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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题04 尺规作图（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题尺规作图分析
解答题第21题：考查尺规作图，分值8分，难度中等；命题方向主要以以下两个方面为主，①基础操作结合几何证明(占比约40%)（如作角平分线后证明线段相等，或作垂线后结合勾股定理计算）；②综合应用题，例如格点作图、无刻度直尺作图(如菱形、平行四边形的构造)等。
题型一：尺规作图-----作角平分线（高频考点）
1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的作法等知识点，读懂图象信息、灵活运用相关知识是解题的关键．
①由基本作图可知；②利用全等三角形的性质证明即可；③利用等腰直角三角形的性质证明即可．
【详解】解：如图①中，由作图可知平分，
∵，
∴；
如图②中，由作图可知，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由于，
则，
∴；
如图③中，由作图可知是等腰直角三角形，可以推出．
综上，①②③能得出；
故选：D．
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：①是尺规作图作角的平分线，故正确；
②作的是的垂直平分线，得到，故错误；
③作图可以得到平分，故正确；
④作图可以得到，故正确，
故选：C.
3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图，根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A.如图，
由作图可知，，，
又∵
∴
∴，
∴平分,
故选项A是在作角平分线，不符合题意；
B.如图，
由作图得，
∴
∴
∴
∴平分
故选项B是在作角平分线，不符合题意；
C.如图，
由作图知，点是R的中点，
∴
∴,
∴平分
故选项C是在作角平分线，不符合题意；
D.如图，
由作图知，与不一定相等，
∴与不全等，
∴
∴不平分，
∴不是的平分线，
故选：D．
4．（2024·浙江金华·二模）根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据角平分线的作法以及全等三角形的判定和性质逐一进行判断即可．
【详解】图①中，利用基本作图可判断平分；
在图②中，根据基本作图可得是的中点，不能判断平分；
在图③中，
根据作图可得，是半圆的直径，
∴
∴平分；
图④根据作法可知：
，，
在和中，，
，
，
，
，，
，
在和中，，
，
所以点到和的距离相等，
平分；
综上，只有图②不能判定平分，
故选：B．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，． 利用尺规在、上分别截取、，使 ；分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点；作射线交于点． 若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的作法，解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，根据平行四边形的性质和角平分线的作法，得出，进而得到，在直角三角形中，先求出，，再结合勾股定理，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，，
，，，
，
由作法可知，平分，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
故选：C
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：第一步，以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】A
【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的“三线合一”定理，勾股定理，由等腰三角形的“三线合一”定理得到，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：由作法得是的平分线，
，
，，
在中，
．
故选：A．
7．（2023·浙江·一模）如图，在△ABC中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的面积，再利用三角形中线的性质求解，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【详解】解：∵，平分，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8．（2023·浙江湖州·二模）如图，在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作圆弧，与，延长线分别交于，两点；②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点；③过点，作射线．则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】根据作图步骤可得平分，故，即可求得．
【详解】在中，，
故
根据作图步骤可得平分
故
故选：B．
9．（2023·浙江杭州·一模）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据尺规作图得到为的角平分线，垂直平分，即可证得，根据相似三角形对应边成比例求出，最后根据勾股定理求出．
【详解】解：根据题意得为的角平分线，垂直平分，
∴，,
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
题型二：尺规作图-----作平行线（高频考点）
1．（2023·浙江台州·一模）过直线外一点作的平行线，下列尺规作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析每个选项的作图，再根据平行线的判定定理求解．
【详解】解：A：作角等于已知角，通过转化为同旁内角相等，不一定平行，故A是错误的，不符合题意；
B：作角等于已知角，是同旁内角相等，不一定平行，故B是错误的，不符合题意；
C：作角的平分线和等腰三角形，但是不能得到内错角相等，不一定平行，故C是错误的，不符合题意；
D：过P作l的垂线，又作平角的平分线，得到同位角相等，一定平行，故D是正确的，符合题意；
故选：D．
2．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．
【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行判定，不符合题意；
C、是角的平分线作图，无法判定，符合题意；
D、
，
根据基本作图，以的点Q为圆心，以为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到
故都等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
故选：C．
3．（2023·浙江嘉兴·一模）尺规作图：过直线AB外一点P作直线AB的平行线，下列作法错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．
【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据尺规作图可得，，
四边形为菱形，可得，选项不符合题意；
C、根据尺规作图可得：，平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴
选项不符合题意；
D、根据尺规作图可得，垂直平分，且
根据条件得不出，选项符合题意；
故选：D
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度．
【答案】64
【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了平行线的性质；利用基本作图得到，再根据平行线的性质得到即可求解．
【详解】
由作法得：
∵
∴
∴
故答案为：64．
5．（2024·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，D为的中点．
(1)用一把没有刻度的直尺和圆规，在上作出一点E，使（保留作图痕迹）．
(2)若△ADE的周长为9，四边形的周长为17，求的长．
【答案】(1)见详解(2)4
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点D作一个角等于，先以点B为圆心，适当长度为半径画弧交于点G，以及交于一点，再以点D为圆心，同样长度为半径画弧，交于点H，以点G为圆心画弧，再以点H为圆心同样长度为半径画弧交于点F，连接并延长交于一点E，因为，所以；
（2）先证明，得出，再设的长为x，结合周长的条件列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：上作出一点E，使，如图所示：
（2）解：由（1）得出
∴
∵D为的中点．
∴
∴设的长为
则
∵的周长为9，四边形的周长为17，
∴
∴
解得
∴的长为4．
6．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则；
（2）根据平行线的性质得出，，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
，
∴．
题型三：尺规作图-----作垂线（高频考点）
1．（2024·浙江嘉兴·三模）在△ABC中， ， 小豪作图过程如下∶
（1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶
（2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E：
（3） 作射线 交 于点 F．
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查作图，作等腰三角形和垂直平分线，根据作图可知，结合垂直即可知射线垂直平分线段，其余选项均无法确定．
【详解】解：∵以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结，
∴，
由作图知，点E在线段的垂直平分线上，则射线垂直平分线段，
故D正确；
∵无法确定和的关系，
∴A和D无法确定；
只能确定和的关系，无法确定和的关系，则C无法确定；
故选D．
2．（2024·浙江杭州·二模）如图，是△ABC的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，设交于点，设的面积为，根据作图可知：垂直平分，再根据是△ABC的角平分线，证明四边形是菱形，得，，继而得到，，，由相似三角形的判定和性质得，，得到，，再计算，可得结论．
【详解】解：如图，设交于点，设的面积为，
根据作图可知：垂直平分，
∴，，，
∴，
∵是△ABC的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
3．（2024·浙江温州·二模）如图，在△ABC中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线及其性质，勾股定理及逆定理的应用，由作图可得，垂直平分，则有，通过得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·浙江金华·模拟预测）已知Rt，过点作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
根据尺规作图及相似三角形的判定方法即可一一判断
【详解】解：①由作图可知：，，又，故与相似，故本图符合题意；
②由作图可知： ,，又，故与相似，故本图符合题意；
③由作图可知：以为直径的圆与交于点D,即,，又，故与相似，故本图符合题意；
故选：D．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图所示的，进行以下操作：①以A，B为圆心，大于为半径作圆弧，相交点D，E；②以A，C为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点F，G．两直线，相交于外一点，且分别交点M，N．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质得，，进而可得，，求出，再由四边形内角和求出即可.
