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2025年浙江数学中考预测专项突破
专题05 一次函数与反比例函数（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题一次函数和反比例函数分析
选择题第9道：本题主要考查的是反比例函数的增减性，分值3分，难度：中等；根据反比例函数的性质可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，函数图象位于二、四象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而增大；
选择题第22道：本题主要考查的是一次函数的实际应用，分值10分，难度：中等；此题型主要结合图象进行分析，从图象中获取相关信息解题。
题型一：一次函数的图象与性质（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（ ）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了判断一次函数经过的象限，由一次函数解析式得出，，从而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵一次函数中，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限，
故选：C．
3．（2024·浙江温州·三模）一次函数的函数值随的增大而增大，当时，的值可以是( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征和一次函数性质，根据一次函数性质求出的范围，再由求出的范围，即可得到答案．
【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，
当时，，
故选：D．
4．（2024·浙江温州·二模）若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意得到，再结合一次函数的增减性，分，以及两种情况讨论的取值并判断，即可解题．
【详解】解：一次函数（）的图象经过点，，
，解得，
若，即时，则随的增大而增大，
，
，
故若，则 ；
若，即时，则随的增大而减小，
，
，
若，则有可能大于0，也可能小于0；
综上所述，若，则 ；
故选：A．
5．（2023·浙江湖州·模拟预测）若、是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意以及一次函数的性质判断出随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵、是一次函数图象上的不同的两点，，
∴该函数图象是随的增大而减小，
∴，
故选：B．
6．（2024·浙江杭州·一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
①图象过点 ②图象与轴的交点在轴下方 ③随的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，把点代入四个函数解析式中可知A、C、D中的函数都不经过点，而B中的函数图象经过点，再由B中一次项系数小于0，常数数小于0可知其满足②③的条件，据此可得答案．
【详解】解：A、在中，当时，，则函数不经过点，不符合题意；
B、在中，当时，，则函数经过点，且该函数与轴的交点在轴下方 ，随的增大而减小，符合题意；
C、在中，当时，，则函数不经过点，不符合题意；
D、在中，当时，，则函数不经过点，不符合题意；
故选：B．
7．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．在第二、四象限
C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．
【详解】解：A、当时，．所以图象不过，故错误；
B、因为，所以一次函数的图象在第一、三象限，故错误；
C、关于原点成中心对称，故错误；
D、因为，所以随的增大而增大，故正确．
故选：D．
8．（2024·浙江宁波·一模）一次函数，当时，y都大于0，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据当时，都大于0分析判断各项正误即可．
【详解】解：A、当，函数值应该大于0，故点不在直线上，不符合题意；
B、当，函数值应该大于0，故点不在直线上，不符合题意；
C、当，函数值为，故点可能在直线上，符合题意；
D、当，函数值应该大于0，故点不在直线上，不符合题意；
故选：C．
9．（2023·浙江衢州·二模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，则该函数图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出一次函数的解析式，然后判断一次函数图像不经过得象限解题．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∴
∴一次函数的图象过不经过第四象限，
故选D．
题型二：一次函数中取值范围问题（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键．
一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大，
所以得，
解得，即；
当时，y随x的增大而减小，
所以得，
解得，即．
故答案为：C．
2．（2025·浙江·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，分类讨论思想是关键．
根据一次函数图象的性质，分类讨论求解．
【详解】解：函数的图象上有两点，
当时，，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴，符合题意；
当时，即，，随的增大而减小，
∴，，
∴，
∴，不符合题意；
当，时，，，若，
∴，
解得，，
综上所述，当时，，
故选：A ．
3．（2024·浙江台州·模拟预测）已知点，在函数（k，b为常数，）上，下列说法正确的是（ ）
A．若，
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据题意画出图象，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小，
若，
当点，均在y轴的左侧时，，
此时；
当点，均在y轴的右侧时，，
此时；
当点，在y轴的两侧时，，
此时；故A选项正确，C错误；
根据题意得：，
设，画出图象如下：
观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小，
当时，，
当时，点在y轴的左侧，在y轴的右侧，此时无法比较的大小，故C，D选项错误；
故选：A
4．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可.
