重庆市第八中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题（含详解）

重庆市第八中学校2024 2025学年高三下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．锐角中的角满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直
C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．，
C．函数在定义域内是减函数
D．函数的值域为
10．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线与双曲线有相同的渐近线
B．若，则的周长为
C．若，则的面积为
D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
11．已知数列满足，，前项和为，则下列选项中正确的是(参考数据:) （ ）
A． B．
C．是单调递增数列 D．是单调递增数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则 .
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
14．设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
16．设的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.
17．已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.
(i)求证:直线和的斜率之积为定值;
(ii)当最大时，求直线方程.
18．信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵.
(1)记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义；
(2)一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加.
19．已知函数.
(1)当，，时，求证:;
(2)当时，若有三个零点.
(i)求实数的取值范围;
(ii)若，求证:.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以或或或，
解得或或或，
所以，
由，即，所以，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为“是纯虚数”“且”，
故“是纯虚数”成立的一个必要不充分条件是“”，
故选A．
3．【答案】A
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，则直线与圆相离，
所以圆上动点到的最小距离为.
故选A.
4．【答案】C
【详解】在数列中，，，则，
，，，
以此类推可知，对任意的，，
因为，所以，.
故选C.
5．【答案】D
【详解】点为正八边形的中心，，故，，
取的中点，连接，则⊥，，
其中，
故，，
故，
其中，⊥，
当点在上运动时，过点过⊥，交的延长线于点，
则，，
则
，
由图象可知，此时为最大值，
当点在上运动时，，
显然当与重合时，取得最小值，
最小值为，
所以的范围是
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，
所以，
即，
即，
所以，
所以，又，
所以，解得（负值已舍去），所以，
又为锐角，所以，则.
故选C.
7．【答案】C
【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次．
（1）次均不下雨，概率为；
（2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为；
（3）有次下雨但不淋雨，共种情况：
①同一天上下班均下雨；
②两天上班时下雨，下班时不下雨；
③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，
概率为；
（4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为；
（5）次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为，
所以至少有一天淋雨的概率为：，
故选C．
8．【答案】B
【详解】在正三棱柱中，且，四边形为平行四边形，
且，
点分别为棱的中点，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
四点不共面，直线与始终异面，故A正确；
法一：为等边三角形，为的中点，，
又平面，平面，
如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，
对于B，，，
若，则，，，
，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误；
对于C，，，
若，则，，，
故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确；
对于D，，，
若，则，，或，
故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确；
法二：对于B，设，
则，，
若直线与直线垂直，则，，
，，解得，
，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误；
对于C，连接、，
如图3，，为的中点，，
平面，平面，，
，、平面，平面，
又平面，，
当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确；
对于D，，
，
，解得或，
故当在点的位置或为中点时，，故D正确.
故选B．
9．【答案】ABD
【详解】对于A，令，，故点在函数的图象上，
由的图象关于直线对称，则也在函数的图象上，故，得，故，
由可得，故函数的图象关于对称，A正确；
对于B，函数中，，，B正确；
对于C，函数在、上单调递减，在定义域上不单调，C错误；
对于D，，
因为，则，可得，故，D正确，
故选ABD．
10．【答案】AB
【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即，
双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确；
对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，，
，，，故的周长为，B正确；
对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，，
因为，所以，解得或（舍去），
所以的面积为，故C错误；
对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误，
故选AB．
11．【答案】AC
【详解】对于A：因为，令， 即，则，
又，所以，又在上单调递减，
所以，，，
所以，故A正确；
对于B：因为，，故B不正确；
对于C、D：因为，，
令，所以与异号，与同号，
又，所以，，即，，
又，
所以，
所以，，
所以是单调递增数列，是单调递减数列，
所以是单调递增数列，是单调递减数列，故C正确，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】的展开式通项是为，
依题意得，，即，所以．
13．【答案】2
【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同，
，，
故，故，
上点处的切线方程为，
显然在切线上，故，
即，即，
解得，
故.
14．【答案】
【详解】由，消去整理得，则，
所以直线与抛物线无交点，
如图过点作轴交于点，过点作交于点，
则（当、重合时取等号），
设，，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）法一：取的中点，连接，
在三棱柱，且，四边形为平行四边形，
且，
分别为的中点，
且，且，且，
四边形为平行四边形，，
面，面，平面．
法二：证明：如图，取中点，连接，
分别为的中点，，
平面，平面，平面，
且，四边形为平行四边形，且，
分别为的中点，且，
四边形为平行四边形，，
面，面，面，
，平面，面面，
平面，平面．
（2）平面，，，
如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，
，则，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，可得，不妨取，则，
令平面的一个法向量为，
则，不妨取，则，
，
令二面角的平面角为，
则．
因此，二面角的正弦值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
故，
所以，所以，
由余弦定理，
因为，所以．
（2）在中，由正弦定理得，解得．
又因为，所以或．

当时，．因为，所以；
当时，．因为，所以，
由，则不符合题意，舍去，
所以，则．
且，
在中，由正弦定理，得，
解得．
又因为为的平分线，所以．
17．【答案】(1)
(2)(i)证明见解析；(ii)
【详解】（1）由题意得，，
则
（当且仅当为短轴顶点时取等号），
又的最小值为，
所以，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）（ⅰ）设，则，，
则．
又因为，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，
所以，
则，
因为，所以，此时，
所以直线方程为．
18．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意：，
设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为，
则，
设，，，
由得，此时函数单调递减，
由得，此时函数单调递增，
故，则．
当正面与反面等概率出现时，随机试验的不确定性最大，此时信息熵最大．
（2）记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，
由全概率公式得，，即，
所以，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以．
此时，
当增加时，单减，且，
由（1）知，当时，函数单调递减，
故当增加时，增加．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)(i) ； (ii)证明见解析
【详解】（1）当，时，，
则
，
（或者
）；
所以在上为增函数，
所以当时，即当时，，得证．
（2）（ⅰ）当时，，由于，，
所以在恰有一个零点，且，．
以下只研究当时的零点问题，
由，
当时，所以在上单调递增，
则，所以在不存在零点，不符合题意；
当，即时，恒成立，
所以在上单调递增，则，所以在不存在零点，不符合题意；
当时，令，令，则可化为，
显然，则方程有两个不相等实数根、且，，
不妨设，则，则，
所以方程在上有两个不相等实数根，，
不妨设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，即，又当时，
所以在上存在唯一一个零点，符合题意；
综上可得．
（ⅱ）由（1）知当时，，即；
当时，，即．
所以，据题意，
所以，即，
所以，同理对也有．
关于的方程有两根，由于，知，
且，
所以
．