四川省南充高级中学2025届高三上学期第四次月考数学试题（含详解）

四川省南充高级中学2025届高三上学期第四次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．现有一圆环如图所示，该圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列的前3项和为14，且，则（ ）
A． B． C．6 D．4
7．君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A．432种 B．486种 C．504种 D．540种
8．设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共2小题）
9．已知向量，，，则（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．在上的投影向量的坐标为
10．对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与的图象有相同的对称轴
B．与的图象有相同的对称中心
C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图象
D．当时，与的图象有2个交点
三、单选题（本大题共1小题）
11．若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中d为非零常数，则称数列为等方差数列．那么（ ）
A．是等方差数列
B．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
C．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列
D．若是等方差数列，则不存在正整数n，使得
四、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ．
13．已知4个函数：①，②，③，④，从中任选2个，则事件所选2个函数的图像有且仅有一个“公共点”的概率为 ．
14．已知正数x，y满足，则的最小值为 ．
五、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点P在底面上的射影为底面的中心O，点M在棱上，且的面积为1．
(1)若点M是PD的中点，证明：平面；
(2)若点M满足，求直线与平面所成夹角的正弦值．
16．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A、B两点（异于O点）．当直线l与x轴垂直时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)连接OA、OB，若，求AB的长．
17．已知函数在上的值域为．
(1)求，并求在R上的单调递增区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求边BC上的高h．
18．已知函数，．
(1)设函数的图象在点处的切线与相切，求a的值；
(2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围；
(3)已知函数存在两个极值点，，且，求的最大值．
19．某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到．
(1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率；
(2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X
①设，，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设，求使取得最大值的整数m．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，消整理得到，解得或，
当时，，当时，，所以，
故选C.
2．【答案】B
【详解】对A，当时，，则，故A错误；
对B，则则，故B正确；
对C，当时，故C错误；
对D，当时，故D错误.
故选B.
3．【答案】B
【详解】解：因为，
所以，，
所以，
故选B.
4．【答案】C
【详解】解：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，
根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，
则，解得，
即C的离心率为.
故选C.
5．【答案】C
【详解】圆绕对称轴旋转一周得到的几何体为球体，
故该圆环绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为大球的体积减去小球的体积，
即.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由正项等比数列的前3项和为14，得，
则，因此，而，
所以.
故选D.
7．【答案】A
【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有种；
当“礼”与“乐”中间插一艺时，有种；
所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种，
故选A.
8．【答案】C
【详解】令，则，
因为时，，故当时，，
故在上单调递增，且．
因为，故，
即，所以，
故关于直线对称，故在上单调递减，且，
当时，，则；
当时，，则；
所以使得成立的的取值范围是.
故选C．
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，，，
，故A正确；
对于B，且，
，化简得，故B错误；
对于C，，，即，故C正确；
对于D，，，
，，，
在上的投影向量的坐标为
，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】由题意， ，
.
对于A，令，解得，
所以与的图象的对称轴都是，故A正确；
对于B，令，解得，
所以与的图象的对称中心都是，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，
故C错误；
对于D，设，时，，
则由，解得或，
所以函数在有两个零点，即与的图象有2个交点，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】C
【详解】对于A，当时，有，由于不是一个常数，故A错误；
对于B，由，，则，
因为，所以，则，
解得仍为常数列，这与相矛盾，故B错误；
对于C，因为，所以
而，故C正确；
对于D，当时，总会存在使得，这显然是不成立的，
所以，由，则，即，
所以有
，
因为，所以一定会随着的增大而增大，且能趋向于正无穷，
则总存在正整数，使得，故D错误；
故选C．
12．【答案】2
【详解】由题意，复数是关于的实系数方程的一个根，则其共轭复数是关于的实系数方程的另一个根，
所以，.
13．【答案】
【详解】
作出函数图象，
由图可得①与②在第三象限有一个公共点，①和④在原点处有一个公共点，
②和④在第三象限有一个公共点，③和④在原点处有一个公共点，
①和③在原点处和第一象限各有一个公共点，即它们有两个公共点，
则有4组满足所选2个函数的图像有且仅有一个“公共点”，
所以事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.
14．【答案】/
【详解】因为，为正数，且，
两边平方得：，
所以.
设，则，解得，
，整理得：，即.
所以
.
当且仅当：即时取“”.
即的最小值为.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）在四棱锥中，连接，
由点O为底面正方形的中心，得过点O，且点O为的中点，
由点M是PD的中点，得，又平面，平面，
所以平面．
（2）由四边形是边长为的正方形，得，
由点P在底面上的射影为底面的中心O，得平面，
平面，则，由的面积为1，得，则，
又，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
由，得，则，而，
设平面的法向量为，则，取，得，
设直线PA与平面所成夹角为，则，
所以直线PA与平面所成夹角的正弦值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，当直线l与x轴垂直时，A、B的坐标分别为分、，
∴，解得，
故抛物线方程为．
（2）
由（1）知，
由题意得直线的斜率不为0，设直线，
由 ，联立，得，
设，，由韦达定理得，，①
由，得，即，
∴，②
由①②联立，得，
所以．
17．【答案】(1)，．
(2)
【详解】（1）因为，所以，
令，因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，且，所以．∴
由，解得，
∴的单调递增区间为．
（2）由已知及正弦定理得：，
又，∴，
又，∴，则，
而，∴，则，故，得．
∵，
∴，∴
由得，，
由得.
18．【答案】(1)或．
(2)
(3)．
【详解】（1）由题知，可得的图象在点处的切线斜率为，则该切线方程为，
由，联立消去y，整理得．
由解得或．
（2）由题知，定义域为，
函数在定义域内单调递减，可以转化为对任意的恒成立，
即对任意的，恒成立．
令，
，由，有；由，有．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，的最大值为，∴
即a的取值范围为．
（3）∵，∴，
函数的两个极值点，满足，则，，
不妨设，则在上是减函数，
∴.
令，又，即，
解得，．
设，则，
∴在上为增函数，
∴．
即.
∴的最大值为．
19．【答案】(1)
(2)①分布列见解析，；②（为不超过的最大整数）
【详解】（1）设事件A：“小明收到张老师所发活动通知信息”，事件B：“小明收到王老师所发活动通知信息”，
由题意A和B是相互独立的事件，则与相互独立，
而 所以，
因此，小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率为．
（2）①X的可能取值为2，3，4，
，，，
所以X的分布列为：
X 2 3 4
P
数学期望．
②当时，m只能取7，此时有；
当时，整数m满足，其中t是和7中的较小者，
由张老师和王老师各自独立、随机地发送活动信息给k位学生成员，得所包含的基本事件总数为，
当时，同时收到张老师和王老师两人所发信息的学生人数为，
仅收到张老师或王老师转发信息的学生人数为，
由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为，，
当时，，
，
因此取得最大值时，m满足，
假如成立，
则当能被9整除时，在和处达到最大；
当不能被9整除时，在处达到最大值．
（表示不超过x的最大整数），
下面证明：
由，得，
，则，显然，
因此．
综上，符合条件的表示不超过的最大整数）．