【详解】解：∵
∴函数的函数值随着x的增大而增大，
当时，则当时取得最小值，
即，
解得，
故选：A
5．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值．
【详解】解：当时，，，当，，
，
当时，，，当，，
，
的最小值为2，
最小值为，
，
当时，取得最小值，即，
，
由题意知，所以，
当时，，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
故选：D
6．（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与不等式的结合，熟练运用数形结合是解题的关键．画出大致图象，由函数的解析式求得最低点为，点关于直线的对称点为，由题意可知，解不等式即可．
【详解】解：函数的图象如图，
可知函数的最低点为，
点关于直线的对称点为，
当直线与图象有四个交点时，可得，
解得，
故选：B．
7．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，一次函数的性质等知识，由题意可知m，n为一元二次方程的两个实数根，且，根据根与系数的关系可知，，即 ，，再进行对和分类讨论得出，即可根据一次函数的性质求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和
∴m，n为一元二次方程的两个实数根，且，
∴，，
∵，
∴，，
即 ，，
∴，
当时，则，，则，则，
当时，则，，则，则，
∴当时，总有，，
∴直线一定经过一、二、三象限，一定不经过第四象限，
故选：D．
8．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用．
当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意．
【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图：
∴，即．
∴．
∴．
令，则，
∴，
记直线与y轴交于点，
又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧，
∴．
∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图：
又继续向左平移符合题意，符合题意，如图：
∴．
综上，或．
故选：D．
9．（2024·浙江·一模）已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，根据题意得到，，即，分；两种情况，分别利用不等式的性质和一次函数的性质进行求解．
【详解】解：∵抛物线和直线交于，两点，
∴，即，
∴，，
∵，且满足，
∴，，
∴，
当时，，即，
∴直线经过第一、二、三象限；
当时，，即，
∴直线经过第二、三、四象限，
综上，直线一定经过第二、三象限，
故选：B．
10．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，．当直线与△ABC有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数解析，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，分别将代入一次函数中求出b，即可得到b的取值范围．
【详解】解：将点代入直线中，得：，
∴，
将点代入直线中，得：，
∴，
将点代入直线中，得：，
∴，
∴要使直线与有交点，且，
∴．
故选：D．
11．（2023·浙江杭州·一模）已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例的性质列出解析式，根据一次函数经过的象限求得的范围，即可求解．
【详解】解：∵与成正比例，
∴，
即，
当时，，
即，
∴
∵若关于的函数图象经过二、三、四象限，
∴
解得：
∵
∴
即
解得： ，
故选：C．
题型三：一次函数与不等式的组合（高频考点）
1．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想求解是解答的关键．
根据图象得到与x轴的交点，求得图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴不等式的解集是，
故选：B．
2．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（ ）
A．当时，
B．当时，，
C．
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可．
【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意；
B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意；
C．由图象得：一次函数与的图像交于点，
∴，，
∴，
∴，故此选项符合题意；
D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．
根据图象得出，再由不等式的性质得出，再由图象确定交点为，即可求解．
【详解】解：根据图象得：，
∵，
∴，
当时，，
∴两直线的交点为，
∴当时，，
即的解集是．
故选：C．
4．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
先根据函数图象判断出的取值范围，用表示出的值，再用取特殊值法即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，，
∵的图象与轴交于，
∴当时，，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴．
故选：D．
5．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小 B．
C．当时， D．方程组的解为
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中）的图像分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图像所过象限，结合一次函数性质判断，，，与0的关系即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵一次函数与的图像都过一三象限，
∴，，
∵直线过第二象限和直线过第四象限，
∴，，且，
故选B．
7．（2024·浙江杭州·一模）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．
直接利用函数图象上点的坐标特征得出的值，再利用函数图象得出答案．
【详解】解：函数和的图象相交于点，
，
解得：，
故点坐标为：，
时，
，
则关于的不等式的解集为：．
故答案为：．
8．（2024·浙江温州·一模）如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式组，求出解析式是解题关键．将和点代入，求出、的值，进而得到，再将不等式组变形求解即可．
【详解】解：直线过点和点，
，解得：，
，
不等式组 可化为，
解得：，
故答案为：．
9．（2025·浙江杭州·一模）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系．满足关于的不等式就是直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
题型四：一次函数的实际应用（高频考点）
1．（2023·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键．
根据函数关系图算出前10分钟，甲的速度，乙的速度，可判断A；根据函数关系图即可得算出甲的平均速度，即可判断选项B；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过30分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项C；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过20分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项D．
【详解】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；
B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故此选项错误，不符合题意；
C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；
D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
2．（2024·浙江宁波·二模）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用，观察图象获取信息是解题的关键．在图中画出慢车距快车出发地甲的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系图象，观察图象即可求解．
【详解】解：在图中画出慢车距快车出发地甲的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示，
则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为5次．
故选：D．
3．（2024·浙江湖州·二模）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，先根据题意得出函数解析式为，然后再进行判断即可．
【详解】解：∵一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，
∴根据平衡条件可得：，
整理得：，
∴y是的正比例函数，
把代入得：，
∴图象经过点，
∴C选项的函数图象符合题意，
故选：C．
4．（2024·浙江舟山·一模）如图，是1个纸杯和个叠放在一起的纸杯示意图，个纸杯叠放所形成的高度为，设杯子底部到杯沿底边高，杯沿高（，均为常量），是的函数，随着的变化规律可以用表达式（ ）描述．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查一次函数的应用，根据题意列出解析式，H，a是常量，n，h是变量，直接判断即可．
【详解】解：由题可知，，
因为H，a是常量，n，h是变量，因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数．
故选：B．
5．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（ ）
A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：设段解析式为，将代入得，
，
解得：
∴
当时，，即
依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元
设线段的解析式为代入
∴
解得：
∴线段解析式为
依题意，
解得：
故选：D．
6．（2024·浙江嘉兴·一模）机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（ ）
A． B．15 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的实际应用，分过程探讨所需要的时间是解题的关键．根据题意设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，分别求出各个阶段所用时间，结合整个过程共耗时11分钟，得到，再计算出乘客直接走到终点，行李随着手扶电梯到达终点所用时间，作差即可．
【详解】解：设乘客的步行速度为，手扶电梯的速度为，则乘客在手扶电梯上朝终点的步行速度为，乘客在手扶电梯上朝起点的步行速度为，行李箱在手扶电梯上的速度为，
根据题意得：，，
，
，
，
，，
乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，
此时，时间过去：，
行李离起点的距离为，
乘客找回行李所用时间为：，
此时，乘客离终点的距离为：，
乘客找行李后，走到终点，所用时间为：，
整个过程共耗时11分钟，
，
整理得：，即，
若该乘客直接走到终点，则所用时间为：，
将代入，得：，
行李到达终点所用时间为：，
将代入，得：，
还需要等待，
故选：A．
