2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程与分式方程（含解析）

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2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程与分式方程
1．解方程：
(1)（配方法）
(2)（因式分解法）
2．解方程：．
3．解方程：
4．解方程：
(1)
(2)
5．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
6．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
7．解方程：
(1)
(2)
8．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
9．解下列方程：
(1)；
(2)；
10．解方程：
(1)
(2)
11．用适当方法解下列方程．
(1)
(2)
(3)
12．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
13．解下列一元二次方程：
(1)
(2)
14．解方程：
(1)
(2)
15．解方程：．
16．解方程：．
17．解方程：．
18．解方程：．
19．解方程：．
20．解分式方程．
21．解下列方程：
(1)；
(2)．
22．解方程：
(1)；
(2)．
23．解下列方程：
(1)
(2)
24．解分式方程：
(1)；
(2)．
25．解下列方程：
(1)；
(2)．
26．解方程：．
27．解分式方程：
28．解方程
(1)
(2)
29．解分式方程：
(1)；
(2)
30．解分式方程：
(1)
(2)
《2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程与分式方程》参考答案
1．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2）解：原式可化为，
∴，
或，
，．
2．， ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把原方程变形为，然后利用公式法解方程即可．
【详解】解：
∴，
∴，
∴， ．
3．
【分析】本题考查了解一元二次方程，先去括号，移项合并同类项得，再运用因式分解法进行方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，
解得
4．(1)，；
(2)，．
【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可．
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
原方程可变为，
则或，
解得，；
（2）解：方程整理得，
配方得，，即，
开方得，，
∴，．
5．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
，
或，
解得：，．
6．(1)，
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
（1）利用解一元二次方程的因式分解法进行计算，即可求解；
（2）利用解一元二次方程的公式法进行计算，即可求解；
（3）利用解一元二次方程的因式分解法进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
解得：或；
（2）解：，，，
，
；
（3）解：，
，
，
或．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）方程可以配方成，利用配方法解方程即可得；
（2）方程移项、因式分解为，利用因式分解法解方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，即，
或，
．
8．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法方程即可；
（3）移项后，利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴，
∴；
（2），
∴，
∴；
（3），
∴或，
∴；
（4）
∴或，
∴．
9．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
配方得，即，
开方得，
解得．
10．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得，；
（2）解：
或
解得，．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，，，
∴
，
解得，．
（2）解：，
解得，
（3）解：，
，
，，
解得：，．
12．(1)，；
(2)，；
(3)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）先化为一般式，再利用因式分解法解方程即可；
（3）利用换元法和因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，；
（2）解：
方程化为，
因式分解得，
∴或，
∴，；
（3）解：，
令，
则有，
因式分解得，
∴或，
∴或6，
即或6，
∴，．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）利用公式法求解；
（2）先化为一般式，再由因式分解法求解．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴；
（2）解：
或
解得：．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
15．
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解题步骤是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
去分母得：，
∴，
解得：，
检验，当时，，
∴原方程的解为．
16．
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解是．
17．
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，注意要验根．
将原方程化为，方程两边都乘以，得到，再解整式方程即可得到答案．
【详解】解：，
，
方程两边都乘以，
得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是分式方程的解，
原方程的解是．
18．无解．
【分析】本题考查了解分式方程．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解．
【详解】解：，
去分母得，
去括号得，
解得，
检验：把代入所以为增根，
所以原方程无解．
19．无解
【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：，
原方程两边同乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是分式方程的增根，
故原方程无解．
20．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键．
根据解分式方程的方法解答即可．
【详解】解：去分母可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化为1可得：，
检验：时，，
是原方程的解．
21．(1)，
(2)．
【分析】本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，要注意解分式方程必须检验．
（1）先把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可；
（2）先把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
（2）解：方程两边同时乘得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根，
是原方程的解．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母：方程两边同乘：
移项得，
即．
经检验是原方程的解；
（2）解：
去分母：方程两边同乘：
移项得，
即．
经检验是原方程的解．
23．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
24．(1)无解
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解；
（2）解：
去分母得：
去括号合并得：
解得：
经检验是原分式方程的解．
25．(1)
(2)无解
【分析】该题考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】（1）解：，
方程两边同时乘以，得，
解得：．
检验：把代入．
∴原方程的解为：．
（2）解：，
方程两边同时乘以，得，
解得：．
检验：把代入．
∴原方程无解．
26．无解
【分析】本题考查了分式方程的解法、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握分式方程的解法和相关公式是解题的关键．
去分母，将分式方程转化为一元一次方程进行求解，最后检验．
【详解】解：，
，
两边同乘，得：
，
，
，
化简的：，
解得：；
检验：当时，，原方程无意义，
∴原分式方程无解．
27．
【分析】本题考查了解分式方程．方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．
28．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤．
（1）方程两边都乘，得出，求解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘，得出，整理方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘，
得，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边都乘，
得，
整理为：，
解这个方程，得，
经检验是原方程的解．
29．(1)
(2)无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
【详解】（1）解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
30．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并进行检验．
（1）先通过去分母（方程两边同时乘以最简公分母），将分式方程转化为整式方程 ，即可求解．
（2）先通过去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
移项得：，
整理得：，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴原方程的解为：．
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴原方程的解为：．
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