【精品解析】湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

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名称 【精品解析】湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-04-23 11:54:38

文档简介

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1.(2025高一下·湖北月考)已知集合,,则(  )
A. B. C. D.
2.(2025高一下·湖北月考)若命题“,”是真命题,则(  )
A. B. C. D.
3.(2025高一下·湖北月考)函数的零点所在区间为(  )
A. B. C. D.
4.(2025高一下·湖北月考)要得到函数的图象,只需要将函数的图象(  )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
5.(2025高一下·湖北月考)已知向量,满足,且,则与的夹角为(  )
A. B. C. D.
6.(2025高一下·湖北月考)已知,则(  )
A. B. C. D.
7.(2025高一下·湖北月考)下列不等关系正确的是(  )
A. B.
C. D.
8.(2025高一下·湖北月考)在自然界中,对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构,对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言,同样充满了对称之美.函数图象的对称性,例如轴对称和中心对称,关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数,使得不等式成立的实数m的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
9.(2025高一下·湖北月考)若正实数p,q满足,则(  )
A.pq的最小值是 B.的最大值是
C.的最小值是 D.的最小值是6
10.(2025高一下·湖北月考)已知函数,若有四个不等的实数解,,,,下列说法正确的是(  )
A.有最小值2 B.m的取值范围是
C. D.方程有4个不同的解
11.(2025高一下·湖北月考)已知函数,下列说法正确的是(  )
A.为偶函数 B.的最小正周期为
C.关于对称 D.的值域为
12.(2025高一下·湖北月考)已知函数在上有两个零点,则a的取值范围为   .
13.(2025高一下·湖北月考)已知函数的定义域为R,且满足:,,,则   .
14.(2025高一下·湖北月考)如图,正方形的边长为1,分别为边上的点,若,求的面积的最大值为   .
15.(2025高一下·湖北月考)如图,在平行四边形中,,,若M,N分别是边,所在直线上的点,且满足,,其中k,,设,.
(1)当,时,用向量和分别表示向量和;
(2)当,时,求的取值范围.
16.(2025高一下·湖北月考)计算:
(1)已知,,求的值;
(2)已知,求的值;
(3)若正实数同时满足下列三个方程,,,求的值.
17.(2025高一下·湖北月考)已知函数的最大值为
(1)求常数a的值;
(2)求函数在的单调递增区间;
(3)若在区间上有9个零点,求实数m的取值范围.
18.(2025高一下·湖北月考)已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)若函数有两个零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数,是否存在实数m使得的最小值为0,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
19.(2025高一下·湖北月考)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)试求,,的取值范围,猜想当,时,的取值范围不需要写出证明过程;
(3)存在,使得关于x的不等式对任意的恒成立,求a的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】交集及其运算;一元二次不等式及其解法;指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解:解不等式,可得,则集合,
解不等式,可得,则集合,故.
故答案为:C.
【分析】解不等式求得集合,再根据集合的交集运算求解即可.
2.【答案】B
【知识点】存在量词命题;函数的最大(小)值
【解析】【解答】解:,,则,
因为函数,在上单调递增,所以,故.
故答案为:B.
【分析】原问题转化为,利用函数的单调性求解即可.
3.【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解:函数定义域为,且在上单调递增,
因为,,所以,
根据函数的零点的判定定理可得,函数的零点所在的区间是.
故答案为:C.
【分析】根据函数的零点存在性定理结合单调性求零点所在区间即可.
4.【答案】A
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解:函数,
将函数图象上所有点向左平移个单位得,即得图象.
故答案为:A.
【分析】利用诱导公式,结合三角函数图象的平移变换求解即可.
5.【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算;数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解:因为,所以,所以,
则,即与的夹角为
故答案为:B.
【分析】由题意,利用求得,再利用向量夹角公式求解即可.
6.【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解:,
因为,所以.
故答案为:D.
【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,代值计算即可.
7.【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则;利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解:A、,两边同时取对数,则 ,即,故A错误;
B、,因为,所以,故B错误;
C、, ,,故C错误;
D、,,
则,
而,,,
故,即,故D正确.
故答案为:D.
【分析】两边同时取以为底的对数化简即可判断A;,利用对数的单调性比较大小即可判断B;将的指数幂都变换成整数次幂与的乘积的形式,比较两个幂函数的大小即可判断C;将变换为以10为底的对数,做差与0比较即可判断D.
8.【答案】A
【知识点】函数的奇偶性;奇偶函数图象的对称性;利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:令,则,原函数可化为,
函数定义域为,且满足,
则函数是偶函数,其图象关于y轴对称,那么函数的图象关于直线对称,
当时,,,
因为,所以,,,则,
所以,则函数在上单调递增,
又因为函数的图象关于直线对称,且在上单调递增,
所以等价于,
即,两边平方得,
整理可得,解得,
故实数m的取值范围是.
故答案为:A.
【分析】令,则,原函数可化为,先分析函数的对称性和单调性,根据函数性质,把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
9.【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解:A、由,可得,解得,当且仅当,时等号成立,则pq的最大值为,故A错误;
B、,
当且仅当,时等号成立,则的最大值为,故B正确;
C、,
当且仅当,即时等号成立,则的最小值是,故C正确;
D、因为,所以,则