7．（2023·浙江温州·模拟预测）一小型蓄水池入水孔和出水孔的工作速度均为每小时100立方米，某日工作时间如图所示，已知6点整蓄水池存水300立方米，记之后经过的时间为小时，蓄水池水量为立方米，下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，熟练掌握利用函数图象表示变量之间的关系和一次函数的图象是解题关键．分、和三种情况，分别求出与之间的关系式，再根据一次函数的图象特征即可得．
【详解】解：由题意可知，当时，此时出水孔在出水，入水孔未工作，
则，
当时，此时出水孔在出水，入水孔在入水，
则，
当时，此时出水孔未工作，入水孔在入水，
则，即，
由此可知，能近似刻画与之间的关系的图象是选项D，
故选：D．
8．（2023·浙江温州·三模）已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（ ）
A．2小时 B．小时 C．小时 D．3小时
【答案】B
【分析】先求得两直线的解析式，联立求解即可．
【详解】解：设的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴的解析式为，
设的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴的解析式为，
解方程，
解得，
答：两车相遇时，甲车行驶的时间是小时．
故选：B．
9．（2023·浙江衢州·模拟预测）快车和慢车同时匀速相向而行，快车从甲地到乙地，慢车从乙地到甲地，快车速度是慢车速度的1.6倍，两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示，则图中的 ．
【答案】3.9
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解决此题的关键是能根据慢车行驶4小时时，两车相遇，求出慢车的行驶速度．观察图象，两车之间的距离与慢车的行驶时间之间的感受图象，观察图象，根据慢车行驶24小时时，两车之间的距离为0，求出慢车的行驶的速度，再求出、的值，计算即可．
【详解】解：从图象可以看出，两地之间的距离是；
从图象中可以看出，慢车行驶4小时时，两车之间的距离为0，即相遇，
两车的速度和为：，
快车速度是慢车速度的1.6倍，
慢车速度是千米小时，快车速度是千米小时，
当时，快车已经到达乙地，，
，
当时，慢车行驶的路程：，
慢车距离甲地还有，需要用时：（小时），
小时后到达甲地，
，
，
故答案为：3.9．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 分钟．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键．
【详解】解：由图可得，甲的速度为米分，
设乙的速度为米分，
由图可得，，
解得，
∴乙的速度为米分，
∴甲到达终点的时间为分钟，
乙达到终点的时间为分钟，
∵甲先出发分钟，
∴乙先到终点原地休息了分钟，
故答案为：．
题型五：反比例函数的增减性的应用（高频考点）
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值；
【详解】由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
，
，，
当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，
当时，n有最大值4，
，
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知点在反比例函数（为常数）图像上，．若，则的值为（ ）．
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵
∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴或，
假设且，则，
∴，，
∴，
同理：当且时，．
故选B．
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）点，都在反比例函数（）的图象上．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．为任意实数
【答案】A
【分析】
本题考查反比例函数的图象及性质．分两种情况讨论：①点，在同一象限内；②点，在不同象限，根据反比例函数图象及性质即可解答．
【详解】
分两种情况讨论：
①若点，在同一象限内，
∵双曲线（）在每个象限内，随的增大而减小，
∴当时，，该不等式无解，
②若点，在不同象限，
∵双曲线中，
∴双曲线位于第一、三象限，
∵，
∴点位于第三象限，点位于第一象限，
∴，
解得．
综上所述，．
故选：A
4．（2025·浙江嘉兴·一模）函数的图象经过，两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当或时，
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，
、当时，，当时，；当时，，，此时，该选项错误；
、当时，，此时，，
∴，该选项正确，符合题意；
、当时，可能是正数，也可能是负数，当时，；当时，，该选项错误；
、当时，，此时，该选项错误；
故选：．
题型六：比较反比例函数值或自变量大小（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键．根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，
当时，即时，，故A选项错误，不符合题意；
当，即时，，故B选项正确，符合题意；
当，即时，，故C选项错误，不符合题意；
当时，即时，，故D选项错误，不符合题意．
故选：B ．
2．（2024·浙江·模拟预测）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．根据反比例函数图象上点可以判断反比例函数经过的象限，再由对应反比例函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：由反比例函数图象上点可知，
反比例函数图象位于第二、四象限，即在每个象限内，图象自左向右上升，函数随的增大而增大，
反比例函数图象上位于第二象限的两个点的坐标分别为，位于第一象限的点的坐标为，
．
故选：A．
3．（2025·浙江温州·一模）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大．
根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案．
【详解】解：反比例函数，，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、若，则或，
当时，；当时，，
原结论不一定成立，不符合题意，选项错误；
B、若，则，
∴，原结论成立，符合题意；
C、若，当时，，
当时，，原结论不一定成立，选项错误，不合题意；
D、若，则，则
原结论不成立，选项错误，不符合题意，
故选B．
4．（2025·浙江杭州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性．由可知，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：反比例函数，
反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
点在第一象限内，
，
点和在第三象限内，
，
，
故选：A
5．（2025·浙江衢州·一模）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论．
【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵a是一个正数，
∴，，，
又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴．
故选：A．
6．（2025·浙江温州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】反比例函数的常量，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
点，在反比例函数图象上，
，，
A．若，则或，选项错误，不符合题意；
B．若，则或，选项错误，不符合题意；
C．若，则，选项正确，符合题意；
D．若，则，选项错误，不符合题意．
故选： C ．
7．（2025·浙江衢州·一模）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
将，两点分别代入和得到，，再由，根据，，即可判断，继而即可求解．
【详解】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
8．（2025·浙江宁波·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质，
先根据可知图像位于第二四象限，当时，，当时，函数值y随着x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴双曲线位于第二，四象限，
当时，；
当当时，函数值y随着x的增大而增大，即当时，，
∴．
故选：B．
9．（2025·浙江·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据已知条件判断点所在象限，得到横坐标的正负，进而判断的正负，逐项判断即可．
【详解】解：点都在反比例函数的图象上，且，
若，则，点C在第三象限，点A，B在第一象限，
，
，故A选项错误，不合题意；
若，则，点C，B在第三象限，点A在第一象限，
，
，故B选项错误，不合题意；
若，则，点C在第二象限，点A，B在第四象限，
，
，故C选项错误，不合题意；
若，则，点C，B在第二象限，点A在第四象限，
，
，故D选项正确，符合题意；
故选D．
10．（2025·浙江·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先得出，，从而可得，，，再根据反比例函数的增减性可得，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵反比例函数中的，
∴在每一象限内，随的增大而增大，
又∵点，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
∴，
故选：A．
11．（2025·浙江温州·模拟预测）反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数位于第一、三象限，随的增大而减小，
∴时，，
解得：，
即当，；
时，，
解得：，
即当，，
所以结合选项可知：符合题意，
故选：．
12．（2024·浙江·模拟预测）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中 ，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的图象性质，掌握反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据反比例函数图象的增减性分析解答．
【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，．
故选：A．
13．（2023·浙江宁波·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，反比例函数（，k为常数）中，当时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据这个进行判定则可．
【详解】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且在各自的象限中随的增大而减小，
，
，
，
，
，
故选：B．
14．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知点，，，在反比例函数为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出A、B所在的象限即可得到答案．
【详解】
，
反比例函数为常数）的图象在第一、三象限，
点，，，在反比例函数为常数）的图象上，且，
，
，
故选：A．
题型七：反比例函数k的几何意义（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，故的面积为6，列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，，
∴，，
∴，
则，
故选：B．
2．（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可.