【详解】解：由作图步骤可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∵
∴，
故选： B．
6．（2023·浙江杭州·二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
【答案】C
【分析】根据作图可知：点在线段的中垂线上，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：由题意，得：点在线段的中垂线上，
∴，
∴是等腰三角形；
故选项C一定正确，
故选C．
7．（2023·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知△ADE的周长为13，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】首先根据尺规作图得到，是的垂直平分线，进而得到，然后根据△ADE的周长为13求解即可．
【详解】由题意得，，
是的垂直平分线
∴
∵△ADE的周长为13，
∴
∴，即，
∴．
故选：B．
8．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，． 按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与的两边分别交于、两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作两弧相交于点，过、两点作射线；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于、两点，过点、作直线分别交射线、边于点、．则的长是
【答案】
【分析】本题考查了作角平分线，垂直平分线，等腰三角形的性质以及勾股定理，根据作图得出，连接，可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，如图所示
∵是的垂直平分线，
∴
∴
∵
∴
又是等腰直角三角形
∴，
∴
∴，
故答案为：．
9．（2023·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则 ，的长为 （用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】由题干的作图步骤可知：，，即，由菱形的性质可得则可利用勾股定理求得，从而求得．
【详解】解：依题意．题中作图为作边垂直平分线，
∴，，即，
∴，即，；
∴；
四边形为菱形，
，，，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为，．
题型四：尺规作图-----格点作图题（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）图①，图②均是的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出线段，使垂直平分，且点E，F均在格点上．
(2)在图②中△ABC的边上找到一点P，连结，使．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题考查利用网格作图，作垂直平分线以及根据三角形的面积作图．
（1）根据菱形得性质，利用网格寻找使的格点，连接，即可满足垂直平分．
（2）由题意可知， 当时即可满足条件， P需要是的三等分点，利用网格绘制三条相等的平行线， 最下面的平行线与的交点即为点P．
【详解】（1）解：如下图即为所求：
（2）由题意可知， ，
当时即可满足条件．
∴P需要是的三等分点，
如下图，绘制三条相等的平行线，最下面的平行线与的交点即为点P．
2．（2024·浙江温州·一模）如图的网格中，△ABC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
(1)请在图1中画出△ABC的高．
(2)请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求；
（2）取格点，连接交于，点就是所求的点．
【详解】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
（2）解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
3．（2025·浙江湖州·一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
(1)如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得．
(2)如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
(3)如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）．
【答案】(1)图见解析（答案不唯一）
(2)图见解析（作法不唯一）
(3)图见解析（作法不唯一）
【分析】本题考查了勾股定理和网格、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据勾股定理和网格可得，再结合网格画出格点即可得；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分作图即可得；
（3）先连接，交于点，再连接，并延长交于点，然后连接，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，格点和线段即为所求（答案不唯一）．
．
（2）解：如图，点即为所求（作法不唯一）．
．
（3）解：如图，点和四边形即为所求（作法不唯一）．
．
4．（2024·浙江金华·二模）如图，在的网格中，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．
(1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E；
(2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）取格点E，连接，，则，可证四边形是平行四边形，则过中点D，故点B、E关于点D成中心对称，即可求解；
（2）先利用平移的性质作出，取格点M，N，连接，，交于即可．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求，
理由：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，互相平分，
∵网格横线互相平行，
∴，即D是中点，
∴D也是中点，
∴B、E关于点D成中心对称；
（2）解：如图，线段，点即为所求，
理由：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，而，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，B关于对称．
5．（2024·浙江宁波·一模）在的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求作图．
(1)在图1中，作线段，使得，且在格点上；
(2)在图2中，作线段，使得平分，且在格点上．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用平行线的判定画出图形；
（2）取格点E，构造平行四边形，连接即可．
【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2中，线段即为所求．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平分．
题型五：尺规作图-----四边形问题（高频考点）
1．（2024·浙江嘉兴·三模）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹．
(1)在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形；
(2)在图2中，作出的平分线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定等知识，根据图中的信息求的长作于之平行且相等的线段和求的长构造等腰三角形是解题的关键．
（1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果；
（2）有图可知，构造等腰三角形，根据三线合一可得的平分线．
【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求的平行四边形．
理由：由图可知，过点找到，且，
，，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图所示，即为所求的角平分线．