又因为,所以,当,时等号成立,即的最小值是6 ,故D正确.
故答案为:BCD.
【分析】利用基本不等式求解即可判断AB;利用1的代换,,再利用基本不等式求解即可判断C;利用消元,求一元二次函数的最值即可判断D.
10.【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性;指数函数的图象与性质;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:函数的图像,如图所示:
且,,,,
A、由图可知:函数有最小值2,故A正确;
B、由图可知:若有四个不等的实数解,,,,则,故B错误;
C、因为为偶函数,所以图象关于轴对称,又因为的对称轴为直线,所以,,则,故C正确;
D、令,则方程可化为方程,
结合图像得有4个解,且,,,,
因为有最小值2,所以只有当时,有4个不同的x与之对应,
故方程有4个不同的解,故D正确.
故答案为:ACD.
【分析】先作出函数的图像,由图像即可判断AB;根据偶函数的性质及二次函数的对称性,结合图象即可判断C;令,数形结合即可判断D.
11.【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性;含三角函数的复合函数的周期;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解:的定义域为,定义域关于原点对称,
A、,则为偶函数,故A正确;
B、因为,
所以的周期为,故B错误;
C、因为,
所以关于对称,故C正确;
D、令,则,,
由于,所以,进而,
所以,
因为函数在上都是减函数,
所以函数在上是减函数,且,所以函数在上是减函数
则的值域为,故D正确.
故答案为:ACD.
【分析】先求函数的定义域,再根据与的关系即可判断A;由与的关系即可判断B;根据与的关系即可判断C;令,利用换元法,求值域即可判断D.
12.【答案】
【知识点】正弦函数的性质;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解: 函数在上有两个零点 ,即在上有两个解,即函数的图象和直线在上有两个交点,
由,可得,
易知在上单调递增,在上单调递减,最大值是,
因为,,所以.
故答案为:.
【分析】原问题转化为函数的图象和直线在上有两个交点,判断的单调性和最值即可得a的取值范围.
13.【答案】3
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解: 函数的定义域为,且满足:①,
则②,
①②式相加得:,
所以,即函数的周期为6,
则,
因为,,
所以,
故.
故答案为:
【分析】由题意,求出函数是周期为6的周期函数,再利用周期性求解即可.
14.【答案】
【知识点】基本不等式;两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解:设,,,, 若,
则,,,
整理得,
因为
当且仅当时等号成立,解得或,
因为,所以,
则当时,的最大值,最大面积为.
故答案为:.
【分析】设,,,,求得,,,利用基本不等式求解即可.
15.【答案】(1)解:当 ,时, ,

(2)解:当,时,
, ,


因为 ,所以,
则 的取值范围为 .
【知识点】平面向量的线性运算;平面向量的基本定理;平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题意,根据向量的线性运算求解即可;
(2)先用向量表示向量,再根据向量的数量积的运算律求出,最后根据二次函数的性质求其范围即可.
(1)当 ,时,

(2)当,时,
, ,


因为 ,故
故 的取值范围为 .
16.【答案】(1)解:由,可得,即,因为,所以;
(2)解:,;
(3)解:由题意可得:,解得,
则.
【知识点】有理数指数幂的运算性质;指数式与对数式的互化;对数的性质与运算法则;简单的三角恒等变换
【解析】【分析】(1)将对数式化为指数式,再根据指数幂的运算性质求解即可;
(2)根据,结合诱导公式以及余弦的二倍角公式求值即可;
(3)根据对数的运算性质求出,再根据对数的运算性质求解即可.
(1),,