【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，而，
∴的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：B
3．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，正比例函数的性质，根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据图象的位置确定解题即可．
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，
∴A，B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象上在第二象限，
∴．
故选：D．
4．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过作轴于点，过作于点，则，设，则．由点，得出，证明，都是等腰直角三角形，利用勾股定理得到，，代入，整理得出．由，得出，即．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作于点，则，
设，则．
点，
，
，
，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
整理得，．
，
，
，
．
故选：C．
5．（2024·浙江宁波·一模）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，由，可求出，，根据，解得，即得，进而即可求得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，，则k的值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．由题意可分别得三点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为8建立关于的方程，解方程即可求得的值．
【详解】解：点A，B，C在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4，
，，，
，，，
，
，
解得：，
故选：B．
7．（2023·浙江温州·一模）如图，点，在轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图象经过的中点．若的面积为1，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意设点坐标为，则，根据的面积为1，，得到，解得．
【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点，
∴，，
设，则，，
∴，则，
∴，
∵的面积为1，即：，
∴，
故选：D
8．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围，由此即可得．
【详解】解：由函数图象可知，当时，或，
故选：C．
9．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键．
分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解．
【详解】解：当时，联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关）
当联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关），
∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称，
∴，
故选：B．
10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，一次函数图象的平移，根据平移规则，得到新的直线的解析式为，联立直线与双曲线的解析式，求出点的横坐标即可．
【详解】解：将直线向上平移1个单位长度，得到新直线，
联立，得：，
解得：，
∵点在第一象限，
∴点C的横坐标是1；
故选C．
11．（2024·浙江金华·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．当时，x的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题．先求出a的值，再根据图象直接求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点，
∴，
∴，，
∴，
当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当时，或．
故选：D．
12．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1，结合函数图象和，可得自变量的取值范围．
【详解】解：根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1，
根据函数图象结合，
自变量的取值范围为：．
故选：C．
13．（2024·浙江·二模）如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为（ ）
A．6 B． C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵
∴
如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，
∴
∴，即
∵
∴
设的横坐标为
∴
联立
即
∴
∴
解得：
故选：C．
14．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，，
根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值．
【详解】解：设点A的坐标为∶，，
∵轴，
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数，
∴，
解得：，
∴点，
∴，
∵点C在x轴上，轴，
∴边上的高为∶，
∵△ABC的面积是2，
即，
化简得：，
解得：，
故答案为：3．
15．（2025·浙江·一模）如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点、分别在、轴正半轴上，且平行轴，若△ABC的面积为2，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键．
连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值．
【详解】解：连接，如图所示：
∵平行x轴，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为．
16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段的两端点，分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为1，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．作轴，根据值几何意义得到，利用面积可知，再利用三角形相似可得，继而求出值即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数图象上在第二象限，
．
故答案为：．
17．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则△AOB的面积为 ．
【答案】
【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．过点A作轴，过B作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形与三角形相似，由A、B分别在反比例函数与的图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形与三角形面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积．
【详解】解：过点A作轴，过B作轴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点A，B分别在反比例函数与图象上，
∴，，即，
∴，
在中，设，则，
，
根据勾股定理得：，即，
解得：（负值舍去），
∴，
则．
故答案为：．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设，结合点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，得出，结合四边形的面积为9，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设，
∵点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，
∴
∵四边形的面积为9
∴
即
解得
故答案为：4
19．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．
【答案】 12
【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合，设，可得，，再结合三角形的面积可得的值，如图，过作轴于，设，，则由中点含义可得：，再结合面积列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵轴于点B，的中点为D，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
如图，过作轴于，
设，，
则由中点含义可得：，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
故答案为：，
题型八：一次函数与反比例函数交点问题（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（ ）
A． B． 或
C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是或．
故选：B．
2．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或x＞2 D．或
【答案】A
【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：把点，代入，
得出，
解得：，m=0（舍去）
∴点，B，
观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
则不等式的解集为：或.