理由：如图，根据勾股定理可得：，
延长到，使得，连接，
由图可得：是中点，
在等腰三角形中，由三线合一可得：
平分，
即为的平分线．
2．（2024·浙江温州·三模）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形．
(1)在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5；
(2)在图2中画一个以为中位线的格点三角形．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解．
（1）根据平行四边形的面积为5，可先构造一个底为5，高为1 的三角形，进而可作出平行四边形．
（2）先以A为中点构造边，连接并延长，即可找到F点，连接即可．
【详解】（1）
如图， ，
，
即为所求；
（2）
如图，A点为的中点，B点为的中点，
∴是的中位线，
∴即为所求．
3．（2024·浙江宁波·一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
(1)在图1中画出一个以为边的，且点C和点D均在格点上；
(2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质及平行四边形的性质作图；
（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，菱形即为所求；
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在的方格纸中，线段的两个端分别落在格点上，请按要求画图：
(1)在图1中画一个格点四边形，且与垂直．
(2)在图2中画一个以为中位线的格点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查根据要求作出符合条件的图形，关键是理解题意，灵活利用相关知识解决．
（1）根据要求作图图形即可（例如菱形的对角线互相垂直）；
（2）根据三角形中位线的定义作图即可；
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作（答案不唯一）；
（2）解：如图，即为所求作（答案不唯一）；
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）图、图均是的正方形网格，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．
(1)在图中以线段为边画一个正方形；
(2)在图中以线段为边画一个平行四边形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（）根据正方形的判定进行画图即可；
（）根据平行四边形的判定进行画图即可；
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，
由网格特征得，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴正方形即为所求；
（2）如图所示，
由网格特征得，，
∴四边形是平行四边形，
∴即为所求．（答案不唯一）
6．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点．
(1)用直尺和圆规作的平分线交于点．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查作角平分线和平行四边形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）根据作角平分线作法画图即可；
（2）由平行四边形性质可得，再证明即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
平分平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
7．（2025·浙江金华·模拟预测）尺规作图问题：
如图，已知，用尺规作图方法作以为邻边的平行四边形．
(1)如图，根据作图痕迹，判定四边形为平行四边形的依据是什么？
(2)在图中，请你再作一个平行四边形（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）
【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)见解析
【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解答本题的关键是掌握平行四边形的判定．
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造平行四边形即可．
【详解】（1）解：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
判定四边形为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示：
．
8．（2024·湖北武汉·一模）如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1.点，，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示.
(1)在图（1）中，画一个格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，使；并在上画一个点，使得四边形的面积为；
(2)在图（2）中，若点是上任一点，画出将线段绕点逆时针旋转后得到的线段
【答案】(1)图见解析(2)图见解析
【分析】（1）在点的右侧，确定一点，使得，即可求解；通过构建菱形使得，构建平行四边形使得，即可求解；菱形的对角线与的交点即为点；
（2）取格点、，连接，使得，，取格点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点，即为所求．
【详解】（1）解：如图：
作法：取格点，连接、，使得；取格点，使得，取格点，连接、，使得，连接、，交点为，取格点，使得，取格点，使得，连接与交点即为点；与交点．
理由：取格点，连接、，使得；取格点，使得，取格点，连接、，使得，连接、，交点为，取格点，使得，取格点，使得，连接与交点即为点；与交点．
∵，，
∴四边形为平行四边形．
在中，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，过点作，
则，
则，
，
则四边形的面积为．
（2）解：如图：
作法：取格点、，连接，使得，，取格点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点，即为所求；
理由如下：取格点、，连接，使得，，取格点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点，
∵，，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴点是的中点，
即垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
即线段绕点逆时针旋转后得到的线段，
∵，
故线段绕点逆时针旋转后得到的线段．
9．（2023·浙江金华·三模）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形；
(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】此题考查尺规作图和菱形的判定：
（1）连接矩形的对角线交于点O，连接，分别延长交矩形的对边于点E，F，即可求解；
（2）连接矩形的对角线交于点O，连接，分别延长交矩形的对边于点G，再作的垂直平分线，分别交矩形的两边于点P，H，即可求解；
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求．
10．（2023·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图．
(1)在图中作一个以点A，B，C，D为顶点的格点四边形，且该四边形为中心对称图形．
(2)在图中找一个格点E，连结，使将△ABC的面积分为．
【答案】(1)图见解析（不唯一） (2)图见解析（不唯一）
【分析】（1）取格点，连接，构造平行四边形即可；
（2）取格点，连接交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：取格点，连接，如图，四边形即为所求；
（2）解：取格点，连接交于点，点即为所求，如图：
由图可知：，
∴，
∴，
∴；
故点即为所求．
11．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图.
(1)在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上.
