浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题（含详解）

浙江省杭州学军中学2024 2025学年高三下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．或7
3．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ）
A．511 B．61 C．41 D．9
4．设是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ）
A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点
C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥P-BCD体积最大值为8
11．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( )
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的最大值为－1
C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数z满足，则 ．
13．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 .
14．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有 种.
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，．
（1）求；
（2）若，求四边形的面积．
16．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17．已知实数，设．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
19．对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；
(2)证明：；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．
参考答案
1．【答案】A
【详解】集合，
则元素的个数是3个.
故选A.
2．【答案】A
【详解】因为，所以.
因为共线，所以，解得或.
又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去.
而满足条件，所以.
故选.
3．【答案】B
【详解】由可得，
即，所以，两式相除可得；
即，
由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列，
偶数项是以为首项，公比为2的等比数列，
所以
.
故选B.
4．【答案】C
【详解】因为且，
所以，
故，结合，
解得.
故选C.
5．【答案】B
【详解】若已知，令，则，
所以“”是“”不充分条件；
若已知，因为，则，即，
所以“”是“”必要条件；
综上所述，“”是“”必要不充分条件.
故选B.
6．【答案】D
【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为.
又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为.
当时，如图，设，则.
联立，解得或，所以，.
又因为，所以轴.
所以，.所以，所以.
因为，所以.
同理，当时，亦可得.
故双曲线C的离心率为.
故选D.
7．【答案】C
【详解】，
因为，所以
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，
所以，函数在上单调增，
等价于或，
所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，所以，
令，则，所以，故选项A错误；
因为，
所以累乘得，
因为，所以，故选项B错误；
因为，所以，
所以，故选项C正确；
故选项D错误.
故选C.
9．【答案】AC
【详解】对于A，由，得，故A正确；
对于B，由，得，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线，
，所以在正态分布曲线上，的峰值较高，
正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误.
故选AC.
10．【答案】AC
【详解】
由题意：，且，如图建系，设，，
所以，所以，，
所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，
且，点到该直线的距离为，
所以与圆无公共点，B错误；
若，设，所以，所以，
所以，即，联立，解得，
所以点满足条件，所以A正确；
若最大，则到距离最大，即为与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故D错误；
令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以，
因为为点的运动轨迹，所以，故C正确.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】当，时，函数.
A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误；
B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确；
C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为，
所以“囧点”为，
设，则，设切点为，，
切线的斜率，
当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，
，
解得，
切点坐标为，
故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确，
D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中，
则点到圆心的距离的平方为，
令，，则，
再令，（其中，
则，
所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为．
又，
综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为．
故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确，
故选BCD．
12．【答案】
【详解】因为，所以.
13．【答案】240
【详解】由于的展开式的二项式系数和为64，
即，
解得．
又由于的展开式系数和为729，令得，即，
解得或（舍去），
的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
又，.
14．【答案】204
【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为．
当时，共有1种情况，即；
当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；
当时，共有5种情况，即，，，，；
当时，共有7种情况，即，，，，，，；
当时，共有2种情况，即，
；
当时，共有7种情况，即，，，，，，；
当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；
当时，共有3种情况，即，；
当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；
综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋3＋1＝34(种)情况，
∴不同的放法共有：种．
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）中，，
由余弦定理可得，所以，
再由正弦定理，可得
又因为为的角平分线，所以；
（2）中，，，
所以
从而
由正弦定理可得
而
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，平面，
所以，，又因为，
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，
所以，，，
因为，，所以，，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）设，即，，
所以，即，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，即.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为， ，，
所以，则.
故点处的切线方程为，即.
（2）由已知有，令，解得或，列表如下：
所以的单调增区间是，单调减区间是和，
当时，取极小值，当时，取极大值，
由知，当时，，当时，
因为对于任意的，总存在，使得，
当时，不成立，故，所以，所以.
设集合集合
则“对于任意的，都存在，使得”等价于.
下面分两种情况讨论：
当即时，有且此时在上单调递减，的值域为，
故，，所以A不是B的子集.
当即时，有且此时在上单调递减，故，因而，
由有在上的值域为，所以，所以满足题意.
综上，的取值范围为
18．【答案】(1)
(2)
(3)（去除点）.
【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率，
（2）易知.设.
因为△的重心为 ，所以,解得,
因为，所以，即.
因为不共线，所以 且，
所以的轨迹不含两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
（3）因为为△的垂心，所以，
设，
当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，
此时点与点重合，不合题意，舍.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，
则，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，则，得，
则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，
综上，动点的轨迹方程为（去除点）.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【详解】（1）
，解得.
（2）令，
，
可得，所以.
（3）记 表示第一大项中每一个小项获得的分数， 表示第二大项中每一个小项获得的分数， 表示第十大项中每一个小项获得的分数， 表示第十一大项中每一个小项获得的分数.
则.
为方程满足上述范围条件的解的个数.
设的生成函数为，则.
因为，故与的展开式中前的系数相同.
由（1）知，
由（2）知取时有.
故，其中前系数为
故.