故选：A．
3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知反比例函数图象上有两点，，，则b，c的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握在反比例函数上点的特征．
现根据反比例函数的性质用表示、，推得后，结合的取值范围即可求解．
【详解】解：依题得：，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
4．（2024·浙江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．点P是y轴上的点，若的面积是10，则点P的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
先利用待定系数法求出两个函数解析式，再根据三角形面积的计算公式列出含有绝对值的方程求出值即可得到点坐标．
【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
，
，
，
∵一次函数的图象过两点，
，解得，
直线解析式为：，
设直线与轴交于点，则，
设点坐标为，则有：，
即，
解得或．
或．
故答案为：或
5．（2024·浙江台州·三模）如图，反比例函数与一次函数（k是常数，）的图象交于A，B两点，当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，先解方程组，求出，坐标，再结合图象得出结论．关键是直线与双曲线的交点，坐标．
【详解】解：联立方程组，
整理得：，
解得，，
∴，，
∴时，x的取值范围是，
故答案为：．
题型九：反比例函数的实际应用（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键．
（1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时的值即可得到答案．
【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系，
设，把代入中得：，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴当该电磁波的频率为时，它的波长是．
2．（2025·浙江衢州·一模）某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
(4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【答案】(1)(2)(3)从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室
(4)能有效杀灭室内的蚊虫，见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（2）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（3）依据题意，当时，求得反比例函数的值，可得出答案；
（4）依据题意，将分别代入两个解析式，得出答案．
【详解】（1）解：由题意，设药物燃烧时y关于x的函数关系式是，将点代入，
，
，
药物燃烧时y关于x的函数关系式是，自变量 x的取值范围是；
（2）解：由题意，设药物燃烧后y关于x的函数关系式是，把代入，
，
药物燃烧后y与x的函数关系式为，自变量 x的取值范围是；
（3）解：由题意，当时，代入，
，
从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
（4）解：此次灭蚊有效，将分别代入，，
和，
持续时间是，
能有效杀灭室内的蚊虫．
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)能超过130分钟，见解析
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键．
（1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解；
（2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解．
【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，
∴，
当时，设y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴；
当时，y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，即；
（2）解：令，
解得，
令，
解得，
∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟．
4．（2024·浙江台州·模拟预测）某导线的电阻与温度t（单位：）（在一定范围内）满足反比例关系，通电后下表记录了发热材料温度从上升到的过程中电阻与温度的数值：
… 10 15 20 30 …
… 6 4 3 2 …
(1)根据表中的数据，求出R与t之间的函数解析式；
(2)当温度超过，或低于时，导线性能不佳，某一时刻测得电阻为，请判断此时导线性能是否正常．
【答案】(1)
(2)导线性能正常
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式与反比例函数的实际应用．
（1）根据题意设，结合表格中数据利用待定系数法求解，即可解题；
（2）将电阻为，代入（1）中解析式求解判断，即可解题．
【详解】（1）解：设，
当时，，
，
；
（2）解：当时，，
，
导线性能正常．
5．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图2，求所在图象的函数表达式．
(2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？
【答案】(1)(2)米
【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：，，，为中点，，
，
设所在双曲线的表达式为，
将点坐标代入表达式中，得：
解得：，
抛物线表达式为；
（2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，，
设所在直线解析式为，
将、两点坐标代入得：，
解得，，
所在直线解析式为，
根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称，
联立，
解得，
∴，
联立，
解得：，
∴，
．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流．
(1)求I与R的函数关系式．
(2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数自变量的值等知识．熟练掌握反比例函数的应用，求函数自变量的值是解题的关键．
（1）设，将，，代入得，，计算求解，然后作答即可；
（2）当时，，计算求解即可．
【详解】（1）解：设，
将，，代入得，，
解得，，
∴与的函数关系式为．
（2）解：当时，，
解得，，
∴电阻的值为．
7．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，)
动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊
体重(单位∶ )
脉搏率(单位∶ 次/)
借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数．
(1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？
(2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；)
【答案】(1)当增大时，变小(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用；
（1）根据反比例函数的性质，即可求解；
（2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式．
【详解】（1）解：，则当增大时，变小
（2）解：由题意得：．
∵，；，
∴．
解得：
8．（2024·浙江湖州·一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示．
(1)求I关于R的函数表达式；
(2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围
【答案】(1)(2)该可变电阻应控制在以上
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数是解题的关键．
（1）利用待定系数法，即可解答；
（2）结合图像和反比例函数，即可解答．
【详解】（1）解：设 ，图象经过，
∴，
；
（2）解：，
，
，
，
，
∴该可变电阻应控制在及以上．
9．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式．
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围．
【答案】任务1：；任务2：
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
任务1：设，代入，即可算出值，
任务2：由图 3 得，当光照强度在之间（包含临界值）时，电流，把和代入，求得值的范围，从而得到的范围．
【详解】任务1：设 I 关于 R 的函数表达式为
把 ，代入，得
∴I 关于 R 的函数表达式为
任务2：由图 3 得，当光照强度在 300-750lux 之间（包含临界值）时， 电流，
当代入，得到，解得
把代入，得到，解得
10．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中.
(1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围；
(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键．
（1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解；
（2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围；
【详解】（1） 路程，甲、乙两地距离为定值，
v与t的函数关系为反比例函数，
设v与t的函数关系式为，将代入解析式，
得：，解得：，
v与t的函数关系式为，
；
（2）若当天10时40分到达乙地，则所用时间，
，
若当天11时到达乙地，则，
，
客车平均速度的范围为．
11．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受
【分析】本题考查了反比例函数的应用；
任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解；
任务2：压强，即可求解；
任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解．
【详解】解：任务1：依题意，
任务2：依题意，
任务3：∵随的增大而减小，
∴当时，
∵.
∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受
12．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键
任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
13．（2023·浙江绍兴·三模）某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，如表记录了开工5天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．
1 2 3 4 5
2.1 1.8 1.5 1.2 0.9
为描述剩余未修道路长度与开工天数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择；，，．
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
(2)若按这样的进度完成任务，求修这段路要用多少天．
【答案】(1)描点见解析，符合一次函数关系，，图象见解析(2)8天
【分析】（1）先根据表格信息描点，即可作出函数模型判断，然后利用待定系数法求出函数的解析式，再画出函数图象即可；
（2）把代入（1）中的函数解析式求解x的值即可．
【详解】（1）解：如图所示：
根据图象可知，与满足一次函数，
把，代入解析式得，
解得，
，
函数图象如图所示：
当时，；
当时，；
当时，．
其他点都在图象上；
（2）令，则，
解得，
修这段路要用8天．
题型十：一次函数与反比例函数综合（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点．
(1)若的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当时，求自变量的取值范围．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)①；②(2)12
【分析】本题考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
（1）①设点的坐标为，根据三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得；
②先求出当时，的值，再根据结合函数图象即可得；
（2）先得出，再求出，，则，，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：①由题意，设点的坐标为，
∵轴于点，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
②当时，，
∵反比例函数中的，，
∴函数的图象位于第一象限，且在第一象限内，随的增大而减小，
∴当时，．
（2）解：∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴，
∵点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，
∴，，
∴，，
又∵轴于点，轴于点，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的图像与性质．
（1）先将点，代入，求出，，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设一次函数的图像与轴交于点，求出，得到，再用分割法求出的面积即可．
【详解】（1）解：将点，代入得：，，
，，
，，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，如图所示：
设一次函数的图像与轴交于点，
在中，令，则，
，
，
由（1）知，，，
．
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为．
(1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值．
(2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值．
(3)若，直接写出的值．
【答案】(1)，(2)，(3)或
【分析】（1）由题意易得双曲线解析式是，则有，然后可得直线的解析式为，进而问题可求解；
（2）设，则有，由题意易得，则有，然后可得四边形与四边形都是平行四边形，进而可得，设，则有，，则有，然后根据三角函数及相似三角形的性质可进行求解；
（3）根据题意可分两种情况进行分类讨论，然后结合相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解．
【详解】（1）解：∵在上，
∴，即双曲线解析式是，
当C点横坐标为3时，则纵坐标为2，
∴．
设直线的解析式为，且过点，，则有，
解得，
故直线的解析式为，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图：
设，则有，
∵，，
∴；
∵两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴，
∵，
∴四边形与四边形都是平行四边形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
设，则有，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴直线的解析式为，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得，
解得，，
∴．
（3）解：如图1：过D分别作于E，作于F，
则，
∵，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，则有，
解得：，
∴直线方程的解析式为，
再将直线方程代入双曲线方程有，
解得或18，
当时，则有，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图2，
直线与双曲线过，代入双曲线解析式可得，设直线的解析式为，
代入直线方程，，
所以直线方程变为，
令，则有，令，则有，
∴，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
再将直线方程代入双曲线方程有，
解得：，
∴当，则，即，
过C作平行于x轴的直线，过D作平行于y的直线，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上所述：的值为或．
4．（2024·浙江杭州·一模）一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点．
(1)求的值及一次函数的表达式．
(2)点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出、，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设点坐标为，根据对称平移性质得到点代入反比例函数解析式求出值即可得到点坐标．
【详解】（1）解：点和点在反比例函数图象上，
，
，则，
，在一次函数解析式上，
，
解得，
一次函数的表达式为：；
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为，根据题意设点坐标为，
点关于轴的对称轴为，
将向下平移4个单位得到点，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．
(1)求的长．
(2)用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)．
(3)若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】本题考查了反比例函数综合应用，涉及线段垂直平分线的作图、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及求反比例函数的解析式等知识；
（1）根据直线解析式求出点、坐标，利用勾股定理求出长，即可；
（2）根据题意作出线段的垂直平分线即可；
（3）利用一线三直角证明继而可求出点坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，即可求出双曲线中的值．
【详解】（1）解：由题意可知，是等腰直角三角形，
，
在直线中，当时，；当时，，
，，
（2），，右侧有一条直线到的距离为．
作线段的垂直平分线即可，如图示：
（3）如图，作轴，垂足为，
在和中，
，
，
，，
，
根据（2）作图可知，直线，
点为线段的中点，
，
，
点在双曲线图象上，
．
6．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，已知，．
(1)点的坐标为（____，____）；
(2)将△AOB绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，(2)①；②当时，、能同时落在上述反比例函数的图象上．
【分析】（1）作轴于点，在直角中，利用三角函数即可求得、的长度，则的坐标即可求解；
（2）①当时，点的位置与一定关于轴对称，在的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
②当时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：如图，作轴于点，
在直角中，，
则，，
则的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点．
把代入函数解析式得：；
②当时，旋转后点，点，
，
当，、能同时落在上述反比例函数的图象上．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)已知点的坐标为，求：
一次函数和反比例函数的解析式；
在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标；
(2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
的坐标为或；(2)．
【分析】（）把代入一次函数的图象与反比例函数即可求解；
根据三角形面积求得的长，然后由直线的解析式求得的坐标，即可求得的坐标；
（）由一次函数，可得，，得出是等腰直角三角形，设，则，进一步得出是等腰直角三角形，则，由的面积为，即可求解；
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
∴，，
∴，，
∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴，
由直线得，，
∴的坐标为或；
（2）∵一次函数，
∴，，
∵轴于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
∴设，则，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的面积为，
∴ 即，
∴．
8．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A，B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)连接并延长至点P，使得，过点P作x轴的垂线，交x轴于点C，交的图象于点D，连接．设的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)(2)3
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）首先将点的横坐标代入 ，求出点的坐标，然后代入，求出，然后将点的纵坐标代入，求出，然后代入，即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，利用两点间距离求出，即可得到，利用待定系数法求出所在直线的表达式，设点，利用两点间距离公式求出，然后求出点和点的坐标，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将点的横坐标代入 ，得：，
，
将代入，得：，
，
将点的纵坐标代入，得：，即，
，
将代入 ，得：，
，
，
；
（2）解：如图，
由（1）知，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设点，
，即，
，
则，
轴，
，
的面积为，△OCD的面积为，
．
1．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．
由已知函数图象得到，，然后根据第二象限点的坐标特点求解即可．
【详解】∵一次函数的图象如图所示，
∴，
∵小兔子在第二象限
∴横坐标为负，纵坐标为正，
∴点A的坐标可能是．
故选：D．
2．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上．
【详解】解：若点和在一次函数的图象上，
设一次函数为，则，解得，
，
把代入得，
令，整理得，
，
存在的值使，
故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，
若点和在反比例函数的图象上，
设反比例函数为，则，
解得，
，
把代入得，，
故当时，
故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上．
故选：B．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将代入得，即可得出点Q所在函数的表达式．
【详解】解：将代入得：，
则点Q的横坐标纵坐标相等，
所以点Q所在函数的表达式为．