(2),

(3)正实数x,y,z同时满足下列三个方程,,,

.
17.【答案】(1)解:函数

因为函数的最大值为3,所以当时,,解得;
(2)解:由(1)得,
令,t在上单调递增,且,
函数在和上单调递增,
因此,,解得,,
则在的单调递增区间为,;
(3)解:令,,则,
由题可知:在上有9个根,即,
因此,即,
故实数的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式;正弦函数的性质;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质;辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式、余弦正弦的两角差及辅助角公式化简,结合题意求的值即可;
(2)由(1)可得,利用正弦函数的单调性求解单调递增区间即可;
(3)利用正弦函数的图象与性质计算即可.
(1)由题意可知:

当时,,

(2)令,t在上单调递增,且,
而在和上单调递增,
因此,,解得,,
在的单调递增区间为,
(3)令,,则
由题可知:在上有9个根,即,
因此,即
故实数的取值范围是
18.【答案】(1)解:因为是偶函数,所以,
即对任意恒成立,
,解得;
(2)解:由题意可知:方程有两个实数根,
令,即函数的图象与直线有两个交点,
由复合函数的单递性知:函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,;当时,,
当且仅当,即时等号成立,则,
故实数的取值范围是;
(3)解:
,,
令,,则,,
的最小值为0,则或或
即或或,解得.
【知识点】函数单调性的性质;函数的最大(小)值;函数的奇偶性;函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列式求解即可;
(2)问题转化为方程有两个实数根,化简,根据复合函数单调性可求出的最小值,即可得的范围;
(3)化简可得出是以为整体的二次型函数,令,根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值,即可求出的值.
(1)是偶函数,
即对任意恒成立,

(2)函数有两个零点,即方程有两个实数根.
令,则函数的图象与直线有两个交点,
由复合函数的单递性知,在上单调递减,在上单调递增,
当时,;当时,,
当且仅当即时,等号成立.
的取值范围是
(3),,
令,,则,,
的最小值为0,
或或
或或
19.【答案】(1)解:函数,
则,即,
故;
(2)解:因为,
所以,,且,
,且,
由此猜想当,时,;
(3)解:因为,所以,,
又因为,所以,
又因为,所以,,
存在,则,,
又,
,单调递增,

综上所述:.
【知识点】简单的三角恒等变换;含三角函数的复合函数的值域与最值;同角三角函数间的基本关系;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)由题意,利用同角三角函数的平方关系求解即可;
(2)分别写出,,,根据正弦函数的值域求解范围,从而求的取值范围即可;
(3)由已知结合辅助角公式得出,由不等式放缩得,换元法求得值域,求a的取值范围即可.
(1),
则,

(2),

此时有,
此时有,
由此猜想当,时,.
(3),
∴,,
又,

因为,则,,
存在,则,,
又,
,单调递增,

综上所述:.
1 / 1湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1.(2025高一下·湖北月考)已知集合,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】交集及其运算;一元二次不等式及其解法;指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解:解不等式,可得,则集合,
解不等式,可得,则集合,故.
故答案为:C.
【分析】解不等式求得集合,再根据集合的交集运算求解即可.
2.(2025高一下·湖北月考)若命题“,”是真命题,则(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】存在量词命题;函数的最大(小)值
【解析】【解答】解:,,则,
因为函数,在上单调递增,所以,故.
故答案为:B.
【分析】原问题转化为,利用函数的单调性求解即可.
3.(2025高一下·湖北月考)函数的零点所在区间为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解:函数定义域为,且在上单调递增,
因为,,所以,
根据函数的零点的判定定理可得,函数的零点所在的区间是.
故答案为:C.
【分析】根据函数的零点存在性定理结合单调性求零点所在区间即可.
4.(2025高一下·湖北月考)要得到函数的图象,只需要将函数的图象(  )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】A
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解:函数,
将函数图象上所有点向左平移个单位得,即得图象.
故答案为:A.
【分析】利用诱导公式,结合三角函数图象的平移变换求解即可.
5.(2025高一下·湖北月考)已知向量,满足,且,则与的夹角为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算;数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解:因为,所以,所以,
则,即与的夹角为
故答案为:B.
【分析】由题意,利用求得,再利用向量夹角公式求解即可.
6.(2025高一下·湖北月考)已知,则(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解:,
因为,所以.
故答案为:D.
【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,代值计算即可.
7.(2025高一下·湖北月考)下列不等关系正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则;利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解:A、,两边同时取对数,则 ,即,故A错误;
B、,因为,所以,故B错误;
C、, ,,故C错误;
D、,,
则,
而,,,
故,即,故D正确.
故答案为:D.
【分析】两边同时取以为底的对数化简即可判断A;,利用对数的单调性比较大小即可判断B;将的指数幂都变换成整数次幂与的乘积的形式,比较两个幂函数的大小即可判断C;将变换为以10为底的对数,做差与0比较即可判断D.
8.(2025高一下·湖北月考)在自然界中,对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构,对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言,同样充满了对称之美.函数图象的对称性,例如轴对称和中心对称,关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数,使得不等式成立的实数m的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性;奇偶函数图象的对称性;利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:令,则,原函数可化为,
函数定义域为,且满足,
则函数是偶函数,其图象关于y轴对称,那么函数的图象关于直线对称,
当时,,,
因为,所以,,,则,
所以,则函数在上单调递增,
又因为函数的图象关于直线对称,且在上单调递增,
所以等价于,
即,两边平方得,
整理可得,解得,
故实数m的取值范围是.
故答案为:A.
【分析】令,则,原函数可化为,先分析函数的对称性和单调性,根据函数性质,把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
9.(2025高一下·湖北月考)若正实数p,q满足,则(  )
A.pq的最小值是 B.的最大值是
C.的最小值是 D.的最小值是6
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解:A、由,可得,解得,当且仅当,时等号成立,则pq的最大值为,故A错误;
B、,
当且仅当,时等号成立,则的最大值为,故B正确;
C、,
当且仅当,即时等号成立,则的最小值是,故C正确;
D、因为,所以,则

