合典型考点
专题练 2025年中考数学二轮复习备考
一、单选题
1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
2．在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
3．关于x的方程（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．一个正根，一个负根
C．两个负根 D．根的符号与m的值有关
4．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和1，那么抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．轴 D．直线
5．若，方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．7 B．12 C．14 D．15
6．如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该矩形的面积为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
7．已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是( )
A． B． C． D．
8．以和5为两根的一元二次方程为（ ）
A． B． C． D．
9．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知实数，满足，，且，求的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知，是方程的两个根，那么 ．
13．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
14．在解一元二次方程 时，小红看错了常数项 n ，得到方程的两个根是 ．小明看错了一次项系数m ，得到方程的两个根是，则原来的方程的根为 ．
15．关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为 ．
三、解答题
16．已知是一元二次方程的一个根．
(1)求m的值；
(2)已知一元二次方程的两个根分别为，求代数式的值．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根：
(2)若方程的两个根分别为，且，请求出m的值．
18．【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点；
【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：；
【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？
19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(2)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值．
20．综合与探究
已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若，求m的值；
(3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
21．阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解法一：解方程得：，．
∵所求方程的根分别是已知方程根的2倍，
∴所求方程的两根为：，，
∴所求方程为：．
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
22．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，．
(1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和．
(2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，．
设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程．
(3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、．
参考答案
1．C
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案．
解：∵是一元二次方程的两个实数根
∴，
将，代入，则
故选C．
2．C
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系；先根据公式计算出一元二次方程的两根之和与两根之积，再结合三角形三边关系即可求出．
解：根据题意，
∴
∴
故选：C．
3．D
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，先将方程整理为一般式，再根据判断根的情况即可．
将整理，
得，
可知，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
设两个根是，根据题意，得
，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根，根的符号与m的值有关．
故选：D．
4．B
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．二次函数的性质．根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由二次函数的性质解答，即可求解．
解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和1，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线．
故选：B
5．D
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得．
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
∴
．
故选：D．
6．D
设矩形的相邻两边长分别是，则是方程的两个实数根，矩形的面积为，根据韦达定理解答即可．
本题考查了韦达定理，矩形的面积，熟练掌握定理是解题的关键．
解：设矩形的相邻两边长分别是，
则是方程的两个实数根，
故
又矩形的面积为，
故矩形的面积为24，
故选：D．
7．B
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理：若一元二次方程有两个实数根，那么．
首先设一元二次方程为，由二次项系数为1，两个根分别是3和，再根据根与系数之间的关系可知：，继而可求解．
解：设一元二次方程为，
∵二次项系数为1，两个根分别是3和，
．
∴该方程为：，
故选：B．
8．C
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．根据一元二次方程根与系数的关系，列式即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．
解：设这样的方程为，则根据根与系数的关系可得：
，，
∴方程是．
故选：C．
9．C
本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题；
设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解；
解：设一元二次方程为，
由题意得：，
，
方程为，
，
或，
解得：，；
故选：C
10．C
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1；
∴，
又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项不符合题意；
C. 中，，，故该选项符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：C．
11．A
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解．
解：化为，
，且，
实数，是方程的两个根，
，，
，
故选：A．
12．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，．
根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案．
解：，是方程的两个根，
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．/
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个根是、，则，．根据方程得到两根之和为，即可求出另一个根．
解：方程，
方程的两根之和为，
方程的一个根为，
方程的另一个根为，
故答案为：．
14．
本题考查根与系数的关系，错解复原问题，根据根与系数的关系，看错某项，求出另一项，将方程复原，再求解即可．
解：由题意，得：，即：，
∴原方程为：，
解得：；
故答案为：
15．
本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系，结合乘积为1的两数互为倒数，得到，求出的值，再根据根与系数的关系求出两根之和即可．
解：设的两个根为，
则：，
∵关于的方程的两实数根互为倒数，
∴，
∴，
当时，，此方程无解，不符合题意；
当时，，
∴；
故答案为：．
16．(1)
(2)18
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值：
（1）将代入，即可求解；
（2）由根与系数关系，得出，，，代入化简，即可求解，
（1）解：∵是一元二次方程的一个根，
∴将代入得：，
解得：；
（2）解：由解析（1）可得，
∴方程为，
一元二次方程的两个根分别是，，
，，，
．
17．(1)见详解
(2)或
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入，求解即可．
（1）证明：
，
，
，
故无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：根据题意可得，
代入，得出，
解得：或．
18．（1）图见解析；（2），；（3），，
本题考查尺规作图、角平分线的性质、解一元二次方程、解一元高次方程，得到点P坐标规律，以及利用类比方法求解是解答的关键．
（1）根据题中叙述画出图形即可；
（2）先由（1）中画图过程得到点P在的平分线上，则，原方程化为，然后解方程即可求解；
（3）类比一元二次方程中根与系数的推导过程求解即可．
解：（1）如图所示：
（2）根据作图过程，点P在的平分线上，又点在第一象限内，
∴，
∴方程化为，即，
解得，；
（3）由于一元三次方程存在三个根、、，
∴把方程可以写为，
整理，得，
∴，，，
解得：，，．
19．(1)或
(2)16
（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果；
（2）根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出与的关系式，再由可列出与的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值．
本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键．
（1）解：关于的方程是邻根方程，
解方程可得：，，
，
，，
或；
（2）关于的方程（是常数）是邻根方程，
设两个根分别为，
，
由韦达定理：，，
，
，
此时，方程必定有解．
，
当时，有最大值，最大值为16．
答：的最大值为16．
20．(1)
(2)
(3)
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
（1）根据判别式即可解答；
（2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可；
（3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：，，
，即，
，即，
解得，，
而，
的值为6；
（3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，
所以，
方程化为，
解得，则，故舍去，
这个三角形的周长为17．
21．(1)
(2)
(3)
（1）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得；
（2）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得；
（3）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得．
（1）解法一：解方程得：，
∵所求方程的根分别为已知方程根的相反数，
∴所求方程的两根为：，
∴所求方程为：，
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
故答案为：．
（2）解法一：解方程得：，
∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，
∴所求方程的两根为：，，
∴所求方程为：，
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
（3）解法一：解方程得：，
∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，
∴所求方程的两根为：，
∴所求方程为：，
故所求方程为：．
解法二：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程得：化简，得，
故所求方程为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“换根法”．
22．(1)
(2)、
(3)，详见解析
本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点，
（1）把两根倒数和通分后代入计算即可；
（2）仿照小明同学的求解即可；
（3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解；
熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键．
（1）∵，，
∴；
（2），
、、，
，．
设，，
∴，即，
解得，
∴原方程的解为、；
（3）∵三次方程的三个根分别为、、，且，
∴由根与系数的关系，可得，，，
∴，
由题意得，可设新方程为，
∵新的三次方程，其三个根分别为、、，
又∵，
∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴新方程为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录