故选B．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查一次函数的综合应用，根据无论x取何值，始终有，得到两条直线平行，且与轴的交点位置在与轴的交点位置的上方，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴当时，，
∵无论x取何值，始终有，
∴两条直线平行，且与轴的交点位置在与轴的交点位置的上方，
∴，，
∴，
∴；
故选A．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知在第一象限内的点，，．若将点和点分别绕点按逆时针方向旋转得到点和点，设直线对应的函数解析式为．若，则和满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中画出点、、的大致坐标，将点和点分别绕点按逆时针方向旋转得到点和点，根据图形观察，计算点和点的坐标，根据一次函数的解析式，把和点的坐标代入中，可得到含有字母，，的两个关系式，分别表示出的值，代换并整理后可得和的关系．
【详解】解：由题意得：，
将点绕点按逆时针方向旋转得到点的坐标为：．
作于点，于点．
，，．
将点绕点按逆时针方向旋转得到点，
，．
，
．
．
，．
点的坐标为：．
直线对应的函数解析式为，，
．
．
．
，
．
故选：C．
6．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线，相交于点D，反比例函数经过点D，交的延长线于点E，且，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形、反比例函数的图象与性质，作轴于，由菱形的性质可得，得出，由题意可得，，解直角三角形得出，从而可得，待定系数法求出反比例函数解析式为，即可得解．
【详解】解：如图，作轴于，
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，即，
故选：D．
7．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴负半轴相交于点，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解题的关键．由反比例函数图像分布在第一象限，与一次函数交于点，与轴负半轴相交于点，得到，，即可求解．
【详解】解：反比例函数图像分布在第一象限，与一次函数交于点，与轴负半轴相交于点，
，，
，
故选：C．
8．（2024·浙江嘉兴·三模）已知反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点，．则下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．先求出，，将点，代入一次函数得，，求得，再求出，，最后求解并比较即可．
【详解】解：将点，代入一次函数得．
，
，，
将点，代入一次函数得，
，
解得（舍去），
，，
最大，
故选：B
9．（2024·浙江温州·三模）如图，点A，B在x正半轴上（点B在点A的右边），，分别以为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．作轴于点轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答．
【详解】解：如图所示：过点E作轴
设，则
∵以为边作等边三角形，且点E是中点
∴
∴，
∴点E的坐标为，
∵阴影部分的面积等于，
∴，
∴，
∵以为边作等边三角形 ，
∴
∴
∴点F的坐标为
∵反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．
∴
即
解得（负值已舍去）
∴
故选：C．
10．（2025·浙江宁波·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ．
【答案】且
【分析】本题考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，如图，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，如图，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案．
【详解】解：如图，∵且，
∴，，
∴在正方形内，包括边界；
当一次函数过时，
，
解得：，
如图，当一次函数过时，
∴，
解得：，
∵，
∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为
且；
故答案为：且
11．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江数学中考预测专项突破
专题05 一次函数与反比例函数（浙江专用）
2024年浙江中考数学真题一次函数和反比例函数分析
选择题第9道：本题主要考查的是反比例函数的增减性，分值3分，难度：中等；根据反比例函数的性质可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，函数图象位于二、四象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而增大；
选择题第22道：本题主要考查的是一次函数的实际应用，分值10分，难度：中等；此题型主要结合图象进行分析，从图象中获取相关信息解题。
题型一：一次函数的图象与性质（高频考点）
1．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（ ）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
2．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·浙江温州·三模）一次函数的函数值随的增大而增大，当时，的值可以是( )
A． B． C．1 D．2
4．（2024·浙江温州·二模）若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023·浙江湖州·模拟预测）若、是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．（2024·浙江杭州·一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
①图象过点 ②图象与轴的交点在轴下方 ③随的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．在第二、四象限
C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大
8．（2024·浙江宁波·一模）一次函数，当时，y都大于0，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江衢州·二模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，则该函数图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型二：一次函数中取值范围问题（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（2025·浙江·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江台州·模拟预测）已知点，在函数（k，b为常数，）上，下列说法正确的是（ ）
A．若，
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
5．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
9．（2024·浙江·一模）已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
10．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，．当直线与△ABC有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·浙江杭州·一模）已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：一次函数与不等式的组合（高频考点）
1．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（ ）
A．当时，
B．当时，，
C．
D．关于，的方程组的解为
3．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小 B．
C．当时， D．方程组的解为
6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中）的图像分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江杭州·一模）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．
8．（2024·浙江温州·一模）如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组 的解集是 ．
9．（2025·浙江杭州·一模）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集是 ．
题型四：一次函数的实际应用（高频考点）
1．（2023·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
2．（2024·浙江宁波·二模）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·浙江湖州·二模）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江舟山·一模）如图，是1个纸杯和个叠放在一起的纸杯示意图，个纸杯叠放所形成的高度为，设杯子底部到杯沿底边高，杯沿高（，均为常量），是的函数，随着的变化规律可以用表达式（ ）描述．
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（ ）
A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km
6．（2024·浙江嘉兴·一模）机场中通常会设置水平手扶电梯（类似于水平面上的传送带），其稳定运行时速度始终不变，有一乘客在走到该手扶电梯路程的一半时发现行李落下，他立刻调头找回行李，找到后又立刻回头走到终点，整个过程共耗时11分钟，该乘客在手扶电梯上的步行速度始终不变．乘客到起点的距离，行李箱到起点的距离与乘客的运动时间t（分）的关系如图（部分），其中折线所在直线（）的与折线所在直线（）的满足．若该乘客直接走到终点，还需要等待______分，行李才能随着手扶电梯到达终点．（ ）
A． B．15 C． D．
7．（2023·浙江温州·模拟预测）一小型蓄水池入水孔和出水孔的工作速度均为每小时100立方米，某日工作时间如图所示，已知6点整蓄水池存水300立方米，记之后经过的时间为小时，蓄水池水量为立方米，下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·浙江温州·三模）已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（ ）
A．2小时 B．小时 C．小时 D．3小时
9．（2023·浙江衢州·模拟预测）快车和慢车同时匀速相向而行，快车从甲地到乙地，慢车从乙地到甲地，快车速度是慢车速度的1.6倍，两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示，则图中的 ．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 分钟．
题型五：反比例函数的增减性的应用（高频考点）
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知点在反比例函数（为常数）图像上，．若，则的值为（ ）．
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）点，都在反比例函数（）的图象上．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．为任意实数
4．（2025·浙江嘉兴·一模）函数的图象经过，两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当或时，
题型六：比较反比例函数值或自变量大小（高频考点）
1．（2025·浙江杭州·一模）已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
2．（2024·浙江·模拟预测）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江温州·一模）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
4．（2025·浙江杭州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江衢州·一模）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·浙江温州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2025·浙江衢州·一模）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江宁波·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·浙江·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·浙江温州·模拟预测）反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
