重庆市万州第三中学224?2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含详解）

重庆市万州第三中学224 2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是
A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16
4．已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．当时，函数的图象大致是（ 　）
A． B．
C． D．
6．已知是可导的函数，且对于恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的是（ ）
A．
B．设函数，且，则
C．若，则
D．若，则
10．设函数定义域为，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数满足性质的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．方程有唯一实数根
B．在区间上单调递增
C．
D．若且，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的极大值点是 ；
13．函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ；
14．设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算： ；
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)求曲线在点处的切线方程；
16．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，求证：.
17．万州区为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．

(1)求出关于的函数解析式；
(2)当角取何值时，健身广场的面积最大？其最大面积是多少？
18．设函数
(1)当时，若在存在，使得不等式成立，求的最小值.
(2)若存在且，使得，求实数的取值范围.
（参考数据）
19．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即
又
即
故选D.
2．【答案】B
【详解】由题意，
在中，，
当时，解得（舍）或，
当即时，函数单调递减，
∴的单调递减区间为.
故选B.
3．【答案】A
【详解】，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A．
4．【答案】D
【详解】由题意可知，若1不是函数的极值点，则，即，
当时，，故当 ，当，因此是 的极值点，1不是极值点，故满足题意，
故选D.
5．【答案】B
【详解】根据f(x)<0 x2－2ax<0 00可知方程必存在两个根．设小的根为x0，则f(x)在(－∞，x0)上必定是单调递增的，故选B.
6．【答案】A
【详解】设，，则，
可得在上单调递减，
所以，即，
所以.
故选A.
7．【答案】C
【详解】设切点为，因为，所以．
又因为切点在直线上，
所以，解得，所以．
令，则，
所以在区间上，单调递减，
在区间上单调递增，
所以，故的取值范围为．
故选C.
8．【答案】B
【详解】函数，，，
令，显然函数在上单调递增，而不等式为，
因此，，
令函数，求导得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，由复合函数的导数公式得
，故A错误，
对于B，因为，所以，
令，得到，解得，故B正确，
对于C，因为，所以，故C错误，
对于D，因为，所以，
令，则，解得，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】可化为，
令，
则，令
则，
若在定义域内正负号不变，那么是的变号零点，
则在的两侧的单调性不一致，因此满足性质；
若有唯一变号零点，那么取，则在定义域内的正负号不变，
进而函数在定义域内单调，因此不满足性质.
对于A，，则，所以满足性质；
对于B，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质；
对于C，，则，所以满足性质；
对于D，，则，所以满足性质.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】设，则，所以恒为常数.
又由于，故.
所以，即.
对于A，由于，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误；
对于B，前面已经证明在上递增，故B正确；
对于C，前面已经证明，所以，故C正确；
对于D，若，，则，
故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由题意得定义域为，
因为，所以，
令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值点是.
13．【答案】
【详解】由，可得，.
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，可得在上恒成立.
即在上恒成立.
设，则，
故在上单调递减.
所以在上的最大值为.
则.
同时，要使有意义，则在上恒成立，即在上恒成立，所以.
综上可得.
14．【答案】
【详解】因为，所以，.
由.
又，所以点是函数的拐点，也就是函数的对称中心.
所以，
所以，，…，，，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
因为函数在处取得极值，
所以可得①，
②，
由①②解得，或，
所以，或
当时，
，
所以在R上单调递增，没有极值，不符合题意；
当时，，
当，或时，，当时，，
所以在，上都是单调递增，在单调递减，
所以在处取得极大值，且，符合题意.
综上；
（2）由（1），，
，切点坐标为，
切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
16．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析.
【详解】（1）的定义域为，
,
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
17．【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）由已知得，
等腰底边上的高为，
而，
，
，得到.
（2）设，则，
令，由，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则时，有，
故，即时，健康广场的面积最大，最大值为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若存在，使得不等式成立，则只需，
由题意得，当时，，
则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
故在处取得极小值，即，
又，而，
，因为，所以，
构造，由对数函数性质得在上单调递增，
则，即，得到，
故，即，得到，
则，即，得到.
（2）因为，所以，
因为存在且，使得，
所以在上不单调，下面我们对的范围分类讨论，
当时，，此时在上单调递增，与题意不符，排除，
当时，令，，
当时，得到，解得，
但此时，即，得到在上单调递减，与题意不符，排除，
当时，得到，解得，
此时结合二次函数性质得有两个变号零点，设其为，
即一元二次方程由两个根，且设，
由韦达定理得，，
故成立，得到有两个恒正的变号零点，
则有两个恒正的变号零点，满足，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
满足在上不单调，故符合题意.
19．【答案】(1)极大值为，极小值为.
(2)（i）；（ii）证明过程见解析.
【详解】（1）当时， ，
则，
由得，；得，或，
则在和上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为，极小值为.
（2）（i），
则，
令，则，
因，故，
当，即时，，
则在上单调递减，无极值，不满足题意；
当时，令，
欲使有两个极值点，
需使在上有两个不同零点，
则，即，
则的取值范围为.
（ii）由（i）可知，，
则
令，则，
令，则，
则在上单调递减，因，
则存在使得，即，
则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
则，
又，则，则.