(2)在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质作出图形即可（答案不唯一）；
（2）作出边长为的菱形即可．
【详解】（1）解：如图中，矩形即为所作；
（2）如图中，矩形即为所作；
12．（2024·浙江温州·三模）在如图所示的6×6方格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．②保留作图痕迹．
(1)在图1中找出格点D使得四边形ABCD为平行四边形；
(2)在图2中，在BC边上作点E，使得S△ABE＝S△ABC．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定作出图形即可．
（2）取格点M，N，连接MN交BC于点E，连接AE，点E即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求．
（2）解：如图2中，点E即为所求．
题型六：尺规作图-----角度相等问题（高频考点）
1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在内寻找格点，使得．
(2)如图2，在线段上找一点，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
（1）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
（2）分别取格点，，使，且，连接，交于点，结合相似三角形的判定与性质，即可求解；
【详解】（1）如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
则点即为所求．
（2）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点，
则，
，
则点即为所求；
2．（2024·浙江·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，△ABC的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在线段上找一点，使得．
(2)如图2，在三角形内寻找格点，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
（1）分别取格点，，使，且，连接，交于点，结合相似三角形的判定与性质，即可求解；
（2）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
【详解】（1）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点，
则，
，
则点即为所求；
（2）如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
则点即为所求．
3．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．
(1)在△ABC的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求；
（2）取格点，满足，则即为所求，
【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之比为．
（2）解：如图，格点即为所求，
理由：连接并延长，为上点，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
4．（2024·浙江温州·二模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是边上一点，射线．
(1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，连接，结合等边三角形的性质以及全等三角形的判定可得，则，则线段即为所求．
（2）由（1）得．结合平行线的性质可得，进而可得，再由三角形外角的性质可得．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求．
由作图可知：．
∵△ABC是等边三角形，，
∴，，
∴，
则，
则线段即为所求．
（2）解：如图，
由（1）得．
∵，
∴，
∴ ．
在等边△ABC中， ．
∴，
∴．
5．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)如图，在上找一点，连接，使；
(2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法．
（1）根据中位线性质即可得到；
（2）用无刻度直尺作垂线即可得到．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
依题得：点是中点，
取中点，连接，
此时是中位线，
，
．
（2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求．
此时，
即，
又中，，
．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得
【答案】见解析
【分析】本题考查格点作图题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定和性质解决问题即可．
【详解】解：如图，即为所求，
7．（2024·浙江温州·一模）如图，在8×8的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出，使得，且点D为格点．
(2)在图2中画出，使得，且点E为格点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的性质作出与全等即可得到答案；
（2）如图，取格点，连接，，，且，由全等三角形的性质可得，，设，则，由网格图可得，可得，结合内角和可得：，则，再确定关于直线的对称点即可．
【详解】（1）解：如图，D，，即为所求．
（2）如图点E，即为所求．
8．（2023·浙江衢州·二模）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图：
(1)在图1中作△ABC的中线．
(2)在图2中找一格点，连接，使与互补．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）如图，连接与交点即为中点D，连接即可；
（2）如图，过点A作，则点E即为所作．
【详解】（1）如图，点D即为所作，
（2）如图，点E即为所作，
9．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺分别画图：
(1)在图1中，过点作边上的高，并在图中找一格点使得；
(2)在图2中，在上作点，使；
(3)在图3中，点为与网格的交点，在上作点，使．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．
【分析】（1）根据三角形的高的定义，利用数形结合的思想作出高即可，连接，则点即为所求∶
（2）取格点，连接交于点，点即为所求构造等腰直角三角形解决问题；
（3）取格点，连接交于点，点即为所求构造等腰直角三角形解决问题．
【详解】（1）解∶如图1中，线段，点即为所求；
（2）解：如图2中，点即为所求；
（3）解：如图3中，点即为所求．
10．（2023·浙江金华·一模）如图是由小正方形组成的的网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
(1)在图1中的上画出△ABC的高线；
(2)在图2中的上找出一点E，画线段，使与面积比为两部分；
(3)在图3中的上找一点F，画，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）先判断出，进而边上的高也是边的中线，所以找出的中点即为垂足，而中点利用矩形的对角线的交点即为中点，进而可作出高线；
（2）在线段上截取，连接即可；
（3）先判断出，利用格点找到T点，连接(使)交于点F，点F即为所求作．
【详解】（1）解：，，
，
是等腰三角形，
如图：即为所求；
（2）解：在线段上截取，则，
与面积比即为．
如图：即为所求；
（3）解：如图：点F即为所求．，，是公共角，
，
又，
．
题型七：尺规作图-----作线段相等（高频考点）
1．（2023·浙江温州·三模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中以AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD．
(2)在图2中以点E为顶点画一个菱形EFGH，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）先作，再顺次连接四条边即可；
（2）先求出四边形的面积，再求菱形的对角线，再作出对角线，最后顺次连接四条边．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）如图，菱形即为所求．
2．（2024·浙江宁波·一模）在如图所示的12个小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
(1)在图1网格中找格点D，作射线，使得；
(2)在图2网格中找格点E，作直线交AC于点Q，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）找出格点D，利用等腰直角三角形的性质得到即可；
（2）找出格点E，利用相似三角形的判定和性质求得，即可．
【详解】（1）解：如图，格点D，射线即为所作，
；
（2）解：格点E，直线即为所作，
∵，，，，，
∴，
∴，即，
∴，，
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)若，请在图1中的边上找点，使；
(2)如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使．
【答案】(1)图见解析；(2)图见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点为中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
又∴，
∴，
∴；
（2）解：连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴，
∵点为的中点，，
∴是的中位线，
∴点是的中点，
∴是和的中位线，
∴，
∴．
4．（2024·浙江台州·二模）如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点均在格点上．
(1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得；
(2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查用无刻度直尺作图，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
（1）连接交于，由四边形为矩形，是其对角线的交点，则点即为所求；