又因为,所以,当,时等号成立,即的最小值是6 ,故D正确.
故答案为:BCD.
【分析】利用基本不等式求解即可判断AB;利用1的代换,,再利用基本不等式求解即可判断C;利用消元,求一元二次函数的最值即可判断D.
10.(2025高一下·湖北月考)已知函数,若有四个不等的实数解,,,,下列说法正确的是(  )
A.有最小值2 B.m的取值范围是
C. D.方程有4个不同的解
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性;指数函数的图象与性质;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:函数的图像,如图所示:
且,,,,
A、由图可知:函数有最小值2,故A正确;
B、由图可知:若有四个不等的实数解,,,,则,故B错误;
C、因为为偶函数,所以图象关于轴对称,又因为的对称轴为直线,所以,,则,故C正确;
D、令,则方程可化为方程,
结合图像得有4个解,且,,,,
因为有最小值2,所以只有当时,有4个不同的x与之对应,
故方程有4个不同的解,故D正确.
故答案为:ACD.
【分析】先作出函数的图像,由图像即可判断AB;根据偶函数的性质及二次函数的对称性,结合图象即可判断C;令,数形结合即可判断D.
11.(2025高一下·湖北月考)已知函数,下列说法正确的是(  )
A.为偶函数 B.的最小正周期为
C.关于对称 D.的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性;含三角函数的复合函数的周期;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解:的定义域为,定义域关于原点对称,
A、,则为偶函数,故A正确;
B、因为,
所以的周期为,故B错误;
C、因为,
所以关于对称,故C正确;
D、令,则,,
由于,所以,进而,
所以,
因为函数在上都是减函数,
所以函数在上是减函数,且,所以函数在上是减函数
则的值域为,故D正确.
故答案为:ACD.
【分析】先求函数的定义域,再根据与的关系即可判断A;由与的关系即可判断B;根据与的关系即可判断C;令,利用换元法,求值域即可判断D.
12.(2025高一下·湖北月考)已知函数在上有两个零点,则a的取值范围为   .
【答案】
【知识点】正弦函数的性质;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解: 函数在上有两个零点 ,即在上有两个解,即函数的图象和直线在上有两个交点,
由,可得,
易知在上单调递增,在上单调递减,最大值是,
因为,,所以.
故答案为:.
【分析】原问题转化为函数的图象和直线在上有两个交点,判断的单调性和最值即可得a的取值范围.
13.(2025高一下·湖北月考)已知函数的定义域为R,且满足:,,,则   .
【答案】3
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解: 函数的定义域为,且满足:①,
则②,
①②式相加得:,
所以,即函数的周期为6,
则,
因为,,
所以,
故.
故答案为:
【分析】由题意,求出函数是周期为6的周期函数,再利用周期性求解即可.
14.(2025高一下·湖北月考)如图,正方形的边长为1,分别为边上的点,若,求的面积的最大值为   .
【答案】
【知识点】基本不等式;两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解:设,,,, 若,
则,,,
整理得,
因为
当且仅当时等号成立,解得或,
因为,所以,
则当时,的最大值,最大面积为.
故答案为:.
【分析】设,,,,求得,,,利用基本不等式求解即可.
15.(2025高一下·湖北月考)如图,在平行四边形中,,,若M,N分别是边,所在直线上的点,且满足,,其中k,,设,.
(1)当,时,用向量和分别表示向量和;
(2)当,时,求的取值范围.
【答案】(1)解:当 ,时, ,