12．（2024·浙江·模拟预测）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中 ，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
13．（2023·浙江宁波·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知点，，，在反比例函数为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型七：反比例函数k的几何意义（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
3．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
5．（2024·浙江宁波·一模）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，，则k的值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．（2023·浙江温州·一模）如图，点，在轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图象经过的中点．若的面积为1，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
9．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（ ）
A． B． C．1 D．
11．（2024·浙江金华·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．当时，x的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
12．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
13．（2024·浙江·二模）如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为（ ）
A．6 B． C．9 D．12
14．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是 ．
15．（2025·浙江·一模）如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点、分别在、轴正半轴上，且平行轴，若△ABC的面积为2，则的值为 ．
16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段的两端点，分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为1，则的值为 ．
17．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则△AOB的面积为 ．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ．
19．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．
题型八：一次函数与反比例函数交点问题（高频考点）
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（ ）
A． B． 或
C．或 D．
2．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或x＞2 D．或
3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知反比例函数图象上有两点，，，则b，c的大小关系是 ．
4．（2024·浙江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．点P是y轴上的点，若的面积是10，则点P的坐标是 ．
5．（2024·浙江台州·三模）如图，反比例函数与一次函数（k是常数，）的图象交于A，B两点，当时，x的取值范围是 ．
题型九：反比例函数的实际应用（高频考点）
1．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
2．（2025·浙江衢州·一模）某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
(4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？
4．（2024·浙江台州·模拟预测）某导线的电阻与温度t（单位：）（在一定范围内）满足反比例关系，通电后下表记录了发热材料温度从上升到的过程中电阻与温度的数值：
… 10 15 20 30 …
… 6 4 3 2 …
(1)根据表中的数据，求出R与t之间的函数解析式；
(2)当温度超过，或低于时，导线性能不佳，某一时刻测得电阻为，请判断此时导线性能是否正常．
5．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图2，求所在图象的函数表达式．
(2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流．
(1)求I与R的函数关系式．
(2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值．
7．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，)
动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊
体重(单位∶ )
脉搏率(单位∶ 次/)
借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数．
(1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？
(2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；)
8．（2024·浙江湖州·一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示．
(1)求I关于R的函数表达式；
(2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围
9．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式．
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围．
10．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中.
(1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围；
(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围.
11．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
12．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
13．（2023·浙江绍兴·三模）某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，如表记录了开工5天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．
1 2 3 4 5
2.1 1.8 1.5 1.2 0.9
为描述剩余未修道路长度与开工天数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择；，，．
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
(2)若按这样的进度完成任务，求修这段路要用多少天．
题型十：一次函数与反比例函数综合（高频考点）
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点．
(1)若的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当时，求自变量的取值范围．
(2)已知，求的长．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积．
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为．
(1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值．
(2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值．
(3)若，直接写出的值．
4．（2024·浙江杭州·一模）一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点．
(1)求的值及一次函数的表达式．
(2)点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．
(1)求的长．
(2)用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)．
(3)若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值．
6．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，已知，．
(1)点的坐标为（____，____）；
(2)将△AOB绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)已知点的坐标为，求：
一次函数和反比例函数的解析式；
在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标；
(2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值．
8．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A，B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)连接并延长至点P，使得，过点P作x轴的垂线，交x轴于点C，交的图象于点D，连接．设的面积为，的面积为，求的值．
1．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知在第一象限内的点，，．若将点和点分别绕点按逆时针方向旋转得到点和点，设直线对应的函数解析式为．若，则和满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线，相交于点D，反比例函数经过点D，交的延长线于点E，且，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴负半轴相交于点，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江嘉兴·三模）已知反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点，．则下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江温州·三模）如图，点A，B在x正半轴上（点B在点A的右边），，分别以为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．作轴于点轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江宁波·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ．
11．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ．
12．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当 时，点 的横坐标为 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知，点，均在反比例函数的图象上，若将线段顺时针旋转，的对应点为，得到线段的两端点仍在反比例函数的图象上，且，则的值为 ．
14．（2024·浙江温州·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ．
15．（2025·浙江·一模）如图是某实验室研究某微生物的活跃度指数随着温度变化的图象，发现当温度时，活跃度指数保持不变．当时，对应的图象由曲线段（为常数，）和线段组成．
(1)求和的值．
(2)当微生物的活跃度指数满足时，符合实验需求，求出此时温度的取值范围．
16．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
(1)求和的值．
(2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离．
17．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由．
①；②．
(2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围．