（2）连接交于点，由得，故，即，所以点即为所求．
【详解】（1）解：如图，连接交于，则点即为所求，
四边形为矩形，是其对角线的交点
；
（2）如图，连接交于点，则点即为所求，
．
5．（2024·浙江温州·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
(1)在图1中作点Q，使得；
(2)在图2线段上作点P，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的性质合理添加辅助线是解题关键．
（1）根据矩形的性质“对角线互相平分”，取矩形对角线交点即可；
（2）根据相似三角形的性质“相似三角形对应角相等，对应边成比例”，作图即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，交于点，则点即为所求；
四边形由3个的网格组成的矩形，点是对角线，的交点，
，
点即为所求的点．
（2）解：如图2，连接，交于点，则，点即为所求；
，
，，
，
，
，，
，
点即为所求的点．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在的方格中，△ABC的顶点均为格点．请按照下列要求，只用直尺画出相应的图形，
(1)请在图①中画出一个格点，使．（画出一个即可）
(2)请在图②中画出一个格点，使．（画出一个即可）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】
本题考查限定工具作图—无刻度直尺作图，掌握勾股定理和全等三角形的知识是解题的关键．
（1）取格点D，连接，则；
（2）取格点E，连接，则．
【详解】（1）如图，则点即为所作；
（2）如图，点即为所作．
7．（2023·浙江温州·三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点． 请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，作图痕迹用虚线表示．注：图1、图2均在答题卡中．
(1)请在图1中的边上画点，使．
(2)请在图2中的边上画点，使．
【答案】(1)见解析(2)见解析（答案不唯一）
【分析】（1）取格点F，连接交于点，根据相似三角形的判定和性质可得到；
（2）取格点M、N，构成正方形，连接与格线的交点，该直线交于点，利用正方形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，点即为所作，
；
（2）解：如图，点即为所作，
．
8．（2023·浙江宁波·三模）在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中边上画点D，使得．
(2)在图2中作△ABC的高．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据所在的矩形，为对角线，与对角线的交点靠近点处，使得．
（2）可以利用勾股定理逆定理来求解即可．
【详解】（1）解：如图
（2）解：如图，
，
，
，
，
9．（2023·浙江温州·三模）如图，的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画出四边形，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段，使得，且．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解即可；
（2）根据题意和表格的特点求解即可．
【详解】（1）如图所示，四边形即为所求作四边形．
（2）如图所示，即为所求．
10．（2023·浙江湖州·二模）已知，在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．在的网格图中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的真尺按要求画图．
(1)在图1中画出，使得与△ABC全等，点D在格点上（画出一个即可）；
(2)在图2中画出线段垂直平分，且，点P，Q在格点上．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的性质作出图形即可；
（2）利用全等三角形的判定和性质作出图形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作（答案不唯一），
；
（2）解：如图，线段即为所作，
．
11．（2024·浙江衢州·一模）在如图的网格中使用无刻度直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹）
(1)在图（1）中，N是边的中点，连接，在边上画一点G，使得．
(2)在图（2）中，在上找一点M，使；
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）将向左平移1个单位至处，借助网格和，找到的中点，找到点，连接，将向左平移1个单位至，连接、，与的交点即为．
（2）如图，可得即，两个三角形同高可得．
【详解】（1）将向左平移1个单位至处，借助网格和，找到的中点，找到点，连接，将向左平移1个单位至，连接、，与的交点即为，则有，
，
；
（2）如图，
，
，
，
．
题型八：尺规作图-----圆的相关问题（高频考点）
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点．
(1)利用无刻度的直尺在图1中画出△ABC的中线．
(2)在图2中标出△ABC的外心Q并画出△ABC外接圆的切线．
【答案】(1)图见详解；(2)图见详解；
【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线：
（1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案；
（2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案；
【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求，
；
（2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求，
．
2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中找出所有合适的格点，使得．
(2)在图2中找出所有合适的格点，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）作△ABC的外接圆，根据同弧所对的圆周角相等及轴对称的性质，即可找到所有合适的格点；
（2）作△ABC的外接圆，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及轴对称的性质，即可找出所有合适的格点．
【详解】（1）解：如图1，作△ABC的外接圆，可找到外接圆上格点，，符合题意，再以为对称轴，作，，的对称点，方格纸上只能找到的对称点符合题意；
（2）解：如图2，作的外接圆，圆心符合题意，再以为对称轴，可找到的对称点符合题意；
3．（2025·浙江温州·一模）根据要求作图并证明．
(1)如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径；
②作的垂直平分线交于点C，D；
③连结，得到．
(2)根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，
对于（1），过圆心画一条直径，再分别以点O，B为圆心，以大于为半径画弧，然后过两个交点画直线，与交于点C，D，连接，则就是所求作的三角形；
对于（2），连结，，根据垂径定理得，即，再说明是等边三角形，可得，然后根据圆周角定理得，可求出，则结论可证.
【详解】（1）解：图1即为所作图形．
（2）解：如图2，连结OD，BD．
∵是的中垂线，为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
4．（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图，△ABC的顶点、在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
(2)如图，在△ABC中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
若，则 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析，．
【分析】（）延长交圆于，连接并延长，交圆于，根据相似三角形的判定方法即可求证；
（）过点，作的垂线即可；
由，，可得，而点在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明 ，即可作答．
【详解】（1）解：延长交圆于，连接并延长，交圆于，
如图，
理由：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图：过点，作的垂线，
∴直线即为所求直线；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为的直径，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
5．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知在△ABC中，
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若，，切于点，求劣弧的长．
【答案】(1)作图见解析 (2)
【分析】（1）作的平分线，与的交点就是圆心P，此时以为半径的与，两边都相切；如图，作的垂线，证明和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：即可．
（2）要想求劣弧的长，根据弧长公式需求圆心角的半径的长，利用四边形的内角和求，再进一步求解，代入公式可求弧长．
【详解】（1）解：作的角平分线交于点P，以点P为圆心，为半径作圆即可．
（2）解：如图，∵P与，两边都相切，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴劣弧的长．
6．（2024·浙江·模拟预测）尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，
（1）根据小明的作图方法证明即可；
（2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
7．（2024·浙江台州·三模）已知的直径弦于点E，E在半径上．
(1)在图1中用尺规作出弧的中点F（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)如图2，连接，过点F作的切线，交的延长线于点G．求证：．
(3)在（2）的条件下，若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据垂径定理，作弦的垂直平分线即可；
（2）连接，根据切线的性质及垂径定理可知，，，进而可证明结论；