(2)解:当,时,
, ,


因为 ,所以,
则 的取值范围为 .
【知识点】平面向量的线性运算;平面向量的基本定理;平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题意,根据向量的线性运算求解即可;
(2)先用向量表示向量,再根据向量的数量积的运算律求出,最后根据二次函数的性质求其范围即可.
(1)当 ,时,

(2)当,时,
, ,


因为 ,故
故 的取值范围为 .
16.(2025高一下·湖北月考)计算:
(1)已知,,求的值;
(2)已知,求的值;
(3)若正实数同时满足下列三个方程,,,求的值.
【答案】(1)解:由,可得,即,因为,所以;
(2)解:,;
(3)解:由题意可得:,解得,
则.
【知识点】有理数指数幂的运算性质;指数式与对数式的互化;对数的性质与运算法则;简单的三角恒等变换
【解析】【分析】(1)将对数式化为指数式,再根据指数幂的运算性质求解即可;
(2)根据,结合诱导公式以及余弦的二倍角公式求值即可;
(3)根据对数的运算性质求出,再根据对数的运算性质求解即可.
(1),,

(2),

(3)正实数x,y,z同时满足下列三个方程,,,

.
17.(2025高一下·湖北月考)已知函数的最大值为
(1)求常数a的值;
(2)求函数在的单调递增区间;
(3)若在区间上有9个零点,求实数m的取值范围.
【答案】(1)解:函数

因为函数的最大值为3,所以当时,,解得;
(2)解:由(1)得,
令,t在上单调递增,且,
函数在和上单调递增,
因此,,解得,,
则在的单调递增区间为,;
(3)解:令,,则,
由题可知:在上有9个根,即,
因此,即,
故实数的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式;正弦函数的性质;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质;辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式、余弦正弦的两角差及辅助角公式化简,结合题意求的值即可;
(2)由(1)可得,利用正弦函数的单调性求解单调递增区间即可;
(3)利用正弦函数的图象与性质计算即可.
(1)由题意可知:

当时,,

(2)令,t在上单调递增,且,
而在和上单调递增,
因此,,解得,,
在的单调递增区间为,
(3)令,,则
由题可知:在上有9个根,即,
因此,即
故实数的取值范围是
18.(2025高一下·湖北月考)已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)若函数有两个零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数,是否存在实数m使得的最小值为0,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:因为是偶函数,所以,
即对任意恒成立,
,解得;
(2)解:由题意可知:方程有两个实数根,
令,即函数的图象与直线有两个交点,
由复合函数的单递性知:函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,;当时,,
当且仅当,即时等号成立,则,
故实数的取值范围是;
(3)解:
,,
令,,则,,
的最小值为0,则或或
即或或,解得.
【知识点】函数单调性的性质;函数的最大(小)值;函数的奇偶性;函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列式求解即可;
(2)问题转化为方程有两个实数根,化简,根据复合函数单调性可求出的最小值,即可得的范围;
(3)化简可得出是以为整体的二次型函数,令,根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值,即可求出的值.
(1)是偶函数,
即对任意恒成立,

(2)函数有两个零点,即方程有两个实数根.
令,则函数的图象与直线有两个交点,
由复合函数的单递性知,在上单调递减,在上单调递增,
当时,;当时,,
当且仅当即时,等号成立.
的取值范围是
(3),,
令,,则,,
的最小值为0,
或或
或或
19.(2025高一下·湖北月考)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)试求,,的取值范围,猜想当,时,的取值范围不需要写出证明过程;
(3)存在,使得关于x的不等式对任意的恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1)解:函数,
则,即,
故;
(2)解:因为,
所以,,且,
,且,
由此猜想当,时,;
(3)解:因为,所以,,
又因为,所以,
又因为,所以,,
存在,则,,
又,
,单调递增,

综上所述:.
【知识点】简单的三角恒等变换;含三角函数的复合函数的值域与最值;同角三角函数间的基本关系;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)由题意,利用同角三角函数的平方关系求解即可;
(2)分别写出,,,根据正弦函数的值域求解范围,从而求的取值范围即可;
(3)由已知结合辅助角公式得出,由不等式放缩得,换元法求得值域,求a的取值范围即可.
(1),
则,

(2),

此时有,
此时有,
由此猜想当,时,.
(3),
∴,,
又,

因为,则,,
存在,则,,
又,
,单调递增,

综上所述:.
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