四川省广安第二中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含详解）

广安二中高2023级2025年春第一次月考试题
数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知P是所在平面外一点，，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
5．已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（ ）
A．8 B．7 C． D．
6．已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
11．已知等差数列前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，最大
C．使得成立的最小自然数 D．时，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12． ．
13．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
14．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为 ．
四、解答题
15．已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
16．各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
17．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求：
(1)动点的轨迹的方程；
(2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长.
19．对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.
（Ⅰ）求证：是数列的生成函数；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
(2)已知是数列的生成函数，且.若数列的前n项和为，求证：（，）.
广安二中高2023级2025年春第一次月考试题
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B C B B A BD ABD
题号 11
答案 AC
1．A
【详解】由于函数，则其导函数为：，
代入，可得：，解得：.
故选：A．
2．A
【详解】由，得，
即，所以，，，
故.
故选：A.
3．B
【详解】根据导数的几何意义，
如图，分别表示在点处切线的斜率,
又，
由图可知，
故选：B.
4．B
【详解】由题意可得为方程的两个解，则，
解得，易知.
故选：B.
5．C
【详解】由题，圆，圆，
所以圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
作图如下，
因为,
由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为，
此时最大，最大值为，
故选:C.
6．B
【详解】由题意，又，所以，故，所以，
所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为，
则焦点到渐近线的距离为.
故选：B.
7．B
【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为，
联立，消去可得：，解得，
，，
由抛物线的定义可得，，
根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，
可知，
故，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．
故选：B
8．A
【详解】因为，，
所以，
设，则，
所以
若，则,，矛盾，
所以，故，
所以数列为以为首项，公比为的等比数列，
所以，
故，
若，则，
数列为递增数列，且，
所以数列为递减数列，与已知矛盾；
若，则，
所以数列为递减数列，且，
所以数列为递增数列，满足条件；
当时， ，故，
所以数列为递减数列，
令，可得，
所以当，且时，，
当，且时，，
与条件矛盾，
所以的取值范围是，
故选：A.
9．BD
【详解】由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
10．ABD
【详解】因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
设，，其中，
所以，所以，A选项正确．
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确．
，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得平面的一个法向量为，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确；
若直线与直线所成角为，
则，
整理可得，，方程无解，所以C选项错误．
故选：ABD．
11．AC
【详解】设等差数列的公差为，
若，则，，
所以，，即等差数列为递减数列，
对于A，，
则，故A正确；
对于B，由，知等差数列前7项为正数，其余项为负数，
故当时，最大，故B错误；
对于C，，
故，，
所以使得成立的最小自然数，故C正确；
对于D，因为，
，当时，
所以当或时，，故D错误.
故选：AC
12．
【详解】设，则，
∴.
故答案为：.
13．/
【详解】，①
当时，，②
①-②得；
当时，，此时仍然成立，．
当时，；
当时，，
当时，上式也成立，故．
由于，
设
，
则，
．
故答案为：
14．20
【详解】当时，，
因为数列为“速增数列”，
所以，且，
所以，即，
当时，，当时，，
故正整数的最大值为20，
故答案为：20.
15．(1)
(2)和.
【详解】（1）
，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为，
故切线方程为，
因为切线过点，所以，
即，所以或，
故过点且与曲线相切的直线有两条，
其方程分别是和，
即和.
16．（1）；（2）
【详解】（1）因为各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且，
所以，
又成等比数列，所以，
则，化简得，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得
由
所以
17．(1)证明过程见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，则，，
设，，则，，
设平面的一个法向量为，
，
令得，故，
直线与平面所成角的正弦值为，
即，
化简得，负值舍去，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角余弦值为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）设，，
所以，整理为，；
（2）设直线与曲线的两个交点分别为，，
联立，得，得，，
所以弦长.
19．(1)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
(2)证明见解析
【详解】（1）（Ⅰ）由题意知：，，
又，，即，
所以是数列的生成函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
所以
两式相减得：
所以.
（2）由题意知：，，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，又，
，（，），
则当时，，
即，
（，）.