（3）连接，根据垂径定理得，根据勾股定理即可求得，，则，，由此可得，可得，，过点D作于点P，再证四边形是矩形，得，，由，可知，得，进而可求得的长度．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵切于点F，
∴，
由（1）得点F是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，
∵是直径，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∵是半径，，
∴，
∴，，
过点D作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2024·浙江·二模）如图是的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
(1)找出△ABC的外接圆的圆心，并求的长．
(2)在圆上找点，使得．
【答案】(1)图形见解析，；(2)见解析．
【分析】本题考查三角形的外接圆、弧长公式和圆的性质，
（1）根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点即可找到圆心；
（2）作直线平行，交圆于点D和E，得到等腰梯形，从而得到，再根据，即可得到点D即所求点．
【详解】（1）解：如图点就是所求作的圆心，
∵半径，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，作直线平行，交圆于点D和E，
得到等腰梯形
可得，
从而．
9．（2023·浙江金华·一模）如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形外心的定义画出图形即可．
【详解】解：如图，点O即为所求．
10．（2023·浙江台州·二模）如图，点A、B、C、D是上的点，为直径，．
(1)求证：点C平分．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接，根据得出，，再根据得出，再根据等量代换得到，即可证明出点C平分；
（2）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与圆心交于一点即为的中点P．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
点C平分．
（2）解：如图
11．（2023·浙江台州·一模）如图，正方形的边长为，点E在上，．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度（单位：）沿着EF方向从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与相切，半径r（单位：m）与满足关系（k为常数）．如图1，当时，粒子恰好从点A处射出磁场．
(1)①求常数k的值；
②若或6，粒子在磁场中的运动时间分别为，，请比较，的大小．
(2)如图2，若粒子从边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心О（保留作图痕迹）．
(3)该种粒子能否从边上射出磁场﹖若能，请求出的取值范围；若不能，请写出理由．
【答案】(1)①；②(2)详见解析(3)
【分析】（1）利用公式直接代值求解即可；
（2）画出弧形路径的其中一条弦的垂直平分线与直线AB的交点即可；
（3）做辅助线，构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）①半径．
∵，∴．
②，，
∴
（2）
（3）假设粒子从点D射出磁场时，弧形路径的半径为r，
则有，解得．
此时，．
∴若粒子从边上射出磁场，应满足．
1．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图作一个角等于已知角；尺规作图作角的平分线；尺规作图垂直平分线，利用作一个角等于已知角判断A，利用等腰三角形与角平分线角度转换判断B，利用菱形的性质判断C，利用垂直平分线的性质检验D．
【详解】解：A．根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，不符合题意；
B．此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，不符合题意；
C．如图所示，
由题意可得，
∴四边形是菱形
∴，不符合题意；
D．作出线段的垂直平分线，无法证明平行，符合题意．
故选：D．
2．（2024·浙江·三模）在△ABC中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案．
【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意；
B、，
a，b，c三线段能作组成三角形，
根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
D、如图2，在△ABC中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意．
故选A．
3．（2024·浙江温州·二模）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（ ）
A．的度数 B．的度数
C．的度数 D．的度数
【答案】C
【分析】本题考查了作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由作图可知：，，利用等边对等角和三角形内角和定理可求出，即可求解．
【详解】解：由作图可知：，，
∴，，
∴
，
故要求的度数，则只需知道的度数，
故选：C．
4．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知平行四边形，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】证明，则可知点P在线段的垂直平分线上，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
∴只有选项D中的作图方法符合题意，
故选D．
5．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
6．（2024·浙江金华·一模）如图，已知ABCD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若，则的度数可以用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由作图可知：AC=AE，CE⊥CE，所以∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，则∠CGE+∠ECG=90°，所以∠ECG=90°-α，再根据平行线的性质得∠AEC=∠ECG=90°-α，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：由作图可知：AC=AE，CE⊥CE，
∴∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，
∴∠CGE+∠ECG=90°，
∴∠ECG=90°-α，
∵ABCD，
∴∠ACE=∠AEC=∠ECG=90°-α，
∴∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-2∠AEC=180°-2(90°-α)=2α，故D正确．
故选：D．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知线段 ，分别以点 A、点 B 为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点 C，连结，则 ．
【答案】
【分析】本题考查基本作图、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，根据作图判断出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：由作图知，
△ABC是等边三角形，
，
，
故答案为：．
8．（2024·浙江台州·二模）如图，在△ABC中，，进行如下操作：①以点B 为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 M；③ 作射线交于点D，则的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查了复杂作图，掌握三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键．先根据三角形的内角和求出，再根据角平分线的性质及外角定理求解．
【详解】解：，，
，
由作图得：平分，
，
，
故答案为：．
9．（2024·浙江湖州·二模）如图，在△ABC中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度．
【答案】
【分析】本题考查的是角平分线的作图与含义，三角形的外角的性质，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
10．（2024·浙江湖州·一模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点F，G；以点A为圆心，长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点I；连接并延长，交于点M，交于点P，连接，若N为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】/
【分析】根据正方形的性质得到，，由作图知，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由作图知，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴，
11．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点和点，交半径于点，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
【答案】/
【分析】根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据余弦的定义求出，进而求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可．
【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴扇形的弧长为：，
∴圆锥的底面半径为：，
故答案为：．
12．（2025·浙江杭州·一模）如图1，在△ABC中，，是的平分线．用尺规作，E是边上一点．
小明：如图2．以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小丽：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了!
