天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（含详解）

天津市宝坻区第一中学2024 2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A．30 B．20 C．12 D．6
3．函数在上可导,且,则
A．0 B．1 C．-1 D．不确定
4．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）种.
A．30 B．40 C．60 D．80
6．函数的极大值点是（ ）．
A． B． C． D．3
7．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点
B．函数在上单调递减
C．为函数的极大值点
D．是函数的最小值
8．已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种
11．函数的图象在点处的切线的倾斜角为
12．已知函数在处取得极小值10，则的值为 .
13．已知g（x）＝＋x2＋2aln x在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为 .
14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
15．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为
三、解答题（本大题共5小题）
16．求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
17．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
18．已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)求函数在区间上的最大值．
19．已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，证明.
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)若方程有两个实数根.证明：
参考答案
1．【答案】B
【详解】；；，，只有B正确．
故选B．
2．【答案】A
【详解】若
故选A.
3．【答案】C
【解析】求出代入求出，进而求出，即可求解.
【详解】，得，
，
.
故C.
4．【答案】A
【详解】由题意可知，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.
故选A.
5．【答案】C
【详解】将2名男生安排到两地有2种方法.若其中一地有1名女生，则有种安排方法，若一地有2名女生，则有种安排方法，则不同的分配方案有种.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由题意可得：，
令，解得或，
当或时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值点是.
故选A.
7．【答案】B
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.
由的图象可知，当时，，
当时，，故为函数的极大值点，A错误；
当时，，故函数在上单调递减，B正确；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，C错误；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，
与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,
故选B.
8．【答案】A
【详解】设， ，
对，且，恒有，即，
在上单调递增，故恒成立，
即，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，即，即.
故选A.
9．【答案】A
【详解】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选A．
10．【答案】243
【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有，
11．【答案】
【详解】因为，
所以函数的图象在点处的切线的倾斜角为
12．【答案】
【详解】，由题意，
解得或，
若，，不是极值点，舍去．
若时，，
当时，，当或时，，
是极大值点，是极小值点，满足题意．
∴．
13．【答案】
【详解】，
由题意得：在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
因为在上恒成立，
所以在上单调递减，
故，
所以
14．【答案】
【详解】因为，，令，
函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根，
又，
当时，，则函数在区间单调递增，
因此在区间上不可能有两个实数根，舍去，
当时，令，解得，
令，解得，此时函数在单调递增，
令，解得，此时函数在单调递减，
当时，函数取得极大值，
当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根，
则，解得，
实数的取值范围是．
15．【答案】
【详解】由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
设，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴实数的最大值为.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）由，可得；
（2）由，可得，
（3）由，可得，
（4）由，可得；
（5）由，可得.
17．【答案】(1)220
(2)90
(3)100
【详解】（1）从这12种产品中任意抽出3件，共有种不同的抽法，
（2）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有种不同的抽法，
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，
所以共有种不同的抽法.
18．【答案】(1)，；
(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；
(3)最大值是，最小值是．
【详解】（1），，，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）得，，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
19．【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）0
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：当时，，，
（ⅰ），
所以在点处的切线方程为，
即；
（ⅱ）当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以；
（2）解：，
令，则，
当，即时，，，
所以函数在上递增，
所以，即，，
所以函数在上递增，
所以，
所以满足题意；
当，即时，
令，则，
当时，，所以函数在上递减，
所以当时，，
即当时，，
所以函数在上递减，
此时，与题意矛盾，
综上所述，实数的取值范围为；
（3）证明：由（2）得，当时，，
即，
要证，
只需要证明，
只需要证明，
只需要证明，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
所以.
20．【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）利用导数的正负情况讨论函数的单调性即可；
（2）设切点的横坐标为，用表示的值，并判断的最小值即可；
（3）令，根据是方程的两个根，可以依此用来表示，进而证明不等式.
【详解】（1）因为，
所以，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，解得，函数在上单调递增，
由，解得，函数在上单调递减；
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，，设切点为，
切线斜率，
切线方程为，即，
所以，，
所以，
令，则，
由，可得，由，可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的最小值为；
（3）由，可得，
令，则 ，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
所以，
不妨设，则 ，故 ,
令，，所以，，，
要证，只要证，只要证，
令，则，
设，则，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，
则存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以在上恒成立，
所以．