(1)给出小明作法中的证明．
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】题目主要考查基本作图及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出，再由等腰三角形三线合一即可证明；
（2）根据题意以点D为圆心，长为半径作弧与边可能会有两个交点，其中一个交点与点C的连线不垂直于．
【详解】（1）解：设与交于点F，由题意得：
∵是的平分线，
∴，
∴即．
（2）如图，以点D为圆心，长为半径作弧与边可能会有两个交点，其中一个交点与点C的连线不垂直于．
13．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，，线段的长为．
(1)作出△ABC的高线．（要求：尺规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹）
(2)求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查尺规作垂线、解直角三角形，正确作出高线是解答的关键．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图即可；
（2）设，利用锐角三角函数分别求得、即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作：
（2）解：设，
由作图得，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵线段的长为，
∴，
解得，
∴，，
∴．
14．（2025·浙江温州·一模）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
(1)按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
(2)小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
【答案】(1)见解析(2)正确，证明见解析
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
15．（2025·浙江衢州·一模）小明研究一道尺规作图题：作△ABC一边上的高线．他的作法如下：如图，在△ABC中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
(1)你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
(2)若，，，求△ABC的面积．
【答案】(1)同意，证明见解析(2)9
【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，中垂线的判定，勾股定理：
（1）根据作图可知：，进而得到垂直平分，即可得证；
（2）勾股定理求出，再利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
16．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC中，，于D．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连结，判断和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了尺规作图：作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是关键．
（1）按作线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可；
（2）由等腰三角形的性质知，A点在线段的垂直平分线上，则，由垂直平分线的性质，则，由三角形外角的性质得．
【详解】（1）解：线段的垂直平分线如下图所示；
（2）解：；
理由如下：
是线段的垂直平分线，
，，
，
A点在线段的垂直平分线上，
，，
，
；
，
，
由三角形外角的性质得．
17．（2024·浙江宁波·三模）如图，在的方格纸中，有△ABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使△ABC与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）构造平行四边形即可；
（2）取格点，，连接交于点，连接即可（利用相似三角形的性质,证明:）．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；
（2）如图2中，点即为所求．中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题04 尺规作图（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题尺规作图分析
解答题第21题：考查尺规作图，分值8分，难度中等；命题方向主要以以下两个方面为主，①基础操作结合几何证明(占比约40%)（如作角平分线后证明线段相等，或作垂线后结合勾股定理计算）；②综合应用题，例如格点作图、无刻度直尺作图(如菱形、平行四边形的构造)等。
题型一：尺规作图-----作角平分线（高频考点）
1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江金华·二模）根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，． 利用尺规在、上分别截取、，使 ；分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点；作射线交于点． 若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：第一步，以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
7．（2023·浙江·一模）如图，在△ABC中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．7
8．（2023·浙江湖州·二模）如图，在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作圆弧，与，延长线分别交于，两点；②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点；③过点，作射线．则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．（2023·浙江杭州·一模）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
题型二：尺规作图-----作平行线（高频考点）
1．（2023·浙江台州·一模）过直线外一点作的平行线，下列尺规作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江嘉兴·一模）尺规作图：过直线AB外一点P作直线AB的平行线，下列作法错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度．
5．（2024·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，D为的中点．
(1)用一把没有刻度的直尺和圆规，在上作出一点E，使（保留作图痕迹）．
(2)若△ADE的周长为9，四边形的周长为17，求的长．
6．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：．
题型三：尺规作图-----作垂线（高频考点）
1．（2024·浙江嘉兴·三模）在△ABC中， ， 小豪作图过程如下∶
（1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶
（2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E：
（3） 作射线 交 于点 F．
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江杭州·二模）如图，是△ABC的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江温州·二模）如图，在△ABC中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
4．（2024·浙江金华·模拟预测）已知Rt，过点作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图所示的，进行以下操作：①以A，B为圆心，大于为半径作圆弧，相交点D，E；②以A，C为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点F，G．两直线，相交于外一点，且分别交点M，N．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
7．（2023·浙江温州·三模）如图，在△ABC中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知△ADE的周长为13，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，． 按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与的两边分别交于、两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作两弧相交于点，过、两点作射线；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于、两点，过点、作直线分别交射线、边于点、．则的长是
9．（2023·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则 ，的长为 （用含a的代数式表示）．
题型四：尺规作图-----格点作图题（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）图①，图②均是的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出线段，使垂直平分，且点E，F均在格点上．
(2)在图②中△ABC的边上找到一点P，连结，使．
2．（2024·浙江温州·一模）如图的网格中，△ABC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
(1)请在图1中画出△ABC的高．
(2)请在图2中在线段上找一点E，使．
3．（2025·浙江湖州·一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
(1)如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得．
(2)如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
(3)如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）．
4．（2024·浙江金华·二模）如图，在的网格中，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．
(1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E；
(2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点．
5．（2024·浙江宁波·一模）在的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求作图．
(1)在图1中，作线段，使得，且在格点上；
(2)在图2中，作线段，使得平分，且在格点上．
题型五：尺规作图-----四边形问题（高频考点）
1．（2024·浙江嘉兴·三模）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹．
(1)在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形；
(2)在图2中，作出的平分线．
2．（2024·浙江温州·三模）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形．
(1)在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5；
(2)在图2中画一个以为中位线的格点三角形．
3．（2024·浙江宁波·一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
(1)在图1中画出一个以为边的，且点C和点D均在格点上；
(2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在的方格纸中，线段的两个端分别落在格点上，请按要求画图：
(1)在图1中画一个格点四边形，且与垂直．
(2)在图2中画一个以为中位线的格点．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）图、图均是的正方形网格，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．
(1)在图中以线段为边画一个正方形；
(2)在图中以线段为边画一个平行四边形．
6．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点．
(1)用直尺和圆规作的平分线交于点．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形．
7．（2025·浙江金华·模拟预测）尺规作图问题：
如图，已知，用尺规作图方法作以为邻边的平行四边形．
(1)如图，根据作图痕迹，判定四边形为平行四边形的依据是什么？
(2)在图中，请你再作一个平行四边形（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）
8．（2024·湖北武汉·一模）如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1.点，，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示.
(1)在图（1）中，画一个格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，使；并在上画一个点，使得四边形的面积为；
(2)在图（2）中，若点是上任一点，画出将线段绕点逆时针旋转后得到的线段
9．（2023·浙江金华·三模）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形；
(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形．
10．（2023·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图．
(1)在图中作一个以点A，B，C，D为顶点的格点四边形，且该四边形为中心对称图形．
(2)在图中找一个格点E，连结，使将△ABC的面积分为．
11．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图.
(1)在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上.
(2)在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上.
12．（2024·浙江温州·三模）在如图所示的6×6方格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．②保留作图痕迹．
(1)在图1中找出格点D使得四边形ABCD为平行四边形；
(2)在图2中，在BC边上作点E，使得S△ABE＝S△ABC．
题型六：尺规作图-----角度相等问题（高频考点）
1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在内寻找格点，使得．
(2)如图2，在线段上找一点，使得．
2．（2024·浙江·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，△ABC的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在线段上找一点，使得．
(2)如图2，在三角形内寻找格点，使得．
3．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．
(1)在△ABC的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
4．（2024·浙江温州·二模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是边上一点，射线．
(1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数．
5．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)如图，在上找一点，连接，使；
(2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹）
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得
7．（2024·浙江温州·一模）如图，在8×8的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出，使得，且点D为格点．
(2)在图2中画出，使得，且点E为格点．
8．（2023·浙江衢州·二模）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图：
(1)在图1中作△ABC的中线．
(2)在图2中找一格点，连接，使与互补．
9．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺分别画图：
(1)在图1中，过点作边上的高，并在图中找一格点使得；
(2)在图2中，在上作点，使；
(3)在图3中，点为与网格的交点，在上作点，使．
10．（2023·浙江金华·一模）如图是由小正方形组成的的网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
(1)在图1中的上画出△ABC的高线；
(2)在图2中的上找出一点E，画线段，使与面积比为两部分；
(3)在图3中的上找一点F，画，使得．
题型七：尺规作图-----作线段相等（高频考点）
1．（2023·浙江温州·三模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中以AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD．
(2)在图2中以点E为顶点画一个菱形EFGH，使得．
2．（2024·浙江宁波·一模）在如图所示的12个小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
(1)在图1网格中找格点D，作射线，使得；
(2)在图2网格中找格点E，作直线交AC于点Q，使得．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)若，请在图1中的边上找点，使；
(2)如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使．
4．（2024·浙江台州·二模）如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点均在格点上．
(1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得；
(2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得 ．
5．（2024·浙江温州·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
(1)在图1中作点Q，使得；
(2)在图2线段上作点P，使得．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在的方格中，△ABC的顶点均为格点．请按照下列要求，只用直尺画出相应的图形，
(1)请在图①中画出一个格点，使．（画出一个即可）
(2)请在图②中画出一个格点，使．（画出一个即可）
7．（2023·浙江温州·三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点． 请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，作图痕迹用虚线表示．注：图1、图2均在答题卡中．
(1)请在图1中的边上画点，使．
(2)请在图2中的边上画点，使．
8．（2023·浙江宁波·三模）在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中边上画点D，使得．
(2)在图2中作△ABC的高．
9．（2023·浙江温州·三模）如图，的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画出四边形，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段，使得，且．
10．（2023·浙江湖州·二模）已知，在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．在的网格图中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的真尺按要求画图．
(1)在图1中画出，使得与△ABC全等，点D在格点上（画出一个即可）；
(2)在图2中画出线段垂直平分，且，点P，Q在格点上．
11．（2024·浙江衢州·一模）在如图的网格中使用无刻度直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹）
(1)在图（1）中，N是边的中点，连接，在边上画一点G，使得．
(2)在图（2）中，在上找一点M，使；
题型八：尺规作图-----圆的相关问题（高频考点）
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点．
(1)利用无刻度的直尺在图1中画出△ABC的中线．
(2)在图2中标出△ABC的外心Q并画出△ABC外接圆的切线．
2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中找出所有合适的格点，使得．
(2)在图2中找出所有合适的格点，使得．
3．（2025·浙江温州·一模）根据要求作图并证明．
(1)如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径；
②作的垂直平分线交于点C，D；
③连结，得到．
(2)根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
4．（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图，△ABC的顶点、在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
(2)如图，在△ABC中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
若，则 ．
5．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知在△ABC中，
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若，，切于点，求劣弧的长．
6．（2024·浙江·模拟预测）尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
7．（2024·浙江台州·三模）已知的直径弦于点E，E在半径上．
(1)在图1中用尺规作出弧的中点F（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)如图2，连接，过点F作的切线，交的延长线于点G．求证：．
(3)在（2）的条件下，若的半径为5，，求的长．
8．（2024·浙江·二模）如图是的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
(1)找出△ABC的外接圆的圆心，并求的长．
(2)在圆上找点，使得．
9．（2023·浙江金华·一模）如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹）
10．（2023·浙江台州·二模）如图，点A、B、C、D是上的点，为直径，．
(1)求证：点C平分．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）
11．（2023·浙江台州·一模）如图，正方形的边长为，点E在上，．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度（单位：）沿着EF方向从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与相切，半径r（单位：m）与满足关系（k为常数）．如图1，当时，粒子恰好从点A处射出磁场．
(1)①求常数k的值；
②若或6，粒子在磁场中的运动时间分别为，，请比较，的大小．
(2)如图2，若粒子从边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心О（保留作图痕迹）．
(3)该种粒子能否从边上射出磁场﹖若能，请求出的取值范围；若不能，请写出理由．
1．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江·三模）在△ABC中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2024·浙江温州·二模）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（ ）
A．的度数 B．的度数
C．的度数 D．的度数
4．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知平行四边形，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C． D．
6．（2024·浙江金华·一模）如图，已知ABCD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若，则的度数可以用表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知线段 ，分别以点 A、点 B 为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点 C，连结，则 ．
8．（2024·浙江台州·二模）如图，在△ABC中，，进行如下操作：①以点B 为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 M；③ 作射线交于点D，则的度数为 ．
9．（2024·浙江湖州·二模）如图，在△ABC中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度．
10．（2024·浙江湖州·一模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点F，G；以点A为圆心，长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点I；连接并延长，交于点M，交于点P，连接，若N为的中点，连接，则的长为 ．
11．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点和点，交半径于点，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
12．（2025·浙江杭州·一模）如图1，在△ABC中，，是的平分线．用尺规作，E是边上一点．
小明：如图2．以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小丽：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了!
(1)给出小明作法中的证明．
(2)指出小丽作法中存在的问题．
13．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，，，线段的长为．
(1)作出△ABC的高线．（要求：尺规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹）
(2)求的值．
14．（2025·浙江温州·一模）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
(1)按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
(2)小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
15．（2025·浙江衢州·一模）小明研究一道尺规作图题：作△ABC一边上的高线．他的作法如下：如图，在△ABC中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
(1)你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
(2)若，，，求△ABC的面积．
16．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC中，，于D．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连结，判断和的数量关系，并说明理由．
17．（2024·浙江宁波·三模）如图，在的方格纸中，有△ABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使△ABC与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
